线性规划标准型以及定义
线性规划的标准型和基本概念48页PPT
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底
线性规划的标准形式
线性规划的标准形式线性规划是运筹学中的一种重要方法，用于求解最优化问题。
在实际应用中，线性规划的标准形式是一种常见的数学表达方式，能够简化问题的求解过程，提高计算效率。
本文将对线性规划的标准形式进行详细介绍，包括定义、特点、转换方法等内容，希望能够帮助读者更好地理解和运用线性规划方法。
一、定义。
线性规划的标准形式是指将线性规划问题转化为一种特定的数学表达形式，以便于利用现有的数学工具进行求解。
一般来说，线性规划的标准形式可以表示为：Max z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn。
Subject to:a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1。
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤ b2。
...am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ bm。
xi ≥ 0, i = 1, 2, ..., n。
其中，c1, c2, ..., cn为目标函数的系数，x1, x2, ..., xn为决策变量，a11, a12, ..., amn为约束条件的系数，b1,b2, ..., bm为约束条件的常数，m和n分别为约束条件和决策变量的个数。
通过这种形式的表示，线性规划问题可以被更方便地求解。
二、特点。
线性规划的标准形式具有以下几个特点：1. 目标函数为线性函数，约束条件为线性不等式。
这种形式的表示使得问题具有了良好的数学性质，可以利用线性代数和凸优化等数学工具进行求解。
2. 决策变量为非负数。
这一特点使得问题的解空间被限制在第一象限，简化了问题的求解过程。
3. 约束条件为≤型不等式。
这种形式的约束条件使得问题的可行域为一个凸集，便于进行几何和数学分析。
三、转换方法。
对于一般的线性规划问题，可能并不总是处于标准形式。
因此，需要将问题转化为标准形式，以便于求解。
常见的转换方法包括：1. 将最小化问题转化为最大化问题。
这可以通过将目标函数的系数取相反数来实现。
运筹学之线性规划的标准型及单纯形法
• 向量式：
Obj : MaxZ CX
S.T .
n
p j x j bi
j 1
i 1,2,, m
xj 0
j 1,2,, n
C (c1 ,c2,, cn )
x1
X
x2
x1,
x2 ,, xn T
xn
7
线性规划的标准型
• 矩阵式：
Obj :
MaxZ CX
S .T . AX B
16
基解
不失一般性,设B是A的前m列,即 B=(p1,p2,…,pm）,其相对应的变量 XB=(x1,x2,…,xm)T,称为基变量；其余变量 XN=(Xm+1,…,Xn)T称为非基变量。 令所有非基变量等于零, 则X=（x1,x2,…xm,0,…,0)T称为基解 。
17
基可行解
• 基可行解：基解可正可负，负则不可行， 故称满足非负性条件的基解为基可行解。
3X1+10X2+x5 =300
3 10 0 0 1
Xj≥0 j=1,2,…,5
这里m=3,n=5。 Cmn=10
19
例题6 基可行解说明
• 基（P3，P4，P5），令非基变量x1,x2=0， 则基变量x3=360, x4=200, x5=300,可行解
• 基（p2,p4,p5）,令非基变量x1=0,x3=0基变量 x2=90,x4=-250,x5=-600.非可行解
下步
• 4、根据max {σj } = σK 原则确定XK 进基变量；根
据θ规则 θ = min {b’i / a’ik a’ik >0} = b’l/ a’lk 确定XL出 基变量
• 5、以a’lk 为枢轴元素进行迭代
线性规划模型的标准形式
第三部分运筹学第四章运筹学建模4.1 运筹学概述运筹学是用数学方法研究各种系统最优化问题的学科。
其研究方法是应用数学语言来描述实际系统，建立相应的数学模型，并对模型进行研究和分析，据此求得模型的最优解；其目的是制定合理运用人力、物力和财力的最优方案；为决策者提供科学决策的依据；其研究对象是各种社会系统，可以是对新的系统进行优化设计，也可以是研究已有系统的最佳运营问题。
因此，运筹学既是应用数学，也是管理科学，同时也是系统工程的基础之一。
运筹学一词最早出现于第二次世界大战期间，当时为了急待解决作战中所遇到的许多错综复杂的战略战术问题，英美一些具有不同学科和背景的科学家，组成了许多研究小组，专门从事军事行动的优化研究。
研究的典型课题有：高射炮阵地火力的最佳配置、护航舰队规模的大小以及开展反潜艇作战的侦察等方面。
由于受到战时压力的推动，加上不同学科互相渗透而产生的协同作用，在上述几个方面的研究都卓有成效，为第二次世界大战盟军的胜利起到积极作用，也为运筹学各个分支的进一步研究打下了基础。
战后，这些科学家们转向研究在民用部门应用类似方法的可能性。
因而，促进了在民用部门中应用运筹学有关方法的研究和实践。
1947年，美国数学家G．B．Dantzig提出了求解线性规划的有效方法——单纯形法。
50年代初，应用电子计算机求解线性规划问题获得了成功。
50年代末，工业先进国家的一些大型企业也陆续应用了运筹学的方法以解决企业在生产经营活动中所出现的许多问题，取得了良好效果。
60年代中期，一些银行、医院、图书馆等都已陆续认识到运筹学对帮助改进服务功能、提高服务效率所起的作用，由此带来了运筹学在服务性行业和公用事业中的广泛应用。
电子计算机技术的迅速发展，为广泛应用运筹学方法提供了有力工具，运筹学的应用又开创了新的局面。
当前，运筹学在经济管理、生产管理、工程建设、军事作战、科学试验以及社会系统等各个领域中都得到了极为广泛的应用。
第3章02-线性规划模型的标准形式
第3章02线性规划模型的标准形式同学们大家好，上次我们讲了线性规划模型的结构和特征，然后在后面没给出了要定义线性规划的标准型的原因，今天我们就来介绍一下线性规划的标准型。
首先我们要说标准形式定义出来的，在不同的教材里面的定义并不相同。
在我们教材里面我们是这么定义的：我们先看目标函数，一般形式中可能是关于目标函数的最大化问题，有可能最小化问题，但在标准型里面我们定义目标函数必须是求最大化问题。
1111max(min c max c n n n nz x c x z x c x =++⇒=++ 或）我们再来看一下常约束条件。
在一般形式里面，常约束可能是等式，也可能是不等式，但在标准形式中，定义每个常约束都必须取等号。
112211221,2,,i i i i in in i i i i i in in i a x a x a x b a x a x a x b i m+++≤=≥⇒+++== （或，），再来看非负约束。
在一般形式里面，并不要求每个变量都有非负约束，但是在标准形式里面，要求每一个变量都是非负的。
1212,,0,,,,0k j j j n x x x k n x x x ≥≤⇒≥ 另外，标准形式还要求每一个右端常数项都是大于等于0的，当然这个不是很重要，因为如果右端常数项是负数，可以给这个方程左右两边乘以-1，就把它变成了整数。
最后，我们总结一下，在我们的教材里，标准形式有四个要求：目标函数是求最大化问题，所有常约束为等式，所有变量都有大于等于0，右端常数项都大于等于0。
所以，我们的标准形式可以规范地写成下面的形式。
11112212max , 1,2,,st.,,0n ni i i i in in i n z c x c x a x a x a x b i m x x x =+++++==⎧⎨≥⎩ 关于标准形式，它还有几种等价的形式需要大家熟悉。
第一种是简写形式。
也就是用和式号对标准形式进行简写，形式如下：⎪⎩⎪⎨⎧=≥===∑∑==n j x m i b x a x c z jnj i j ij nj j j ,,2,1,0 ,2,1st.max 11 ，第二种是矩阵形式。
线性规划
x12 x13
线性规划的典型实例
运输问题
数学模型
10x11 min f s.t. x11 x12 x 21 x 22 x11 x 21 x12 x13 x ij x 22 x 23 0 (i 1, 2; j 12x12 9x13 x13 35 x 23 55 26 38 26 1, 2, 3) 8x 21 11x 22 13x 23
基本解不是线性规划问题的解，而是仅满足约束方程组的解
线性规划问题中解的概念
可行解、可行域
上面的分析仅考虑了约束方程组Ax=b，下面进一步考虑线性规划问题的非负 约束。我们称既满足约束方程组Ax=b，又满足非负约束x≥0的解为线性规划 问题的可行解，即可行解满足线性规划问题的所有约束。可行解的集合称为可 行域，记作：
下面将分步骤详细分析如何获得这个线性规划问题的解，同时介绍在这类问题 中的几个概念
线性规划问题中解的概念
基本解
如果线性规划问题的解存在，则它必定是满足Ax=b的有限多个“基本解”中 选出的，那么我们的第一个任务就是找出满足方程Ax=b的基本解 假设独立方程的个数为m个，故Ax=b的系数矩阵A的秩为m，于是A中必有m 个列向量是线性无关的，不妨假设A中的前m个列向量线性无关，则这m个列 向量可以构成矩阵A的m阶非奇异子矩阵，用矩阵B表示：
D x | Ax b, x 0
基本可行解
特别的，若线性规划问题的基本解能够满足线性规划问题中的非负约束，即：
xB B 1b 0
则称该解xB为基本可行解，简称基可行解，称B为可行基。基可行解的数量不 m 会超过 C n 个。显然，基本可行解一定是可行解，基可行解是可行域中一种特 殊的解
最优解
线性规划标准形式
线性规划标准形式线性规划是一种数学优化方法，用于解决一系列线性约束条件下的最优化问题。
在实际应用中，线性规划被广泛应用于生产计划、资源分配、运输优化等领域。
线性规划问题可以用标准形式来表示，这有助于我们更好地理解和解决问题。
线性规划的标准形式可以表示为：Maximize (or Minimize) Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn。
Subject to:a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1。
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤ b2。
...am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ bm。
xi ≥ 0, i = 1, 2, ..., n。
其中，Z表示需要最大化或最小化的目标函数，c1, c2, ..., cn为目标函数的系数，x1, x2, ..., xn为决策变量。
约束条件由不等式表示，a11, a12, ..., amn为系数，b1,b2, ..., bm为常数，xi ≥ 0表示决策变量的非负约束。
在标准形式中，我们需要将所有的约束条件都转化为“≤”的形式，并且将所有的决策变量都限制为非负数。
这样做的目的是为了方便我们进行线性规划问题的求解，使得问题更加规范化和统一化。
线性规划的标准形式可以帮助我们更好地理解问题的本质，从而更加清晰地建立数学模型，并且更加方便地应用各种优化算法进行求解。
通过将问题转化为标准形式，我们可以更加直观地分析问题的特点，找到最优解的方法。
在实际应用中，线性规划的标准形式可以帮助我们更好地描述生产过程中的资源约束、运输过程中的成本约束、市场营销中的销售约束等各种问题。
通过将问题转化为标准形式，我们可以更加方便地利用线性规划的理论和方法来解决实际问题，从而实现资源的最优配置和成本的最小化。
总之，线性规划的标准形式是线性规划问题的一种统一表示方法，它可以帮助我们更好地理解和解决问题，为实际应用提供了重要的理论基础和方法支持。
线性规划知识点
线性规划知识点引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在工程、经济学、管理学等领域有着广泛的应用。
本文将详细介绍线性规划的相关知识点。
一、线性规划的定义与基本概念1.1 目标函数：线性规划的目标是通过最大化或最小化目标函数来达到最优解。
目标函数是一条线性方程，表示需要优化的目标。
1.2 约束条件：线性规划问题还需要满足一组线性约束条件，这些条件对决策变量的取值范围进行了限制。
1.3 决策变量：决策变量是指在线性规划问题中需要进行决策的变量，其取值将影响目标函数的值。
二、线性规划的基本模型2.1 标准型线性规划：标准型线性规划是指目标函数为最小化问题，约束条件为等式形式的线性规划问题。
2.2 松弛变量与人工变量：为了将约束条件转化为等式形式，我们引入松弛变量和人工变量。
2.3 基变量与非基变量：在标准型线性规划中，基变量和非基变量是用来描述决策变量的状态的。
三、线性规划的解法3.1 单纯形法：单纯形法是一种常用的线性规划解法，通过迭代计算基变量和非基变量的取值，直到找到最优解。
3.2 对偶性理论：线性规划问题与其对偶问题之间存在着对偶关系。
对偶性理论可以帮助我们求解原始问题的最优解。
3.3 整数线性规划：当决策变量需要取整数值时，我们可以使用整数线性规划方法来求解。
整数线性规划问题更加复杂，通常需要使用分支定界等方法求解。
四、线性规划的应用领域4.1 生产计划：线性规划可以用于优化生产计划，通过合理安排生产资源和生产量，实现最大化利润或最小化成本。
4.2 运输问题：线性规划可以用于解决运输问题，通过合理分配运输量和运输路径，实现最优的物流方案。
4.3 资源分配：线性规划可以用于资源分配问题，如人力资源、资金分配等，通过最优化决策，实现资源的合理利用。
五、线性规划的局限性与拓展5.1 非线性规划：线性规划只适用于目标函数和约束条件为线性关系的问题。
对于非线性问题，我们需要使用非线性规划方法进行求解。
线性规划问题的标准型
线性规划问题的标准型线性规划是运筹学中的一种数学优化方法，用于在给定约束条件下寻找一个线性目标函数的最大值或最小值。
线性规划问题通常可以表示为标准型，即包含一组线性不等式约束条件和一个线性目标函数的数学模型。
首先，我们来定义线性规划问题的标准型。
一个线性规划问题的标准型可以表示为：\[\max_{x} c^Tx\]\[s.t. Ax \leq b\]\[x \geq 0\]其中，\(x\) 是一个 \(n\) 维向量，表示问题的决策变量；\(c\) 是一个 \(n\) 维向量，表示目标函数的系数；\(A\) 是一个 \(m \times n\) 的矩阵，表示约束条件的系数；\(b\) 是一个 \(m\) 维向量，表示约束条件的右端常数。
在这个模型中，我们的目标是找到一个 \(x\) 的取值，使得目标函数 \(c^Tx\) 的值最大，同时满足约束条件 \(Ax \leq b\) 和 \(x \geq 0\)。
接下来，我们来详细讨论线性规划问题的标准型中的各个要素。
首先是目标函数 \(c^Tx\)。
目标函数通常表示了我们希望最大化或最小化的目标。
在线性规划中，目标函数是一个线性函数，由决策变量\(x\) 的线性组合构成。
我们希望通过调整 \(x\) 的取值，使得目标函数的值达到最大或最小。
其次是约束条件 \(Ax \leq b\)。
约束条件表示了问题的限制条件，限制了决策变量 \(x\) 的取值范围。
在标准型中，约束条件通常表示为一组线性不等式。
这些不等式可以用矩阵 \(A\) 和向量 \(b\) 来表示，它们限制了决策变量 \(x\) 的取值范围。
最后是非负约束 \(x \geq 0\)。
非负约束表示了决策变量 \(x\) 的取值必须大于等于零。
这个约束条件在很多实际问题中是合理的，因为很多决策变量都有非负的物理意义。
总结一下，线性规划问题的标准型包括一个线性目标函数和一组线性不等式约束条件，以及决策变量的非负约束条件。
1.3 线性规划的基本概念
17
四、标准型LP的基本概念
1、基矩阵：设A为约束方程组的 方程组的m╳n阶系数矩阵 系数矩阵（ （通常总假 定 n>m ， 且 A 的秩 =m ） ， 若 B 是 A 的一个 m╳m 阶的满秩子 矩阵， 矩阵 ，则称B是LP问题的一个 问题的一个基。 。
基的特点： ①B中任意列线性无关; ②可逆；③行列式值不等于零。
MaxZ 3 x1 5 x2 x3 16 2 x1 2 x2 x4 10 s.t. x5 32 3 x1 4 x2 x1 , x2 ...x5 0
13
添 x3,x4,x5 三 个 松 弛变量，因为原 模型有三个≤ 的约 束！
三、标准型转换方法（标准化）
max Z CX AX = b X 0
7
A：技术系数矩阵，简称系数矩阵； B：可用的资源量，称资源向量； C：决策变量对目标的贡献，称价值向量； X：决策向量。
三、标准型转换方法（标准化）
一般LP有标准化 1 、 目 标 函 数 ： 如 果极 小 化 原 问 题 MinZ=CX ， 则 令 Z'=-Z，转为求 MaxZ'=-CX 2、资源限量：若某个bi<0，则以－1乘该约束两端， 使之满足非负性的要求。
0 2 4
1 0 0
0 1 0
0 0 1
B4={p1p3p4} B9={p2p4p5} B5={p1p3p5} B10={p3p4p5}
B3={p1p2p5} B8={p2p3p5}
其中B5和B9不能做基，因为其行列式的值等于零！
23
引例求基解
2 0 1 x1 16 0 2 0 x 10 2 3 4 0 x3 32
第五章 线性规划
第五章线性规划线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
在这一章中，我们将深入探讨线性规划的定义、基本概念、解法和应用。
一、线性规划的定义和基本概念线性规划是指在一组线性约束条件下，寻找使目标函数达到最大或最小值的决策变量的值。
线性规划的基本要素包括决策变量、目标函数、约束条件和可行域。
1. 决策变量：线性规划中需要决策的变量，通常用x1, x2, ..., xn表示。
2. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，通常用Z表示，可以是最大化利润、最小化成本等。
3. 约束条件：线性规划中的约束条件是一组线性等式或不等式，用来限制决策变量的取值范围。
4. 可行域：满足所有约束条件的决策变量值构成的区域，称为可行域。
二、线性规划的解法线性规划的解法主要有图形法、单纯形法和内点法等。
下面分别介绍这些解法。
1. 图形法：适用于二维或三维的线性规划问题。
通过绘制目标函数和约束条件的图形，找到目标函数在可行域上的最优解。
2. 单纯形法：适用于多维的线性规划问题。
通过构造初始可行解，不断迭代寻找可行域内的最优解。
3. 内点法：适用于大规模线性规划问题。
通过迭代逼近可行域内的最优解，避免了对整个可行域的遍历。
三、线性规划的应用线性规划在实际问题中有广泛的应用，如生产计划、资源分配、运输问题等。
下面以生产计划为例，介绍线性规划的应用过程。
假设某公司生产两种产品A和B，每单位产品A的利润为10元，每单位产品B的利润为15元。
公司有两个生产车间，分别能生产产品A和产品B的数量分别为x1和x2。
每个车间的生产时间有限，车间1每天能生产产品A的数量不超过20个，车间2每天能生产产品B的数量不超过30个。
另外，公司还有一个销售部门，每天能销售的产品数量不超过25个。
根据以上信息，我们可以建立如下线性规划模型：目标函数：Z = 10x1 + 15x2（最大化利润）约束条件：1. x1 ≤ 20（车间1的生产能力）2. x2 ≤ 30（车间2的生产能力）3. x1 + x2 ≤ 25（销售部门的销售能力）可行域：x1 ≥ 0，x2 ≥ 0通过求解以上线性规划模型，我们可以得到最优解，即使得利润最大化的生产计划。
线性规划标准型以及定义
(1) x0 0(此时b 0)或者
(2) x0 0, 但是x0所有非零变量xi对应的
列向量Pi线性无关.即, 若x10 0,K , xs0 0,
x0 s1
K
xn0
0,则P1,K
, Ps线性无关.
解的定义
证明: 必要性显然.
现证充分性.设x0是线性规划的基可行解,
若 x0 0, 显然.
max Z=34.2是唯一的。
（7.6，2）
34.2 = 3X1+5.7X2
X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤)
o
x1
L0： 0=3X1+5.7X2
min Z=5X1+4X2 x2
图解法
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （0，2）
D可行域
43=5X1+4X2
2
max Z min Z
x1+x2=4(≥)
2
4
无界解(无最优解)
x1+3x2=6(≥)
6
x1
x2
50 40
30 20
10
例4 max Z=3x1+4x2 2x1 x2 40 x1 1.5 x2 30 x1 x2 50 x1 0, x2 0
无可行解(即无最优解)
O
10
0
B6
2
1
B7
2
0 B8 6 1 B9 0 1
解的定义
2x1 x2 x3 x4 3 例： x1 x2 x3 x5 2
xi 0
线性规划的标准型
线性规划的标准型线性规划是一种数学优化方法，用于在给定的约束条件下，寻找一个线性目标函数的最大值或最小值。
在实际应用中，线性规划被广泛运用于生产计划、资源分配、运输问题等领域。
线性规划问题可以分为标准型和非标准型，本文将重点介绍线性规划的标准型。
1. 线性规划的标准型定义。
线性规划的标准型是指目标函数和约束条件都是线性的，且决策变量的取值范围为非负实数。
标准型的数学表达式如下：\[\text{Maximize } \mathbf{c}^T\mathbf{x}\]\[\text{Subject to } \mathbf{Ax} \leq \mathbf{b}\]\[\text{and } \mathbf{x} \geq \mathbf{0}\]其中，\(\mathbf{c}\)为目标函数系数向量，\(\mathbf{x}\)为决策变量向量，\(\mathbf{A}\)为约束条件系数矩阵，\(\mathbf{b}\)为约束条件右端常数向量。
2. 线性规划的标准型特点。
线性规划的标准型具有以下特点：（1）目标函数和约束条件均为线性关系，数学表达简单清晰。
（2）决策变量的取值范围为非负实数，符合实际问题的特点。
（3）标准型问题的解法相对较为简单，有较多的优化算法可供选择。
3. 线性规划的标准型解法。
针对线性规划的标准型问题，可以采用单纯形法、对偶单纯形法、内点法等多种算法进行求解。
其中，单纯形法是最经典的线性规划求解算法之一。
单纯形法的基本思想是通过在可行解空间内移动，逐步逼近最优解。
具体步骤如下：（1）初始化，将初始可行解带入目标函数，得到初始的最优解。
（2）选择入基变量，根据目标函数系数选择一个非基变量作为入基变量。
（3）选择出基变量，根据约束条件确定一个出基变量，使得目标函数值增加最快。
（4）更新基本解，通过基变量的变换，更新当前的基本解。
（5）迭代求解，重复进行步骤（2）至步骤（4），直至达到最优解。
线性规划问题的标准型与解的概念
系数矩阵
A=
3 6
5 2
1 0
取B1=（
P1,P2
）=
3
6
0 1
,秩A=2
25,
由 3
6
5 2
X1 X2
15
24
得
同理XX12,取 B13524=4（,XXP43 1 ,P300）,是,可基得可行XX13解 。43,
显然，基可行解的数目≤基解的数目≤
Cm n
例4 求出下面线性规划的所有基本解，并指出哪些
是基可行解。
maxZ=2x1+x2 3x1+5x2≤15 6x1+2x2≤24 x1,x2≥0
解 ：标准化得 maxZ=2x1+x2 3x1+5x2 + x3 = 15 6x1+2x2 + +x4= 24 x1,x2, x3,, x4 ≥0
（1）无穷多个最优解。若例1的目标函数变为maxZ=4x1+2x2 ，
就会出现这种情况。见图1-1。
Z=6x1+4x2
图1-1
X2
60 50 40 Q3
4x1+2x2=120
maxZ=4x1+2x2
30
Q2
20
2x1+3x2=100
10
Q1
O 10 20 30 40 50
x1
（2）无可行解。如果约束中存在相互矛盾的约束条件，则
运筹学
主讲教师 向宇
第一章 线性规划与单纯形法
• §3 线性规划问题的标准型与解的概念
–3.1 线性规划的标准型
我们规定线性规划的标准型如下：
高中线性规划
高中线性规划线性规划是运筹学中的一种数学方法，用于解决最优化问题。
在高中数学中，线性规划是一种重要的应用题型，涉及到线性不等式、线性函数和最大化或者最小化目标函数等概念。
本文将详细介绍高中线性规划的标准格式，以及如何解决该类问题。
一、线性规划的标准格式线性规划的标准格式通常包括以下几个要素：1. 决策变量（Decision Variables）：表示问题中需要决策的变量，通常用字母表示。
例如，假设有两种产品A和B需要生产，可以用x表示产品A的产量，用y表示产品B的产量。
2. 目标函数（Objective Function）：表示问题的最大化或者最小化目标，通常用线性函数表示。
例如，假设我们希翼最大化总利润，则目标函数可以表示为z = cx + dy，其中c和d分别表示单位产品A和B的利润。
3. 约束条件（Constraints）：表示问题中的限制条件，通常用线性不等式或者等式表示。
例如，假设产品A和B的生产需要的资源有限，则约束条件可以表示为：- 2x + 3y ≤ 10 （资源1的限制）- 4x + 2y ≤ 8 （资源2的限制）- x ≥ 0, y≥ 0 （产量不能为负）二、解决高中线性规划问题的步骤解决高中线性规划问题的普通步骤如下：1. 确定决策变量：根据问题描述，确定需要决策的变量，并用字母表示。
2. 建立目标函数：根据问题的最大化或者最小化目标，建立目标函数，并将决策变量代入其中。
3. 建立约束条件：根据问题的限制条件，建立约束条件，并将决策变量代入其中。
4. 绘制可行域：将约束条件转化为不等式的图形表示，并绘制在坐标系中，得到可行域。
5. 确定最优解：在可行域中确定目标函数的最大值或者最小值的点，即为最优解。
6. 检验最优解：将最优解代入目标函数和约束条件中，验证是否满足所有条件。
三、实例分析为了更好地理解高中线性规划的应用，我们以一个实例进行分析。
假设某公司生产两种产品A和B，每单位产品A的利润为10元，每单位产品B的利润为15元。
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(1) x0 0(此时b 0)或者
(2) x0 0, 但是x0所有非零变量xi对应的
列向量Pi线性无关.即, 若x10 0,K , xs0 0,
x0 s1
K
xn0
0,则P1,K
, Ps线性无关.
解的定义
证明: 必要性显然.
现证充分性.设x0是线性规划的基可行解,
若 x0 0, 显然.
解的定义
B4 P1
P5
＝
2 1
0 －1
非奇异，
B31b
1 2
1 1
0 3
－2
2
1 2
3 －1
,
解
3 2
0
0
0
－
1 2
T
是基解，但非基可行解。
解的定义
类似可得所有基解。 代入目标函数，通过比较可得最优解。
思考： 线性规划的基解最多有多少个？基可行解呢？
第一节 线性规划的标准型
目标函数： 约束条件：
min cT x
Ax b, x0
松弛变量，剩余变量
线性规划问题的标准形式
n
min Z cj xj j 1
s.t
n
aij x j
j 1
bi
i 1, 2,L , m
x
j
0,
j
1, 2,L
,n
特点： (1) 目标函数求最小值（有时求最大值） (2) 约束条件都为等式方程，且右端常数项bi都大于或等于零 (3) 决策变量xj为非负。
（2）如何化标准形式
目标函数的转换
如果是求极大值即max z
1)，可化为求极小值问题。
cj xj ，则可将目标函数乘以(-
即 min z z cj xj
也就是：令 z z，可得到上式。
变量的变换
若存在取值无约束的变量
x
，可令
j
xj
xj
xj
其中：xj , xj 0
20
30
40
50
x1
图解法
学习要点： 1. 通过图解法了解线性规划有几种解的形式 （唯一最优解；无穷多最优解；无界解；无可行解） 2. 作图的关键有三点： (1) 可行解区域要画正确 (2) 目标函数增加的方向不能画错 (3) 目标函数的直线怎样平行移动
二线性规划解的定义
可行解：满足约束条件Ax=b、x≥0的解为可行解。所有可 行解的集合为可行域。
max Z
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
min Z
X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤)
o
x1
L0： 0=5X1+4X2
x2
6 3x1+x2=6(≥) 4
图解法例3
max Z=x1+2x2
x1 3x2 6
x1 x2 3x1 x
4 2 6
x1 0、x2 0
x2
4 = 2X1 + X2
图解法
X1 + 1.9X2 = 10.2(≤)
X1 - 1.9X2 = -3.8 (≥)
11 = 2X1 + X2 17.2 = 2X1 + X2
20 = 2X1 + X2
D可行域
（7.6，2）
此点是唯一最优解， 且最优目标函数值
max Z=17.2
max Z
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
max Z=34.2是唯一的。
（7.6，2）
34.2 = 3X1+5.7X2
X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤)
o
x1
L0： 0=3X1+5.7X2
min Z=5X1+4X2 x2
图解法
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （0，2）
D可行域
43=5X1+4X2
0
B6
2
1
B7
2
0 B8 6 1 B9 0 1
解的定义
2x1 x2 x3 x4 3 例： x1 x2 x3 x5 2
xi 0
解：A=
2 1
-1 -1
-1 1
-1 0
0 -1
P1
P2
x10
B
x
0 s
b
0
0
解的定义
x10
而
xs0
B
1b
0, 所以x 0是基可行解。
0
0
问:
1。若x是线性规划的一基解,那么其中非 零变量最多有多少个?零变量最少多少个？
解的定义
x0j
x1j
(1
)
x
2 j
0
因此x1j
x
2 j
0，j
s 1,L
约束方程的转换：由不等式转换为等式。
aij x j bi
aij x j bi
aij x j xni bi
xni 0 称为松弛变量
aij x j xni bi
xni 0 称为剩余变量
变量x j 0的变换
可令
x
j
xj
，显然
x
j
0
例1 将下列线性规划问题化为标准形式
1 2
1 0
0 1
r(A)=2，2阶子矩阵有10个，其中基矩阵只有9个，即
5 1
1 1
5 0
1 1
B1 10 6 B2 6
2
B3 10
1 B4 6
0
5 1
1 0
1 1
1 0
1 0
B5 10
对应的变量xj 为基变量。除基变量以外的变量为非基变量。
基解：某一确定的基B，令非基变量等于
零，由约束条件方程Ax=b解出基变量，称这
组解为基解。在基解中变量取非0值的个数不
大于方程数m，基解的总数不超过
C
m n
基可行解：满足变量非负约束条件的基本 解，简称基可行解。
可行基：对应于基可行解的基称为可行基。
(5) 目标函数不变
标准形式如下：
min Z 2x1 x2 3(x3 x3) 0x4 0x5
5x1 x2 (x3 x3) x4
5 xx1 1xx2 22((xx33
x3) x3)
x1, x2 , x3, x3, x4 , x5 0
用 x3 x3 替换 x3 ，且 x3 , x3 0
(2) 第一个约束条件是“≤”号，在“≤”左端加入松驰变量x4， x4≥0,化为等式；
(3) 第二个约束条件是“≥”号，在“≥”左端减去剩余变量x5， x5≥0；
(4) 第3个约束方程右端常数项为-5，方程两边同乘以(-1),将右 端常数项化为正数；
7 x5 2
5
第二节 解的性质
一、图解法
例2 用图解法求解线性规划问题
max Z = 2X1 + X2 X1 + 1.9X2 ≥ 3.8 X1 - 1.9X2 ≤ 3.8
s.t. X1 + 1.9X2 ≤10.2 X1 - 1.9X2 ≥ -3.8 X1 ，X2 ≥ 0
max Z = 2X1 + X2
可以从A中补充(m-s)个列向量，使得 新向量组是A的一个极大线性无关组，
解的定义
不妨设为P1，P2，…Ps， Ps+1…, Pm,则
B= (P1，P2，…Ps， Ps+1…, Pm)
为非奇异矩阵，又
m
s
m
Ax0 Pi xi0 Pi xi0 Pi xi0
i 1
i 1
i s 1
注:由可行解中非零变量的个数以及对应 列的相关无关性可判断是否是基解.
二.解释及相关性质
定理2:线性规划可行解的集合R={x|Ax =b,x≥0}是凸集.点x0是R的极点充分必 要条件是x0是线性规划的基可行解.
证明: R是凸集,由定义易证.
只证第2个结论.
充分性.设x0是基可行解, 不失一般性,
可 行 解
非可行解
基解
基可行解
例1.4 求线性规划问题的所有基矩阵。
max Z 4 x1 2x2 x3
5x110x1x2
x3 x4 3 6x2 2x3 x5
2
x
j
0,
j
1,
,5
解: 约束方程的系数矩阵为2×5矩阵
5 A 10
1 6
min Z 2 x1 x2 3 x3
5 x1 x2 x3 7
x1 x2 4 x3 2 3 x1 x2 2 x3 5
x1 , x2 0, x3无约束
解:（１）因为x3无符号要求 ，即x3取正值也可取负值，标准 型中要求变量非负，所以
1 3
1 －1
1 2
3 2
1 3
5