椭圆中的焦点弦问题
焦点弦公式
焦点弦公式引言焦点弦公式是解决椭圆、双曲线和抛物线相关问题的重要公式之一。
它通过求取曲线的焦点坐标和弦长以及焦点与弦的垂直距离的关系，为解决相关问题提供了便利。
本文将详细介绍焦点弦公式的推导过程以及应用场景，并给出一些实际问题的例子来帮助读者更好地理解焦点弦公式。
焦点弦公式的推导焦点弦公式的推导涉及到椭圆、双曲线和抛物线三种常见曲线的方程及其性质。
在这里，我们以椭圆为例进行推导。
椭圆的定义和性质椭圆是一个平面上所有点到两个焦点的距离之和等于常数的轨迹。
设椭圆的焦点坐标分别为F1和F2，椭圆的长轴和短轴分别为2a和2b，则椭圆的方程可以表示为：(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1椭圆的焦点与直径的关系可以表示为：2ae = d其中e为离心率，d为焦点之间的距离。
焦点弦公式的推导过程我们考虑椭圆上一点P(x,y)到焦点F1的距离为r1，到焦点F2的距离为r2，焦点与弦的垂直距离为h，弦的长度为2c。
根据椭圆的定义，我们可以得到以下两个方程：r1 + r2 = 2ar1 - r2 = 2h通过解以上方程组，我们可以求解出r1和r2的值：r1 = a + hr2 = a - h根据勾股定理，可以得到焦点弦公式：c^2 = r1^2 - r2^2 = (a + h)^2 - (a - h)^2 = 4ah焦点弦公式的应用焦点弦公式在解决椭圆、双曲线和抛物线相关问题中有广泛的应用。
下面我们将介绍一些实际问题，展示焦点弦公式的具体应用。
问题一：求解椭圆的焦点坐标已知椭圆的方程为(x^2/4) + (y^2/9) = 1，求解焦点坐标。
根据椭圆的方程，可以得到a^2 = 4和b^2 = 9，因此a = 2，b = 3。
根据焦点与直径的关系，可以求得ae = 2ae = 4，因此e = 2，焦点之间的距离为d = 2ae = 4。
由于焦点到直径的距离等于焦点与弦的垂直距离，可以得到焦点与弦的垂直距离h = d/2 = 2。
高中数学椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用
椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用摘要：直线与椭圆相交时的弦长问题，可以用万能的弦长公式解决即12AB x -或者12AB y -，而有一种特殊的弦是过焦点的弦，它的弦长有专门的公式：22222cos ab AB a c θ=-，如果记住公式，可以给我们解题带来方便.下面我们用万能弦长公式，余弦定理，焦半径公式，仿射性四种方法来推导椭圆的焦点弦长公式，这几种方法涉及到很多思想，最后举例说明其应用.解法一：根据弦长公式直接带入解决.题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .椭圆方程12222=+by a x 可化为0222222=-+b a y a x b ……①，直线l 过右焦点，则可以假设直线为：x my c =+(斜率不存在即为0m =时)，代入①得：222222222()20b m a y mcb y b c a b +++-=，整理得，222224()20b m a y mcb y b ++-=∴2412122222222,mcb b y y y y b m a b m a +=-=-++，∴12AB y -==∴()2222221ab AB m b m a=++ （1）若直线l 的倾斜角为θ，且不为90,则1tan m θ=，则有： ()2222222222221111tan tan ab ab AB m b m a b a θθ⎛⎫=+=+ ⎪+⎝⎭+,由正切化为余弦，得到最后的焦点弦长公式为22222cos ab AB a c θ=-……②. （2）若=90θ，则0m =，带入()2222221ab AB m b m a =++,得通径长为22b a ，同样满足②式.并且由()222232222222222222222222()222()2()21=22ab a b m a a ab a a b a a b b AB m a a b m a b m a b m a a a +-+--=+=-≥-=+++,当且仅当0=m 即斜率不存在的时候，过焦点弦长最短为a b 22，故可知通径是最短的焦点弦，.综上，焦点弦长公式为22222cos ab AB a c θ=-.解法二：根据余弦定理解决题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .解：如右图所示，连结11,F A F B ，设22=,F A x F B y =，假设直线的倾斜角为θ，则由椭圆定义可得11=2,2F A a x F B a y -=-，在12AF F ∆中，由余弦定理得222(2)(2)cos()4c x a x cx πθ+---=，化简可得2cos b x a c θ=-，在12BF F ∆中，由余弦定理同理可得2cos b y a c θ=+，则弦长2222222=cos cos cos b b ab AB x y a c a c a c θθθ=+=+-+-.解法三：利用焦半径公式解决题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .解：由解法一知22212121222222222=()22m cb a cx x my c my c m y y c c b m a b m a ++++=++=-+=++.由椭圆的第二定义可得焦半径公式，那么2122,F A a ex F B a ex =-=-故222221212222222222(1)=2()ab m ab ab m AB a ex a ex a e x x b m a b m a ++-+-=-+==++后面分析同解法一.解法四：利用仿射性解决题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .解：利用仿射性，可做如下变换''x xa y yb =⎧⎪⎨=⎪⎩，则原椭圆变为222(')(')x y a +=，这是一个以原点为圆心，a 为半径的圆.假设原直线的斜率为k ，则变换后斜率为ak b.椭圆中弦长212=1AB k x x +-，经过变换后变为212''1()a A B k x x b=+-，带入，得变换前后弦长关系为22221=''b k AB A B b a k++……③而我们知道圆的弦长可以用垂径定理求得.如图所示，假设直线为()ay k x c b=-，圆心到直线的距离为21()a kc bd a k b=+，根据半径为a ，勾股定理求得弦长为222222222()(1)''=221()akc a b k b A B a ak b a k b+-=++，将此结果带入③中，得222222222222222222211(1)2(1)=''=2=b k b k a b k ab k AB A B b a k b a k b a k b a k++++++++，由tan k θ=，带入得 22222cos ab AB a c θ=-.上面我们分别用了四种不同的方法，求出了椭圆中过焦点的弦长公式为：22222cos ab AB a c θ=-，记住这个公式，可以帮助我们快速解决一些题目，下面我们举例说明.例1已知椭圆2212521x y +=的直线交椭圆于,A B 两点，求AB . 分析：如果直接用弦长公式解决，因为有根号，特别繁琐，利用公式则迎刃而解.解：由题，225,21,4=3a b c πθ===，,带入22222cos ab AB a c θ=-得=10AB . 例2已知点3(1,)2P -在椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>上，过椭圆C 的右焦点2(1,0)F 的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点. （1）求椭圆的标准方程；（2）若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，且MNAB ，2ABW MN=,试判断W 是否为定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由.分析：因为l 过焦点，故弦长可以用过焦点的弦长公式解决，显得十分简洁简单. 解：（1）由题知1c =，将点P 带入得221914a b+=，又222a b c =+，解得224,3a b ==，故椭圆方程为22143x y +=. （2）假设(,)A m n，则AB =，设倾斜角为θ，则cos θ=，根据过焦点的弦长公式则2222222222221234cos 12()4abm n MN m a c m n m n θ+===-+-+，故222=443ABm n W MN =+（）=4. 例3如图，已知椭圆22143x y +=的左右焦点为12,F F ，过2F 的直线1l 交椭圆于,A C 两点，过1F 的直线2l 交椭圆于,B D 两点，12,l l 交于点P (P 在x 轴下方)，且1234F PF π∠=，求四边形ABCD 的面积的最大值.分析：注意到以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆没有交点，故形成1234F PF π∠=的点P 在圆内，先可以用焦点弦长公式表示出面积，再利用换元求出其最大值.解：假设1l 的倾斜角为θ,则2l 的倾斜角为3+4πθ，由椭圆的焦点弦长公式得：2124cos AC θ=-, 2124cos ()4BD πθ=--，221221212=2244cos 4cos ()4S AC BD πθθ⋅⋅⋅=⋅⋅---, 设22()(4cos )(4cos ())4f πθθθ=---71714971(cos 2)(sin 2)sin 2+cos 2+sin 42222448θθθθθ=--=-（） 设sin 2cos 2(2,2)t t θθ⎡⎤+=∈-⎣⎦， 则2sin 41t θ=-,带入得24971()+(1)448f t t t =-- 即21797()848f t t t =-+ min 99142()8f t -=,此时2t =， 即sin 2cos 22θθ+=，得到=8πθ.综上，四边形ABCD 的最大值为2882=5.1499142S ≈-.此时=8πθ，得到2l 的倾斜角为78π,刚好两直线关于y 轴对称，如右图所示.。
椭圆中焦点弦长定比问题
椭圆中焦点弦长定比问题是一个常见的几何问题，涉及到椭圆的性质以及焦点和弦长的关系。
假设椭圆的标准方程为 x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中 a和b是椭圆的半长轴和半短轴，c 是焦点到原点的距离，满足 c^2 = a^2 - b^2。
焦点弦是指通过椭圆两个焦点的线段，其长度记为2p。
在椭圆中，焦点弦长与椭圆的长轴和短轴之间存在定比关系。
这个定比关系可以通过椭圆的性质推导出来。
根据椭圆的定义，任意一点P到椭圆两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长，即 |PF1| + |PF2| = 2a。
当点P在椭圆上时，|PF1|和|PF2|分别表示点P到两个焦点的距离。
由于焦点弦通过两个焦点，因此焦点弦的长度2p等于 |PF1| + |PF2|。
所以，焦点弦长2p与椭圆的长轴长2a之间存在定比关系，即 2p = 2a。
这个定比关系表明，无论焦点弦在椭圆上的位置如何变化，其长度始终等于椭圆的长轴长。
焦点弦长定比问题在椭圆几何中具有重要的应用价值，可以用于解决与椭圆相关的其他问题，如求解椭圆的离心率、判断点是否在椭圆上等。
以上，是椭圆中焦点弦长定比问题的基本解释和推导。
椭圆顶点弦和焦点弦的性质及运用
椭圆顶点弦和焦点弦的性质及运用椭圆顶点弦和焦点弦是几何学里关于椭圆的概念，常被用于各种应用，从精确的科学计算到日常生活的活动。
因此，理解椭圆顶点弦和焦点弦的性质及运用，对于几何学的学习者尤其重要。
首先，让我们了解什么是椭圆顶点弦和焦点弦。
根据椭圆的定义，椭圆是一种特殊的抛物线，其中两个焦点（也称作焦点）和一组顶点（也叫顶点）组成了一个闭合的曲线。
椭圆顶点弦是从一个顶点出发，连接到另一个顶点的线段，而焦点弦是从一个焦点出发，连接到另一个焦点的线段。
当一个椭圆接近它的长轴时，椭圆顶点弦会变得很长，而焦点弦会变得很短。
椭圆顶点弦和焦点弦的性质有很多。
首先，它们的长度都是定值，这一性质的特殊，使得它们可以用于计算距离和角度。
其次，在椭圆的任意两个顶点之间，顶点弦的长度大于焦点弦的长度，这一性质可以用于几何证明中的椭圆周长的求解。
此外，两个平行的顶点弦（也就是两个顶点是同一条直线上的）等长，两个垂直的顶点弦也等长，而且都大概等于椭圆的短轴长度。
椭圆顶点弦和焦点弦也存在一些重要的运用。
它们可以用来求解几何形体的一些参数。
例如，如果已知两个顶点的坐标，则可以通过求解椭圆顶点弦的长度来计算椭圆的长轴长度。
此外，它们还可以用来描述一些物理现象，如对波的反射。
这些现象可以用来解释太阳能系统中的热辐射，以及天文学中的光度降低等。
另外，椭圆顶点弦和焦点弦在工程计算中也有许多应用。
它们可以用来计算车辆经过曲线路段时的运动轨迹，以及火箭发射轨道计算等。
它们甚至可以用来求解旋转的机械系统的运动轨迹，例如螺旋桨的运动等。
总之，椭圆顶点弦和焦点弦是几何学中重要的概念。
它们的性质可以用来求解几何形体的参数，还可以用来描述一些物理现象，并拓展出许多工程计算应用。
理解椭圆顶点弦和焦点弦的性质及运用，对于几何学的学习者有着重要的意义。
圆锥曲线焦点弦的八大结论
圆锥曲线焦点弦的八大结论圆锥曲线是几何学中的一类重要的曲线，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。
在圆锥曲线的研究中，焦点和弦是两个重要的概念，它们之间有着许多有趣的关系。
本文将介绍圆锥曲线焦点弦的八大结论。
一、椭圆的焦点弦椭圆有两个焦点，分别为F1和F2。
对于任意一条经过椭圆两个焦点的弦AB，有以下结论：1. 弦中点M在线段F1F2上；2. 焦点到弦的距离之和等于弦长，即AF1 + BF2 = AB；3. 焦点到弦的距离之差等于弦段所在直线与椭圆长轴的距离之差，即AF1 - BF2 = PM - PN，其中P和N分别为弦AB的两个端点在椭圆上的垂足；4. 焦点到弦的距离之比等于弦段所在直线与椭圆焦点连线的斜率，即AF1/AF2 = MF/MG，其中M为弦中点，G为椭圆长轴的中点；5. 弦中点M到椭圆两个焦点的距离之差等于弦段所在直线与椭圆长轴的距离之差，即MF1 - MF2 = PM - PN；6. 弦端点P和N到椭圆两个焦点的距离之差相等，即PF1 - PF2 = NF1 - NF2；7. 椭圆的两个焦点到弦的距离之积等于椭圆长轴的平方减去弦长的平方，即AF1·BF2 = AC - AB，其中AC为椭圆长轴的长度；8. 弦段所在直线与椭圆中心连线的斜率等于椭圆长轴和短轴的比值，即PG/PM = b/a，其中a和b分别为椭圆长轴和短轴的长度。
二、双曲线的焦点弦双曲线有两个焦点，分别为F1和F2。
对于任意一条经过双曲线两个焦点的弦AB，有以下结论：1. 弦中点M在线段F1F2的延长线上；2. 焦点到弦的距离之差等于弦长，即AF1 - BF2 = AB；3. 焦点到弦的距离之和等于弦段所在直线与双曲线渐近线的距离之和，即AF1 + BF2 = PM + PN，其中P和N分别为弦AB的两个端点在双曲线上的垂足；4. 焦点到弦的距离之比等于弦段所在直线与双曲线渐近线的斜率，即AF1/AF2 = MF/MG，其中M为弦中点，G为双曲线渐近线的中点；5. 弦中点M到双曲线两个焦点的距离之和等于弦段所在直线与双曲线渐近线的距离之和，即MF1 + MF2 = PM + PN；6. 弦端点P和N到双曲线两个焦点的距离之差相等，即PF1 - PF2 = NF2 - NF1；7. 双曲线的两个焦点到弦的距离之积等于双曲线的常数c的平方减去弦长的平方，即AF1·BF2 = c - AB，其中c为双曲线的常数；8. 弦段所在直线与双曲线中心连线的斜率等于双曲线焦点之间的距离和双曲线渐近线的斜率之和的倒数，即PG/PM = (F1F2/c) + (c/PN)。
椭圆相互垂直的焦点弦倒数和
椭圆相互垂直的焦点弦倒数和全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：椭圆是一种常见的几何形状，是平面上一点到两个定点（焦点）的距离之和等于常数的所有点的集合。
椭圆在数学和物理学中有着广泛的应用，而它与焦点之间的关系更是数学家们的研究对象之一。
在椭圆中，焦点是椭圆的一个重要特征，它与椭圆上的所有点都有一定的关系。
如果把椭圆看作一个圆，那么焦点就是在圆上的两个点。
在椭圆中，焦点的位置是非常特殊的，它和椭圆的形状密切相关。
椭圆通常有两个焦点，我们可以将这两个焦点分为主焦点和副焦点。
主焦点是椭圆长轴上的两个焦点中距离较大的那个，而副焦点则是距离较小的那个。
焦点之间的距离是椭圆的一个重要特征，不同大小的焦点距离会导致椭圆形状的变化。
在研究椭圆时，数学家们发现了一个有趣的现象：椭圆的主焦点和副焦点之间的弦的倒数是一个常数。
这个常数被称为椭圆的焦点弦倒数和，是一个固定的数值，不随椭圆的形状而变化。
椭圆的焦点弦倒数和可以用数学公式来表示。
设椭圆的主焦点为F1（x1，y1），副焦点为F2（x2，y2），椭圆上任意一点P（x，y），则椭圆的焦点弦倒数和为：1/ PF1 + 1/ PF2 = 常数椭圆的焦点弦倒数和是一个有趣的数学性质，它揭示了椭圆的内在规律和结构。
这个性质在数学研究和实际应用中都具有重要的意义，能够帮助我们更深入地理解和应用椭圆这一几何形状。
第二篇示例：椭圆是一种重要的几何形状，由具有不同焦点和不同轴的两个焦点组成。
椭圆与一根通过其两个焦点的线段形成了两个相互垂直的焦点弦。
在本文中，我们将讨论椭圆相互垂直的焦点弦的倒数和。
让我们来回顾一下椭圆的定义。
椭圆是一个闭合曲线，其上所有点到两个焦点的距离之和等于一个常数的图形。
椭圆由一个水平轴和一个垂直轴组成，焦点位于水平轴上。
椭圆的形状由其长轴和短轴的长度决定。
让我们考虑一个简单的椭圆，其短轴长度为2，长轴长度为4。
这个椭圆的两个焦点分别为(-1,0)和(1,0)。
【椭圆小题突破】第2讲 椭圆焦半径与焦点弦2(用焦半径的长度的范围解题)(教案) 二轮复习专题
椭圆的焦半径和焦点弦2用焦半径的长度的范围解题知识点：设椭圆的焦半径为r ，则a-c≤r ≤a+c1.椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的左、右焦点分别是F 1、F 2，若存在点M 使|MF 1|=3|MF 2|,则该椭圆离心率的取值范围是 .法一：用焦半径的范围r 1+r 2=2a,r 1=3r 2,2r 2=a,a-c≤a 2≤a+c,e≥12法二：用焦半径公式＋椭圆上点的坐标的范围a+ex =3(a-ex ),2ex =a ,x =a 2e ，又x ≤a , e≥12法三：用特殊位置＋椭圆离心率的意义当M 点是右顶点时，a+c =3(a-c ),4c =2a ,e =12 , 另外，当椭圆越来越扁时，必存在点M 使|MF 1|=3|MF 2|,所以e ≥122.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(-c ,0),F 2(c ,0),若椭圆C 上存在一点P 使a sin∠PF1F2＝ c sin∠PF2F1,则该椭圆的离心率的取值范围为___________.【答案】)1,1- 法一：用焦半径公式＋椭圆上点的坐标的范围因为在12PF F ∆中,由正弦定理得211221sin sin PF PF PF F PF F = 则由已知,得1211a c PF PF =,即12aPF cPF = 设点00(,)x y 由焦点半径公式,得1020,PF a ex PF a ex =+=-则00()()a a ex c a ex +=-记得0()(1)()(1)a c a a e x e c a e e --==-+由椭圆的几何性质知0(1)(1)a e x a a e e ->->-+则,整理得2210,e e +->解得11(0,1)e e e <<∈或，又,故椭圆的离心率1,1)e ∈ 法二：用焦半径的范围由法一知12c PF PF a=由椭圆的定义知 212222222c a PF PF a PF PF a PF a c a+=+==+则即,由椭圆的几何性质知22222,,20,a PF a c a c c c a c a<+<++->+则既所以2210,e e +->以下同解析1.3.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ，直线x =a 2c 与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．⎛ ⎝⎦D ．⎫⎪⎪⎣⎭【答案】B【详解】由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，即F 点到P 点与A点的距离相等，即|PF |=|F A |，|F A |= 22,a b c c c-=又[,]PF a c a c ∈-+ 2[,]b a c a c c∴∈-+222ac c b ac c ∴-≤≤+ 222222ac c a c ac c a c ⎧-≤+∴⎨+≥-⎩22210210e e e e ⎧-+≥∴⎨+-≥⎩解得12e ≥或1e ≤-（舍）又1(0,1)[,1)2e e ∈∴∈4.已知椭圆x 24+y 2=1，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则1|PF1|+1|PF2|的取值范围为（ ）A ．[]1,2B． C．4⎤⎦ D ．[]1,4【答案】D 【详解】对于椭圆2214x y +=，2a =，1b =，c = 根据椭圆的定义可得1224PF PF a +==， 设1PF x =，则24PF x =-，且a c x a c -≤≤+，即22x ≤≤ 则()()[]221244241,4PF PF x x x x x ⋅=-=-+=--+∈， 所以，[]121212121141,4PF PF PF PF PF PF PF PF ++==∈⋅⋅.。
焦点弦的角度公式
焦点弦的角度公式焦点弦的角度公式是解决焦点弦相关问题的重要工具。
焦点弦指的是一条通过椭圆焦点且与椭圆相交于两个点的线段。
焦点弦的角度公式可以用来计算焦点且已知椭圆上的两个点的角度。
本文将以焦点弦的角度公式为标题，详细介绍焦点弦的概念、角度公式的推导以及应用举例。
一、焦点弦的概念焦点弦是指一条通过椭圆焦点的线段，且与椭圆相交于两个点。
在椭圆中，焦点是特殊的点，具有重要的几何性质。
当焦点弦与椭圆相交时，可以利用焦点弦的角度公式计算焦点且已知椭圆上的两个点的角度。
二、焦点弦的角度公式的推导为了推导焦点弦的角度公式，我们先回顾一下椭圆的性质。
椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和是一个常数，这个常数称为椭圆的焦距。
设焦点到椭圆上的两个点的距离分别为d1和d2，焦距为2a，则有d1+d2=2a。
根据椭圆的性质，我们可以得到焦点弦的角度公式。
设焦点弦与椭圆相交于A、B两点，焦点为F。
首先，我们将焦点弦延长，使其与椭圆交于C点。
则有AC=BC，且AF=BF。
根据余弦定理，我们可以得到以下关系式：AC² = AF² + FC²BC² = BF² + FC²由于AC=BC，我们可以将上述两个关系式相等，得到：AF² + FC² = BF² + FC²将上述等式化简，得到：AF² = BF²进一步化简，我们可以得到：AF = BF由此可见，焦点弦的角度公式为：∠AFB = ∠BAF三、焦点弦角度公式的应用举例现在我们通过一个具体的例子来应用焦点弦的角度公式。
假设椭圆的焦点为F1和F2，椭圆上的两个点为A和B。
已知焦点到A的距离为d1，焦点到B的距离为d2，焦距为2a。
根据焦点弦的角度公式，我们可以得到∠AF1B = ∠BAF1和∠AF2B = ∠BAF2。
因此，我们可以利用已知的角度和距离计算其他未知量。
椭圆中定点定值问题(与焦点弦有关)
椭圆中的“定”二、与椭圆的焦点弦有关4. 椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 的离心率为e ，PQ 为过椭圆焦点2F 而不垂直于x 轴的弦，且PQ的中垂线交x 轴于R ，则22PQ F R e=. 5.PQ 为过椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 的一个焦点2F 的弦，2F K 为焦准距，e 为椭圆的离心率，则222112PF QF e F K+=.6.（1）PQ 为过椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 焦点F 的弦，PQ 的中垂线交F 所在的椭圆的对称轴于R ，直线RF 交F 所对应的准线于K ，则P 、K 、Q 、R 四点共圆.（2）弦MN （异于长轴）过椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 的右焦点2F ，过椭圆左顶点1A 的两条直线11,A M A N交椭圆的准线l 于,S T 两点,则以ST 为直径的圆一定过椭圆的右焦点2F 和2F 关于准线的对称点.（3）弦MN 过椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 的右焦点2F ，椭圆的准线l 交椭圆的对称轴于点D ,则22MDF NDF ∠=∠.（4）P 为椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 上任一点，2F 为椭圆右焦点，过P 作椭圆的切线交椭圆的右准线于点N ，则222ON PF b k k a=-.7.(1,2,3,)n n P Q n =为过圆锥曲线的一个焦点2F 的弦，n n P Q 的中垂线交2F 所在的曲线的对称轴于n R ，则过,,(1,2,3,)n n n P Q R n =的圆必交于同一点2,0a c ⎛⎫ ⎪⎝⎭.8. 弦AB （异于长轴）过椭圆12222=+b y a x C ：()0>>b a 的焦点，过B A ,两点分别作椭圆的两条切线交圆222x y a +=于,M M '两点，则（1）MM '是圆222x y a +=的一条直径，且四边形MM BA '为梯形；（2）角APB ∠为锐角；（3）若两切线的交点为P ，当点P 为2,0a c ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，APB ∆的面积最小，其最小值为4b ac.9.在椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 通径（过焦点且垂直于焦点轴的弦）的延长线上任取一点()00,P x y 作椭圆两条切线12,PP PP ，则切点弦12PP ，x 轴和准线l 三线共点.10.直线l 是过椭圆12222=+b y a x C ：()0>>b a 上一点P 的切线，它与经过椭圆左顶点1A 的切线交于点N ，椭圆的左焦点F 和点N 的的连线FN 与左准线交于点M ，则椭圆的右顶点2A ，切点P 及点M 三点共线.11.直线l 是过椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 上一点P 的切线，它与经过椭圆右顶点2A 的切线交于点N ，椭圆的左焦点F 和点N 的的连线FN 与左准线交于点M ，则椭圆的左顶点1A ，切点P 及点M 三点共线.12.直线l 是过椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 上一点P 的切线，过该椭圆右的左焦点1F 作1F N l ⊥，且与椭圆的左准线交于点M ，则椭圆的中心O ，切点P 及点M 三点共线.、13. 如图，点F 是椭圆12222=+b y a x C ：()0>>b a 的右焦点，直线l 是椭圆的右准线，点P 在椭圆上且PF x ⊥轴，AB 是经过右焦点F的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与直线l 相交于点M ，则2PA PB PM k k k +=.14. 过椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 的焦点(),0F c 作倾斜角为θ的直线，交椭圆于,A B 两点，则2221cos ep AB e θ=-（e 为离心率，p 为焦参数（通径长的一半））. 15. 弦AB 过椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 的焦点F ，且AF FB λ=（点A 位于点B 之上），则弦AB 所在直线的斜率()()()222110,11e k λλλλ+=-≠≠±-.。
一道椭圆焦点弦问题的7种解法
得 (+
,
即k2(4c2a2-b4)=b4，⑤
(
− )，
+
=
(
+ ),
+
−
− ) (+ + )＝ + ，
得− = ，④
22＝32 ，即 − , − = Βιβλιοθήκη − , ,由①④得： =
−
，
+
−
由③⑤得 ＝ − ，
=
2
2 2
2
，代入②得：a =(25c -a )m ,
+
··
得5b2=6am.②
−
=
(4a2- 5b2)( + ) =
4a2=5b2=5(a2-c2)
a2=5c2
.
=
①
.
引例
已知椭圆C：
+
= > > 的左、右焦点分别是F1、F2，过F2的直
− = ,
③
− ( + ) + =0
④
−
把①②代入④，得：· + -3c·+ +a2=0,
即c2(k2c2-b2)-6c2a2k2+a2(b2+a2k2)=0,
即k2(c4-6c2a2+a4)=-b4
第八章 第3节 椭圆、双曲线的角版焦半径、焦点弦公式-解析版
第3节 椭圆、双曲线的角版焦半径、焦点弦公式知识与方法1．椭圆()222210x y a b a b +=>>的一个焦点为F ，P 为椭圆上任意一点，设PFO α∠=，则椭圆的焦半径2cos b PF a c α=-，若延长PF 交椭圆于另一点Q ，则椭圆的焦点弦22222cos ab PQ a c α=-. 2．双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点为F ，P 为双曲线上任意一点，设PFO α∠=，则双曲线的焦半径2cos b PF c a α=±，若直线PF 交双曲线于另一点Q ，则双曲线的焦点弦22222cos ab PQ a c α=-.（焦半径公式中取“+”还是取“－”由P 和F 是否位于y 轴同侧决定，同正异负）典型例题【例1】已知椭圆22:142x y C +=的左焦点为F ，过F 且倾斜角为45°的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，则AB =______；若AF BF >，则:AF BF =______. 【解析】如图，设AFO α∠=，则45α=︒由焦点弦公式，2222222228cos 42cos 453ab AB a c α︒⨯⨯===--⨯， 由焦半径公式，22cos 22cos45b AF a c α︒===--，()2323cos 18045BF ==-︒-︒，所以:3:1AF BF =.【答案】83，3:1变式1 已知椭圆22:142x y C +=的左焦点为F ，过F 且斜率为2的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，则AB =______【解析】设直线l 的倾斜角为α，则tan 2α=，所以5cos α=，由焦点弦公式，22222222220cos 9542ab AB a c α⨯⨯===--⨯⎝⎭.【答案】209变式2 已知椭圆22:142x y C +=的左焦点为F ，过F 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，若3AF =，则AB =______.【解析】设AFO α∠=，则由焦半径公式，23cos 22cos b AF a c αα===--，解得：22cos α，由焦点弦公式，2222218cos 5ab AB a c α==-. 【答案】185变式 3 已知椭圆22:142x y C +=的左焦点为F ，过F 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，若AF BF AF BF λ+=⋅，则λ=________.【解析】设AFO α∠=，则BFO πα∠=-，由焦半径公式，2cos 22cos b AF a c αα==--，()2cos 22cos b BF a c παα=--+，所以1122cos 22cos 2AF BF αα-++=，从而2AF BF AF BF +=⋅，即2λ=.【答案】2【反思】一般地，设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点为F ，过F 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，则2112a AF BF b +=. 变式4 已知椭圆222:14x y C b +=()02b <<的右焦点为F ，过F 且倾斜角为60°的直线l 交椭圆C 于A 、B两点，若167AB =，则椭圆C 的离心率为________.【解析】由焦点弦公式，()222222222216cos 744cos 60ab b AB a c b α⨯⨯===---⨯︒，解得：22b =，所以242b e -=. 2变式5 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 且斜率为1的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，若2AF 、AB 、2BF 成等差数列，则椭圆C 的离心率为______.【解析】直线l 的斜率为1l ⇒的倾斜角45α=︒，由焦点弦公式，22222cos 45ab AB a c =-︒，2AF 、AB 、2BF 成等差数列222223AB AF BF AB AF BF AB ⇒=+⇒=++， 如图，由椭圆定义可得224AF BF AB a ++=，所以34AB a =，故222264cos 45ab a a c =-︒，化简得：22232b a c =-，所以2222332a c a c -=-， 从而224a c =，故椭圆C 的离心率12c e a ==.【答案】12【例2】过双曲线22:142x y C -=3______.【解析】3k =⇒直线的倾斜角60α=︒，由焦点弦公式，222222222165cos 46cos 60ab AB a c α⨯⨯===--︒. 【答案】165变式1 过双曲线22:142x y C -=的右焦点F 的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，若8AB =，则直线l 的方程为_______.【解析】由题意，2a =，2b =，6c =()6,0F，设直线AFO α∠=，则由焦点弦公式，22222248cos 23cos ab AB a c αα===--，解得：25cos 6α=或12， 若25cos 6α=，则21sin α=，所以21tan 5α=，从而直线l 的斜率5tan k α==，故直线l 的方程为)56y x =；若21cos 2α=，则21sin 2α=，所以2tan 1α=，从而直线l 的斜率tan 1k α==±，故直线l 的方程为(6y x =±； 综上所述，直线l 的方程为56y x =或(6y x =± 【答案】)56y x =或(6y x =± 变式2 过双曲线22:142x y C -=的右焦点F 的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，若23AF =，则BF =______.【解析】设AFO α∠=，因为23AF =，所以点A 必在双曲线右支上，由焦半径公式，22cos 36cos 2b AF c a αα===++，解得：6cos α=30sin α=，从而tan 5αC 的渐近线的斜率为2， 25，所以点B 也在双曲线的右支上，如图，由图可知，BFO AFO ππα∠=-∠=- 所以()22cos 6cos 2b BFc a παα===-+-+.【答案】2强化训练1.（★★）已知椭圆22:143x y C +=的左焦点为F ，过F 且倾斜角为60°的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，则AB =_______.【解析】由焦点弦公式，22222222316cos 51412ab AB a c α⨯⨯===-⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭. 【答案】1652.（★★）已知椭圆22:193x y C +=的左焦点为F ，过F 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，若3AB =，则直线l 的方程为________.【解析】设直线l 的倾斜角为α，由焦点弦公式，2222222333cos 96cos ab AB a c αα⨯⨯===--⨯，从而2cos 2α=，所以45α=︒或135°，从而直线l 的斜率为1±，显然()6,0F ，故直线l 的方程为6y x =或6y x =-- 【答案】6y x =或6y x =-3.（★★★）已知椭圆22:142x y C +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 且倾斜角为45°的直线l 交椭圆C于A 、B 两点，则2ABF 的面积为________.【解析】如图，由焦点弦公式，222228cos 3ab AB a c α==-，所以21218sin 4523ABF S F F AB =⋅⋅︒=.【答案】834.（★★★）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>一个焦点为F ，过F 且斜率为1的直线l 交椭圆C 于A 、B两点，若34AB a =，则椭圆C 的离心率为________.【解析】由题意，直线l 的倾斜角为45°，由焦点弦公式，22222cos 45ab AB a c =-︒，因为34AB a =，所以222264cos 45ab aa c =-︒，结合222b a c =-化简得：222a c =，故离心率2c e a ==.2 5.（★★★）已知F 是椭圆22:142x y C +=的左焦点，过F 且不与x 轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，弦AB 的中垂线交x 轴于点M ，则ABFM =________. 【解析】解法1：如图，由对称性，不妨设直线的倾斜角为锐角，A 在x 轴下方，则22222442cos 2cos AB αα⨯⨯==--，()22cos 22cos AF παα=--+， 所以2212222cos 2cos 22cos FN AN AF AB AF αααα=-=-=-=--+， 从而2cos FN FM α==22AB FM =解法2（特值法）：考虑AB y ⊥的情形，此时4AB =，M 与原点重合，所以2FM =22AB FM=【答案】26.（★★★）如图，椭圆22:12x C y +=的左焦点为F ，过F 作两条互相垂直的直线分别与椭圆交于A 、B 和D 、E 四点，则四边形ADBE 的面积的取值范围是________.【解析】设AFO α=，不妨假设0πα≤≤，则EFO πα∠=+，由焦点弦公式，22AB =222222cos 2DE α==-+ ⎪⎝⎭， 所以四边形ADBE 的面积()()221122224222cos 2sin S AB DE αα=⋅==-- 2222241642sin 2cos sin cos 8sin 2ααααα==--++， 显然20sin 21α≤≤，所以1629S ≤≤，即四边形ADBE 的面积的取值范围是16,29⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【答案】16,29⎡⎤⎢⎥⎣⎦7.（★★★）双曲线22:1C x y -=的右焦点为F ，过F 的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，若4AB =，则直线l 的方程为________.【解析】由题意，1a b ==，2c =)2,0F，设直线AFO α∠=，则由焦点弦公式，22222224cos 12cos ab AB a c αα===--，解得：23cos 4α=或14， 若23cos 4α=，则21sin α=，所以21tan 3α=，从而直线l 的斜率3tan k α==，故直线l 的方程为32y x =；若21cos 4α=，则23sin 4α=，所以2tan 3α=，从而直线l 的斜率tan 3k α==，故直线l 的方程为32y x =±，综上所述，直线l 的方程为32y x =±或32y x =- 【答案】32y x =或32y x = 8.（★★★）双曲线22:163x y C -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，若213AF AF =，则2BF =________.【解析】由题意，2121326AF AF AF AF ⎧=⎪⎨-=⎪⎩16AF =1AF O α∠=，则21cos 3cos 6b AF c a αα==++，所以63cos 6α=+，解得：6cos α=，从而230sin 1cos αα=-sin tan 5cos ααα==-C 的渐近线斜率为2，因为25-，所以点B 也在左支上，且1BFO πα∠=-， 故()226cos 6366b BF c aπα===-+⎛⎫-⨯-+ ⎪ ⎪ 6 9.（★★★）双曲线22:13y C x -=的左焦点为F ，点P 在双曲线C 的右支上，且5PF =，则PFO 的面积为________.【解析】解法1：由题意，1a =，3b 2c =，设PFO α∠=，由焦半径公式，23cos 2cos 1b PF c a αα==--，又5PF =，所以352cos 1α=-，解得：4cos 5α=，所以3sin 5α=，如图，显然113sin 523225PFO S PF OF α=⋅⋅=⨯⨯⨯=.解法2：由题意，1a =，2c =，离心率2e =，设()00,P x y ，由焦半径公式，0125PF x =+=，又5PF =，所以0125x +=，解得：02x =或3-，因为P 在右支上，所以02x =， 代入双曲线方程可求得03y =±，所以01123322PFOSOF y =⋅=⨯⨯±=. 解法3：如图，设双曲线C 的右焦点为1F ，由双曲线定义，12PF PF -=，又5PF =，所以13PF =， 易求得14FF =，所以22211PF FF PF +=，故11PF FF ⊥，所以1111143622PFF SFF PF =⋅=⨯⨯=， 显然O 是1FF 的中点，所以1132PFO PFF S S ==.【答案】3。
椭圆中焦点弦长度公式
椭圆中焦点弦长度公式椭圆是数学中一种常见的几何形状，具有许多独特的特性和性质。
其中一个有趣的性质是椭圆中焦点弦长度的计算公式。
在本文中，我们将探讨这个公式，并解释它的含义和应用。
在椭圆中，焦点是椭圆的重要元素之一。
焦点是指椭圆内部到椭圆上各点的距离之和相等的两个点。
当我们在椭圆中画一条弦时，我们可以通过计算这条弦的长度来确定与这条弦相关联的焦点。
焦点弦长度公式可以用以下方式表示：焦点弦长度 = 2a * sqrt(1 - e^2 * sin^2(θ))在这个公式中，a 是椭圆的半长轴的长度，e 是椭圆的离心率，θ 是焦点弦与椭圆长轴的夹角。
sqrt 表示平方根的符号。
离心率 e 描述了椭圆的形状。
当 e 等于 0 时，椭圆就是一个圆，而当 e 大于 0 时，椭圆的形状将变得更加扁平。
夹角θ 是焦点弦与椭圆长轴的夹角，它决定了焦点弦的方向。
椭圆中焦点弦长度公式的意义在于，它可以帮助我们计算椭圆中任意弦的长度。
通过测量焦点弦的夹角和椭圆的半长轴长度，我们可以准确地计算出焦点弦的长度。
这个公式在许多领域中都有重要的应用。
例如，在天文学中，椭圆轨道被用来描述行星和卫星的运动。
通过计算椭圆中焦点弦的长度，我们可以确定行星或卫星的轨道参数，从而更好地了解它们的运动规律。
在工程学和建筑学中，椭圆的焦点弦长度公式也有广泛的应用。
例如，在设计椭圆形建筑结构时，我们可以使用这个公式来计算椭圆窗户的弦长，以便更好地安排材料和构造。
椭圆中焦点弦长度公式是一种重要的数学工具，可以帮助我们计算椭圆中任意弦的长度。
它在天文学、工程学和建筑学等领域都有广泛的应用。
通过理解和应用这个公式，我们可以更好地理解和利用椭圆的特性。
余弦定理巧解椭圆中的焦点弦问题
点 A 为椭圆上的一动点 ( 非长轴端点 )，AF2 的延长线与椭圆交 于 B 点，AO 的 延 长 线 与 椭 圆 交 于 C 点， 求 ΔABC 面 积 的 最 大值 .
点和右顶点，且
，离心率
. ( Ⅰ ) 求椭圆 C 的
方程；( Ⅱ ) 设经过 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A, B 两点，求
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3.2 指导借方贷方 簿记当中一些术语的含义与实际生活中的差异比较大，例 如“借方”、“贷方”与实际生活的“借贷”含义相距甚远，初 学者由于生活中的观念根深固蒂，容易受到影响和干扰。教师 可以先举出一些实际例子来对这些差异进行说明，但是不能够 因为担心学生会混淆而避之不谈。学生要想学好簿记知识，对 于专业术语的学习是不可避免的。因此，在对簿记逐渐深入地 学习过程中，还是需要对“借方”、“贷方”进行分析和解释。 但是教师也应该了解，“借方”、“贷方”这一专业术语并没有根 本性质的解释和说明 [6]。因此，在实际中可以将“贷方”理解 为原因，“借方”看做是结果，这样便于学生理解。 3.3 指导分录 在簿记教学当中，分录具有重要作用。日式簿记中，对贸 易进行分录是最为基础的环节，但是其作用又至关重要，因此 学生要利用大量的时间进行学习。学生要做到能够随时对会计 科目进行正确的分录，如果不能够掌握，日式簿记的学习将很 难继续进行。因此投入大量的时间成本来实现这一目标是必要 的。很多簿记课程教师在进行分录讲解时，要指导学生学会学 习簿记的基本方法，在对一些专业术语进行讲解时，可以不需 要详细说明其渊源和根本意义，只需要告诉学生将其当做符号 能够使用即可。高校日语专业学生开设日式簿记课程只是为了 让其掌握技能，学习会计的操作流程，如果背景和理论知识等 枯燥的内容过多，学生的学习兴趣会下降。因此，在教学过程 中，培养学生掌握技能的同时，还要对教学的方式和内容进行 相应的调整。 3.4 指导决算整理 在簿记教学中，决算整理也是其中一项重要的内容。在学 习时要注重以下几个方面：①要对学生的数感进行培养。“数感” 是指比较数量大小或者估计运算结果等对于数字的感觉。学生 数感灵敏在运算的过程中就能够预判自己计算结果和真实结果 之间的差异。一旦产生差距会及时进行更正，节省精力和时间； ②在进行账簿登记时，要求学生能够学会现金出纳账，这是账 簿的基础工作；③在精算表的学习过程中要多做题目，做到熟 能生巧。
焦点弦公式推导过程
焦点弦公式推导过程1. 椭圆焦点弦公式推导。
- 设椭圆方程为frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0)，过焦点F(c,0)（c=√(a^2)-b^{2}）的直线方程为y = k(x - c)（当直线斜率存在时）。
- 设直线与椭圆交点为A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)。
- 将直线方程y = k(x - c)代入椭圆方程frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1，得到：- frac{x^2}{a^2}+frac{k^2(x - c)^2}{b^2} = 1。
- 展开并整理得(a^2k^2+b^2)x^2-2a^2ck^2x+a^2(c^2k^2-b^2) = 0。
- 根据韦达定理，x_1+x_2=frac{2a^2ck^2}{a^2k^2+b^2}，x_1x_2=frac{a^2(c^2k^2-b^2)}{a^2k^2+b^2}。
- 弦长| AB|=√(1 + k^2)| x_1-x_2|。
- 先求(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2。
- 将x_1+x_2和x_1x_2的值代入可得：- (x_1-x_2)^2=(frac{2a^2ck^2}{a^2k^2+b^2})^2-4frac{a^2(c^2k^2-b^2)}{a^2k^2+b^2}。
- 化简得(x_1-x_2)^2=frac{4a^2b^4(1 + k^2)}{(a^2k^2+b^2)^2}。
- 所以| AB|=√(1 + k^2)·frac{2ab^2}{a^2k^2+b^2}。
- 当直线斜率不存在时，直线方程为x = c，代入椭圆方程得y=±frac{b^2}{a}，此时弦长| AB|=frac{2b^2}{a}。
2. 双曲线焦点弦公式推导（以焦点在x轴为例）- 设双曲线方程为frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2} = 1(a>0,b>0)，过焦点F(c,0)（c=√(a^2)+b^{2}）的直线方程为y = k(x - c)（当直线斜率存在时）。
焦点在y轴上的椭圆焦点弦推导过程
焦点在y轴上的椭圆焦点弦推导过程
椭圆是一种特殊的曲线，它一般包含两个焦点，其椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距
离总和为定值，这种距离总和之常量定义为椭圆的焦距。
这种特殊的性质使得椭圆成为许
多物理、数学和代数的研究和应用的重要实例。
下面我们用微积分方法来推导焦点弦构成
的椭圆。
首先，我们建立椭圆关于直角坐标系统的参数方程，其中F(x,y)表示一个椭圆：
F(x,y)=(x-a)^2/a^2+(y-b)^2/b^2=1
已知椭圆焦点弦信息：起始点为(x_0,y_0)，终点为(x_1,y_1)，它们分别属于椭圆F(x,y)，那么x_0=a, y_0=0, x_1=a, y_1=b。
那么F(x_0,y_0)=1, F(x_1,y_1)=1，带入上面的方程，解出: a=x_0, b=y_1
现在，来考虑椭圆的焦点弦端点到其余两点问题，我们已知x_0^2/a^2+y_0^2/b^2=1，
x_1^2/a^2+y_1^2/b^2=1，那么它们之间的距离是：
√[(x_0-x_1)^2+(y_0-y_1)^2]=√[2a^2+(y_1^2-y_0^2)]=√[2a^2+b^2]=2a
所以经过之前的推理，整条椭圆焦点弦的焦距为：2a，即x轴上任意点到椭圆的两个焦点，其椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离总和为2a。
总之，在y轴上的椭圆焦点弦构成的椭圆是由方程F(x,y)=(x-a)^2/a^2+(y-b)^2/b^2=1
表示的，这里a=x_0、b=y_1。
椭圆的焦距为2a，即x轴上任意点到椭圆的两个焦点，其
椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离总和为2a。
椭圆的焦点弦长公式
椭圆的焦点弦长公式在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题，如何解决这类问题呢？首先我们有 命题： 若椭圆的焦点弦F i F 2所在直线的倾斜角为，a 、b 、c 分别表示椭圆的长半轴长、短2ab 2~22 2a c cos上面命题的证明很容易得岀，在此笔者只谈谈该命题的应用。
例1、已知椭圆的长轴长 AB 8，焦距F J F 2 4J2，过椭圆的焦点 F j 作一直线交椭圆于P 、Q 两点，设 PF 1X（0长？），当 取什么值时，PQ 等于椭圆的短轴PQ 是椭圆的焦点弦，且 a 4，c 2.. 2，从而b 2 2，故由焦厂譬 —及题设可得：2 4（2•斗 4 2，解得a c cos16 8cos2 2 2a c cos —3cos 2 2，即 arc cos . 22 或 arc cos . 2 2。
例2、在直角坐标系中, 线|通过点F ，且倾斜角为 已知椭圆 E 的一个焦点为 F （ 3，1），相应于F 的准线为丫轴，直 —，又直线|被椭圆E 截得的线段的长度为 16，求椭圆 3 5 E 的方程。
分析：由题意可设椭圆 E 的方程为（X c 3） (y21) 1，又椭圆 b 2E 相应于F 的准线为丫 轴，故有a 2（1），又由焦点弦长公式有2ab 216(2)又a 2b 2(3) 。
解由（1）、2（2）、（3）联列的方程组得：a 24，b 2从而所求椭圆 E 的方程为(x 4)2(y 1)2F i F 222a b2及其应用 a c cos分析：由题意可知点弦长公式F 1F 2半轴长和焦半距，则有例3、已知椭圆C:2x~2a b21 （a b 0），直线h ：-丄1被椭圆a b长为2、2，过椭圆右焦点且斜率为..3的直线12被椭圆C截得的弦长是它的长轴长的圆C的方程。
2 2分析：由题意可知直线h过椭圆C的长、短轴的两个端点，故有 a b 8，由焦点弦长公式得2ab2~2 2 2a c cos4a5（2）因tan =、. 3，得一3b2 2 （4）。
椭圆中的焦点弦问题
(k 2 1)x12 8kx1 16 (k 2 1)x22 无法解出，怎么办？
巩固练习
法二：联立方程组
y-2 kx
消去y
(3 k 2 )x2 4kx 2 0
3x2 y2 6
y
x1
x2
4k 3 k2
,
x1x2
2 3 k2
B F2
AB 4a ( F1A F1B ) 4 63 6 6
直线与椭圆回顾旧知回顾旧知设直线与椭圆交于两点直线的斜率为axybxy适用于任意二次曲线例题精讲例题精讲回顾旧知回顾旧知到两定点的距离之和为常数2a大于两定点的距离2c的点的轨迹叫做椭圆例题精讲例题精讲回顾旧知回顾旧知例题精讲例题精讲法一
2014.11.14
A(3分)
B(3分)
C(2分)
D(1分)
AB
AB 1 k 2 （x1 x2）2 4x1x2
1
1 k2
（y1
y2）2 4 y1 y2
适用于任意二次曲线
例题精讲
变式1
例题精讲
变式2
分析：（1） CF1AB 4a
（2） 法一：以AB作为底
法二：以F1F2作为底，将三角形分成两个
y
B F2
A ox
F1
例题精讲
变式3
分析： 法一：韦达定理法 法二：点差法 优点：计算量小！
为更好满足学习和使用需求，课件在下 载后自由编辑，请根据实际情况进行调
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问题：椭圆与直线的位置关系？
椭圆焦点弦长公式推导 二级结论
椭圆焦点弦长公式推导二级结论为了推导椭圆焦点与其对应弦的长度公式，我们可以先找到椭圆的焦点坐标。
设椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1其中a和b分别是椭圆长轴和短轴的半长轴。
根据焦点定义，我们知道椭圆的焦点位于x轴上的两个点:F1(a,0)和F2(-a,0)。
我们以F1(a,0)为例进行推导。
设椭圆上任意一点为P(x,y)。
根据焦距定理，点P到F1的距离与点P到椭圆直径之和等于常数2a，即PF1 + PF'= 2a其中PF'=PF1'是点P到焦点F2的距离。
根据点到焦点的距离公式，我们可以得到PF1和PF'的表达式：PF1 = sqrt((x-a)^2 + y^2)PF' = sqrt((x+a)^2 + y^2)将上述两个等式代入焦距定理中，得到：sqrt((x-a)^2 + y^2) + sqrt((x+a)^2 + y^2) = 2a对上式进行平方运算，得到：(x-a)^2 + y^2 + 2sqrt((x-a)^2 + y^2)sqrt((x+a)^2 + y^2) +(x+a)^2 + y^2 = 4a^2化简上式，得到：2x^2 + 2y^2 + 2sqrt((x-a)^2 + y^2)sqrt((x+a)^2 + y^2) = 4a^2 整理得到：sqrt((x-a)^2 + y^2)sqrt((x+a)^2 + y^2) = 2a^2 - x^2 - y^2平方两边，得到：(x-a)^2(x+a)^2 + y^4 = (2a^2 - x^2 - y^2)^2展开上式，整理得到：(a^4 - x^4) + 2a^2(x^2 - a^2) + y^4 = 0由于这是一个关于x和y的二次方程，所以我们可以用二次曲线的标准方程形式表示为：(x^2)/a^2 + (y^2)/b^2 = 1比较上式与椭圆标准方程，我们可以得到：(a^4 - x^4) + 2a^2(x^2 - a^2) + y^4 = 0即：(x^2 - a^2)^2 + y^4 = 0由于平方的结果不会为负，所以上式中的y要满足y=0。
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F1
o
F2
x
B
巩固练习
y
y 3( x c)
x y 2 1 2 4c 3c 5
2 2
A
消去y
5x 8cx 0
2
F1
8 3 3 x1 0, x2 c B ( c, c) 8 5 5
2
2
归纳小结:
椭圆中的弦
韦达定理法（通法）
点差法（中点弦问题）
思想方法
巩固练习
已知椭圆E：3 x 2 y 2 6若直线L过椭圆E的上焦点F2，且与 椭圆E交于A、B两点，若 F1 A + F1 B =3 6，求 AB .
解：联立方程组
2
y-2 kx
2
消去y
法一：
4k 2 x1 x2 , x1 x2 2 3 k 3 k2
2 2
1 2 1 2 （y1 y2） 4 y1 y2 k 适用于任意二次曲线
例题精讲 回顾旧知
椭圆的定义：
到两定点的距离之和为常数2a(大于两定点的距离2c) 的点的轨迹叫做椭圆
例题精讲
例1 已知椭圆E：3 x y 6与直线L:y= x-2交于
2 2
A、B两点，求 AB .
2 2
4
（ 1）求 F1 AB的周长； 2 求 F1 AB的面积.
分析：（1） CF1AB 4a （ 2） 法一：以AB作为底 法二：以F1F2作为底，将三角形分成两个
A
的上焦点F2，与椭圆交于两点A,B.
y
B
F2
o
F1
x
例题精讲
x2 y 2 变式3 已知椭圆E: 2 + 2 =1( a b 0)的右焦点为 F （3,0）， a b 过点F的直线交椭圆于A,B两点，若AB的中点坐标为 M(1,-1),求椭圆E的方程. 分析：
分析： 法一：算出AB两点的坐标，再用两点间的距离公 式求 AB 法二：带 AB 的弦长公式
优点：不用计 算出两根，计 算量小！
例题精讲
弦长公式：
设直线与椭圆交于A( x1 , y1 ) B( x2 , y2 ) 两点，直线 AB 的斜率为 k ．
AB 1 k （x1 x2） 4 x1 x2
恳请诸位老师多提宝贵意见!
法一：韦达定理法
法二：点差法
优点：计算量小！
2 2 x y 改： 已知椭圆E: + =1,直线L与椭圆交于A,B两点，若AB的 18 9 中点坐标为M(1,-1),求直线L的方程.
拓展巩固
已知椭圆E:3 x +y =6，若直线L过椭圆 的上焦点F2，与椭圆交于两点A,B . 求 F1 AB的最大面积.
2 F1 A F1 B x12 (y1 2)2 x2 (y 2 2) 2 2 x12 (kx1 4) 2 x2 (kx2 ) 2 2 (k 2 1) x12 8kx1 16 (k 2 1) x2
3x y 6
(3 k ) x 4kx 2 0
2014.11.14
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问题：椭圆与直线的位置关系？
相离
相切
相交
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如何判断直线和椭圆的位置关系？ 代数法
x y 直线l : Ax By C 0与椭圆E： 2 2 1 a b Ax+By+C=0 由方程组： mx2+nx+p=0（m≠ 0） x2 y2
2 2
y
B
F2
A
o
F1
x
巩固练习
x2 y 2 已知椭圆E： 2 + 2 =1,若直线L过右焦点F2，与上顶点A,且与 a b 椭圆E交于B，F1 AF2 =60. (1)求椭圆的离心率.(2)已知 SAF1B 40 3 , 求a,b的值.
y
A
解：（1） F1 AB 60
AF1F2为等边三角形，即a 2c c 1 e a 2 （2）LAB : y 3( x c) a 2c …①
o
F2
x
B
1 1 3 3 S AF1B 2c x1 x2 2c (b c) 40 3 … ② 2 2 5 由 ① ② 得a 10, b 5 3
法二：AB 10 c 8
S AF1B
d
2bc b2 c2
2bc 1 5 AB d c 40 3 … ③ 2 2 2 8 b c
a
222来自b21
= n2-4mp
>0 =0
方程组有两解 方程组有一解 两个交点 一个交点 相交 相切
<0
方程组无解
无交点
相离
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弦长公式：
设直线与椭圆交于A( x1 , y1 ) B( x2 , y2 ) 两点，直线 AB 的斜率为 k ．
AB 1 k （x1 x2） 4 x1 x2
2 2
1 2 1 2 （y1 y2） 4 y1 y2 k 适用于任意二次曲线
例题精讲
变式1 已知椭圆E：3 x 2 y 2 6若直线L过椭圆E的上
焦点，且与椭圆E交于A、B两点， AB = 6，求 直线的斜率k.
例题精讲
变式2已知椭圆E:3 x +y =6，若倾斜角为 的直线L过椭圆
2 2
y
B
F2
A
o
F1
x
无法解出，怎么办？
巩固练习
法二：联立方程组
y-2 kx
消去y
4k 2 x1 x2 , x1 x2 2 3 k 3 k2 AB 4a ( F1 A F1B ) 4 6 3 6 6
3x 2 y 2 6
(3 k ) x 4kx 2 0