高中数学课件-高三一轮复习--67几何概型
人教高中数学几何概型PPT完美版
基本事件: 从30cm的绳子上的任意一点剪断。
二、提出问题
普 概念1.几何概型（实例）
通 高 中 课
2.图中有两个转盘,甲乙两人玩转盘游戏规定当指针指向B 区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的 概率是多少?
程 标 准
分析：甲获胜的概率只与B 所在扇形区域的圆弧长度 有关，而与B所在区域的位
课 个等可能事件的情况，而古典概型中的等可能事件只有有
程 限多个；
标
准 (2)D的测度不为0，当D分别是线段、平面
图形、立体图形时,相应的“测度”分别
是长度、面积和体积。
（3）区域应指“开区域”，不包含边界点；在区域D内随 机取点是指：该点落在D内任何一处都是等可能的，落在 任何部分的可能性只与该部分的测度成正比而与其性状位 置无关。
通 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面
高 中 课
积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概型 （Geometric models of probability）
程 几何概型的特点:
标 准
(1)基本事件有无限多个(不可数)；
(2)基本事件发生是等可能的。
一般地,在几何区域D中随机地取一点,记“该点落在其 内部一个区域d内”为事件A,则事件A发生的概率:
P(A)=
d的测度 D的测度
A
Liangxiangzhongxue
人 教 高 中 数 学几何 概型PP T完美版
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三、概念形成
普 概念2.几何概型(Geometric models of probability)
通 高
注意事项:
中 （1）古典概型与几何概型的区别在于：几何概型是无限多
高三数学复习之几何概型(共18张PPT)
1 ABCD<6.
∴h<21，则点
M
在正方体的下半部分， 1
故所求事件的概率 P＝2VV正正方方体体＝12.
M
B
C
A
D
此时 VM－ABCD＝16
思考：
如图，四边形ABCD为矩形，AB＝ 3，BC＝1， 以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧 DE，在 ∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点 的概率为________.
飞行过程中始终保持与正方体 6 个表面的距离均大于 1，称其为“安全飞行”，则
蜜蜂“安全飞行”的概率为(
11 1 3 ) A.8 B.6 C.27 D.8
解析
1.审题，定模型
2.定测度，求测度 3.求比例，下结论
[训练 1] (1)(2017·江苏卷)记函数 f(x)＝ 6＋x－x2的定义域为 D.在区间[－4，5]上
厦门市杏南中学 高三第一轮总复习
甲、乙两人玩数字游戏，先由甲心中任想一个 数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙想 的数字记为b，
且 aa,、b b∈1{,16,2,3,4,5,6}。
若|a－b|≤1，则称“甲乙心有灵犀”， 现任意找两个人玩这个游戏， 得出他们“心有灵犀”的概率为________．
5
可知 a－2≥0，即 a≥2，
解析 那么 p＝4－（4－－21）＝25.
–1 O 1 2 3 4 x 2
例2.若张三每天的工作时间在6小时至9小时 之间随机均匀分布，则张三连续两天平均 工作时间不少于7小时的概率是 .
1.确定是几何概型
2.确定面积为研究的测度
6 x 9 6 y 9
．
--------课课堂堂小小结结1--------
高考数学一轮复习 第九章 第3讲 几何概型课件 文
求
概
率
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2
[做一做]
1．(2014·高考湖南卷)在区间[－2，3]上随机选取一个数 X，
则 X≤1 的概率为( B )
A．45
B．．35
C．25
D．15
解析：在区间[－2，3]上随机选取一个数 X，则 X≤1，即
－2≤X≤1 的概率为 P＝35．
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3
2．(2014·高考辽宁卷) 若将一个质点随机投入如图所示的 长方形 ABCD 中，其中 AB＝2，BC＝1，则质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是( B )
(4)与距离有关的几何概型．
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9
(1)一个路口的红绿灯，红灯的时间为 30 秒，黄灯
的时间为 5 秒，绿灯的时间为 40 秒，则某人到达路口时看
见的是红灯的概率是( B )
A．15
B．25
C．35
D．45
(2)设
p
在[0，5]上随机地取值，则方程 3
x2＋px＋p4＋12＝0
有
实数根的概率为_____5___．
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13
π
π
解析：(1)所求概率为π26 －－（（－－π62 ））＝13，故选 A．
(2)由 1∈{x|2x2＋ax－a2＞0}，得 a2－a－2＜0⇒－1＜a＜2，
所以所求概率为25－ －（ （－ －15） ）＝130．
(3)∵函数 g(x)＝a－x 2在区间(0,＋∞)内为增函数,∴a－2＜0,
第九章 概率
第3讲 几何概型
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1
1．几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 _____长__度__(面__积__或__体__积__)______成比例，则称这样的概率模型 为几何概率模型，简称几何概型． 2．几何概型的概率公式
高考数学(文)一轮复习课件：几何概型
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11
5．在区间[－1,2] 上随机取一个数 x，则 x∈[0,1]的概率为
________．
解析 如图，这是一个长度型的几何概型题，所求概率 P＝||CADB||
＝13.
答案
1 3
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12
考向一 与长度有关的几何概型 【例 1】►点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点．若在该圆周 上随机取一点 B，则劣弧 的长度小于 1 的概率为________． [审题视点] 用劣弧 的长度与圆周长的比值．
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8
3．(2012·衡阳模拟)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上 面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要 想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )．
解析 P(A)＝38，P(B)＝28，P(C)＝26，P(D)＝13， ∴P(A)＞P(C)＝P(D)＞P(B)． 答案 A
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9
4．某人随机地在如图所示正三角形及其外
接圆区域内部投针(不包括三角形边界及圆
的边界)，则针扎到阴影区域(不包括边界)
的概率为( )．
π
33
A.3
B. 4π
3 C. 4
D．以上全错
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10
解析 设正三角形边长为a，则外接圆半径r＝ 23a×23＝ 33a， ∴所求概率P＝π 4333aa22＝34π3. 答案 B
几何概型求随机事件概率的关键，复习时要多反思和多领悟，
掌握方法要领．同时要加强与平面区域、空间几何体、平面向
量、函数结合等方面的训练．
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2
基础梳理 1．几何概型 事件 A 理解为区域 Ω 的某一子区域 A，A 的概率只与子区域 A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与 A 的位置和形状 无关．满足以上条件的试验称为几何概型．
高中数学《几何概型》课件
剪断，那么剪得两段的长度都不小于3米的概率
是多少?
解：记“剪得两段彩带都不小于3m” 为事件A.
把彩带三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,
事件A发生.由于绳子上各点被剪断是等可能的，且中间
一段的长度等于彩带的 1 . 即P A 1
3
3
PA
构成事件 A的区域长度 试验的全部结果所构成 的区域长度
问题2 某列岛周围海域面积约为17万平方公里，
如果在此海域里有面积达0.1万平方公里的大 陆架蕴藏着石油，假设在这个海域里任意选 定一点钻探，则钻出石油的概率是多少？
解：记“钻出石油”为事件A，则
PA 0.1 1
17 170
P
A
构成事件 A的区域面积 试验的全部结果所构成 的区域面积
问题3 有一杯1升的水, 其中含有1个细菌, 用
P(A) ACC 60 2 2 ACB 90 3 3
答：这时AM小于AC的概率为 .
练习题:
1.在等腰直角△ABC中,过直角顶点C任作一
条射线L与斜边AB交于点M,求AM小于AC的
概率.
3
4
2.在等腰直角△ABC中,在斜边AB上任取一点
M,求使△ACM为钝角三角形的概率. 1
2
3.在等腰直角△ABC中,在斜边AB上任取一点
p
A
m A m
数学理论：
古典概型的本质特征： 1、样本空间中样本点个数有限， 2、每一个样本点都是等可能发生的． 将古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等
可能性，就得到几何概型．
几何概型的本质特征： 1、有一个可度量的几何图形S；
2、试验E看成在S中随机地投掷一点；
3、事件A就是所投掷的点落在S中的可度量图形A中．
高考数学一轮复习 几何概型课件
与面积有关的几何概型
例 2 在可行域内任取一点，规则如程序框图所示，求能输出 数对(x，y)的概率．
即在可行域－ －11≤ ≤xx＋ －yy≤ ≤11 内求出点(x，y)，求它在 x2＋y2≤12
内的概率．
解 由题意，求输出的数对(x，y)的概率，即求 x2＋y2≤12所表
探究提高
几何概型的关键是选择“测度”，如本例以角度为“测 度”．因为射线 AD 落在∠DAB 内的任意位置是等可能的， 所以选择“角度”为“测度”是解决本题的关键．
变式训练 3 如图所示，在△ABC 中，∠B＝60°，∠C ＝45°，高 AD＝ 3，在∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M，求 BM<1 的概率． 解 ∵∠B＝60°，∠C＝45°， ∴∠BAC＝75°， 在 Rt△ADB 中，AD＝ 3，∠B＝60°， ∴BD＝taAn D60°＝1，∠BAD＝30°.
变式训练 2 设关于 x 的一元二次方程 x2＋2ax＋b2＝0.若 a 是从区间[0,3] 任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有 实根的概率．
解 设
当 a≥0，b≥0 时，方程 x2＋2ax＋b2＝0 有实根的充要条件为 a≥b. 试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，构 成事件 A 的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}， 所以所求的概率为 P(A)＝3×23－×122×22＝23.
探究提高
从该题可以看出，我们将每个事件理解为从某个特定的几何区 域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样．而 一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指 定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．
高三一轮复习几何概型PPT课件
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5.如图所示，边长为2的正方形中有一封闭 曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒
一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23， 则阴影区域的面积为________． 解析：设阴影区域的面积为S，则S4＝23，∴S＝83.
答案：83
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1．几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 长度 ( 面积 或 体积 )成比例，则称这样的概率模 型为几何概率模型，简称为几何概型．
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4．如右图所示，在直角坐标系内，射线 OT 落
在 60°角的终边上，任作一条射线 OA，则
射线 OA 落在∠xOT 内的概率是________．
解析：记“射线OA落在∠xOT内”为事件A.事件A的几何
度量是60°，而所有区域的几何度量是360°，故P(A)＝
2．几何概型的概率公式 在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下： P(A)＝
构成事件A的区域长度面积或体积 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积 .
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[做一题] [例1] 在半径为1的圆内一条直径上任取一点，过这个 点作垂直于直径的弦，求弦长超过圆内接等边三角形 边长的概率．
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[悟一法] 1.解决概率问题先判断概型，本题属于几何概型，满足
两个条件：基本事件的无限性和每个基本事件发生的 等可能性．要抓住它的本质特征，即与长度(面积或体 积)有关． 2.求与长度有关的几何概型的概率的方法，是把题中所 表示的几何模型转化为线段的长度，然后求解，应特 别注意准确表示所确定的线段的长度．
第
十章
第
六
、概
节
率、
随机
几
变量
何
及分
概
高三数学北师大版通用,理总复习讲义 几何概型
§１２．３几何概型１．几何概型向平面上有限区域（集合）G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G１G的概率与G１的面积成正比，而与G的形状、位置无关，即P（点M落在G１）＝错误!，则称这种模型为几何概型．２．几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．３．借助模拟方法可以估计随机事件发生的概率．１．判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）（１）在一个正方形区域内任取一点的概率是零．（√）（２）几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．（√）（３）在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．（√）（４）随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．（√）２．一个路口的红绿灯，红灯的时间为３0秒，黄灯的时间为５秒，绿灯的时间为４0秒，则某人到达路口时看见的是红灯的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案B解析以时间的长短进行度量，故P＝错误!＝错误!.３．点A为周长等于３的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于１的概率为________．答案错误!解析如图可设＝１，则由几何概型可知其整体事件是其周长３，则其概率是错误!.４．在区间[—１,２]上随机取一个数x，则x∈[0，１]的概率为________．答案错误!解析如图，这是一个长度型的几何概型题，所求概率P＝错误!＝错误!.５．已知直线y＝x＋b，b∈[—２,３]，则直线在y轴上的截距大于１的概率是________．答案错误!解析区域D为区间[—２,３]，d为区间（１,３]，而两个区间的长度分别为５,２．故所求概率P＝错误!.题型一与长度、角度有关的几何概型例１（１）在区间[—１,１]上随机取一个数x，求cos 错误!x的值介于0到错误!之间的概率．（２）如图所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝４５°，高AD＝错误!，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，求BM<１的概率．思维启迪寻找所考查对象活动的范围．解（１）由函数y＝cos 错误!x的图像知，当—１<x<—错误!或错误! <x<１时，0<cos 错误!x<错误!.由概率的几何概型知：cos 错误!x的值介于0到错误!之间的概率为错误!＝错误!.（２）因为∠B＝60°，∠C＝４５°，所以∠BAC＝7５°，在Rt△ABD中，AD＝错误!，∠B＝60°，所以BD＝错误!＝１，∠BAD＝３0°.记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M，使BM<１”，则可得∠BAM<∠BAD时事件N 发生．由几何概型的概率公式，得P（N）＝错误!＝错误!.思维升华解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围．当考查对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考查对象为线时，一般用角度比计算．事实上，当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长（曲线长）之比．（１）若在例１（２）中“在∠BAC内作射线AM交BC于点M”改为“在线段BC上找一点M”则结果为________．（２）在半径为１的圆内一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________．答案（１）错误!（２）错误!解析（１）由∠B＝60°，∠C＝４５°，AD＝错误!得，BD＝错误!＝１，DC＝AD＝错误!，则BM<１的概率为P＝错误!＝错误!.（２）记事件A为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，如图，不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦，当弦为CD时，就是等边三角形的边长（此时F为OE中点），弦长大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于OF，由几何概型公式得：P（A）＝错误!＝错误!.题型二与面积、体积有关的几何概型例２（１）（２0１２·北京）设不等式组错误!表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于２的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!（２）有一个底面圆的半径为１、高为２的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于１的概率为________．思维启迪平面区域内的几何概型，一般用面积求概率，空间区域内的几何概型，一般用体积求概率．答案（１）D （２）错误!解析（１）根据题意作出满足条件的几何图形求解．如图所示，正方形OABC及其内部为不等式组表示的区域D，且区域D的面积为４，而阴影部分表示的是区域D内到坐标原点的距离大于２的区域．易知该阴影部分的面积为４—π.因此满足条件的概率是错误!，所以选Ｄ．（２）先求点P到点O的距离小于或等于１的概率，圆柱的体积V圆柱＝π×１２×２＝２π，以O为球心，１为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球＝错误!×错误!π×１３＝错误!π.则点P到点O的距离小于或等于１的概率为错误!＝错误!，故点P到点O的距离大于１的概率为１—错误!＝错误!.思维升华求解几何概型的概率问题，一定要正确确定试验的全部结果构成的区域，从而正确选择合理的测度，进而利用概率公式求解．（１）在区间[—π，π]内随机取出两个数分别记为a，b，则函数f（x）＝x２＋２ax—b ２＋π２有零点的概率为（）Ａ．１—错误!Ｂ．１—错误!Ｃ．１—错误!Ｄ．１—错误!（２）在棱长为２的正方体ABCD—A１B１C１D１中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD—A１B１C１D１内随机取一点P，则点P到点O的距离大于１的概率为________．答案（１）B （２）１—错误!解析（１）由函数f（x）＝x２＋２ax—b２＋π２有零点，可得Δ＝（２a）２—４（—b２＋π２）≥0，整理得a２＋b２≥π２，如图所示，（a，b）可看成坐标平面上的点，试验的全部结果构成的区域为Ω＝{（a，b）|—π≤a≤π，—π≤b≤π}，其面积SΩ＝（２π）２＝４π２.事件A表示函数f（x）有零点，所构成的区域为M＝{（a，b）|a２＋b２≥π２}，即图中阴影部分，其面积为S M＝４π２—π３，故P（A）＝错误!＝错误!＝１—错误!，所以选Ｂ．（２）V正＝２３＝8，V半球＝错误!×错误!π×１３＝错误!π，错误!＝错误!＝错误!，∴P＝１—错误!.题型三生活中的几何概型问题例３甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为１h，乙船停泊时间为２h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．思维启迪当基本事件受两个连续变量控制时，一般是把两个连续变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决．解这是一个几何概型问题．设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y，A为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x≤２４,0≤y≤２４，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达１h以上或乙比甲早到达２h以上，即y—x≥１或x—y≥２．故所求事件构成集合A＝{（x，y）|y—x≥１或x—y≥２，x∈[0,２４]，y∈[0,２４]}．A为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是２４的正方形及其内部．所求概率为P（A）＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.思维升华生活中的几何概型度量区域的构造方法：（１）审题：通过阅读题目，提炼相关信息．（２）建模：利用相关信息的特征，建立概率模型．（３）解模：求解建立的数学模型．（４）结论：将解出的数学模型的解转化为题目要求的结论．张先生订了一份报纸，送报人在早上6：３0—7：３0之间把报纸送到他家，张先生离开家去上班的时间在早上7：00—8：00之间，则张先生在离开家之前能得到报纸的概率是________．答案错误!解析以横坐标x表示报纸送到时间，以纵坐标y表示张先生离家时间，建立平面直角坐标系，因为随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意只要点落到阴影部分，就表示张先生在离开家前能得到报纸，即所求事件A发生，所以P（A）＝错误!＝错误!.混淆长度型与面积型几何概型致误典例：（１２分）在长度为１的线段上任取两点，将线段分成三段，试求这三条线段能构成三角形的概率．易错分析不能正确理解题意，无法找出准确的几何度量来计算概率．规范解答解设x、y表示三段长度中的任意两个．因为是长度，所以应有0<x<１,0<y<１,0<x＋y<１，即（x，y）对应着坐标系中以（0,１）、（１,0）和（0,0）为顶点的三角形内的点，如图所示．[４分]要形成三角形，由构成三角形的条件知错误!所以x<错误!，y<错误!，且x＋y>错误!，故图中阴影部分符合构成三角形的条件．[8分]因为阴影部分的三角形的面积占大三角形面积的错误!，故这三条线段能构成三角形的概率为错误!. [１２分]温馨提醒解决几何概型问题时，还有以下两点容易造成失分，在备考时要高度关注：（１）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（２）利用几何概型的概率公式时，忽视验证事件是否等可能性导致错误.方法与技巧１．区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限多个．２．转化思想的应用对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式．（１）一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；（２）若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；（３）若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型．失误与防范１．准确把握几何概型的“测度”是解题关键；２．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．A组专项基础训练（时间：３５分钟）一、选择题１．“抖空竹”是中国的传统杂技，表演者在两根直径约8～１２毫米的杆上系一根长度为１m的绳子，并在绳子上放一空竹，则空竹与两端距离都大于0．２m的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案B解析与两端都大于0．２m即空竹的运行范围为（１—0．２—0．２）m＝0．6 m，记“空竹与两端距离都大于0．２m”为事件A，则所求概率满足几何概型，即P（A）＝错误!＝错误!.２．（２0１２·辽宁）在长为１２cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于２0 cm２的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案C解析根据题意求出矩形面积为２0 cm２时的各边长，再求概率．设AC＝x，则BC＝１２—x，所以x（１２—x）＝２0，解得x＝２或x＝１0．故P＝错误!＝错误!.３．如图所示，在边长为１的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案C解析∵S阴影＝ʃ错误!（错误!—x）d x＝错误!错误!＝错误!—错误!＝错误!，又S正方形OABC＝１，∴由几何概型知，P恰好取自阴影部分的概率为错误!＝错误!.４．已知△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝２，BC＝6，在BC上任取一点D，则使△ABD为钝角三角形的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案C解析如图，当BE＝１时，∠AEB为直角，则点D在线段BE（不包含B、E点）上时，△ABD为钝角三角形；当BF＝４时，∠BAF为直角，则点D在线段CF（不包含C、F点）上时，△ABD为钝角三角形．所以△ABD为钝角三角形的概率为错误!＝错误!.５．（２0１２·湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）Ａ．１—错误!Ｂ．错误!—错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案A解析设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，OA的中点为D，如图，连接OC，DC.不妨令OA＝OB＝２，则OD＝DA＝DC＝１．在以OA为直径的半圆中，空白部分面积S１＝错误!＋错误!×１×１—错误!＝１，所以整体图形中空白部分面积S２＝２．又因为S扇形OAB＝错误!×π×２２＝π，所以阴影部分面积为S３＝π—２．所以P＝错误!＝１—错误!.二、填空题6．在长为１0 cm的线段AB上任取一点G，以AG为半径作圆，则圆的面积介于３6π cm２到6４π cm ２的概率是________．答案错误!解析如图，以AG为半径作圆，圆面积介于３6π～6４π cm２，则AG的长度应介于6～8 cm之间．∴所求概率P（A）＝错误!＝错误!.7．（２0１３·湖北）在区间[—２,４]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为错误!，则m＝________.答案３解析由|x|≤m，得—m≤x≤m.当m≤２时，由题意得错误!＝错误!，解得m＝２．５，矛盾，舍去．当２<m<４时，由题意得错误!＝错误!，解得m＝３．即m的值为３．8．在区间[１,５]和[２,４]上分别各取一个数，记为m和n，则方程错误!＋错误!＝１表示焦点在x轴上的椭圆的概率是________．答案错误!解析∵方程错误!＋错误!＝１表示焦点在x轴上的椭圆，∴m>n.如图，由题意知，在矩形ABCD内任取一点Q（m，n），点Q落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m＝n恰好将矩形平分，∴所求的概率为P＝错误!.9．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于错误!，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于错误!，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不．在家看书的概率为________．答案错误!解析∵去看电影的概率P１＝错误!＝错误!，去打篮球的概率P２＝错误!＝错误!，∴不在家看书的概率为P＝错误!＋错误!＝错误!.三、解答题１0．已知向量a＝（—２,１），b＝（x，y）．（１）若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为１,２,３,４,５,6）先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b＝—１的概率；（２）若x，y在连续区间[１,6]上取值，求满足a·b<0的概率．解（１）将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝３6（个）；由a·b＝—１有—２x＋y＝—１，所以满足a·b＝—１的基本事件为（１,１），（２,３），（３,５），共３个；故满足a·b＝—１的概率为错误!＝错误!.（２）若x，y在连续区间[１,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{（x，y）|１≤x≤6,１≤y≤6}；满足a·b<0的基本事件的结果为A＝{（x，y）|１≤x≤6,１≤y≤6且—２x＋y<0}；画出图形如图，矩形的面积为S矩形＝２５，阴影部分的面积为S阴影＝２５—错误!×２×４＝２１，故满足a·b<0的概率为错误!.B组专项能力提升（时间：３0分钟）１．在区间[—１,１]上随机取一个数x，则sin 错误!的值介于—错误!与错误!之间的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案D解析∵—１≤x≤１，∴—错误!≤错误!≤错误!.由—错误!≤sin 错误!≤错误!，得—错误!≤错误!≤错误!，即—错误!≤x≤１．故所求事件的概率为错误!＝错误!.２．如图，矩形长为6，宽为４，在矩形内随机地撒３00颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96，则以此实验数据为依据可以估算出椭圆的面积约为（）Ａ．7．68 Ｂ．１6．３２Ｃ．１7．３２Ｄ．8．68答案B解析根据几何概型的概率公式得黄豆落在椭圆内的概率P＝错误!，而P＝错误!＝0．68，S矩形＝２４，故S椭圆＝P·S矩形＝0．68×２４＝１6．３２．３．已知点A在坐标原点，点B在直线y＝１上，点C（３,４），若AB≤错误!，则△ABC的面积大于５的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案C解析设B（x,１），根据题意知点D（错误!，１），若△ABC的面积小于或等于５，则错误!×DB×４≤５，即DB≤错误!，所以点B的横坐标x∈[—错误!，错误!]，而AB≤错误!，所以点B的横坐标x∈[—３,３]，所以△ABC的面积小于或等于５的概率为P＝错误!＝错误!，所以△ABC的面积大于５的概率是１—P＝错误!.４．在面积为S的△ABC内部任取一点P，△PBC的面积大于错误!的概率为________．答案错误!解析如图，假设当点P落在EF上时（EF∥BC），恰好满足△PBC的面积等于错误!，作PG⊥BC，AH⊥BC，则易知错误!＝错误!.符合要求的点P可以落在△AEF内的任一部分，其概率为P＝错误!＝错误!.５．平面内有一组平行线，且相邻平行线间的距离为３cm，把一枚半径为１cm的硬币任意投掷在这个平面内，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是________．答案错误!解析如图所示，当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰，故所求概率为错误!.6．在区间[0,２]上任取两个实数a，b，求函数f（x）＝x３＋ax—b在区间[—１,１]上有且仅有一个零点的概率．解因为f′（x）＝３x２＋a，由于a≥0，故f′（x）≥0恒成立，故函数f（x）在[—１,１]上单调递增，故函数f（x）在区间[—１,１]上有且只有一个零点的充要条件是错误!即错误!设点（a，b），则基本事件所在的区域是错误!画出平面区域，如图所示，根据几何概型的意义，所求的概率等于以图中阴影部分的面积与以２为边长的正方形的面积的比值，这个比值是错误!.7．身处广州的姐姐和身处沈阳的弟弟在春节前约定分别乘A、B两列火车在郑州火车站会面，并约定先到者等待时间不超过１0分钟．当天A、B两列火车正点到站的时间是上午9点，每列火车到站的时间误差为±１５分钟，不考虑其他因素，求姐弟俩在郑州火车站会面的概率．解设姐姐到的时间为x，弟弟到的时间为y，建立坐标系如图，由题意可知，当y≤x±错误!时，姐弟俩会面，又正方形的面积为错误!，阴影部分的面积为错误!，所求概率P＝错误!＝错误!.。
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当OC在∠DOE内时，使∠AOC和∠BOC都不小于30°， 则P(F)＝3900°°＝13.
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[热点分析] 以选择题或填空题的形式考查与长度或面积有关的
几何概型的求法是高考对本节内容的传统考法.2011年湖 南高考将几何概型和直线与圆的位置关系相结合考查， 是高考命题的一个新方向．
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D．1－π8
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3．已知平行四边形ABCD，点P为四边形内部或者边界上任意
一点，向量 AP ＝x AB ＋y AD，则0≤x≤12，0≤y≤23的概率
是
()
A.13
B.23
1
1
C.4
D.2
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[做一题]
[例2] (2011·江西高考)小波通过做游戏的方式来确定周末
活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距
[自主解答] 记事件A＝{弦长超过圆内接等 边三角形的边长}，如图，不妨在过等边三 角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点F作 垂直于直径的弦，当弦为CD时，就是等边 三角形的边长，弦长大于CD的充要条件是 圆心O到弦的距离小于OF，由几何概型公式得P(A)＝12×2 2＝12.
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若将例题条件改为“在半径为 1 的圆上任取两点，连接两点成 一条弦”，求弦长超过圆内接等边三角形边长的概率． 解：记A＝{弦长超过圆内接正三角形边长}. 如图， 取圆内接正三角形的顶点B作为弦的一个端点， 当另一个端点E在劣弧 CD 上时， |BE|>|BC|， 而劣弧 CD 的长恰为圆周长的13. 由几何概型公式有P(A)＝13.
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(2)设“a，b的夹角是钝角”为事件B， 由a，b的夹角是钝角，可得a·b<0， 即2x＋y<0，且x≠2y. 基本事件空间为
Ω＝{(x，y)|－ －11≤≤yx≤≤12 }，
－1≤x≤2 B＝{(x，y)|2－x＋1≤y<y≤0 1 }，
x≠2y
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则由图可知，P(B)＝μμΩB＝12×312× ＋232×2＝13，即向量a， b的夹角是钝角的概率是13.
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为1的正方形区域，其面积为1，而与满足条件的事件对应的 9π
区域面积为14×π×(34)2＝96π4.因此，所求事件的概率为614＝96π4. 答案：96π4
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1 3
，故所求的概
率是13.
答案：A
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4．若在区间[－5,5]内随机地取出一个数 a，则 1∈{x|2x2＋ax－ a2>0}的概率为________． 解析：因为1∈{x|2x2＋ax－a2>0}， 所以a2－a－2<0，－1<a<2， 故所求概率为P＝130. 答案：130
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5．假设一直角三角形的两直角边的长都是区间(0,1)内的随机 数，则斜边的长小于34的概率为________． 解析：设两直角边的长分别为x，y，则0<x<1,0<y<1，斜边 的长为 x2＋y2<34，所以与样本空间对应的区域为边长
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4．如右图所示，在直角坐标系内，射线 OT 落在 60°角的终边上，任作一条射 线 OA，则射线 OA 落在∠xOT 内的概 率是________．
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1．几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 长度 ( 面积 或 体积 )成比例，则称这样的概率模 型为几何概率模型，简称为几何概型．
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[通一类] 1．若 k∈R 且 k∈[－2,2]，则 k 的值使得过点 A(1,1)可以作两
条直线与圆 x2＋y2＋kx－2y－54k＝0 相切的概率是多少？
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[做一题]
[例2] (2011·江西高考)小波通过做游戏的方式来确定周末
活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距
离大于
1 2
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解：(1)设“a∥b”为事件A，由a∥b，得x＝2y. 基本事件空间为Ω＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0， －1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)， (2，－1)，(2,0)，(2,1)}，共包含12个基本事 件； 其中A＝{(0,0)，(2,1)}，包含2个基本事件． 则P(A)＝122＝16，即向量a∥b的概率为16.
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[考题印证] (2011·湖南高考)已知圆C：x2＋y2＝12， 直线l：4x＋3y＝25. (1)圆C的圆心到直线l的距离为________； (2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2 的概率为________．
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2.在如图所示的正方形中随机掷一粒豆
子，豆子落在正方形内切圆的上半圆
(图中阴部分)中的概率是
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[妙解] (1)圆心坐标为(0,0)， 圆心到直线4x＋3y＝25的距离d＝|4×0＋432＋×302－25|＝5.
(2)如图l′∥l，且O到l′的距离为3，sin∠ODE＝2
3
＝ 3
23，
所以∠ODE＝60°，
从而∠BOD＝60°，
点A应在劣弧 BD 上，
所以满足条件的概率为16.
[答案]
5
()
1
1
A.4
B.8
π
π
C.4
D.8
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解析：设正方形的边长为2，则豆子落在正方 形内切圆的上半圆中的概率为12π×4 12＝π8. 答案：D
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1．ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点．在长
方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的
概率为
()
π A.4
B．1－π4
C.π8
[答案]
13 16
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[悟一法] 本题是一个与面积有关的几何概型问题，当事件A 可以用面积来衡量时，我们可以利用其与整体事件所对 应的面积的比值来计算事件A发生的概率．
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[通一类] 2．已知向量a＝(2,1)，b＝(x，y)．
(1)若x∈{－1,0,1,2}，y∈{－1,0,1}，求向量a∥b的概率； (2)若x∈[－1,2]，y∈[－1,1]，求向量a，b的夹角是钝角的 概率．
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[悟一法] 1.解决概率问题先判断概型，本题属于几何概型，满足
两个条件：基本事件的无限性和每个基本事件发生的 等可能性．要抓住它的本质特征，即与长度(面积或体 积)有关． 2.求与长度有关的几何概型的概率的方法，是把题中所 表示的几何模型转化为线段的长度，然后求解，应特 别注意准确表示所确定的线段的长度．
1 1－22π＝1－π4. 答案：B
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2．在长为12 cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为一边
作正方形，则此正方形的面积介于36 cm2与81 cm2 之间的
概率为
()
A.116
B.18
C.14
D.12
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解析：正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间，所以正方形 的边长介于6 cm到9 cm之间．线段AB的长度为12 cm，则 所求概率为9－126＝14. 答案：C
，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于
1 4
，
则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的
概率为__________．
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[自主解答] 设A＝{小波周末去看电影}， B＝{小波周末去打篮球}，C＝{小波周末 在家看书}，D＝{小波周末不在家看书}， 如图所示，
则P(D)＝1－122π－π 142π＝1136.
[考题印证] (2011·湖南高考)已知圆C：x2＋y2＝12， 直线l：4x＋3y＝25. (1)圆C的圆心到直线l的距离为________； (2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2 的概率为________．
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[考题巧解]————————(一样的结果，更简洁的过程) [巧思] 问题(1)直接利用公式求解即可，对于问题(2)，可在 同一坐标系下画出直线l：4x＋3y＝25与圆C：x2＋y2＝12的 图形，借助图形确定出，圆上到直线l的距离小于2的点所在 的区域，然后代入相关公式求解即可．
第
十章
第
计数
六
原理
节
、概
率、
几
随机
何
变量
概
及分
型
布列
高考成功方案第一步 高考成功方案第二步 高考成功方案第三步 高考成功方案第四步
考纲点击 1．了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率． 2．了解几何概型的意义．
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1．一根木棒长 5 米，从任意位置砍断，
则截得的两条木棒长都大于 2 米的概
率为
()
解析：满足条件的砍断点应落在 2<x<3 的位置上，即 1
米长的线段上，故所求事件的概率为 P＝15.
答案：A
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[做一题] [例1] 在半径为1的圆内一条直径上任取 一点，过这个点作垂直于直径的弦，求 弦长超过圆内接等边三角形边长的概 率．
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4．如右图所示，在直角坐标系内，射线 OT 落在 60°角的终边上，任作一条射 线 OA，则射线 OA 落在∠xOT 内的概 率是________．
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3．已知平行四边形ABCD，点P为四边形内部或者边界上任意
一点，向量 AP ＝x AB ＋y AD，则0≤x≤12，0≤y≤23的概率
是
()
A.13
B.23
1
1
C.4
D.2
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解析：根据平面向量基本定理，点P只要在如
图所示的区域AB1C1D1内即可，这个区域的面
积是整个四边形面积的
1 2
×
23 ＝
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2．几何概型的概率公式 在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：
P(A)＝ 构成事件A的区域长度面积或体积 试验的全部结果所构成的区域长 Nhomakorabea面积或体积