施密特正交化方法

一般最小二乘法中f(x)的展开多项式可以为正交化的函数系，也可以为非正交化的函数系。常用正交化的函数系有，Hermite 多项式，拉盖尔多项式和勒让德多项式等，也可以用正交三角函数系。对于非正交化的矢量，可以进行人为正交化处理。

22

)()1()(x n n

x n n e dx d e x H -⋅-= )()(x n n n

x

n e x dx d e x L -⋅⋅= n n n

n n x dx

d x P )1(!21)(2-⋅=

Tn(x)=cos(narccosx)

施密特正交化方法：

已知有一组矢量集b i (i=1,----,n)，且无法找到这样一组常系数使得下式为0(实际含义为b i 矢量组可展开成n 维空间). 请用b i 矢量集构建一个正交化的n 维矢量集U i (i=1,----,n)。 01=∑=n i i i b

c

解：在求解之前，先说明一下行矢量点积的含义：两个行矢量点积为一个行矢量乘以另外一个行矢量的转置矢量(即变为列矢量)。

[]

[]

[]⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡====0 0 11 0 1),(0 0 11 0 1212121T b b b b b b 令b 1=U 1

则U 2应有如下表达式：

1111222U U U U b b U T T

-=

此时，可保证U 1和U 2正交，证明过程如下：

0),(11111

2121212=-==T T T

T T U U U U U b U b U U U U 同理，U3表达式如下：

222231111333U U U U b U U U U b b U T T T T

--=

∑-

=-=1

13i i i

T i

i T

i

i i U U U U b b U

通过以上步骤就依次构造了系列正交矢量U 1,---,Ui.

已知下式应变量被一组非正交基矢量进行展开，请将下列非正交基矢量修正成正交基矢量，并重新写出应变量在正交基矢量下的表达式。

(12) 0

∑=='n

k k k x a y

解：设第一个基矢量的k 为1，系数也为a k = 1

(13) 11x U =

(13)

41 432

22111

22

11112221x x x x dx x x dx x x x U dx U U dx

U x x U =-≠-=-=⎰⎰⎰⎰

证明(注意，以上积分有积分区间(而非不定积分)，积分后为一常数而非一变量(不定积分后任然为一变量)。即如不等号后边所示)：

(13) 0)(1

111

22121=-=⎰⎰⎰⎰dx x dx x x dx

x x x x dx U U

因此，二者正交，证毕！

(13)

-)())(()( -)())(()(- 1

1

11

3111221112211122111

22331

1

11

3111221112211122111

22331

1

113

22223

331111

1111

x dx

x x dx x x x dx x x dx x x x dx x dx x x dx x x x x dx x x dx x x x dx

x dx x x dx x x x x x x

dx

x x dx x x x dx x x dx x x x dx x dx x x dx x x x x dx x x dx x x x dx x dx x x dx x x x x x U dx U U dx

U x U dx U U dx

U x x U ⎰

⎰⎰⎰⎰⎰⎰

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-----=-----=-=

那么，如何证明U3与U2正交呢？

)- (2

1111

3222223232111132222232321111322223323=--=--=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰dx U U dx U U dx U x dx U U dx U U dx U x dx U x dx U U dx U U dx U x dx U U dx U U dx U x dx U x dx

U U dx

U U dx U x U dx U U dx

U x x dx U U

上式积分均为有积分上下限的定积分，否则会出问题！