2007级信息安全数学基础试卷-B-答案
信息安全数学基础参考试卷
《信息安全数学基础》参考试卷一．选择题(在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下列叙述中的括号内，多选不给分)：（每题2分，共20分）1．576的欧拉函数值ϕ(576) ＝()。
(1) 96，(2) 192，(3) 64，(4) 288。
2．整数kn和k(n+2)的最大公因数(kn , k(n+2))=()。
(1) 1或2，(2) | kn|，(3) | n|或| kn|，(4) | k|或2| k|。
3．模10的一个简化剩余系是( )。
(1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10，(2) 11, 17, 19 , 27(3) 11, 13, 17, 19，(4) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9。
4．29模23的逆元是( )。
(1) 2，(2) 4，(3) 6，(4) 11。
5．设m1，m2是两个正整数，x1遍历模m1的完全剩余系，x2遍历模m2的完全剩余系，若( )遍历m1m2的完全剩余系。
(1) (m1，m2)=1，则m1x1＋m2x2(2) m1和m2是素数，则m1x1＋m2x2(3) (m1，m2)=1，则m2x1＋m1x2(4)m1和m2是素数，则m2x1＋m1x26．下面的集合和运算构成群的是( ) 。
(1) <N，＋> （N是自然数集，“＋”是加法运算）(2) <R，×> （R是实数集，“×”是乘法运算）(3) <Z，＋> （Z是整数集，“＋”是加法运算）(4) <P（A），∩> （P(A)＝{U | U是A的子集}是集合A的幂集，“∩”是集合的交运算）7．下列各组数对任意整数n均互素的是( ) 。
(1) 3n+2与2n，(2) n－1与n2＋n＋1，(3) 6n+2与7n，(4) 2n+1与4n+1。
8．一次同余式234x ≡ 30（mod 198）的解数是( )。
信息安全数学基础（B）卷答案
信息安全数学基础（B）卷答案贵州大学2007-2008学年第二学期考试试卷（标准答案） B信息安全数学基础注意事项：1. 请考生按要求在试卷装订线内填写姓名、学号和年级专业。
2. 请仔细阅读各种题目的回答要求，在规定的位置填写答案。
3. 不要在试卷上乱写乱画，不要在装订线内填写无关的内容。
1分) 又显然有dm|am,dm|bm,所以dm|d1.故d1=(am,dm)（5分）二、设p是素数.证明：如果22(mod)a b p≡则p a b-或p a b+（共10分）证明：因为22(mod)a b p≡，所以p|(a -b )( a + b ), 如果P不整除（a+b),因为P为素数，所以(P,a+b)=1,有定理可知p a b-(5分）；同理，如果P不整除（a-b),因为P为素数，所以(P,a-b)=1,有定理可知p a b+(5 分）三、求出下列一次同余数的所有解.(共10分)63(mod9)x≡解：(1)求同余式63(mod9)x≡的解，运用广义欧几里得除法得：x≡5( mod 3) （5分）（2）求同余式63(mod9)x≡的一个特解：x≡5( mod 3) （4分）（3）写出同余式63(mod9)x≡的全部解：X≡5 + 3t( mod 9) (t=0,1,2) （1分）四、求解同余式组：(共15分)43()2890f x x x x≡+++=1234(mod5)(mod 6)(mod 7)(mod11)x b x b x b x b =??=??=??=?解：原同余式等价同余式组()0(mod5)()0(mod7)f x f x ≡??≡?直接验算，()0(mod5)f x ≡的解为1,4(mod5)x ≡ ()0(mod 7)f x ≡的解为3,5,6(mod 7)x ≡由中国剩余定理，可求得同余式组12(mod 5)(mod 7)x b x b ≡??≡?的解为123735(mod 35)x b b ≡+g g g g ，故原同余式的解为31,26,6,24,19,34(mod35)x ≡，共6个。
信息安全数学基础课后答案完整版Word版
第一章参考答案（1） 5,4,1,5.（2） 100=22*52, 3288=23*3*137.（4） a,b可以表示成多个素因子的乘积a=p1p2––pr, b=q1q2––qs,又因为(a,b)=1，表明a, b没有公共(相同)素因子. 同样可以将a n, b n表示为多个素因子相乘a n=(p1p2––pr)n, b n=(q1q2––qs)n明显a n, b n也没有公共(相同)素因子.（5）同样将a, b可以表示成多个素因子的乘积a=p1p2––pr, b=q1q2––qs,a n=(p1p2––pr)n, b n=(q1q2––qs)n,因为a n| b n所以对任意的i有, pi的n次方| b n,所以b n中必然含有a的所有素因子, 所以b中必然含有a的所有素因子, 所以a|b.（6）因为非零a, b, c互素,所以(a, b)=(a, c)=1,又因为a=p1p2––pr,b=q1q2––qs, ab=p1p2––prq1q2––qs, 又因为a, b, c互素, 所以a, b, c中没有公共(相同)素因子, 明显ab和c也没有公共(相同)素因子.所以(ab, c)= (a, b)(a, c).（7）2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,9 7,101,103,107, 109, 113, 127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199.（11）对两式进行变形有21=0(mod m), 1001=0(mod m),可以看出要求满足的m即使求21和1001的公约数, 为7和1.（12）(70!)/(61!)= 62*63*––*70=(-9)*(-8)*––*(-1)=-9!=-362880=1(mod 71). 明显61!与71互素, 所以两边同乘以61!, 所以70!=61!(mod 71).（13）当n为奇数时2n=(-1)n=-1=2(mod 3), 两边同时加上1有2n+1=0(mod 3), 所以结论成立.当n为偶数时2n=(-1)n=1(mod 3), 两边同时加上1有2n+1=2(mod 3), 所以结论成立.（14）第一个问：因为(c,m)=d, m/d为整数.假设ac=k1m+r, bc=k2m+r,有ac=k1d(m/d)+r, bc=k2d(m/d)+r所以ac=bc(mod m/d),因为(c,m/d)=1,所以两边可以同除以一个c, 所以结论成立.第二个问题：因为a=b(mod m), 所以a-b=ki *mi，a-b是任意mi的倍数，所以a-b是mi 公倍数，所以[mi]|a-b.(利用式子：最小公倍数=每个数的乘积/最大公约数, 是错误的, 该式子在两个数时才成立)（15）将整数每位数的值相加, 和能被3整除则整数能被3整除, 和能被9整除则整数能被9整除, (1)能被3整除, 不能被9整除，(2)都不能，(3)都不能，(4)都不能第二章答案（5）证明：显然在群中单位元e满足方程x2=x, 假设存在一个元素a满足方程x2=x, 则有a2=a, 两边同乘以a-1有a=e. 所以在群中只有单位元满足方程x2=x.（6）证明：因为群G中每个元素都满足方程x2=e, 所以对群中任意元素a,b 有aa=e, bb=e, (ab)2=abab=e. 对abab=e, 方程两边左乘以a, 右乘以b有aababb=(aa)ba(bb)=ba=aeb=ab, 有ab=ba, 所以G是交换群.（7）证明：充分性：因为在群中对任意元素a,b有(ab)2=a2b2即abab=aabb, 方程两边左乘以a的逆元右乘以b的逆元, 有a-1ababb-1= a-1aabbb-1, 有ab=ba, 所以G是交换群.必要性：因为群G是交换群, 所以对任意元素a,b有ab=ba, 方程两边左乘以a右乘以b有abab=aabb, 有(ab)2=a2b2.（8）证明：因为xaaba=xbc，所以x-1xaxbaa-1b-1=x-1xbca-1b-1，所以存在唯一解x=a-1bca-1b-1使得方程成立。
信息安全数学基础习题答案
信息安全数学基础习题答案信息安全数学基础习题答案1.简答题 a) 什么是信息安全？信息安全是指保护信息的机密性、完整性和可用性，以防止未经授权的访问、使用、披露、干扰、破坏或篡改信息的行为。
b) 什么是加密？加密是指通过对信息进行转换，使其无法被未经授权的人理解或使用的过程。
加密算法通常使用密钥来对信息进行加密和解密。
c) 什么是对称加密算法？对称加密算法是一种使用相同的密钥进行加密和解密的算法。
常见的对称加密算法有DES、AES等。
d) 什么是非对称加密算法？非对称加密算法是一种使用不同的密钥进行加密和解密的算法。
常见的非对称加密算法有RSA、ECC等。
e) 什么是哈希函数？哈希函数是一种将任意长度的数据映射为固定长度的输出的函数。
哈希函数具有单向性，即很难从哈希值逆推出原始数据。
2.选择题 a) 下列哪种算法是对称加密算法？ A. RSA B. AES C. ECC D.SHA-256答案：B. AESb) 下列哪种算法是非对称加密算法？ A. DES B. AES C. RSA D. SHA-256答案：C. RSAc) 下列哪种函数是哈希函数？ A. RSA B. AES C. ECC D. SHA-256答案：D. SHA-2563.计算题 a) 使用AES算法对明文进行加密，密钥长度为128位，明文长度为64位。
请计算加密后的密文长度。
答案：由于AES算法使用的是128位的块加密，所以加密后的密文长度也为128位。
b) 使用RSA算法对明文进行加密，密钥长度为1024位，明文长度为64位。
请计算加密后的密文长度。
答案：由于RSA算法使用的是非对称加密，加密后的密文长度取决于密钥长度。
根据经验公式，RSA算法中加密后的密文长度为密钥长度的一半。
所以加密后的密文长度为1024/2=512位。
c) 使用SHA-256哈希函数对一个长度为128位的明文进行哈希计算，请计算哈希值的长度。
答案：SHA-256哈希函数的输出长度为256位。
2007级信息安全数学基础试卷-B-答案
2007级信息安全数学基础试卷-B-答案名1 / 72007《信息安全数学基础》 B 试卷第1页共7页诚信应考,考试作弊将带来严重后果!华南理工大学期末考试《信息安全数学基础》试卷B -答案1.考前请将密封线内填写清楚; 所有答案请直接答在试卷上;.考试形式：闭卷；本试卷共四大题，满分100分，考试时间120分钟。
题号 -一一二二三三四总分得分评卷人选择题：(每题2分，共20分) 1. (1) 。
2. (4)。
3. (3)。
4. (2)。
5.(2) 。
6. (3) 。
7. (2)。
8. (4)。
9.⑷。
10.(3)二.填空题：(每题2分，共20分)1.设m 是正整数，a 是满足a m 的整数，则一次同余式：ax b (mod m) 有解的充分必要条件是 (a , m)|b 。
当同余式ax b (mod m)有解时，其解数为 d = (a , m) 。
2 .设m 是正整数，则 m 个数0, 1, 2,…，m — 1中与m 互素的整数的个数叫做m的欧拉(Euler)函数，记做 (m)。
3.整数2t + 1和2t — 1的最大公因数(2t + 1，2t — 1)= 1 。
6. __________________________ 设m 是一个正整数，a 是满足 (a , m) =1 ________________________________ 的整数，则存在整数 a ， K a v m ，使得 aa = 1 (mod m)。
7. Wils on 定理：设 p 是一个素数，则——(p — 1)!三一1 (mod p)——。
8. (中国剩余定理)设m 1,…,m k 是k 个两两互素的正整数，则对任意的整数b 1,…,b k 同余式组广x b 1 (mod m”....... ?… ?…注意事项: 2. 3 4. )封题…答…不…内… 线… 封… 密…4 .设a, b 是正整数，且有素因数分解 aP 1S22P s s , i 0,i1,2, ,s ，min( 1, 1)min( 2,2)1min( s , s )b P 「P 22 P s s , i 0,i 1,2, ,s ，则(a,b)P 1P 2L P s-------------------------- ?[a,b] pmax(1,1)p 2max( 2, 2)L pmax( s, s)s5 .如果a 对模m 的指数是 ________ (m) ，则a 叫做模m 的原根。
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“信息安全数学基础”习题答案第一章1、证明： (1)|()|()()|a b b ma m Z c d d nc n Z bd acmn mn Z ac bd ⇒=∈⇒=∈∴=∈∵，，，即。
(2)12111112|,|,,|11(3)|(),,k k k k a b a b a b a b c b c b c c c c ∴−+++∵ ，根据整除的性质及递归法，可证得：，其中为任意整数。
2、证明：1-2(2)(3,5)13|5|15|,(15,7)17|105|a a a a a =∴=∴∵∵∵根据例题的证明结论知：，又且,又，且,。
3、证明：1n p n p n >>因为，且是的最小素因数，若假设n/p 不是素数，则有121223131312,2,,,,2,,k k n p p p p k p p p p k n p p p p n p p n n p n n p =×××≥≥==×≥∴≥≤>> （其中为素数且均）若，则即,与题设矛盾，所以假设不成立，即为素数得证。
7、证明：首先证明形如6k -1的正整数n 必含有6k -1形式的素因子，这显然是成立的。
因为如果其所有素因数均为6k +1形式，则12,(61,1,2,,)j i i n p p p p k i j =×××=+= ,从而得到n 是形如6k +1形式的正整数，这与题设矛盾。
其次，假设形如6k -1的素数为有限个，依次为1212,,6s s q q q n q q q = ，考虑整数-1， 则n 是形如6k -1的正整数，所以n 必有相同形式的素因数q ，使得使得q = q j (1≤j ≤s )。
由整数的基本性质(3)有：12|(6)1s q q q q n −= ，这是不可能的。
故假设错误，即存在无穷多个形如4k -1的素数得证。
2n3n最小非负余数最小正余数绝对值最小余数最小非负余数最小正余数绝对值最小余数3 0、1 1、3 0、1 0、1、2 1、2、3 -1、0、14 0、1 1、4 0、1 0、1、3 1、3、4 -1、0、1 8 0、1、4 1、4、8 1，0 0、1、3、5、7 1、3、5、7、8 3、1、-3、-1、0 10 0、1、4、5、6、9 1、4、5、6、9、10 -4、-1、0、1、4、5 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 1,2,3,4,5,6,7,8,10-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,413、解： (1)259222137222376(222,259)37372592221,1,1s t =×+=×⇒==−×∴==−(2)139571316827136821316823122(1395,713)31317136821713(13957131)2713(1)1395,1,2s t =×+=×+=×⇒==−×=−−×=×+−×∴=−=16、解： (1)(112,56)5611256[112,56]112(112,56)=×== (2)(67,335)6767335[67,335]335(67,335)=×== (3)(1124,1368)411241368[1124,1368]384408(1124,1368)=×==(7,4)1,0,7(1)4211,24410,1,2,771||1000142||100040,1,1427c s t k x k k k y k x k y x kk y k ==∴×−+×=∴=−=⎧=−=−⎪⎪=±±⎨⎪==⎪⎩≤⎧∴≤⎨≤⎩=−⎧∴=±±⎨=⎩∵ 而不定方程的一切解为： 其中，又方程的全部解为 ，其中 ，第二章1、解：(1) 错误。
级信息安全数学基础试卷B答案
有唯一解。
令m ＝m 1…m k ，m ＝m i M i ，i ＝1,…,k ，则同余式组的解为： x ≡ M 1? M 1b 1＋…＋ M k ? M k b k (mod m ) ， 其中 M i ? M i ≡1 (mod m i ) , i ＝1 , 2 ,…, k 。
9．正整数n 有标准因数分解式为 k k p p n ααΛ11=，则n 的欧拉函数, b ∈G ，都有 f (ab )=f (a )f (b ) ，那么，f 叫做G 到G ? 的一个同态。
三．证明题 （写出详细证明过程）：（共30分）1．证明：形如4k +3的素数有无穷多个。
（6分）证明 分两步证明。
先证形如4k ＋3的正整数必含形如4k ＋3的素因数。
由于任一奇素数只能写成4n ＋1或4n ＋3的形式，而 (4n 1＋1)(4n 2＋1)＝16n 1n 2＋4n 1＋4n 2＋1＝4(4n 1n 2＋n 1＋n 2)＋1, 所以把形如4n ＋1的数相乘的积仍为4n ＋1形式的数。
因此，把形如4k ＋3的整数分解成素数的乘积时， 这些素因数不可能都是4n ＋1的形式的素数，一定含有 4n ＋3形式的素数。
其次，设 N 是任一正整数，并设p 1, p 2 , … , p s 是不超过N 的形如4k ＋3的所有素数。
令q ＝4p 1 p 2 … p s －1。
显然，每个p i (i ＝1, 2, …, s)都 不是 q 的素因数，否则将会导致 p i |1，得到矛盾。
如果 q 是素数，由于q ＝4p 1 p 2 … p s －1＝4(p 1 p 2 … p s －1)＋3，即 q 也是 形如4k ＋3的素数，并且显然q ? p i (i ＝1, 2, …, s)， 从而 q > N 。
即q 是形如4k ＋3的大于N 的素数。
如果 q 不是素数，由第一步证明知q 含有形如4k ＋31111)(1))的素因数p，同样可证p?p i(i＝1, 2, …, s)，从而p > N。
06本科信安上B卷答案
武汉大学计算机学院2007-2008学年第一学期“信息安全数学基础（上）”(B 卷)答案一． 计算题（每小题10分，共60分）。
1求整数s 和t ，使得s987+t2668=(987,2668)。
解：因为2668=987*2+694，987=694+293， 694=293*2+108， 293=108*2+77， 108=77+31， 77=31*2+15， 31=15*2+1；所以 1=31-15*2=31*5-77*2=108*5-77*7=108*19-293*7=694*19-293*45=694*64-987*45=2668*64-987*173即s=-173,t=64,(a,b)=1.(注意，此题答案不唯一)2 求解同余式x 5≡5（mod 16）。
解 首先求出同余式x 5≡5（mod 2）的解为同余式x ≡1（mod 2），依次求出同余式x 5≡5（mod4）的解为x ≡1（mod 4），同余式x 5≡5（mod 8）的解为x ≡5（mod 8），同余式x 5≡5（mod16）的解为x ≡5（mod 16）。
3 求解同余式x 2+x+7≡0（mod 27）。
解 因为（4，27）=1，所以由同余式的性质可以得到4x 2+4x+28≡0（mod 27），即4x 2+4x+1≡0（mod 27），于是（2x+1）2≡0（mod 27），因此2x+1≡0（mod 9）,利用一次同余式的求解方法得x ≡4（mod9）,所以原同余式的解为x ≡4，13，22（mod 27）。
4 求模37的所有原根，并且求解如下高次剩余x 4≡34(mod 37)。
解 因为332236)37(⨯⨯⨯==ϕ，所以只需验证1812,g g 模37是否为1即可，逐个计算可得：3637mod 2,2637mod 21812==，故2是模37的原根。
当1)36,())37(,(==d d ϕ时，d 2是模37的原根，所以模37的所有原根为2，32，17，13，15，18，35，5，20，24，22，19。
信息安全数学基础习题答案
信息安全数学基础习题答案信息安全数学基础习题答案信息安全是当今社会中一个重要的领域，它涉及到人们的隐私和数据的保护。
在信息安全的学习过程中，数学是一个不可或缺的基础。
本文将为您提供一些信息安全数学基础习题的答案，帮助您更好地理解和应用相关的数学概念。
一、离散对数问题离散对数问题是信息安全领域中的一个重要数学概念。
以下是一些常见的离散对数问题及其答案：1. 如果p是一个素数，a是一个整数，且a不是p的倍数，求解方程a^x ≡ b (mod p)的x值。
答案：x ≡ log_a(b) (mod p-1)2. 如果p是一个素数，g是一个p的原根，a是一个整数，且a不是p的倍数，求解方程g^x ≡ a (mod p)的x值。
答案：x ≡ log_g(a) (mod p)二、RSA算法RSA算法是一种非常常见的公钥加密算法。
以下是一些与RSA算法相关的习题及其答案：1. 如果p=17，q=11，e=7，计算n和d的值，其中n是模数，d是私钥。
答案：n = p * q = 17 * 11 = 187，d ≡ e^(-1) (mod (p-1)*(q-1)) = 7^(-1) (mod 160) = 232. 如果n=187，e=7，加密明文m=88，计算密文c的值。
答案：c ≡ m^e (mod n) = 88^7 (mod 187) = 11三、椭圆曲线密码学椭圆曲线密码学是一种基于椭圆曲线数学问题的加密算法。
以下是一些与椭圆曲线密码学相关的习题及其答案：1. 在椭圆曲线y^2 ≡ x^3 + ax + b (mod p)上，给定一个基点G和一个私钥d，计算公钥Q的值。
答案：Q = d * G2. 在椭圆曲线y^2 ≡ x^3 + ax + b (mod p)上，给定一个基点G和一个私钥d，计算共享密钥K的值。
答案：K = d * Q = d * (d * G)结语本文为您提供了一些信息安全数学基础习题的答案，涉及了离散对数问题、RSA算法和椭圆曲线密码学等内容。
信息安全数学基础课后答案
信息安全数学基础课后答案1、8.如果直角三角形的三条边为2，4，a，那么a的取值可以有（）[单选题] *A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个(正确答案)2、向量与向量共线的充分必要条件是（）[单选题] *A、两者方向相同B、两者方向相同C、其中有一个为零向量D、以上三个条件之一成立(正确答案)3、2005°角是（）[单选题] *A、第二象限角B、第二象限角(正确答案)C、第二或第三象限角D、第二或第四象限角4、若39?27?=321，则m的值是（）[单选题] *A. 3B. 4(正确答案)C. 5D. 65、22．如果|x|＝2，那么x＝（）[单选题] *A．2B．﹣2C．2或﹣2(正确答案)D．2或6、4.小亮用天平称得牛奶和玻璃杯的总质量为0.3546㎏，用四舍五入法将0.3546精确到0.01的近似值为（）[单选题] *A.0.35(正确答案)B.0.36C.0.354D.0.3557、38．如果m2+m＝5，那么代数式m（m﹣2）+（m+2）2的值为（）[单选题] *A．14(正确答案)B．9C．﹣1D．﹣68、第三象限的角的集合可以表示为（）[单选题] *A. {α|180°<α<270°}B. {α|180°+k·360°<α<270°+k·360°}(正确答案)C. {α|90°<α<180°}D. {α|90°+k·360°<α<180°+k·360°}9、10.若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长[单选题] *A. 12(正确答案)B. 13C. 15D. 1410、下列表示正确的是（）[单选题] *A、0={0}B、0={1}C、{x|x2 =1}={1,-1}(正确答案)D、0∈φ11、已知sina<0且cota＞0，则是（）[单选题] *、第一象限角B、第一象限角C、第三象限角(正确答案)D、第四象限角12、9．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x＋y＝8，则k的值为( ) [单选题] * A．4B．5C．－6D．－8(正确答案)13、二次函数y=3x2-4x+5的一次项系数是（）。
信息安全数学基础期末考试试卷及答案(A卷)
信息安全数学基础期末考试试卷及答案（A 卷) 一、 填空题(本大题共8小题，每空2分,共24分） 1。
两个整数a ，b ，其最大公因数和最小公倍数的关系为 ________________. 2. 给定一个正整数m ，两个整数a ,b 叫做模m 同余，如果______________,记作;否则,叫做模m 不同余，记作_____________。
3. 设m ,n 是互素的两个正整数，则________________。
4. 设是整数，a 是与m 互素的正整数.则使得成立的最小正整数叫做a 对模m 的指数,记做__________。
如果a 对模m 的指数是，则a 叫做模m 的____________. 5。
设n 是一个奇合数，设整数b 与n 互素，如果整数n 和b 满足条件________________，则n 叫做对于基b 的拟素数。
6. 设是两个群,f 是到的一个映射.如果对任意的，都有_______________,那么f叫做到的一个同态.7. 加群Z 的每个子群H 都是________群，并且有或______________。
8. 我们称交换环R 为一个域，如果R 对于加法构成一个______群，对于乘法构成一个_______群。
二、计算题（本大题共 3小题，每小题8分，共24分）1. 令 .用广义欧几里德算法求整数，使得 。
2. 求同余方程的解数.3. 计算3模19的指数。
三、解同余方程（本大题共2小题,每小题10分，共20分）1. 求解一次同余方程.2. 解同余方程组四、证明题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）1. 证明:如果是整数,则能够被6整除。
2. 是群到的一个同态，，其中是的单位元。
证明：是的正规子群.3. 证明:如果和是不同的素数，则。
五、应用题（共11分）RSA 公钥加密算法的密钥生成步骤如下：选择两个大的素数p 和q ，计算n =pq 。
选择两个正整数e 和d ，满足：ed =1（mod)。
2007级信息安全数学基础试卷-A-答案
, )，8．(中国剩余定理) 设m 1, …, m k 是k 个两两互素的正整数，则对任意的整数b 1, …, b k 同余式组x ≡ b 1 (mod m 1)… … … …x ≡ b k (mod m k )有唯一解。
令m ＝m 1…m k ，m ＝m i M i ，i ＝1,…,k ，则同余式组的解为： x ≡ M 1' M 1b 1＋…＋ M k ' M k b k (mod m ) ，其中 M i ' M i ≡1 (mo d m i ) , i ＝1 , 2 ,…, k 。
9．正整数n 有标准因数分解式为 kk p p n αα 11=，则n 的欧拉函数10．设 m 是一个正整数, ad ≡bd (mod m )。
如果 (d , m ) ＝1 ，则a ≡b (mod m )。
三．证明题 （写出详细证明过程）：（共30分）1．证明：如果m 和n 是互素的大于1的整数，则m ϕ(n )＋n ϕ(m ) ≡1 (mod mn )。
（7分）证明 根据欧拉定理 m ϕ (n ) ≡1 (mod n )， 又 n ϕ (m ) ≡0 (mod n )，根据2.1节定理4 m ϕ(n )＋n ϕ(m ) ≡1 (mod n ) (1) 类似的，根据欧拉定理 n ϕ (m ) ≡1 (mod m )， 又m ϕ(n ) ≡0 (mod m )，根据2.1节定理4 m ϕ(n )＋n ϕ(m ) ≡1 (mod m ) (2)由(1)和(2)， m 和 n 是互素, 以及根据2.1节定理12得： m ϕ(n )＋n ϕ(m ) ≡1 (mod [n , m ])，即m ϕ(n )＋n ϕ(m ) ≡1 (mod nm )。
2．证明：如果a k ≡ b k (mod m )，a k +1 ≡ b k +1 (mod m ) ，a ，b ，k ，m 是整数，k >11110，并且(a，m) ＝1，那么a ≡ b (mod m)。
信息安全数学基础-作业答案.doc
第一章作业答案1.7习题1 证(方法一)由2ln,贝U n=2m,又5ln,则512m,由51 5m,则5l(5m-2 •2m)=m ,设m=5k(k 为整数)，则n = 10k.又由7ln,则有7110k,由717k,则有71(3 • 7k - 2 • 10k) = k ,设k = 7p(p 是整数), 则有n=70p,从而有70ln.(方法二)因为2ln,5ln,7ln,且[2 , 5, 7]=70 ,根据1.4定理7可得70ln.(方法三)因为2ln, 5ln , 7ln ,所以7OI35n , 70ll4n , 70 I lOn,从而有701(35- 14-2 ・ 10)n = n.4证：三个连续的整数可以写成，(a-1), a , (a+1),其中任意两个连续整数中必定有一个是偶数，所以2可以整除它们的乘积，即2l(a -l)a(a+l).又任意整数 a 可以写成 a = 3n+b(bEZ, lWbW3) 当 b = l 时，a—l=3n,所以3l(a-l), 当b=2 时，a + 1 = 3n+3 ,所以3l(a+l), 当b=3 时，a= 3n,所以31a .所以不论 b 是多少，均有3l(a-l)a(a+l),又(2, 3) = 1 ,故6l(a-l)a(a+l).6证(运用1.1定义2或1.1定理7)12证明形如3k-1形式的正整数必有同样形式的素因数.证(解析：任意整数可表示为3k-l或3k或3k+l ,其中为素因数形式只能为3k-1或3k+l的形式)假设形如3k-1的正整数只有3m+1 形式的素因数，那么3k-l = (3mi +l)(3m2+l)-(3m s +l)=3m+l其中nii GZ ,i=l,2,…，s .m是nii的整系数多项式，故m是一个整数,可推出3k - 1 = 3m + 1,这是矛盾的.14证明形如6k+5的素数有无穷多个.证：假设形如6k+5的素数只有有限个pi ,…，Ps ,令a = 6pi ---ps + 5因为n>pi , i=l,…，s,所以a一定是合数，(注：否则a是大于pi的素数)，根据1. 1定理6 , a的大于5的最小正因数p 是素数，因此，P是P1，…,Ps中的某一个，即存在j, IWjWs,使得P=Pj ,根据1. 1定理3,我们有p|a-6pi •••ps =5,这与p>5是矛盾的，故存在有形如6k+5的素数有无穷多个.方法二反证法.假设形如6k+5的素数只有有限个，可设为pi , p2,…，Ps ,令 a = 6pi …p s + 5 ,贝U p】a ,i=l,…，s.所以有，a是异于Pi , p2,…，p s的形如6k+5的素因数.这与形于6k+5的素数只有pl ,p2，…，ps 有限个矛盾.故形如6k+5的素数有无限多个.17 答案：(111100*********)2 =(78F5)i6 ,(10111101001110)2 =(2F4E)1618 答案：(ABCDEFA)16 = (1010101111001101111011111010)2 (DEFACEDA) i6 = (11011110111110101100111011011010)2 (9A0AB)16=(10011010000010101011)229 答案:(2t - 1 ,2t + 1)=1 ; (2n ,2(n+1))=2.32 答案:(1613 ,3589) = 1 ,551X3589 - 1226X1613=1(2947 , 3772)= 1 , 951 X2947 - 743X3772 = 133 答案：(70 , 98 , 105) = 7整系数线性组合不唯一7= 24X70 - 16X98 - 105=105 +14X98 - 21X70=0X70 + 105 - 98—・・・34证明：不妨设mNn ,由带余数除法得m = qn + r OWr <n,则有a m-l = a qn+r-l + a r-a r = a r(a qn-l) + a r-l由于a qn-l = (a n-l)(a q(nl)+--- + l)由此及— 11 a.an— 1得(a m-l,a n-l) = (a n-l,a r-l)又(m , n) = (n , r).若r = 0,贝U (m , n) = n 结论成立.若r > o则继续对(a” — 1, a r - 1)作同样的讨论.由辗转相除法知，结论成立.51略62求9x + 24y -5z = 1000的一切整数解.解：(说明：这里只需要求出一组解即可)因为(9 , 24 ,5)=1 ,则1 = 24 - 2-9-5所以存在x 二-2000 , y 二1000 , z 二1000 使得9x + 24y -5z 二1000 或者1 = 6・9 -2・24 -5所以存在X= 6000 , y = -2000 , z = 1000 使得9x + 24y ~5z = 1000 可以有多解.。
最新信息安全数学基础期末试卷及答案
贵州大学2007-2008学年第二学期考试试卷（标准答案） A信息安全数学基础注意事项：1. 请考生按要求在试卷装订线内填写姓名、学号和年级专业。
2. 请仔细阅读各种题目的回答要求，在规定的位置填写答案。
3. 不要在试卷上乱写乱画，不要在装订线内填写无关的内容。
4. 满分100分，考试时间为120分钟。
一、设a,b 是任意两个不全为零的整数，证明：若m 是任一整数，则 [am,bm]=[a,b]m.(共10分) 解：22[,](3(,)(3(,)(2(,)[,](2abm am bm am bm abm a b mabma b a b m ====分）分）分）分）==二、设n=pq,其中p,q是素数.证明：如果22=(mod ),,,a b n n a b n a b -+宎宎 则(,)1,(,)1n a b n a b ->+>（共10分）证明：由2222=(mod ),|-,|()()a b n n a b n a b a b +-得即a a (2分）又n pq =，则|()(),|()|(),pq a b a b p p a b p a b +-+-因为是素数，于是或a a a (2分） 同理，|()|()q a b q a b +-或a a (2分）由于,n a b n a b -+宎?，所以如果|()p a b +a ，则|()q a b -a ，反之亦然. (2分） 由|()p a b +a 得(,)1n a b p +=> (1分） 由|()q a b -a 得(,)1n a b q -=> (1分）三、求出下列一次同余数的所有解.(共10分)32(mod 7)x ≡解：(1)求同余式31(mod 7)x ≡的解，运用广义欧几里得除法得：5(mod7)x ≡ （5分）（2）求同余式32(mod 7)x ≡的一个特解： 10(mod 7)x ≡ （4分） （3）写出同余式32(mod 7)x ≡的全部解： 102(mod7),0x t t ≡+= （1分）四、求解同余式组：(共15分)1234(m o d 5)(m o d 6)(m o d 7)(m o d 11)x b x b x b x b =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩解：令m=5.6.7.11=23101234 6.7.11462(15.7.11385(15.6.11330(15.6.7210(1M M M M ========分）分）分）分）分别求解同余式'M 1(mod ),1,2,3,4i i i M m i ≡=得到：''''12343,1,1,1(4M M M M ====分）故同余式的解为：12343462385330210(mod 2310)(2x b b b b ≡⋅⋅+⋅+⋅+⋅分）五、求满足方程23:51(mod 7)E y x x =++的所有点. (共10分)解:对x=0,1,2,3,4,5,6,分别求出y.22222220,1(mod 7),1,6(mod 7)(21,0(mod 7),(22,5(mod 7),(13(mod 7),(11(mod 7),1,6(mod 7)(25,4(mod 7),2,5(mod 7)(16,2(mod 7),3,4(mod 7)(1x y y x y x y y y y x y y x y y =≡≡=≡≡=≡≡≡≡=≡≡=≡≡分）y 0(mod7)分）无解分）x=3,无解分）x=4,分）分）分）六、判断同余式2137(mod 227)x ≡是否有解.（共15分）解:因为227是素数，2137901235253227227227227227227⎛⎫⋅⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭－－＝＝＝－ （分）又222712262288821(1)=13227⋅⎛⎫ ⎪⎝⎭－＝（－）＝－－ （分） 又251512271822522721==11322755⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭－－－＝（－）（－）＝－ （分） 因此，13713227⎛⎫⎪⎝⎭＝－ （分）同余式2137(mod 227)x ≡无解. (3分)七、设1m >是整数，a 是与m 互素的整数，假如()m ord a st =，那么()s m ord a t =.（共10分）解: 由()m ord a st =得：()1(mod )5st s ta a m =≡（分）由()m ord a st =知，t 是同余式()1(mod )s ta m ≡成立的最小正整数，故，()sm ord a t =. (5分)八、证明整数环Z 是主理想环. （共10分）证：设I 是Z 中的一个非零理想.当a I ∈时，有00(1)a I a a I =∈=-∈及-.(2分) 因此，I 中有正整数存在. (1分)设d 是I 中的最小正整数，则()I d = (1分) 事实上，对任意a I ∈，存在整数q,r 使得 (1分) ,0a dq r r d =+≤< (1分)这样，由a I ∈及dq I ∈，得到r a dq I =-∈. (1分)但r d <以及d 是I 中的最小正整数.因此，r=0，()a dq d =∈.(1分) 从而()I d ⊂，(1分)又显然()d I ⊂.故()I d =，故Z 是主理想. (1分)九、设p 是素数，则()P p =是整数环Z 的素理想. （共10分）证：对任意整数a,b ，若(),|ab P p p ab ∈=则. (3分) 于是||.p a p b 或 (3分)因此得到，a P b P ∈∈或. (3分)因此，()P p =是整数环Z 的素理想. (1分)。
信息安全数学基础考试题
信息安全数学基础2005年考题1、已知a=66,b=75，求正整数x,y，使ax-by=(a,b)成立 .2、证明：对于任意整数a、b、c，如果(a,c)=1，c|ab，则必有c|b .3、集合{0，1，······9998}中有多少个元素与9999互素？4、已知a=5,b=42,n=265, 求a b mod n .5、求如下同余式组的解x≡1(mod 5)x≡3(mod 7)x≡2(mod 9)6、求同余式x5-x4+x2+6≡(mod 73)的所有解。
7、求J(29,97)的值。
8、求x2≡13（mod 113）的解。
9、已知59582=2×313，求模59582的一个原根。
1.2008-05-04课堂补充求F2[x]中f(x)=x8+x4+x3+x+1的周期，并求y∈F2[x]/(f(x))，使得y、y2、y4、y8为F2[x]/(f(x))的基底2.2008-05-04课堂补充求F2[x]中f(x)=x8+x4+x3+x2+1的周期，并求y∈F2[x]/(f(x))，使得y、y2、y4、y8为F2[x]/(f(x))的基底3.2008-05-04课堂补充设a(x)=x3+x+1，b(x)=x2+x+1，计算a(x)+b(x)、a(x)．b(x)、a(x)/b(x)4.第11章课件2证明：如果α≠0和β都是有理数域Q上的代数数，则α+β和α-1也是有理数域Q上的代数数5.第11章课件3α叫做代数整数，如果存在一个首一正系数多项式f(x)，使得f(α)=0。
证明：如果α≠0和β是代数整数，则α+β和α-1也是代数整数6.第12章课件3证明x8+x4+x3+x+1是F2[x]中的不可约多项式，从而F2[x]/(x8+x4+x3+x+1)是一个F28域7.第12章课件4求F28=F2[x]/(x8+x4+x3+x+1)中的生成元g(x)，并计算g(x)t，t=1,2,…,255和所有生成元8.第12章课件3证明x8+x4+x3+x2+1是F2[x]中的不可约多项式，从而F2[x]/(x8+x4+x3+x2+1)是一个F28域2008-05-04交，共3题1.2008-04-18课堂补充求F2上的所有8次不可约多项式注：x8+x4+x3+x+1是不可约非本原多项式，用于AES；x8+x4+x3+x2+1是不可约本原多项式，用于欧洲通信标准提示：非零多项式有28-1=255个，次数为偶数时一定可约，奇数次系数为0时可约2.2008-04-30课堂补充求Q(√2，3√3)的基底3.2008-04-30课堂补充求u使Q(√2，√3)=Q(u)2008-04-18交，共9题1.对3DES对称密码算法的S盒进行轮换分解补充：DES算法标准FIPS 46-2 - (DES), Data Encryption Standard页面中搜索“PRIMITIVE FUNCTIONS FOR THE DATA ENCRYPTION ALGORITHM”就可找到标准建议的S盒函数还有一个C语言的3DES实现FPGA芯片上的3DES实现思路2.第十章课件14证明：置换群S4的一组生成元为(1,2),(1,3),(1,4)进一步，用该组生成元来给出S4的所有子群3.第十章课件154.2008-04-11课堂补充假设K是有限域，p是K的特征。
信息安全数学基础第二版课后练习题含答案
信息安全数学基础第二版课后练习题含答案介绍信息安全数学基础是一门重要的课程，它是信息安全领域的基础。
在这门课程中，我们将了解许多与信息安全相关的数学知识，例如模运算、质数、离散对数等。
这篇文章将涵盖信息安全数学基础第二版中的一些课后练习题，同时也包含答案。
练习题1. 模运算1.1 在模 10 算法下，求以下计算结果：1.(8 + 4) mod 10 =2.(4 - 8) mod 10 =3.(6 * 3) mod 10 =4.(7 * 8) mod 10 =5.(4 * 6 * 2) mod 10 =答案：1.22.63.84.65.22.1 以下哪些数为质数？1.152.433.684.915.113答案：2、53. 离散对数3.1 在模 13 算法下，计算以下离散对数：1.3 ^ x ≡ 5 (mod 13)2.5 ^ x ≡ 4 (mod 13)3.2 ^ x ≡ 12 (mod 13)答案：1.x = 92.x = 93.x = 44. RSA算法4.1 对于RSA算法，如果p = 71，q = 59，e = 7，n = pq，求以下结果：1.φ(n) =2.d =3.明文为123，加密后的密文为？1.φ(n) = (p-1)(q-1) = 40002.d = 22873.加密后的密文为：50665. 椭圆曲线密码5.1 在GF(7)上，使用下列椭圆曲线：E: y^2 = x^3 + 2x + 2 \\pmod{7}计算点加：1.(1,2) + (5,4) =2.(3,6) + (3,6) =答案：1.(1,5)2.(0,3)结论本文介绍了信息安全数学基础第二版中的课后练习题，并包含了所有答案。
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信息安全数学基础习题答案
信息安全数学基础习题答案第一章整数的可除性1．证明：因为2|n 所以n=2k , k∈Z5|n 所以5|2k ，又（5，2）=1，所以5|k 即k=5 k1，k1∈Z7|n 所以7|2*5 k1 ,又（7，10）=1，所以7| k1即k1=7 k2，k2∈Z 所以n=2*5*7 k2即n=70 k2, k2∈Z因此70|n2．证明：因为a3-a=(a-1)a(a+1)当a=3k，k∈Z 3|a 则3|a3-a当a=3k-1，k∈Z 3|a+1 则3|a3-a当a=3k+1，k∈Z 3|a-1 则3|a3-a所以a3-a能被3整除。
3．证明：任意奇整数可表示为2 k0+1，k0∈Z（2 k0+1）2＝4 k02+4 k0+1=4 k0 (k0+1)+1由于k0与k0+1为两连续整数，必有一个为偶数，所以k0 (k0+1)=2k所以（2 k0+1）2=8k+1 得证。
4．证明：设三个连续整数为a-1,a,a+1 则(a-1)a(a+1)= a3-a由第二题结论3|（a3-a）即3|(a-1)a(a+1)又三个连续整数中必有至少一个为偶数，则2|(a-1)a(a+1)又（3，2）=1 所以6|(a-1)a(a+1) 得证。
5．证明：构造下列k个连续正整数列：(k+1)！+2, (k+1)！+3, (k+1)！+4,……, (k+1)！+(k+1), k∈Z对数列中任一数 (k+1)！+i=i[(k+1)k…(i+1)(i-1)…2*1+1], i=2,3,4,…(k+1)所以i|(k+1)！+i 即(k+1)！+i为合数所以此k个连续正整数都是合数。
6．证明：因为1911/2＜14 ,小于14的素数有2，3，5，7，11，13经验算都不能整除191 所以191为素数。
因为5471/2＜24 ,小于24的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23经验算都不能整除547 所以547为素数。
由737=11*67 ,747=3*249 知737与747都为合数。
信息安全数学基础习题答案
因此70|n
2．证明：因为a3-a=(a-1)a(a+1)
当a=3k，k Z 3|a 则3|a3-a
当a=3k-1，k Z 3|a+1 则3|a3-a
当a=3k+1，k Z 3|a-1 则3|a3-a
所以a3-a能被3整除。
3．证明：任意奇整数可表示为2 k0+1， k0 Z
（2 k0+1）2＝4 k02+4 k0+1=4 k0 (k0+1)+1
由于k0与k0+1为两连续整数，必有一个为偶数，所以k0 (k0+1)=2k
所以（a+b,4）=4
37．证明：反证法
假设n为素数，则n| a2- b2=(a+b)(a-b)
由1.4定理2知n|a+b或n|a-b,与已知条件矛盾
所以假设不成立，原结论正确，n为合数。
40．证明：（1）假设是21/2有理数，则存在正整数p，q，使得21/2=p/q,且（p, q）=1
=13*41-14*(161-3*41)
=-14*161+55*(363-2*161)
=55*363+(-124)*(1613-4*363)
=(-124)*1613+551*(3589-2*1613)
所以（2t+1,2t-1）=1
（2）解：2(n+1)=1*2n+2
2n=n*2
所以（2n,2(n+1)）=2
32．（1）解：1=3-1*2
=3-1*(38-12*3)
=-38+13*(41-1*38)
信息安全数学基础参考试卷.doc
《信息安全数学基础》参考试卷一．选择题(在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下列叙述中的括号内，多选不给分)：（每题2分，共20分）1．576的欧拉函数值(576) ＝()。
(1) 96，(2) 192，(3) 64，(4) 288。
2．整数kn和k(n+2)的最大公因数(kn , k(n+2))=()。
(1) 1或2，(2) kn ，(3) n 或kn ，(4) k 或2 k。
3．模10的一个简化剩余系是( )。
(1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10，(2) 11, 17, 19 , 27(3) 11, 13, 17, 19，(4) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9。
4．29模23的逆元是( )。
(1) 2，(2) 4，(3) 6，(4) 11。
5．设m1，m2是两个正整数，x1遍历模m1的完全剩余系，x2遍历模m2的完全剩余系，若( )遍历m1m2的完全剩余系。
(1) (m1，m2)=1，则m1x1＋m2x2(2) m1和m2是素数，则m1x1＋m2x2(3) (m1，m2)=1，则m2x1＋m1x2(4) m1和m2是素数，则m2x1＋m1x2 6．下面的集合和运算构成群的是( ) 。
(1) <N，＋> （N是自然数集，“＋”是加法运算）(2) <R，×> （R是实数集，“×”是乘法运算）(3) <Z，＋> （Z是整数集，“＋”是加法运算）(4) <P（A），∩> （P(A)＝{U | U是A的子集}是集合A的幂集，“∩”是集合的交运算）7．下列各组数对任意整数n均互素的是( ) 。
(1) 3n+2与2n，(2) n－1与n2＋n＋1，(3) 6n+2与7n，(4) 2n+1与4n+1。
8．一次同余式234x ≡30（mod 198）的解数是( )。
(1) 0，(2) 6，(3) 9，(4) 18。
信息安全数学基础参考试卷
《信息安全数学基础》参考试卷一．选择题(在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下列叙述中的括号内，多选不给分)：（每题2分，共20分）1．576的欧拉函数值ϕ(576) ＝()。
(1) 96，(2) 192，(3) 64，(4) 288。
2．整数kn和k(n+2)的最大公因数(kn , k(n+2))=()。
(1) 1或2，(2) | kn|，(3) | n|或| kn|，(4) | k|或2| k|。
3．模10的一个简化剩余系是( )。
(1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10，(2) 11, 17, 19 , 27(3) 11, 13, 17, 19，(4) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9。
4．29模23的逆元是( )。
(1) 2，(2) 4，(3) 6，(4) 11。
5．设m1，m2是两个正整数，x1遍历模m1的完全剩余系，x2遍历模m2的完全剩余系，若( )遍历m1m2的完全剩余系。
(1) (m1，m2)=1，则m1x1＋m2x2(2) m1和m2是素数，则m1x1＋m2x2(3) (m1，m2)=1，则m2x1＋m1x2(4)m1和m2是素数，则m2x1＋m1x26．下面的集合和运算构成群的是( ) 。
(1) <N，＋> （N是自然数集，“＋”是加法运算）(2) <R，×> （R是实数集，“×”是乘法运算）(3) <Z，＋> （Z是整数集，“＋”是加法运算）(4) <P（A），∩> （P(A)＝{U | U是A的子集}是集合A的幂集，“∩”是集合的交运算）7．下列各组数对任意整数n均互素的是( ) 。
(1) 3n+2与2n，(2) n－1与n2＋n＋1，(3) 6n+2与7n，(4) 2n+1与4n+1。
8．一次同余式234x ≡ 30（mod 198）的解数是( )。
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x ≡ b k (mod m k )
有唯一解。
令m ＝m 1…m k ，m ＝m i M i ，i ＝1,…,k ，则同余式组的解为： x ≡ M 1' M 1b 1＋…＋ M k ' M k b k (mod m ) ， 其中 M i ' M i ≡1 (mod m i ) , i ＝1 , 2 ,…, k 。
9．正整数n 有标准因数分解式为 k k
p p n αα 1
1=，则n 的欧拉函数 。
10．设G 和G ' 是两个群，f 是G 到G ' 的一个映射。
如果对任意的a , b ∈G ，都有 f (ab )=f (a )f (b ) ，那么，f 叫做G 到G ' 的一个同态。
三．证明题 （写出详细证明过程）：（共30分）
1．证明：形如4k +3的素数有无穷多个。
（6分）
证明 分两步证明。
先证形如4k ＋3的正整数必含形如4k ＋3的素因数。
由于任一奇素数只能写成4n ＋1或4n ＋3的形式，而 (4n 1＋1)(4n 2＋1)＝16n 1n 2＋4n 1＋4n 2＋1
＝4(4n 1n 2＋n 1＋n 2)＋1, 所以把形如4n ＋1的数相乘的积仍为4n ＋1形式的数。
因此，把形如4k ＋3的整数分解成素数的乘积时， 这些素因数不可能都是4n ＋1的形式的素数，一定含有 4n ＋3形式的素数。
其次，设 N 是任一正整数，并设
p 1, p 2 , … , p s 是不超过N 的形如4k ＋3的所有素数。
令q ＝4p 1 p 2 … p s －1。
显然，每个p i (i ＝1, 2, …, s)都 不是 q 的素因数，否则将会导致 p i |1，得到矛盾。
如果 q 是素数，由于
q ＝4p 1 p 2 … p s －1＝4(p 1 p 2 … p s －1)＋3，即 q 也是
121111
()(1)(1)(1)(1)p n
k n n n p p p p ϕ=-=---∏
形如4k＋3的素数，并且显然q≠p i(i＝1, 2, …, s)，
从而q > N。
即q是形如4k＋3的大于N的素数。
如果q 不是素数，由第一步证明知q含有形如4k＋3
的素因数p，同样可证p≠p i(i＝1, 2, …, s)，从而p > N。
即p 是形如4k＋3的大于N的素数。
由于N是任意的正整数，因此证明了
形如4k＋3的素数有无穷多个。
2．．设a, b是两个整数，其中b>0。
则存在唯一一对整数q, r 使得a = bq + r，0 ≤r < b。
（6分）
证明：存在性. 考虑整数序列：
…, -3b, -2b, -b, 0, b, 2b, 3b, …
序列的各项把实数轴划分成长度为b的区间，a一定落在其中的一个区间中。
因此，存在一个整数q使得qb≤a< (q+1)b，
即0 ≤a-bq< b。
令r＝a-bq，则有 a = bq + r，0 ≤r < b。
唯一性. 假设还有一对整数q1, r1也满足：
a = bq1+ r1，0 ≤r1 < b。
(2)
(1)和(2)两式相减得
b(q - q1)＝- (r - r1)。
(3)
当q ≠q1时，(3)式左边的绝对值大于等于b，而右边的绝对值小于b，得到矛盾。
故q ＝q1，r ＝r1。
3．设p，q是两个不同的奇素数，n＝pq，a是与pq互素的整数。
整数e 和d满足(e, ϕ (n))＝1，ed≡ 1 (mod ϕ (n))，1 < e < ϕ (n)，1 ≤ d< ϕ (n)。
证明：对任意整数c，1 ≤c< n，若a e≡c(mod n)，则有c d≡a(mod n)。
（12分）
证明：
因为(e , ϕ (n )) ＝1，根据2.3定理4，存在整数d ， 1≤d < ϕ (n ) , 使得
ed ≡1(mod ϕ (n )) 因此，存在一个正整数 k 使得 ed ＝1＋k ϕ (n ) 。
由， a 与n ＝ pq 互素知，(a , p )＝1根据Euler 定理， a ϕ (p )≡1 (mod p ) 两端作 k (ϕ (n ) / ϕ (p )) 次幂得， a k ϕ (n )≡1 (mod p ) 两端乘以 a 得到 a 1＋k ϕ (n )≡a (mod p ) 即 a ed ≡a (mod p ) 同理， a ed ≡a (mod q )
因为 p 和 q 是不同的素数，根据2.1定理12， a ed ≡a (mod n ) 因此，
c d ≡(a e )d ≡a (mod n )
4．证明：设p 和q 是两个不相等的素数，证明：111(mod )q p p q pq --+=。
（6分）
证明：因为p 和q 是两个不相等的素数，由Euler 定理，()1
1mod p q p -≡，()11mod q p q -≡，
所以
()(
)111
1
1m o d ,1m o d q p q p p q p
p q q ----+≡+
≡
，而
(),1p q =，因此
()111mod q p p q pq --+≡。
四．计算题（写出详细计算过程）：（共30分）
1．用模重复平方法计算12996227 (mod 37909)。
（6分） 设 m =37909, b =12996, 令a =1, 将227写成二进制， 227=1+2+25+26+27
运用模重复平方法，我们依次计算如下: (1) n 0=1,计算
a 0= a ×
b ≡12996 , b 1≡b 2≡11421 (mod 37909)
(2) n1=1 , 计算
a1=a0×b1≡13581 , b2≡b12≡32281 (mod 37909)
(3) n2=0 ,计算
a2=a1≡13581 , b3≡b22≡20369(mod 37909)
(4) n3=0 , 计算
a3=a2≡13581 , b4≡b32≡20065(mod 37909)
(5) n4=0 , 计算
a4=a3≡13581 , b5≡b42≡10645(mod 37909)
(6) n5=1 , 计算
a5=a4×b5≡22728 , b6≡b52≡6024(mod 37909)
(7) n6=1 , 计算
a6= a5×b6≡24073 , b7≡b62≡9663(mod 37909)
(8) n7=1,计算
a7= a6×b7≡7775 (mod 37909)
最后，计算出
12996 227≡7775 (mod 37909)
2．设a＝－1859，b＝1573，运用广义欧几里得除法
(1) 计算(a, b)；(2) 求整数s，t使得sa＋tb＝(a, b)。
（8分）737＝1•635＋102，102＝737－1•635
635 ＝6• 102 ＋23，23＝635 －6•102
102＝4•23＋10，10＝102－4•23
23＝2•10＋3，3＝23－2•10
10＝3•3＋1，1＝10－3•3
1＝10－3•3
＝(102－4•23)－3(23－2•10)
＝102－7 • 23＋6 • 10
＝102－7 • 23＋6 (102－4•23)
＝7 • 102－31• 23
＝7 • 102－31• (635－6•103)
＝193 • 102 －31• 635
＝193 •(737－1•635) －31• 635
＝193 •737－224•635
所以s＝193，t＝－224，使得
193 • 737＋(－224) • 635＝1。
3．运用中国剩余定理和欧拉定理计算21000000 (mod 77)。
（16分）利用2.4 定理1 (Euler定理)及中国剩余定理计算。
令x＝21000000 , 因为77 ＝7 · 11，所以，
计算x＝21000000 (mod 77) 等价于求解同余式组
x＝21000000 ≡b1 (mod 7)
x＝21000000 ≡b2 (mod 11)
(7) ≡26 ≡1 (mod 7) ,
因为Euler 定理给出2
以及1000000 ＝166666 · 6＋4，所以
b1 ≡21000000 ≡(26)166666 · 24 ≡2 (mod 7)。
ϕ(11) ≡210 ≡1 (mod 11)，
类似地，因为2
1000000＝100000 · 10，所以
b2 ≡21000000≡(210)1000000 ≡1 (mod 11)。
x≡2(mod 7)
x≡1(mod 11)
令m1＝7, m2＝11, m＝m1 ·m2＝77
M1 ＝m2 ＝11, M2 ＝m1 ＝7
分别求解同余式
M1'· 11≡1 (mod 7)，M2'· 7≡1 (mod 11)
得到M1'＝2 , M2'＝8。
故x≡2 · 11 ·2＋8 ·7 · 1≡100 ≡23(mod 77)
因此，2100000000 ≡23（mod 77)。