七年级下册数学两平行线之间的距离
(新人教版)数学七年级下册：5.3.1《平行线的性质(第2课时)》教学设计(两套)
5.3.2平行线的性质(第2课时)平行线的性质(二)教学目标1.经历观察、操作、推理、交流等活动,进一步发展空间观念,推理能力和有条理表达能力.2.理解两条平行线的距离的含义,了解命题的含义,会区分命题的题设和结论.3.能够综合运用平行线性质和判定解题. 重点、难点重点:平行线性质和判定综合应用,两条平行的距离,命题等概念. 难点:平行线性质和判定灵活运用. 教学过程 一、复习引入1.平行线的判定方法有哪些?(注意:平行线的判定方法三种,另外还有平行公理的推论)2.平行线的性质有哪些.3.完成下面填空.已知:如图,BE 是AB 的延长线,AD ∥BC,AB ∥CD,若∠D=100°,则∠C=_____, ∠A=______,∠CBE=________.4.a ⊥b,c ⊥b,那么a 与c 的位置关系如何?为什么?cb二、进行新课1.例1 已知:如上图,a ∥c,a ⊥b,直线b 与c 垂直吗?为什么?学生容易判断出直线b 与c 垂直.鉴于这一点,教师应引导学生思考:(1)要说明b ⊥c,根据两条直线互相垂直的意义, 需要从它们所成的角中说明某个角是90°,是哪一个角?通过什么途径得来?(2)已知a ⊥b,这个“形”通过哪个“数”来说理,即哪个角是90°.(3)上述两角应该有某种直接关系,如同位角关系、内错角关系、同旁内角关系,你能确定它们吗?让学生写出说理过程,师生共同评价三种不同的说理. 2.实践与探究(1)下列各图中,已知AB ∥EF,点C 任意选取(在AB 、EF 之间,又在BF 的左侧).请测量各图中∠B 、∠C 、∠F通过上述实践,试猜想∠B 、∠F 、∠C 之间的关系,写出这种关系,试加以说明.E D C B AFECBAFECBA(1) (2) 教师投影题目:学生依据题意,画出类似图(1)、图(2)的图形,测量并填表,并猜想:∠B+∠F=∠C.在进行说理前,教师让学生思考:平行线的性质对解题有什么帮助? 教师视学生情况进一步引导:①虽然AB ∥EF,但是∠B 与∠F 不是同位角,也不是内错角或同旁内角. 不能确定它们之间关系.②∠B 与∠C 是直线AB 、CF 被直线BC 所截而成的内错角,但是AB 与CF 不平行.能不能创造条件,应用平行线性质,学生自然想到过点C 作CD ∥AB,这样就能用上平行线的性质,得到∠B=∠BCD.③如果要说明∠F=∠FCD,只要说明CD 与EF 平行,你能做到这一点吗?以上分析后,学生先推理说明, 师生交流,教师给出说理过程.FEDCB A作CD ∥AB,因为AB ∥EF,CD ∥AB,所以CD ∥EF(两条直线都与第三条直线平行, 这两条直线也互相平行).所以∠F=∠FCD(两直线平行,内错角相等).因为CD ∥AB.所以∠B=∠BCD(两直线平行,内错角相等).所以∠B+∠F=∠BCF. (2)教师投影课本P23探究的图(图5.3-4)及文字.①学生读题思考:线段B 1C 1,B 2C 2……B 5C 5都与两条平行线的横线A 1B 5和A 2C 5垂直吗?它们的长度相等吗?②学生实践操作,得出结论:线段B 1C 1,B 2C 2……,B 5C 5同时垂直于两条平行直线A1B5和A 2C 5,并且它们的长度相等.③师生给两条平行线的距离下定义.学生分清线段B 1C 1的特征:第一点线段B 1C 1两端点分别在两条平行线上,即它是夹在这两条平行线间的线段,第二点线段B 1C 1同时垂直这两条平行线. 教师板书定义:(像线段B 1C 1)同时垂直于两条平行线, 并且夹在这两条平行线间的线段的长度,叫做这两条平行线的距离.④利用点到直线的距离来定义两条平行线的距离.F EDCBA教师画AB ∥CD,在CD 上任取一点E,作EF ⊥AB,垂足为F.学生思考:EF 是否垂直直线CD?垂线段EF 的长度d 是平行线AB 、CD 的距离吗? 这两个问题学生不难回答,教师归纳:两条平行线间的距离可以理解为:两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离.教师强调:两条平行线的距离处处相等,而不随垂线段的位置改变而改变. 3.了解命题和它的构成.(1)教师给出下列语句,学生分析语句的特点.①如果两条直线都与第三条直线平行,那么这条直线也互相平行; ②等式两边都加同一个数,结果仍是等式; ③对顶角相等;④如果两条直线不平行,那么同位角不相等.这些语句都是对某一件事情作出“是”或“不是”的判断. (2)给出命题的定义.判断一件事情的语句,叫做命题.教师指出上述四个语句都是命题,而语句“画AB ∥CD”没有判断成分,不是命题.教师让学生举例说明是命题和不是命题的语句. (3)命题的组成.①命题由题设和结论两部分组成.题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项. ②命题的形成.命题通常写成“如果……，那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.有的命题没有写成“如果……，那么……”的形式，题设与结论不明显，这时要分清命题判断了什么事情，有什么已知事项，再改写成“如果……，那么……”形式. 师生共同分析上述四个命题的题设和结论,重点分析第②、③语句. 第②命题中,“存在一个等式”而且“这等式两边加同一个数”是题设， “结果仍是等式”是结论。
人教版初中七年级数学下册第五章《相交线与平行线》经典习题(含答案解析)(2)
一、选择题1．如图，//AB CD ，EC 分别交,AB CD 于点,F C ，链接DF ，点G 是线段CD 上的点，连接FG ，若13∠=∠，24∠∠=，则结论① C D ∠=∠，②FG CD ⊥，③EC FD ⊥，正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③B解析：B【分析】 由平行线的性质和垂直的定义，逐个判断得结论．【详解】∵∠1=∠3，∠2=∠4，又∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴∠1+∠2=∠3+∠4=∠1+∠4=90°，∴∠EFD=∠1+∠2=90°，∴EC ⊥FD ，故③正确；∵AB ∥CD ，∴∠1=∠C ，∴∠FGD=∠4+∠C=∠4+∠1=90°，∴FG ⊥CD ，故②正确；∵∠1不一定等于∠2，∴∠C≠∠D ，故①不正确．故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质及垂直的定义，由相等的角和平角的定义得到互余的角是解决本题的关键．2．下列命题中是真命题的有（ ）①两个角的和等于平角时，这两个角互为邻补角；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③两条平行线被第三条直线所截，所得的一对内错角的角平分线互相平行；④图形B由图形A平移得到，则图形B与图形A中的对应点所连线段平行（或在同一条直线上）且相等；A．1个B．2个C．3个D．4个B解析：B【分析】根据补角和邻补角的定义可判断①，根据平行公理可判断②，根据平行线的性质和判定可判断③，根据平移的性质可判断④，进而可得答案．【详解】解：两个角的和等于平角时，这两个角互为补角，故命题①是假命题；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故命题②是假命题；两条平行线被第三条直线所截，所得的一对内错角的角平分线互相平行，故命题③是真命题；图形B由图形A平移得到，则图形B与图形A中的对应点所连线段平行（或在同一条直线上）且相等，故命题④是真命题．综上，真命题有2个．故选：B．【点睛】本题考查了真假命题、平行线的判定和性质以及平移的性质等知识，属于基础题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．3．下列说法正确的是（）A．命题一定是正确的B．定理都是真命题C．不正确的判断就不是命题D．基本事实不一定是真命题B解析：B【分析】根据命题的定义、真命题与假命题的定义逐项判断即可得．【详解】A、命题有真命题和假命题，此项说法错误；B、定理都是经过推论、论证的真命题，此项说法正确；C、不正确的判断是假命题，此项说法错误；D、基本事实是真命题，此项说法错误；故选：B．【点睛】本题考查了命题、真命题与假命题，熟练掌握理解各概念是解题关键．4．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（）A ．②③B ．①②③C ．①②④D ．①④C解析：C【分析】 根据同位角的定义逐一判断即得答案．【详解】图①中的∠1与∠2是同位角，图②中的∠1与∠2是同位角，图③中的∠1与∠2不是同位角，图④中的∠1与∠2是同位角，所以在如图所示的四个图形中，图①②④中的∠1和∠2是同位角．故选：C ．【点睛】本题考查了同位角的定义，属于基础概念题型，熟知概念是关键．5．如图，A 是直线l 外一点，过点A 作AB l ⊥于点B ，在直线l 上取一点C ，连接AC ，使2AC AB =，P 在线段BC 上，连接AP ．若3AB =，则线段AP 的长不可能是（ ）A ．4B ．5C ．2D ．5.5C解析：C【分析】 根据题意计算出AC 的长度，由垂线段最短得出AP 的范围，选出AP 的长度不可能的选项即可．【详解】3AB =，26AC AB cm ∴==，结合垂线段最短，得：36AP ≤≤．故选：C ．【点睛】本题主要考查直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，熟记概念并求出对应线段的范围是解题关键．6．下面命题中是真命题的有（）①相等的角是对顶角②直角三角形两锐角互余③三角形内角和等于180°④两直线平行内错角相等A．1个B．2个C．3个D．4个C解析：C【分析】利用平行线的性质、三角形的内角和、直角三角形的性质、对顶角的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：①相等的角不一定是对顶角，故不符合题意；②直角三角形两锐角互余，故符合题意；③三角形内角和等于180°，故符合题意；④两直线平行内错角相等，故符合题意；故选：C．【点睛】此题考查了命题与定理，解题的关键是了解平行线的性质、对顶角的定义、直角三角形的性质及三角形的内角和等知识，难度不大．7．如图，直线a∥b，则∠A的度数是（）A．28°B．31°C．39°D．42°C解析：C【解析】试题分析：根据平行线的性质可得∠1=70°，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠A=70°-31°=39°.故选C.考点：平行线的性质8．如图是郝老师的某次行车路线，总共拐了三次弯，最后行车路线与开始的路线是平行的，已知第一次转过的角度120︒，第三次转过的角度135︒，则第二次拐弯的角度是（）A ．75︒B ．120︒C ．135︒D ．无法确定A解析：A【解析】 分析：根据两直线平行，内错角相等，得到∠BFD 的度数，进而得出∠CFD 的度数，再由三角形外角的性质即可得到结论．详解：如图，延长ED 交BC 于F ．∵DE ∥AB ，∴∠DFB =∠ABF =120°，∴∠CFD =60°．∵∠CDE =∠C +∠CFD ，∴∠C =∠CDE -∠CFD =135°－60°=75°．故选A ．点睛：本题考查了平行线的性质及三角形外角的性质．解题的关键是理解题意，灵活应用平行线的性质解决问题，属于中考常考题型．9．如图，一副直角三角板图示放置，点C 在DF 的延长线上，点A 在边EF 上，//AB CD ，90ACB EDF ∠=∠=︒，则CAF ∠=（ ）A ．10︒B ．15︒C ．20︒D ．25︒B解析：B【分析】 根据平行线的性质可知，BAF=EFD=45∠∠ ，由BAC=30∠ 即可得出答案。
新人教版七年级数学下册平行线及判定
③过一点可以而且只可以画一条直线与已知直线
平行。
(╳)
D 2、用符号“∥”表示图中平行四
C
边形的两组对边分别平行。
AB∥ CD，AD∥ BC。 A
B
巩固练习
下列说法正确的是（ D ）
A、在同一平面内，两条直线的位置关系有相交， 垂直，平行三种。
B、在同一平面内，不垂直的两直线必平行。 C、在同一平面内，不平行的两直线必垂直。 D、在同一平面内，不相交的两直线一定不垂直。
5.2 平行线及其判定 5.2.2 平行线的判定
平行线的画法
一放 二靠 三移 四画
从画图过程，三角板起到什么作用？
要判断直线a //b，你有办法了吗?
平行线的判定定理1: 两条直线被第三条直线所截， 如果同位角相等，那么两直线 平行。简单地说： 同位角相等，两直线平行。 如图： ∵ ∠1=∠2（已知）
C
相交的两
Hale Waihona Puke 条直线。 abB
直线AB平行
AB D
CD 于直线CD
a b 直线a平行
于直线b
平面内的两条直线除平行 外还有什么位置关系？
同一平面内的两条不重 合的直线的位置关系只有两种：
相交或平行
课内练习
1、判断下列说法是否正确，并说明理由。
①不相交的两条直线是平行线。
(╳)
②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线。(╳)
E
A
B
4
C
7
D
F
两条直线被第三条直线所截， 如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.
简单地说:同旁内角互补,两直线平行.
判定两条直线平行的方法
文字叙述
符号语言
人教版初中数学七年级下 相交线和平行线知识点总结
人教版初中数学七年级下相交线和平行线知识点总结本章介绍了平面内两条直线相交与平行的关系，重点探讨了两条直线相交时形成角的特征、两条直线互相垂直的特性、两条直线平行的条件和特征，以及有关图形平移变换的性质。
本文将对其中的重点知识点进行总结。
5.1 相交线1.邻补角与对顶角当两条直线相交时，所形成的四个角具有不同的关系。
其中，对顶角是具有特殊位置关系的两个角，它们的大小相等；邻补角则是互为反向延长线的两个角，它们的和为180度。
2.垂线垂线是指当两条直线相交时，其中一个角为直角的情况。
垂线具有两个性质：一是过一点只有一条直线与已知直线垂直；二是连接直线外一点与直线上各点的垂线段最短。
3.垂线的画法画垂线的方法有两种：一是过直线上一点画已知直线的垂线；二是过直线外一点画已知直线的垂线。
画法可采用“一靠二移三画”的方法。
4.点到直线的距离点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
记忆时应结合图形进行理解。
本章内容的重点是垂线和其性质、平行线的判定方法和性质、平移和其性质，以及这些知识点的组织运用。
在研究这些知识点时，需要注意记忆其定义和性质，掌握其画法和应用方法。
垂线是指从一个点垂直于一条直线或平面的线段，而垂线段则是垂线的长度。
它们都具有垂直的性质，可以用来计算点到直线的距离或两点间的距离。
点到直线的距离是特殊的两点（即已知点与垂足）间距离，而两点间的距离是点与点之间的长度。
线段和距离都是长度的概念，但线段是一种图形，不能等同于距离。
平行线是指在同一平面内不相交的两条直线，它们的位置关系只有两种：相交和平行。
判断两条直线的位置关系可以根据它们的公共点个数来确定，有且只有一个公共点时两直线相交，无公共点时两直线平行，两个或两个以上公共点时两直线重合。
平行公理指出，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
同时，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
三线八角是指两条直线被第三条直线所截形成的八个角，包括同位角、内错角和同旁内角。
人教新版七年级数学下学期 第5章 相交线与平行线 单元练习 解析版
第5章相交线与平行线一．选择题（共20小题）1．同一平面内，三条不同直线的交点个数可能是（）个．A．1或3 B．0、1或3 C．0、1或2 D．0、1、2或3 2．如图，直线AB、CD相交于点O，且∠AOC+∠BOD＝120°，则∠AOD的度数为（）A．130°B．120°C．110°D．100°3．如图，若AB，CD相交于点O，∠AOE＝90°，则下列结论不正确的是（）A．∠EOC与∠BOC互为余角B．∠EOC与∠AOD互为余角C．∠AOE与∠EOC互为补角D．∠AOE与∠EOB互为补角4．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，若∠AOE＝35°，则∠BOD的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°5．如图，经过直线l外一点画l的垂线，能画出（）A．1条B．2条C．3条D．4条6．已知线段AB、CD，点M在线段AB上，结合图形，下列说法不正确的是（）A．延长线段AB、CD，相交于点FB．反向延长线段BA、DC，相交于点FC．过点M画线段AB的垂线，交CD于点ED．过点M画线段CD的垂线，交CD于点E7．如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在（）A．A点B．B点C．C点D．D点8．点P为直线m外一点，点P到直线m上的点A的距离为PA＝3cm，则点P到直线m的距离为（）A．3cm B．小于3cm C．大于3cm D．不大于3cm 9．如图，A是直线l外一点，过点A作AB⊥l于点B，在直线l上取一点C，连结AC，使AC＝2AB，P在线段BC上连结AP．若AB＝3，则线段AP的长不可能是（）A．3.5 B．4 C．5.5 D．6.510．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（）A．①②B．②③C．①③D．②④11．如图，下列说法错误的是（）A．∠A与∠B是同旁内角B．∠1与∠3是同位角C．∠2与∠A是同位角D．∠2与∠3是内错角12．如图，直线AB，AF被BC所截，则∠2的同位角是（）A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠413．如图，直线l与∠BAC的两边分别相交于点D、E，则图中是同旁内角的有（）A．2对B．3对C．4对D．5对14．下列说法正确的是（）A．不相交的两条线段是平行线B．不相交的两条直线是平行线C．不相交的两条射线是平行线D．在同一平面内，不相交的两条直线是平行线15．如图，下列四个条件中，能判断DE∥AC的是（）A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠2 C．∠EDC＝∠EFC D．∠ACD＝∠AFE 16．如图所示，a∥b，直线a与直线b之间的距离是（）A．线段PA的长度B．线段PB的长度C．线段PC的长度D．线段CD的长度17．下列命题中，是真命题的是（）A．有两条边相等的三角形是等腰三角形B．同位角相等C．如果|a|＝|b|，那么a＝bD．等腰三角形的两边长是2和3，则周长是718．小柔要榨果汁，她有苹果、芭乐、柳丁三种水果，且其颗数比为9：7：6，小柔榨完果汁后，苹果、芭乐、柳丁的颗数比变为6：3：4，已知小柔榨果汁时没有使用柳丁，关于她榨果汁时另外两种水果的使用情形，下列叙述何者正确？（）A．只使用苹果B．只使用芭乐C．使用苹果及芭乐，且使用的苹果颗数比使用的芭乐颗数多D．使用苹果及芭乐，且使用的芭乐颗数比使用的苹果颗数多19．如图，一块砖的外侧面积为x，那么图中残留部分墙面的面积为（）A．4x B．12x C．8x D．16x20．如图，将Rt△ABC沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为（）A．42 B．96 C．84 D．48二．填空题（共3小题）21．在△ABC中∠B＝90°，BC＝5，AB＝12，AC＝13，则点B到斜边AC的距离是．22．如图，CD⊥AB，点E、F在AB上，且CE＝10cm，CD＝8cm，CF＝12cm，则点C到AB的距离是．23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，E为AB上一点，CF⊥BE，垂足为点F．如果四边形ABCD面积为48，BE＝7，那么CF＝．三．解答题（共15小题）24．材料1：反射定律当入射光线AO照射到平面镜上时，将遵循平面镜反射定律，即反射角（∠BOM）的大小等于入射角（∠AOM）的大小，显然，这两个角的余角也相等，其中法线（OM）与平面镜垂直，并且满足入射光线、反射光线（OB）与法线在同一个平面．材料2：平行逃逸角对于某定角∠AOB＝α（0°＜α＜90°），点P为边OB上一点，从点P发出一光线PQ（射线），其角度为∠BPQ＝β（0°＜β＜90°），当光线PQ接触到边OA和OB时会遵循反射定律发生反射，当光线PQ经过n次反射后与边OA或OB平行时，称角为定角α的n阶平行逃逸角，特别地，当光线PQ直接与OA平行时，称角β为定角α的零阶平行逃逸角．（1）已知∠AOB＝α＝20°，①如图1，若PQ∥OA，则∠BPQ＝°，即该角为α的零阶平行逃逸角；②如图2，经过一次反射后的光线P1Q∥OB，此时的∠BPP1为α的平行逃逸角，求∠BPP1的大小；③若经过两次反射后的光线与OA平行，请补全图形，并直接写出α的二阶平行逃逸角为°；（2）根据（1）的结论，归纳猜想对于任意角α（0°＜α＜90°），其n（n为自然数）阶平行逃逸角β＝（用含n和a的代数式表示）．25．已知，如图，∠1＝∠ABC＝∠ADC，∠3＝∠5，∠2＝∠4，∠ABC+∠BCD＝180°，将下列推理过程补充完整：（1）∵∠1＝∠ABC（已知）∴AD∥BC（）（2）∵∠3＝∠5（已知）∴∥（内错角相等，两直线平行）（3）∵∠ABC+∠BCD＝180°（已知）∴∥，（）26．看图填空：如图，∵∠1＝∠2∴∥，∵∠3+∠4＝180°∴∥，∴AC∥FG，．27．如图，∠A＝∠C＝90°，BE，DF分别为∠ABC与∠ADC的平分线，能判断BE∥DF吗？试说明理由．28．如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2＝90°．求证：AB∥CD．29．如图，两条射线AM∥BN，线段CD的两个端点C、D分别在射线BN、AM上，且∠A＝∠BCD＝108°．E是线段AD上一点（不与点A、D重合），且BD平分∠EBC．（1）求∠ABC的度数．（2）请在图中找出与∠ABC相等的角，并说明理由．（3）若平行移动CD，且AD＞CD，则∠ADB与∠AEB的度数之比是否随着CD位置的变化而发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值．30．如图1，MN∥PQ，直线AD与MN、PQ分别交于点A、D，点B在直线PQ上，过点B作BG ⊥AD，垂足为点G．（1）求证：∠MAG+∠PBG＝90°；（2）若点C在线段AD上（不与A、D、G重合），连接BC，∠MAG和∠PBC的平分线交于点H，请在图2中补全图形，猜想并证明∠CBG与∠AHB的数量关系；（3）若直线AD的位置如图3所示，（2）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出∠CBG与∠AHB的数量关系．31．根据题意结合图形填空：已知：如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC与G，∠E＝∠3，试问：AD是∠BAC的平分线吗？若是，请说明理由．答：是，理由如下：∵AD⊥BC，EG⊥BC（已知）∴∠4＝∠5＝90°（）∴AD∥EG（）∴∠1＝∠E（）∠2＝∠3（）∵∠E＝∠3（已知）∴（∠1）＝（∠2）（等量代换）∴AD是∠BAC的平分线（）32．已知：点A在射线CE上，∠C＝∠D．（1）如图1，若AC∥BD，求证：AD∥BC；（2）如图2，若∠BAC＝∠BAD，BD⊥BC，请探究∠DAE与∠C的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DF∥BC交射线于点F，当∠DFE＝8∠DAE时，求∠BAD的度数．33．已知，在平面直角坐标系中，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，7），B（﹣5，1），C（1，3），请在所给的平面直角坐标系中按要求完成以下问题：（1）画出三角形ABC；（2）将三角形ABC先向下平移7个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到的三角形A1B1C1（点A1，B1，C1分别是点A，B，C移动后的对应点），请画出三角形A1B1C1；并判断线段AC与A1C1的关系．34．如图，∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E．（1）AD与BC平行吗？请说明理由；（2）AB与EF的位置关系如何？为什么？（3）若AF平分∠BAD，试说明：①∠BAD＝2∠F；②∠E+∠F＝90°注：本题第（1）、（2）小题在下面的解答过程的空格内填写理由或数学式；第（3）小题要写出解题过程．解：（1）AD∥BC．理由如下：∵∠ADE+∠ADF＝180°，（平角的定义）∠ADE+∠BCF＝180°，（已知）∴∠ADF＝∠，（）∴AD∥BC（2）AB与EF的位置关系是：．∵BE平分∠ABC，（已知）∴∠ABE＝∠ABC．（角平分线的定义）又∵∠ABC＝2∠E，（已知），即∠E＝∠ABC，∴∠E＝∠．（）∴∥．（）35．如图，已知∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，试说明∠BDC+∠DGF＝180°．请将下面的解答过程补充完整．解：∵∠1＝∠ACB（已知）∴DE∥（）∴∠2＝∠DCF（）∵∠2＝∠3（）∴∠3＝∠DCF（）∴CD∥（）∴∠BDC+∠DGF＝180°（）36．如图，已知：点A在射线BG上，∠1＝∠2，∠1+∠3＝180°，∠EAB＝∠BCD．求证：EF∥CD．37．已知直线a∥b，b∥c，c∥d，则a与d的关系是什么，为什么？38．已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6．求证：ED∥FB．参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．同一平面内，三条不同直线的交点个数可能是（）个．A．1或3 B．0、1或3 C．0、1或2 D．0、1、2或3 【分析】根据两直线平行和相交的定义作出图形即可得解．【解答】解：如图，三条直线的交点个数可能是0或1或2或3．故选：D．2．如图，直线AB、CD相交于点O，且∠AOC+∠BOD＝120°，则∠AOD的度数为（）A．130°B．120°C．110°D．100°【分析】利用对顶角的性质和邻补角的定义即可求得．【解答】解：∵∠AOC＝∠BOD，∠AOC+∠BOD＝120°，∴∠AOC＝60°，∴∠AOD＝180°﹣60°＝120°，故选：B．3．如图，若AB，CD相交于点O，∠AOE＝90°，则下列结论不正确的是（）A．∠EOC与∠BOC互为余角B．∠EOC与∠AOD互为余角C．∠AOE与∠EOC互为补角D．∠AOE与∠EOB互为补角【分析】直接利用垂直的定义结合互余以及互补的定义分析得出答案．【解答】解：∵∠AOE＝90°，∴∠BOE＝90°，∵∠AOD＝∠BOC，∴∠EOC+∠BOC＝90°，∠EOC+∠AOD＝90°，∠AOE+∠EOB＝180°，故A、B、D选项正确，C错误．故选：C．4．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，若∠AOE＝35°，则∠BOD的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】直接利用角平分线的定义结合对顶角的定义得出答案．【解答】解：∵直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，∠AOE＝35°，∴∠EOC＝∠AOE＝35°，∴∠AOC＝∠BOD＝70°．故选：D．5．如图，经过直线l外一点画l的垂线，能画出（）A．1条B．2条C．3条D．4条【分析】平面内经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，据此可得．【解答】解：经过直线l外一点画l的垂线，能画出1条垂线，故选：A．6．已知线段AB、CD，点M在线段AB上，结合图形，下列说法不正确的是（）A．延长线段AB、CD，相交于点FB．反向延长线段BA、DC，相交于点FC．过点M画线段AB的垂线，交CD于点ED．过点M画线段CD的垂线，交CD于点E【分析】根据线段和垂线段的定义，结合图形进行分析即可．【解答】解：A、延长线段AB、CD，相交于点F，说法正确；B、反向延长线段BA、DC，相交于点F，说法正确；C、过点M画线段AB的垂线，交CD于点E，说法正确；D、过点M画线段CD的垂线，交CD于点E，说法错误；故选：D．7．如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在（）A．A点B．B点C．C点D．D点【分析】根据垂线段最短可得答案．【解答】解：根据垂线段最短可得：应建在A处，故选：A．8．点P为直线m外一点，点P到直线m上的点A的距离为PA＝3cm，则点P到直线m的距离为（）A．3cm B．小于3cm C．大于3cm D．不大于3cm【分析】根据点到直线的距离是直线外的点与直线上垂足间的线段的长，再根据垂线段最短，可得答案．【解答】解：当PA⊥m时，PA是点P到直线m的距离，即点P到直线m的距离为3cm，当PA不垂直直线m时，点P到直线m的距离小于PA的长，即点P到直线m的距离小于3cm，综上所述：点P到直线m的距离不大于3cm，故选：D．9．如图，A是直线l外一点，过点A作AB⊥l于点B，在直线l上取一点C，连结AC，使AC＝2AB，P在线段BC上连结AP．若AB＝3，则线段AP的长不可能是（）A．3.5 B．4 C．5.5 D．6.5【分析】直接利用垂线段最短以及结合已知得出AP的取值范围进而得出答案．【解答】解：∵过点A作AB⊥l于点B，AC＝2AB，P在线段BC上连结AP，AB＝3，∴AC＝6，∴3≤AP≤6，故AP不可能是6.5，故选：D．10．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（）A．①②B．②③C．①③D．②④【分析】根据同位角，内错角，同旁内角的概念解答即可．【解答】解：∠1和∠2是同位角的是①②，故选：A．11．如图，下列说法错误的是（）A．∠A与∠B是同旁内角B．∠1与∠3是同位角C．∠2与∠A是同位角D．∠2与∠3是内错角【分析】根据同旁内角、同位角、内错角的意义，可得答案．【解答】解：由图可知：∠1与∠3是同旁内角，故B说法错误，故选：B．12．如图，直线AB，AF被BC所截，则∠2的同位角是（）A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4【分析】根据同位角的定义逐个判断即可．【解答】解：如果直线AB，AF被BC所截，那么∠2的同位角是∠4，故选：D．13．如图，直线l与∠BAC的两边分别相交于点D、E，则图中是同旁内角的有（）A．2对B．3对C．4对D．5对【分析】根据第三条截线可能是直线AB、直线AC、直线l，结合同旁内角的定义，数出同旁内角即可．【解答】解：直线AC与直线AB被直线l所截形成的同旁内角有：∠ADE与∠AED、∠CDE 与∠BED；直线AC与直线DE被直线AB所截形成的同旁内角有：∠DAE与∠DEA；直线AB与直线DE被直线AC所截形成的同旁内角有：∠EAD与∠EDA；故选：C．14．下列说法正确的是（）A．不相交的两条线段是平行线B．不相交的两条直线是平行线C．不相交的两条射线是平行线D．在同一平面内，不相交的两条直线是平行线【分析】根据平行线的定义，即可解答．【解答】解：根据平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线是平行线．A，B，C错误；D正确；故选：D．15．如图，下列四个条件中，能判断DE∥AC的是（）A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠2 C．∠EDC＝∠EFC D．∠ACD＝∠AFE 【分析】可以从直线DE、AC的截线所组成的“三线八角”图形入手进行判断．【解答】解：A、∵∠3＝∠4，∴DE∥AC，正确；B、∵∠1＝∠2，∴EF∥BC，错误；C、∵∠EDC＝∠EFC，不能得出平行线的平行，错误；D、∵∠ACD＝∠AFE，∴EF∥BC，错误；故选：A．16．如图所示，a∥b，直线a与直线b之间的距离是（）A．线段PA的长度B．线段PB的长度C．线段PC的长度D．线段CD的长度【分析】从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，由此可得出答案．【解答】解：由图可得，a∥b，AP⊥a，∴直线a与直线b之间的距离是线段PA的长度，故选：A．17．下列命题中，是真命题的是（）A．有两条边相等的三角形是等腰三角形B．同位角相等C．如果|a|＝|b|，那么a＝bD．等腰三角形的两边长是2和3，则周长是7【分析】根据等腰三角形的定义、平行线的性质、绝对值的性质一一判断即可；【解答】解：A、有两条边相等的三角形是等腰三角形，是真命题，本选项符合题意；B、同位角相等．假命题，两直线平行，同位角相等，本选项不符合题意；C、如果|a|＝|b|，那么a＝b，错误，结论：a＝±b，本选项不符合题意；D、等腰三角形的两边长是2和3，则周长是7，错误，周长为7或8．本选项不符合题意；故选：A．18．小柔要榨果汁，她有苹果、芭乐、柳丁三种水果，且其颗数比为9：7：6，小柔榨完果汁后，苹果、芭乐、柳丁的颗数比变为6：3：4，已知小柔榨果汁时没有使用柳丁，关于她榨果汁时另外两种水果的使用情形，下列叙述何者正确？（）A．只使用苹果B．只使用芭乐C．使用苹果及芭乐，且使用的苹果颗数比使用的芭乐颗数多D．使用苹果及芭乐，且使用的芭乐颗数比使用的苹果颗数多【分析】根据三种水果的颗数的关系，设出三种水果的颗数，再根据榨果汁后的颗数的关系，求出榨果汁后，苹果和芭乐的颗数，进而求出苹果，芭乐的用量，即可得出结论．【解答】解：∵苹果、芭乐、柳丁三种水果，且其颗数比为9：7：6，∴设苹果为9x颗，芭乐7x颗，柳丁6x颗（x是正整数），∵小柔榨果汁时没有使用柳丁，∴设小柔榨完果汁后，苹果a颗，芭乐b颗，∵小柔榨完果汁后，苹果、芭乐、柳丁的颗数比变为6：3：4，∴，，∴a＝9x，b＝x，∴苹果的用量为9x﹣a＝9x﹣9x＝0，芭乐的用量为7x﹣b＝7x﹣x＝x＞0，∴她榨果汁时，只用了芭乐，故选：B．19．如图，一块砖的外侧面积为x，那么图中残留部分墙面的面积为（）A．4x B．12x C．8x D．16x【分析】本题主要考查对图形的观察能力和平移方法的运用，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．【解答】解：观察图形，利用平移的方法可将空白的部分移到一起，可发现它是由4个外侧面积为x的砖构成；整个墙面由16个外侧面积为x的砖构成，故残留部分墙面的面积为16x﹣4x＝12x．故选：B．20．如图，将Rt△ABC沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为（）A．42 B．96 C．84 D．48【分析】根据平移的性质得出BE＝6，DE＝AB＝10，则OE＝6，则阴影部分面积＝S四边形＝S梯形ABEO，根据梯形的面积公式即可求解．ODFC【解答】解：由平移的性质知，BE＝6，DE＝AB＝10，∴OE＝DE﹣DO＝10﹣4＝6，∴S四边形ODFC＝S梯形ABEO＝（AB+OE）•BE＝（10+6）×6＝48．故选：D．二．填空题（共3小题）21．在△ABC中∠B＝90°，BC＝5，AB＝12，AC＝13，则点B到斜边AC的距离是．【分析】设AC边上的高为h，再根据三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：设AC边上的高为h，∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，AC＝13，∴AB•BC＝AC•h，∴h＝＝＝．故答案为：．22．如图，CD⊥AB，点E、F在AB上，且CE＝10cm，CD＝8cm，CF＝12cm，则点C到AB的距离是8cm．【分析】根据点到直线的距离是垂线段的长度，可得答案．【解答】解：∵CD⊥AB，点E、F在AB上，CD＝8cm，∴点C到AB的距离是CD＝8cm，故答案为：8cm．23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，E为AB上一点，CF⊥BE，垂足为点F．如果四边形ABCD面积为48，BE＝7，那么CF＝．【分析】连结CE，先根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，根据等底等高的平行四边形面积是三角形的两倍可得△BCE的面积，再根据三角形面积公式即可求解．【解答】解：连结CE，∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵四边形ABCD面积为48，∴△BCE的面积是48÷2＝24，∴CF＝24×2÷7＝．故答案为：．三．解答题（共15小题）24．材料1：反射定律当入射光线AO照射到平面镜上时，将遵循平面镜反射定律，即反射角（∠BOM）的大小等于入射角（∠AOM）的大小，显然，这两个角的余角也相等，其中法线（OM）与平面镜垂直，并且满足入射光线、反射光线（OB）与法线在同一个平面．材料2：平行逃逸角对于某定角∠AOB＝α（0°＜α＜90°），点P为边OB上一点，从点P发出一光线PQ（射线），其角度为∠BPQ＝β（0°＜β＜90°），当光线PQ接触到边OA和OB时会遵循反射定律发生反射，当光线PQ经过n次反射后与边OA或OB平行时，称角为定角α的n阶平行逃逸角，特别地，当光线PQ直接与OA平行时，称角β为定角α的零阶平行逃逸角．（1）已知∠AOB＝α＝20°，①如图1，若PQ∥OA，则∠BPQ＝20 °，即该角为α的零阶平行逃逸角；②如图2，经过一次反射后的光线P1Q∥OB，此时的∠BPP1为α的平行逃逸角，求∠BPP1的大小；③若经过两次反射后的光线与OA平行，请补全图形，并直接写出α的二阶平行逃逸角为60 °；（2）根据（1）的结论，归纳猜想对于任意角α（0°＜α＜90°），其n（n为自然数）阶平行逃逸角β＝（n+1）α（用含n和a的代数式表示）．【分析】（1）①根据平行线的性质即可解决问题；②根据反射定律以及平行线的性质即可解决问题；③画出图形，利用反射定律以及平行线的性质解决问题即可；（2）探究规律后，利用规律即可解决问题；【解答】解：（1）①如图①中，∵PQ∥OA，∴∠BPQ＝∠AOB＝20°，故答案为20．②如图2中，∵P1Q∥OB，∴∠AP1Q＝∠PP1O＝∠AOB＝20°，∴∠BPP1＝∠AOB+∠PP1O＝40°．③如图3中，如图所示，α的二阶平行逃逸角为20°×3＝60°，（2）由（1）可知：α的零阶平行逃逸角为α，α的1阶平行逃逸角为2α，α的二阶平行逃逸角为3α，…，由此可以推出，α的n阶平行逃逸角为（n+1）α，故答案为（n+1）α．25．已知，如图，∠1＝∠ABC＝∠ADC，∠3＝∠5，∠2＝∠4，∠ABC+∠BCD＝180°，将下列推理过程补充完整：（1）∵∠1＝∠ABC（已知）∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）（2）∵∠3＝∠5（已知）∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）（3）∵∠ABC+∠BCD＝180°（已知）∴AB∥CD，（同旁内角互补，两直线平行）【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行得出结论；（2）根据内错角相等，两直线平行得出结论；（3）根据同旁内角互补，两直线平行得出结论．【解答】解：（1））∵∠1＝∠ABC（已知）∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）．故答案为：同位角相等，两直线平行；（2）∵∠3＝∠5，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．故答案为：AB，CD；（3））∵∠ABC+∠BCD＝180°（已知）∴AB∥CD，（同旁内角互补，两直线平行）．故答案为：AB，CD，同旁内角互补，两直线平行．26．看图填空：如图，∵∠1＝∠2∴AC∥DE，内错角相等，两直线平行∵∠3+∠4＝180°∴DE∥FG，同旁内角互补，两直线平行∴AC∥FG，平行于同一直线的两直线平行．【分析】根据平行线的判定方法，逐一判定即可．【解答】解：∵∠1＝∠2∴AC∥DE，内错角相等，两直线平行；∵∠3+∠4＝180°∴DE∥FG，同旁内角互补，两直线平行，∴AC∥FG，平行于同一直线的两直线平行．故答案为：AC；DE；内错角相等，两直线平行；DE；FG；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一直线的两直线平行．27．如图，∠A＝∠C＝90°，BE，DF分别为∠ABC与∠ADC的平分线，能判断BE∥DF吗？试说明理由．【分析】先根据四边形内角和定理得出∠ABC+∠ADC＝180°，再由角平分线的性质得出∠ABE+∠ADF＝90°，根据直角三角形的性质可得出结论．【解答】解：BE∥DF．理由：∵∠A＝∠C＝90°，∴∠ABC+∠ADC＝180°．∵BE，DF分别为∠ABC与∠ADC的平分线，∴∠ABE＝∠ABC，∠ADF＝∠ADC，∴∠ABE+∠ADF＝90°．∵∠ABE+∠AEB＝90°，∴∠AEB＝∠ADF，∴BE∥DF．28．如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2＝90°．求证：AB∥CD．【分析】运用角平分线的定义，结合图形可知∠ABD＝2∠1，∠BDC＝2∠2，又已知∠1+∠2＝90°，可得同旁内角∠ABD和∠BDC互补，从而证得AB∥CD．【解答】解：∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC（已知），∴∠ABD＝2∠1，∠BDC＝2∠2（角平分线定义），∵∠1+∠2＝90°，∴∠ABD+∠BDC＝2（∠1+∠2）＝180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．29．如图，两条射线AM∥BN，线段CD的两个端点C、D分别在射线BN、AM上，且∠A＝∠BCD＝108°．E是线段AD上一点（不与点A、D重合），且BD平分∠EBC．（1）求∠ABC的度数．（2）请在图中找出与∠ABC相等的角，并说明理由．（3）若平行移动CD，且AD＞CD，则∠ADB与∠AEB的度数之比是否随着CD位置的变化而发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值．【分析】（1）由平行线的性质可求得∠A+∠ABC＝180°，可则可求得答案；（2）利用平行线的性质可求得∠ADC＝∠DCN，∠ADC+∠BCD＝180°，则可求得答案；（3）利用平行线的性质，可求得∠AEB＝∠EBC，∠ADB＝∠DBC，再结合角平分线的定义可求得答案．【解答】解：（1）∵AM∥BN，∴∠A+∠ABC＝180°．∴∠ABC＝180°﹣∠A＝180°﹣108°＝72°．（2）与∠ABC相等的角是∠ADC、∠DCN．∵AM∥BN，∴∠ADC＝∠DCN，∠ADC+∠BCD＝180°．∴∠ADC＝180°﹣∠BCD＝180°﹣108°＝72°．∴∠DCN＝72°．∴∠ADC＝∠DCN＝∠ABC．（3）不发生变化．∵AM∥BN，∴∠AEB＝∠EBC，∠ADB＝∠DBC．∵BD平分∠EBC，∴∠DBC＝∠EBC，∴∠ADB＝∠AEB，∴∴＝．30．如图1，MN∥PQ，直线AD与MN、PQ分别交于点A、D，点B在直线PQ上，过点B作BG ⊥AD，垂足为点G．（1）求证：∠MAG+∠PBG＝90°；（2）若点C在线段AD上（不与A、D、G重合），连接BC，∠MAG和∠PBC的平分线交于点H，请在图2中补全图形，猜想并证明∠CBG与∠AHB的数量关系；（3）若直线AD的位置如图3所示，（2）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出∠CBG与∠AHB的数量关系．【分析】（1）依据平行线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠MAG+∠PBG＝90°；（2）分两种情况讨论：当点C在AG上时，依据平行线的性质以及三角形外角性质，2∠AHB﹣∠CBG＝90°；当点C在DG上时，依据平行线的性质以及三角形外角性质，2∠AHB+∠CBG＝90°；（3）分两种情况讨论：当点C在AG上时，依据平行线的性质以及三角形外角性质，2∠AHB+∠CBG＝270°；当C在DG上时，依据平行线的性质以及三角形外角性质，2∠AHB ﹣∠CBG＝270°．【解答】解：（1）如图1，∵MN∥PQ，∴∠MAG＝∠BDG，∵∠AGB是△BDG的外角，BG⊥AD，∴∠AGB＝∠BDG+∠PBG＝90°，∴∠MAG+∠PBG＝90°；（2）2∠AHB﹣∠CBG＝90°或2∠AHB+∠CBG＝90°，证明：①如图，当点C在AG上时，∵MN∥PQ，∴∠MAC＝∠BDC，∵∠ACB是△BCD的外角，∴∠ACB＝∠BDC+∠DBC＝∠MAC+∠DBC，∵AH平分∠MAC，BH平分∠DBC，∴∠MAC＝2∠MAH，∠DBC＝2∠DBH，∴∠ACB＝2（∠MAH+∠DBH），同理可得，∠AHB＝∠MAH+∠DBH，∴∠ACB＝2（∠MAH+∠DBH）＝2∠AHB，又∵∠ACB是△BCG的外角，∴∠ACB＝∠CBG+90°，∴2∠AHB＝∠CBG+90°，即2∠AHB﹣∠CBG＝90°；②如图，当点C在DG上时，同理可得，∠ACB＝2∠AHB，又∵Rt△BCG中，∠ACB＝90°﹣∠CBG，∴2∠AHB＝90°﹣∠CBG，即2∠AHB+∠CBG＝90°；（3）（2）中的结论不成立．存在：2∠AHB+∠CBG＝270°；2∠AHB﹣∠CBG＝270°．①如图，当点C在AG上时，由MN∥PQ，可得：∠ACB＝360°﹣∠MAC﹣∠PBC＝360°﹣2（∠MAH+∠PBH），∠AHB＝∠MAH+∠PBH，∴∠ACB＝360°﹣2∠AHB，又∵∠ACB是△BCG的外角，∴∠ACB＝90°+∠CBG，∴360°﹣2∠AHB＝90°+∠CBG，即2∠AHB+∠CBG＝270°；②如图，当C在DG上时，同理可得，∠ACB＝360°﹣2（∠MAH+∠PBH），∠AHB＝∠MAH+∠PBH，∴∠ACB＝360°﹣2∠AHB，又∵Rt△BCG中，∠ACB＝90°﹣∠CBG，∴360°﹣2∠AHB＝90°﹣∠CBG，∴2∠AHB﹣∠CBG＝270°．31．根据题意结合图形填空：已知：如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC与G，∠E＝∠3，试问：AD是∠BAC的平分线吗？若是，请说明理由．答：是，理由如下：∵AD⊥BC，EG⊥BC（已知）∴∠4＝∠5＝90°（垂直定义）∴AD∥EG（同位角相等，两条直线平行）∴∠1＝∠E（两条直线平行，同位角相等）∠2＝∠3（两条直线平行，内错角相等）∵∠E＝∠3（已知）∴（∠1）＝（∠2）（等量代换）∴AD是∠BAC的平分线（角平分线定义）【分析】首先要根据平行线的判定证明两条直线平行，再根据平行线的性质证明有关的角相等，运用等量代换的方法证明AD所分的两个角相等，即可证明．【解答】答：是，理由如下：∵AD⊥BC，EG⊥BC（已知），∴∠4＝∠5＝90°（垂直定义），∴AD∥EG（同位角相等，两条直线平行），∴∠1＝∠E（两条直线平行，同位角相等），∠2＝∠3（两条直线平行，内错角相等）；∵∠E＝∠3（已知），∴∠1＝∠2（等量代换），∴AD是∠BAC的平分线（角平分线定义）．32．已知：点A在射线CE上，∠C＝∠D．（1）如图1，若AC∥BD，求证：AD∥BC；（2）如图2，若∠BAC＝∠BAD，BD⊥BC，请探究∠DAE与∠C的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DF∥BC交射线于点F，当∠DFE＝8∠DAE时，求∠BAD的度数．【分析】（1）根据AC∥BD，可得∠DAE＝∠D，再根据∠C＝∠D，即可得到∠DAE＝∠C，进而判定AD∥BC；（2）根据∠CGB是△ADG是外角，即可得到∠CGB＝∠D+∠DAE，再根据△BCG中，∠CGB+∠C＝90°，即可得到∠D+∠DAE+∠C＝90°，进而得出2∠C+∠DAE＝90°；（3）设∠DAE＝α，则∠DFE＝8α，∠AFD＝180°﹣8α，根据DF∥BC，即可得到∠C＝∠AFD＝180°﹣8α，再根据2∠C+∠DAE＝90°，即可得到2（180°﹣8α）+α＝90°，求得α的值，即可运用三角形内角和定理得到∠BAD的度数．【解答】解：（1）如图1，∵AC∥BD，∴∠DAE＝∠D，又∵∠C＝∠D，∴∠DAE＝∠C，∴AD∥BC；（2）∠EAD+2∠C＝90°．证明：如图2，设CE与BD交点为G，∵∠CGB是△ADG是外角，∴∠CGB＝∠D+∠DAE，∵BD⊥BC，∴∠CBD＝90°，∴△BCG中，∠CGB+∠C＝90°，∴∠D+∠DAE+∠C＝90°，又∵∠D＝∠C，∴2∠C+∠DAE＝90°；（3）如图3，设∠DAE＝α，则∠DFE＝8α，∵∠DFE+∠AFD＝180°，∴∠AFD＝180°﹣8α，∵DF∥BC，∴∠C＝∠AFD＝180°﹣8α，又∵2∠C+∠DAE＝90°，∴2（180°﹣8α）+α＝90°，∴α＝18°，∴∠C＝180°﹣8α＝36°＝∠ADB，又∵∠C＝∠BDA，∠BAC＝∠BAD，∴∠ABC＝∠ABD＝∠CBD＝45°，∴△ABD中，∠BAD＝180°﹣45°﹣36°＝99°．33．已知，在平面直角坐标系中，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，7），B（﹣5，1），C（1，3），请在所给的平面直角坐标系中按要求完成以下问题：（1）画出三角形ABC；（2）将三角形ABC先向下平移7个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到的三角形A1B1C1（点A1，B1，C1分别是点A，B，C移动后的对应点），请画出三角形A1B1C1；并判断线段AC与A1C1的关系．【分析】（1）根据点A、B、C三点的坐标在坐标系中描出各点，再顺次连接即可得；（2）将三顶点分别向下平移7个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到对应点，顺次连接可得，继而根据平移的性质解答可得．【解答】解：（1）如图所示，△ABC即为所求；（2）如图所示，A1B1C1即为所求，AC与A1C1平行且相等．34．如图，∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E．（1）AD与BC平行吗？请说明理由；（2）AB与EF的位置关系如何？为什么？（3）若AF平分∠BAD，试说明：①∠BAD＝2∠F；②∠E+∠F＝90°注：本题第（1）、（2）小题在下面的解答过程的空格内填写理由或数学式；第（3）小题要写出解题过程．解：（1）AD∥BC．理由如下：∵∠ADE+∠ADF＝180°，（平角的定义）∠ADE+∠BCF＝180°，（已知）∴∠ADF＝∠BCF，（同角的补角相等）∴AD∥BC（2）AB与EF的位置关系是：AB∥EF．∵BE平分∠ABC，（已知）∴∠ABE＝∠ABC．（角平分线的定义）又∵∠ABC＝2∠E，（已知），即∠E＝∠ABC，∴∠E＝∠ABE．（等量代换）∴AB∥EF．（内错角相等，两直线平行）【分析】（1）欲证明AD∥BC，只要证明∠ADF＝∠BCF即可；（2）结论：AB∥EF，只要证明∠E＝∠ABE即可；（3）①根据平行线的性质以及角平分线的定义即可证明；②只要证明∠OAB+∠OBA＝90°即可解决问题；【解答】（1）解：结论：AD∥BC．理由如下：∵∠ADE+∠ADF＝180°，（平角的定义）∠ADE+∠BCF＝180°，（已知）∴∠ADF＝∠BCF，（同角的补角相等）∴AD∥BC（2）解：结论：AB与EF的位置关系是：AB∥EF，∵BE平分∠ABC，（已知）∴∠ABE＝∠ABC．（角平分线的定义）又∵∠ABC＝2∠E，（已知），即∠E＝∠ABC，∴∠E＝∠ABE．（等量代换）∴AB∥EF．（内错角相等，两直线平行）故答案为BCF，同角的补角相等，AB∥EF，ABE，等量代换，AB，EF，内错角相等，两直线平行．（3）证明：①∵AB∥EF，∴∠BAF＝∠F，∵∠BAD＝2∠BAF，∴∠BAD＝2∠F．②∵AD∥BC，∴∠DAB+∠CBA＝180°，∵∠OAB＝DAB，∠OBA＝∠CBA，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∴∠EOF＝∠AOB＝90°，∴∠E+∠F＝90°．35．如图，已知∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，试说明∠BDC+∠DGF＝180°．请将下面的解答过程补充完整．解：∵∠1＝∠ACB（已知）∴DE∥BC（同位角相等两直线平行）∴∠2＝∠DCF（两直线平行内错角相等）∵∠2＝∠3（已知）∴∠3＝∠DCF（等量代换）∴CD∥FG（同位角相等两直线平行）∴∠BDC+∠DGF＝180°（两直线平行同旁内角互补）【分析】根据平行线的性质和判定即可解决问题；【解答】解：∵∠1＝∠ACB（已知）∴DE∥BC（同位角相等两直线平行）∴∠2＝∠DCF（两直线平行内错角相等）∵∠2＝∠3（已知）∴∠3＝∠DCF（等量代换）∴CD∥FG（同位角相等两直线平行）∴∠BDC+∠DGF＝180°（两直线平行同旁内角互补）故答案为BC，同位角相等两直线平行，两直线平行内错角相等，已知，等量代换，同位角相等两直线平行，两直线平行同旁内角互补；36．如图，已知：点A在射线BG上，∠1＝∠2，∠1+∠3＝180°，∠EAB＝∠BCD．。
2022-2023学年七年级数学下册《平行线的性质》精讲与精练高分突破含答案解析
5.3平行线的性质考点一：平行线的性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单地说:两直线平行，同位角相等.2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单地说:两直线平行，内错角相等.3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单地说:两直线平行，同旁内角互补.注意：是先有两直线平行，才有以上的性质，前提是“线平行”。
一个结论：平行线间的距离处处相等。
例如：应用于说明矩形（包括长方形、正方形）的对边相等，还有梯形的对角线把梯形分成分别以上底为底的两等面积的三角形，或以下底为底的两等面积的三角形。
（因为梯形的上底与下底平行，平行线间的高相等，所以，就有等底等高的三角形。
）考点二、命题判断一件事情的语句叫命题。
命题包括“题设”和“结论”两部分，可写成“如果……那么……”的形式。
例如：“明天可能下雨。
”这句语句______命题，而“今天很热，明天可能下雨。
”这句语句_____命题。
(填“是”或“不是”)①命题分为真命题与假命题，真命题指题设成立，结论也成立的命题（或说正确的命题）。
假命题指题设成立，但结论不一定或根本不成立的命题（或说错误的命题）。
②逆命题：将一个命题的题设与结论互换位置之后，形成新的命题，就叫原命题的逆命题。
注：原命题是真命题，其逆命题不一定仍为真命题，同理，原命题为假命题，其逆命题也不一定为假命题。
题型一：平行线的性质1．（2022秋·河南新乡·七年级校考期末）如图，AF 是BAC ∠的平分线，DF AC ∥，若135∠=︒，则BAF ∠的度数为（ ）A ．17.5°B ．35°C ．55°D ．70°2．（2022秋·吉林长春·七年级长春市第四十五中学校考期末）如图，直线a b P ，一块含60︒角的直角三角板如图放置，若113∠=︒，则2∠的度数为（ ）．A ．45︒B ．47︒C ．55︒D ．57︒3．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，AB CD P ，直线EF 交AB 于点E ，交CD 于点F ，EG 平分BEF ∠，交CD 于点G ，150∠=︒，则2∠等于（ ）A ．50︒B ．60︒C ．65︒D ．90︒题型二：根据平行线性质探究角的关系4．（2022春·浙江金华·七年级统考期末）将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：（1）12∠=∠；（2）34∠=∠；（3）2490∠+∠=︒；（4）45180∠+∠=︒．其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．（2023春·七年级单元测试）如图，平面内直线a b c ∥∥，点A ，B ，C 分别在直线a ，b ，c 上，BD 平分ABC ∠，并且满足αβ∠>∠，则α∠，∠β，γ∠关系正确的是（ ）A ．2αβγ∠=∠+∠B ．αβγ∠=∠+∠C ．22αβγ∠=∠-∠D ．2αβγ∠=∠+∠6．（2021春·浙江宁波·七年级校考期中）将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：（1）23∠∠=；（2）34∠∠=；（3）2+4=90∠∠︒；（4）5290∠-∠=︒，其中正确的个数是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4题型三：根据平行线性质求角的大小7．（2022秋·重庆江北·七年级校考期末）如图，已知OP 平分AOB ∠，30AOB ∠=︒，PC OA ∥，则CPO ∠为（ ）A ．30︒B ．10︒C ．15︒D ．5︒8．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，直线m n ∥，AC BC ⊥于点C ，125∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．125︒B ．115︒C ．110︒D ．105︒9．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，12l l ∥，将一副直角三角板作如下摆成，图中点A 、B 、C 在同一直线上，则1∠的度数为（ ）A ．80︒B ．85︒C ．75︒D ．70︒题型四：平行线性质在生活应用问题10．（2022春·内蒙古巴彦淖尔·七年级统考期中）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，与原来的方向恰好相反，那么两次拐弯的角度是（ ）A ．第一次右拐50°，第二次左拐130°B ．第一次左拐50°，第二次右拐50°C ．第一次左拐50°，第二次左拐130°D ．第一次右拐50°，第二次右拐50°11．（2022春·山西临汾·七年级统考期中）如图，木条a 、b 、c 通过B 、E 两处螺丝固定在一起，且40ABM ∠=︒，77BEF ∠=︒，将木条a 、木条b 、木条c 看作是在同一平面内的三条直线AC 、DF 、MN ，若使直线AC 、直线DF 达到平行的位置关系，则下列描述正确的是（ ）A ．木条b 、c 固定不动，木条a 绕点B 顺时针旋转23B ．木条b 、c 固定不动，木条a 绕点B 逆时针旋转103C ．木条a 、c 固定不动，木条b 绕点E 逆时针旋转37D ．木条a 、c 固定不动，木条b 绕点E 顺时针旋转15812．（2022春·江苏宿迁·七年级校考阶段练习）为了亮化某景点，石家庄市在两条笔直且互相平行的景观道MN 、QP 上分别放置A 、B 两盏激光灯，如图所示．A 灯发出的光束自AM 逆时针旋转至AN 便立即回转，B 灯发出的光束自BP 逆时针旋转至BQ 便立即回转，两灯不间断照射，A 灯每秒转动30°，B 灯每秒转动10°，B 灯先转动2秒，A 灯才开始转动，当B 灯光束第一次到达BQ 之前，两灯的光束互相平行时A 灯旋转的时间是（ ）A ．1或6秒B ．8.5秒C ．1或8.5秒D ．2或6秒题型五：平行线之间的距离13．（2023春·七年级单元测试）在同一平面内，设a 、b 、c 是三条互相平行的直线，已知a 与b 的距离为4cm ，b 与c 的距离为1cm ，则a 与c 的距离为（ ）A ．1cmB ．3cmC ．5cm 或3cmD ．1cm 或3cm14．（2023春·七年级课时练习）如图，12l l ∥，AB CD ∥，2CE l ⊥，2FG l ⊥．则下列结论正确的是（ ）．A ．A 与B 之间的距离就是线段ABB ．AB 与CD 之间的距离就是线段AC 的长度C ．1l 与2l 之间的距离就是线段CE 的长度D ．1l 与2l 之间的距离就是线段CD 的长度15．（2020春·湖南邵阳·七年级统考期末）如图，已知直线a // b // c ，直线d 与它们分别垂直且相交于A ，B ，C 三点，若AB=2，AC=6，则平行线b 、c 之间的距离是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8题型六：与命题有关的问题16．（2023春·广东江门·七年级统考期末）下列命题中，是假命题的是（ ）A ．直角的补角是直角B ．内错角相等，两直线平行C ．一条直线有且只有一条垂线D ．垂线段最短17．（2023春·七年级课时练习）关于原命题“如果a b =，那么22a b =”和它的逆命题“如果22a b =，那么a b =”，下列说法正确的是（ ）A ．原命题是真命题，逆命题是假命题B ．原命题、逆命题都是真命题C ．原命题是假命题，逆命题是真命题D ．原命题，逆命题都是假命题18．（2023春·全国·七年级专题练习）一栋公寓楼有5层，每层有一或两套公寓．楼内共有8套公寓．住户J 、K 、L 、M 、N 、O 、P 、Q 共8人住在不同公寓里．已知：（1）J 住在两套公寓的楼层．（2）K 住在P 的上一层．（3）二层只有一套公寓．（4）M 、N 住在同一层．（5）O 、Q 不同层．（6）Q 不住在一层或二层．（7）L 住在她所在层仅有的公寓里，且不在第一次或第五层．（8）M 在第四层；那么，J 住在第（ ）层．A ．1B ．2C ．3D ．5题型七：平行线的判定和性质的综合问题19．（2023秋·重庆沙坪坝·七年级校考期末）如图，AB CD ∥，连接CA 并延长至点H ，CF 平分ACD ∠，CE CF ⊥，90GAH AFC ∠∠=+︒．(1)求证AG CE ∥；(2)若120GAF ∠=︒，求AFC ∠的度数．20．（2023春·七年级单元测试）如图，180ADE BCF ∠+∠=︒，BE 平分ABC ∠，2ABC E ∠=∠．(1)求证：AD BC ∥；(2)求证：AB EF ∥；(3)若AF 平分BAD ∠，求证：90E F ∠+∠=︒．21．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知 AM CN ∥，点B 在直线AM CN 、之间，88ABC ∠=︒．(1)如图1，请直接写出A ∠和C ∠之间的数量关系：_________．(2)如图2，A ∠和C ∠满足怎样的数量关系？请说明理由．(3)如图3，AE 平分MAB ∠，CH 平分NCB ∠，AE 与CH 交于点G ，则AGH ∠的度数为_________．一：选择题22．（2023秋·河南南阳·七年级南阳市第三中学校考期末）如图，若a b ∥，211933'∠=︒，则1∠等于（ ）A ．6027'︒B ．6073'︒C ．11933'︒D ．11973'︒23．（2023春·七年级课时练习）如图，直线l 、n 分别截A ∠的两边，且l n ∥．根据图中标示的角，判断下列各角的度数关系，正确的是（ ）A ．13∠=∠B ．24∠∠=C ．46180∠+∠=︒D ．34180∠+∠=︒24．（2023春·七年级课时练习）如图，已知AB CD P ，BC 是ABD ∠的平分线，若3100∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．80︒25．（2023秋·吉林长春·七年级校联考期末）如图，AB CD P ，155FGB ∠︒＝，FG 平分EFD ∠，则BEF ∠的大小为（ ）A ．100︒B ．110︒C ．120︒D ．130︒26．（2022春·四川巴中·七年级统考期中）如图，已知AB CD EF ∥∥，160∠=︒，320∠=︒，则2∠的度数是（ ）A ．105︒B ．120︒C ．135︒D ．140︒27．（2023秋·甘肃天水·七年级校考期末）如图，1260∠=∠=︒，376∠=︒，则4∠的度数为（ ）A ．102︒B ．103︒C ．104︒D ．105︒28．（2022春·全国·七年级专题练习）如图，点E 在AB 的延长线上，下列条件中能够判定AB CD P 的条件有（ ）①180BAD ABC ∠+∠=︒；②12∠=∠；③3=4∠∠；④5E ADC ∠+∠=∠．A ．①②B ．②④C ．①③D ．③④29．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知180AEF EFC ∠+∠=︒，M N ∠=∠，求证12∠=∠；30．（2023秋·河南新乡·七年级校考期末）如图，已知12∠=∠，3=4∠∠，5A ∠=∠，试说明：BE CF ∥．完善下面的解答过程，并填写理由或数学式：解：∵3=4∠∠（已知）∴AE ∥______（______）∴5EDC ∠=∠（______）∵5A ∠=∠（已知）∴EDC ∠=______（等量代换）∴DC AB ∥（______）∴5180ABC ∠+∠=︒（______）即523180∠+∠+∠=︒∵12∠=∠（已知）∴513180∠+∠+∠=︒（______）即3180BCF ∠+∠=︒∴BE CF ∥（______）．一、单选题31．（2023春·七年级课时练习）如图，已知直线AB CD ∥，130GEF ∠=︒，135EFH ∠=︒，则12∠+∠的度数为（ ）A ．35︒B ．45︒C ．65︒D ．85︒32．（2023春·七年级单元测试）如图，直线EF 分别与直线AB CD 、相交于点G H 、，已知1250∠=∠=︒，GM 平分HGB ∠交直线CD 于点M ，则GMD ∠的度数为（ ）A ．115︒B ．120︒C ．125︒D ．130︒33．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，AB EF ∥，90BCD ∠︒＝，探索图中角α，β，γ之间的关系式正确的是（ ）A ．360αβγ++︒＝B ．90αβγ++︒＝C ．αγβ+＝D ．180αβγ++︒＝ 34．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，AB CD EF ∥∥，则下列各式中正确的是（ ）A．①②④B．②③④C．①②③二、填空题37．（2023春·广东江门·七年级统考期末）如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当的度数为________．38．（2023春·广东江门·七年级统考期末）如图，已知AB CD ∥，点M ，N 分别在直线AB 、CD 上，90MEN ∠=︒，CNE ENF ∠=∠，则α∠与∠β的数量关系________．39．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，AB CD ABD ∠P ，和BDC ∠的角平分线交于点E ，延长BE 交CD 于点F ，232∠=︒，则3∠=_________．40．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，直线12l l ，被直线3l 所截，3l 分别交12l l ，于点A 和点B ，过点B 的直线4l 交1l 于点C ．若1130260350∠∠∠=︒=︒=︒，，，则4∠=_________．41．（2022春·四川成都·七年级校考阶段练习）有一副直角三角板ABC 和DEC ，其中45B ∠=︒，60D ∠=︒，如图所示叠放，边CD 与边AB 交于点G ，过点G 作GH 平分AGC ∠，若GH BC ∥，则ECA ∠=______度．三、解答题42．（2023春·广东江门·七年级统考期末）如图，已知点A 、D 在直线EF 上，12180∠+∠=︒，DB 平分ADC ∠，AD BC ∥．(1)求证： AB DC ∥；(2)若128DAB ∠=︒，求DBC ∠的度数．43．（2023春·七年级单元测试）如图，已知123180BDC ∠=∠∠+∠=︒，．(1)求证：AD CE ∥；(2)若DA 平分BDC ∠，DA FE ⊥于点A ，55FAB ∠=︒，求ABD ∠的度数．44．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，直线a b ⊥r r ，垂足为O ，ABC V 与直线a 、b 分别交于点E 、F ，且90C ∠=︒，EG FH ，分别平分MEC ∠和NFC ∠．(1)当PD 平分ODF ∠时，(2)当DP OB ∥时，求PDE ∠(3)当DP FD ⊥时，∠ADP 2(1)如图1，若BAP ∠，PAG ∠，ACE ∠的数量关系为___________．(2)如图2，在（1）的条件下，若5DBA ACE ∠=∠，30PAG ∠=︒，求证AB AC ⊥；(3)点B 、C 分别在点D 、E 的下方，若AB AC ⊥，PAG FAC ∠=∠，请在备用图中画出相应的图形，并求出DBA ∠的度数．1．B【分析】根据两直线平行，同位角相等，可得1FAC ∠=∠，再根据角平分线的定义可得BAF FAC ∠=∠，从而可得结果．【详解】解：∵DF AC ∥，∴135FAC ∠=∠=︒，∵AF 是BAC ∠的平分线，∴35BAF FAC ∠=∠=︒，故B 正确．故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记平行线的性质是解题的关键．2．B【分析】由平行线的性质，已知113ABD ∠=∠=︒，再根据角的和差，平行公理推论，平行线的性质解得∠2度数，进而得出答案．【详解】过点B 作BD a ∥,∴2CBD ∠=∠，∵a b ∥,∴BD b ∥,又∵113∠=︒，∴113ABD ∠=∠=︒，∵60ABC ∠=︒，∴601347DBC ∠=︒-︒=︒，∴247∠=︒．故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，角的和差，对顶角的性质，等量代换等相关知识点，重点掌握平行线的性质，难点过一点作已知直线的平行线辅助线．3．C【分析】由AB CD P ，1=50∠︒，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得BEF ∠的度数，又由EG 平分BEF ∠，求得BEG ∠的度数，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得2∠的度数．【详解】解：∥ AB CD ，1180BEF ∴∠+∠=︒，1=50∠︒ ，130BEF ∴∠=︒，EG 平分BEF ∠，1652BEG BEF ∴∠=∠=︒，265BEG ∴∠=∠=︒，故选：C ．【点睛】此题考查了平行线的性质与角平分线的定义，注意掌握两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等定理的应用．4．D【分析】根据两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，可判断（1），（2）,（4），由平角的定义可判断（3），逐一进行解答即可．【详解】解：∵纸条的两边互相平行，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠4+∠5=180︒，故（1）（2）（4）正确；∵三角板是直角三角板，∴∠2+∠4=1809090︒-︒=︒，故（3）正确；综上所述，正确的个数是4． 故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的性质以及平角的定义，熟记平行线的性质是解题的关键．5．A【分析】先根据平行线的性质可得1γα∠+∠=∠，2β∠=∠，从而可得ABC αβ∠=∠+∠，再根据角平分线的定义可得11212αβ∠=∠+∠，代入1γα∠+∠=∠即可得出答案．【详解】解：如图，a b c ∥∥，1γα∴∠+∠=∠①，2β∠=∠，12ABC γαβ∠∴∠+∠+∠=∠+∠=，BD Q 平分ABC ∠，1112212ABC αβ∠=∴∠=∠+∠，代入①得：1212αβγα∠+∠+∠=∠，2αβγ∴∠=∠+∠，【详解】解：AC BC ⊥Q 于点C ，90ACB ∴∠=︒，190ABC ∴∠+∠=︒，902565ABC ∴∠=︒-︒=︒，m n ∥，2180115ABC ∴∠=︒-∠=︒．故选：B ．【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．9．C【分析】如图，过点C 作CM 1l ∥，则12l l CM ∥∥，根据平行线的性质可得∠1＋∠ECM ＝180°，∠2＝∠ACM ，再根据三角板的特点求解即可．【详解】解：如图，过点C 作CM 1l ∥，∵12l l ∥，∴12l l CM ∥∥，∴∠1＋∠ECM ＝180°，∠2＝∠ACM ，∵∠2＝180°−45°＝135°，∴∠ACM ＝135°，∴∠ECM ＝135°−30°＝105°，∴∠1＝180°−105°＝75°，故选：C ．【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同位角相等”及作平行线是解题的关键．10．C【分析】根据两直线平行，同旁内角互补判断即可．【详解】解：因为两次拐弯后，与原来的方向恰好相反，所以两次拐弯的方向相同，形成的角是同旁内角，且互补．故选：C ．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，利用两直线平行，同旁内角互补得出是解题关键．11．C【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可．【详解】解：A ．木条b 、c 固定不动，木条a 绕点B 顺时针旋转23°，∴∠ABE =40°+23°=63°≠∠DEM ，∴AC 与DF 不平行，故A 不符合题意；B ．木条b 、c 固定不动，木条a 绕点B 逆时针旋转103°，∴∠CBE =180°-（103°-40°）=117°≠∠DEM ，∴AC 与DF 不平行，故B 不符合题意；C ．木条a 、c 固定不动，木条b 绕点E 逆时针旋转37°，∴∠DEM =77°-37°=40°=∠ABE ，∴AC //DF ，故C 符合题意；D ．木条a 、c 固定不动，木条b 绕点E 顺时针旋转158°，∴∠DEM =360°-77°-158°=125°≠∠CBE ，∴AC 与DF 不平行，故D 不符合题意；故选：C ．【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．12．C【分析】设A 灯旋转的时间为t 秒，求出t 的取值范围为016t <≤，再分①06t <≤，②612t <≤和③1216t <≤三种情况，先分别求出MAM '∠和PBP '∠的度数，再根据平行线的性质可得MAM PBP ''∠=∠，由此建立方程，解方程即可得．【详解】解：设A 灯旋转的时间为t 秒，A 灯光束第一次到达AN 所需时间为180630︒=︒秒，B 灯光束第一次到达BQ 所需时间为1801810︒=︒秒，B 灯先转动2秒，A 灯才开始转动，0182t ∴<≤-，即016t <≤，由题意，分以下三种情况：①如图，当06t <≤时，//AM BP ''，30,10(2)MAM t PBP t ''∴∠=︒∠=︒+，//,//MN PQ AM BP '' ，1,1MAM PBP ''∴∠=∠∠=∠，MAM PBP ''∴∠=∠，即3010(2)t t ︒=︒+，解得1t =，符合题设；②如图，当612t <≤时，//AM BP ''，18030(6)36030,10(2)MAM t t PBP t ''∴∠=︒-︒-=︒-︒∠=︒+，//,//MN PQ AM BP '' ，2180,2180MAM PBP ''∴∠+∠=︒∠+∠=︒，MAM PBP ''∴∠=∠，即3603010(2)t t ︒-︒=︒+，解得8.5t =符合题设；③如图，当1216t <≤时，//AM BP ''，30(12)30360,10(2)MAM t t PBP t ''∴∠=︒-=︒-︒∠=︒+，同理可得：MAM PBP ''∠=∠，即3036010(2)t t ︒-︒=︒+，解得1916t =>，不符题设，舍去；综上，A 灯旋转的时间为1秒或8.5秒，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的几何应用等知识点，正确求出时间t 的取值范围，并据此分三种情况讨论是解题关键．13．C【分析】分①直线b 在直线a 、c 的之间和②直线c 在直线a 、b 的之间两种情况，根据平行线间的距离求解即可得．【详解】解：①如图，当直线b 在直线a 、c 的中间时，a 与b 的距离为4cm ，b 与c 的距离为1cm ，a ∴与c 的距离为()415cm +=；②如图，当直线c 在直线a 、b 的中间时，a 与b 的距离为4cm ，b 与c 的距离为1cm ，a ∴与c 的距离为()413cm -=；综上，a 与c 的距离为5cm 或3cm ，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线间的距离，正确分两种情况讨论是解题关键．14．C【分析】根据两点间的距离和平行线间的距离的性质逐项判断即可．【详解】解：A 、A 与B 之间的距离就是线段AB 的长度，不符合题意，故本项错误；B 、AB 与CD 之间的距离就是线段HI 的长度，不符合题意，故本项错误；C 、1l 与2l 之间的距离就是线段CE 的长度，符合题意，故本项正确；D 、1l 与2l 之间的距离就是线段CE 或GF 的长度，不符合题意，故本项错误．故答案为：C ．【点睛】本题考查了两点间的距离和平行线间的距离的性质，解决本题的关键是掌握以上基本的性质．15．B【分析】依据直线a ∥b ∥c ，直线d 与它们分别垂直且相交于A ，B ，C 三点，即可得到AB 长为直线a 和b 之间的距离，BC 长为直线b 和c 之间的距离，AC 长为直线a 和c 之间的距离，再根据AB=2，AC=6，即可得出直线b 与直线c 之间的距离为4．【详解】解：∵直线a ∥b ∥c ，直线d 与它们分别垂直且相交于A ，B ，C 三点，∴AB 长为直线a 和b 之间的距离，BC 长为直线b 和c 之间的距离，AC 长为直线a 和c 之间的距离，又∵AB=2，AC=6，∴BC=6-2=4，即直线b 与直线c 之间的距离为4．故选：B ．【点睛】本题主要考查了平行线之间的距离，从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．16．C【分析】根据补角的定义，平行线的判定，垂线的性质，逐项分析判断即可求解．【详解】解：A. 直角的补角是直角，是真命题，故该选项不符合题意；B. 内错角相等，两直线平行，是真命题，故该选项不符合题意；C. 同一平面内过直线上的一点有且只有一条垂线，原命题是假命题，符合题意；D. 垂线段最短，是真命题，故该选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了判断真假命题，掌握补角的定义，平行线的判定，垂线的性质是解题的关键．17．A【分析】根据互逆命题的定义即把一个命题的题设和结论互换和性质定理进行解答，即可求出答案．【详解】解：如果a b =，那么22a b =，所以原命题是真命题；命题“如果a b =，那么22a b =”的逆命题是如果22a b =，那么a b =，不一定成立，是假命题；故原命题是真命题，逆命题是假命题故选：A ．【点睛】此题考查了互逆命题，掌握互逆命题的定义即两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题是解题的关键．18．D【分析】首先根据已知，采取筛选法进行一个一个筛选，就能确定答案．【详解】解：由（4）和（8）得出M 和N 住在第四层．由（2）得K 只能在2或3层，又由（7）得出L 在3层且只有一户，K 在二层只有一户，P 则在一层．又由（5）和（6）知道O 只能在一层，Q 在五层．这时只有五层还有一套公寓，所以J 只能住在五层．故选：D ．【点睛】用到的知识点是推理和论证，能根据已知，采取筛选法进行一个一个筛选是解此题的关键．19．(1)见解析(2)30AFC ∠=︒【分析】（1）根据平行线的性质及角平分线的定义推出AFC ACF ∠=∠，得到90ACF GAH ∠∠=+︒，根据垂直的定义求出90ACF ECH ∠∠+=︒，由此得到GAH ECH ∠=∠，即可推出结论；（2）根据平行线的性质推出2HAF ACD ACF =∠∠=∠，由90GAH ECH ACF ∠=∠=︒-∠，得到902120ACF ACF ︒-∠+∠=︒，求出30ACF ∠=︒即可．【详解】（1）证明：∵AB CD ∥，∴AFC DCF ∠=∠，∵CF 平分ACD ∠，∴DCF ACF ∠=∠，∴AFC ACF ∠=∠，∵90GAH AFC ∠∠=+︒，∴90ACF GAH ∠∠=+︒，∵CE CF ⊥，∴90ECF ∠=︒，∴90ACF ECH ∠∠+=︒，∴GAH ECH ∠=∠，∴AG CE ∥；（2）∵AB CD ∥，∴2HAF ACD ACF =∠∠=∠，∵90GAH ECH ACF ∠=∠=︒-∠，∴902120ACF ACF ︒-∠+∠=︒，∴30ACF ∠=︒，∴30AFC ∠=︒．【点睛】此题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，正确掌握平行线的判定和性质是解题的关键．20．(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）求出ADF BCF Ð=Ð，根据平行线的判定得出即可；（2）根据角平分线的定义得出2ABC ABE ∠=∠，求出ABE E ∠=∠，根据平行线的判定得出即可；（3）根据平行线的性质得出180ADE BCF ∠+∠=︒，根据角平分线的定义得出12ABE ABC ∠=∠， 12BAF BAD ∠=∠，求出90ABE BAF ∠+∠=︒，根据三角形的内角和定理得出即可．【详解】（1）∵180ADE BCF ∠+∠=︒，180ADE ADF ∠+∠=︒，∴ADF BCF ∠=∠，∴AD BC ∥；（2）∵BE 平分ABC ∠，∴2ABC ABE ∠=∠，∵2ABC E ∠=∠，∴ABE E ∠=∠，∴AB EF ∥；（3）∵AD BC ∥，∴180DAB ABC ∠+∠=︒，∵BE 平分ABC ∠，AF 平分BAD ∠，∴12ABE ABC ∠=∠，12BAF BAD ∠=∠，∴90ABE BAF ∠+∠=︒，∴1809090AOB EOF Ð=°-°=°=Ð，∴18090E F EOF Ð+Ð=°-Ð=°．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．21．(1)88A C ∠+∠=︒(2)92C A ∠-∠=︒，见解析(3)46︒【分析】（1）过点B 作BE AM ∥，利用平行线的性质即可求得结论；（2）过点B 作BE AM ∥，利用平行线的性质即可求得结论；（3）利用（2）的结论和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求得结论．【详解】（1）解：过点B 作BE AM ∥，如图，∴A ABE ∠=∠．∵BE AM ∥，AM CN ∥，∴BE AM CN ∥∥．∴C CBE ∠=∠．∵88ABC ∠=︒．∴88A C ABE CBE ABC ∠+∠=∠+∠=∠=︒．故答案为：88A C ∠+∠=︒；（2）解：A ∠和C ∠满足：92C A ∠-∠=︒．理由：过点B 作BE AM ∥，如图，∴A ABE ∠=∠．∵BE AM ∥，AM CN ∥，∴BE AM CN ∥∥．∴180C CBE ∠+∠=︒．∴180CBE C ∠=︒-∠．∵88ABC ∠=︒．∴88ABE CBE ∠+∠=︒．∴18088A C ∠+︒-∠=︒．∴92C A ∠-∠=︒；（3）解：设CH 与AB 交于点F ，如图，∵AE 平分MAB ∠，CH 平分NCB ∠，∥，∵a b24．B【分析】根据平行线的性质可求ABD ∠的度数，然后根据角平分线定义求解即可．【详解】解：AB CD P ，3100∠=︒，3100ABD ∴∠=∠=︒，BC 是ABD ∠的平分线，121502ABD ∴∠=∠=∠=︒．故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，根据平行线的性质求出ABD ∠的度数是解题的关键．25．D【分析】利用平行线的性质，角平分线的性质计算．【详解】解：155AB CD FGB ∠=︒ ∥，，180BEF EFD ∴∠+∠=︒，180********GFD FGB ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，FG 平分EFD ∠，222550EFD GFD ∴∠=∠=⨯︒=︒，180********BEF EFD ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质．26．D【分析】由AB EF ∥，根据据两直线平行，内错角相等，可求出CDE ∠的度数，从而由3CEF AEF ∠=∠-∠可求得出CEF ∠的度数，再由CD EF ∥，根据两直线平行，同旁内角互补，求得2∠的度数即可．【详解】解：∵AB EF ∥，160∠=︒，∴160AEF ∠=∠=︒，∵320∠=︒，∴602040CEF ∠=︒-︒=︒，∵CD EF ∥，∴2180CEF ∠+∠=︒，∴218040140∠=︒-︒=︒．故选D ．【点睛】本题主要考查平行线的性质．熟练掌握平行线的性质是解题的关键．27．C【分析】先根据对顶角相等可得5260∠=∠=︒，再根据平行线的判定可得a b P ，然后根据平行线的性质即可得．【详解】解：如图，260∠=︒ ，5260∴∠=∠=︒，160∠=︒ ，51∴∠=∠，a b ∴P ，4180180104376∠=︒-︒-︒=∴∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了对顶角相等、平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．28．B【分析】根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行三种判定方法进行判定即可．【详解】解：∵∠180BAD ABC ∠+∠=︒，∴BC AD ∥，故①不合题意；∵12∠=∠，∴AB CD P ，故②符合题意；∵3=4∠∠，∴BC AD ∥，故③不合题意；∵5E ADC ∠+∠=∠，5EDC ADC ∠+∠=∠，∴E EDC ∠=∠，∴AB CD P ，故④符合题意．故本题选：B ．【点睛】本题考查平行线的判定，熟练掌握三种判定方法是解题关键．29．证明见解析【分析】先证明AB CD P ，再证明ME FN ∥，得到MEF EFN ∠=∠，利用等式的性质即可求解．【详解】证明：∵180AEF EFC ∠+∠=︒，∴AB CD P ，∴AEF DFE ∠=∠．∵M N ∠=∠，∴ME FN ∥，∴MEF EFN ∠=∠，∴AEF MEF EFD EFN ∠-∠=∠-∠，即12∠=∠．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题关键是牢记平行线的判定与性质．30．BC ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；A ∠；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．【分析】按照所给的证明思路，利用平行线的判定与性质定理，完善证明过程即可．【详解】解：∵3=4∠∠（已知）∴AE BC ∥（内错角相等，两直线平行）∴5EDC ∠=∠（两直线平行，内错角相等）∵5A ∠=∠（已知）∴EDC A ∠=∠（等量代换）∴DC AB ∥（同位角相等，两直线平行）∴5180ABC ∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补）即523180∠+∠+∠=︒∵12∠=∠（已知）∴513180∠+∠+∠=︒（等量代换）即3180BCF ∠+∠=︒∴BE CF ∥（同旁内角互补，两直线平行）．故答案为：BC ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；A ∠；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解答此题的关键．31．D【分析】由130GEF ∠=︒，135EFH ∠=︒可得1324265︒∠+∠+∠+∠=，由AB CD P 得34180∠+∠=︒，进而可求出12∠+∠的度数．【详解】解：如下图所示，∵130GEF ∠=︒，∴13130︒∠+∠=，∵135EFH ∠=︒，∵AB EF ∥，∴AB CM DN EF ∥∥∥，∴BCM DCM CDN EDN αγ∠∠∠∠＝，＝，＝，∵CDN EDN CDN βγ∠+∠∠+＝＝①，90BCD CDN α∠+∠︒＝＝②，由①②得：90αβγ+-︒＝．即90αβγ++︒＝故选：B ．【点睛】此题考查了平行线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用是解题的关键．34．D【分析】根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等、两直线平行，同旁内角互补）即可得到结论．【详解】∵AB CD EF ∥∥，∴31BDC ∠=∠+∠，=1802BDC ∠︒-∠，∴311802∠=∠+︒-∠，∴231801∠+∠=︒+∠，故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟记性质是解题关键．35．C【分析】分别过E 、F 作GE AB ∥，FH CD ∥，再根据平行线的性质可以得到解答．【详解】解：分别过E 、F 作GE AB ∥，FH CD ∥，∵AB CD ∥，∴AB GE FH CD ∥∥∥，∴180ABE BEG ∠+∠=︒，180CDE DEG ∠+∠=︒，∴360ABE BEG CDE DEG ∠+∠+∠+∠=︒，即360ABE BED CDE ∠+∠+∠=︒，①正确；∴1β∠= EF CD ∥，CNE ENF ∠=∠()121802ENC α∴∠=∠=︒-∠∵1130350∠∠=︒=︒，，∴12l l ∥，∴45∠=∠，∵260350∠∠=︒=︒，，∴5180605070∠=︒-︒-︒=︒，在BCG V 中，180180904545BCG BGC B ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，30DCE ∠=︒ ，90453015ECA ACB BCG DCE ∴∠=∠-∠-∠=︒-︒-︒=︒．故答案为：15．【点睛】本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，关键是理解平行线性质，灵活运用角的和差关系计算．42．(1)见解析(2)26DBC ∠=︒【分析】（1）由已知条件得出180BAD CDA ∠+∠=︒，根据同旁内角互补两直线平行，即可得证；（2）根据已知条件得出18012852ADC ∠=︒-︒=︒，根据角平分线的定义得出1262ADB BDC ADC ∠=∠=∠=︒，根据平行线的性质即可求解．【详解】（1）证明：∵12180∠+∠=︒，1180,2180DAB ADC ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴180BAD CDA ∠+∠=︒，∴AB DC ∥；（2）解：∵180BAD CDA ∠+∠=︒，128DAB ∠=︒，∴18012852ADC ∠=︒-︒=︒，∵DB 平分ADC ∠，∴1262ADB BDC ADC ∠=∠=∠=︒，∵AD BC ∥，∴26DBC ADB ∠=∠=︒．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．43．(1)见解析(2)110︒【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行可判定AB CD ∥，得到2ADC ∠=∠，等量代换得出3180ADC ∠+∠=︒，即可根据同旁内角互补，两直线平行得解；（2）由CE AE ⊥，AD CE ∥得出90CEF DAF ∠∠==︒，再根据平行线的性质即可求出235ADC ∠=∠=︒，再根据角平分线的定义即可得解．【详解】（1）证明：∵1BDC ∠=∠，∴AB CD ∥，∴2ADC ∠=∠，∵23180∠+∠=︒，∴3180ADC ∠+∠=︒，∴AD CE ∥；（2）解：∵CE AE ⊥于E ，∴90CEF ∠=︒，由（1）知AD CE ∥，∴90CEF DAF ∠∠==︒，∴2ADC DAF FAB ∠=∠=∠-∠，∵55FAB ∠=︒，∴35ADC ∠=︒，∵DA 平分BDC ∠，1BDC ∠=∠，∴1270BDC ADC ∠=∠=∠=︒，∴18070110ABD ∠=︒-︒=︒．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的基础．44．(1)180°(2)见解析【分析】（1）根据四边形的内角和解答即可；（2）根据四边形的内角和得出180OEC OFC ∠+∠=︒，由角平分线的定义得出()111809022CEG CFH MEC NFC ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，过C 点作CD EG ∥，由平行线的性质与判定即可得出结论．【详解】（1）解：在四边形OECF 中由90C ∠=︒，a b ⊥r r ，得180OEC OFC ∠+∠=︒，故答案为：180°；（2）证明：在四边形OECF 中∵90C ∠=︒，a b ⊥r r ，得180OEC OFC ∠+∠=︒，∵180MEC OEC ∠=︒-∠，180NFC OFC ∠=︒-∠，∴()()180180MEC NFC OEC OFC ∠+∠=︒-∠+︒-∠∵90ODE ∠=︒，∴1409050PDE ∠=︒-︒=︒．（3）如图，∵DP FD ⊥，（4）如图，当PD 在EDF ∠的外部时，∵45EDF ∠=︒，23PDF ∠=∠同理可得：2453 PDF∠=⨯∴PDE EDF PDF∠=∠-∠【点睛】本题考查的是垂直的定义，角平分线的定义，平行线的性质，角的和差运算，清晰的分类讨论是解本题的,BAP PAC∴∠=∠∠BAP PAC∴∠=∠=∠故答案为：BAP∠=（2）证明：如图2，DBA BAG ∴∠=∠AP 平分BAC∠BAP PAC ∴∠=∠DBA BAG ∴∠=∠5DBA ACE ∠=∠ 在图3中，∵AB AC ⊥，∴90BAC ∠=︒，∵AP 平分BAC ∠，∴1452PAB PAC BAC ∠=∠=∠=︒，∵DM FG ∥，BAG DBA x∴∠=∠=45PAG PAB BAG x∴∠=∠+∠=︒+90BAC ∠=︒9090FAC BAG x∴∠=︒-∠=︒-PAG FAC∠=∠ 4590x x∴︒+=︒-解得：22.5x =︒，22.5DBA ∴∠=︒；在图4中，∵AB AC ⊥，∴90BAC ∠=︒，∵AP 平分BAC ∠，∴1452P AB P AC BAC ∠=∠=∠=''︒，∵DM FG ∥，BAG DBA x∴∠=∠=45P AG BAG P AB x ∴∠=∠-='∠-'︒()180********PAG P AG x x∴∠=︒-∠=︒--︒=︒-'90CAG x∠=︒- ()1801809090FAC CAG x x∴∠=︒∠=︒-︒-=︒+PAG FAC∠=∠ 22590x x∴︒-=︒+解得：67.5x =︒，67.5DBA ∴∠=︒；综上所述，DBA ∠的度数为22.5︒或67.5︒．【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义综合题；熟练和灵活运用其性质建立好等量关系是解决本题的关键．。
初一数学下册知识点《平行线之间的距离150题及解析》
初一数学下册知识点《平行线之间的距离150题及解析》一、选择题（本大题共42小题，共126.0分）1.如图，a//b，AB//CD，CE⊥b，FG⊥b，E、G为重足，则下列说法错误的是（）A. CE//FGB. CE＝FGC. A、B两点的距离就是线段AB的长D. 直线a、b间的距离就是线段CD的长【答案】D【解析】略.2.如图，△ABC沿着BC方向平移得到△A′B′C′，点P是直线AA′上任意一点，若△ABC，△PB′C′的面积分别为S1，S2，则下列关系正确的是（）A. S1＞S2B. S1＜S2C. S1=S2D. S1=2S2【答案】C【解析】解：∵△ABC沿着BC方向平移得到△A′B′C′，∴AA′∥BC′，∵点P是直线AA′上任意一点，∴△ABC，△PB′C′的高相等，∴S1=S2，故选：C．根据平行线间的距离相等可知△ABC，△PB′C′的高相等，再由同底等高的三角形面积相等即可得到答案．本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．3.如图，直线a∥b，则直线a，b之间距离是（）A. 线段AB的长度B. 线段CD的长度C. 线段EF的长度D. 线段GH的长度【答案】B【解析】解：由直线a∥b，CD⊥b，得线段CD的长度是直线a，b之间距离，故选：B．根据平行线间的距离的定义，可得答案．本题考查了平行线间的距离，利用平行线间的距离的定义是解题关键．4.如图，AB∥DC，ED∥BC，AE∥BD，那么图中与△ABD面积相等的三角形有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】解：∵AE∥BD，∴S△ABD=S△BDE，∵DE∥BC，∴S△BDE=S△EDC，∵AB∥CD，∴S△ABD=S△ABC，∴与△ABD面积相等的三角形有3个，故选：C．【分析】根据等高模型，同底等高的三角形的面积相等即可判断；本题考查平行线的性质、等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5.如图，AD，CE是△ABC的高，过点A作AF∥BC，则下列线段的长可表示图中两条平行线之间的距离的是( )A. ABB. ADC. CED. AC【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行线之间的距离，熟记定义是解题的关键；根据平行线之间的距离的定义解答即可．【解答】解：表示图中两条平行线之间的距离的是AD，故选B．6.到直线l的距离等于2cm的点有（） .A. 1个B. 2个C. 3 个D. 无数个【答案】D【解析】【分析】本题考查的是点到直线的距离，平行线之间的距离.根据平行线之间的距离的定义进行解答即可．【解答】解：∵两条平行线间的距离相等，∴到直线L的距离等于2cm的点有无数个，故选D．7.直线a上有一点A，直线b上有一点B，且a∥b．点P在直线a，b之间，若PA=3，PB=4，则直线a、b之间的距离（）A. 等于7B. 小于7C. 不小于7D. 不大于7【答案】D【解析】【分析】当点A、B、P共线，且AB⊥a时，直线a、b之间的距离为PA+PB．本题考查了平行线之间的距离．解题的难点是找到直线a、b之间的最短距离．【解答】解：如图，当点A、B、P共线，且AB⊥a时，直线a、b之间的最短，所以直线a、b之间的距离≤PA+PB=3+4=7．即直线a、b之间的距离不大于7.故选D.8.如图，点A，B为定点，直线l∥AB，P是直线l上一动点，对于下列结论，其中不会随点P的移动而变化的是（）①线段AB的长②△PAB的周长③△PAB的面积④∠APB的度数A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】A【解析】解：∵点A、B为定点，∴线段AB的长为定值；∵直线l∥AB，∴直线l到线段AB的距离为定值，∴△PAB的面积为定值．∴不会随点P的移动而变化的是①③．故选：A．由点A、B为定点可得出线段AB的长为定值；由直线l∥AB可得出△PAB的面积为定值．综上即可得出结论．本题考查了三角形的面积以及平行线之间的距离，由点A、B为定点结合直线l∥AB，找出不变的量是解题的关键．9.如图，，A,B为直线上两点，C、D为直线上两点，则△ACD与△BCD的面积大小关系是（）A. B.C. D. 不能确定【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了平行线之间的距离，以及三角形的面积，关键是掌握平行线之间的距离相等．首先过A作AM⊥l2，过B作BN⊥l2，根据平行线之间的距离相等可得AM=BN，再根据同底等高的三角形面积相等可得答案．【解答】解：过A作AM⊥l2，过B作BN⊥l2，∵l1∥l2，∴AM=BN，∴S△ACD=S△BCD．故选B．10.如图，直线AB∥CD，GH平分∠CGF，GI平分∠DGF，且HG＝15cm，GI＝20cm，HI＝25cm，则直线AB与直线CD之间的距离是（）A. 10cmB. 12cmC. 13cmD. 14cm【答案】B【解析】解：∵GH平分∠CGF，GI平分∠DGF，∠CGF+∠FGD=180°，∴∠HGF+∠FGI=90°，∵HG=15cm，GI=20cm，HI=25cm，∴△HGI的边HI的高=，即直线AB与直线CD之间的距离是12，故选：B．根据角平分线得出∠HGI=90°，利用直角三角形的面积公式解答即可．此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据直角三角形的面积公式解答．11.在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，则a与c的距离为（）A. 1cmB. 3cmC. 5cm或3cmD. 1cm或3cm【答案】C【解析】解：当直线c在a、b之间时，∵a、b、c是三条平行直线，而a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，∴a与c的距离=4-1=3（cm）；当直线c不在a、b之间时，∵a、b、c是三条平行直线，而a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，∴a与c的距离=4+1=5（cm），综上所述，a与c的距离为5cm或3cm．故选：C．分类讨论：当直线c在a、b之间或直线c不在a、b之间，然后利用平行线间的距离的意义分别求解．本题考查了平行线之间的距离，从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．平行线间的距离处处相等．注意分类讨论．12.如图，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，E、G为垂足，则下列说法中错误的是（） .A. CE∥FGB. CE=FGC. A，B两点的距离就是线段AB的长D. 直线a、b间的距离就是线段CD的长【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了平行线之间的距离的定义以及两点之间的距离的定义，熟练掌握相关定义是解题关键，根据垂线的性质以及两点之间的距离定义以及两直线之间的距离定义分别分析得出即可.【解答】解：A.∵CE⊥b，FG⊥b，∴FG∥CE，故本选项正确，不符合题意；B.∵CE⊥b，FG⊥b，且a∥b，由平行线间的距离处处相等，∴CE=FG，故此选项正确，不符合题意；C.∵A、B两点的距离就是线段AB的长，此选项正确，不符合题意；D.根据题意CD与直线a、b不垂直，直线a、b间的距离不是线段CD的长，故此选项错误，符合题意．故选D.13.如图，，，，那么图中与面积相等的三角形（不包括）有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了平行线间的距离相等，等底等高的三角形面积相等的性质，找出等底等高的三角形是解题的关键．根据两平行直线之间的距离相等，再根据等底等高的三角形的面积相等，找出与△ABD等底等高的三角形即可．【解答】解：∵AB∥DC，∴△ABC与△ABD的面积相等，∵AE∥BD，∴△ABD与△EBD的面积相等∵ED∥BC，∴△BED与△EDC的面积相等，∴和△ABD的面积相等的三角形有△ABC、△BDE，EDC共3个．故选C．14.如图，直线AB∥CD，P是直线AB上的动点，当点P的位置变化时，三角形PCD的面积将A. 变小B. 变大C. 不变D. 变大变小要看点P向左还是向右移动【答案】C【解析】【分析】本题主要考查两平行线间的平行线段相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据两平行线间的平行线段相等，可以推出点P在AB上运动时到CD的距离始终相等，再根据三角形PCD的面积等于CD与点P到CD的距离的积的一半，所以三角形的面积不变．【解答】解：设平行线AB、CD间的距离为h，则S△PCD=CD•h，∵CD长度不变，h大小不变，∴三角形的面积不变．故选C.15.定义：直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为p、q，则称有序实数对（p，q）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是【】A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】本题考查了点到直线的距离，两平行线之间的距离的定义，理解新定义，掌握到一条直线的距离等于定长k的点在与已知直线相距k的两条平行线上是解题的关键．“距离坐标”是（1，2）的点表示的含义是该点到直线l1、l2的距离分别为1、2．由于到直线l1的距离是1的点在与直线l1平行且与l1的距离是1的两条平行线a1、a2上，到直线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线b1、b2上，它们有4个交点，即为所求．【解答】解：如图，∵到直线l1的距离是1的点在与直线l1平行且与l1的距离是1的两条平行线a1、a2上，到直线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线b1、b2上，∴“距离坐标”是（1，2）的点是M1、M2、M3、M4，一共4个．故选C．16.如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则正方形ABCD的面积为（）A. 4B. 5C. 9D.【答案】B【解析】【分析】过D点作直线EF与平行线垂直，与l1交于点E，与l4交于点F．易证△ADE≌△DFC，得CF=1，DF=2．根据勾股定理可求CD2得正方形的面积.此题主要考查了正方形的性质和面积计算，根据平行线之间的距离构造全等的直角三角形是关键.【解答】解：作EF⊥l2，交l1于E点，交l4于F点.∵l1∥l2∥l3∥l4，EF⊥l2，∴EF⊥l1，EF⊥l4，即∠AED=∠DFC=90°．∵ABCD为正方形，∴∠ADC=90°．∴∠ADE+∠CDF=90°．又∵∠ADE+∠DAE=90°，∴∠CDF=∠DAE．在△ADE和△DCF中∴△ADE≌△DCF（AAS），∴CF=DE=1．∵DF=2，∴CD2=12+22=5，即正方形ABCD的面积为5．故选B.17.已知在同一平面内，直线a，b，c互相平行，直线a与b之间的距离是3cm，直线b与c之间的距离是5cm，那么直线a与c的距离是（）A. 2cmB. 8cmC. 8或2cmD. .不能确定【答案】C【解析】解：有两种情况：如图（1）直线a与c的距离是3厘米+5厘米=8厘米；（2）直线a与c的距离是5厘米-3厘米=2厘米；故选：C．画出图形（1）（2），根据图形进行计算即可．本题主要考查对平行线之间的距离的理解和掌握，能求出所有情况是解此题的关键．18.到直线的距离等于2cm的点有（）A. 0个B. 1个C. 无数个D. 无法确定【答案】C【解析】【分析】本题考查的是点到直线的距离，平行线之间的距离.根据平行线之间的距离的定义进行解答即可.【解答】解：∵两条平行线间的距离相等，∴到直线L的距离等于2cm的点有无数个.故选C.19.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，若S△ABD=10cm2，S△ACD为（）A. 10B. 9C. 8D. 7【答案】A【解析】解∵四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，S△ABD=10cm2，∴△ABD和△ACD如果都以AD做底边时，此时底边上的高相等，∴S△ACD=10cm2，故选：A．根据题意可知△ABD和△ACD如果都以AD做底边时，此时底边上的高相等，从而可以得到S△ACD的值．本题考查平行线间的距离，解题的关键是找到两个三角形之间的关系，同底等高．20.如图所示，l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l1，FG⊥l2，E、G为垂足，则下列说法中错误的是（）A. CD＞CEB. A、B两点间的距离就是线段AB的长C. CE=FGD. l1、l2间的距离就是线段CD的长【答案】D【解析】解：A、∵l1∥l2，CE⊥l1，∴CD＞CE，故本选项说法正确；B、∵AB是线段，∴A、B两点间距离就是线段AB的长度，故本选项说法正确；C、∵l1∥l2，CE⊥l1，FG⊥l2，∴CE=FG，故本选项说法正确；D、∵CE⊥l2于点E，∴l1与l2两平行线间的距离就是线段CE的长度，故本选项说法错误．故选：D．根据垂线段最短、平行线之间距离的定义对各选项进行逐一分析即可．本题考查的是平行线之间的距离，熟知从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离是解答此题的关键．21.如图，△ABC沿着BC方向平移得到△A'B'C'，点P是直线AA'上任意一点，若△ABC，△PB'C'的面积分别为S1，S2，则下列关系正确的是( )A. S1>S2B. S1<S2C. S1=S2D. S l＝2S2【答案】C【解析】【分析】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．根据平行线间的距离相等可知△ABC，△PB′C′的高相等，再由同底等高的三角形面积相等即可得到答案．【解答】解：∵△ABC沿着BC方向平移得到△A′B′C′，∴AA′∥BC′，∵点P是直线AA′上任意一点，∴△ABC，△PB′C′的高相等，∴S1=S2，故选C．22.某公司员工分别住在A，B，C，D四个住宅区，A区有20人，B区有15人，C区有5人，D区有30人，四个区在同一条直线上，位置如图所示．该公司的接送车打算在此间设立一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设置在（）A. D区B. A区C. A，B两区之间D. B，C两区之间【答案】D【解析】【分析】本题考查了比较线段的长短，正确理解题意是解题的关键.根据题意分别计算停靠点分别在各点是员工步行的路程和，选择最小的即可解答.【解答】解：∵当停靠点在D区时，所有员工步行到停靠点路程和是：20×800+15×400+5×200=23000m；当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和是：15×400+5×600+30×800=33000m；当停靠点在AB两区之间时，设距离B区x米，所有员工步行到停靠点路程和是：20×（400-x）+15x+5×（200+x）+30×（400+x）=（30x+21000）m；当停靠点在BC两区之间时，设距离B区x米，所有员工步行到停靠点路程和是：20×（400+x）+15x+5×（200-x）+30×（400-x）=21000m，∴当停靠点在BC两区之间时，所有员工步行到停靠点路程和最小，那么停靠点的位置应该在BC两区之间.故选D.23.定义：直线a与直线b相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线a与直线b的距离分别为p、q，则称有序实数对（p，q）是点M的“距离坐标”．根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】本题考查了点到直线的距离，两平行线之间的距离的定义，理解新定义，掌握到一条直线的距离等于定长k的点在与已知直线相距k的两条平行线上是解题的关键．“距离坐标”是（1，2）的点表示的含义是该点到直线a、b的距离分别为1、2．由于到直线a 的距离是1的点在与直线a平行且与a的距离是1的两条平行线、上，到直线b的距离是2的点在与直线b平行且与b的距离是2的两条平行线、上，它们有4个交点，即为所求．【解答】解：如图，∵到直线a的距离是1的点在与直线a平行且与a的距离是1的两条平行线、上，到直线b的距离是2的点在与直线b平行且与b的距离是2的两条平行线、上，∴“距离坐标”是（1，2）的点是、、、，一共4个．故选D．24.如图，点A，B为定点，直线l∥AB，P是直线l上一动点. 对于下列各值：①线段AB的长②△PAB的周长③△PAB的面积④∠APB的度数其中不会随点P的移动而变化的是（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】A【解析】【分析】本题考查了平行线之间的距离，三角形的周长和面积公式.，A,B为定点从而判断出①不变；再根据三角形的周长的定义判断出②是变化的；根据平行线间的距离相等确定出点P到AB的距离不变，然后根据等底等高的三角形的面积相等确定出③不变；根据角的定义④判断出变化。
第二讲浙教版七年级下册平移与平行线
依米书院个性化辅导教案基本信息学生姓名年级七年级下册科目数学课时2h 形式教师上课时间辅导课题平移与平行线教学目标知识目标：1、掌握平行线的性质及其判定方法2、平移的概念及其应用教学重点重点：平行线的性质及其判定方法难点：平行线的判定和与应用课前检查学生作业完成情况：优□良□中□差□建议_________________________________教学内容知识图谱一：平行线的判定知识精讲一．平行线的公理及推论1．平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线与直线互相平行，记作．2．平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．3．平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．二．平行线的判定两条直线被第三条直线所截：1．如果同位角相等，那么两直线平行；2．如果内错角相等，那么两直线平行；3．如果同旁内角互补，那么两直线平行．三点剖析一．考点：平行公理及其推论，平行线的判定二．重难点：平行线的判定．三．易错点：1．不相交的两条直线互相平行一定要注意是在同一平面内，否则结论就不一定成立；平行公理及其推论却不需要限定在同一平面内．2．判定是由“数量关系”确定图形的“位置关系”，因此能否找到两直线平行的条件，关键是能否正确找到或识别出同位角、内错角、同旁内角．题模精讲题模一平行公理及推论例1.1.1、三条直线a、b、c，若a∥c，b∥c，则a与b的位置关系是（）A、a⊥bB、a∥bC、a⊥b或a∥bD、无法确定例1.1.2、下列说法正确的有（）①不相交的两条直线是平行线；②在同一平面内，两条直线的位置关系有两种；③若线段AB与CD没有交点，则AB∥CD；④若a∥b，b∥c，则a与c不相交．A、1个B、2个C、3个D、4个例1.1.3、如图，如果CD∥AB，CE∥AB，那么C，D，E三点是否共线？你能说明理由吗？题模二平行线的判定例1.2.1、如图，能判定EC∥AB的条件是（）A、∠B=∠ACEB、∠A=∠ECDC、∠B=∠ACBD、∠A=∠ACE例1.2.2、一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行行驶，那么两个拐弯的角度____．A、先向左转130°，再向左转50°B、先向左转50°，再向右转50°C、先向左转50°，再向右转40°D、先向左转50°，再向左转40°例1.2.3、按图填空．已知：如图, ∠1=∠2, ∠3=∠E．求证：AD∥BE．证明：∵∠1 = ∠2 (已知)，∴_____∥_____（内错角相等，两直线平行）．∴∠E = ∠_____（_____）．又∵∠E = ∠3 ( 已知 )，∴∠3 = ∠_____（等量代换）．∴AD∥BE（_____）．例1.2.4、如图，点E在直线AB与CD之间，若，，，则AB与CD平行吗？请说明理由．随堂练习随练1.1、过一点画已知直线的平行线，则（）A、有且只有一条B、有两条C、不存在D、不存在或只有一条随练1.2、如图，下列条件中能判定直线l1∥l2的是（）A、∠1=∠2B、∠1=∠5C、∠1+∠3=180°D、∠3=∠5随练1.3、如图，已知，证明：AB∥CD．随练1.4、已知: 如图, ∠C = ∠1, ∠2和∠D互余, BE⊥FD于G.求证:AB∥CD.二：平行线的性质知识精讲一．平行线的性质1．两直线平行，同位角相等；2．两直线平行，内错角相等；3．两直线平行，同旁内角互补．两条平行线之间的距离：在一条直线上任意找一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两平行线之间的距离．三点剖析一．考点：平行线的性质，角度的计算与证明．二．重难点：常见的几种两条直线平行的结论1．两条平行线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线平行；2．两条平行线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线平行；3．两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线垂直．三．易错点：1．性质是由图形的“位置关系”决定“数量关系”；2．两条平行线之间的距离其实可看成点到直线的距离．题模精讲题模一平行线的性质例2.1.1、如图，直线a，b被直线c所截，且a∥b，若∠1=55°，则∠2等于（）A、35°B、45°C、55°D、125°例2.1.2、如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32°，那么∠2的度数是（）A、32°B、58°C、68°D、60°例2.1.3、如图，AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于点M，N，过点N的直线GH与AB交于点P，则下列结论错误的是（）A、∠EMB=∠ENDB、∠BMN=∠MNCC、∠CNH=∠BPGD、∠DNG=∠AME题模二角的计算与证明例2.2.1、如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，若∠BAD=70°，那么∠ACD的度数为（）A、40°B、35°C、50°D、45°例2.2.2、如图，AB∥CD，（）A、180°B、360°C、540°D、720°例2.2.3、如图，已知AB∥DE，BF，EF分别平分∠ABC与∠CED，若，求的度数．例2.2.4、已知AB∥CD，分别探讨下列四个图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系，并说明理由．随堂练习随练2.1、如图，直线AB∥CD，AF交CD于点E，∠CEF=140°，则∠A等于（）A、35°B、40°C、45°D、50°随练2.2、如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于点F，若∠2=80°，则∠1等于（）A、120°B、110°C、100°D、80°随练2.3、珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，如图，若∠ABC=120°，∠BCD=80°，则∠CDE=____度．随练2.4、如图，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1=35°24′，则∠2的度数为____°____′．随练2.5、如图，若AB∥CD，求证：．随练2.6、如图，已知，MN分别和直线、交于点A、B，ME分别和直线、交于点C、D，点P 在MN上（P点与A、B、M三点不重合）．（1）如果点P在A、B两点之间运动时，、、之间有何数量关系请说明理由；（2）如果点P在A、B两点外侧运动时，、、有何数量关系（只须写出结论）．三：平移知识精讲一．平移的概念平移，是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向做相同距离的直线移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移．二．平移的性质1．经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行（或在同一直线上）且相等，图形的形状与大小都没有发生变化．2．经过平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等．三．平移的作图1．找出原图形的关键点（如顶点或者端点）．2．按要求分别描出各个关键点平移后的对应点．3．按原图将各对应点顺次连接．三点剖析一．考点：平移的性质，平移作图．二．重难点：平移的性质．三．易错点：1．平移不改变图形的形状和大小和方向，平移可以不是水平的；2．有可能平行有可能在同一直线上．题模精讲题模一平移的性质例3.1.1、在平移过程中，对应线段__________．例3.1.2、下列图形可以由一个图形经过平移变换得到的是（）A、B、C、D、例3.1.3、如图，把三角板的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”，则顶点C 平移的距离CC′= ．例3.1.4、如图，△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为____．A、4，30°B、2，60°C、1，30°D、3，60°题模二平移作图例3.2.1、如图，在6×6方格中有两个涂有阴影的图形M、N，①中的图形M平移后位置如②所示，以下对图形M的平移方法叙述正确的是（）A、向右平移2个单位，向下平移3个单位B、向右平移1个单位，向下平移3个单位C、向右平移1个单位，向下平移4个单位D、向右平移2个单位，向下平移4个单位例3.2.2、电灯向__________平移__________．例3.2.3、如图，经过平移，△ABC的顶点A移到了点D，作出平移后的三角形．随堂练习随练3.1、平移改变的是图像的（）A、形状B、位置C、大小D、形状、大小及位置．随练3.2、下列四组图形中，有一组中的两个图像经过平移其中一个能得到另外一个，这组图像是（）A、B、C、D、随练3.3、如图所示，△DEF是△ABC沿水平方向向右平移后的对应图形，若∠B=31°，∠C=79°，则∠D的度数是____度．随练3.4、图中图形向__________平移__________格．随练3.5、如图，画出猫向后平移8格后的图像．课后作业作业1、直线l同侧有A，B，C三点，若过A，B的直线和过B，C的直线都与l平行，则A，B，C 三点________，理论根据是___________________________．作业2、如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（）A、∠3=∠4B、∠D=∠DCEC、∠1=∠2D、∠D+∠ACD=180°作业3、如图，已知，，，，求证：AB∥CD．作业4、如图所示，已知，，，求证：DE//BF作业5、如图，点A、D在射线AE上，直线AB∥CD，，那么∠A的度数为（）A、140°B、60°C、50°D、40°作业6、如图，已知AB∥CD，，CN是∠BCE的平分线，CM⊥CN，求∠BCM的度数．作业7、如图，，，，平分，（1）求证：；（2）探究和之间的数量关系，并证明你的结论．作业8、如图，CB∥OA，，E、F在CB上，且满足，OE平分∠BOF．（1）求∠EOC的度数；（2）若平行移动AC，那么∠OCB：∠OFB的值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值；（3）在平行移动AC的过程中，是否存在某种情况，使？若存在，求出度数；若不存在，说明理由．作业9、如图，直线a，b被直线c所截，，，若，则等于（）A、B、C、D、作业10、如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=114°，则∠3的度数为（）A、26°B、34°C、44°D、36°作业11、如图，将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，若∠CAB=50°，∠ABC=100°，则∠CBE的度数为____°．作业12、是由平移得到的，点A的对应点是__________； AB的对应线段是__________；的对应角是__________；平移的方向是__________．作业13、如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（）A、6B、8C、10D、12作业14、如图，△ABC中，BC=5cm，将△ABC沿BC方向平移至△A′B′C′的对应位置时，A′B′恰好经过AC的中点O，则△ABC平移的距离为cm．作业15、雨伞向__________平移__________格．作业16、在点子图上画出向右平移5点后的图形．。
七年级下册数学相交线与平行线知识点归纳
七年级下册数学相交线与平行线知识点归纳相交线与平行线1、两条直线相交所成的四个角中，相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线，性质是邻补角互补;相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线。
性质是对顶角相等。
2、三线八角：对顶角(成正比)，邻补角(优势互补)，同位角，内错角，同旁内角。
3、两条直线被第三条直线所截：同位角f(在两条直线的同一旁，第三条直线的同一侧)内错角z(在两条直线内部，位于第三条直线两侧)同旁内角u(在两条直线内部，坐落于第三条直线同侧)4、两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角为90度，则称这两条直线互相垂直。
其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，他们的交点称为垂足。
5、横向三要素：横向关系，横向记号，像距6、垂直公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
7、垂线段最长。
8、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
9、平行公理：经过直线外一点，存有且只有一条直线与这条直线平行。
推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
如果b//a,c//a,那么b//c10、平行线的认定：①同位角相等，两直线平行。
②内错角成正比，两直线平行。
③同旁内角互补，两直线平行。
11、推断：在同一平面内，如果两条直线都旋转轴同一条直线，那么这两条直线平行。
(一)正负数1.正数：大于0的数。
2.负数：小于0的数。
3.0即不是正数也不是负数。
4.正数大于0，负数小于0，正数大于负数。
(二)有理数1.有理数：由整数和分数组成的数。
包括：正整数、0、负整数，正分数、负分数。
可以写成两个整之比的形式。
(无理数是不能写成两个整数之比的形式，它写成小数形式，小数点后的数字是无限不循环的。
如：π)2.整数：正整数、0、正数整数，泛称整数。
3.分数：正分数、负分数。
(三)数轴1.数轴：用直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。
(画一条直线，在直线上任取一点表示数0，这个零点叫做原点，规定直线上从原点向右或向上为正方向;选取适当的长度为单位长度，以便在数轴上取点。
第8讲 平行线的性质与用尺规作角七年级数学下册同步精品讲义
第8讲平行线的性质与用尺规作角目标导航1．掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理；2．了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念；3、理解尺规作图的含义；4、能用尺规作一些基本的图形；5、通过尺规作图的理解进行一些线段和角的计算。
知识精讲知识点01平行线的性质一、平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”．(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．二、平行的传递性如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．三、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．要点诠释：（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．【知识拓展1】（2021秋•本溪期末）如图，将一个含有30°角的直角三角板放置在两条平行线a，b上，若∠1＝115°，则∠2的度数为（）A．85°B．75°C．55°D．95°【即学即练1】（2021秋•成都期末）如图，直线AB∥CD，点E在AC上，若∠A＝130°，∠D＝20°，则∠AED＝（）A．70°B．75°C．80°D．85°【即学即练2】（2021秋•武侯区期末）如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，已知直尺的对边平行，若∠1＝25°，则∠2的度数为（）A．25°B．55°C．65°D．75°【即学即练3】（2021秋•普宁市期末）如图，在△DEF中，点C在DF的延长线上，点B在EF上，且AB ∥CD，∠EBA＝60°，则∠E+∠D的度数为（）A．60°B．30°C．90°D．80°【即学即练4】（2021秋•铁西区期末）如图，AB∥CD∥EF，若∠ABC＝125°，∠CEF＝105°，则∠BCE的度数为．【即学即练5】（2021秋•宽城区期末）如图，直线m∥n．若∠1＝40°，∠2＝30°，则∠3的大小为度．【知识拓展2】（2021秋•成都期末）如图，AE∥BC，且∠ABD＝∠ADB，∠DAE＝∠E，若∠ABC＝63°，求∠DBC的度数．【即学即练1】（2021秋•宝安区期末）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线P A，PB等反射以后沿着与直线PF平行的方向射出，若∠CAP＝α，∠DBP＝β，则∠APB的度数为（）A．2αB．2βC．α+βD．（α+β）【即学即练2】（2021秋•香坊区期末）如图，AD∥BC，∠C＝30°，∠ADB：∠BDC＝1：2，∠EAB＝72°，以下四个说法：①∠CDF＝30°；②∠ADB＝50°；③∠ABD＝22°；④∠CBN＝108°；其中正确说法的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【即学即练3】（2021秋•道里区期末）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点F，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠AFB＝96°，则∠BED的度数为度．【即学即练4】（2021秋•罗湖区期末）请解答下列各题：（1）阅读并回答：科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射．此时∠1＝∠2，∠3＝∠4．①由条件可知：∠1＝∠3，依据是，∠2＝∠4，依据是．②反射光线BC与EF平行，依据是．（2）解决问题：如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若b射出的光线n平行于m，且∠1＝42°，则∠2＝；∠3＝．【即学即练5】（2021秋•南关区期末）如图，已知AB∥DC，AC⊥BC，AC平分∠DAB，∠B＝50°，求∠D的大小．阅读下面的解答过程，并填括号里的空白（理由或数学式）．解：∵AB∥DC（），∴∠B+∠DCB＝180°（）．∵∠B＝（已知），∴∠DCB＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°．∵AC⊥BC（已知），∴∠ACB＝（垂直的定义）．∴∠2＝．∵AB∥DC（已知），∴∠1＝（）．∵AC平分∠DAB（已知），∴∠DAB＝2∠1＝（角平分线的定义）．∵AB∥DC（已知），∴+∠DAB＝180°（两条直线平行，同旁内角互补）．∴∠D＝180°﹣∠DAB＝．【即学即练6】（2021秋•长春期末）已知AM∥CN，点B在直线AM、CN之间，AB⊥BC于点B．（1）如图1，请直接写出∠A和∠C之间的数量关系：．（2）如图2，∠A和∠C满足怎样的数量关系？请说明理由．（3）如图3，AE平分∠MAB，CH平分∠NCB，AE与CH交于点G，则∠AGH的度数为．知识点02 用尺规作角1．作图—尺规作图的定义（1）尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．（2）基本要求它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同．直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度．圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度．2、作一个角等于已知角作一个角等于已知角的主要作用是作三角形和作平行线等．利用尺规作一个角等于已知角.已知：∠AOB(如图2－4－22所示)．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB.图2－4－22作法：(1)如图2－4－23所示，作射线O′B′；(2)以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于点D，交OB于点C；(3)以点O′为圆心，以OC长为半径作弧，交O′B′于点C′；(4)以点C′为圆心，以CD长为半径画弧，交前面的弧于点D′；(5)过点D′作射线O′A′.则∠A′O′B′就是所求作的角．图2－4－23【知识拓展1】（2021秋•无为市期末）下列尺规作图的语句正确的是（）A．延长射线AB到DB．以点D为圆心，任意长为半径画弧C．作直线AB＝3cmD．延长线段AB至C，使AC＝BC【即学即练1】（2020秋•大连期末）下列作图语句中，叙述正确的是（）A．延长线段AB到点C，使BC＝ABB．画直线AB的中点CC．画直线AB＝6cmD．延长射线OA到点B【即学即练2】只用的直尺和进行的作图称为尺规作图．【即学即练3】（2021春•铁岭月考）下列作图语句错误的个数是（）①以点O为圆心作弧；②延长射线OM到点A；③延长线段AB到C，使BC＝AB；④过三点A，B，C作直线．A．1个B．2个C．3个D．4个【即学即练4】（2021春•龙口市月考）下列画图语句中，正确的是（）A．画射线OP＝3cm B．画出A、B两点的距离C．延长射线OA D．连接A、B两点【即学即练5】（2011春•巴东县校级期末）作图题的书写步骤是、、，而且要画出，写出，保留．【即学即练6】（2019秋•成安县期末）下列画图语句中，正确的是（）A．画射线OP＝3cm B．连结A、B两点C．画出直线AB的中点D．画出A、B两点的距离【即学即练7】（2018秋•宁阳县期末）下列语句是有关几何作图的叙述．①以O为圆心作弧；②延长射线AB到点C；③作∠AOB，使∠AOB＝∠1；④作直线AB，使AB＝a；⑤过三角形ABC的顶点C作它的对边AB 的平行线．其中正确的有．（填序号即可）【即学即练8】如图，利用尺规，在△ABC的边AC上方作∠CAE＝∠ACB，在射线AE上截取AD＝BC，连接CD，并证明：CD∥AB（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）【即学即练9】下列语句表示的图形是（只填序号）①过点O的三条直线与另条一直线分别相交于点B、C、D三点：．②以直线AB上一点O为顶点，在直线AB的同侧画∠AOC和∠BOD：．②过O点的一条直线和以O为端点两条射线与另一条直线分别相交于点B、C、D三点：．能力拓展类型一、平行线的性质例1、如图，已知AB∥CD，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，求∠APC的度数.【变式】如图，直线AB∥CD，∠C=44°，∠E为直角，则∠1等于（）A．132°B．134°C．136°D．138°类型二、两平行线间的距离例2、如图，已知，l1∥l2，C1在l1上，并且C1A⊥l2，A为垂足，C2，C3是l1上任意两点，点B在l2上．设△ABC1的面积为S1，△ABC2的面积为S2，△ABC3的面积为S3，小颖认为S1=S2=S3，请帮小颖说明理由．【变式】下图是一个方形螺线．已知相邻均为1厘米，则螺线总长度是厘米.类型三、平行的性质与判定综合应用例3、如图所示，在长为50m，宽为22m的长方形地面上修筑宽度都为2 m的道路，余下的部分种植花草，求种植花草部分的面积．【变式】如图①，在宽为20m、长为30m的矩形地面上修建两条同样宽度的道路，余下部分作为耕地．根据图中数据，可得耕地的面积为()A．600m2B．551m2C．550m2D．500m2例4、如图所示，∠ABC的边BC与∠DEF的边DE交于点K，下面给出三个论断：①∠B＝∠E；②AB∥DE；③BC∥EF．请你以其中的两个论断为条件，填入“已知”栏中，以一个论断为结论，填人“试说明”栏中，使之成为一个完整的正确命题，并将理由叙述出来．已知：如图所示，∠ABC的边BC与∠DEF的边DE交于点K，________，________，试说明________．【变式】已知，如图，∠1=∠2，∠3=65°，则∠4＝ .例5、如图，AB∥CD，点M，N分别为AB，CD上的点.（1）若点P1在两平行线内部，∠BMP1＝45°，∠DNP1＝30°，则∠MP1N＝；（2）若P1，P2在两平行线内部，且P1P2不与AB平行，如图，请你猜想∠AMP1+∠P1 P2N与∠MP1 P2+∠P2ND的关系，并证明你的就论；（3）如图，若P1，P2，P3在两平行线内部，顺次连结M，P1，P2，P3，N，且P1P2，P2P3不与AB平行，直接写出你得到的就论.【变式】如图所示，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是()A．120°B．130°C．140°D．150°类型四：尺规作图的定义例6.下列作图属于尺规作图的是()A．用三角尺作AB的平行线B．用刻度尺画线段AB＝3 cmC．用直尺和圆规作直线AB的平行线D．用量角器画∠AOB的平分线OC类型五：作一个角等于已知角例7.如图2－4－24所示，已知∠AOB，求作∠CBO，使∠CBO＝∠AOB，交OA于点C.图2－4－24类型六：作已知角的和、差、倍例8.如图2－4－25所示，已知∠α，∠β，求作一个角，使它等于∠α与∠β的和．图2－4－25分层提分题组A 基础过关练一．选择题（共5小题）1．（2021秋•杜尔伯特县期末）如图，已知l1∥l2，∠A＝45°，∠2＝100°，则∠1的度数为（）A．50°B．55°C．45°D．60°2．（2020秋•历下区期末）如图，将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为E，若∠CBD＝35°，则∠AFB的度数为（）A．70°B．75°C．80°D．85°3．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是（）A．β＝α+γB．α+β+γ＝180°C．α+β﹣γ＝90°D．β+γ﹣α＝180°4．下列画图语句中，正确的是（）A．画射线OP＝3 cm B．画出A、B两点的距离C．画出A、B两点的中点D．连接A、B两点5．在下列各题中，属于尺规作图的是（）A．利用三角板画45°的角B．用直尺和三角板画平行线C．用直尺画一工件边缘的垂线D．用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段二．填空题（共3小题）6．（2021秋•道里区期末）如图，∠AOB内有一点P，过点P画PC∥OB，PD∥OA，∠AOB＝60°，则∠CPD的度数为度．7．（2019秋•辉县市期末）一个小区大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于A，CD平行于地面AE，那么∠ABC+∠BCD＝度．8．（2020秋•石狮市期末）如图，AB∥CD，∠EGB＝50°，则∠CHG的大小为．三．解答题（共4小题）9．（2021秋•临漳县期末）探究：如图①，DE∥BC，EF∥AB，若∠ABC＝50°，求∠DEF的度数．请将下面的解答过程补充完整，并填空．解：因为DE∥BC，所以∠DEF＝（）．因为EF∥AB，所以＝∠ABC（）．所以∠DEF＝∠ABC（等量代换）．因为∠ABC＝50°，所以∠DEF＝°．应用：如图②，DE∥BC，EF∥AB，若∠ABC＝65°，求∠DEF的度数．10．（2021春•原州区期末）如图，AD∥BC，∠CAE的平分线是AD，∠C＝65°．请你计算出∠DAE、∠CAB和∠B的度数．11．（2021春•敦化市期末）如图，已知：AE∥BF，∠A＝∠F，证明：∠C＝∠D．12．（2021春•南丹县期末）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、CB上，且DE∥BC，EF ∥AB，若∠ABC＝65°，求∠DEF的度数．请将下面的解答过程补充完整：解：∵DE∥BC（），∴∠DEF＝∠CFE（），∵EF∥AB，∴∠CFE＝∠ABC（），∴∠DEF＝∠ABC（）．∵∠ABC＝65°，∴∠DEF＝．题组B 能力提升练一．选择题（共6小题）1．（2020秋•南岸区期末）如图，D是∠ABC的边BC上一点，DE∥BA，∠CBE和∠CDE的平分线交于点F，若∠F＝α，则∠ABE的大小为（）A．αB．αC．2αD．2．（2021秋•上思县期中）如图所示，若AB∥DE，且∠E＝55°，则∠B+∠C的度数是（）A．135°B．125°C．55°D．45°3．（2021•临沭县模拟）如图，已知AB∥CD，∠A＝56°，∠E＝18°，则∠C的度数是（）A．32°B．34°C．36°D．38°4．（2021•河南模拟）将含30°角的直角三角尺如图摆放，直线a∥b，若∠1＝65°，则∠2的度数为（）A．45°B．50°C．55°D．60°5．（2021秋•常州期中）下列作图语句正确的是（）A．连接AD，并且平分∠BAC B．延长射线ABC．作∠AOB的平分线OC D．过点A作AB∥CD∥EF6．下列作图不是尺规作图的是（）A．用直尺和圆规作线段a等于已知线段B．用直尺和圆规作一个角等于已知角C．用刻度尺和圆规作一条10cm的线段D．用直尺和圆规作一个三角形二．填空题（共4小题）7．（2021秋•南岗区期末）如图，m∥n，l⊥n，垂足为点A，l交m于点B，点C在直线n上，请在直线m 上取一点D，连接CD，过点D作DE⊥CD交直线l于点E，若∠BED＝60°，则∠ACD＝度．8．（2021秋•道里区期末）如图，a∥b，∠1＝∠2，∠3＝40°，则∠4等于度．9．（2020秋•成都期末）如图，把一条两边边沿互相平行的纸带折叠，若∠β＝56°，则∠α＝．10．（2021春•沙坪坝区校级期中）如图，将一张长方形的纸片沿折痕EF翻折，使点B、C分别落在点M、N的位置，且∠AFM＝∠EFM，则∠NED＝°．三．解答题（共4小题）11．（2021秋•农安县期末）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接P A、PD．（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；（2）如图2，判断∠P AB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为．（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠P AN+∠P AB＝∠APD，求∠AND的度数．12．（2021秋•嵩县期末）已知一角的两边与另一个角的两边分别平行，试探索这两个角之间的关系，并说明你的结论．（1）如图1所示，AB∥EF，BC∥DE，则∠1与∠2的关系是；（2）如图2所示，AB∥EF，BC∥DE，则∠1与∠2的关系是；（3）经过上述探索，我们可以得到一个结论（试用文字语言表述）：；（4）若两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，则这两个分别是多少度？13．（2021秋•虎林市期末）（1）如图（1），AB∥EF．求证：∠BCF＝∠B+∠F．（2）当点C在直线BF的右侧时，如图（2），若AB∥EF，则∠BCF与∠B、∠F的关系如何？请说明理由．14．（2020秋•开江县期末）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．例如：在图①、图②中都有∠1＝∠2，∠3＝∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α．（1）如图①，若α＝90°，判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系，并说明理由．（2）如图②，若90°＜α＜180°，入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH＝β．探索α与β的数量关系，并说明理由．（3）如图③，若α＝130°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD为钝角，入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝x（0°＜x＜90°）．已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，且n≤3）次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出∠BCD的度数（可用含x的代数式表示）．题组C 培优拔尖练一．选择题（共1小题）1．（2021春•红谷滩区校级期末）如图，将长方形ABCD沿线段EF折叠到EB'C'F的位置，若∠EFC'＝100°，则∠DFC'的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．50°二．填空题（共7小题）2．（2021秋•香坊区校级期中）已知AB∥CD，∠ACD＝60°，∠BAE：∠CAE＝2：3，∠FCD＝4∠FCE，若∠AEC＝78°，则∠AFC＝．3．（2021春•东港区校级期末）把一张对边互相平行的纸条，折成如图所示，EF是折痕，若∠EFB＝32°，则下列结论：①∠C'EF＝32°；②∠AEC＝1480'；③∠BGE＝64°；④∠BFD＝116°．正确的有个．4．（2021春•涡阳县期末）如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD ＝y°则∠P1＝（x+y）度（用x，y的代数式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，则∠P n＝度．5．（2021春•辛集市期末）把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG＝49°，则∠2﹣∠1＝．6．（2021春•乐清市期末）将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，设时间为t秒，如图2，∠BAH＝t°，∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，则所有满足条件的t的值为．7．（2021春•钦州期末）如图，已知AB∥CD，BE、DE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠CDE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠CDE1的平分线，交点为E2，第三次操作，分别作∠ABE2和∠CDE2的平分线，交点为E3，…第n（n≥2）次操作，分别作∠ABE n﹣1和∠CDE n﹣1的平分线，交点为E n，若∠E n＝α度，则∠BED＝度．8．（2021春•奉化区校级期末）如图，AB∥CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E﹣∠F＝33°，则∠E＝．三．解答题（共5小题）9．（2021秋•农安县期末）如图，点P是∠AOB的边OB上的一点，过点P画OB的垂线，交OA于点C；（1）过点P画OA的垂线，垂足为H；（2）线段PH的长度是点P到的距离，是点C到直线OB的距离．线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是（用“＜”号连接）10．（2021秋•南岗区校级期中）已知，AB∥DE，点C在AB上方，连接BC、CD．（1）如图1，求证：∠BCD+∠CDE＝∠ABC；（2）如图2，过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F，探究∠ABC和∠F之间的数量关系；（3）如图3，在（2）的条件下，∠CFD的平分线交CD于点G，连接GB并延长至点H，若BH平分∠ABC，求∠BGD﹣∠CGF的值．11．（2021•泉州模拟）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC．（∠ABD的度数大于90°小于120°）（1）求证：∠BED＝90°；（2）若点F为射线BE上一点，∠EDF＝α，∠ABF的角平分线BG与∠CDF的角平分线DG交于点G，试用含α的式子表示∠BGD的大小；（3）延长BE交CD于点H，点F为线段BH上一动点，∠ABF邻补角的角平分线与∠CDF邻补角的角平分线DG交于点G，探究∠BGD与∠BFD之间的数量关系，请直接写出结论：．（题中所有的角都是大于0°小于180°的角）12．（2021春•靖江市期末）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．例如：在图①、图③中，都有∠1＝∠2，∠3＝∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α．（1）如图①，若α＝90°，判断入射光线FE与反射光线GH的位置关系，并说明理由；（2）如图②，若α＝135°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD＝θ（90°＜θ＜180°），入射光线FE与镜面AB的夹角∠1＝m（0°＜m＜90°），已知入射光线FE从镜面AB开始反射，经过3次反射后，反射光线与入射光线FE平行，请用含有m的代数式直接表示θ的度数；（3）如图③，若90°＜α＜180°，∠1＝20°，入射光线FE与反射光线GH的夹角∠FMH＝β．若△MEG为锐角三角形，请求出α的取值范围．13．（2021春•江汉区期中）问题探究：如图①，已知AB∥CD，我们发现∠E＝∠B+∠D．我们怎么证明这个结论呢？张山同学：如图②，过点E作EF∥AB，把∠BED分成∠BEF与∠DEF的和，然后分别证明∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠D．李思同学：如图③，过点B作BF∥DE，则∠E＝∠EBF，再证明∠ABF＝∠D．问题解答：（1）请按张山同学的思路，写出证明过程；（2）请按李思同学的思路，写出证明过程；问题迁移：（3）如图④，已知AB∥CD，EF平分∠AEC，FD平分∠EDC．若∠CED＝3∠F，请直接写出∠F的度数．。
(压轴题)初中数学七年级数学下册第一单元《相交线与平行线》测试(含答案解析)(3)
一、选择题1．下列语句中不是命题的有（）（1）两点之间，线段最短；（2）连接A、B两点；（3）鸟是动物；（4）不相交的两条直线叫做平行线；（5）无论a为怎样的有理数，式子a2+1的值都是正数吗？A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图a是长方形纸带，26∠=︒，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，DEF∠的度数是（）则图c中的CFEA．102°B．112°C．120°D．128°3．下列命题中，假命题是（）A．对顶角相等B．同角的余角相等C．面积相等的两个三角形全等D．平行于同一条直线的两直线平行4．如图，如果AB∥EF，EF∥CD，下列各式正确的是（）A．∠1+∠2−∠3=90°B．∠1−∠2+∠3=90°C．∠1+∠2+∠3=90°D．∠2+∠3−∠1=180°5．现有以下命题：①斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等；②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；③在圆中，平分弦的直径垂直于弦；④平行于同一条直线的两直线互相平行．其中真命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容，则回答正确的是（）已知：如图，∠BEC＝∠B+∠C，求证：AB∥CD证明：延长BE交__※__于点F，则∠BEC＝__⊙__+∠C又∵∠BEC＝∠B+∠C，∴∠B＝▲∴AB∥CD（__□__相等，两直线平行）A ．⊙代表∠FECB ．□代表同位角C ．▲代表∠EFCD ．※代表AB 7．已知，//AB CD ，且2CD AB =，ABE △和CDE △的面积分别为2和8，则ACE △的面积是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．如图，1∠与2∠是同位角的共有（ ）个A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 9．交换下列命题的题设和结论，得到的新命题是假命题的是( ) A ．两直线平行，同位角相等B ．相等的角是对顶角C ．所有的直角都是相等的D ．若a=b ，则a ﹣3=b ﹣3 10．已知//AB CD ，∠EAF=13∠EAB ，∠ECF=13∠ECD ，若∠E=66°，则∠F 为（ ）A ．23°B ．33°C ．44°D ．46°11．如图是郝老师的某次行车路线，总共拐了三次弯，最后行车路线与开始的路线是平行的，已知第一次转过的角度120︒，第三次转过的角度135︒，则第二次拐弯的角度是（ ）A ．75︒B ．120︒C ．135︒D ．无法确定 12．（2017•十堰）如图，AB ∥DE ，FG ⊥BC 于F ，∠CDE=40°，则∠FGB=（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°二、填空题13．如图，在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝6，∠B ＝60°，将△ABC 沿射线BC 的方向平移2个单位后，得到A B C '''，连接A C '，则A B C ''的周长为________．14．如图,在长方形草地内修建了宽为2米的道路,则草地面积为_______米2．15．命题“若a 2＞b 2则a ＞b ”是_____命题（填“真”或“假”），它的逆命题是_____． 16．如图，已知AB ，CD ，EF 互相平行，且∠ABE ＝70°，∠ECD ＝150°，则∠BEC ＝________°.17．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠AOC ，OF ⊥OE 于点O ，若∠AOD ＝70°，则∠AOF ＝______度．18．如图是某公园里一处矩形风景欣赏区ABCD ，长AB=50米，宽BC=30米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间出口A 到出口B 所走的路线（图中虚线）长为______米．19．如图，AD 平分,34BDF ∠∠=∠，若150,2130∠=︒∠=︒，则CBD ∠=________︒．20．假设一家旅馆一共有30个房间，分别编以1～30三十个号码，现在要在每个房间的钥匙上刻上数字，要求所刻的数字必须使服务员很容易辨认是哪一个房间的钥匙，而使局外人不容易猜到．现在有一种编码的方法是：在每把钥匙上刻上两个数字，左边的一个数字是这把钥匙原来的房间号码除以5所得的余数，而右边的一个数字是这把钥匙原来的房间号码除以7所得的余数．那么刻的数是25的钥匙所对应的原来房间应该是__________号．三、解答题21．如图，已知180EFC BDC ︒∠+∠=，DEF B ∠=∠．（1）试判断DE 与BC 的位置关系，并说明理由．（2）若DE 平分ADC ∠，3BDC B ∠=∠，求EFC ∠的度数．22．如图，直线AB 和直线BC 相交于点B ，连接AC ，点,,D E H 分别在AB 、AC 、BC 上，连接DE 、DH ，F 是DH 上一点，已知13180︒∠+∠=（1）求证：CEF EAD ∠=∠；（2）若DH 平分BDE ∠，2α∠=∠，求3∠的度数．（用α表示）23．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点,,A B C 都在格点上． ()1找一格点D ，使得直线//CD AB ，画出直线CD ；()2找一格点E ，使得直线AE BC ⊥于点F ，画出直线AE ，并注明垂足F ； ()3找一格点G ，使得直线BG AB ⊥，画出直线BG ；()4连接AG ，则线段,,AB AF AG 的大小关系是 (用“<”连接)．24．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，EO AB ⊥，垂足为O ，35EOC ∠=︒，求AOD ∠的度数．25．平移三角形ABC ，使点A 移动到点A′，画出平移后的三角形A′B′C′．26．如图，已知BC AE ⊥，DE AE ⊥，23180∠+∠=︒．（1）请你判断1∠与ABD ∠的数量关系，并说明理由；（2）若170∠=︒，BC 平分ABD ∠，试求ACF ∠的度数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据命题的定义对各语句进行判断．【详解】两点之间，线段最短，所以（1）为命题；连接A、B两点，它为描述性语言，所以（2）不是命题；鸟是动物，所以（3）为命题；不相交的两条直线叫做平行线，所以（4）为命题；无论a为怎样的有理数，式子a2+1的值都是正数吗？它为疑问句，所以（5）不是命题．故选：C．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．2．A解析：A【分析】根据两条直线平行，内错角相等，则∠BFE=∠DEF=26°，根据平角定义，则∠EFC=154°（图a），进一步求得∠BFC=154°-26°=128°（图b），进而求得∠CFE=128°-26°=102°（图c）．【详解】解：∵AD∥BC，∠DEF=26°，∴∠BFE=∠DEF=26°，∴∠EFC=154°（图a），∴∠BFC=154°-26°=128°（图b），∴∠CFE=128°-26°=102°（图c）．故选：A．【点睛】本题考查了翻折变换，平行线的性质和平角定义，根据折叠能够发现相等的角是解题的关键．3．C解析：C【分析】根据对顶角的性质对A进行判断；根据余角的性质对B进行判断；根据三角形全等的判断对C进行判断；根据平行线的传递性对D进行判断．【详解】解：A、对顶角相等，所以A选项为真命题；B、同角的余角相等，所以B选项为真命题；C、面积相等的两个三角形不一定全等，所以C选项为假命题；D、平行于同一条直线的两条直线平行，所以D选项为真命题．故选：C．【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．4．D解析：D【分析】根据平行线的性质，即可得到∠3=∠COE，∠2+∠BOE=180°，进而得出∠2+∠3-∠1=180°．【详解】∵EF∥CD∴∠3=∠COE∴∠3−∠1=∠COE−∠1=∠BOE∵AB∥EF∴∠2+∠BOE=180°，即∠2+∠3−∠1=180°故选：D．【点睛】本题考查了平行线的性质，两条直线平行：内错角相等；两直线平行：同旁内角互补．5．B解析：B【分析】根据全等三角形的判定、平行四边形的判定、垂径定理、平行线的性质一一判断即可．【详解】①斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等，是真命题；②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，是假命题，比如等腰梯形；③在圆中，平分弦的直径垂直于弦，是假命题（此弦非直径）；④平行于同一条直线的两直线互相平行，是真命题；故选B．【点睛】本题考查命题与定理、全等三角形的判定、平行四边形的判定、垂径定理、平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念．6．C解析：C【分析】延长BE 交CD 于点F ，利用三角形外角的性质可得出∠BEC ＝∠EFC+∠C ，结合∠BEC ＝∠B+∠C 可得出∠B ＝∠EFC ，利用“内错角相等，两直线平行”可证出AB ∥CD ，找出各符号代表的含义，再对照四个选项即可得出结论．【详解】证明：延长BE 交CD 于点F ，则∠BEC ＝∠EFC+∠C ．又∵∠BEC ＝∠B+∠C ，∴∠B ＝∠EFC ，∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行）．∴※代表CD ，⊙代表∠EFC ，▲代表∠EFC ，□代表内错角．故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的判定以及三角形外角的性质，利用各角之间的关系，找出∠B ＝∠EFC 是解题的关键．7．B解析：B【分析】利用平行线间的距离相等可知ABC 与ACD △的高相等，底边之比等于面积之比，设ACE △的面积为x ，建立方程即可求解．【详解】∵//AB CD∴ABC 与ACD △的高相等∵2CD AB =∴=2ACD ABC S S设ACE △的面积为x ，则=8+=+ACD CDE ACE SS S x ，=2+=+ABC ABE ACE S S S x ∴()822+=+x x解得4x =∴=4ACE S故选B ．【点睛】本题考查平行线间的距离问题，由平行线间的距离相等得到两三角形的高相等，从而建立方程是解题的关键．8．B解析：B【分析】根据同位角的概念对每个图形一一判断，选出正确答案即可．【详解】图1：1∠与2∠是同位角；图2：1∠与2∠不是同位角；图3：1∠与2∠不是同位角；图4：1∠与2∠是同位角；只有图1、图4中1∠与2∠是同位角．故选：B ．【点睛】本题主要考查同位角的概念，熟记同位角的概念是解题关键．9．C解析：C【分析】写出原命题的逆命题，根据相关的性质、定义判断即可．【详解】解：交换命题A 的题设和结论，得到的新命题是同位角相等，两直线平行是真命题； 交换命题B 的题设和结论，得到的新命题是对顶角相等是真命题；交换命题C 的题设和结论，得到的新命题是所有的相等的角都是直角是假命题； 交换命题D 的题设和结论，得到的新命题是若a-3=b-3，则a=b 是真命题，故选C ．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．10．C解析：C【分析】如图（见解析），先根据平行线的性质、角的和差可得66EAB EC C D AE ∠+∠=∠=︒，同样的方法可得F FAB FCD ∠=∠+∠，再根据角的倍分可得,2323FAB EAB FCD ECD ∠=∠∠=∠，由此即可得出答案． 【详解】如图，过点E 作//EG AB ，则////EG AB CD ，,EAB CE C A D G G E E ∴∠=∠∠∠=，66AEG EAB ECD CE A C G E ∴∠+=∠+=∠=∠∠︒，同理可得：F FAB FCD ∠=∠+∠，11,33EAF EAB ECF ECD ∠=∠∠=∠， ,2323FAB EAB FCD ECD ∴∠=∠∠=∠， ()266443333222F FAB FCD EAB ECD EAB ECD ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质、角的和差倍分，熟练掌握平行线的性质是解题关键．11．A解析：A【解析】分析：根据两直线平行，内错角相等，得到∠BFD的度数，进而得出∠CFD的度数，再由三角形外角的性质即可得到结论．详解：如图，延长ED交BC于F．∵DE∥AB，∴∠DFB=∠ABF=120°，∴∠CFD=60°．∵∠CDE=∠C+∠CFD，∴∠C=∠CDE-∠CFD=135°－60°=75°．故选A．点睛：本题考查了平行线的性质及三角形外角的性质．解题的关键是理解题意，灵活应用平行线的性质解决问题，属于中考常考题型．12．B解析：B【解析】试题分析：由AB∥DE，∠CDE=40°，∴∠B=∠CDE=40°，又∵FG⊥BC，∴∠FGB=90°﹣∠B=50°，故选B．考点：平行线的性质二、填空题13．12【分析】根据平移的性质得则可计算则可判断为等边三角形继而可求得的周长【详解】平移两个单位得到的又是等边三角形的周长为故答案为：12【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动会【分析】根据平移的性质得2BB '=，4A B AB ''==，=60A B C B ∠''∠=︒，则可计算624B C BC BB '=-'=-=，则4A B B C ''='=，可判断A B C ''△为等边三角形，继而可求得A B C ''△的周长．【详解】 ABC 平移两个单位得到的A B C '''，2BB ∴'=，AB A B =''，4AB =，6BC =，4A B AB ∴''==，624B C BC BB '=-'=-=，4A B B C ∴''='=，又60B ∠=︒，60A B C ∴∠''=︒，A B C ∴''是等边三角形，A B C ∴''的周长为4312⨯=．故答案为：12．【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．14．144【分析】先求出道路的总长度进而求出道路的面积最后用总面积减去道路的面积即可【详解】解：由图形得到了的总长度为20+10-2=28米所以道路的总面积为28×2=56米2所以草地面积为20×10-解析：144【分析】先求出道路的总长度，进而求出道路的面积，最后用总面积减去道路的面积即可．【详解】解：由图形得到了的总长度为20+10-2=28米，所以道路的总面积为28×2=56米2，所以草地面积为20×10-56=144米2．故答案为：144【点睛】本题考查了请不规则图形的面积，根据题意求出道路的总长度是解题关键，注意应减去重合的部分．15．假若a ＞b 则a2＞b2【分析】a2大于b2则a 不一定大于b 所以该命题是假命题它的逆命题是若a ＞b 则a2＞b2【详解】①当a ＝－2b ＝1时满足a2＞b2但不满足a ＞b 所以是假命题；②命题若a2＞b2则解析：假 若a ＞b 则a 2＞b 2a 2大于b 2则a 不一定大于b ，所以该命题是假命题，它的逆命题是“若a ＞b 则a 2＞b 2”．【详解】①当a ＝－2，b ＝1时，满足a 2＞b 2，但不满足a ＞b ，所以是假命题；②命题“若a 2＞b 2则a ＞b ”的逆命题是若“a ＞b 则a 2＞b 2”；故答案为：假；若a ＞b 则a 2＞b 2．【点睛】本题主要考查判断命题真假、逆命题的概念以及平方的计算，熟记相关概念取特殊值代入是解题关键．16．40【解析】根据平行线的性质先求出∠BEF 和∠CEF 的度数再求出它们的差就可以了解：∵AB ∥EF ∴∠BEF=∠ABE=70°；又∵EF ∥CD ∴∠CEF=180°-∠ECD=180°-150°=30°解析：40【解析】根据平行线的性质，先求出∠BEF 和∠CEF 的度数，再求出它们的差就可以了． 解：∵AB ∥EF ，∴∠BEF=∠ABE=70°；又∵EF ∥CD ，∴∠CEF=180°-∠ECD=180°-150°=30°，∴∠BEC=∠BEF-∠CEF=40°；故应填40．“点睛”本题主要利用两直线平行，同旁内角互补以及两直线平行，内错角相等进行解题． 17．145【分析】由已知角平分线和垂直的定义可以得到∠AOE 和∠EOF 的大小从而得到∠AOF 的值【详解】解：∵∵OE 平分∠AOC ∴∵OF ⊥OE 于点O ∴∠EOF ＝90°∴∠AOF ＝∠AOE+∠EOF ＝55解析：145【分析】由已知、角平分线和垂直的定义可以得到∠AOE 和∠EOF 的大小，从而得到∠AOF 的值．【详解】解：∵70180110AOD AOC AOD ∠=︒∴∠=︒-∠=︒，,∵OE 平分∠AOC ，∴1552AOE AOC ∠=∠=︒, ∵OF ⊥OE 于点O ，∴∠EOF ＝90°，∴∠AOF ＝∠AOE+∠EOF ＝55°+90°=145°，故答案为145．【点睛】本题考查邻补角、角平分线和垂直以及角度的运算等知识，根据有关性质和定义灵活计算是解题关键．18．98【解析】∵利用已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析水平距离等于AB铅直距离等于（AD-1）×2又∵长AB=50米宽BC=25米∴小明沿着小路的中间出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为50解析：98【解析】∵利用已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，水平距离等于AB，铅直距离等于（AD-1）×2，又∵长AB=50米，宽BC=25米，∴小明沿着小路的中间出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为50+（25-1）×2=98米，故答案为98．19．65【分析】利用平行线的判定定理和性质定理等量代换可得∠CBD=∠EBC 可得结果【详解】∵∠1=50°∴∠DBE=180°-∠1=180°-50°=130°∵∠2=130°∴∠DBE=∠2∴AE∥C解析：65【分析】利用平行线的判定定理和性质定理，等量代换可得∠CBD=∠EBC，可得结果．【详解】∵∠1=50°，∴∠DBE=180°-∠1=180°-50°=130°，∵∠2=130°，∴∠DBE=∠2，∴AE∥CF，∴∠4=∠ADF，∵∠3=∠4，∴∠EBC=∠4，∴AD∥BC，∵AD平分∠BDF，∴∠ADB=∠ADF，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∴∠4=∠CBD，∴∠CBD=∠EBC=12∠DBE=12×130°=65°．故答案为：65．【点睛】本题主要考查了平行线的判定定理和性质定理，角平分线的定义等，熟练掌握定理是解答此题的关键．20．12【分析】根据编码的方法分析在1～30中除以5余2的数有712172227而其中除以7余5的数只有12故可求得答案【详解】解：∵1～30中除以5余2的数有712172227而其中除以7余5的数只有解析：12【分析】根据编码的方法分析，在1～30中，除以5余2的数有7，12，17，22，27，而其中除以7余5的数只有12，故可求得答案．【详解】解：∵1～30中，除以5余2的数有7，12，17，22，27，而其中除以7余5的数只有12，∴刻的数是25的钥匙所对应的原来房间应该是12，故答案为：12．【点睛】此题考查了带余数除法的知识．此题难度适中，解题的关键是理解题意，抓住1～30中，除以5余2的数有7，12，17，22，27，而其中除以7余5的数只有12．三、解答题21．（1）DE∥BC；（2）72°【分析】（1）先根据已知条件得出∠EFC=∠ADC，故AD∥EF，由平行线的性质得∠DEF=∠ADE，再由∠DEF=∠B，可知∠B=∠ADE，故可得出结论．（2）依据DE平分∠ADC，∠BDC=3∠B，即可得到∠ADC的度数，再根据平行线的性质，即可得出∠EFC的度数．【详解】解：（1）DE∥BC．理由：∵∠EFC+∠BDC=180°，∠ADC+∠BDC=180°，∴∠EFC=∠ADC，∴AD∥EF，∴∠DEF=∠ADE，又∵∠DEF=∠B，∴∠B=∠ADE，∴DE∥BC．（2）∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE，又∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∵∠BDC=3∠B，∴∠BDC=3∠ADE=3∠CDE，又∵∠BDC+∠ADC=180°，3∠ADE+2∠ADE=180°，解得∠ADE=36°，∴∠ADF=72°，又∵AD∥EF，∴∠EFC=∠ADC=72°．【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行是解答此题的关键．22．（1）见解析（2）90°＋1 2α【分析】（1）根据平行线的判定和性质解答即可；（2）根据平行线的性质解答即可．【详解】解：（1）∵∠3＋∠DFE＝180°，∠1＋∠3＝180°∴∠DFE＝∠1，∴AB∥EF，∴∠CEF＝∠EAD；（2）∵AB∥EF，∴∠2＋∠BDE＝180°又∵∠2＝α∴∠BDE＝180°−α又∵DH平分∠BDE∴∠1＝12∠BDE＝12（180°−α）∴∠3＝180°− 12（180°−α）＝90°＋12α．【点睛】本题考查了角平分线定义，平行线的性质和判定等知识点，注意：①内错角相等，两直线平行，②两直线平行，同旁内角互补．23．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）AF AB AG<<【分析】（1）将AB沿着BC方向平移，使其过点C，此时经过的格点即为所求；（2）延长CB，作AE与CB交于F点，此时E点即为所求；（3）过B点作AB的垂线，经过的格点即为所求；（4）在两个直角三角形中比较即可得出结论．【详解】（1）如图所示，符合题意的格点有D1，D2两个，画出其中一个即可；（2）如图所示：E 点即为所求，垂足为F 点；（3）如图所示，点G 即为所求；（4）如图所示，显然，在Rt ABF 中，AB AF >；在Rt ABG 中，AG AB >， 故答案为：AF AB AG <<．【点睛】本题考查应用与设计作图，平行线的判定与性质以及垂线的定义，熟练掌握基本性质定理是解题关键．24．125°．【分析】由两直线垂直，求得∠AOE=90°；由∠AOC 与∠EOC 互余，∠EOC=35°，即可得到∠AOC 的度数；再由∠AOD 与∠AOC 互补，即可得出∠AOD 的度数．【详解】∵EO ⊥AB ，∴∠AOE=90°，又∵∠EOC=35°，∴∠AOC=∠AOE-∠EOC=90°-35°= 55°，∴∠AOD=180°-∠AOC=180°-55°=125°．【点睛】本题主要考查补角、余角和垂直的定义．解题的关键是熟练利用补角、余角关系求角的度数．25．见解析【分析】先分别确定A 、B 、C 平移后的对应点A′、B′、C′，然后再顺次连接即可．【详解】解：如图：连接AA′，在AA′在一条直线上CC′＝AA′，得到C′；再作BB′∥AA′且BB′=AA′，最后顺次连接得到△A′B′C′即为所求三角形．【点睛】本题主要考查了平移作图，根据题意确定A 、B 、C 平移后的对应点A′、B′、C′是解答本题的关键．26．（1）∠1=∠ABD ，证明见解析；（2）∠ACF=55°．【分析】（1）先根据在平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行得出BC ∥DE ，再根据平行线的性质结合23180∠+∠=︒可得∠2=∠CBD ，从而可得CF ∥DB 得出∠1=∠ABD ； （2）利用平行线的性质以及角平分线的定义，即可得出∠2的度数，再根据∠ACB 为直角，即可得出∠ACF ．【详解】解：（1）∠1=∠ABD ，理由：∵BC ⊥AE ，DE ⊥AE ，∴BC ∥DE ，∴∠3+∠CBD=180°，又∵∠2+∠3=180°，∴∠2=∠CBD ，∴CF ∥DB ，∴∠1=∠ABD ．（2）∵∠1=70°，CF ∥DB ，∴∠ABD=70°，又∵BC 平分∠ABD ， ∴1352DBC ABD ︒∠=∠=， ∴∠2=∠DBC=35°，又∵BC⊥AG，∴∠ACF=90°-∠2=90°-35°=55°．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．。
两平行线之间的距离
距离公式的几何意义
点到直线的距离
01
两平行线之间的距离实际上是任意一点到其中一条直线的垂直
距离。
平行四边形的性质
02
两平行线之间的距离等于平行四边形的高，而这个高也是平行
四边形的对角线的一半。
三角形的中位线性质
03
在三角形中，中位线与相对边平行且等于相对边的一半，而中
位线的长度就是两平行线之间的距离。
平行线的性质
性质1
性质2
同位角相等：两条平行线被一条横截线所 截，同位角相等。
内错角相等：两条平行线被一条横截线所 截，内错角相等。
性质3
性质4
同旁内角互补：两条平行线被一条横截线 所截，同旁内角互补。
平行线间的距离处处相等：两条平行线被 一条横截线所截，那么这两条横截线到各 自直线的距离是相等的。
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在工程学中的应用
机械零件设计
建筑设计
在机械设计中，两平行线之间的距离 常用于确定零件的尺寸和位置，以确 保机械运转的准确性和稳定性。
在建筑设计中，两平行线之间的距离 用于确定墙体的位置、窗户的高度等， 以确保建筑结构的稳定性和美观性。
电路板布线
在电子工程中，两平行线之间的距离 是电路板布线的重要参数，它决定了 信号传输的质量和稳定性。
02
两平行线之间的距离公式
距离公式的推导
平行线性质
两平行线之间的距离与它们的方 向向量成正比，与它们之间的垂
直距离成反比。
距离公式推导
基于平行线性质，通过向量运算和 几何变换，推导出两平行线之间的 距离公式。
公式形式
$d = frac{|c_2 - c_1|}{sqrt{a^2 + b^2}}$，其中$a, b$是直线方向向 量的分量，$c_1, c_2$是直线方程 $ax + by + c = 0$中的常数项。
湘教版数学七年级下册_《两条平行线间的距离》提高训练
《两条平行线间的距离》提高训练一、选择题1．直线a上有一点A，直线b上有一点B，且a∥b．点P在直线a，b之间，若PA=3，PB=4，则直线a、b之间的距离（）A．等于7B．小于7C．不小于7D．不大于72．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，若S△ABD=10cm2，S 为（）△ACDA．10B．9C．8D．73．已知直线a∥b，点M到直线a的距离是5cm，到直线b的距离是3cm，那么直线a和b之间的距离是（）A．2cm B．6cm C．8cm D．2cm或8cm 4．如图，一把带有60°角的三角尺放在两条平行线间，已知量得平行线间的距离为12cm，三角尺最短边和平行线成45°角，则三角尺斜边的长度为（）A．12cm B．12cm C．24cm D．24cm5．把直线a沿水平方向平移4cm，平移后的线为直线b，则直线a与直线b之间的距离为（）A．等于4cm B．小于4cmC．大于4cm D．小于或等于4cm二、填空题6．已知AB、CD、EF是同一平面内三条互相平行的直线，且AB与CD的距离是8cm，CD与EF的距离是2cm，则AB与EF的距离是cm．7．已知直线a∥b，点M到直线a的距离是4cm，到直线b的距离是2cm，那么直线a和直线b之间的距离为．8．已知直线l1、l2、l3互相平行，直线l1与l2的距离是4cm，直线l2与l3的距离是6cm，那么直线l1与l3的距离是．9．两条平行线间的所有线段都相等．10．直线a，b，c是三条平行线，已知a与b的距离为5厘米，b与c的距离为2厘米，则a与c的距离为．三、解答题11．如图是三条互相平行的直线（虚线），相邻两条平行线间的距离相等，线段AB在最上边的直线上．请仅用无刻度直尺找出线段AB的中点O，并在图中标注出来（保留画图痕迹）．12．作图题：如图已知直线l和线段a，现在要作一条直线m，使l与m的距离为a，这样的直线一共可以作几条？请你作出一条（不写作法，保留作图痕迹）．13．已知直线a，b，a平行于b，过直线a上任意两点A，B分别向直线b作垂线，交直线b于点C，D．（1）线段AC，BD所在的直线有怎样的位置关系？（2）比较线段AC，BD的长短．14．如图，长方形ABCD中，AB=6cm，长方形的面积为24cm2，求AB与CD之间的距离．15．如图，已知AD∥BC，AB∥EF，CD∥EG，且点E和点F，H，G分别在直线AD，BC上，EH平分∠FEG，∠A=∠D∠110°，线段EH的长是否是两条平行线AD，BC之间的距离？为什么？《两条平行线间的距离》提高训练参考答案与试题解析一、选择题1．直线a上有一点A，直线b上有一点B，且a∥b．点P在直线a，b之间，若PA=3，PB=4，则直线a、b之间的距离（）A．等于7B．小于7C．不小于7D．不大于7【分析】当点A、B、P共线，且AB⊥a时，直线a、b之间的距离为PA+PB．【解答】解：如图，当点A、B、P共线，且AB⊥a时，直线a、b之间的最短，所以直线a、b之间的距离≤PA+PB=3+4=7．即直线a、b之间的距离不大于7．故选：D．【点评】本题考查了平行线之间的距离．解题的难点是找到直线a、b之间的最短距离．2．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，若S△ABD=10cm2，S 为（）△ACDA．10B．9C．8D．7【分析】根据题意可知△ABD和△ACD如果都以AD做底边时，此时底边上的高的值．相等，从而可以得到S△ACD=10cm2，【解答】解∵四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，S△ABD∴△ABD和△ACD如果都以AD做底边时，此时底边上的高相等，∴S=10cm2，△ACD故选：A．【点评】本题考查平行线间的距离，解题的关键是找到两个三角形之间的关系，同底等高．3．已知直线a∥b，点M到直线a的距离是5cm，到直线b的距离是3cm，那么直线a和b之间的距离是（）A．2cm B．6cm C．8cm D．2cm或8cm 【分析】点M可能在两平行直线之间，也可能在两平行直线的同一侧，分两种情况讨论即可．【解答】解：如图1，直线a和b之间的距离为：5﹣3=2（cm）；如图2，直线a和b之间的距离为：5+3=8（cm）．故选：D．【点评】本题主要考查了平行线之间的距离，分类讨论是解决问题的关键．从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．4．如图，一把带有60°角的三角尺放在两条平行线间，已知量得平行线间的距离为12cm，三角尺最短边和平行线成45°角，则三角尺斜边的长度为（）A．12cm B．12cm C．24cm D．24cm【分析】过A作AD⊥BF于D，依据∠ABD=45°，AD=12，可得AB==12，再根据Rt△ABC中，∠C=30°，可得AC=2AB=24．【解答】解：如图，过A作AD⊥BF于D，∵∠ABD=45°，AD=12，∴AB===12，又∵Rt△ABC中，∠C=30°，∴AC=2AB=24，故选：D．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作辅助线构造等腰直角三角形．5．把直线a沿水平方向平移4cm，平移后的线为直线b，则直线a与直线b之间的距离为（）A．等于4cm B．小于4cmC．大于4cm D．小于或等于4cm【分析】分两种情况：如图（1）、如果直线与水平方向垂直，则直线a与直线b之间的距离为4cm；如图（2）、如果直线a与水平方向不垂直时，直线a与直线b之间的距离小于4cm．【解答】解：根据两平行线间的距离的定义，4cm可以是直线a与直线b距离，也可以不是；故选：D．【点评】本题考查了直线的平移与平行线的距离，注意要分类讨论．二、填空题6．已知AB、CD、EF是同一平面内三条互相平行的直线，且AB与CD的距离是8cm，CD与EF的距离是2cm，则AB与EF的距离是10或6cm．【分析】直接利用平行线之间的距离分情况得出答案．【解答】解：如图所示：∵AB与CD的距离是8cm，CD与EF的距离是2cm，∴AB与EF的距离是：8+2=10（cm）或8﹣2=6（cm）．故答案为：10或6．【点评】此题主要考查了平行线之间的距离，正确分类讨论是解题关键．7．已知直线a∥b，点M到直线a的距离是4cm，到直线b的距离是2cm，那么直线a和直线b之间的距离为6cm或2cm．【分析】如图为两种情况：当M在a、b之间时，求出直线a和直线b之间的距离是4cm+2cm；当M在a、b外时，直线a和直线b之间的距离是4cm﹣2cm，求出即可．【解答】解：分为两种情况：当M在a、b之间时，如在M′点时，直线a和直线b之间的距离是4cm+2cm=6cm；当M在a、b外时，直线a和直线b之间的距离是4cm﹣2cm=2cm；故答案为：6cm或2cm．【点评】本题考查了平行线之间的距离的应用，题目比较好，是一道比较容易出错的题目，注意要分类讨论．8．已知直线l1、l2、l3互相平行，直线l1与l2的距离是4cm，直线l2与l3的距离是6cm，那么直线l1与l3的距离是2cm或10cm．【分析】根据题意，分两种情况：（1）直线l1与l3在直线l2的同一侧；（2）直线l1与l3在直线l2的异侧；然后根据直线l1与l2的距离是4cm，直线l2与l3的距离是6cm，求出直线l1与l3的距离即可．【解答】解：①当直线l1与l3在直线l2的同一侧时，l1与l3的距离是：6﹣4=2（cm）．②当直线l1与l3在直线l2的异侧时，l1与l3的距离是：6+4=2（cm）．综上，直线l1与l3的距离是10cm或2cm．故答案为：10cm或2cm．【点评】此题主要考查了平行线之间的距离，以及分类讨论思想的应用，解答此题的关键是要明确：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．9．两条平行线间的所有公垂线段都相等．【分析】根据“在两条平行线之间的线段中，垂直两条平行线的线段最短，这条线段的长叫做平行线之间的距离”可知：在两条平行线之间再画几条和平行线垂直的线段，这些线段的长度都相等；据此判断即可．【解答】解：两条平行线间的所有公垂线段都相等，故答案为：公垂．【点评】此题考查了垂直和平行的特征和性质，注意基础知识的灵活运用．10．直线a，b，c是三条平行线，已知a与b的距离为5厘米，b与c的距离为2厘米，则a与c的距离为7厘米或3厘米．【分析】本题应分两种情况分析一种是b在a、c之间a与c的距离为：5+2=7（厘米）；一种是c在a、b之间a与c的距离为：5﹣2=3（厘米）．【解答】解：应分两种情况：①如图：a与c的距离为：5+2=7（厘米）；②如图：a与c的距离为：5﹣2=3（厘米）．综上所述，a与c的距离为7厘米或3厘米．故答案为：7厘米或3厘米．【点评】本题主要考查了平行线之间的距离．注意本题应分两种情况考虑．三、解答题11．如图是三条互相平行的直线（虚线），相邻两条平行线间的距离相等，线段AB在最上边的直线上．请仅用无刻度直尺找出线段AB的中点O，并在图中标注出来（保留画图痕迹）．【分析】因为，三条平行线之间的距离相等，所以它们截任意一条直线所得的线段相等，根据平行线等分线段定理，连接BC交第二条直线于E，连接BD，AE 交于点M，作射线CM交AB于点O即可．【解答】解：作法：1．过点A任意作一条直线AC交第三条直线于点C，交第二条直线于点D，2．连接BC交第二条直线于E，连接BD，AE交于点M，作射线CM交AB于点O，则点O就是要求作的点．【点评】本题考查了平行线等分线段定理，解题的关键是掌握平行线等分线段定理得意义与应用．12．作图题：如图已知直线l和线段a，现在要作一条直线m，使l与m的距离为a，这样的直线一共可以作几条？请你作出一条（不写作法，保留作图痕迹）．【分析】作线段a垂直于直线l，再过线段a的另一个端点作直线l的平行线m，直线m即为所求．【解答】解：两条．如图所示：同理在l的另一侧还可以做一条，故一共可以作两条直线m．【点评】本题考查了平行线之间的距离，属于作图题，关键是掌握平行线之间的距离相等．13．已知直线a，b，a平行于b，过直线a上任意两点A，B分别向直线b作垂线，交直线b于点C，D．（1）线段AC，BD所在的直线有怎样的位置关系？（2）比较线段AC，BD的长短．【分析】（1）根据平行线的判定定理即可得出结论；（2）根据平行线间的距离即可得出结论．【解答】解：（1）∵AC⊥a，BD⊥a，∴AC∥BD；（2）∵a∥b，AC⊥a，BD⊥a，∴AC=BD．【点评】本题考查的是平行线间的距离，熟知平行线间的距离处处相等是解答此题的关键．14．如图，长方形ABCD中，AB=6cm，长方形的面积为24cm2，求AB与CD之间的距离．【分析】利用长方形的面积公式求出AD，再根据平行线间的距离的定义解答．【解答】解：由题意得，AB•AD=24，∵AB=6cm，∴6•AD=24，解得AD=4cm，∴AB与CD之间的距离是4cm．【点评】本题考查了平行线间的距离的定义，长方形的面积公式，是基础题，熟记概念与公式是解题的关键．15．如图，已知AD∥BC，AB∥EF，CD∥EG，且点E和点F，H，G分别在直线AD，BC上，EH平分∠FEG，∠A=∠D∠110°，线段EH的长是否是两条平行线AD，BC之间的距离？为什么？【分析】根据等角的补角相等求出∠AEF=∠DEG，再根据角平分线的定义可得∠FEH=∠GEH，然后求出∠AEH=90°，再根据垂线的定义以及平行线间的距离的定义解答．【解答】解：∵AB∥EF，CD∥EG，∴∠AEF+∠A=180°，∠DEG+∠D=180°，∵∠A=∠D，∴∠AEF=∠DEG，∵EH平分∠FEG，∴∠FEH=∠GEH，∴∠AEF+∠FEH=×180°=90°，即∠AEH=90°，∴EH⊥AB，∴线段EH的长是两条平行线AD，BC之间的距离．【点评】本题考查了平行线间的距离的定义，平行线的性质，角平分线的定义，是基础题，熟记性质并求出EH⊥AB是解题的关键．。
人教版初中数学七年级下 相交线和平行线知识点总结
人教版初中数学七年级下 相交线和平行线知识点总结本章使生了解在平面不重合的直相交平行的位置系，究了直相交的形成的角的学内两条线与两种关研两条线时特征，直互相垂直所具有的特性，直平行的期共存件和所有的特征以及有形平移的两条线两条线长条它关图变换性，利用平移一些美的案质设计优图.。
重点：垂和的性线它质,平行的判定方法和的性，平移和的性，线它质它质以及些的用这组织运.5.1相交线1、邻补角与对顶角直相交所成的四角中存在几不同系的角，的念及性如下表：两线个种关它们概质形图点顶的系边关大小系关角对顶∠1∠与2有公共点顶∠1的两边与∠2的互两边为反向延长线角相等对顶即∠1=∠2角邻补 ∠3∠与4有公共点顶∠3∠与4有一公共，另一条边互反向延边为长。
线∠3+∠4=180°注意点：⑴角是成出的，角是具有特殊位置系的角；对顶对现对顶关两个⑵如果∠α∠与β是角，那一定有∠对顶么α=∠β；反之如果∠α=∠β，那∠么α∠与β不一定是角对顶⑶如果∠α∠与β互角，一定有∠为邻补则α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，∠则α∠与β不一定是角邻补。
⑶直相交形成的四角中，每一角的角有，而角只有一。
两线个个邻补两个对顶个2、垂线⑴定，直相交所成的四角中，有一角是直角，就直互相垂直，其中的一直叫做义当两条线个个时说这两条线条线另一直的垂，的交点叫做垂足。
条线线它们符言作：号语记 第1页共7页1243A BCDO如所示：图AB⊥CD ，垂足为O⑵垂性线质1：一点有且只有一直已知直垂直 过条线与线(平行公理相比与较记)⑶垂性线质2：接直外一点直上各点的所有段中，垂段最短。
：垂段最短。
连线与线线线简称线3、垂线的画法：⑴直上一点已知直的垂；⑵直外一点已知直的垂。
过线画线线过线画线线注意：①一段或射的垂，就是所在直的垂；②一点作段的垂，垂足可在段上，也画条线线线画它们线线过线线线可以在段的延上。
线长线法：⑴一靠：用三角尺一直角靠在已知直上，⑵二移：移三角尺使一点落在的另一直角上，⑶画条边线动它边边三：沿着直角，不要成人的印象是段的。
图形的平移 (核心考点讲与练)-2021-2022学年七年级数学下学期考试满分全攻略(苏科版)
第03讲图形的平移 (核心考点讲与练)一．平行线之间的距离（1）平行线之间的距离从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．（2）平行线间的距离处处相等．二．生活中的平移现象1、平移的概念在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．2、平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等．3、确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的方向和距离．三．平移的性质（1）平移的条件平移的方向、平移的距离（2）平移的性质①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．四．作图-平移变换（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．五．利用平移设计图案确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案．通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩．一．平行线之间的距离（共3小题）1．（2019春•桂平市期末）如图，AB∥DC，ED∥BC，AE∥BD，那么图中和△ABD面积相等的三角形（不包括△ABD）有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据两平行直线之间的距离相等，再根据等底等高的三角形的面积相等，找出与△ABD等底等高的三角形即可．【解答】解：∵AB∥DC，∴△ABC与△ABD的面积相等，∵AE∥BD，∴△BED与△ABD的面积相等，∵ED∥BC找不到与△ABD等底等高的三角形，∴和△ABD的面积相等的三角形有△ABC、△BDE，共2个．故选：B．【点评】本题主要考查了平行线间的距离相等，等底等高的三角形面积相等的性质，找出等底等高的三角形是解题的关键．2．（2021春•宁德期末）如图，MN⊥AB，垂足为M点，MN交CD于N，过M点作MG⊥CD，垂足为G，EF过点N点，且EF∥AB，交MG于H点，其中线段GM的长度是点M到直线CD的距离，线段MN的长度是点M到直线EF的距离，又是平行线AB、EF间的距离，点N到直线MG的距离是线段GN的长度．【分析】点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度，根据这一定义结合图形进行填空即可．【解答】解：线段GM的长度是点M到直线CD的距离；线段MN的长度是点M到直线EF的距离，又是平行线AB、EF间的距离；点N到直线MG的距离是线段GN的长度．【点评】正确理解点到直线的距离的定义是解决此类问题的关键．3．（2019春•如东县期末）如图，两条平行线间依次有三个图形：△ABC，▱CDEF和梯形DGMN．根据图中所标数据比较它们的面积，其中面积最大的是（）A．△ABC B．▱CDEF C．梯形DGMN D．无法比较【分析】根据两条平行线之间的距离处处相等，分别算出三个图形的面积进行比较，即可得出答案．【解答】解：设平行线之间的距离为x，三角形ABC的面积＝＝6x，平行四边形CDEF的面积＝7x，梯形DGMN的面积＝＝5.5x，∴面积最大的是平行四边形CDEF．故选：B．【点评】此题考查三角形、平行四边形、梯形的面积公式，利用平行线之间的距离处处相等是解决问题的关键．二．生活中的平移现象（共10小题）4．（2021春•大丰区月考）下列现象是数学中的平移的是（）A．树叶从树上落下B．电梯从底楼升到顶楼C．骑自行车时轮胎的滚动D．钟摆的摆动【分析】根据平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移，即可选出答案．【解答】解：A、树叶从树上落下，不是平移，故此选项不符合题意；B、电梯从底楼升到顶楼是平移，故此选项符合题意；C、骑自行车时的轮胎滚动是旋转，故此选项不符合题意；D、钟摆的摆动，不是平移，故此选项不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查了图形的平移，在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动叫平移，学生混淆图形的平移与旋转或翻转，而误选．5．（2021春•海州区期末）如图，两只蚂蚁以相同的速度沿两条不同的路径，同时从A出发爬到B，则（）A．甲和乙同时到B．甲比乙先到C．乙比甲先到D．无法确定【分析】根据平移可得出两蚂蚁行程相同，结合二者速度相同即可得出结论．【解答】解：∵甲、乙两只蚂蚁的行程相同，且两只蚂蚁的速度相同，∴两只蚂蚁同时到达．故选：A．【点评】本题考查了生活中的平移现象，结合图形找出甲、乙两只蚂蚁的行程相等是解题的关键．6．（2021春•许昌期末）下列运动属于平移的是（）A．小朋友荡秋千B．自行车在行进中车轮的运动C．地球绕着太阳转D．小华乘手扶电梯从一楼到二楼【分析】在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．根据平移的概念进而得出答案．【解答】解：A、小朋友荡秋千，属于旋转变换，此选项错误；B、行驶的自行车的车轮，属于旋转变换，此选项错误；C、地球绕着太阳转，属于旋转变换，此选项错误；D、小华乘手扶电梯从一楼到二楼，属于平移变换，此选项正确；故选：D．【点评】此题主要考查了生活中的平移，正确掌握平移的概念是解题关键．7．（2021春•徐州期末）木匠有32m的木板，他想要在花圃周围做围栏．他考虑将花圃设计成以下的造型上述四个方案中，能用32m的木板来围成的是①③④（写出所有可能的序号）．【分析】根据平移的性质以及矩形的周长公式分别求出各图形的周长即可得解．【解答】解：①周长＝2（10+6）＝32（m）；②∵垂线段最短，∴平行四边形的另一边一定大于6m，∵2（10+6）＝32（m），∴周长一定大于32m；③周长＝2（10+6）＝32（m）；④周长＝2（10+6）＝32（m）；故答案为：①③④．【点评】本题考查了矩形的周长，平行四边形的周长公式，平移的性质，根据平移的性质第一个图形，第三个图形的周长相当于矩形的周长是解题的关键．8．（2021春•南开区期末）一个长方形花园，长为a，宽为b，中间有两条互相垂直的宽为c的路，则可种花的面积为ab﹣ac﹣bc+c2．【分析】将路平移到花园的两边，即可找到种花的两边的长度即可求面积．【解答】解：将路平移到花园两边，所得种花的两边的长度分别为：（a﹣c）、（b﹣c）．∴种花的面积为：（a﹣c）（b﹣c）＝ab﹣ac﹣bc+c2故答案为：ab﹣ac﹣bc+c2．【点评】本题考查了列代数式，以及平移的知识，能根据题意正确列出代数式是解此题的关键．9．（2021春•江都区校级期末）白云宾馆在装修时，准备在主楼梯上铺上红地毯．已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯宽2米，其侧面如图所示，则购买这种地毯至少需要504元．【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求．【解答】解：如图，利用平移线段，把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个矩形，长宽分别为5.8米，2.6米，即可得地毯的长度为2.6+5.8＝8.4（米），地毯的面积为8.4×2＝16.8（平方米），故买地毯至少需要16.8×30＝504（元）．故答案为：504．【点评】此题考查了平移的应用，解决此题的关键是要利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算．10．（2021春•依安县期末）如图是某公园里一处矩形风景欣赏区ABCD，长AB＝50米，宽BC＝25米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为98米．【分析】根据已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于AB，纵向距离等于（AD﹣1）×2，求出即可．【解答】解：利用已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于AB，纵向距离等于（AD﹣1）×2，∴图是某公园里一处矩形风景欣赏区ABCD，长AB＝50米，宽BC＝25米，为50+（25﹣1）×2＝98米，故答案为：98．【点评】此题主要考查了生活中的平移现象，根据已知得出所走路径是解决问题的关键．11．（2020秋•海州区校级期中）某公园准备修建一块长方形草坪，长为30米，宽为20米，并在草坪上修建如图所示的十字路，已知十字路宽x米，请回答下列问题：（1）草坪（阴影部分）的面积是多少平方米？（2）修建十字路的面积是多少平方米？（3）如果十字路宽4米，那么草坪（阴影部分）的面积是多少平方米？【分析】（1）阴影面积等于矩形面积减去道路面积；（2）根据修建的十字路面积＝两条路的面积和﹣重叠部分的面积得出；（3）根据长方形草坪的面积﹣十字路的面积＝草坪（阴影部分）的面积得出．【解答】解：（1）30×20﹣（30x+20x﹣x2）＝600﹣50x+x2（平方米），答：草坪（阴影部分）的面积是（600﹣50x+x2）平方米；（2）30x+20x﹣x2＝50x﹣x2（平方米），答：修建十字路的面积是（50x﹣x2）平方米；（3）600﹣50x+x2＝600﹣50×4+4×4＝416（平方米），答：草坪（阴影部分）的面积416平方米．【点评】本题考查了列代数式及代数式求值的问题，解题的关键是灵活运用公式：整体面积＝各部分面积之和，阴影部分面积＝原面积﹣空白的面积．12．（2020秋•江阴市校级月考）根据图中标示的数据，计算图形的周长（单位：mm）【分析】经过线段的平移，该图形可变为一个长为（29+14），宽为（10+11+2）的长方形．【解答】解：如图形的周长＝（29+14+10+11+2）×2＝132mm．【点评】本题主要考查的是平移的性质，经过线段的平移将原图形转化为一个矩形的周长是解题的关键．13．（2015春•宝应县期中）在长为12m，宽为9m的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分别割出三个大小完全一样的小长方形花圃，其示意图如图所示，求其中一个小长方形花圃的长和宽．【分析】由图形可看出：小矩形的2个长+一个宽＝12m，小矩形的2个宽+一个长＝9m，设出长和宽，列出方程组即可得答案．【解答】解：设小矩形的长为xm，宽为ym，由题意得：，解得：，即小矩形的长为5m，宽为2m．答：小矩形花圃的长和宽分别为5m，2m．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．三．平移的性质（共10小题）14．如图，△ABC向右平移2cm得到△DEF，如果△ABC的周长是16cm，那么四边形ABFD的周长是（）A．16cm B．18cm C．20cm D．22cm【分析】根据平移的性质得到BE＝AD＝CF，DF＝AC，根据四边形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：∵△ABC向右平移2cm得到△DEF，∴BE＝AD＝CF＝2（cm），DF＝AC，∵△ABC的周长是16cm，∴AB+AC+BC＝16cm，∴四边形ABFD的周长＝AB+BF+DF+AD＝AB+BC+CF+AC+AD＝16+2+2＝20（cm），故选：C．【点评】本题考查的是平移的性质，根据平移的性质求出AD和CF以及DF＝AC是解题的关键．15．如图，在△ABC中，BC＝7，∠A＝80°，∠B＝70°，把△ABC沿RS的方向平移到△DEF 的位置，若CF＝4，则下列结论中错误的是（）A．DF＝7B．∠F＝30°C．AB∥DE D．BE＝4【分析】根据平移的性质，平移只改变图形的位置，不改变图形的大小与形状，平移后对应点的连线互相平行，对各选项分析判断后利用排除法．【解答】解：∵把△ABC沿RS的方向平移到△DEF的位置，BC＝7，∠A＝80°，∠B＝70°，∴EF＝BC＝7，CF＝BE＝4，∠F＝∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣80°﹣70°＝30°，AB∥DE，∴B、C、D正确，A错误，故选：A．【点评】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移性质是解题的关键．16．（2021春•凤山县期末）如图，△ABC沿着BC方向平移到△DEF，已知BC＝6、EC＝2，那么平移的距离为（）A．2B．4C．6D．8【分析】观察图象，发现平移前后，B、E对应，C、F对应，根据平移的性质，易得平移的距离＝BE＝6﹣2＝4，进而可得答案．【解答】解：由题意平移的距离为BE＝BC﹣EC＝6﹣2＝4，故选：B．【点评】本题考查平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，本题关键要找到平移的对应点．17．（2021春•罗湖区校级期末）如图，若图形A经过平移与下方图形拼成一个长方形，则正确的平移方式是（）A．向右平移4格，再向下平移4格B．向右平移6格，再向下平移5格C．向右平移4格，再向下平移3格D．向右平移5格，再向下平移3格【分析】根据图形A与下方图形中空白部分的位置解答即可．【解答】解：由图可知，正确的平移方式向右平移4格，再向下平移4格．故选：A．【点评】本题考查了平移的性质，比较简单，准确识图是解题的关键．18．（2021春•河源期末）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，∠B＝90°，AB＝8，DH＝3，平移距离为4，求阴影部分的面积为（）A．20B．24C．25D．26【分析】由S△ABC＝S△DEF，推出S四边形ABEH＝S阴即可解决问题；【解答】解：∵平移距离为4，∴BE＝4，∵AB＝8，DH＝3，∴EH＝8﹣3＝5，∵S△ABC＝S△DEF，∴S四边形ABEH＝S阴∴阴影部分的面积为＝×（8+5）×4＝26故选：D．【点评】此题主要考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，要熟练掌握．19．（2021春•江都区期中）如图，直线m与∠AOB的一边射线OB相交，∠3＝120°，向上平移直线m得到直线n，与∠AOB的另一边射线OA相交，则∠2﹣∠1＝60°．【分析】作OC∥m，如图，利用平移的性质得到m∥n，则判断OC∥n，根据平行线的性质得∠1＝∠OBC＝30°，∠2+∠AOC＝180°，从而得到∠2+∠3的度数．【解答】解：作OC∥m，如图，∵直线m向上平移直线m得到直线n，∴m∥n，∴OC∥n，∴∠1＝∠BOC，∠2+∠AOC＝180°，∠AOC＝∠3﹣∠1，∴∠2+∠3﹣∠1＝180°，∴∠2﹣∠1＝180°﹣120°＝60°，故答案为：60°．【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．20．（2021春•兴化市期末）把一副直角三角尺如图摆放，∠C＝∠F＝90°，∠CAB＝60°，∠FDE＝45°，斜边AB、DE在直线l上，△ABC保持不动，△DEF在直线l上平移，当以点A、E、F三点为顶点的三角形是直角三角形时，则∠CAF的度数是15或30．【分析】有两种情形，当点D运动到与A重合时，△AEF是直角三角形，当点D运动到A是DE中点时，△AEF是直角三角形．【解答】解：当点D运动到与A重合时，△AEF是直角三角形，此时∠CAF＝60°﹣45°＝15°当点D运动到A是DE中点时，△AEF是直角三角形，此时∠CAF＝90°﹣60°＝30°，∴∠CAF的度数为15或30，故答案为：15或30．【点评】本题考查平移的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考常考题型．21．（2021春•镇江期末）如图，在三角形ABC中，∠ABC＝90°，BC＝7，把△ABC向下平移至△DEF后，AD＝CG＝4，则图中阴影部分的面积为20．【分析】先根据平移的性质得到AD＝BE＝4，EF＝BC＝6，S△ABC＝S△DEF，则BG＝3，由于S阴影部分＝S梯形BEFG，所以利用梯形的面积公式计算即可．【解答】解：如图，∵△ABC向下平移至△DEF，∴AD＝BE＝4，EF＝BC＝6，S△ABC＝S△DEF，∵BG＝BC﹣CG＝7﹣4＝3，∴S梯形BEFG＝（3+7）×4＝20，∵S阴影部分+S△DBG＝S△DBG+S梯形BEFG，∴S阴影部分＝S梯形BEFG＝20．故答案为：20．【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．22．（2020春•惠来县期末）如图，AD∥BC，∠B＝∠D＝50°，点E、F在BC上，且满足∠CAD ＝∠CAE，AF平分∠BAE．（1）∠CAF＝65°；（2）若平行移动CD，那么∠ACB与∠AEB度数的比值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值；（3）在平行移动CD的过程中，是否存在某种情况，使∠AFB＝∠ACD？若存在，求出∠ACD 度数；若不存在，说明理由．【分析】（1）证明∠CAF＝∠BAD，求出∠BAD即可．（2）证明∠EAC＝∠ECA，再利用三角形的外角的性质解决问题即可．（3）设∠ACD＝x，∠CAD＝y．则有x+y＝130°，构建方程组解决问题即可．【解答】解：（1）∵AD∥BC，∴∠B+∠BAD＝180°，∵∠B＝50°，∴∠BAD＝130°，∵AF平分∠BAE，∴∠BAF＝∠EAF，∵∠CAD＝∠CAE，∴∠CAF＝∠BAE+∠DAE＝∠BAD＝65°，故答案为65．（2）结论：∠ACB与∠AEB度数的比值不变．理由：∵AD∥BC，∴∠CAD＝∠ACE，∵∠CAD＝∠CAE，∴∠ACE＝∠CAE，∵∠AEB＝∠ACE+∠CAE＝2∠ACB，∴∠ACB：∠AEB＝1：2．（3）设∠ACD＝x，∠CAD＝y．则有x+y＝130°，∵∠AFB＝∠ACD＝∠ACB+∠CAF，∴x＝65°+y，解得x＝97.5°，∴∠ACD＝97.5°．【点评】本题考查平行线的性质，平移变换，三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23．（2019春•江宁区期中）如图1，已知直线a∥b，点A、E在直线a上，点B、F在直线b上，∠ABC＝100°，BD平分∠ABC交直线a于点D，线段EF在线段AB的左侧．若将线段EF沿射线AD的方向平移，在平移的过程中BD所在的直线与EF所在的直线交于点P．试探索∠1的度数与∠EPB的度数有怎样的关系？为了解决以上问题，我们不妨从EF的某些特殊位置研究，最后再进行一般化．【特殊化】（1）如图2，当∠1＝40°，且点P在直线a、b之间时，求∠EPB的度数；（2）当∠1＝70°时，求∠EPB的度数；【一般化】（3）当∠1＝n°时，求∠EPB的度数．（直接用含n的代数式表示）【分析】（1）利用外角和角平分线的性质直接可求解；（2）分三种情况讨论：①当交点P在直线b的下方时；②当交点P在直线a，b之间时；③当交点P在直线a的上方时；分别画出图形求解；（3）结合（2）的探究，分两种情况得到结论：①当交点P在直线a，b之间时；②当交点P 在直线a上方或直线b下方时．【解答】解：（1）如图2，作PG∥a，∴∠EPG＝∠EFC＝40°∵a∥b∴PG∥b∴∠GPB+∠CBD＝180°，又∵BD是∠ABC平分线，且∠ABC＝100°，∴∠GPB＝180°﹣2（1）∠ABC＝130°∴∠EPB＝∠EPG+∠GPB＝170°，（2）①当交点P在直线b的下方时：∠EPB＝∠1﹣50°＝20°；②当交点P在直线a，b之间时：∠EPB＝50°+（180°﹣∠1）＝160°；③当交点P在直线a的上方时：∠EPB＝∠1﹣50°＝20°；（3）①当n＞50°时，交点P在直线a上方，∠EPB＝n﹣50°，交点P在直线a、b之间，∠EPB＝230°﹣n交点P在直线b下方，∠EPB＝n﹣50°，②当n＜50°时，交点P在直线a上方，∠EPB＝50°﹣n交点P在直线a、b之间，∠EPB＝130°+n交点P在直线b下方，∠EPB＝50°﹣n．【点评】本题考查了平行线的性质；三角形外角性质．根据动点P的位置，分类画图，结合图形求解是解决本题的关键．数形结合思想的运用是解题的突破口．四．作图-平移变换（共2小题）24．（2009春•宿豫区期中）将图中的三角形ABC向右平移6格．略．【分析】分别作出点A、B、C的对应点，顺次连接即可．【解答】解：【点评】本题需注意，作平移图形时，找关键点的对应点是主要的一步．25．（2021春•睢宁县月考）如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点．在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．（1）请在图中画出△ABC向上平移3个单位后的△A1B1C1；（2）图中AC与A1C1的关系是：AC＝A1C1，AC∥A1C1．（3）画出△ABC的AB边上的高CD；垂足是D；（4）图中△ABC的面积是8．【分析】（1）将各点的横坐标不变、纵坐标加3可得；（2）根据平移的性质解答即可．（3）从C点向AB的延长线作垂线，垂足为点D，CD即为AB边上的高；（4）根据三角形面积公式即可求出△ABC的面积．【解答】解：（1）如图所示：（2）AC＝A1C1，AC∥A1C1；故答案为：AC＝A1C1，AC∥A1C1；（3）如图所示；（4）△ABC的面积＝；故答案为：8．【点评】本题主要考查了根据平移变换作图，以及三角形的中线，高的一些基本画图方法．平移作图的一般步骤为：①确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；②确定图形中的关键点；③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形．五．利用平移设计图案（共3小题）26．（2021春•江都区期中）下列所示的车标图案，其中可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（）A．B．C．D．【分析】根据平移的概念；在平面内，将一个图形整体沿某一方向移动，这种图形移动，叫做平移，即可选出答案．【解答】解：根据平移的概念，观察图形可知C符合题意，故选：C．【点评】本题主要考查了图形的平移，注意区分图形的平移、旋转、翻折是解题的关键．27．（2021春•鼓楼区校级月考）平移小平行四边形◇可以得到美丽的“中国结”图案，下面四个图案是由小平行四边形◇平移后得到的类似“中国结”的图案，按图中规律，在第n个图案中，小平行四边形◇的个数是2n2个【分析】仔细观察图形发现第一个图形有2×12个小平行四边形，第二个图形有2×22个小平行四边形，第三个图形有2×32个小平行四边形，…由此规律得到第n个图形有2n2个小平行四边形，可求得答案．【解答】解：第一个图形有2×12＝2个小平行四边形，第二个图形有2×22＝8个小平行四边形，第三个图形有2×32＝18个小平行四边形，…第n个图形有2n2个小平行四边形．故答案为：2n2．【点评】此题考查了图形的变化类规律，解题的关键是仔细观察图形的变化，并找到图形的变化规律，利用规律解决问题．28．（2021春•新吴区月考）请把下面的小船图案先向上平移3格，再向右平移4格．【分析】分别作出△MNE和梯形ABCD向上平移3格，再向右平移4格的对应位置即可．【解答】解：如图所示：．【点评】此题主要考查了图形的平移，关键是掌握平移后图形的大小和形状不发生改变．题组A 基础过关练一．选择题（共4小题）1．（2021春•高邮市期末）现实世界中，平移现象无处不在，中国的方块字中有些也具有平移性，下列汉字是由平移构成的是（）A．B．C．D．【分析】根据平移的基本性质，汉字只需由两或三个完全相同的部分组成即可．【解答】解：根据题意，由两或三个完全相同的部分组成的汉字即可，∴“朋”可以通过平移得到．故选：B．【点评】本题考查了平移的基本性质的运用，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．2．（2020•如皋市一模）如图，△ABC沿着由点B到点E的方向，平移到△DEF．若BC＝5，EC ＝3，则平移的距离为（）A．7B．5C．3D．2分层提分【分析】根据平移的性质即可解决问题．【解答】解：由题意得平移的距离为：BE＝BC﹣EC＝5﹣3＝2，故选：D．【点评】本题考查平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，本题关键要找到平移的对应点．3．（2021春•汉阳区期末）下列生活现象中，属于平移的是（）A．足球在草地上滚动B．拉开抽屉C．把打开的课本合上D．钟摆的摆动【分析】根据平移的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．【解答】解：A．足球在草地上滚动方向变化，不符合平移的定义，不属于平移，故本选项错误；B．拉开抽屉符合平移的定义，属于平移，故本选项正确；C．把打开的课本合上，不符合平移的定义，不属于平移，故本选项错误；D．钟摆的摆动是旋转运动，不属于平移，故本选项错误；故选：B．【点评】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状、大小和方向，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，而选择错误．注意平移是图形整体沿某一直线方向移动．4．（2021春•郫都区校级期中）如图，在△ABC中，BC＝5，∠A＝80°，∠B＝70°，把△ABC 沿RS的方向平移到△DEF的位置，若CF＝4，则下列结论中错误的是（）A．BE＝4B．∠F＝30°C．AB∥DE D．DF＝5【分析】根据平移的性质，平移只改变图形的位置，不改变图形的大小与形状，平移后对应点的连线互相平行，对各选项分析判断后利用排除法．【解答】解：∵把△ABC沿RS的方向平移到△DEF的位置，BC＝5，∠A＝80°，∠B＝70°，∴CF＝BE＝4，∠F＝∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣80°﹣70°＝30°，AB∥DE，∴A、B、C正确，D错误，故选：D．【点评】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移性质是解题的关键．二．填空题（共10小题）5．（2020•蠡县一模）如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，若△ABC的周长为16cm，则四边形ABFD的周长为20cm．【分析】先根据平移的性质得到CF＝AD＝2cm，AC＝DF，而AB+BC+AC＝16cm，则四边形ABFD的周长＝AB+BC+CF+DF+AD，然后利用整体代入的方法计算即可．【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，∴CF＝AD＝2cm，AC＝DF，∵△ABC的周长为16cm，∴AB+BC+AC＝16cm，∴四边形ABFD的周长＝AB+BC+CF+DF+AD＝AB+BC+AC+CF+AD＝16cm+2cm+2cm＝20cm．故答案为：20cm．【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．6．（2021春•鼓楼区期中）如图，这个图形的周长是18．【分析】本题可将图形的边长拆分、拼成一个矩形，从而求得周长．【解答】解：将图形的上面部分的边都向上和向左右、平移，可得一个长为5、宽为4的矩形，∴这个图形的周长为4+4+5+5＝18．故答案为：18．【点评】解答本题的关键是将这个图形拼成学过的简单图形，从而求解．7．（2018春•新沂市期中）如图，在△ABC中，BC＝5cm，把△ABC沿直线BC的方向平移到△DEF的位置，若EC＝2cm，则平移的距离为3cm．【分析】根据平移的性质可得对应点连接的线段是AD、BE和CF，结合图形可直接求解．【解答】解：观察图形可知，对应点连接的线段是AD、BE和CF．∵BC＝5cm，CE＝2cm，∴平移的距离＝BE＝BC﹣EC＝3cm．故答案为：3．【点评】本题主要考查了平移的基本性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．8．（2018春•镇江期末）如图所示，一块长为m，宽为n的长方形地板中间有一条裂缝，若把裂缝右边的一块向右平移距离为d的长度，则由此产生的裂缝面积是dn．【分析】利用新长方形的面积减去原长方形的面积得到产生的裂缝的面积．【解答】解：产生的裂缝的面积＝（m+d）n﹣mn＝dn．答：产生的裂缝的面积是dn．故答案为：dn．【点评】本题考查了生活中的平移现象．解题的关键是掌握平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．9．（2021春•姜堰区期末）如图，在△ABC中，D是BC的中点，将△ABC沿BC向右平移得△A'DC'，若点A平移的距离AA'＝4cm，则BC＝8cm．。
(必考题)初中数学七年级数学下册第二单元《相交线与平行线》测试(有答案解析)(3)
一、选择题1．如图，按照上北下南，左西右东的规定画出方向十字线，∠AOE＝m°，∠EOF＝90°，OM、ON分别平分∠AOE和∠BOF，下面说法：①点E位于点O的北偏西m°；②图中互余的角有4对；③若∠BOF＝4∠AOE，则∠DON＝54°；④若MONnAOE BOF，则n的倒数是23，其中正确有（）A．3个B．2个C．1个D．0个2．按语句画图：点P在直线a上，也在直线b上，但不在直线c上，直线a，b，c两两相交正确的是（）A．B．C．D．3．如图所示，下列条件能判断a∥b的有（）A ．∠1+∠2＝180°B ．∠2＝∠4C ．∠2+∠3＝180°D ．∠1＝∠3 4．已知直线12l l //，一块含60°角的直角三角板如图所示放置，125∠=︒，则2∠等于（ ）A ．30°B ．35°C ．40°D ．45°5．已知点P 为直线m 外一点，点A ，B ，C 为直线m 上三点，PA ＝4 cm ，PB ＝5 cm ，PC ＝2 cm ，则点P 到直线m 的距离为( )A ．4 cmB ．5 cmC ．小于2 cmD ．不大于2 cm 6．如图，直线//m n ，在Rt ABC 中，90B ∠=︒，点A 落在直线m 上，BC 与直线n 交于点D ，若2130∠=︒，则1∠的度数为（ ）.A ．30°B ．40°C ．50°D ．65°7．如图，∠1的同位角是（ ）A ．∠2B ．∠3C ．∠4D ．∠58．如图，a ∥b ，点A 在直线a 上，点B ，C 在直线b 上，AC ⊥b ，如果AB=5cm ，BC=3cm ，那么平行线a ，b 之间的距离为（ ）A ．5cmB ．4cmC ．3cmD ．不能确定 9．如图，直线a ，b 被直线c 所截，则下列说法中错误的是( )A ．∠1与∠2是邻补角B ．∠1与∠3是对顶角C ．∠2与∠4是同位角D ．∠3与∠4是内错角10．如图，若//AB CD ，EF CD ⊥，154∠=，则2∠=（ ）A ．36B ．46C ．54D ．126 11．如图，平面内直线////a b c ，点,,A B C 分别在直线,,a b c 上，BD 平分ABC ∠，并且满足a β∠>∠，则,,a βγ∠∠∠关系正确的是（ ）A ． 2a βγ∠=∠+∠B ．22a βγ∠=∠-∠C ．a βγ∠=∠+∠D ． 2a βγ∠=∠-∠ 12．如图，直线a ∥b ，点B 在直线b 上，且AB ⊥BC ，∠1＝40°，那么∠2的度数是（ ）A ．35°B ．45°C ．50°D ．65°二、填空题13．如图，点P 、Q 分别在一组平行直线AB 、CD 上，在两直线间取一点E 使得250BPE DQE ∠+∠=︒，点F 、G 分别在BPE ∠、CQE ∠的角平分线上，且点F 、G 均在平行直线AB 、CD 之间，则PFG FGQ ∠-∠=__________．14．如图，360ABC C CDE ∠+∠+∠=︒，直线FG 分别交AB 、DE 于点F 、G ．若1110∠=︒，则2∠=___________．15．下列说法：①对顶角相等；②两点间线段是两点间距离；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤若AC BC =，则点C 是线段AB 的中点；⑥同角的余角相等正确的有_________．（填序号）16．在同一平面内，直线AB 与直线CD 相交于点O ，40AOC ∠=︒，射线OE CD ⊥，则∠BOE 的度数为________︒．17．如图，AB ∥CD ，EG 平分AEN ∠，若EFD ∠=108°，则GEN ∠的度数为_________________．18．如图，在三角形ABC 中，90BAC ∠=，AD BC ⊥于点D ，比较线段AB ，BC ，AD 长度的大小，用“<”连接为__________．19．如图，ED//AC ，BE//CD ，若C 60∠=︒，则E _______∠=︒20．如图，DE ∥BC ，EF ∥AB ，图中与∠BFE 互补的角有_____个．三、解答题21．如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A 落在A '处，EF 为折痕，点F 在线段AD 上，且点F 不与点D 重合，点E 在线段AB 上，此时∠AFE 和∠AEF 互为余角，若EA '恰好平分∠FEB ，回答下列问题．（1）求∠AEF 的度数；（2）∠A FD '＝ 度．22．如图，直线AB 和直线BC 相交于点B ，连接AC ，点,,D E H 分别在AB 、AC 、BC 上，连接DE 、DH ，F 是DH 上一点，已知13180︒∠+∠=（1）求证：CEF EAD ∠=∠；（2）若DH 平分BDE ∠，2α∠=∠，求3∠的度数．（用α表示）23．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点,,A B C 都在格点上． ()1找一格点D ，使得直线//CD AB ，画出直线CD ；()2找一格点E ，使得直线AE BC ⊥于点F ，画出直线AE ，并注明垂足F ；()3找一格点G ，使得直线BG AB ⊥，画出直线BG ；()4连接AG ，则线段,,AB AF AG 的大小关系是 (用“<”连接)．24．（1）计算：（﹣3）2﹣（32）2×29﹣6÷23； （2）α∠的余角比这个角少20°，则α∠的补角为多少度？ 25．如图所示，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 是∠BOD 的平分线，∠AOE ＝140°．猜想与说理：（1）图中与∠COE 互补的角是 ．（2）因为∠AOD ＋∠AOC ＝180°，∠BOC ＋∠AOC ＝180°，所以根据 ，可以得到∠AOD ＝∠BOC ．探究与计算：（3）请你求出∠AOC 的度数．联想与拓展：（4）若以点O 为观测中心，OB 为正东方向，则射线OC 的方向是 ． 26．如图，东西方向上有一条高速公路连接A ，B 两城市，在高速公路的一侧有一座水电站P ，现测得水电站在城市A 的东北方向上，在城市B 北偏西60°方向上． （1）求∠APB 的度数；（2）若一辆轿车以每小时90公里的速度沿AB 方向从A 城市开往B 城市，行驶1.5小时轿车正好在水电站P 的正南方向上，请用方向和距离描述轿车相对于水电站P 的位置．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除1．B解析：B【分析】根据方位角的定义，以及角平分线的定义，分别求出所需角的度数，然后分别进行判断，即可得到答案．【详解】解：∵∠AOE ＝m °，∴∠EOD=90°-m°，∴点E 位于点O 的北偏西90°-m °；故①错误；∵∠EOF ＝90°，∴∠EOD+∠DOF ＝90°，∠AOE+∠BOF=90°，∵∠AOD =∠BOD=90°，∴∠AOE+∠EOD=90°，∠DOF+∠FOB=90°，∠AOM+∠MOD=90°，∠BON+∠DON=90°，∵OM 、ON 分别平分∠AOE 和∠BOF ，∴∠AOM=∠EOM ，∠BON=∠FON ，∴∠EOM+∠MOD=90°，∠FON+∠DON=90°，∴图中互余的角共有8对，故②错误；∵∠BOF ＝4∠AOE ，∠AOE+∠BOF=90°，∴∠BOF=72°，∴∠BON=36°，∴∠DON=90°-36°=54°；故③正确；∵∠AOE+∠BOF=90°，∴∠MOE+∠NOF=11()904522AOE BOF ， ∴9045135MON ， ∴1353902MON n AOE BOF ， ∴n 的倒数是23，故④正确； ∴正确的选项有③④，共2个；故选：B ．【点睛】本题考查了角平分线的定义，余角的定义，方位角的表示，以及角度的和差关系，解题的关键是熟练掌握题意，正确找出图中角的关系进行判断．2．A解析：A根据相交线的概念、点与直线的位置关系进行判断即可．【详解】解：A．符合条件，B．不符合点P不在直线c上；C．不符合点P在直线a上；D．不符合直线a、b、c两两相交；故选：A．【点睛】本题考查的是相交线、点与直线的位置关系，正确理解题意、认识图形是解题的关键．3．B解析：B【分析】通过平行线的判定的相关知识点，并结合题中所示条件进行相应的分析，即可得出答案.【详解】A.∠1 ,∠2是互补角，相加为180°不能证明平行，故A错误.B.∠2=∠4，内错角相等，两直线平行，所以B正确.C. ∠2+∠3＝180°，不能证明a∥b，故C错误.D.虽然∠1=∠3，但是不能证明a∥b；故D错误.故答案选：B.【点睛】本题考查的知识点是平行线的判定，解题的关键是熟练的掌握平行线的判定.4．B解析：B【分析】过C作CM∥直线l1，求出CM∥直线l1∥直线l2，根据平行线的性质得出∠1＝∠MCB＝25°，∠2＝∠ACM，即可求出答案．【详解】过C作CM∥直线l1，∵直线l1∥l2，∴CM∥直线l1∥直线l2，∵∠ACB＝60°，∠1＝25°，∴∠1＝∠MCB＝25°，∴∠2＝∠ACM＝∠ACB－∠MCB＝60°－25°＝35°，故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质，能正确作出辅助线是解此题的关键．5．D解析：D【分析】根据点到直线的距离是直线外的点与直线上垂足间的线段的长，再根据垂线段最短，可得答案．【详解】当PC⊥m时，PC是点P到直线m的距离，即点P到直线m的距离2cm，当PC不垂直直线m时，点P到直线m的距离小于PC的长，即点P到直线m的距离小于2cm，综上所述：点P到直线m的距离不大于2cm，故选D．【点睛】此题考查了点到直线的距离，利用了垂线段最短的性质．6．B解析：B【分析】l m，利用平行线的判定定理和性质定理进行分析即可得出答案．由题意过点B作直线//【详解】l m，解：如图，过点B作直线//∵直线m//n，//l m，∴//l n，∴∠2+∠3=180°，∵∠2=130°，∴∠3=50°，∵∠B=90°，∴∠4=90°-50°=40°，∵//l m，∴∠1=∠4=40°．故选：B．【点睛】本题主要考查平行线的性质定理和判定定理，熟练掌握两直线平行，平面内其外一条直线平行于其中一条直线则平行于另一条直线是解答此题的关键．7．D解析：D【分析】根据同位角定义可得答案．【详解】解：解：两条直线a，b被第三条直线c所截（或说a，b相交c），在截线c的同旁，被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角，根据定义，结合图形，∠1的同位角是∠5．故选：D．【点睛】本题考查同位角的定义，解题关键是熟练理解同位角的定义，本题属于基础题型．8．B解析：B【分析】从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，并由勾股定理可得出答案．【详解】解：∵AC⊥b，∴△ABC是直角三角形，∵AB=5cm，BC=3cm，∴（cm），∴平行线a、b之间的距离是：AC=4cm．故选：B．【点睛】本题考查了平行线之间的距离，以及勾股定理，关键是掌握平行线之间距离的定义，以及勾股定理的运用．9．D解析：D【详解】解：∠3与∠4是同旁内角．故选：D10．A解析：A【分析】根据平行线的性质可求解∠GFD 的度数，再结合垂线的定义可求解．【详解】解：∵AB//CD ，∠1=54°，∴∠GFD=∠1=54°，∵EF ⊥CD ，∴∠EFD=90°，即∠2+∠GFD=90°，∴∠2=36°．故选：A ．【点睛】本题主要考查平行线的性质，垂线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．11．A解析：A【分析】由平行线的性质可得∠ABC=a β∠+∠，然后根据1=2ABC βγ∠+∠∠求解即可． 【详解】解：∵////a b c ，∴∠ABE=∠α，∠CBE=∠β，∴∠ABC=a β∠+∠，∵BD 平分ABC ∠，∴∠CBD 1=2ABC ∠， ∴()1=2βγαβ∠+∠∠+∠， ∴2a βγ∠=∠+∠．故选A ．【点睛】本题考查了角平分线的定义，以及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．平行线的性质：①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补．12．C解析：C【分析】根据两条直线平行，同位角相等得∠1的同位角是40°，再根据平角的定义和垂直定义即可求得∠2．【详解】解：∵a ∥b ，∴BC 与b 所夹锐角等于∠1=40°，又AB ⊥BC ，∴∠ABC=90°∴∠2=180°-90°-40°=50°故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质以及平角的概念，熟练应用两直线平行同位角相等是解题关键．二、填空题13．35°【分析】过点F 作过点G 作利用平行线的性质和角平分线的定义即可求解【详解】过点F 作过点G 作∵平分平分设∵∴∴∵∴∴∴故【点睛】本题考查平行线的性质根据题意作出平行线是解题的关键解析：35°【分析】过点F 作//FK AB ，过点G 作//GH CD ，利用平行线的性质和角平分线的定义即可求解.【详解】过点F 作//FK AB ，过点G 作//GH CD ，∵PF 平分BPE ∠，QG 平分CQE ∠，设BPF EPF x ∠==，CQG EQG y ∠=∠=，∵250BPE DQE ∠+∠=︒∴21802250BPE DQE x y ∠+∠=+︒-=︒，∴35x y -=︒，∵//,//,//FK AB GH CD AB CD ，∴//////AB FK GH CD ，∴PFK BPF x ∠=∠=，HGQ CQG y ∠=∠=，KFG HGQ =∠，∴()PFG FGQ PFK KFG HGF HGQ ∠-∠=∠+∠-∠+∠35x KFG HGF y x y =+∠-∠-=-=︒故35PFG FGQ ∠-∠=︒．【点睛】本题考查平行线的性质，根据题意作出平行线是解题的关键．14．70°【分析】如图作CH ∥AB 证明CH ∥DEAB ∥DE 利用平行线的性质即可解决问题【详解】解：如图作CH ∥AB ∵AB ∥CH ∴∠B+∠BCH=180°∵∠ABC+∠BCD+∠CDE=360°∴∠D+∠ 解析：70°．【分析】如图，作CH ∥AB ，证明CH ∥DE ，AB ∥DE ，利用平行线的性质即可解决问题．【详解】解：如图，作CH ∥AB ，∵AB ∥CH ，∴∠B+∠BCH=180°，∵∠ABC+∠BCD+∠CDE=360°，∴∠D+∠DCH=180°，∴CH ∥DE ，∴AB ∥DE ，∴∠1=∠3=110°，∴∠2=180°-∠3=70°故答案为70°．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．15．①④⑥【分析】利用对顶角的性质判断①利用两点距离定义判定②利用平行公理判定③利用垂线公里判定④利用线段中点定义判定⑤利用余角的性质判定⑥【详解】①对顶角相等正确；②由两点间线段的长度是两点间距离所以解析：①④⑥【分析】利用对顶角的性质判断①，利用两点距离定义判定②，利用平行公理判定③，利用垂线公里判定④，利用线段中点定义判定⑤，利用余角的性质判定⑥．【详解】①对顶角相等正确；②由两点间线段的长度是两点间距离，所以两点间线段是两点间距离不正确；③由过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以过一点有且只有一条直线与已知直线平行不正确；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直正确；=，点C在AB上，则点C是线段AB的中点，所以若⑤由线段中点的性质，若AC BC=，则点C是线段AB的中点不正确；AC BC⑥同角的余角相等正确；正确的有①④⑥．故答案为：①④⑥．【点睛】本题考查对顶角性质，两点间的距离，平行公理，垂线公里，线段的中点，余角的性质等问题，掌握对顶角性质，两点间的距离，平行公理，垂线公里，线段的中点，余角的性质是解题关键．16．50°或130°【分析】先根据垂直的定义求出∠DOE=90°然后根据对顶角相等求出∠DOB的度数再根据角的和差求出∠BOE的度数【详解】解：如图1：∵OE⊥CD∴∠DOE=90°∵∴∠DOB=°∴∠解析：50°或130°【分析】先根据垂直的定义求出∠DOE=90°，然后根据对顶角相等求出∠DOB的度数，再根据角的和差求出∠BOE的度数．【详解】解：如图1：∵OE ⊥CD ，∴∠DOE=90°，∵40AOC ∠=︒，∴∠DOB=40AOC ∠=︒°，∴∠BOE=90°-40°=50°，如图2：∵OE ⊥CD ，∴∠DOE =90°，∵40AOC ∠=︒，∴∠DOB=40AOC ∠=︒°，∴∠BOE=90°+40°=130°，故答案为：50°或130°．【点睛】本题考查了垂线的定义，对顶角相等，要注意领会由垂直得直角这一要点．17．36°【分析】由平行线的性质得再由角平分线的定义即可求出答案【详解】解：∵=108°∴∵∥∴∵平分∴；故答案为：36°【点睛】本题考查了平行线的性质角平分线的定义以及邻补角的定义解题的关键是熟练掌握解析：36°【分析】由平行线的性质，得AEN CFE ∠=∠，再由角平分线的定义，即可求出答案．【详解】解：∵EFD ∠=108°，∴18010872CFE ∠=︒-︒=︒，∵AB ∥CD ，∴72AEN CFE ∠=∠=︒，∵EG 平分AEN ∠， ∴172362GEN ∠=⨯︒=︒； 故答案为：36°．【点睛】 本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，以及邻补角的定义，解题的关键是熟练掌握所学的性质定理进行解题．18．AD ＜AB ＜BC 【分析】根据垂线段的性质即可得到结论【详解】解：∵在三角形ABC中∠BAC=90°AD⊥BC于点D∴AD＜AB＜BC故答案为：AD＜AB＜BC 【点睛】本题考查了垂线段熟练掌握垂线段最解析：AD＜AB＜BC．【分析】根据垂线段的性质即可得到结论．【详解】解：∵在三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∴AD＜AB＜BC，故答案为：AD＜AB＜BC．【点睛】本题考查了垂线段，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．19．60°【分析】根据平行线的性质可求∠ABE再根据平行线的性质可求∠E 【详解】解：∵BE∥CD∠C=60°∴∠ABE=60°∵ED∥AC∴∠E=60°故答案为：60【点睛】考查了平行线的性质关键是熟悉解析：60°【分析】根据平行线的性质可求∠ABE，再根据平行线的性质可求∠E．【详解】解：∵BE∥CD，∠C=60°，∴∠ABE=60°，∵ED∥AC，∴∠E=60°．故答案为：60．【点睛】考查了平行线的性质，关键是熟悉两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等的知识点．20．4【分析】先找到∠BFE的邻补角∠EFC再根据平行线的性质求出与∠EFC 相等的角即可【详解】∵DE∥BC∴∠DEF＝∠EFC∠ADE＝∠B又∵EF∥AB∴∠B ＝∠EFC∴∠DEF＝∠EFC＝∠ADE解析：4【分析】先找到∠BFE的邻补角∠EFC，再根据平行线的性质求出与∠EFC相等的角即可．【详解】∵DE∥BC，∴∠DEF＝∠EFC，∠ADE＝∠B，又∵EF∥AB，∴∠B＝∠EFC，∴∠DEF＝∠EFC＝∠ADE＝∠B，∵∠BFE的邻补角是∠EFC，∴与∠BFE互补的角有：∠DEF、∠EFC、∠ADE、∠B．故答案为4．【点睛】本题主要考查的是平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补且同位角相等．三、解答题21．（1）60°；（2）120【分析】（1）根据折叠的性质以及角平分线的定义可知∠AEF＝∠A'EF＝∠A'EB，再根据平角的定义求解即可；（2）根据折叠的性质、互余的定义以及（1）的结论可得∠AFA'的度数，进而得出∠A'FD 的度数．【详解】解：（1）根据折叠的性质可得∠AEF＝∠A'EF，∵EA'恰好平分∠FEB，∴∠AEF＝∠A'EF＝∠A'EB，∵∠AEF+A'EF+∠A'EB＝180°，所以∠AEF＝60°；（2）∵∠AFE和∠AEF互为余角，∴∠AFE＝90°﹣∠AEF＝30°，根据折叠的性质可得∠AFA'＝2∠AFE＝60°，∴∠A'FD＝180°﹣∠AFA'＝120°．故答案为：120．【点睛】本题主要考查了角的计算问题，掌握折叠的性质并理清相关角的关系是解答本题的关键．22．（1）见解析（2）90°＋1 2α【分析】（1）根据平行线的判定和性质解答即可；（2）根据平行线的性质解答即可．【详解】解：（1）∵∠3＋∠DFE＝180°，∠1＋∠3＝180°∴∠DFE＝∠1，∴AB∥EF，∴∠CEF＝∠EAD；（2）∵AB∥EF，∴∠2＋∠BDE＝180°又∵∠2＝α∴∠BDE ＝180°−α又∵DH 平分∠BDE∴∠1＝12∠BDE ＝12（180°−α） ∴∠3＝180°−12（180°−α）＝90°＋12α． 【点睛】本题考查了角平分线定义，平行线的性质和判定等知识点，注意：①内错角相等，两直线平行，②两直线平行，同旁内角互补．23．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）AF AB AG <<【分析】（1）将AB 沿着BC 方向平移，使其过点C ，此时经过的格点即为所求；（2）延长CB ，作AE 与CB 交于F 点，此时E 点即为所求；（3）过B 点作AB 的垂线，经过的格点即为所求；（4）在两个直角三角形中比较即可得出结论．【详解】（1）如图所示，符合题意的格点有D 1，D 2两个，画出其中一个即可；（2）如图所示：E 点即为所求，垂足为F 点；（3）如图所示，点G 即为所求；（4）如图所示，显然，在Rt ABF 中，AB AF >；在Rt ABG 中，AG AB >， 故答案为：AF AB AG <<．【点睛】本题考查应用与设计作图，平行线的判定与性质以及垂线的定义，熟练掌握基本性质定理是解题关键．24．（1）12-；（2）125° 【分析】（1）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减；（2）根据题意可得关于α∠的方程，求出α∠后再根据互补的定义求解．【详解】 解：（1）原式＝9﹣94×29﹣6×32＝9﹣12﹣9＝﹣12； （2）根据题意，得α∠﹣（90﹣α∠）＝20°，解得：α∠＝55°，所以α∠的补角为180°﹣55°＝125°． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算、余角和补角以及一元一次方程的求解等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键．25．（1）∠BOE 和∠DOE ；（2）同角的补角相等；（3）∠AOC ＝80°；（4）北偏西10°【分析】（1）根据互为补角的两角之和为180°可得出与∠COE 互补的角；（2）根据同角（或等角）的补角相等即可解答；（3）先求出∠BOE ，继而根据角平分线的性质得出∠DOB ，再由对顶角相等可得出∠AOC 的度数；（4）根据补角的定义求得∠BOC 的值，然后根据直角是90°和方向角的定义即可解答．【详解】解：（1）因为OE 是∠BOD 的平分线，∠COE+∠DOE=180°， 所以∠BOE =∠DOE ，故与∠COE 互补的角有：∠BOE 和∠DOE ；（2）因为同角（或等角）的补角相等，所以∠AOD ＋∠AOC ＝180°，∠BOC ＋∠AOC ＝180°时，∠AOD ＝∠BOC ．即答案为：同角的补角相等；（3）由题意得，∠BOE=180°-∠AOE=40°，因为OE 是∠BOD 的平分线，所以∠BOD=2∠BOE=80°所以∠AOC=80°；（4）如图，MN 为南北方向，由（3）得∠AOC=80°，所以∠BOC=180°-∠AOC=180°-80°=100°，又因为∠BOM=90°，所以∠MOC=∠BOC-∠BOM=100°- 90°=10°，故射线OC的方向是北偏西10°．【点睛】本题考查补角和方位角的知识，结合图形进行考查比较新颖，注意掌握互为补角的两角之和为180°，另外本题还用到对顶角相等及角平分线的性质．26．（1）105°；（2）小轿车在水电站P正南方向，135km的公路上．【分析】（1）过点P作PE//BC交AB于点E．根据平行线的判定与性质即可求∠APB的度数；（2）根据每小时90公里的速度行驶1.5小时轿车正好在水电站P的正南方向上，即可用方向和距离描述轿车相对于水电站P的位置．【详解】解：（1）如图，过点P作PE//BC交AB于点E．由题意知：∠DAP＝45°，∠CBP＝60°AD//BC，∴∠CBP＝∠BPE＝60°（两直线平行，内错角相等），又∵PE//BC，AD//BC，∴PE//DA（平行于同一直线的两条直线互相平行），∴∠DAP＝∠APE＝45°（两直线平行，内错角相等），∴∠APB＝∠APE＋∠BPE＝45°＋60°＝105°（2）由（1）知PE//DA，又∵∠DAE＝90°，∴∠DAE＝∠PEB＝90°，∴PE⊥AB，∴∠AEP＝90°，∴在△AEP中，∠AEP＝90°，∠APE＝45°，∴EA＝EP，又∵EA＝90×1.5＝135 （km）∴EP＝135（km）．答：小轿车在水电站P正南方向，135km的公路上．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、方向角，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．。
湘教版七年级数学下册4.6两条平行线之间的距离
A
a
5cm
Bb
2cm
C
c
(1)直线c在直线的外侧， 解答同例题，AC=7cm.
(2)直线c在平行线a，b之间。 如图可得： AC=AB-BC=5-2=3(cm).
A
a
C 5cm c
2cm B
b
1.我们这节课学习了哪些概念？ 公垂线：与两条平行线都垂直的直线。 公垂线段：在公垂线上，两垂足间的线段。 两平行线间的距离：两平行线的公垂线段的长度。
5.如图，已知AB∥CD，AD∥BC，点E是线段AB上 一点，连接DE并延长交CB的延长线于点F。若AB 与CD的距离等于10，BE=1，求三角形AEF的面积。
【解析】连接BD，由两平行线间的距离相等得出 三角形ADF的面积等于三角形ADB的面积，进而得 出三角形AEF的面积等于三角形BDE的面积为5.
用平移性质可以证明我们的结论是对的。
我们把两条平行线的公垂线段的长度叫做 两条平行线间的距离.
A
M
Cபைடு நூலகம்
N
图中MN是两平行线
B AB，CD的公垂线段，则 D MN的长度叫做两条平行
线AB与CD间的距离.
探究
如图，AB∥CD，PE是AB上一点P到直线CD的距 离。那么平行线AB与CD间的距离等于点P到直线CD 的距离吗？
第4章 相交线与平行线
学习 标
➹理解概念：公垂线、公垂线段、两平行线间的距离； ➹理解并掌握两平行线间的公垂线段都相等； ➹理解两平行线间的距离等于其中一条直线上一点到
另一条直线的距离； ➹学会作两平行线间的距离，能根据图形求两平行
线间的距离及相关的面积问题。
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课题：两平行线之间的距离
备课人：教学时间: 年月日累计课时: 第节
教学目标1、理解平行线之间的距离的概念。
2、能够测量两条平行线之间的距离，会画到已知直线已知距
离的平行线。
3、通过平行线之间的距离转化为点到直线的距离，使学生初
步体验转化的数学思想。
教学重点|理解平行线之间的距离的概念，掌握它与点到直线的距离的关系。
教学难点画到已知直线已知距离的平行线。
教学准备制作多媒体课件
教学方法尝试练习法、讨论法、归纳法
探研过程备注
一、准备知识
1、点到直线距离。
2、直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。
3、三条直线的平行关系。
二、探究新知
1、做一做。
测量自己的数学课本的宽度。
要注意什么
问题？刻度尺要与课本两边互相垂直。
2、公垂线、公垂线段的概念
与两条平行直线都垂直的直线，叫做这两
条平行直线
的公垂线。
如图形中的直线AB与CD都是公垂线，
这时连结两个垂足的线段，叫做这两条平行直线的
公垂线段。
图中的线段AB和CD。
两平行线的公垂线段也可以看成是两平行直线中一条上
的一点到另一条的垂线段。
3、公垂线段定理：两平行线的所有公垂
线段都相等。
4、两平行线上各取一点连结而成的所有
线段中，
公垂线段最短。
如图m∥n，直线m、n上各取一点A、B，连结AB。
再过A作n线段的垂线段AC，垂足为C，则有AC＜AB。
从而得到上述定理。
5、两平行间的距离：两平行线的公垂线段的长度。
6、范例分析
P105例如图设直线a、b、c是三条平行直线。
已知
a与b的距离为5厘米，b与c的距离为2
厘米，求a与
c的距离。
（引导学生分析，然后按教材写出解题过
程：。