概率粗糙集模型
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进一步，有
(Y )r1 :[ x] pos(w) ，若 P(w [ x]) ； ( N )r2 :[ x] neg (w) ，若 P(w [ x]) ； ( D)r3 :[ x] bnd (w) ，若 P(w [ x]) 。
概念 w 的下近似与上近似定义为 （概率粗糙集模型） ：
设 P 是样本空间 U 上的一个概率测度。 条件概率： P ( A B )
P ( AB )
P( B)
;
全概率公式：设 {Ai ;1 i k} 是样本空间的一个划分，则
P( A)
贝叶斯公式：
1i k
P( AA ) P( A A )P( A ).
i 1i k i i
其中
12 32 12 22 ， ， (21 11 ) (12 22 ) (31 11 ) (12 32 )
32 22 。 (21 31 ) (32 22 )
注意到 介于 与 之间，于是有： （1）若
(1)非对称变精度粗糙集模型（G.Busse, 1992）
apr (w) pos(w) {x; P(w [ x]) } ， apr (w) {x; P(w [ x]) } .
（2）若 12 21 1 ， 11 22 31 32 0 ， 则 1 ， 0 ， 0.5 ，此时
R(ri [ x]) i1 P( w [ x]) i 2 P( W [ x]) ，
i1 (ri w) ， i 2 (ri
w), i 1, 2,3.
由贝叶斯最小风险决策原理可得：
(Y )r1 :[ x] pos(w) ，若 R(r1 [ x]) R(r2 [ x]) ，
R(a1 x) 2 0.8 12 0.2 3 （美元） R(a2 x) 7 0.8 7 0.2 7 （美元）
决策：Park on meter ( a1 )。
R(ri [ x])
1 j s
(r
i
w j ) P( w j [ x]).
医疗诊断问题
，则
(Y )r 1 :[ x] pos( w) ，若 P(w [ x]) ； ( N )r2 :[ x] neg (w) ，若 P(w [ x]) ；
退化为情形 1. （2）若
，则 ，从而
(Y )r 1 :[ x] pos( w) ，若 P(w [ x]) ； ( N )r2 :[ x] neg (w) ，若 P(w [ x]) ； ( D)r3 :[ x] bnd (w) ，若 P(w [ x]) 。
P( Ai A)
P( Ai A)
P( A)
P( Ai )P A ( Ai )
1 j k
P( A ) P( A A )
j j
.
最小风险贝叶斯决策
设 K (U , P, AT ,V , f ) 是一个概率知识表示系统，其中
(U , AT ,V , f ) 是一个信息系统， P 是 U 上的一个概率测度。
apr (1,0) ( w) {x; P( w [ x]) 1} ，
apr (1,0) (w) {x; P(w [ x]) 0} 。
若 P ( w [ x])
w [ x] [ x]
为包含度，则退化
为 Pawlak 粗糙集模型(1982)。
（3）若满足：
(c2 ) ： (31 11 )(21 31 ) (12 32 )(32 22 ) ，
基于概率粗糙集模型的规则获取
设 S (U , At C {D},V , f ) 是一个决策表，
U
D
{Di ;1 i m} ， U
C
{[ x]; x U } . 对于 w U ，
apr (w) pos(w) {x; P(w [ x]) } ， apr (w) {x; P(w [ x]) } ，
R(r3 [ x]) R(r2 [ x]) 。
假设 11 31 21 ， 22 32 12 ，于是有
(Y )r 1 :[ x] pos( w) ，若 P(w [ x]) ， P(w [ x]) ； ( N )r2 :[ x] neg (w) ，若 P(w [ x]) ， P(w [ x]) ； ( D)r3 :[ x] bnd (w) ，若 P(w [ x]) ， P(w [ x]) 。
R(r1 [ x]) R(r3 [ x]) ；
( N )r2 :[ x] neg (w) ，若 R(r2 [ x]) R(r1 [ x]) ，
R(r2 [ x]) R(r3 [ x]) ；
( D)r3 :[ x] bnd (w) ，若 R(r3 [ x]) R(r1 [ x]) ，
具体应用中，有两种方案：
(Y1 )r1 :[ x] pos(w) ，若 P(w [ x]) ； ( N1 )r2 :[ x] neg (w) ，若 P(w [ x]) 。 (Y2 )r1 :[ x] pos(w) ，若 P(w [ x]) ； ( N2 )r2 :[ x] neg (w) ，若 P(w [ x]) 。
对具有描述 [ x] 的对象采用决策 ri 的期望损失 由全概率公式可得：
R(ri [x ] )
1 j s
r (w
i
j
P )w ( j x [ ] ) .
若 R(ri [ x]) min R(rt [ x]) ，则对 [ x] 实施决策 ri .
1t m
例：停车问题
w1 : 会议时间不超过 2 小时； w2 : 会议时间超过 2 小时。
apr (w) pos(w) {x; P(w [ x]) } ， apr (w) pos(w) bnd (w) {x; P( w [ x]) }。
About losses
Losses may be estimated through techniques such as cost-effective analysis and cost-benefit analysis. The estimation of losses is much domain dependent and needs careful investigation based on domain knowledge when applying the decision-theoretic rough set model.
R(ri [ x]) i1 P( w [ x]) i 2 P( W [ x]) ，
i1 (ri w) ， i 2 (ri
w), i 1, 2.
由贝叶斯最小风险决策原理可得：
(Y )r1 :[ x] pos(w) ，若 R(r1 [ x]) R(r2 [ x]) ； ( N )r2 :[ x] neg (w) ，若 R(r2 [ x]) R(r1 [ x]) 。
退化为情形 1.
（3）若 ，
(Y )r1 :[ x] pos(w) ，若 P(w [ x]) ； ( N )r2 :[ x] neg (w) ，若 P(w [ x]) ； ( D)r3 :[ x] bnd (w) ，若 P(w [ x]) ， P(w [ x]) 。
第十讲 概率粗糙集模型
1 Y.Y.Yao, Three-way decisions with probabilistic rough sets, Information Sciences, 180(2010)341-353 2 Y.Y.Yao, S.K.M.Wong, P.Lingras, A decision-theoretic rough set model, in: Z.W.Ras(Eds), Methodologies for Intelligent Systems, vol.5, North-Holland, 1990, 17-24 3 Y.Y.Yao, Y.Zhao, Attribute reduction in decision theoretic rough set model, Information Sciences, 178(2008)3356-3373
一般情况下， （1） pos( D) bnd ( D) U ， pos( D) bnd ( D) . （2） pos( Di ) pos( D j ) (i j ) 一般不成立。 （3） bnd ( Di ) bnd ( Dj ) (i j) 一般不成立。 若 0.5 ，则（2）成立；若 0.5 ，则（2） ， （3）成立； 若 0 ，则 neg ( D) 。
情形 2：全体病人被分为 pos(w) ：立即治疗的病人集合； neg (w) ： 不用治疗的病人集合； bnd (w) ： 进一步观察病人集合。决策集合
A {r1, r2 , r3} ，其中 r1 ： x pos(w) ； r2 : x neg (w) ；
r3 : x bnd (w) 。于是有得到期望风险：
设 U 是病人集合， w 是某种疾病，状态集合 {w,
w} 。
情形 1：全体病人被分为Baidu Nhomakorabeapos(w) ：立即治疗的病人集合； neg (w) ：不用 治疗的病人集合。决策集合 A {r 1 , r2 } ，其中 r 1 ： x pos( w) ；
r2 : x neg (w). 于是有
Derivation of other probabilistic rough set models
假设：
(c0 ) ： 11 31 21 ， 22 32 12 ；
31 11 21 31 )。 (c1 ) ： ( 12 32 32 22
假设： P(w1 x) 0.8, P(w2 x) 0.2. Park on meter ( a1 ): 不超过 2 小时为 2 美元；超过 2 小时为 12 美元. Park in a parking lot ( a2 ): 不超过 2 小时为 7 美元；超过 2 小时为 7 美元. 于是有：
其中 , 已确定，且 .
pos(D) 1im pos(Di ) 1im apr (Di ) ；
bnd ( D) 1i m bnd ( Di ) 1i m ( apr ( Di ) apr ( Di )) ；
neg ( D) U pos( D) bnd ( D).
状态集合（state） {w1 , w2 , 决策集合（action） A {r 1, r 2,
, ws } ， wi U
, rm} 。
P(wj [ x]) ：具有描述 [ x ] 的对象处于状态 w j 的概率；
( ri w j ) ：状态为 w j 时采用决策 ri 的风险损失（量化）.
12 22 假设 11 21 , 22 12 ， ，则有 (21 11 ) (12 22 )
(Y )r1 :[ x] pos(w) ，若 P(w [ x]) ； ( N )r2 :[ x] neg (w) ，若 P(w [ x]) 。
则 1 ， (0.5,1]
apr (w) pos(w) {x; P(w [ x]) } ， apr (w) pos(w) bnd ( w) {x; P( w [ x]) 1 } ，
退化为 Ziarko 变精度粗糙集模型(1993)。 例如，令 12 21 4 ， 31 32 1 ， 11 22 0 ， 则 0.75, 0.25, 0.5 。
(Y )r1 :[ x] pos(w) ，若 P(w [ x]) ； ( N )r2 :[ x] neg (w) ，若 P(w [ x]) ； ( D)r3 :[ x] bnd (w) ，若 P(w [ x]) 。
概念 w 的下近似与上近似定义为 （概率粗糙集模型） ：
设 P 是样本空间 U 上的一个概率测度。 条件概率： P ( A B )
P ( AB )
P( B)
;
全概率公式：设 {Ai ;1 i k} 是样本空间的一个划分，则
P( A)
贝叶斯公式：
1i k
P( AA ) P( A A )P( A ).
i 1i k i i
其中
12 32 12 22 ， ， (21 11 ) (12 22 ) (31 11 ) (12 32 )
32 22 。 (21 31 ) (32 22 )
注意到 介于 与 之间，于是有： （1）若
(1)非对称变精度粗糙集模型（G.Busse, 1992）
apr (w) pos(w) {x; P(w [ x]) } ， apr (w) {x; P(w [ x]) } .
（2）若 12 21 1 ， 11 22 31 32 0 ， 则 1 ， 0 ， 0.5 ，此时
R(ri [ x]) i1 P( w [ x]) i 2 P( W [ x]) ，
i1 (ri w) ， i 2 (ri
w), i 1, 2,3.
由贝叶斯最小风险决策原理可得：
(Y )r1 :[ x] pos(w) ，若 R(r1 [ x]) R(r2 [ x]) ，
R(a1 x) 2 0.8 12 0.2 3 （美元） R(a2 x) 7 0.8 7 0.2 7 （美元）
决策：Park on meter ( a1 )。
R(ri [ x])
1 j s
(r
i
w j ) P( w j [ x]).
医疗诊断问题
，则
(Y )r 1 :[ x] pos( w) ，若 P(w [ x]) ； ( N )r2 :[ x] neg (w) ，若 P(w [ x]) ；
退化为情形 1. （2）若
，则 ，从而
(Y )r 1 :[ x] pos( w) ，若 P(w [ x]) ； ( N )r2 :[ x] neg (w) ，若 P(w [ x]) ； ( D)r3 :[ x] bnd (w) ，若 P(w [ x]) 。
P( Ai A)
P( Ai A)
P( A)
P( Ai )P A ( Ai )
1 j k
P( A ) P( A A )
j j
.
最小风险贝叶斯决策
设 K (U , P, AT ,V , f ) 是一个概率知识表示系统，其中
(U , AT ,V , f ) 是一个信息系统， P 是 U 上的一个概率测度。
apr (1,0) ( w) {x; P( w [ x]) 1} ，
apr (1,0) (w) {x; P(w [ x]) 0} 。
若 P ( w [ x])
w [ x] [ x]
为包含度，则退化
为 Pawlak 粗糙集模型(1982)。
（3）若满足：
(c2 ) ： (31 11 )(21 31 ) (12 32 )(32 22 ) ，
基于概率粗糙集模型的规则获取
设 S (U , At C {D},V , f ) 是一个决策表，
U
D
{Di ;1 i m} ， U
C
{[ x]; x U } . 对于 w U ，
apr (w) pos(w) {x; P(w [ x]) } ， apr (w) {x; P(w [ x]) } ，
R(r3 [ x]) R(r2 [ x]) 。
假设 11 31 21 ， 22 32 12 ，于是有
(Y )r 1 :[ x] pos( w) ，若 P(w [ x]) ， P(w [ x]) ； ( N )r2 :[ x] neg (w) ，若 P(w [ x]) ， P(w [ x]) ； ( D)r3 :[ x] bnd (w) ，若 P(w [ x]) ， P(w [ x]) 。
R(r1 [ x]) R(r3 [ x]) ；
( N )r2 :[ x] neg (w) ，若 R(r2 [ x]) R(r1 [ x]) ，
R(r2 [ x]) R(r3 [ x]) ；
( D)r3 :[ x] bnd (w) ，若 R(r3 [ x]) R(r1 [ x]) ，
具体应用中，有两种方案：
(Y1 )r1 :[ x] pos(w) ，若 P(w [ x]) ； ( N1 )r2 :[ x] neg (w) ，若 P(w [ x]) 。 (Y2 )r1 :[ x] pos(w) ，若 P(w [ x]) ； ( N2 )r2 :[ x] neg (w) ，若 P(w [ x]) 。
对具有描述 [ x] 的对象采用决策 ri 的期望损失 由全概率公式可得：
R(ri [x ] )
1 j s
r (w
i
j
P )w ( j x [ ] ) .
若 R(ri [ x]) min R(rt [ x]) ，则对 [ x] 实施决策 ri .
1t m
例：停车问题
w1 : 会议时间不超过 2 小时； w2 : 会议时间超过 2 小时。
apr (w) pos(w) {x; P(w [ x]) } ， apr (w) pos(w) bnd (w) {x; P( w [ x]) }。
About losses
Losses may be estimated through techniques such as cost-effective analysis and cost-benefit analysis. The estimation of losses is much domain dependent and needs careful investigation based on domain knowledge when applying the decision-theoretic rough set model.
R(ri [ x]) i1 P( w [ x]) i 2 P( W [ x]) ，
i1 (ri w) ， i 2 (ri
w), i 1, 2.
由贝叶斯最小风险决策原理可得：
(Y )r1 :[ x] pos(w) ，若 R(r1 [ x]) R(r2 [ x]) ； ( N )r2 :[ x] neg (w) ，若 R(r2 [ x]) R(r1 [ x]) 。
退化为情形 1.
（3）若 ，
(Y )r1 :[ x] pos(w) ，若 P(w [ x]) ； ( N )r2 :[ x] neg (w) ，若 P(w [ x]) ； ( D)r3 :[ x] bnd (w) ，若 P(w [ x]) ， P(w [ x]) 。
第十讲 概率粗糙集模型
1 Y.Y.Yao, Three-way decisions with probabilistic rough sets, Information Sciences, 180(2010)341-353 2 Y.Y.Yao, S.K.M.Wong, P.Lingras, A decision-theoretic rough set model, in: Z.W.Ras(Eds), Methodologies for Intelligent Systems, vol.5, North-Holland, 1990, 17-24 3 Y.Y.Yao, Y.Zhao, Attribute reduction in decision theoretic rough set model, Information Sciences, 178(2008)3356-3373
一般情况下， （1） pos( D) bnd ( D) U ， pos( D) bnd ( D) . （2） pos( Di ) pos( D j ) (i j ) 一般不成立。 （3） bnd ( Di ) bnd ( Dj ) (i j) 一般不成立。 若 0.5 ，则（2）成立；若 0.5 ，则（2） ， （3）成立； 若 0 ，则 neg ( D) 。
情形 2：全体病人被分为 pos(w) ：立即治疗的病人集合； neg (w) ： 不用治疗的病人集合； bnd (w) ： 进一步观察病人集合。决策集合
A {r1, r2 , r3} ，其中 r1 ： x pos(w) ； r2 : x neg (w) ；
r3 : x bnd (w) 。于是有得到期望风险：
设 U 是病人集合， w 是某种疾病，状态集合 {w,
w} 。
情形 1：全体病人被分为Baidu Nhomakorabeapos(w) ：立即治疗的病人集合； neg (w) ：不用 治疗的病人集合。决策集合 A {r 1 , r2 } ，其中 r 1 ： x pos( w) ；
r2 : x neg (w). 于是有
Derivation of other probabilistic rough set models
假设：
(c0 ) ： 11 31 21 ， 22 32 12 ；
31 11 21 31 )。 (c1 ) ： ( 12 32 32 22
假设： P(w1 x) 0.8, P(w2 x) 0.2. Park on meter ( a1 ): 不超过 2 小时为 2 美元；超过 2 小时为 12 美元. Park in a parking lot ( a2 ): 不超过 2 小时为 7 美元；超过 2 小时为 7 美元. 于是有：
其中 , 已确定，且 .
pos(D) 1im pos(Di ) 1im apr (Di ) ；
bnd ( D) 1i m bnd ( Di ) 1i m ( apr ( Di ) apr ( Di )) ；
neg ( D) U pos( D) bnd ( D).
状态集合（state） {w1 , w2 , 决策集合（action） A {r 1, r 2,
, ws } ， wi U
, rm} 。
P(wj [ x]) ：具有描述 [ x ] 的对象处于状态 w j 的概率；
( ri w j ) ：状态为 w j 时采用决策 ri 的风险损失（量化）.
12 22 假设 11 21 , 22 12 ， ，则有 (21 11 ) (12 22 )
(Y )r1 :[ x] pos(w) ，若 P(w [ x]) ； ( N )r2 :[ x] neg (w) ，若 P(w [ x]) 。
则 1 ， (0.5,1]
apr (w) pos(w) {x; P(w [ x]) } ， apr (w) pos(w) bnd ( w) {x; P( w [ x]) 1 } ，
退化为 Ziarko 变精度粗糙集模型(1993)。 例如，令 12 21 4 ， 31 32 1 ， 11 22 0 ， 则 0.75, 0.25, 0.5 。