湘教版九上《建立一元二次方程模型》word教案

合集下载

【最新湘教版精选】湘教初中数学九上《2 第1课时一元二次方程教案.doc

【补充练习】判断下列方程，哪些是一元二次方程？
（1）x3－２ｘ2＋５＝０；（２）x2＝１；
（３）5x2-2x- =x2-2x+ ；（４）２（x＋１）2＝３（x＋１）；
（５）x2－２x＝x2＋１；（６）ax2＋bx＋c＝０
三、自主应用巩固新知
【例1】将方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
【例2】求证：关于x的方程（ m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
四、自主总结拓展新知
1、a≠0是ax2+bx+c=0成为一元二次方程的必要条件，否则，方程ax2+bx+c=0变为bx+c=0，就不是一元二次方程。
2、找一元二次方程中的二次项系数、一次项系数、常数项，应先将方程化为一般形式。
【练习】Р28 1、2题
板
书
设
计
一元二次方程
1、一元二次方程的定义例1
2、一元二次方程的一般形式
ax2+bx+c=0(a≠0)例2
学生练习
作业
教材第28页：A组第1、2题
教学反思
教具准备
教法
学法
合作，探究
教
学
过
程
一、自主学习感受新知
【问题1】有一块面积为900平方米的长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少？
【分析】设宽为x米，则列方程得：；
整理得①
【问题2】学校图书馆去年年底有图书5万册，预计至明年年底增加到7.2万册，求这两年的年平均增长率。
【分析】设这两年的年平均增长率为x，则列方程得：；

湘教版九年级数学(教案)一元二次方程1-6课时

4、如何确定一元二次方程一次项系数和常数项？
六、作业：
教材P4T 1（A组）教材P5T1（B组）
教学后记：
第2课时
课题
一元二次方程的解法（1）
课型
新授课
教学目标
知识技能：
1、会用直接开平方法解形如（a≠0,ab≥0）的方程；
2、灵活应用因式分解法解一元二次方程。
过程方法：
使学生了解转化的思想在解方程中的应用，渗透换元方法。
二、创设问题情景
1、说一说：因式分解法适用于解什么形式的一元二次方程。
归纳结论：因式分解法适用于解一边为0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。
2、想一想：展示课本1.1节问题二中的方程0.01t2－2t＝0，这个方程能用因式分解法解吗？
三、探究新知
引导学生探索用因式分解法解方程0.01t2－2t＝0，解答课本1.1节问题二。
（3）( x-2)2－x+2 =0（4）(2x+1)2=(x-1)2
（5）。
练习：教材P8练习题
四、本课小结：
1、对于形如（a≠0,a ≥0）的方程，只要把看作一个整体，就可转化为（n≥0）的形式用直接开平方法解。
2、当方程出现相同因式（单项式或多项式）时，切不可约去相同因式，而应用因式分解法解。
问题4：他们有什么共同点呢？
对于问题3和问题4，组织学生分组讨论，然后选代表发言，交流后达成共识。
三、归纳、探索
问题5：你能类比一元一次方程给上面两个方程起个名称吗？
（一元二次方程）
问题6：根据以上讨论的结果，你能给一元二次方程下个定义吗？
归纳为：整式方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程。

湘教数学九上《第2课时一元二次方程教案

第2课时一元二次方程教案预设目标1、会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念.2、会估算实际问题中方程的解，并理解方程解的实际意义.教学重难点重点：一元二次方程解的探索.难点：一元二次方程近似解的探索.教具准备教法学法合作，探究，讨论教学过程一、自主学习感受新知【问题1】把方程3x(x－1)=2(x+2)+8化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项.【问题2】判断下列方程哪些是一元二次方程？为什么？①x2+4x+x2=0 ②x2+3x－2= x2③x2－2xy－3=0 ④a x2+bx+c=0二、自主交流探究新知【探究】猜测方程2560x x--=的解是什么？【归纳】使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解，又叫作一元二次方程的根．【问题3】下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．【问题4】认真观察下列方程的结构形式，试写出下列方程的根，并说出你的理由.⑴x2-16=0 ⑵ (x+3)(x-2)=0⑶ (x-2)2=49 ⑷x2-2x+1=25三、自主应用巩固新知【例1】若x＝2是方程2450ax x+-=的一个根，你能求出a的值吗？【例2】若x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根，求代数式2007(a+b+c)的值.．3、已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．4、若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为1，则a+b+c= ；若有一个根是-1，则b与a、c之间的关系为；若有一个根为0，则c= .5、如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值．6、P29习题2.1第5、6、7题板书设计一元二次方程1、一元二次方程的一般形式例1ax2+bx+c=0(a≠0)例2学生练习作业教材第28页：习题A组第3、4题教学反思本资源的初衷，是希望通过网络分享，能够为广大读者提供更好的服务，为您水平的提高提供坚强的动力和保证。

湘教版九上1.3《一元二次方程的应用》word教案

1.3一元二次方程的应用(1)教学内容：一元二次方程根的应用（1）课型：新授课教学目标：知识技能：1、让学生在经历运用一元二次方程解决一些代数问题的过程中体会一元二次方程的应用价值。

2、在应用一元二次方程解决问题的过程中，提高学生的分析问题、解决问题的能力。

过程方法：通过分析问题列出方程解决问题情感态度价值观：体会数学知识在现实生活中的作用。

教学重点与难点：1．重点：建立一元二次方程模型解决一些代数问题。

2．难点：把一些代数问题化归为解一元二次方程的问题。

教学方法：合作探究法教学过程：一、复习提问1、回顾与思考：你已经学过了用什么样的方程解应用题？“列方程解应用题”你有什么经验？2、填空：（1）当x＝＿＿＿时，代数式3x－5与3＋2x的值互为相反数。

（2）当x＝＿＿＿时，代数式3x－5的值大于3＋2x的值。

（3）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）中当b2－4ac＿＿0时，方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac ＿＿0时，方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＿＿0时，方程没有实数根。

二、创设问题情境前面我们已经体会到方程是刻画现实世界中等量关系的工具，现在通过学习一元二次方程的应用能使我们进一步感受到方程的作用，数学的价值。

三、例题讲解例1 当x取什么值时，一元二次多项式x2－x－2与一元一次多项式2x－1的值相等。

例2 当y取什么值时，一元二次多项式（y－5）2＋9y2的值等于40？说明和建议：让学生明确解这类题的步骤是：首先用方程表示问题中的数量关系（即列出方程），然后将方程整理成一般形式并求解，最后作答。

四、练习：教材P22 T1五、小结：1、用一元二次方程解一些代数问题的基本步骤是什么？2、在本节课的解题中要注意一些什么问题？六、作业：1、教材P27 T1当x取什么值时，一元二次多项式x2－4x＋1的值等于－3？1.3一元二次方程的应用(2)教学内容：一元二次方程根的应用（2）课型：新授课教学目标：知识技能：1、使学生能根据量之间的关系，列出一元二次方程的应用题。

湘教版数学九上2.5《一元二次方程的应用》(第2课时)word教案

第2课时一元二次方程的应用（2）教学目标【知识与技能】会建立一元二次方程的模型解决实际问题，并能根据具体问题的实际意义，对方程解的合理性作出解释.【过程与方法】进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题，解决问题的能力，培养学生用数学的意识.【情感态度】让学生进一步感受一元二次方程的应用价值，提高学生的数学应用意识.【教学重点】应用一元二次方程解决实际问题.【教学难点】从实际问题中建立一元二次方程的模型.教学过程一、情景导入，初步认知复习列方程解应用题的一般步骤：（1）审题：仔细阅读题目，分析题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系；（2）设未知数：用字母（如x）表示题中的未知数，通常是求什么量，就设这个量为x；（3）列方程：根据题中已知量和未知量之间的关系列出方程；（4）解方程：求出所给方程的解；（5）检验：既要检验所求方程的解是否满足所列出的方程，又要检验它是否能使实际问题有意义；（6）作答：根据题意，选择合理的答案.2.说一说，矩形的面积与它的两邻边长有什么关系？【教学说明】复习相关知识，为本节课的学习作准备.二、思考探究，获取新知1.思考：如图，在一长为40cm，宽为28cm的矩形铁皮的四角截去四个全等的小正方形后，折成一个无盖的长方体盒子，若已知长方体盒子的底面积为364平方厘米，求截去的四个小正方形的边长.（1）引导学生审题，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系；（2）确定本题的等量关系是：盒子的底面积=盒子的底面长×盒子的底面宽；（3）引导学生根据题意设未知数；（4）引导学生根据等量关系列方程；（5）引导学生求出所列方程的解；（6）检验所求方程的解合理性；（7）根据题意作答.【教学说明】设未知数和作答时都不要漏写单位，多项式时要加括号再写单位.2.如图，一长为32m，宽为20m的矩形地面上修建有同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分进行了绿化，若已知绿化面积为540m2，求道路的宽.分析：本题考查了一元二次方程的应用，这类题目体现了数形结合的思想，如图，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案．还要注意根据题意考虑根的合理性，从而确定根的取舍．本题可设道路宽为x米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了（32-x）（20-x）米2，进而即可列出方程，求出答案．解：设道路宽为x米（32-x）(20-x)=540解得：x1=2，x2=50（不合题意，舍去）∴x=2答：设道路宽为2米3.如图所示，在△ABC中，∠C=90°,AC=6cm.BC=8cm,点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动，同时点Q沿CB边从C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点达到终点时，另一点也随之停止移动，问点P、Q出发几秒后，可使△PCQ的面积为9cm2?解：设xs后，可使△PCQ的面积为9cm2．由题意得，AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm则1/2·(6－x)·2x=9．整理，得x2-6x+9=0，解得x1=x2=3．所以P、Q同时出发，3s后可使△PCQ的面积为9cm2．【教学说明】使学生感受、明白在几何图形中利用一元二次方程解决实际问题的过程与方法.三、运用新知，深化理解1.如图，某中学为方便师生活动，准备在长30m，宽20m的矩形草坪上修两横两纵四条小路，横纵路的宽度之比为3∶2，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，若横路宽为3xcm，则可列方程为.分析：若设小路的横路宽为3xm，则纵路宽为2xm，我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横四条路移动一下（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路），则余下的草坪面积可用含x 的代数式表示为(30-4x)(20-6x)m2，又由题意可知余下草坪的面积为原草坪面积的四分之三，可列方程.则可列方程：(30－4x)(20－6x)=3/4×30×20【答案】（30-4x）(20-6x)=3/4×30×202.在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是( )A.x2+130x-1400=0B.x2+65x-350=0C.x2-130x-1400=0D.x2-65x-350=0【答案】 B3.如图，利用一面墙(墙的长度不超过45m)，用80m长的篱笆围一个矩形场地．(1)怎样围才能使矩形场地的面积为750m2？(2)能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么？解：（1）设所围矩形ABCD的长AB为x米，则宽AD为12（80-x）米．依题意，得x·1/2（80-x）=750．即，x2-80x+1500=0，解此方程，得x1=30，x2=50．∵墙的长度不超过45m，∴x2=50不合题意，应舍去．当x=30时，1/2（80-x）=1/2×（80-30）=25，所以，当所围矩形的长为30m、宽为25m时，能使矩形的面积为750m2．（2）不能．因为由x·1/2（80-x）=810得x2-80x+1620=0．又∵b2-4ac=（-80）2-4×1×1620=-80＜0，∴上述方程没有实数根．因此，不能使所围矩形场地的面积为810m2．4.如图①，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的边．如图②，地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方米．求花边的宽．分析：本题可根据地毯的面积为40平方米来列方程，其等量关系式可表示为：（矩形图案的长+两个花边的宽）×（矩形图案的宽+两个花边的宽）=地毯的面积．解：设花边的宽为x米，根据题意得（2x+6）（2x+3）=40，解得x1=1，x2=-11/2，x2=-11/2不合题意，舍去．答：花边的宽为1米．5.我校原有一块正方形空地，后来在这块空地上划出部分区域栽种花草(如图)，原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，使剩余的空地面积为12m2，求原正方形的边长．分析：本题可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x-1）m，宽为（x-2）m．根据长方形的面积公式方程可列出，进而可求出原正方形的边长．解：设原正方形的边长为xm，依题意有（x-1）（x-2）=12整理，得x2-3x-10=0．∴（x-5）（x+2）=0，∴x1=5，x2=-2（不合题意，舍去）答：原正方形的边长5m．6.小明家有一块长8m，宽6m的矩形空地，现准备在该空地上建造一个十字花园(图中阴影部分)，并使花园面积为空地面积的一半，小明设计了如图的方案，求图中的x值．解：据题意，得（8-x）（6-x）=1/2×8×6．解得x1=12，x2=2．x1不合题意，舍去．∴x=2．【教学说明】进一步提高分析问题、解决问题的能力，深刻体会方程的思想方法在解应用问题中的用途.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业：教材“习题2.5”中第3、4、7题.教学反思本节课以学生熟悉的现实生活为问题的背景，让学生从具体的问题情境中抽象出数量关系，归纳出变化规律，并能用数学符号表示，最终解决实际问题.这类注重联系实际考查学生数学应用能力的问题，体现时代性，并且结合社会热点、焦点问题，引导学生关注国家、人类和世界的命运.既有强烈的德育功能，又可以让学生从数学的角度分析社会现象，体会数学在现实生活中的作用.。

新湘教版九年级上册数学第2章 21 一元二次方程教案

新湘教版九年级上冊数学第2章一元二次方程2.1 一元二次方程学习目标：1、通过实例引导学生建立一元二次方程模型；2、掌握一元二次方程的一般形式，能够区分一元二次方程与一元一次方程、分式方程；3、在把实际问题转化为一元二次方程模型的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性，通过情境教学，培养学生应用能力4、通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．学习重点：一元二次方程的一般形式以及与其它方程的区别；学习难点：一元二次方程建模学习过程：一、复习：解下列方程：(1)x x 2161312=++ (2) 22211x x x =-+二、探新知：自读课本P 26～P 27“动脑筋”部分的两个实际问题列出两个方程 1、200×150-32x =200×150×43 化简，整理得 _______________= 02、75 × 2)1(x + = 108化简，整理得 _______________= 0因此得到如下两方程：①_______________________ ②_____________________思考：以上两方程分别只含有____个未知数，并且未知数的最高次数为____，因此可得如下结论：(一元二次方程的定义)如果一个方程通过整理可以使右边为0，而左边是只含有____个未知数的____次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程.它的一般形式是：_________________ （a 、b 、c 是已知数，a ≠0）a → 二次项系数b → 一次项系数c → 常数项注意：一元二次方程有以下几种情况：①2340x x += → 23400x x ++= ( _____项为0)②2340x -= → 23040x x +-=g (______项为0)③225124x x x +=+ → 23410x x -+= (需要移 ___ )④250x = (只有____项)三、达标检测练：1、指出下列方程是哪些是一元—次方程？哪些是分式方程？哪些是一元二次方程？(1)2x 2 = 3x+7 (2)3(x-1)2+2x=1 (3)3-2x=1 (4)23(1+x)=x-2 (5)2x+1=43x - (6)t311341-3t t -=- (7)2122y 1y -=- (8)3x 2+2x=0 (9)x 2 -4=0 解： __________________是一元—次方程；__________________是一元二次方程；__________________是分式方程2、若(m-1)12+m x = 7是关于x 的一元二次方程，则m=3、把下列方程写成一般形式，指出它是什么方程、并且分别指出它们的二次项系数，一次项系数和常数项.(1) 2x 2+5x=x-8 (2) 3(x+1)2 -5= 2x+1。

湘教版数学九年级上册2.1《一元二次方程》教学设计

湘教版数学九年级上册2.1《一元二次方程》教学设计一. 教材分析湘教版数学九年级上册2.1《一元二次方程》是整个初中数学的重要内容，它不仅是一元二次方程知识体系的延续和拓展，也是对之前所学知识的综合运用。

本节课的内容主要包括一元二次方程的定义、解法、应用等方面。

通过本节课的学习，让学生掌握一元二次方程的基本知识，能够解决实际问题，为后续的学习打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了有理数的运算、方程的知识，对解方程有一定的了解。

但一元二次方程相对复杂，需要学生在已有的知识体系上进行进一步的推理和理解。

同时，学生需要掌握一元二次方程的解法，以及如何将实际问题转化为数学问题，这都需要学生在学习过程中进行深入的思考和实践。

三. 教学目标1.理解一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的解法。

2.能够将实际问题转化为数学问题，并运用一元二次方程进行解决。

3.培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.一元二次方程的定义，以及一元二次方程的解法。

2.如何将实际问题转化为数学问题，并运用一元二次方程进行解决。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究一元二次方程的定义和解法。

2.采用案例分析法，让学生通过实际问题，理解一元二次方程的应用。

3.采用小组合作法，让学生在小组内进行讨论和交流，共同解决问题。

六. 教学准备1.准备相关的教学案例，用于引导学生将实际问题转化为数学问题。

2.准备一元二次方程的解法教程，用于让学生掌握一元二次方程的解法。

3.准备教学PPT，用于展示一元二次方程的定义和解法。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾已知的方程知识，为新知识的学习做好铺垫。

然后，教师给出一个实际问题，让学生尝试解决，从而引出一元二次方程的概念。

2.呈现（15分钟）教师通过PPT展示一元二次方程的定义，让学生了解一元二次方程的基本形式。

接着，教师讲解一元二次方程的解法，包括因式分解法、公式法等，让学生掌握解一元二次方程的方法。

九年级数学上册第一章第1节建立一元二次方程模型湘教版

九年级数学上册第一章第1节建立一元二次方程模型湘教版【本讲教育信息】一. 教学内容：建立一元二次方程模型【教学目标】1. 了解一元二次方程的概念，并能准确地判断一元二次方程。

()2. 会把一个一元二次方程化为的形式，并能明确其中a x b x c a 200++=≠ 各项、各字母系数的名称。

3. 让学生通过学习、体验数学知识来源于实践。

二. 重点、难点： 1. 教学重点：（1）通过实际问题情境，让学生感受到方程知识在生活及学习环境中的实际意义，并能应用数学建模的思想列出方程，体会一元二次方程的意义。

（2）能将方程化成一般形式，抓住满足一元二次方程的三个条件： ①整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2。

2. 教学难点：理解并会用一元二次方程的一般形式中a ≠0这一条件。

【主要内容】（一）一元二次方程的概念1. 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的整式方程，叫一元二次方程。

2. 满足一元二次方程的三个条件：（1）整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次项的次数为2，且该系数不能为0。

3. 能准确判断一元二次方程如：，123023222xx x x xx ++=+=-+250230222x x y k x x k +-=+-=，（为常数）32202122x x x +-==，（二）一元二次方程的一般形式：a x b x c a 200++=≠()1. a ≠0是一元二次方程成立的先决条件。

2. 一般形式中各部分的名称：a x a 2——二次项，其中是二次项系数b x b ——一次项，其中是一次项系数c ——常数项3. 任何一个一元二次方程经整理后都能化为一般形式我们只强调a ≠0，才是一元二次方程，但b 、c 可为0。

如：形如，，等都是一a x b x a a x c a a x a 222000000+=≠+=≠=≠()()() 元二次方程。

（三）生产和生活中很多知识用方程来解，前面我们已学过……同样一元二次方程也来源于生活，并服务于生活，解决这类问题，需要认真分析题意，理清题目中的数量关系，寻找题目中的等量关系，正确地列出方程，这些内容后面我们将专门学习。

湘教版九年级数学教案-一元二次方程

【繁體轉換簡體方法】打開文檔---功能表列---審閱---繁轉簡---轉換完成【簡體轉換繁體方法】打開文檔---功能表列---審閱---簡轉繁---轉換完成21.1 一元二次方程教學內容本節課主要學習一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有關概念．教學目標知識技能探索一元二次方程及其相關概念，能夠辨別各項係數；能夠從實際問題中抽象出方程知識．數學思考在探索問題的過程中使學生感受方程是刻畫現實世界的一個模型，體會方程與實際生活的聯繫．解決問題培養學生良好的研究問題的習慣，使學生逐步提高自己的數學素養．情感態度通過用一元二次方程解決身邊的問題，體會數學知識應用的價值，提高學生學習數學的興趣，瞭解數學對促進社會進步和發展人類理性精神的作用．重難點、關鍵重點：一元二次方程的定義、各項係數的辨別，根的作用．難點：根的作用的理解．關鍵：通過提出問題，建立一元二次方程的數學模型，•再由一元一次方程的概念遷移到一元二次方程的概念．教學準備教師準備：製作課件，精選習題學生準備：複習有關知識，預習本節課內容教學過程一、情境引入【問題情境】問題1 如圖，有一塊矩形鐵皮，長100 cm，寬50 cm．在它的四個角分別切去一個正方形，然後將四周突出的部分折起，就能製作一個無蓋方盒．如果要製作的無蓋方盒的底面積是3 600 cm2，那麼鐵皮各角應切去多大的正方形？問題2 要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場．根據場地和時間等條件，賽程計畫安排7天，每天安排4場比賽，比賽組織者應該邀請多少個隊參賽？【活動方略】教師演示課件，給出題目．學生根據所學知識，通過分析設出合適的未知數，列出方程回答問題．【設計意圖】由實際問題入手，設置情境問題，激發學生的興趣，讓學生初步感受一元二次方程，同時讓學生體會方程這一刻畫現實世界的數學模型．二、探索新知學生活動：請口答下面問題．（1）上面幾個方程整理後含有幾個未知數？（2）按照整式中的多項式的規定，它們最高次數是幾次？（3）有等號嗎？或與以前多項式一樣只有式子？老師點評：（1）都只含一個未知數x；（2）它們的最高次數都是2次的；（3）都有等號，是方程．歸納：像這樣的方程兩邊都是整式，只含有一個未知數（一元），並且未知數的最高次數是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一個關於x的一元二次方程，•經過整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．這種形式叫做一元二次方程的一般形式．一個一元二次方程經過整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）後，其中ax2是二次項，a是二次項係數；bx是一次項，b是一次項係數；c是常數項．【設計意圖】主體活動，探索一元二次方程的定義及其相關概念．三、範例點擊例1 將方程3(1)5(2)-=+化成一元二次方程的一般形式，並指出各項係數．x x x解：去括弧得2-=+，x x x33510移項，合併同類項，得一元二次方程的一般形式2--=．38100x x其中二次項係數是3，一次項係數是－8，常數項是－10．學生活動：學生自主解決問題，通過去括弧、移項等步驟把方程化為一般形式，然後指出各項係數．教師活動：在學生指出各項係數的環節中，分析可能出現的問題（比如係數的符號問題）．【設計意圖】進一步鞏固一元二次方程的基本概念．例2 猜測方程2560x x --=的解是什麼？【活動方略】學生活動：學生可以採取多種方法得到方程的解，比如可以用嘗試的方法取x ＝1、2、3、4、5等，發現x ＝8時等號成立，於是x ＝8是方程的一個解，如此等等．教師活動：教師引導學生自主探索，多種途徑尋找方程的解，在此基礎上讓學生進行總結：使一元二次方程等號兩邊相等的未知數的取值叫作一元二次方程的解（又叫作根）．【設計意圖】探究一元二次方程根的概念以及作用．四、回饋練習課本P4 練習1、2題補充習題：1．將方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=•1化成一元二次方程的一般形式，並寫出其中的二次項、二次項係數；一次項、一次項係數；常數項．2．你能根據所學過的知識解出下列方程的解嗎？（1）2360x -=；（2）2490x -=．【活動方略】學生獨立思考、獨立解題．教師巡視、指導，並選取兩名學生上臺書寫解答過程（或用投影儀展示學生的解答過程）【設計意圖】檢查學生對基礎知識的掌握情況.五、應用拓展例3：求證：關於x 的方程（m 2-8m+17）x 2+2mx+1=0，不論m 取何值，該方程都是一元二次方程．分析：要證明不論m 取何值，該方程都是一元二次方程，只要證明m 2-8m+17•≠0即可．證明：m 2-8m+17=（m-4）2+1∵（m-4）2≥0∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0∴不論m 取何值，該方程都是一元二次方程．例4：有人解這樣一個方程7)1)(5(=-+x x ．解：x +5=1或x －1 = 7，所以x 1=－4，x 2 =8，你的看法如何？由7)1)(5(=-+x x 得到x +5=1或x －1=7，應該是x +5=1且x －1=7，同時成立才行，此時得到x =－4且x =8，顯然矛盾，因此上述解法是錯誤的．【活動方略】教師活動：操作投影，將例3、例4顯示，組織學生討論．學生活動：合作交流，討論解答。

【最新湘教版精选】湘教初中数学九上《2.5一元二次方程的应用》word教案 (1).doc

2.5 一元二次方程的应用第1课时一元二次方程的应用（1）教学目标【知识与技能】使学生会用列一元二次方程的方法解应用题.【过程与方法】让学生在经历运用一元二次方程解决一些代数问题的过程中体会一元二次方程的应用价值.【情感态度】在应用一元二次方程的过程中，提高学生的分析问题、解决问题的能力.【教学重点】建立一元二次方程模型解决一些代数问题.【教学难点】把一些代数问题化归为解一元二次方程的问题.教学过程一、情景导入，初步认知列方程解应用问题的步骤是什么？①审题，②设未知数，③列方程，④解方程，⑤答【教学说明】初一学过一元一次方程的应用，实际上是据实际题意，设未知数，列出一元一次方程求解，从而得到问题的解决．但有的实际问题，列出的方程不是一元一次方程，是一元二次方程，这就是我们本节课所研究的问题，一元二次方程的应用.二、思考探究，获取新知1.某省农作物秸秆资源巨大，但合理使用量十分有限，因此该省准备引进适用的新技术来提高秸秆的合理使用率，若今年的使用率为40％，计划后年的使用率达到90％，求这两年秸秆使用率的年平均增长率（假设该省每年产生的秸秆总量不变）分析：由于今年到后年间隔两年，所以问题中涉及的等量关系是：今年的使用率×（1+年平均增长率）2=后年的使用率解：设这两年秸秆使用率的年平均增长率为x，则根据等量关系，可列出方程：40％（1+x）2=90％解得：x1=50％,x2=-2.5根据题意可知：x=50％答：这两年秸秆使用率的年增长率为50％.2.为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元.求平均每次降价的百分率.分析：问题中涉及的等量关系是：原价×（1-平均每次降价的百分率）2=现在的售价解：设平均每次降价的百分率x，则根据等量关系，可列出方程：100（1-x)2=81解得：x1=10％,x2=1.9根据题意可知：x=10％答：平均每次降价的百分率为10％.3.“议一议”运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？【归纳结论】运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤：分析实际问题→建立一元二次方程模型→解一元二次方程→一元二次方程的根的检验→实际问题的解.【教学说明】使学生感受、明白利用一元二次方程解决实际问题的过程与方法.三、运用新知，深化理解1.见教材P50例2.2.一件商品的原价是121元，经过两次降价后的价格为100元．如果每次降价的百分率都是x，根据题意列方程得.【答案】 121（1-x）2=1003.某小区2013年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2015年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是多少？分析：本题需先设出这个增长率是x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x 的值，即可得出答案．解：设这个增长率是x，根据题意得：2000×（1+x）2=2880解得：x1=20%，x2=-220%（舍去）故答案为：20%．4.某电脑公司2012年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2014年经营总收入要达到2160万元，且计划从2012年到2014年，每年经营总收入的年增长率相同，问2013年预计经营总收入为多少万元？解：设每年经营总收入的年增长率为a.列方程，600÷40%×(1+a)2=2160解方程，a1=0.2a2=-2.2，(不符合题意，舍去)∴每年经营总收入的年增长率为0.2则2013年预计经营总收入为：600÷40%×(1+0.2)=600÷40%×1.2=1800答：2013年预计经营总收入为1800万元.5.将进货单价为40元的商品按50元售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，若这种商品涨价x元，则可赚得y元的利润.（1）写出x与y之间的关系式；（2）为了赚得8000元利润，售价应定为多少元，这时应进货多少个？解∶（1）商品的单价为50+x元，每个的利润是（50+x）-40元，销售量是500-10x个，则依题意得y=［（50+x）-40］（500-10x），即y=-10x2+400x+5000.（2）依题意，得-10x2+400x+5000=8000.整理，得x2-40x+300=0.解得x1=10,x2=30.所以商品的单价应定为50+10=60（元）或50+30=80（元）.当商品的单价为60元时，其进货量只能是500-10×10=400（个）；当商品每个单价为80元时，其进货量只能是500-10×30=200（个）.6.“国运兴衰，系于教育”图中给出了我国从1998─2002年每年教育经费投入的情况．(1)由图可见，1998─2002年的五年内，我国教育经费投入呈现出趋势；(2)如果我国的教育经费从2002年的5500亿元，增加到2004年7920亿元，那么这两年的教育经费平均年增长率为多少？解：（1）上升或增长．（2）设平均每年增长率为x．依题意，5500（1+x）2=7920解得x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）．答：这两年的教育经费平均年增长率为20%．【教学说明】进一步提高分析问题、解决问题的能力，深刻体会方程的思想方法在解应用问题中的用途．四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业：教材“习题2.5”中第1、2题.教学反思《一元二次方程的应用——增长率及利润问题》与我们的生活密切相关，在解决增长率问题时，要弄清关键词语的含义和有关数量间的关系，掌握其规律，还应注意各种数据变化的基础，针对本节课的内容，制作了多媒体教学课件，让学生在探讨、练习中完成所学内容.本节课中，同学们能积极投入到课堂教学中，认真思考、讨论，踊跃发言，课堂气氛活跃，在个别问题的回答上，学生大胆发言，配合默契，达到了积极的教学效果.。

湘教版-数学-九年级上册- 教案 2.1 一元二次方程

第2章一元二次方程2．1 一元二次方程1．会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想．2．能理解一元二次方程的概念；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．阅读教材P26～27，完成下列问题：(一)知识探究如果一个方程通过整理可以使右边为________，而左边是只含有________个未知数的________次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是____________，其中________，________，________分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项．二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号．二次项系数a≠0是一个重要条件，不能漏掉．(二)自学反馈1．下列方程中，是一元二次方程的是( )A ．x －y 2＝1 B.x 2－1＝0C.1x 2－1＝0D.x 22－x －13＝0 2．将方程(2x ＋1)x ＝(3x －2)x ＋2化简整理写成一般形式后，其中a 、b 、c 分别是____________．活动1 小组讨论例1 判断下列方程是否为一元二次方程：(1)1－x 2＝0； (2)2(x 2－1)＝3y ； (3)2x 2－3x －1＝0；(4)1x 2－2x＝0； (5)(x ＋3)2＝(x －3)2； (6)9x 2＝5－4x. 解：(1)是；(2)不是；(3)是；(4)不是；(5)不是；(6)是．(1)一元二次方程为整式方程；(2)类似(5)这样的方程要化简后才能判断．例2 将方程(8－2x)(5－2x)＝18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．解：方程(8－2x)(5－2x)＝18化成一元二次方程的一般形式是2x 2－13x ＋11＝0，其中的二次项系数、一次项系数及常数项分别是2，－13，11.将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整．活动2跟踪训练1．下列方程哪些是一元二次方程？(1)7x2－6x＝0；(2)2x2－5xy＋6y＝0；(3)2x2－13x－1＝0；(4)x2＋2x－3＝1＋x2.2．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．(1)5x2－1＝4x；(2)4x2＝81；(3)4x(x＋2)＝25；(4)(3x－2)(x＋1)＝8x－3.3．已知方程(a－4)x2－(2a－1)x－a－1＝0.(1)a取何值时，方程为一元二次方程？(2)a取何值时，方程为一元一次方程？4．根据下列问题，列出关于x的方程：(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；(2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x；(3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.活动3课堂小结学生试述：今天学到了什么？【预习导学】知识探究0一二ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是已知数，a≠0)a b c自学反馈1．D 2.3－2，－3，2【合作探究】活动2跟踪训练1．(1)是一元二次方程． 2.(1)5x2－4x－1＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是5，－4，－1.(2)4x2－81＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是4，0，－81.(3)4x2＋8x－25＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是4，8，－25.(4)3x2－7x＋1＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是3，－7，1. 3.(1)a≠4.(2)a＝4.4.(1)4x2＝25.(2)x(x－2)＝100.(3)x＝(1－x)2.。

湘教版数学九年级上册_《一元二次方程》参考教案4

第2章一元二次方程课题一元二次方程1．会根据实际问题建立一元二次方程模型；2．理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，会判断二次项系数、一次项系数、常数项．3．注重培养观察、类比和归纳问题的能力；一元二次方程的概念和一般形式．由实际问题构建一元二次方程．投影片、作图工具等．一、情景导入感受新知如图，学校活动教室矩形地面的长为8 m，宽为 5 m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同．根据这一情境，结合已知量你能求出这个宽度吗？你能根据条件列出关于这个量的什么关系式？二、自学互研生成新知【自主探究】阅读教材P26～P27的内容，完成下面的问题：问题1：矩形的面积－圆的面积＝矩形的面积×3 4问题2：教材问题二的等量关系为：两年后的汽车拥有量＝前年的汽车拥有量×(1＋年平均增长率)2由以上两问题可得如下两方程：①200×150－3x2＝200×150×34，②75(1＋x)2＝108【合作探究】问题3：观察方程①②：它们分别含有几个未知数？未知数的最高次数是几？与我们学过的一元一次方程有什么异同？师生共同归纳：以上两方程分别只含有1个未知数，并且未知数的最高次数为2，因此可得如下结论：如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程．它的一般形式是：ax2＋bx＋c＝0(a、b、c是已知数，a≠0)a→二次项系数b→一次项系数c→常数项【师生活动】①明了学情：关注学生对一元二次方程定义的理解情况；②差异指导：对学生在探究中产生的疑惑及时引导、点拨；③生生互助：学生小组内交流讨论，相互释疑，达成共识．三、典例剖析运用新知例1：下列方程是关于x的一元二次方程的有__①④⑤__．(填序号)①4x2＝21；②2x2－3x＝y－1；③2x2＋3x－1＝0；④x22－x3－1＝0；⑤3x(x－1)＝5(x＋2)；⑥x(x－2)＝x2；⑦ax2＋bx＋c＝0(a、b、c为常数)．变式迁移：若关于x的方程(k＋1)x|k|＋1＋(k－1)x＋2＝0是一元二次方程，求k的值，并写出这个方程．解：由题意得：|k|＋1＝2，∴k＝±1.又∵k＋1≠0，∴k≠－1，∴k＝1.∴原方程为2x2＋2＝0.例2：把方程(1－3x)(x＋3)＝2x2＋1化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项，二次项系数，一次项，一次项系数及常数项．解：原方程化为一般形式是：5x2＋8x－2＝0(若写成－5x2－8x＋2＝0，则不符合人们的习惯)，其中二次项是5x2，二次项系数是5，一次项是8x，一次项系数是8，常数项是－2(因为一元二次方程的一般形式是三个单项式的和，所以不能漏写单项式系数的负号)．四、课堂小结回顾新知师生共同总结：1．一元二次方程的概念以及其一般形式：如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程．它的一般形式是：ax2＋bx＋c＝0(a、b、c是已知数，a≠0)．2．一元二次方程常见的几种情况．五、检测反馈落实新知1．若(m－1)xm2＋1－x＝7是关于x的一元二次方程，则m＝__－1__．2．把下列方程写成一般形式，并且分别指出它们的二次项系数，一次项系数和常数项．①3x－4＝x2；②3(1＋x)2＝3x＋7；③2x2＋5x＝x2－3.3．一元二次方程2x2－(m＋1)x＋1＝x(x－1)化成一般形式后二次项系数为1，一次项系数为－1，求m的值．解：原方程可化为x2－mx＋1＝0.∵一次项系数为－1，∴－m＝－1，即m＝1.六、课后作业巩固新知见学生用书．。

2012湘教版九上1.1《建立一元二次方程模型》word教案

内容1.1 建立一元二次方程模型节次第1课时上课时间修改批注撰稿人持有人教学目标1、在把实际问题转化为一元二次方程的模型的过程中，形成对一元二次方程的感性认识。

2、理解一元二次方程的定义，能识别一元二次方程。

3、知道一元二次方程的一般形式，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式，能写出一般形式的二次项系数、一次项系数和常数项。

重点难点重点：能建立一元二次方程模型，把一元二次方程整理成一般形式。

难点：把实际问题转化为一元二次方程的模型。

教学方法启发法，讲授法教学过程（一）创设情境前面我们曾把实际问题转化成一元一次方程和二元一次方程组的模型，大家已经感受到了方程是刻画现实世界数量关系的工具。

本节课我们将继续进行建立方程模型的探究。

1、展示课本P.2问题一引导学生设人行道宽度为xm，表示草坪边长为35-2xm，找等量关系，列出方程。

(35-2x)2=900 ①2、展示课本P．2问题二引导思考：小明与小亮第一次相遇以后要再次相遇，他们走的路程有何关系?怎样用他们再次相遇的时间表示他们各自行驶的路程？通过思考上述问题，引导学生设经过ts小明与小亮相遇，用s表示他们各自行驶的路程，利用路程方面的等量关系列出方程2t+ ×0.01t2=3t。

②3、能把①，②化成右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式的形式吗？让学生展开讨论，并引导学生把①，②化成下列形式：4x2-140x+325=0，③0.01t2-2t=0。

④（二）探究新知1、观察上述方程③和④，启发学生归纳得出：如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是：。

2023九年级数学上册第2章一元二次方程2.1一元二次方程教案(新版)湘教版

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究。学生可以尝试解决一些额外的一元二次方程问题，参加数学竞赛或探究一些与一元二次方程相关的数学项目。通过这些活动，学生可以进一步提高自己的数学能力，培养解决问题的思维方式。
3.引导学生利用网络资源进行拓展学习。学生可以通过搜索引擎查找一些与一元二次方程相关的学习资源，如在线教程、视频讲解、互动问题等。这样可以帮助学生从多个角度理解和掌握一元二次方程的知识，提高学习效果。
4.教室布置：根据教学需要，对教室进行适当的布置，如设置分组讨论区、实验操作台等，以便学生能够在不同的教学活动中进行有效的学习和交流。
5.教学工具：准备黑板、粉笔、多媒体设备等教学工具，以便在课堂上进行教学演示和讲解，同时能够及时展示学生的解答和讨论结果。
6.练习题库：准备一定数量的练习题，以便在课堂上进行巩固练习和课后作业的布置，帮助学生巩固所学知识，并提高他们的解题能力。
4.组织学生进行小组讨论或研究项目。学生可以组成小组，共同探讨一元二次方程在现实世界中的实际应用，或者研究一些与一元二次方程相关的研究项目。通过合作和交流，学生可以互相学习，共同提高。
5.提供一些与一元二次方程相关的数学游戏或应用程序。学生可以通过数学游戏或应用程序来巩固和加深对一元二次方程的理解。这些游戏和应用程序可以帮助学生更好地掌握解题技巧，提高数学思维能力。
3.素质层次：学生需要具备良好的学习习惯和合作精神，能够主动参与课堂讨论，积极完成课后作业。同时，学生需要具备一定的创新意识，能够运用所学知识解决实际问题。
4.行为习惯：学生在学习过程中可能存在对基础知识掌握不牢固的情况，需要教师进行个别辅导和指导。此外，部分学生可能存在对数学学科的抵触情绪，需要教师进行心理辅导，激发学生的学习兴趣。
此外，我发现学生在小组讨论的时候，有些学生参与度不高，讨论效果不理想。针对这个问题，我反思了自己在课堂上的引导方式，意识到需要更加注重学生的个体差异，鼓励每个学生都参与到讨论中来，让他们能够在讨论中学习和成长。

【最新湘教版精选】湘教初中数学九上《2.0第2章一元二次方程》word教案.doc

第二章一元二次方程教学目标【知识与技能】1.一元二次方程的相关概念.2.灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程.3.能运用一元二次方程的根的判别式判定方程的根的情况.4.能简单运用一元二次方程的根与系数的关系解决相关问题.5.构造一元二次方程解决简单的实际问题.【过程与方法】通过灵活运用解方程的方法，体会几种解法之间的联系与区别，进一步熟练根据方程特征找出最优解法.【情感态度】通过实际问题的解决，进一步熟练运用方程解决实际问题，体会方程思想在解决问题中的作用.【教学重点】运用知识、技能解决问题.【教学难点】解题分析能力的提高．教学过程一、知识框图，整体把握【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示本章知识结构图，使学生系统地了解本章知识及之间的关系.二、释疑解惑，加深理解1.一元二次方程的概念：如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是：ax 2+bx+c=0，(a ，b ，c 是已知数且a ≠0)，其中a ，b ，c 分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项.2.直接开平方法：对于形如（x+n ）2=d(d ≥0)的方程，可用直接开平方法解.直接开平方法的步骤是：把方程变形成（x+n ）2=d(d ≥0)，然后直接开平方得和.3.配方法：通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种方法称为配方法.用配方法解一元二次方程的步骤：（1）把方程化为一般形式ax 2+bx+c=0；（2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边；（3）若方程的二次项系数不为1时，方程两边同时除以二次项系数a ；（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．4.公式法：求根公式2b x a=－b 2-4ac ≥0）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．用公式法解一元二次方程的一般步骤：首先要把原方程化为一般形式，从而正确地确定a ，b ，c 的值；其次要计算b 2-4ac 的值，当b 2-4ac ≥0时，再用求根公式求解.5.因式分解法：利用因式分解来解一元二次方程的方法叫做因式分解法.因式分解法解一元二次方程的一般步骤：把方程化成一边为0，另一边是两个一次因式的乘积的形式，然后使每一个一次因式等于0，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解.6.一元二次方程的根的判别式：我们把b 2-4ac 叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“Δ”表示.即：Δ=b 2-4ac ⑴当Δ=b 2-4ac>0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个不相等实数根即1x =2x =. ⑵当Δ=b 2-4ac=0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个相等实数根⑶当Δ=b 2-4ac<0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）没有实数根.7.一元二次方程的根与系数的关系：当Δ≥0时，一元二次方程的根与系数之间具有以下关系：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比.即：8.运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤：实际问题建立一元二次方程模型解一元二次方程一元二次方程的根的检验实际问题的解.【教学说明】通过对重点知识的回顾为本节课的学习内容做好铺垫.三、典例精析，复习新知1．（1）方程(m+1)xm 2-2m-1+7x-m=0是一元二次方程，则m 是多少？分析：首先根据一元二次方程的定义得，m 2-2m-1=2；再由一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的定义中a ≠0这一条件得m+1≠0来求m 的值．【答案】 m=3．（2）若关于x 的一元二次方程(m-1)x 2+5x+m 2-3m+2=0的常数项为0，则m 等于（）A ．1B ．2C ．1或2D ．0分析：首先得出m 2-3m+2=0；再由一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的定义中a ≠0这一条件得m-1≠0来求m 的值．【答案】 B【教学说明】此时要注意二次项系数不为0，在讨论含字母系数的一元二次方程问题时，命题者常利用a ≠0设计陷阱.2.用适当的方法解一元二次方程(1)x 2=3x (2)(x-1)2=3(3)x2-2x-99=0 (4)2x2+5x-3=0分析：方程（1）选用因式分解法；方程（2）选用直接开平方法；方程（3）选用配方法；方程（4）选用公式法.解：（1）x1=0,x2=3;(2)x1,x21=11,x2=-9;(4)x1=1/2,x2=-3.3.若(x2+y2)2-4(x2+y2)-5=0,则x2+y2=______.分析：用换元法设x2+y2=m得m2-4m-5=0，解得m1=5，m2=-1对所求结果，还要结合“x2+y2”进行取舍，从而得到最后结果．【答案】 54.若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k>-1 B．k>-1且k≠0C．k<1 D．k<1且k≠0分析：b2-4ac=(-2)2-4×(-1)k=4k+4＞0得k＞-1，再由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的定义中a≠0这一条件得k≠0．【答案】 B5.某商场将销售成本为30元的台灯以40元的价格售出，平均每月销售600个．市场调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，每月平均销售数量将减少10个．若销售利润率不得高于100％，那么销售这种台灯每月要获利10000元，台灯的售价应定为多少元？分析：如果这种台灯售价上涨x元，那么每个台灯获利(40＋x－30)元，每月平均销售数量为(600－10x)个，销售利润为(40＋x－30)和(600－10x)的积．用一元二次方程解决实际问题时，所求得的结果往往有两个，而实际问题的答案常常是一个，这就需要我们仔细审题，看清题目的要求，进而作出正确的选择.解：设这种台灯的售价上涨x元，根据题意，得(40＋x－30)(600－10x)=10000．即x2-50x+400=0．解得x1=10，x2=40．所以每个台灯的售价应定为50元或80元．当台灯售价定为80元时，销售利润率为5/3，不符合要求；当台灯售价定为50元时，销售利润率为2/3，符合要求．答：每个台灯售价应是50元.6.如图，要设计一个矩形的花坛，花坛长60m，宽40m，有两条纵向甬道和一条横向甬道，横向甬道的两侧有两个半圆环形甬道，半圆环形甬道的内半圆的半径为10m，横向甬道的宽度是其它各甬道宽度的2倍．设横向甬道的宽为2xm．(π的值取3)(1)用含x的式子表示两个半圆环形甬道的面积之和；(2)当所有甬道的面积之和比矩形面积的1/5多36m2时，求x的值．解：（1）两个半圆环形甬道的面积=π（10+x）2-π×102=3x2+60x（m2）；（2）依题意，得40×x×2+60×2x-2x2×2+3x2+60x=1/5×60×40+36，整理，得x2-260x+516=0，解得x1=2，x2=258（不符合题意，舍去），∴x=2；答：x的值为2．【教学说明】列方程解应用题注重考查了能力问题，表面文字比较复杂,但认真阅读，抓住实质，问题就迎刃而解了.四、复习训练，巩固提高1.一元二次方程x2-2x-1=0的根的情况为（）Ａ．有两个相等的实数根Ｂ．有两个不相等的实数根Ｃ．只有一个实数根Ｄ．没有实数根分析：b2-4ac=(-2)2-4×(-1)=8【答案】 B2.关于x的一元二次方程(a－1)x2+x+a－1=0的一个根为0，则实数a的值为（）A．－1 B．0 C．1 D．－1或1分析：把x=0代入方程得：|a|－1=0，∴a=±1.∵a－1≠0，∴a=－1．故选A.【答案】 A3.已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2-2=0的两实根的平方和等于11，则k的值为______．分析：设方程x2+（2k+1）x+k2-2=0的两根为x1，x2，得∵Δ=（2k+1）2-4×（k2-2）=4k+9＞0，∴k＞-9/4.∵x1+x2=-（2k+1），x1·x2=k2-2，又∵x21+x22=11，∴（x1+x2）2-2x1x2=11.∴（2k+1）2-2（k2-2）=11，解得k=1或-3.∵k＞-9/4，∴k=1.【答案】 14.若关于x的一元二次方程x2＋2x＋a＝0有实数根，则a的取值范围是______．分析：∵关于x的一元二次方程有实根，∴Δ=42－4a≥0，解之得a≤1.【答案】 a≤15.若关于x的一元二次方程x2－4x+k－3=0的两个实数根为x1、x2，且满足x1=3x2，试求出方程的两个实数根及k的值.分析：根据根与系数的关系列出等式，再由已知条件x1=3x2联立组成方程组，解方程组即可.解:由根与系数的关系得:x1+x2=4①，x1·x2=k－3②又∵x1=3x2③，联立①、③，解方程组得1 23 1x x = =⎧⎨⎩.∴k=x1x2+3=3×1+3=6.方程两根为x1=3,x2=1;k=6.6.某汽车销售公司6月份销售某厂家汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系，若当月仅售出1辆汽车，则该汽车的进价为27万元；每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/辆，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10辆以内（含10辆），每辆返利0.5万元，销售量在10辆以上，每辆返利1万.（1）若该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为______万元；（2）如果汽车的售价为28万元/辆，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少辆汽车？（盈利=销售利润+返利）分析：用销售数量表示出每辆的进价、返利等，再表示出盈利，列出方程，求解.解：（1）27－（3－1）×0.1=26.8.（2）设销售汽车x辆，则汽车的进价为27－（x－1）×0.1=（27.1－0.1x）万元，若x≤10,则（28－27.1+0.1x）x+0.5x=12解得x1=6,x2=－20(不合题意，舍去)若x>10,则（28－27.1+0.1x）x+x=12解得x3=5(与x>10矛盾，舍去),x4=－24(不合题意，舍去)答：公司计划当月盈利12万元，需要售出6辆汽车.7.如图①，要设计一幅宽20cm，长60cm的长方形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为4∶3，如果要使所有彩条所占面积为原长方形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？分析：由横、竖彩条的宽度比为4∶3，可设每个横彩条的宽为4x，则每个竖彩条的宽为3x．为更好地寻找题目中的等量关系，将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图②的情况，得到长方形ABCD．(1)结合以上分析完成填空：如图②，用含x的代数式表示：AB=_____cm；AD=_____cm；长方形ABCD的面积为_____cm2；(2)列出方程并完成本题解答．分析：（1）一条竖纹宽度为3x，长方形宽减去两条竖纹宽度，即为AB长度，同理，长方形长减去两条横纹宽度，即为AD长度；长方形面积为20×60×（1-1/3）=800；（2）在（1）的基础上，根据所有彩条所占面积为原长方形图案面积的三分之一列方程求解即可．解：（1）由题意得，AB=（20-6x）cm，AD=（60-8x）cm，长方形面积为60×20×（1-1/3）=800cm2．（2）由题意列方程得（20-6x）（60-8x）=2/3×1200，解得，x=56，x=10（舍去）．答：每个横彩纹的宽度为10/3cm，每个竖彩纹宽度为5/2cm．五、师生互动，课堂小结1、回顾整理今日收获.2、你还有哪些困惑和疑问？课后作业布置作业：教材“复习题2”中第3、4、5、11、12题.教学反思通过画知识框图，完成对一元二次方程的知识点的梳理，建构知识体系；让学生对典型例题、自身错题进行整理，从而使学生抓住本章的重点、突破学习的难点.。