高中数学课件-高三一轮复习--67几何概型

示，则其概率公式为 P(A)＝试验的构全成部事结件果A所的构区成域区角域度的角度. 2．解决此类问题时注意事件的全部结果构成的区域及所求 事件的所有结果构成的区域，然后再利用公式计算．
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3. 如图所示，在圆心角为90°的扇形中， 以圆心O为起点作射线OC，求使得
∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率．
解析：设阴影区域的面积为S，则S4＝23，∴S＝83.
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3 ． 在 棱 长 为 3 的 正 方 体 ABCD －
A1B1C1D1 内任取一点 P，则点 P 到正 方体各面的距离都不小于 1 的概率为
()
A.217
B.2267
C.287
D.18
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解析：正方体中到各面的距离不小于1的点的集合是一个中心 与原正方体中心重合，且棱长为1的正方体，该正方体的体积 是V1＝13＝1，而原正方体的体积为V＝33＝27，故所求的概 率为P＝VV1＝217. 答案：A
[答案]
13 16
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[悟一法] 本题是一个与面积有关的几何概型问题，当事件A 可以用面积来衡量时，我们可以利用其与整体事件所对 应的面积的比值来计算事件A发生的概率．
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[通一类] 2．已知向量a＝(2,1)，b＝(x，y)．
(1)若x∈{－1,0,1,2}，y∈{－1,0,1}，求向量a∥b的概率； (2)若x∈[－1,2]，y∈[－1,1]，求向量a，b的夹角是钝角的 概率．
1 6
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1．ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点．在长
方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的
概率为
()
π A.4
B．1－π4
C.π8
D．1－π8
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解析：长方形的面积为2×1＝2，而取到的点到O的距离小于 等于1的区域是以O为圆心，1为半径所作的半圆，对应的面 积为12×π×12＝12π，那么满足条件的概率为：
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4．如右图所示，在直角坐标系内，射线 OT 落在 60°角的终边上，任作一条射 线 OA，则射线 OA 落在∠xOT 内的概 率是________．
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1．几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 长度 ( 面积 或 体积 )成比例，则称这样的概率模 型为几何概率模型，简称为几何概型．
D．1－π8
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3．已知平行四边形ABCD，点P为四边形内部或者边界上任意
一点，向量 AP ＝x AB ＋y AD，则0≤x≤12，0≤y≤23的概率
是
()
A.13
B.23
1
1
C.4
D.2
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[做一题]
[例2] (2011·江西高考)小波通过做游戏的方式来确定周末
活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距
第
十章
第
计数
六
原理
节
、概
率、
几
随机
何
变量
概
及分
型
布列
高考成功方案第一步 高考成功方案第二步 高考成功方案第三步 高考成功方案第四步
考纲点击 1．了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率． 2．了解几何概型的意义．
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1．一根木棒长 5 米，从任意位置砍断，
则截得的两条木棒长都大于 2 米的概
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当OC在∠DOE内时，使∠AOC和∠BOC都不小于30°， 则P(F)＝3900°°＝13.
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[热点分析] 以选择题或填空题的形式考查与长度或面积有关的
几何概型的求法是高考对本节内容的传统考法.2011年湖 南高考将几何概型和直线与圆的位置关系相结合考查， 是高考命题的一个新方向．
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[做一题] [例 3] 在半径为 r 的圆 O 上有一定点 A.在圆上任取一点 A′， 求弦 A′A 的长小于半径 r 的概率．
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[自主解答] 作∠AOB＝∠AOC＝60°，则
AC＝AB＝r，于是A′落在弧 BAC 上时
满足AA′<r. 所以所求概率为P＝132600°°＝13.
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[悟一法] 1．如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表
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[考题印证] (2011·湖南高考)已知圆C：x2＋y2＝12， 直线l：4x＋3y＝25. (1)圆C的圆心到直线l的距离为________； (2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2 的概率为________．
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2.在如图所示的正方形中随机掷一粒豆
子，豆子落在正方形内切圆的上半圆
(图中阴部分)中的概率是
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3．已知平行四边形ABCD，点P为四边形内部或者边界上任意
一点，向量 AP ＝x AB ＋y AD，则0≤x≤12，0≤y≤23的概率
是
()
A.13
B.23
1
1
C.4
D.2
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Fra Baidu bibliotek
解析：根据平面向量基本定理，点P只要在如
图所示的区域AB1C1D1内即可，这个区域的面
积是整个四边形面积的
1 2
×
23 ＝
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为1的正方形区域，其面积为1，而与满足条件的事件对应的 9π
区域面积为14×π×(34)2＝96π4.因此，所求事件的概率为614＝96π4. 答案：96π4
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[考题印证] (2011·湖南高考)已知圆C：x2＋y2＝12， 直线l：4x＋3y＝25. (1)圆C的圆心到直线l的距离为________； (2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2 的概率为________．
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[考题巧解]————————(一样的结果，更简洁的过程) [巧思] 问题(1)直接利用公式求解即可，对于问题(2)，可在 同一坐标系下画出直线l：4x＋3y＝25与圆C：x2＋y2＝12的 图形，借助图形确定出，圆上到直线l的距离小于2的点所在 的区域，然后代入相关公式求解即可．
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[通一类] 1．若 k∈R 且 k∈[－2,2]，则 k 的值使得过点 A(1,1)可以作两
条直线与圆 x2＋y2＋kx－2y－54k＝0 相切的概率是多少？
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[做一题]
[例2] (2011·江西高考)小波通过做游戏的方式来确定周末
活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距
离大于
1 2
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[妙解] (1)圆心坐标为(0,0)， 圆心到直线4x＋3y＝25的距离d＝|4×0＋432＋×302－25|＝5.
(2)如图l′∥l，且O到l′的距离为3，sin∠ODE＝2
3
＝ 3
23，
所以∠ODE＝60°，
从而∠BOD＝60°，
点A应在劣弧 BD 上，
所以满足条件的概率为16.
[答案]
5
()
1
1
A.4
B.8
π
π
C.4
D.8
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解析：设正方形的边长为2，则豆子落在正方 形内切圆的上半圆中的概率为12π×4 12＝π8. 答案：D
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1．ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点．在长
方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的
概率为
()
π A.4
B．1－π4
C.π8
1 1－22π＝1－π4. 答案：B
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2．在长为12 cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为一边
作正方形，则此正方形的面积介于36 cm2与81 cm2 之间的
概率为
()
A.116
B.18
C.14
D.12
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解析：正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间，所以正方形 的边长介于6 cm到9 cm之间．线段AB的长度为12 cm，则 所求概率为9－126＝14. 答案：C
[自主解答] 记事件A＝{弦长超过圆内接等 边三角形的边长}，如图，不妨在过等边三 角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点F作 垂直于直径的弦，当弦为CD时，就是等边 三角形的边长，弦长大于CD的充要条件是 圆心O到弦的距离小于OF，由几何概型公式得P(A)＝12×2 2＝12.
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若将例题条件改为“在半径为 1 的圆上任取两点，连接两点成 一条弦”，求弦长超过圆内接等边三角形边长的概率． 解：记A＝{弦长超过圆内接正三角形边长}. 如图， 取圆内接正三角形的顶点B作为弦的一个端点， 当另一个端点E在劣弧 CD 上时， |BE|>|BC|， 而劣弧 CD 的长恰为圆周长的13. 由几何概型公式有P(A)＝13.
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2．几何概型的概率公式 在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：
P(A)＝ 构成事件A的区域长度面积或体积 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积
.
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[做一题] [例1] 在半径为1的圆内一条直径上任取 一点，过这个点作垂直于直径的弦，求 弦长超过圆内接等边三角形边长的概 率．
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，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于
1 4
，
则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的
概率为__________．
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[自主解答] 设A＝{小波周末去看电影}， B＝{小波周末去打篮球}，C＝{小波周末 在家看书}，D＝{小波周末不在家看书}， 如图所示，
则P(D)＝1－122π－π 142π＝1136.
率为
()
解析：满足条件的砍断点应落在 2<x<3 的位置上，即 1
米长的线段上，故所求事件的概率为 P＝15.
答案：A
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[做一题] [例1] 在半径为1的圆内一条直径上任取 一点，过这个点作垂直于直径的弦，求 弦长超过圆内接等边三角形边长的概 率．
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4．如右图所示，在直角坐标系内，射线 OT 落在 60°角的终边上，任作一条射 线 OA，则射线 OA 落在∠xOT 内的概 率是________．
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[悟一法] 1.解决概率问题先判断概型，本题属于几何概型，满足
两个条件：基本事件的无限性和每个基本事件发生的 等可能性．要抓住它的本质特征，即与长度(面积或体 积)有关． 2.求与长度有关的几何概型的概率的方法，是把题中所 表示的几何模型转化为线段的长度，然后求解，应特 别注意准确表示所确定的线段的长度．
离大于
1 2
，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于
1 4
，
则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的
概率为__________．
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5.如图所示，边长为2的正方形中有一封闭 曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒 一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23， 则阴影区域的面积为________．
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解：(1)设“a∥b”为事件A，由a∥b，得x＝2y. 基本事件空间为Ω＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0， －1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)， (2，－1)，(2,0)，(2,1)}，共包含12个基本事 件； 其中A＝{(0,0)，(2,1)}，包含2个基本事件． 则P(A)＝122＝16，即向量a∥b的概率为16.
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(2)设“a，b的夹角是钝角”为事件B， 由a，b的夹角是钝角，可得a·b<0， 即2x＋y<0，且x≠2y. 基本事件空间为
Ω＝{(x，y)|－ －11≤≤yx≤≤12 }，
－1≤x≤2 B＝{(x，y)|2－x＋1≤y<y≤0 1 }，
x≠2y
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则由图可知，P(B)＝μμΩB＝12×312× ＋232×2＝13，即向量a， b的夹角是钝角的概率是13.
1 3
，故所求的概
率是13.
答案：A
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4．若在区间[－5,5]内随机地取出一个数 a，则 1∈{x|2x2＋ax－ a2>0}的概率为________． 解析：因为1∈{x|2x2＋ax－a2>0}， 所以a2－a－2<0，－1<a<2， 故所求概率为P＝130. 答案：130
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5．假设一直角三角形的两直角边的长都是区间(0,1)内的随机 数，则斜边的长小于34的概率为________． 解析：设两直角边的长分别为x，y，则0<x<1,0<y<1，斜边 的长为 x2＋y2<34，所以与样本空间对应的区域为边长