线性规划标准型以及定义

设x10

0,K
, xs0

0,
x0 s 1
L
xn0 0,
由上面定理可知
P1, P2 ,L , Ps线性无关.
解释及相关性质 再证x0是R的极点.假设不是,由定义,
x1, x2 R且不相等，以及 （0，1）使得
x0 x1 (1 )x2
显然第j个分量, j s 1,L , n
x10


B
x
0 s


b
0


0
解的定义
x10

而
xs0


B
1b

0, 所以x 0是基可行解。
0


0
问:
1。若x是线性规划的一基解,那么其中非 零变量最多有多少个?零变量最少多少个？
解的定义
max Z
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
min Z
X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤)
o
x1
L0： 0=5X1+4X2
x2
6 3x1+x2=6(≥) 4
图解法例3
max Z=x1+2x2
x1 3x2 6

x1 x2 3x1 x
4 2 6
x1 0、x2 0
用 x3 x3 替换 x3 ，且 x3 , x3 0
(2) 第一个约束条件是“≤”号，在“≤”左端加入松驰变量x4， x4≥0,化为等式；
(3) 第二个约束条件是“≥”号，在“≥”左端减去剩余变量x5， x5≥0；
(4) 第3个约束方程右端常数项为-5，方程两边同乘以(-1),将右 端常数项化为正数；
最优解：使目标函数达到最小值的可行解。 基：设A为约束条件Ax=b的m×n阶系数矩阵(m<n)，其秩 为m，B是矩阵A中m阶满秩子矩阵（∣B∣≠0），称B是规划 问题的一个基。设：
a11
B



am1
a1m ( p1 pm )
amm
称 B中每个列向量Pj ( j = 1 2 … … m) 为基向量。与基向量Pj
(1) x0 0(此时b 0)或者
(2) x0 0, 但是x0所有非零变量xi对应的
列向量Pi线性无关.即, 若x10 0,K , xs0 0,
x0 s1
K

xn0
0,则P1,K
, Ps线性无关.
解的定义
证明: 必要性显然.
现证充分性.设x0是线性规划的基可行解,
若 x0 0, 显然.
20
30
40
50
x1
图解法
学习要点： 1. 通过图解法了解线性规划有几种解的形式 （唯一最优解；无穷多最优解；无界解；无可行解） 2. 作图的关键有三点： (1) 可行解区域要画正确 (2) 目标函数增加的方向不能画错 (3) 目标函数的直线怎样平行移动
二线性规划解的定义
可行解：满足约束条件Ax=b、x≥0的解为可行解。所有可 行解的集合为可行域。
约束方程的转换：由不等式转换为等式。
aij x j bi
aij x j bi
aij x j xni bi
xni 0 称为松弛变量
aij x j xni bi
xni 0 称为剩余变量
变量x j 0的变换
可令
x

j

xj
，显然
x

j

0
例1 将下列线性规划问题化为标准形式
若 x0 0.不妨设其对应的基为
B (P1,K , Pm ), 则
xB0 x10 x20 K xm0 T B1b 0
xN0
x0 m1
x0 m2
K
xn0 T 0.
解的定义
x0是基可行解，所以其中非零变量的 下标一定小于m（不妨设为s）, 于是 P1, P2 ,K , Ps是P1, P2 ,K , Pm的部分组, 自然线性无关.
x2
4 = 2X1 + X2
图解法
X1 + 1.9X2 = 10.2(≤)
X1 - 1.9X2 = -3.8 (≥)
11 = 2X1 + X2 17.2 = 2X1 + X2
20 = 2X1 + X2
D可行域
（7.6，2）
此点是唯一最优解， 且最优目标函数值
max Z=17.2
max Z
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
x0j

x1j

(1


)
x
2 j

0
因此x1j

x
2 j
0，j

s 1,L
min Z
X1 - 1.9X2 = 3.8(≤)
o
Lo： 0 = 2X1 + X2
x1
max Z=3X1+5.7X2
图解法
x2
max Z
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
（3.8，4）
D可行域
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
X1 - 1.9X2 = -3.8(≥)
蓝色线段上的所有点都是最 优解这种情形为有无穷多最 优解，但是最优目标函数值
（2）如何化标准形式
目标函数的转换
如果是求极大值即max z
1)，可化为求极小值问题。
cj xj ，则可将目标函数乘以(-
即 min z z cj xj
也就是：令 z z，可得到上式。
变量的变换
若存在取值无约束的变量
Baidu Nhomakorabea
x
，可令
j
xj

xj

xj
其中：xj , xj 0
解的定义
引理1：设x0＝0是线性规划的可行解，则 x0必定是基可行解。
分析：要证x0＝0是基解，由定义，只 需要证明存在非奇异子阵B，使得 xB=B-1b=0, xN=0,从而，x0是基解。
解的定义
证明：因为x0＝0是可行解，
所有满足Ax0＝A0＝0＝b。
设r(A)=m,任取一个m阶非奇异方阵
B Pi1 Pi2 Pim , 则
对应的变量xj 为基变量。除基变量以外的变量为非基变量。
基解：某一确定的基B，令非基变量等于
零，由约束条件方程Ax=b解出基变量，称这
组解为基解。在基解中变量取非0值的个数不
大于方程数m，基解的总数不超过
C
m n
基可行解：满足变量非负约束条件的基本 解，简称基可行解。
可行基：对应于基可行解的基称为可行基。
第一节 线性规划的标准型
目标函数： 约束条件：
min cT x
Ax b, x0
松弛变量，剩余变量
线性规划问题的标准形式
n
min Z cj xj j 1
s.t

n
aij x j
j 1

bi
i 1, 2,L , m

x
j
0,
j
1, 2,L
,n
特点： (1) 目标函数求最小值（有时求最大值） (2) 约束条件都为等式方程，且右端常数项bi都大于或等于零 (3) 决策变量xj为非负。
2。已知一可行解，且非零个数小于m，是 否一定是基可行解？
考虑问题
x1 x1
x 2 2x3 x 2 x4
1 1
显然 1 1 0 0T 是可行解，且非零
2 2

个数2个，但这个解不是基可行解，因
为x1,x2 的列向量组成的矩阵不可逆， 即线性相关。
解的定义
定理1 : 若x0是线性规划的可行解, 那么是基 可行解的充分必要条件是

1 3
1 －1
1 2

3 2


1 3
5
1

,
解

5 3
0
1 3
0
T
0

是基可行解。

解的定义
B3 P1
P4
＝

2 1
－1
0

非奇异，
B31b

0 －1
1 2

3
2


2 1

,
解 2 0 0 1 0T 是基可行解。
可以从A中补充(m-s)个列向量，使得 新向量组是A的一个极大线性无关组，
解的定义
不妨设为P1，P2，…Ps， Ps+1…, Pm,则
B= (P1，P2，…Ps， Ps+1…, Pm)
为非奇异矩阵，又
m
s
m
Ax0 Pi xi0 Pi xi0 Pi xi0
i 1
i 1
i s 1
P3
P4
P5
秩为2。
B1 P1
P2

＝
2 1
－1 －1
非奇异，
B11b

1 1
－1 －2

3 2


1

1
,
解 1 －1 0 0 0T 是基解，但非基可行解。
B2 P1
P3
＝

2 1
－1
1

非奇异，
B21b
解的定义
B4 P1
P5
＝

2 1
0 －1
非奇异，
B31b

1 2
1 1
0 3
－2


2


1 2
3 －1
,
解

3 2
0
0
0
－
1 2
T

是基解，但非基可行解。
解的定义
类似可得所有基解。 代入目标函数，通过比较可得最优解。
思考： 线性规划的基解最多有多少个？基可行解呢？
可 行 解
非可行解
基解
基可行解
例1.4 求线性规划问题的所有基矩阵。
max Z 4 x1 2x2 x3
5x110x1x2
x3 x4 3 6x2 2x3 x5

2

x
j

0,
j

1,
,5
解: 约束方程的系数矩阵为2×5矩阵
5 A 10
1 6
min Z 2 x1 x2 3 x3

5 x1 x2 x3 7

x1 x2 4 x3 2 3 x1 x2 2 x3 5
x1 , x2 0, x3无约束
解:（１）因为x3无符号要求 ，即x3取正值也可取负值，标准 型中要求变量非负，所以
max Z=34.2是唯一的。
（7.6，2）
34.2 = 3X1+5.7X2
X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤)
o
x1
L0： 0=3X1+5.7X2
min Z=5X1+4X2 x2
图解法
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （0，2）
D可行域
43=5X1+4X2
x
x0 i1
x0 i2

x0 im
T
B1b 0
由定义，可知x0 0是基可行解。
解的定义
引理2：设x0是线性规划的可行解，并且
x10
0,
, xs0

0,
x0 s 1
0,
,
x
0 n
0
若相应的P1，P2，Ps线性无关，则x0是基 可行解。
证明：设r(A)=m,因为P1，P2，Ps线性 无关，所以s<m.
2
max Z min Z
x1+x2=4(≥)
2
4
无界解(无最优解)
x1+3x2=6(≥)
6
x1
x2
50 40
30 20
10
例4 max Z=3x1+4x2 2x1 x2 40 x1 1.5 x2 30 x1 x2 50 x1 0, x2 0
无可行解(即无最优解)
O
10
7 x5 2
5
第二节 解的性质
一、图解法
例2 用图解法求解线性规划问题
max Z = 2X1 + X2 X1 + 1.9X2 ≥ 3.8 X1 - 1.9X2 ≤ 3.8
s.t. X1 + 1.9X2 ≤10.2 X1 - 1.9X2 ≥ -3.8 X1 ，X2 ≥ 0
max Z = 2X1 + X2
(5) 目标函数不变
标准形式如下：
min Z 2x1 x2 3(x3 x3) 0x4 0x5
5x1 x2 (x3 x3) x4
5 xx1 1xx2 22((xx33

x3) x3)
x1, x2 , x3, x3, x4 , x5 0
0
B6


2
1
B7


2
0 B8 6 1 B9 0 1
解的定义
2x1 x2 x3 x4 3 例： x1 x2 x3 x5 2
xi 0
解：A=

2 1
-1 -1
-1 1
-1 0
0 -1


P1
P2
1 2
1 0
0 1
r(A)=2，2阶子矩阵有10个，其中基矩阵只有9个，即
5 1
1 1
5 0
1 1
B1 10 6 B2 6
2

B3 10
1 B4 6
0
5 1
1 0
1 1
1 0
1 0
B5 10
注:由可行解中非零变量的个数以及对应 列的相关无关性可判断是否是基解.
二.解释及相关性质
定理2:线性规划可行解的集合R={x|Ax =b,x≥0}是凸集.点x0是R的极点充分必 要条件是x0是线性规划的基可行解.
证明: R是凸集,由定义易证.
只证第2个结论.
充分性.设x0是基可行解, 不失一般性,