高等数学(微积分)§92一阶微分方程精品PPT课件

50 ce0, c 50 故Q＝50ekp
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课堂练习
1: 求下列微分方程的通解 : (y1)2 d yx3 0 dx
解 (y 1 )2d yx 3 d x 0 ,
分离变量, 得(y1)2d yx3d,x
两边积分,
得1(y1)31x4C.
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4
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课堂练习
2:求下列微分方程 给满 初足 始所 条件的 : 特
得齐次方程的通| x解|ec | y|
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例题讲解
例：求齐次微分方程
x
dy dx
3y3 6x2y 3x2 2y2
解： dy dx
3(y)3 6(y)
xwenku.baidu.com
x
32( y)2
f
(
y) x
令 yu,yux,xdyudx du
x
uxddux33u3 2u62u
du u3 3u x dx 32u2
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例题讲解（续）
1x2c(2y2)32 (c0)
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例题讲解
例4 *求解微分方程
解
y' x1(y1 yx22)的通 ,以 解 y及 (1)2的特解
分离变量
y 1y2
dyx(11x2)dx,
两端积分 1 yy2d yx(1 d x2 x)(1 x1 xx2)d,x
通 ( 1 x 解 )1 ( y ) ： c x c( c x 0 )
9.2一阶微分方程
最基本的微分方程是一阶微分方程。 一阶微分方程的一般形式为F(x,y,y’)=0或
y’=f(x,y),其中F(x,y,y’)是x,y,y’的已知函数； f(x,y)是x,y的已知函数。
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一、可分离变量方程
分离变量方程： g (y)d yf(x )dx 可分离变量的微分方程：通过适当 变形，能够转化为分离变量方程
或ln yC (cx sco x)t,
再由 y e,得C1, x 2
故所求 ln y解 csx c是 co x.t
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课堂练习答案
(2 )cy od s(1 x e x )si yn d 0 ,yx 0 4
解 分离变量, 得csioyy nsdy1de xx0,
两边积分， 得lncoysln1 (ex)ln C 或1exCcoy,s
x (1 当x
u2) 1,
即duf(u)u. dx dx x
可分离变量的方程
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齐次微分方程的解
1:当f(u)u0时 , 得f(u d) uulnC1x,
即xC(eu),（(u)
du ）
f(u)u
将u y代入, 得通x解 Ce(xy),
x
2:当 f(u)u 时 ,即 f(y)y,d yy x xdxx
dxdy,ln| x|ln| y|c xy
解 分离变量 dy 2xdx, y
两端积分
dy y
2xdx,
lnyx C 2
yCex2为所求通 . 解
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例题讲解
例2 求解微分方程 (7e2x)dyye2xdx0的通解
解 分离变量 dy e2x dx, y 7e2x
两端积分2dyy
e2x 7e2x dx,
lny ln7(e )C
1
2x
y ec C 7e2x 7e2x
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例题讲解
例3 求解微分方程
4xd3 xydy 3x2yd2 yx2 yd的 x 通解
解 分离变量 (4x2x2y )d x(3y3x2y)dy
2x(2 y2)dx3y(1x2)dy
两端积分
2x 1 x2
dx
3y 2 y2
dy
12xx2 d2 x23yy2 dy,
ln1 (x2)3ln2(y2)C
2
2 22 2
y(1)2,c10 特解 (1x： 2)1(y2)10x2
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例题讲解
例5 商品的需求量Q对价格弹性为－kp，且最大需 求量为50（即Q(0)=50）,则Q对p的函数关系为_____?
解 p dQ kp
Q dp
分离变量
dQ kdp, Q
两端积分
Qe ce
kpC
kp
lnQ k pC
(1) ysix nylny,yx e; 2
(2 )cy od s(1 x e x )si yn d 0 ,yx 0 4
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课堂练习答案
(1) ysix nylny,y e; x 2
解 分离变量， 得
dy
dx ,
ylny sinx
两边积分， 得ln ln yln(xc cso c x) tln C
例如 dy2x2y54 y54dy2x2dx, dx
解法 设函数g( y)和f (x)是连续的,
g(y)d yf(x)dx 分离变量法
设 函 数 G (y)和 F(x)是 依 次 为 g(y)和 f(x)的 原 函
数 , G (y) F (x ) C 为微分方程的解.
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例题讲解
例1 求解微分方程
dy 2xy的通解 dx
解：令y u, y ux x
dy u x du u tanu
dx
dx
dx du x tan u
dx x
du tan u
ln | x | ln | sin u | c
x c sin y x
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例题讲解
例：已知生产某种产品的总成本C由可变成本与固定 成本两部分构成。假设可变成本y是产量x的函数， 且y关于x的变化率等于产量平方与可变成本平方之 和(x2+y2)除以产量与可变成本之积的二倍(2xy)[即 dy/dx=(x2+y2)/(2xy)];固定成本为1；x=1,y=3.求总成 本函数C＝C(x)?
解： dy x2 y2 dx 2xy
令u y, yux x
dy(y x)2 1 dx 2(y x)
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例题讲解(续)
dy dux u x du 1 u 2
dx dx
dx 2u
dx 2u
11
x
1 u2
du
( 1u
)du 1 u
ln x ln( 1 u ) ln( 1 u ) ln c~
再由y
x0
, 4
得C2
2,
即 1ex22co y.s
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二、齐次微分方程
形如 dy f(y) 的微分方程称为齐次方程. dx x
解齐次方程的基本思路：将齐次方程转化为分离变量方程
解齐次方程的基本方法：变量变换法
具体解法：作变量代换 u y , 即yxu, x
dyuxdu,
dx dx
代入原式
uxduf(u),
分dxx离变(量u1方u程2u：3d )xdux3 u3 23 uu 2du (u 1u2u3)du
ln| x|ln| u| 1ln|u2 3| c 2
x cu u2 3
将u y 代入，x c y
x
x
y2 x2
3
x3 cy y2 3x2 15
例题讲解
例：dy ytany dx x x