最新高中数学A版2.3.2-两个变量的线性关系优秀课件ppt课件
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高中数学 2.3.2 两个变量的线性相关课件1 新人教A版必修3
2.通过简明说理，理解线性回归方程概念和回归思想，接受最小 二乘法的科学性；
3. 经历数据处理步骤，结合具体案例，体会随机思想，体会 “确定关系研究相关关系”的回归思想，领悟用数学思想处 理问题的简洁美。
学情分析
面对大部分来自云南各地州的少数民族学生，经过调 查，多数学生虽然具备初步的统计基础知识，但是良好的 统计观念普遍尚未形成，统计经验比较缺乏，另外，学生 的计算能力也比较欠缺。
问题２
如何用数学成绩来预报物理成绩？
教材例题与练习
统计事件、样本数据与回归直线三者的关系
1.数据采样本身具有随机性，随机误差不可避免； 2.回归分析是寻找相关关系中非确定关系中的某种确定性，虽
然一个数据具有随机误差，但总体还是具有某种确定的关 系； 3.在数据采样都符合统计要求的情况下，回归直线方程的选择 具有多样性，但一般情况下，选择数据多一些更合理。
直觉分析——经验分析——专业分析
线性回归系数计算公式
n
n
(xi x)( yi y)
xi yi nxy
bˆ i1 n
i1 n
.
(xi x)2
xi2 nx 2
i 1
i 1
aˆ y bˆx.
线性回归方程的笔算
线性回归方程公式意义解读
分别进行定性定量和整体意义解读
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/29
最新中小学教学课件
16
谢谢欣赏！
2019/8/29
最新中小学教学课件
17
两个变量间的线性相关
课标要求:知道最小二乘法思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立 回归方程。 教材定位:本节课上承两个变量间的正负线性相关的知识基础,下启回归分 析的思想及其应用能力发展.
3. 经历数据处理步骤，结合具体案例，体会随机思想，体会 “确定关系研究相关关系”的回归思想，领悟用数学思想处 理问题的简洁美。
学情分析
面对大部分来自云南各地州的少数民族学生，经过调 查，多数学生虽然具备初步的统计基础知识，但是良好的 统计观念普遍尚未形成，统计经验比较缺乏，另外，学生 的计算能力也比较欠缺。
问题２
如何用数学成绩来预报物理成绩？
教材例题与练习
统计事件、样本数据与回归直线三者的关系
1.数据采样本身具有随机性，随机误差不可避免； 2.回归分析是寻找相关关系中非确定关系中的某种确定性，虽
然一个数据具有随机误差，但总体还是具有某种确定的关 系； 3.在数据采样都符合统计要求的情况下，回归直线方程的选择 具有多样性，但一般情况下，选择数据多一些更合理。
直觉分析——经验分析——专业分析
线性回归系数计算公式
n
n
(xi x)( yi y)
xi yi nxy
bˆ i1 n
i1 n
.
(xi x)2
xi2 nx 2
i 1
i 1
aˆ y bˆx.
线性回归方程的笔算
线性回归方程公式意义解读
分别进行定性定量和整体意义解读
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/29
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16
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17
两个变量间的线性相关
课标要求:知道最小二乘法思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立 回归方程。 教材定位:本节课上承两个变量间的正负线性相关的知识基础,下启回归分 析的思想及其应用能力发展.
高中数学 2.3.2变量间的相关关系课件 新人教A版必修3
热饮杯数
当x=2时，y=143.063.
小结作业 1.求样本数据的线性回归方程，可按 下列步骤进行： 第一步，计算平均数 x , y
第二步，求和
第三步，计算 b i1
x y , x ( x x )( y y ) x y nx y
2
n
n
i 1 n
i
i
i 1
i
n
i
i
2 ( x x ) i i 1
n
x y
i 1 n i i 1
n
i
nx y , a y bx
2 2 x nx i
ˆi )2 为最小，这样 时，总体偏差 Q (yi y
i 1
就得到了回归方程，这种求回归方程的 Ù 方法叫做最小二乘法.回归方程ห้องสมุดไป่ตู้y = bx + a 中，a，b的几何意义分别是什么？
2.观察人体的脂肪含量百分比和年龄的样本 数据的散点图，这两个相关变量成正相关. 我们需要进一步考虑的问题是，当人的年龄 增加时，体内脂肪含量到底是以什么方式增 加呢？对此，我们从理论上作些研究.
脂肪含量
40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
2.3 2.3.1 2.3.2
变量间的相关关系 变量之间的相关关系 两个变量的线性相关
第二课时
问题提出
1 5730 p 2
t
1. 两个变量之间的相关关系的含义如 何？成正相关和负相关的两个相关变量 的散点图分别有什么特点？ 自变量取值一定时，因变量的取值带有 一定随机性的两个变量之间的关系. 正相关的散点图中的点散布在从左下角 到右上角的区域，负相关的散点图中的 点散布在从左上角到右下角的区域
人教A版高中数学必修三两个变量的线性相关教学课件
回归方程做统计推断时的局限性 下面，我们一起来对比，用已知
的回归方程预测下列不同个体的体重时， 哪个可信度更高。
1、1999年银川一中某个188cm的同学的体重；银川一中 现在在校某个188cm的同学的体重。 2、重庆某个188cm的人的体重；银川一中现在在校某个 188cm的同学的体重。
人教A版高中数学必修三第二章2.3.2 两个变量的线性相关教学 课件 (共21张PPT)
在现实问题的分析中，为了使得 统计推断更具可信度，我们常常需要 考虑随机误差，即建立线性回归模型
yˆbˆxaˆeˆ
eˆ 其中 表示随机误差来分析线性相
关关系。
人教A版高中数学必修三第二章2.3.2 两个变量的线性相关教学 课件 (共21张PPT)
人教A版高中数学必修三第二章2.3.2 两个变量的线性相关教学 课件 (共21张PPT)
人教A版高中数学必修三第二章2.3.2 两个变量的线性相关教学 课件 (共21张PPT)
回归方程做统计推断时的局限性 回归直线方程有时效性
回归直线方程只适用于所研究的样本的总体
人教A版高中数学必修三第二章2.3.2 两个变量的线性相关教学 课件 (共21张PPT)
(x, y)
n
xi yi n x y
bˆ
aˆ
i 1 n
i 1
xi 2
y bˆ x
2
nx
人教A版高中数学必修三第二章2.3.2 两个变量的线性相关教学 课件 (共21张PPT)
确定回归方程
借助计算机Excel软件，迅速能 得到身高和体重这两个变量的回归直 线和回归方程。
平均体重y（kg）
真实值
预报值
yˆ67.464k5g
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的回归方程预测下列不同个体的体重时， 哪个可信度更高。
1、1999年银川一中某个188cm的同学的体重；银川一中 现在在校某个188cm的同学的体重。 2、重庆某个188cm的人的体重；银川一中现在在校某个 188cm的同学的体重。
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在现实问题的分析中，为了使得 统计推断更具可信度，我们常常需要 考虑随机误差，即建立线性回归模型
yˆbˆxaˆeˆ
eˆ 其中 表示随机误差来分析线性相
关关系。
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人教A版高中数学必修三第二章2.3.2 两个变量的线性相关教学 课件 (共21张PPT)
人教A版高中数学必修三第二章2.3.2 两个变量的线性相关教学 课件 (共21张PPT)
回归方程做统计推断时的局限性 回归直线方程有时效性
回归直线方程只适用于所研究的样本的总体
人教A版高中数学必修三第二章2.3.2 两个变量的线性相关教学 课件 (共21张PPT)
(x, y)
n
xi yi n x y
bˆ
aˆ
i 1 n
i 1
xi 2
y bˆ x
2
nx
人教A版高中数学必修三第二章2.3.2 两个变量的线性相关教学 课件 (共21张PPT)
确定回归方程
借助计算机Excel软件，迅速能 得到身高和体重这两个变量的回归直 线和回归方程。
平均体重y（kg）
真实值
预报值
yˆ67.464k5g
人教A版高中数学必修三第二章2.3.2 两个变量的线性相关教学 课件 (共21张PPT)
人教版高中数学必修三第二章第3节 2.3.2两个变量的线性相关 课件(共39张PPT)
（1）根据上述数据，人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系？
对某一个人来说，他的体内脂肪含量不一定随年龄 增长而增加或减少，但是如果把很多个体放在一起，就 可能表现出一定的规律性. 大体上看，上表中的数据， 随着年龄的增加，人体脂肪含量也在增加；
（2）为了确定更明确的关系，以 x 轴表示年龄，
y 轴表示脂肪含量，我们在直角坐标系中描
{ yi yˆi yi (bxi a)
(xn，yn)
(x3，y3) (x2，y2)
这样，用这 n 个偏差的和来刻画“与此直线的整体偏差”
是比较合适的．
问题就归结为：
当 a, b 取什么值时 Q 最小.
Q ( y1 bx1 a)2 ( y2 bx2 a)2 L ( yn bxn a)2
n
n
(xi x)( yi y) xi yi nx y
bˆ i1 n
(xi x)2
i1 n
xi2
n
2
x
,
i1
i1
aˆ y bˆx.
从而求出线性回归方程： yˆ bˆx aˆ
在公式中，x表示xi (i 1.2...n)的平均数
y表示yi (i 1.2...n)的平均数
n
（3）如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之 间就有线性相关关系； 只有散点图中的点呈条状集中在某一直线周围，
才可以用回归直线来描述两个变量之间的关系. 如何具 体求出这条直线方程呢？
脂肪含量
方案一：
画出一条直线，使其通过尽可能多的样本点；
40 35 30 25 20 15 10
5 0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
40 35 30 25 20 15 10
对某一个人来说，他的体内脂肪含量不一定随年龄 增长而增加或减少，但是如果把很多个体放在一起，就 可能表现出一定的规律性. 大体上看，上表中的数据， 随着年龄的增加，人体脂肪含量也在增加；
（2）为了确定更明确的关系，以 x 轴表示年龄，
y 轴表示脂肪含量，我们在直角坐标系中描
{ yi yˆi yi (bxi a)
(xn，yn)
(x3，y3) (x2，y2)
这样，用这 n 个偏差的和来刻画“与此直线的整体偏差”
是比较合适的．
问题就归结为：
当 a, b 取什么值时 Q 最小.
Q ( y1 bx1 a)2 ( y2 bx2 a)2 L ( yn bxn a)2
n
n
(xi x)( yi y) xi yi nx y
bˆ i1 n
(xi x)2
i1 n
xi2
n
2
x
,
i1
i1
aˆ y bˆx.
从而求出线性回归方程： yˆ bˆx aˆ
在公式中，x表示xi (i 1.2...n)的平均数
y表示yi (i 1.2...n)的平均数
n
（3）如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之 间就有线性相关关系； 只有散点图中的点呈条状集中在某一直线周围，
才可以用回归直线来描述两个变量之间的关系. 如何具 体求出这条直线方程呢？
脂肪含量
方案一：
画出一条直线，使其通过尽可能多的样本点；
40 35 30 25 20 15 10
5 0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
40 35 30 25 20 15 10
高一数学(人教A版)必修3课件：2-3-1、2 变量之间的相关关系 两个变量的线性相关
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 必修3 第二章 2 .3 2．3.1、2
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 必修3 第二章 2 .3 2．3.1、2
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 必修3 第二章 2 .3 2．3.1、2
[答案] D
第二章 2 .3 2．3.1、2
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 必修3
[答案] C
第二章 2 .3 2．3.1、2
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 必修3 第二章 2 .3 2．3.1、2
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 必修3
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 必修3 第二章 2 .3 2．3.1、2
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 必修3 第二章 2 .3 2．3.1、2
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 必修3 第二章 2 .3 2．3.1、2
第二章 2 .3 2．3.1、2
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 必修3 第二章 2 .3 2．3.1、2
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 必修3 第二章 2 .3 2．3.1、2
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 必修3
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 必修3 第二章 2 .3 2．3.1、2
高中数学 2.3.1 变量之间的相关关系;2.3.2 两个变量的线性相关课件 新人教A版必修3
由图可见，具有线性相关关系，且是正相关．
规律方法 1.判断两个变量x和y间是否具有线性相关关系，常 用的简便方法就是绘制散点图，如果图上发现点的分布从整 体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关 的，注意不要受个别点的位置的影响． 2．画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或偏 小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致 得出错误结论．
跟踪演练2 对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1，2，…， 10)，得散点图①；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1， 2，…，10)，得散点图②.由这两个散点图可以判断 ( )
A．变量x与y正相关，u与v正相关 B．变量x与y正相关，u与v负相关 C．变量x与y负相关，u与v正相关 D．变量x与y负相关，u与v负相关 答案 C
2．回归直线的方程 (1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在 _一__条__直__线__附近，就称这两个变量之间具有_线__性__相__关__关 系，这条直线叫做回归直线． (2)回归方程：_回__归__直__线__对应的方程叫做回归直线的方 程，简称回归方程.
要点一 变量间相关关系的判断
规律方法 1.求线性回归方程的步骤 (1)列表xi，yi，xiyi.
2．求回归直线方程的适用条件 两个变量具有线性相关性，若题目没有说明相关性，则必须 对两个变量进行相关性判断．
跟踪演练3 2014年元旦前夕，某市统计局统计了该市2013年 10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：
年收入x (万元)
跟踪演练1 下列两个变量之间的关系，哪个不是函数关系 ()
A．正方体的棱长和体积 B．圆半径和圆的面积 C．正n边形的边数和内角度数之和 D．人的年龄和身高 答案 D 解析 A、B、C都是函数关系，对于A，V＝a3；对于B，S＝ πr2；对于C，g(n)＝(n－2)π.而对于年龄确定的不同的人可以 有不同的身高，∴选D.
人教A版高中数学必修三第二章第3节 2.3.2两个变量的线性相关 课件(共28张PPT)
2.3.2 两个变量的线性相关
【学习目标】 1、理解线性相关、正相关、负相关、散点图； 2、理清线性相关和散点图之间的关系；(定性) 3、在两个变量具有线性相关关系时，会作出线
性直线。(定量) 【学法指导】
在解决统计问题的过程中，系统地经历数据 收集和处理的全过程，进一步体会用样本估计总 体的思想，理解数形结合的数学思想和回归分析 的统计思想。
【探究新知】
在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获 得了一组样本数据：
.
根据上述数据，你能分析人体的脂肪含量与年龄 之间有怎样的关系吗？
【小组合作】
探究一 收集数据 （1）回忆前面学过的统计知识，表中数据可能是如何收集到的？举例说明 （2）如何理解23岁对应的脂肪百分比为9.5？ 探究二 分析数据 （1）统计学中常用什么方法分析收集到的数据？ （2）高一在函数应用章节，如何根据已知数据预测其它数据？ （3）你发现年龄与脂肪含量这两个变量之间是什么关系？怎样发现的？ 探究三 寻找回归直线（定量） （1）回归直线一定过样本点的中心吗？为什么? （2）为什么要找回归直线？找到这条直线是否说明年龄与脂肪含量是函数关系? （3）假如我45岁，我的脂肪含量大约是多少？是表中的27.5吗？ （4）如何具体求出这个回归直线的方程呢？回归直线与散点图中各点的位置应
人体内脂肪含量与年龄之间是相关关系
在一定年龄段内，随着年龄的增长，人体内的脂肪 含量会增加，但人体内的脂肪含量还与饮食习惯、体 育锻炼等有关，可能还与个人的先天体质有关。
对某一个人来说，他的体内脂肪含量不一定随年龄 增长而增加或减少，但是如果把很多个体放在一起， 就可能表现出一定的规律性.
散点图：
——具有函数关系． 2.如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，那么这两个 变量之间有关系吗？关系确定吗？是什么关系？ ——有关系，不确定，有相关关系。 3. 如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线 性相关关系。线性相关又分正相关和负相关。（呈条形状） 4．如果散点图的点几乎没有什么规则，则这两个变量之间 关系又如何？ ——没有相关关系
【学习目标】 1、理解线性相关、正相关、负相关、散点图； 2、理清线性相关和散点图之间的关系；(定性) 3、在两个变量具有线性相关关系时，会作出线
性直线。(定量) 【学法指导】
在解决统计问题的过程中，系统地经历数据 收集和处理的全过程，进一步体会用样本估计总 体的思想，理解数形结合的数学思想和回归分析 的统计思想。
【探究新知】
在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获 得了一组样本数据：
.
根据上述数据，你能分析人体的脂肪含量与年龄 之间有怎样的关系吗？
【小组合作】
探究一 收集数据 （1）回忆前面学过的统计知识，表中数据可能是如何收集到的？举例说明 （2）如何理解23岁对应的脂肪百分比为9.5？ 探究二 分析数据 （1）统计学中常用什么方法分析收集到的数据？ （2）高一在函数应用章节，如何根据已知数据预测其它数据？ （3）你发现年龄与脂肪含量这两个变量之间是什么关系？怎样发现的？ 探究三 寻找回归直线（定量） （1）回归直线一定过样本点的中心吗？为什么? （2）为什么要找回归直线？找到这条直线是否说明年龄与脂肪含量是函数关系? （3）假如我45岁，我的脂肪含量大约是多少？是表中的27.5吗？ （4）如何具体求出这个回归直线的方程呢？回归直线与散点图中各点的位置应
人体内脂肪含量与年龄之间是相关关系
在一定年龄段内，随着年龄的增长，人体内的脂肪 含量会增加，但人体内的脂肪含量还与饮食习惯、体 育锻炼等有关，可能还与个人的先天体质有关。
对某一个人来说，他的体内脂肪含量不一定随年龄 增长而增加或减少，但是如果把很多个体放在一起， 就可能表现出一定的规律性.
散点图：
——具有函数关系． 2.如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，那么这两个 变量之间有关系吗？关系确定吗？是什么关系？ ——有关系，不确定，有相关关系。 3. 如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线 性相关关系。线性相关又分正相关和负相关。（呈条形状） 4．如果散点图的点几乎没有什么规则，则这两个变量之间 关系又如何？ ——没有相关关系
高中数学人教A版必修3 2.3.1-2.3-2 变量之间的相关关系 两个变量的线性相关 课件(44张)
栏目 导引
第二章 统 计
1．我们常说“吸烟有害健康”，吸烟与健康之间的关系是
() A．正相关 C．无相关
B．负相关 D．不确定
解析：选 B.烟吸得越多，则健康程度越差．
栏目 导引
第二章 统 计
2．关于回归直线方程^y＝^a＋^bx 的叙述正确的是( )
①反映^y与 x 之间的函数关系；
②反映 y 与 x 之间的函数关系；
栏目 导引
第二章 统 计
(3)最小二乘法 求回归直线方程^y ＝^b x＋^a 时，使得样本数据的点到回归直线 的_距__离__的__平__方__和__最小的方法叫做最小二乘法．
其中^b是回归方程的_斜__率__，^a是回归方程在 y 轴上的截距.
栏目 导引
第二章 统 计
1．散点图的作用 散点图形象地反映了各对数据的密切程度．根据散点图中点的 分布趋势分析两个变量之间的关系，可直观地判断并得出结 论．
(2)①散点图如图所示．
第二章 统 计
②由图可知，各点散布在从左下角到右上角的区域内，因此， 腐蚀深度与腐蚀时间成正相关，即腐蚀时间越长，腐蚀深度越 深．
栏目 导引
第二章 统 计
③从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因 此，两变量成线性相关关系．利用计算器求得回归 方程为^y＝0.304x＋5.344. ④由③知，当腐蚀时间为 100 s 时，^y＝0.304×100＋5.344＝ 35.744(μm)，即此时腐蚀深度约是 35.744 μm.
^a＝－y －^b－x ＝11.47， 因此回归直线方程为^y ＝11.47＋2.62x.
栏目 导引
第二章 统 计
探究点 3 线性回归方程的应用
(1)某单位为了解用电量 y(度)与气温 x(℃)之间的关系，
第二章 统 计
1．我们常说“吸烟有害健康”，吸烟与健康之间的关系是
() A．正相关 C．无相关
B．负相关 D．不确定
解析：选 B.烟吸得越多，则健康程度越差．
栏目 导引
第二章 统 计
2．关于回归直线方程^y＝^a＋^bx 的叙述正确的是( )
①反映^y与 x 之间的函数关系；
②反映 y 与 x 之间的函数关系；
栏目 导引
第二章 统 计
(3)最小二乘法 求回归直线方程^y ＝^b x＋^a 时，使得样本数据的点到回归直线 的_距__离__的__平__方__和__最小的方法叫做最小二乘法．
其中^b是回归方程的_斜__率__，^a是回归方程在 y 轴上的截距.
栏目 导引
第二章 统 计
1．散点图的作用 散点图形象地反映了各对数据的密切程度．根据散点图中点的 分布趋势分析两个变量之间的关系，可直观地判断并得出结 论．
(2)①散点图如图所示．
第二章 统 计
②由图可知，各点散布在从左下角到右上角的区域内，因此， 腐蚀深度与腐蚀时间成正相关，即腐蚀时间越长，腐蚀深度越 深．
栏目 导引
第二章 统 计
③从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因 此，两变量成线性相关关系．利用计算器求得回归 方程为^y＝0.304x＋5.344. ④由③知，当腐蚀时间为 100 s 时，^y＝0.304×100＋5.344＝ 35.744(μm)，即此时腐蚀深度约是 35.744 μm.
^a＝－y －^b－x ＝11.47， 因此回归直线方程为^y ＝11.47＋2.62x.
栏目 导引
第二章 统 计
探究点 3 线性回归方程的应用
(1)某单位为了解用电量 y(度)与气温 x(℃)之间的关系，
【课件】新课标人教A版数学必修3：2.3 两个变量的线性相关
2.3 两个变量的线性关系
.
预习引入：
1、现实生活中存在许多相关关系：商品销售与 广告、粮食生产与施肥量、人体的脂肪量与年 龄等等的相关关系.
2、通过收集大量的数据，进行统计，对数据 分析，找出其中的规律，对其相关关系作出 一定判断. 3、由于变量之间相关关系的广泛性和不确定 性，所以样本数据应较大，和有代表性.才能对 它们之间的关系作出正确的判断.
那么，我们该怎样来求出这个回归方程？
40 35 30 25 20 15 10
5 0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
脂肪含量
. 方案1、先画出一条直线，测量出各点与它
的距离，再移动直线，到达一个使距离的和最 小时，测出它的斜率和截距，得回归方程。
如图 ：
脂肪含量 40
35 30
25 20 15 10
5
年龄
0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
.
方案2、在图中选两点作直线，使直线 两侧 的点的个数基本相同。
脂肪含量 40
35 30
25 20 15 35 40 45 50 55 60 65
方案3、如果多取几对点，确定多条直线，再 求出这些直线的斜率和截距的平均值作为回归直 线的斜率和截距。而得回归方程。 如图:
脂肪含量
观察人体的脂肪含量百分比和年龄的样本数 据的散点图，这两个相关变量成正相关.
40 35 30 25 20 15 10
5 0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
如高原含氧量与海拔高度
的相关关系，海平面以上，
海拔高度越高，含氧量越
少。
含氧量
.
预习引入：
1、现实生活中存在许多相关关系：商品销售与 广告、粮食生产与施肥量、人体的脂肪量与年 龄等等的相关关系.
2、通过收集大量的数据，进行统计，对数据 分析，找出其中的规律，对其相关关系作出 一定判断. 3、由于变量之间相关关系的广泛性和不确定 性，所以样本数据应较大，和有代表性.才能对 它们之间的关系作出正确的判断.
那么，我们该怎样来求出这个回归方程？
40 35 30 25 20 15 10
5 0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
脂肪含量
. 方案1、先画出一条直线，测量出各点与它
的距离，再移动直线，到达一个使距离的和最 小时，测出它的斜率和截距，得回归方程。
如图 ：
脂肪含量 40
35 30
25 20 15 10
5
年龄
0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
.
方案2、在图中选两点作直线，使直线 两侧 的点的个数基本相同。
脂肪含量 40
35 30
25 20 15 35 40 45 50 55 60 65
方案3、如果多取几对点，确定多条直线，再 求出这些直线的斜率和截距的平均值作为回归直 线的斜率和截距。而得回归方程。 如图:
脂肪含量
观察人体的脂肪含量百分比和年龄的样本数 据的散点图，这两个相关变量成正相关.
40 35 30 25 20 15 10
5 0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
如高原含氧量与海拔高度
的相关关系，海平面以上，
海拔高度越高，含氧量越
少。
含氧量
最新人教A版必修三高中数学2.3.2变量间的相关关系(二)公开课课件
所以，所求回归方程为y＝0.077 4x－1.024 9.
解析答
^
^
^
跟踪训练2
以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和 110
21.6
房屋的面积 xx 的数据： 房屋面积 (m2) 115 销售价格y(万元) 24.8
80
18.4
135
29.2
105
22
(1)画出数据对应的散点图； 解 数据对应的散点图如图所示：
靠拢 .现在这个概念引伸到随机变量有向回归线集中的
趋势 .即观察值不是全落在回归线上，而是散布在回归 线周围 . 但离回归线越近，观察值越多，偏离较远的观 一条直线 察值极少，这种不完全呈函数关系，但又有一定数量 (1) 回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致 关系的现象称回归. 线性相关 在 附近，就称这两个变量之间具有 回归直线 关系，这条直线叫做回归直线 . (2) 回归方程： 对应的方程叫做回归直线的方 (3) 回归方程 y＝bx＋a，其中b是回归方程的斜率， a是截距. 程，简称回归方程. 答案
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附 近，就称这两个变量之间具有线性相关关系. 两个变量线性相关是相关关系的一种.
答案
知识点二 答案
回归直线的方程
思考 数学上的“回归”是什么意思？ “ 回 归 ” 一 词 最 早 由 英 国 统 计 学 家 (Francils
Galton) 提出的，本意是子女的身高会向一般人的均值
解析答
(2)如果具有线性相关关系，求出回归方程.
解 计算相应的数据之和：
i＝1
xi＝1 031， yi＝71.6，
i＝1
8
8
i＝1
x2 i ＝137 835， xiyi＝9 611.7，
解析答
^
^
^
跟踪训练2
以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和 110
21.6
房屋的面积 xx 的数据： 房屋面积 (m2) 115 销售价格y(万元) 24.8
80
18.4
135
29.2
105
22
(1)画出数据对应的散点图； 解 数据对应的散点图如图所示：
靠拢 .现在这个概念引伸到随机变量有向回归线集中的
趋势 .即观察值不是全落在回归线上，而是散布在回归 线周围 . 但离回归线越近，观察值越多，偏离较远的观 一条直线 察值极少，这种不完全呈函数关系，但又有一定数量 (1) 回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致 关系的现象称回归. 线性相关 在 附近，就称这两个变量之间具有 回归直线 关系，这条直线叫做回归直线 . (2) 回归方程： 对应的方程叫做回归直线的方 (3) 回归方程 y＝bx＋a，其中b是回归方程的斜率， a是截距. 程，简称回归方程. 答案
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附 近，就称这两个变量之间具有线性相关关系. 两个变量线性相关是相关关系的一种.
答案
知识点二 答案
回归直线的方程
思考 数学上的“回归”是什么意思？ “ 回 归 ” 一 词 最 早 由 英 国 统 计 学 家 (Francils
Galton) 提出的，本意是子女的身高会向一般人的均值
解析答
(2)如果具有线性相关关系，求出回归方程.
解 计算相应的数据之和：
i＝1
xi＝1 031， yi＝71.6，
i＝1
8
8
i＝1
x2 i ＝137 835， xiyi＝9 611.7，
高中数学优质课件2-3-2两个变量的线性相关课件
(x1， y1)
(xn，yn)
(x2，y2)
可以用 yi yˆi 或（yi yˆi）2，其中yˆi bxi a.
诱思探究7
为了从整体上反映n个样本数据与回归直线的接近程度，你认为选用哪个 数量关系来刻画比较合适？
(x1， y1)
(xi，yi)
(xn，yn)
(x2，y2)
n
Q (yi yˆi )2 i 1
5 0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
在直角坐标系中，任何一条直线都有相应的方程，回归直线的方程 称为回归方程.对一组具有线性相关关系的样本数据，如果能够求出它 的回归方程，那么我们就可以比较具体、清楚地了解两个相关变量的内 在联系，并根据回归方程对总体进行估计.
诱思探究4 回归直线与散点图中各点的位置应具有怎样的关系？
bˆ i1 n
( xi x)2
i 1 n
xi 2
2
nx
i 1
i 1
aˆ y bˆx
回归方程为： yˆ bˆx aˆ
诱思探究8
利用计算器或计算机可求得年龄和人体脂肪含量的样本数据的回 归方程为 yˆ 0.577 x 0.448，由此我们可以根据一个人个年龄预 测其体内脂肪含量的百分比的回归值.若某人37岁，则其体内脂肪含 量的百分比约为多少？
诱思探究2
4.线性相关关系的有关概念：如果散点图中的点的分 布，从整体上看大致在一条直线附近，则称这两个变 量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线.
诱思探究3
对具有线性相关关系的两个变量，其回归直线一定通过样本点 的中心吗？
脂肪含量
回归直线一定通过样本 点的中心.
40 35 30 25 20 15 10
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25 20 15 10 5
年龄
0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
通过分析、观察可以看到：随着年龄的增长， 人体脂肪含量越高，这源自明两个变量之间的确存 在一定的关系。
脂肪含量 40
35 30
25 20 15 10 5
递增我们叫它 们正相关
递减我们叫它 们负相关
年龄
0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
分之百的保证对应于x，预报值 yˆ 能够等于
实际值y。事实上，y=bx+a+e=y ˆ+e，这里的
e是随机值，预报值 yˆ 与实际值y的平均接近
程度有随机值e的标准差所决定。
2.数据的热点散图为：
从这个热点图中可以看出，鸟的种类数与海拔高 度应该为正相关（事实上相关系数为0.793）。但是 从热点分布特点来看，它们之间线性相关性不强。
A.变量x与y正相关，u与v正相关 B.变量x与y正相关，u与v负相关 C.变量x与y负相关，u与v正相关 D.变量x与y负相关，u与v负相关
解析：
本题主要考查两个变量的线性相关性， 由图①可看出离散点分布在一条斜率为负 的直线周围，所以变量x,y成负相关；而图 ②的离散点分布在一条斜率为正的直线周 围，所以变量u,v成正相关。
B .y ˆ1.755.75x C .y ˆ1.755.75x D .y ˆ5.751.75x
习题答案
1.当x=0时，yˆ =147.767 ，这个值与实际卖出
的热饮杯数150不符，原因是：线性回归方程 中的截距和斜率都是通过样本估计的，存在随 机误差，这种误差可以导致预测结果的偏差； 即使截距和斜率的估计没有误差，也不可能百
33
于是，线性回归方程为 y=57.557-1.648x
（2）由回归方程知，当某天的气温是-3℃时， 卖出的热茶杯数为
57.557-1.648×(-3)≈63(杯）
课堂小结
1. 回归直线
从散点图可以看出：所有的点大致在一 条直线附近波动，我们称这两个变量间存在 线性相关关系，这条直线叫做回归直线 (regression line) 。
随堂练习
1. 球的体积和球的半径具有（ A ）
A. 函数关系
B. 相关关系
C. 不确定关系
D. 无任何关系
2. 下列两个变量之间的关系不是函数关系的是（ D）
A.角的度数和正弦值 B. 速度一定时，距离和时间的关系 C. 正方体的棱长和体积 D. 日照时间和水稻的亩产量
3.三点(3,10),(7,20),(11,24)的线性回归方程是 ( D ) A .y ˆ5.751.75x
2. 最小二乘法法
即各点到该直线的距离的平方和最小， 这一方法叫最小二乘法。
3. 最小二乘法法的步骤
1.首先要作出数据的散点图，利用散点图观 察数据是否具有线性关系；
2.散点图呈现线性关系时，利用最小二乘公 式求出回归方程；
3.求出相应的解。
高考链接
1（2009宁夏、海南）对变量x,y有观测数据（xi,yi） （i=1,2,…,10),得散点图①；对变量u,v有观测数据 (ui,vi)（i=1，2，….，10），得散点图②。由这两个 散点图可以判断（ C ）
Hypertension
• Concept: systemic blood pressure increase target organ damaged(brain,heart , eye, kidn vessel), metabolism changed
最小二乘法。
知识要 点
最小二乘法
即各点到该直线的距离的平方和最小， 这一方法叫最小二乘法。
最小二乘法的计算公式：
n
n
(
xi
x)(
y i
y)
xi
y i
nx
y)
b i1 n
2
(xix)
i1
x nx i1 n
2
, 2
i1 i
a ybx
下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数(y)与当天 气温(x)的对比表：
(1)试用最小二乘法求出线性回归方程； (2)如果某天的气温是-3℃，请预测这天可能会卖 出热茶多少杯 ？
解： (1)作散点图如图所示
由散点图知两个变量是线性相关的，计算各 种数据如下表：
分步计算 减少出错
于是：x
35 3
,
y
115 3
19106 35115
则：
b
33 12866 35 35
1.648a 57.557
2.3.2 两个变量的线性关系
教学重难点
重点
1.了解最小二乘法的思想； 2.根据给出的线性回归方程的系数公式建立线 性回归方程，变量之间相关关系的理解。
难点
回归思想的建立； 对回归直线与观测数据的关系的理解。
在一次对人体脂肪含量和年龄的关系研究 中,研究人员获得了一份样本数据:
说明:各个年龄阶段的脂肪数据是这个年龄样本的平均数 根据上述数据,人体的脂肪含量与年龄之间有
什么样的关系?
分析:从总体上看随着年龄的增长,脂肪含量也 在增加,为了确定这一关系的细节,我们需要对数据 进行分析,我们可以通过前面的做统计图表的方法 分析,我们可以对两个变量间的关系有一个直观上 的影响和判断.我们也可以通过下面的图(散点图 (scatter plot))来分析:
脂肪含量 40
35 30
高中数学A版2.3.2-两个变量的 线性关系优秀课件
2. 前面我们学习了现实生活中存在许多相关关系： 商品销售与广告、粮食生产与施肥量、人体的脂肪量与 年龄等等的相关关系。
3. 通过收集大量的数据，进行统计，对数据分析， 找出其中的规律，对其相关关系作出一定判断.
4. 由于变量之间相关关系的广泛性和不确定性，所以 样本数据应较大和有代表性，才能对它们之间的关系 作出正确的判断。
怎样求线性回归方程呢？
想一想
方法
1. 测量法:移动直线l使所有点到它的距离之和最小
2.两点确定法:选取两点作直线,使其两边点个数一 样
3.分组法:将点进行分组点,分别求其斜率和截距, 求平均值
如何用你熟悉的数学知识来刻画“从整体上 看各点与此直线距离最短”呢？
人们经过长期的实践与研究，已经找到了 计算回归方程的斜率与截距的一般公式:
知识要 点
回归直线
从散点图可以看出：所有的点大致在一 条直线附近波动，我们称这两个变量间存在 线性相关关系，这条直线叫做回归直线 (regression line) 。
如果可以求出这条直线的方程(回归方程),那 么我们就可以比较清楚的了解年龄与体内脂肪含 量的相关性.这条直线就可以作为两个变量具有线 性相关关系的代表
年龄
0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
通过分析、观察可以看到：随着年龄的增长， 人体脂肪含量越高，这源自明两个变量之间的确存 在一定的关系。
脂肪含量 40
35 30
25 20 15 10 5
递增我们叫它 们正相关
递减我们叫它 们负相关
年龄
0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
分之百的保证对应于x，预报值 yˆ 能够等于
实际值y。事实上，y=bx+a+e=y ˆ+e，这里的
e是随机值，预报值 yˆ 与实际值y的平均接近
程度有随机值e的标准差所决定。
2.数据的热点散图为：
从这个热点图中可以看出，鸟的种类数与海拔高 度应该为正相关（事实上相关系数为0.793）。但是 从热点分布特点来看，它们之间线性相关性不强。
A.变量x与y正相关，u与v正相关 B.变量x与y正相关，u与v负相关 C.变量x与y负相关，u与v正相关 D.变量x与y负相关，u与v负相关
解析：
本题主要考查两个变量的线性相关性， 由图①可看出离散点分布在一条斜率为负 的直线周围，所以变量x,y成负相关；而图 ②的离散点分布在一条斜率为正的直线周 围，所以变量u,v成正相关。
B .y ˆ1.755.75x C .y ˆ1.755.75x D .y ˆ5.751.75x
习题答案
1.当x=0时，yˆ =147.767 ，这个值与实际卖出
的热饮杯数150不符，原因是：线性回归方程 中的截距和斜率都是通过样本估计的，存在随 机误差，这种误差可以导致预测结果的偏差； 即使截距和斜率的估计没有误差，也不可能百
33
于是，线性回归方程为 y=57.557-1.648x
（2）由回归方程知，当某天的气温是-3℃时， 卖出的热茶杯数为
57.557-1.648×(-3)≈63(杯）
课堂小结
1. 回归直线
从散点图可以看出：所有的点大致在一 条直线附近波动，我们称这两个变量间存在 线性相关关系，这条直线叫做回归直线 (regression line) 。
随堂练习
1. 球的体积和球的半径具有（ A ）
A. 函数关系
B. 相关关系
C. 不确定关系
D. 无任何关系
2. 下列两个变量之间的关系不是函数关系的是（ D）
A.角的度数和正弦值 B. 速度一定时，距离和时间的关系 C. 正方体的棱长和体积 D. 日照时间和水稻的亩产量
3.三点(3,10),(7,20),(11,24)的线性回归方程是 ( D ) A .y ˆ5.751.75x
2. 最小二乘法法
即各点到该直线的距离的平方和最小， 这一方法叫最小二乘法。
3. 最小二乘法法的步骤
1.首先要作出数据的散点图，利用散点图观 察数据是否具有线性关系；
2.散点图呈现线性关系时，利用最小二乘公 式求出回归方程；
3.求出相应的解。
高考链接
1（2009宁夏、海南）对变量x,y有观测数据（xi,yi） （i=1,2,…,10),得散点图①；对变量u,v有观测数据 (ui,vi)（i=1，2，….，10），得散点图②。由这两个 散点图可以判断（ C ）
Hypertension
• Concept: systemic blood pressure increase target organ damaged(brain,heart , eye, kidn vessel), metabolism changed
最小二乘法。
知识要 点
最小二乘法
即各点到该直线的距离的平方和最小， 这一方法叫最小二乘法。
最小二乘法的计算公式：
n
n
(
xi
x)(
y i
y)
xi
y i
nx
y)
b i1 n
2
(xix)
i1
x nx i1 n
2
, 2
i1 i
a ybx
下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数(y)与当天 气温(x)的对比表：
(1)试用最小二乘法求出线性回归方程； (2)如果某天的气温是-3℃，请预测这天可能会卖 出热茶多少杯 ？
解： (1)作散点图如图所示
由散点图知两个变量是线性相关的，计算各 种数据如下表：
分步计算 减少出错
于是：x
35 3
,
y
115 3
19106 35115
则：
b
33 12866 35 35
1.648a 57.557
2.3.2 两个变量的线性关系
教学重难点
重点
1.了解最小二乘法的思想； 2.根据给出的线性回归方程的系数公式建立线 性回归方程，变量之间相关关系的理解。
难点
回归思想的建立； 对回归直线与观测数据的关系的理解。
在一次对人体脂肪含量和年龄的关系研究 中,研究人员获得了一份样本数据:
说明:各个年龄阶段的脂肪数据是这个年龄样本的平均数 根据上述数据,人体的脂肪含量与年龄之间有
什么样的关系?
分析:从总体上看随着年龄的增长,脂肪含量也 在增加,为了确定这一关系的细节,我们需要对数据 进行分析,我们可以通过前面的做统计图表的方法 分析,我们可以对两个变量间的关系有一个直观上 的影响和判断.我们也可以通过下面的图(散点图 (scatter plot))来分析:
脂肪含量 40
35 30
高中数学A版2.3.2-两个变量的 线性关系优秀课件
2. 前面我们学习了现实生活中存在许多相关关系： 商品销售与广告、粮食生产与施肥量、人体的脂肪量与 年龄等等的相关关系。
3. 通过收集大量的数据，进行统计，对数据分析， 找出其中的规律，对其相关关系作出一定判断.
4. 由于变量之间相关关系的广泛性和不确定性，所以 样本数据应较大和有代表性，才能对它们之间的关系 作出正确的判断。
怎样求线性回归方程呢？
想一想
方法
1. 测量法:移动直线l使所有点到它的距离之和最小
2.两点确定法:选取两点作直线,使其两边点个数一 样
3.分组法:将点进行分组点,分别求其斜率和截距, 求平均值
如何用你熟悉的数学知识来刻画“从整体上 看各点与此直线距离最短”呢？
人们经过长期的实践与研究，已经找到了 计算回归方程的斜率与截距的一般公式:
知识要 点
回归直线
从散点图可以看出：所有的点大致在一 条直线附近波动，我们称这两个变量间存在 线性相关关系，这条直线叫做回归直线 (regression line) 。
如果可以求出这条直线的方程(回归方程),那 么我们就可以比较清楚的了解年龄与体内脂肪含 量的相关性.这条直线就可以作为两个变量具有线 性相关关系的代表