(word完整版)选修2-1-第三章-空间向量及其运算知识点,文档.docx

3.1 空间向量及其运算知识点

1． 空间向量的有关概念

(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)单位向量：模为 1 的向量称为单位向量 (3)相等向量：方向相同且模相等的向量．

(4)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量． (5)共面向量：平行于同一个平面的向量． 2.空间向量的加法、减法与数乘运算

向量的加减法满足平行四边形法则和三角形法则

向量加法的多边形法则：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量

uuur uuur uuuur uuuur uuuuur OA n ＝OA 1＋A 1 A 2＋ A 2 A 3＋ ＋A n －1 A .

n

运算律：①加法交换律： a ＋ b ＝ b ＋ a ②加法结合律： (a ＋ b)＋ c ＝ a ＋ (b ＋c) ③数乘分配律： λ(a ＋ b)＝ λa＋ λb.

3．共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理

对空间任意两个向量 a ， b(b ≠ 0)， a ∥b 的充要条件是存在实数 λ，使得 a ＝ λb .

推论： 点 P 在直线 AB 上的充要条件 是：

uuur

uuur

存在实数 λ，使得 AP

AB ①

uuur

uuur uur

或对空间任意一点

O,有 OP OA

AB ②

uuur uur uuur

或对空间任意一点

O ，有 OP

xOA yOB 其中 x ＋ y ＝ 1 ③

uuur uur uuur uur uuur uuur uur

uuur 【推论③推导过程：

OP OA AB OA (AO OB) (1

)OA

OB 】

(2)共面向量定理

如果两个向量 a ，b 不共线，那么 p 与 a ，b 共面的充要条件是存在唯一有序实数对 （x,y ）使 p ＝ xa ＋ yb

推论： 空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件 是

uuur uuur uuur

存在唯一有序实数对 （x,y ）使 AP xAB yAC ，

uuur uur uuur uuur

或对空间任意一点 O ，有 OP OA xAB yAC

uuur uur uuur uuur

或对空间任意一点 O ，有 OP xOA yOB zOC ，其中 x ＋ y ＋ z ＝ 1

【推论③推导过程：

(3)空间向量基本定理

uuur uur uuur uuur uur uuur

uuur OP OA xAB

yAC (1 x y)OA xOB

yOC 】

如果三个向量 a ， b ， c 不共面，那么对空间任一向量 p ，存在有序实数组 { x ， y ，z} ，使得 p ＝ xa ＋ yb ＋ zc 基底：把 { a ， b ， c} 叫做空间的一个基底，空间任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．

4． 空间向量的数量积及运算律

(1)数量积及相关概念

→ →

①两向量的夹角： 已知两个非零向量 a ，b ，在空间任取一点

O ，作 OA ＝ a ，OB ＝ b ，则∠ AOB 叫做向量 a 与 b 的夹

π

角，记作〈 a ，b 〉，其范围是 0≤〈 a ， b 〉≤ π，若〈 a ， b 〉＝ 2，则称 a 与 b 互相垂直，记作 a ⊥b. ②两向量的数量积： 已知空间两个非零向量 a ，b ，向量 a ， b 的数量积记作 a ·b ，且 a ·b ＝ |a||b|cos 〈 a ， b 〉．

(2)空间向量数量积的运算律：

①结合律： (λa) ·b ＝ λ(a ·b)； ②交换律： a ·b ＝ b ·a ； ③分配律： a ·(b ＋ c)＝ a ·b ＋ a ·c.

5． 空间向量的坐标表示及应用

设 a ＝ (a 1，a 2，a 3) ，b ＝ (b 1， b 2， b 3)

(1)数量积的坐标运算： a ·b ＝a 1 b 1＋ a 2b 2＋ a 3 b 3. (2)共线与垂直的坐标表示：

(3)模、夹角和距离公式：

|a|＝ a ·a ＝ 2

2

2

a 1＋ a 2＋ a 3，

a ·

b ＝ a 1b 1＋ a 2b 2 ＋a 3b 3 cos 〈 a ，b 〉＝ |a||b| 2 2 2

2 2 2 .

1 2 3 1 2 3

→

设 A(a 1， b 1， c 1)， B(a 2， b 2， c 2)，则 d AB ＝ |AB|＝

6. 用空间向量解决几何问题的一般步骤：

(1) 适当的选取基底 { a ， b ， c} ；

(2) 用 a ， b ， c 表示相关向量；

(3) 通过运算完成证明或计算问题．

)．

a 2－ a 1 2＋

b 2 －b 1 2＋

c 2－ c 1 2 .

题型一 空间向量的线性运算

用已知向量来表示未知向量，应结合图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，表示为其他向量的和与差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系．

例 1：三棱锥 O — ABC 中， M ， N 分别是 OA ， BC 的中点， G 是△ ABC 的重心，用基向量 → → →→

OA ， OB ， OC 表示 MG ，

→ .

OG

1 →

2 → 1 → 2 → →1 →

2 1 → →→1 → 1 → 1 → →→ →

解析： MG ＝MA ＋ AG ＝

OA ＋

AN ＝ OA ＋ (ON － OA)＝ OA ＋

3 [ (OB ＋ OC)－ OA] ＝－

6

OA ＋

OB ＋ OC.

2

3 2 3

2

2 3

3

→→

→

→

→ →

→

→

→ →

OG ＝OM ＋ MG ＝

1

OA －

1OA ＋1OB ＋ 1

OC ＝

1

OA ＋

1

OB ＋1

OC.

2

6

3

3 3

3

3 uuur uuur uuur uuur

→ 1 → →→

, 例 2：如图所示， ABCD － A 1B 1C 1D 1 中，ABCD 是平行四边形． 若 AE ＝ EC ，A 1F ＝ 2FD ，且 EF =x AB+y AD+z AA

2 1 试求 x 、 y 、 z 的值．

.解

→ → →

→ 1 → 1

→ →

连接 AF ，EF ＝EA ＋AF .

∵ EA ＝－

3 AC ＝－

（ AB ＋ AD ）

3

→

→ → → → → 1 →

→ 1 →

→

2 uuur 1

uuur

→ → → 1 uuur 1 uuur 1 uuur

AF ＝ AD ＋ DF ＝ AD －FD ＝ AD －

1 ＝ AD － （ A 1

＋ AD ）＝

3 AD

3

A 1

A

∴ EF ＝ EA ＋ AF ＝

3 AD

3

AA

1

3 AB

3A D

3

A

题型二

共线定理应用

向量共线问题： 充分利用空间向量运算法则，用空间中的向量表示 a 与 b ，化简得出 a ＝

b ，从而得出 a ∥ b ，即

a 与

b 共线．

→ →

点共线问题 ：证明点共线问题可转化为证明向量共线问题，如证明

A 、

B 、

C 三点共线，即证明

AB 与 AC 共线．

a ⊥b? a ·

b ＝0? a 1b 1＋ a 2b 2＋ a 3b 3＝ 0(a ， b 均为非零向量

a ∥b? a ＝ λb? a 1＝ λ

b 1，a 2 ＝λb 2， a 3＝ λb 3(λ∈ R)，