指数曲线趋势外推法 ppt
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趋势外推法ppt课件
两边取对数：ln yˆt ln a bt
产生序列 ln yt ，之后进行普通最小二乘估计该 模型,最终得到估计模型为：
yˆt 303.69 e0.0627t
20
其中调整的 R2 0.9547 ，F 632.6 F0.05(1,30) ，则 方程通过显著性检验，拟合效果很好。标 准误差为：175.37。
所求修正指数曲线预测模型:
yt 73.1738 22.2719 0.5556t
预测2000年的社会总需求量:
yt 73.1738 22.2719 0.55569 73.1
29
此例反映了这样的时间序列变化规律: 初期迅速增加,一段时期后增长量逐渐降低,而逐增
长量的环比速度又大体上一致,最后发展水平趋向于 某一正的常数极限,那么,这种时间序列的发展趋势就 适宜用修正指数曲线来描述和预测。
SE ( y yˆ)2 n
例3:下表是我国1952年到1983年社会商品零售 总额(按当年价格计算），分析预测我国社会商 品零售总额 。
16
年份
1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962
时序 （t）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
yt ,
t 0,1,2,3n 1
n1
2n1
3n1
S1 yt , S2 yt , S3 yt
t0
tn
t2n
于是得A、B、K的估计式为
1
B
S3 S2
S2 S1
n
A
B
1S
2
S1
n
2
B 1
K
1 n
S1
A
B
产生序列 ln yt ，之后进行普通最小二乘估计该 模型,最终得到估计模型为：
yˆt 303.69 e0.0627t
20
其中调整的 R2 0.9547 ，F 632.6 F0.05(1,30) ，则 方程通过显著性检验，拟合效果很好。标 准误差为：175.37。
所求修正指数曲线预测模型:
yt 73.1738 22.2719 0.5556t
预测2000年的社会总需求量:
yt 73.1738 22.2719 0.55569 73.1
29
此例反映了这样的时间序列变化规律: 初期迅速增加,一段时期后增长量逐渐降低,而逐增
长量的环比速度又大体上一致,最后发展水平趋向于 某一正的常数极限,那么,这种时间序列的发展趋势就 适宜用修正指数曲线来描述和预测。
SE ( y yˆ)2 n
例3:下表是我国1952年到1983年社会商品零售 总额(按当年价格计算），分析预测我国社会商 品零售总额 。
16
年份
1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962
时序 （t）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
yt ,
t 0,1,2,3n 1
n1
2n1
3n1
S1 yt , S2 yt , S3 yt
t0
tn
t2n
于是得A、B、K的估计式为
1
B
S3 S2
S2 S1
n
A
B
1S
2
S1
n
2
B 1
K
1 n
S1
A
B
时间序列分解法和趋势外推法讲义(PPT46张)
2 ˆ a bt ct 简捷最小平方法：y t
y t na c t ty t b t t t
2 3 2
2
yt yt
a t c t b t d
d
2
t
4
4
4
t6
几点说明: 原点位置：时间数列的第一项或正中位置;
yt
n ty t
t
2
（2）选点法：
TR 每点选五项： b n 5 （n>10） R a 11 b
3
( 数列首 尾各 取 5 项加权平均
每点选三项 (6≤n<0)
TR b n 3 7 a R 3b
( 数列首 尾 各取 3 项加权平均
年＼季
实际销 售额
趋势循 环因子 （移动 平均） 3909 3982 4029 4111
3017 3043 2094 2809 2773 2820
2000.1 2 3 4
3849 3701 2642 3585
2004.1 2 3 4
4360 4360 3172 4223
1997.1
2 3 4 1998.1 2
yt ka
bt 数列取对数后逐期增长量的环比发展速度为常数
数列取倒数后逐期增长量的环比发展速度为常数
4.3
多项式曲线趋势外推法
一、多项式曲线模型及模型特征 2 3 t
ˆ y a bt ct dt
ˆ y a bt ct t
2
1.二次抛物线
2.参数的经济含义
a：原点的趋势水平值； b：时间每变化一个单位的趋势增长速度；
y t na c t ty t b t t t
2 3 2
2
yt yt
a t c t b t d
d
2
t
4
4
4
t6
几点说明: 原点位置：时间数列的第一项或正中位置;
yt
n ty t
t
2
（2）选点法：
TR 每点选五项： b n 5 （n>10） R a 11 b
3
( 数列首 尾各 取 5 项加权平均
每点选三项 (6≤n<0)
TR b n 3 7 a R 3b
( 数列首 尾 各取 3 项加权平均
年＼季
实际销 售额
趋势循 环因子 （移动 平均） 3909 3982 4029 4111
3017 3043 2094 2809 2773 2820
2000.1 2 3 4
3849 3701 2642 3585
2004.1 2 3 4
4360 4360 3172 4223
1997.1
2 3 4 1998.1 2
yt ka
bt 数列取对数后逐期增长量的环比发展速度为常数
数列取倒数后逐期增长量的环比发展速度为常数
4.3
多项式曲线趋势外推法
一、多项式曲线模型及模型特征 2 3 t
ˆ y a bt ct dt
ˆ y a bt ct t
2
1.二次抛物线
2.参数的经济含义
a：原点的趋势水平值； b：时间每变化一个单位的趋势增长速度；
07趋势外推预测方法
21
第21页，共95页。
表7.1.5
22
第22页，共95页。
图7.1.1
23
第23页，共95页。
❖ 解：
第一步，根据表7.1.5的数据，进行滑动时段长为4的滑动平均，得 到如表7.1.6的滑动平均值。这些数值消除了季节波动与随机干扰 的影响，显示出序列的趋势变化，见表7.1.6中Tt列中的数据。
S (1) t
yt
(1
)
S (1) t 1
S (2) t
S (1) t
(1
)
S (2) t 1
yˆtT at btT
at
2St(1)
S (2) t
bt
1
(
S (1) t
St(2) )
8
第8页，共95页。
❖ 4、样本序列具有线性趋势和季节波动的外推预 测法
– 经济时间序列一般可以分解为四个因素：长期趋势T、 周期变动C、季节因素S和随机因素I，并有如下三种模 型： 乘法模型： Y=TCSI
yˆnT [a b(n T )] SnT
yˆ21 25 2 21 S21 67 S1 67 5.35 61.65
yˆ22 25 2 22 S22 67 S2 69 4.65 73.65
yˆ23 25 2 23 S23 67 S3 71 6.45 77.45
加法模型： T=T+C+S+I
混合模型： Y=TC+SI – 下面分别介绍加法型和乘法型序列的趋势外推预测方法。
9
第9页，共95页。
– （1）加法型序列的外推预测法
假设样本序列为 y1, y2 , 序, y列n yt是加法型，即
yt Tt St t
第21页，共95页。
表7.1.5
22
第22页，共95页。
图7.1.1
23
第23页，共95页。
❖ 解：
第一步，根据表7.1.5的数据，进行滑动时段长为4的滑动平均，得 到如表7.1.6的滑动平均值。这些数值消除了季节波动与随机干扰 的影响，显示出序列的趋势变化，见表7.1.6中Tt列中的数据。
S (1) t
yt
(1
)
S (1) t 1
S (2) t
S (1) t
(1
)
S (2) t 1
yˆtT at btT
at
2St(1)
S (2) t
bt
1
(
S (1) t
St(2) )
8
第8页，共95页。
❖ 4、样本序列具有线性趋势和季节波动的外推预 测法
– 经济时间序列一般可以分解为四个因素：长期趋势T、 周期变动C、季节因素S和随机因素I，并有如下三种模 型： 乘法模型： Y=TCSI
yˆnT [a b(n T )] SnT
yˆ21 25 2 21 S21 67 S1 67 5.35 61.65
yˆ22 25 2 22 S22 67 S2 69 4.65 73.65
yˆ23 25 2 23 S23 67 S3 71 6.45 77.45
加法模型： T=T+C+S+I
混合模型： Y=TC+SI – 下面分别介绍加法型和乘法型序列的趋势外推预测方法。
9
第9页，共95页。
– （1）加法型序列的外推预测法
假设样本序列为 y1, y2 , 序, y列n yt是加法型，即
yt Tt St t
第四章：需求预测：时间序列分解法和趋势外推法(旅游地理学(PPT))
4.6 曲 线 拟 合 优 度 分 析
一、曲线的拟合优度分析
如前所述，实际的预测对象往往无法 通过图形直观确认某种模型，而是与几种 模型接近。这时，一般先初选几个模型， 待对模型的拟合优度分析后再确定究竟用 哪一种模型。
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拟合优度指标： 评判拟合优度的好坏一般使用标准误差来作 为优度好坏的指标：
解这个四元一次方程就可求得参数。
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4.4 指 数 曲 线 趋 势 外 推 法
一、指数曲线模型及其应用 指数曲线预测模型为：
yt = aebt
(a > 0)
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t = aebt 做线性变换得： 对函数模型 y
ln yt = ln a + bt
令
Yt = ln yt , A = ln a
进行预测将会取得较好的效果。
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二、三次多项式曲线预测模型及其应用 三次多项式曲线预测模型为：
yt = b0 + b1t + b2t + b3t
2
3
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y 设有一组统计数据 y1 ，y2 ，…， n ，令
Q(b0 , b1 , b2 , b3 ) = ∑ ( yt yt ) = ∑ ( yt b0 b1t b2t 2 b3t 3 ) 2 = 最小值
（2）假定事物的发展因素也决定事物未来的发展， 其条件是不变或变化不大。
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二 、趋势模型的种类 多项式曲线外推模型： 一次（线性）预测模型：
y t = b 0 + b1t
y t = b 0 + b1 t + b 2 t 2 二次（二次抛物线）预测模型：
5预测与决策-趋势外推法
1200 1000
800 600
利利润润额额yt yt
线性 (利润额 yt)
y a bt
400
200
0 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
某家用电器厂1993～2003年利润额数据资料
y a ebt
0
1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
1200 1000
800 600
利润额 yt
系列2
线性 (利润额 yt)
yc a2 b2t
yc a1 b1t
yc a3 b3t
1200 1000
利润额 yt
1200 1000
利润额 yt
800
800
600
600
400
400
200
200
0
1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
0
1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
利润额 1200 1000
800 600 400 200
0 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
利润额 t t2 年份 y
ty 预测 值yc
1993 200 1 1 200 191
指数曲线趋势外推法PPT.
对5.3于这种粘壁，3.3常安用排（后1续）面振试动法（间歇手动，间歇或连续电动、气动）（2）空气吹扫法（3）转动链条连续清除法。（4）转动刮刀
例如，运输工具的速度、发动机效率、电站容 连怀续疑清 是除指法客。户可能听到了一些不真实的信息。这种怀疑来自方方面面，一个是社会的大气候，大家都在讲降价，那款车降价了，这款
为1、多游效泳蒸前发必。须显进然行，身由体于检充查分，利体用检了合二格次方蒸可汽游，泳多。效蒸发具有节能降耗的优点。
这个时期内，很多技术特性的发展是符合指数增长 ② 小查提找示感 91染：源小：组感面控试科成协员助在检面验试科之对前病应人定、下接各触自者要、问可的疑问传题染。源、环境、物品、医务人员及陪护人员等进行相关病原学检查。
2001 3
6.11
2002 4
6.61
2003 5
7.11
2004 6
7.61
2005 7
8.05
2006 8
8.61
2007 9
9.11
最小二乘法求解：
1.1.10为岗位重新定位 不偏食，不挑食。 教学过程：
tY ntY C运动量适度：运动量是指在运动的过程中，完成动作的数量、质量、时间、强度和密度等。
y
y
0
x
0
x
指数曲线
y
b>0 b>0,增长率随着时间t的 增加而增加
a
b<0,增长率随着时间t的
b<0 增加而降低
0
t
返回
时序
1 2 3 4 ··· t-1 t
指数曲线模型表差分分析计算
yt=aebt
aeb ae2b
一阶差比率 （yt/yt-1）
-
例如，运输工具的速度、发动机效率、电站容 连怀续疑清 是除指法客。户可能听到了一些不真实的信息。这种怀疑来自方方面面，一个是社会的大气候，大家都在讲降价，那款车降价了，这款
为1、多游效泳蒸前发必。须显进然行，身由体于检充查分，利体用检了合二格次方蒸可汽游，泳多。效蒸发具有节能降耗的优点。
这个时期内，很多技术特性的发展是符合指数增长 ② 小查提找示感 91染：源小：组感面控试科成协员助在检面验试科之对前病应人定、下接各触自者要、问可的疑问传题染。源、环境、物品、医务人员及陪护人员等进行相关病原学检查。
2001 3
6.11
2002 4
6.61
2003 5
7.11
2004 6
7.61
2005 7
8.05
2006 8
8.61
2007 9
9.11
最小二乘法求解：
1.1.10为岗位重新定位 不偏食，不挑食。 教学过程：
tY ntY C运动量适度：运动量是指在运动的过程中，完成动作的数量、质量、时间、强度和密度等。
y
y
0
x
0
x
指数曲线
y
b>0 b>0,增长率随着时间t的 增加而增加
a
b<0,增长率随着时间t的
b<0 增加而降低
0
t
返回
时序
1 2 3 4 ··· t-1 t
指数曲线模型表差分分析计算
yt=aebt
aeb ae2b
一阶差比率 （yt/yt-1）
-
指数曲线趋势外推法.
对函数模型进行变换，得：lnyt=lna+bt 令Y=lnyt，A=lna，则原函数转化为线 性函数： Y=A+bt
在上式模型中，a,b都是参数，可以通过 最小二乘法求解。
选择指数趋势法
1.图形识别法
图形
2.差分法 如果时间序列各期数值的一阶差比率相 等或大致相等，就可以通过指数曲线模型 进行预测。
t
aetb
eb
返回
指数曲线趋势外推法应用
• 例如，某商品1997~2007年投入市场以来， 社会总需求量统计资料如表所示，预测 2008年的社会总需求。
某商品社会总需求量资料 年份 总需求量 （万件） 1999 165 2000 270 2001 450 2002 740 2003 1220 2004 2010 2005 3120 2006 5460 2007 9000
• 指数曲线法（Fxponential curve）是一种重 要的趋势外推法。当描述某一客观事物的参 数在散点图上构成指数曲线或近似指数曲线 时，表明该事物的发展是按指数规律或近似 指数规律变化。如果在预测期限内，有理由 说明该事物仍将按此规律发展，则可按指数 曲线外推。
习题
指数曲线预测模型：yt=aebt (a>0)
指数曲线图形
y
y
0
xБайду номын сангаас
0
x
指数曲线
y b>0
b>0,增长率随着时间t的 增加而增加
a b<0 0
b<0,增长率随着时间t的 增加而降低
t
返回
指数曲线模型表差分分析计算
时序 1 2 3 4 · · · t-1 ae(t-1)b yt=aebt aeb ae2b ae3b ae4b 一阶差比率 （yt/yt-1） eb eb eb · · · eb
在上式模型中，a,b都是参数，可以通过 最小二乘法求解。
选择指数趋势法
1.图形识别法
图形
2.差分法 如果时间序列各期数值的一阶差比率相 等或大致相等，就可以通过指数曲线模型 进行预测。
t
aetb
eb
返回
指数曲线趋势外推法应用
• 例如，某商品1997~2007年投入市场以来， 社会总需求量统计资料如表所示，预测 2008年的社会总需求。
某商品社会总需求量资料 年份 总需求量 （万件） 1999 165 2000 270 2001 450 2002 740 2003 1220 2004 2010 2005 3120 2006 5460 2007 9000
• 指数曲线法（Fxponential curve）是一种重 要的趋势外推法。当描述某一客观事物的参 数在散点图上构成指数曲线或近似指数曲线 时，表明该事物的发展是按指数规律或近似 指数规律变化。如果在预测期限内，有理由 说明该事物仍将按此规律发展，则可按指数 曲线外推。
习题
指数曲线预测模型：yt=aebt (a>0)
指数曲线图形
y
y
0
xБайду номын сангаас
0
x
指数曲线
y b>0
b>0,增长率随着时间t的 增加而增加
a b<0 0
b<0,增长率随着时间t的 增加而降低
t
返回
指数曲线模型表差分分析计算
时序 1 2 3 4 · · · t-1 ae(t-1)b yt=aebt aeb ae2b ae3b ae4b 一阶差比率 （yt/yt-1） eb eb eb · · · eb
第3章 趋势外推预测法.ppt
aˆ yt bˆxt 191 .0, bˆ
t 1 n
t 1
t 1
n
82.7
n
x
2 t
(
xt )2
t 1
t 1
直线方程为
yˆt 191 .0 82.7xt (3.10)
(4) 用拟合直线方程求预测值。
按式（3.9）进行预测：
yˆ2004 =604.5+82.7×6=1100.7（万元） yˆ2005 =604.5＋82.7×7=1183.4（万元）
t 1
都有同样的重要性,即不论这个误差是近期的或是远期
的,都赋予同等的权数。
第3章 趋势外推预测法
但事实上,对于预测精确度来说,近期的误差比远期误
差更为重要。如一个经济现象,在预测期前的几期递增趋
势明显且稳定,而远期的数量指标曾有过较大的跳动,按最
小平方法,尽管时间序列后几期的误差平方都不大,但由于
0
2
4
6
xt
图3.1 某家用电器厂年利润散点图
第3章 趋势外推预测法
(2) 列表计算求待定系数所需的数据资料。
yˆt 191 .0 82.7xt
(3.8)
n
表3.1的左边(第3列)
n
值，
yt 6650
xt n 0来进行自变量xt的取
t 1 ,
x
2 t
110
,
n
xt yt
bˆ 为趋势直线的斜率。
yt为时间序列第t期实际观察值(t=1, 2, …, n),
yˆ t 为趋势直线的第t期预测值,et为第t期实际观察值与
其预测值的离差, et yt yˆt yt aˆ bˆxt
科技预测之德尔菲法趋势外推法生长曲线法形态分析法情景分析法ppt课件
德尔菲法的缺点：
在综合预测值时，仅根据各专家的主观判断，缺乏客观 标准，而且显得强求一致。有的专家由于一些主客观原因， 对表格的填写未经过深入的调查和思考，从而影响到评价 结果的准确性。
8
3.2 趋势外推法
9
3.2 趋势外推法
内涵
趋势外推法是一种特殊的回归分析法，根据已 知的历史资料来拟合一条曲线，使得这条曲线能反 映负荷本身的增长趋势，然后按照这个增长趋势曲 线，对未来某一时间点估计出其的负荷预测值。
45
3.7 其他方法
• 历史对比法（见第25章） • 监控
专利分析（引文、网络、关键词、地图） 研究报告、行业内部报告、会展……
• 缺点
耗时长 费用高 主观色彩较重 “隧道眼光”
34
3.4 情景分析法
适用环境
情景分析法适用于资金密集、产品/技术开发的前导 期长、战略调整所需投入大、风险高的产业,如石油、钢 铁等产业。情景分析法还适用于不确定因素太多,无法进 行唯一准确预测的情况,例如:制药业、金融业、股市等。
著名的皇家壳牌石油公司,以注重战略规划著称,关键之一就是运用 情景分析法。该公司70年代成功地预测了因OPEC的出现而导致原油价格 上涨和80年代由于OPEC石油供应配额协议的破裂而导致原油价格的下跌。 此后,该公司一举成为全球第二大石油公司。
4
3.1 德尔菲法
5
3.1 德尔菲法
内涵
德尔菲法也称专家调查法，是一种采用通讯方式 分别将所需解决的问题单独发送到各个专家手中征询 意见，然后回收汇总全部专家的意见，并整理出综合 意见。随后将该综合意见和预测问题分别反馈给专家， 再次征询意见，各专家依据综合意见修改自己原有的 意见，然后再汇总。经过多次反复后取得比较一致的 预测结果。
在综合预测值时，仅根据各专家的主观判断，缺乏客观 标准，而且显得强求一致。有的专家由于一些主客观原因， 对表格的填写未经过深入的调查和思考，从而影响到评价 结果的准确性。
8
3.2 趋势外推法
9
3.2 趋势外推法
内涵
趋势外推法是一种特殊的回归分析法，根据已 知的历史资料来拟合一条曲线，使得这条曲线能反 映负荷本身的增长趋势，然后按照这个增长趋势曲 线，对未来某一时间点估计出其的负荷预测值。
45
3.7 其他方法
• 历史对比法（见第25章） • 监控
专利分析（引文、网络、关键词、地图） 研究报告、行业内部报告、会展……
• 缺点
耗时长 费用高 主观色彩较重 “隧道眼光”
34
3.4 情景分析法
适用环境
情景分析法适用于资金密集、产品/技术开发的前导 期长、战略调整所需投入大、风险高的产业,如石油、钢 铁等产业。情景分析法还适用于不确定因素太多,无法进 行唯一准确预测的情况,例如:制药业、金融业、股市等。
著名的皇家壳牌石油公司,以注重战略规划著称,关键之一就是运用 情景分析法。该公司70年代成功地预测了因OPEC的出现而导致原油价格 上涨和80年代由于OPEC石油供应配额协议的破裂而导致原油价格的下跌。 此后,该公司一举成为全球第二大石油公司。
4
3.1 德尔菲法
5
3.1 德尔菲法
内涵
德尔菲法也称专家调查法，是一种采用通讯方式 分别将所需解决的问题单独发送到各个专家手中征询 意见，然后回收汇总全部专家的意见，并整理出综合 意见。随后将该综合意见和预测问题分别反馈给专家， 再次征询意见，各专家依据综合意见修改自己原有的 意见，然后再汇总。经过多次反复后取得比较一致的 预测结果。
第三章-趋势外推预测法
❖ 第二步：确定参数。 ❖ 方法一： ❖ 直接计算公式里面的各个系数。
第五十页，编辑于星期二：二十点 五十七分。
❖ 方法二：添加趋势线。
12000 10000 8000
y = 56.72x2 + 352.13x + 2762.6 R2 = 0.9988
6000
4000
2000
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
第t+1期的预测值。 因此，上式可写成：Ft+1= aYt+(1-a)Ft
T=1,2,3,4….n。
第二十五页，编辑于星期二：二十点 五十七分。
模型关键：确定平滑系数和初始值 平滑系数a的确定： （1）当时间序列呈现较稳定的水平趋势时，a
应取小一些，如0.1~0.3，以减小修正幅度。 （2）当时间序列的波动较大时，应选择居中 的a值，如0.3-0.5。
第十页，编辑于星期二：二十点 五十七分。
const 可选。一个逻辑值，用于指定是否将常量 b 强 制设为 0。如果 const 为 TRUE 或被省略，b 将按通 常方式计算。如果 const 为 FALSE，b 将被设为 0， 并同时调整 m 值使 y = mx。stats 可选。一个逻辑 值，用于指定是否返回附加回归统计值。如果 stats 为 TRUE，则 LINEST 函数返回附加回归统计值。
第二页，编辑于星期二：二十点 五十七分。
1、最小二乘法确定直线方程
最小二乘法：通过对时间序列拟合直线，使得直线 上的预测值与实际观察值之间的离差平方和最小。
n
2
Q (yt aˆ bˆxt )
t 1
第三页，编辑于星期二：二十点 五十七分。
指数曲线模型的讲解=PPT课件
年份 1978 1979 1980 1981 1982 收购量 54.5 64.1 76.4 92.3 110.7 一阶差分 __ 9.6 12.3 15.9 18.4 二阶差分 __ __ 2.7 3.6 2.5
单位：万担
1983 1984 1985 132.2 156.8 183.6 21.5 24.6 26.8
1985 8 508 1
0.8 406.4 3251.20 6.4
51.2 508.01
1986 9 541 总计 — 3636
0
1
541 4869
9
81 542.61
— 4.3289 1958.74 13349.9 727.684 200.840 3637.8
13
.
解：列表计算有关数据。将计算的结果代入公式
1 R 15 ( y1 2 y2 3y3 4 y4 5 y5 )
S
1 15
(
yd
2
2 yd 1
3yd
4 yd 1
5yd2 )
T
1 15 ( yn4
2 yn3
3yn2
4 yn1
5yn )
19
.
这三点的横坐标也应取加权平均值，即：
16
.
2、用三点法确定待定系数
其原理：其理论值与实际值的离差代数和为零，即 ( yi yi ) 0
由于三个参数需三个方程估算，故将历史数据分解成三组：
2500 2000
销售额 销售额 二次趋势线
1500
1000
500
0
11999966 11999977 11999988 11999999 22000000 22000011 22000022 22000033 22000044 22000055 . 22000066
单位：万担
1983 1984 1985 132.2 156.8 183.6 21.5 24.6 26.8
1985 8 508 1
0.8 406.4 3251.20 6.4
51.2 508.01
1986 9 541 总计 — 3636
0
1
541 4869
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81 542.61
— 4.3289 1958.74 13349.9 727.684 200.840 3637.8
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.
解：列表计算有关数据。将计算的结果代入公式
1 R 15 ( y1 2 y2 3y3 4 y4 5 y5 )
S
1 15
(
yd
2
2 yd 1
3yd
4 yd 1
5yd2 )
T
1 15 ( yn4
2 yn3
3yn2
4 yn1
5yn )
19
.
这三点的横坐标也应取加权平均值，即：
16
.
2、用三点法确定待定系数
其原理：其理论值与实际值的离差代数和为零，即 ( yi yi ) 0
由于三个参数需三个方程估算，故将历史数据分解成三组：
2500 2000
销售额 销售额 二次趋势线
1500
1000
500
0
11999966 11999977 11999988 11999999 22000000 22000011 22000022 22000033 22000044 22000055 . 22000066
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eb
···
ae(t-1)b
eb
aetb
-
eb
返回
7
指数曲线趋势外推法应用
• 例如，某商品1997~2007年投入市场以来， 社会总需求量统计资料如表所示，预测 2008年的社会总需求。
某商品社会总需求量资料
年份 1999
总需求量 165 （万件）
2000 270
2001 450
2002 740
2003 1220
-
4
指数曲线图形
y
y
0
x
0
x
-
5
指数曲线
y
b>0 b>0,增长率随着时间t的 增加而增加
a
b<0,增长率随着时间t的
b<0 增加而降低
0
t
-
返回
6
时序
1 2 3 4 ··· t-1 t
指数曲线模型表差分分析计算
yt=aebt aeb
一阶差比率 （yt/yt-1）
-
ae2b
eb
ae3b
eb
ae4b
y ˆ20 09 8.4 9e0 8 .5 10 14.1 7(万 4 64 )件
接下来咱们一起看一下软件应用
-
14
应用
许多研究结果表明，技术发展往往表现为按指 数规律或近似指数规律增长，一种技术的发展通常 要经过发生、发展和成熟3个阶段。在技术发展进 入阶段之前，有一个高速发展时期。一般地说，在 这个时期内，很多技术特性的发展是符合指数增长 规律的。
例如，运输工具的速度、发动机效率、电站容 量、计算机的存贮容量 和运算速度等，其发展规 律均表现为指数增长趋势。
-
15
对于处在发生和发展阶段的技术，指 数曲线法是一种重要的预测方法，一次指 数曲线因与这个阶段的发展趋势相适应， 所以比较适合处于发生和发展阶段技术的 预测，修正指数曲线则主要用于经济方面 的预测。
• 指数曲线法（Fxponential curve）是一种重 要的趋势外推法。当描述某一客观事物的参 数在散点图上构成指数曲线或近似指数曲线 时，表明该事物的发展是按指数规律或近似 指数规律变化。如果在预测期限内，有理由 说明该事物仍将按此规律发展，则可按指数 曲线外推。
-
2
习题
指数曲线预测模型：yt=aebt (a>0)
变换数据如图所示：
观察值数据转换表
年份 时序 Y=lnYt
1999 1
5.11
2000 2 5.6
2001 3
6.11
2002 4
6.61
2003 5
7.11
2004 6
7.61
2005 7
8.05
2006 8
8.61
2007 9
9.11
-
11
最小二乘法求解：
｛b
tY t2
ntY
2
nt
AY-bt
0
一阶差比率 - 1.64 1.67 1.64 1.65 1.65 1.55 1.75 1.65
观察值yt的一阶差分比率大致相等，符 合指数曲线模型的数字特征。通过以上
的分析，可以选用模型yt=aebt。
-
10
第二步，求模型参数。
先将观察值yt的数据进行变换，使其满足 lnyt=lna+bt <=> Yt=A+bt
2004 2010
2005 3120
2006 5460
2007 9000
-
8
第一步，选择预测模型。
首先，绘制散点图。
-
9
• 其次，计算一阶差比率，并结合散点图最后确 定选用哪种模型。
指数曲线模型差分计算表
总需求量 165 270 450 740 1220 2010 3120 546 9000
Байду номын сангаас
（万件）
n9 ∑t = 45 ∑t2 = 285 Y=63.92
∑Y2 = 468.89 ∑tY= 349.51
t 1 t 5 n
Y 1nY 7.1
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12
根据上述公式，推出：
｛b≈0.5 A=4.6
因为 Alna
所以 aeAe4.69.4 98
所求指数模型：
yt 99.48e0.5t
-
13
第三步，预测2008年的需求量为：
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16
对函数模型进行变换，得：lnyt=lna+bt
令Y=lnyt，A=lna，则原函数转化为线 性函数：
Y=A+bt
在上式模型中，a,b都是参数，可以通过 最小二乘法求解。
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3
选择指数趋势法
1.图形识别法 图形
2.差分法 如果时间序列各期数值的一阶差比率相
等或大致相等，就可以通过指数曲线模型 进行预测。