运筹学教材编写组《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解 第(7-8)章【圣才出品】

1, 2,…, m j 1, 2,…,l
其中自变量 X (x1 x2 xn )T 是 n 维欧氏空间 En 中的向量，f X ，hi ( X ) ，g j ( X )
中有非线性函数。
注意：非线性规划的最优解（如果存在最优解）可能在其可行域中的任意一点达到。
2．极值问题
极值存在的条件
定理 1（必要条件）
f (X (1) (1 ) X (2) ) f ( X (1) ) (1 ) f ( X (2) ) 则称 f ( X ) 为定义在 R 上的凸函数。
若 (0, 1) 和 X (1) X (2) R ，恒有
f (X (1) (1 ) X (2) ) f ( X (1) ) (1 ) f ( X (2) ) 则称 f ( X ) 为定义在 R 上的严格凸函数。
x n
满足 f ( X *) 0 的点称为平稳点或驻点，在区域内部，极值点必为平稳点，但平稳点
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不一定是极值点。
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定理 2（充分条件）
设 R 为 n 维欧氏空间 En 上的某一开集， f ( X ) 在 R 上有二阶连续偏导数， X * R ， 若 f ( X *) 0 ，且 f ( X ) 在 X * 处的海塞（Hesse）矩阵 H (X* ) 正定，则 X * 为 f ( X ) 的严格局部极小值点。
S X X R, f X 是凸集，其中， S 称为水平集。
（3）函数凸性的判定
一阶条件：设 R 为 n 维欧氏空间 En 上的开凸集， f ( X ) 在 R 上有一阶连续偏导数，则 f ( X ) 为 R 上 的 凸 函 数 的 充 要 条 件 是 ， 对 任 意 两 点 X (1) , X (2) R, X (1) X (2) ， 恒 有 f ( X (2) ) f ( X (1) ) f ( X (1) )T ( X (2) X (1) ) 。
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在最优解，则最优解必定惟一。
4．下降迭代算法
（1）下降迭代算法的步骤
①选定某一初始点 X (0) ，令 k: 0 ；
②确定搜索方向 P(k) ；
③从 X (k ) 出发，沿方向 P(k ) 确定步长 k ，以产生下一个迭代点 X（k+1）； ④令 X (k 1) X (k ) k P(k ) ，应有 f ( X (k 1) ) f ( X (k ) ) ； ⑤检查，若 X (k1) 为极小点（近似极小点），则停止迭代，否则令 k: k 1，转步骤②
设 R 为 n 维欧氏空间 En 上的某一开集，f ( X ) 在 R 上有一阶连续偏导数，若 f ( X *) 为
局部极值，则必有
f ( X ) 在点 X * 的梯度 f ( X *) 0 ，这里：
f ( X *) ( f ( X *) , f ( X *) ,, f ( X *)) T
x1
x2
性 质 2 设 f1( X ) 和 f2 ( X ) 为 定 义 在 凸 集 R 上 的 两 个 凸 函 数 ， 则 这 两 个 函 数 之 和
f X f1 X f2 X 仍为定义在 R 上的凸函数。
性 质 3 设 f (X) 是 定义 在凸 集 R 上 的凸 函数 ， 则对 于任 一 实数 ， 集合
将上述式子中的不等号反向，即可得到凹函数和严格凹函数的定义。
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（2）凸函数的性质
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性质 1 设 f (X ) 是定义在凸集 R 上的凸函数，则对于任意实数 0 ，函数 f X 也是
定义在 R 上的凸函数。
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第 7 章 无约束问题
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7.1如果目标函数或约束条件中含有非线性函数，就称这种规划问题为非线性规划问题。
非线性规划的数学模型常表示成以下形式
min f X
s.t.
hgi
(X ) 0,i j ( X ) 0,
f ( X (k) )
4
这时要求分母不接近于零。
③根据目标函数梯度 f ( X ) 的模足够小： f ( X (k) 5
（4）凸函数的极值
对于定义在凸集上的凸函数来说，其极小点就是最小点，极小值就是最小值。
（5）凸规划
下述问题为凸规划
mXiRn f ( X )
R
X
g j (X ) 0, j 1,,l
假定其中， f ( X ) 为凸函数， gj(X)( j 1,,l)为凹函数。
注意：凸规划的局部最优解为全局最优解，当凸规划的目标函数为严格凸函数时，若存
二阶条件：设 R 为 n 维欧氏空间 En 上的某一开凸集，f ( X ) 在 R 上有二阶连续偏导数，
则 f ( X ) 为 R 上的凸函数的充要条件是， f ( X ) 的海塞矩阵 H ( X ) 在 R 上处处半正定。（注
意：如果 f ( X ) 的海塞矩阵 H ( X ) 在 R 上处处正定，则 f ( X ) 为 R 上的严格凸函数）。
这里，
2 f
x12
2 f x1x2
2 f x1xn
H
(
X
*
)
2 f x2x1
2 f x22
2 f x2xn
2 f
xn
x1
2 f xnx2
2 f xn2
X X*
3．凸函数与凹函数 （1）凸函数与凹函数的定义
设 f ( X ) 是定义在 n 维欧氏空间 En 中某个凸集 R 上的函数，若 (0, 1) 以及 X (1) ， X (2) R ，恒有
继续进行迭代。
（2）几种终止迭代的准则：
①根据相继两次迭代的绝对误差
X (k 1) X (k ) 1, f ( X (k 1) ) f ( X (k ) ) 2
②根据相继两次迭代的相对误差
X (k 1) X (k ) X (k)
3,
f ( X ) ( k 1) f ( X ( k ) )