2019版九年级数学下册 24.2 圆的基本性质 24.2.2 圆的基本性质导学案 (新版)沪科版

2019版九年级数学下册 24.2 圆的基本性质 24.2.2 圆

的基本性质导学案 （新版）沪科版

【学习目标】

1．利用圆的轴对称性，通过观察使学生能归纳出垂径定理的主要内容。 2．要求学生掌握垂径定理及其推论，会解决有关的证明，计算问题。 3．运用垂径定理及其推论进行有关的计算和证明．

4．经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会研究几何图形的各种方法． 5．培养学生独立探索、相互合作交流的精神．

6．通过例题（赵州桥）对学生进行爱国主义的教育；并向学生渗透数学来源于实践，又反过来服务于实践的辩证唯物主义思想。 【学习重难点】

重点：垂径定理及其推论在解题中的应用。

难点：如何进行辅助线的添加，构造直角三角形解决一些的计算问题。 【课前预习】

1．在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝2，BC ＝4，CM 是中线，以C 为圆心，5为半径画圆，则A 、B 、M 与圆的位置关系是( )．

A ．A 在圆外，

B 在圆内，M 在圆上 B ． A 在圆内，B 在圆上，M 在圆外

C ．A 在圆上，B 在圆外，M 在圆内

D ．A 在圆内，B 在圆外，M 在圆上

解析：Rt△ABC 中，AB ＝22＋42

＝20＝25，CM ＝12AB ＝5，又2＜5＜4，故A 在圆

内，B 在圆外， M 在圆上．

答案：D

2．已知平面上一点到⊙O 的最长距离为8 cm ，最短距离为 2 cm ，则⊙O 的半径是__________．

解析：本题分两种情况：(1)点P 在⊙O 内部时，如图①所示，PA ＝8 c m ，PB ＝2 cm ，直径AB ＝8＋2＝10(cm)，半径r ＝12AB ＝1

2×10＝5(cm)；(2)点P 在⊙O 外部时，如图②所示，

直径AB ＝PA －PB ＝8－2＝6(cm)，半径r ＝1

2

×6＝3(cm)．

答案：3 cm 或5 cm

3．圆是轴对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线．

4．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧． 5．定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 6．圆心到弦的距离叫做弦心距． 【课堂探究】

1．垂径定理

【例1】 赵州桥是我国古代劳动人民勤劳智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，半径为27.9米，跨度(弧所对的弦长)为37.4米，你能求出赵州桥的拱高(弧的中点到弦的距离)吗？

分析：根据实物图画出几何图形，把实际问题转化为数学问题解决．

解：如图，AB 表示主拱桥，设AB 所在圆的圆心为O.过点O 作OC⊥AB 于D ，交AB 于点C.

根据垂径定理，则D 是AB 的中点，C 是AB 的中点，CD 为拱高． 在Rt△OAD 中，AD ＝12AB ＝37.4×1

2＝18.7(m)，OA ＝27.9 m ，

∴OD＝OA 2

－AD 2

＝27.92

－18.72

≈20.7(m)． ∴CD＝OC －OD≈27.9－20.7＝7.2(m)． ∴赵州桥的拱高为7.2 m.

点拨：应用垂径定理计算涉及到四条线段的长：弦长a 、圆半径r 、弦心距d 、弓形高h.它们之间的关系有r ＝h ＋d (或r ＝h －d )，r 2

＝d 2

＋(a

2

)2

.

2．垂径定理的推论

【例2】学习了本节课以后，小勇逆向思维得出了一个结论：“弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦所对的两条弧”，你认为小勇得出的结论正确吗？并说明理由．分析：根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，而圆心到弦的两端距离相等，所以圆心在弦的垂直平分线上．

解：小勇得出的结论正确．

理由：如图，CD是AB的垂直平分线，连接OA、OB.

因为OA=OB，所以点O在AB的垂直平分线上，即弦的垂直平分线过圆心．

由垂直于弦的直径的性质，可知弦AB的垂直平分线CD平分弦AB所对的两条弧．

点拨：除本题的结论外，由垂径定理还可引申得到如下的结论：

(1)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧；

(2)圆的两条平行弦所夹的弧相等．

【课后练习】

1．如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为( )．

A．2 cm B. 3 cm

C．2 3 cm D．2 5 cm

答案：C

2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直的两条相等的弦，OD⊥AB，OE⊥AC，D、E为垂足，则四边形ADOE为( )．

A．矩形B．平行四边形

C．正方形D．直角梯形

答案：C

3．(xx·浙江嘉兴中考)如图，半径为10的⊙O中，弦AB的长为16，则这条弦的弦心距为( )．

A．6 B．8

C．10 D．12

答案：A

4．如图，DE是⊙O的直径，弦AB⊥DE，垂足为C，若AB＝6，CE＝1，则OC＝__________，CD＝__________.

答案：4 9

5．如图，已知在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦A B交小圆于C、D两点．求证：AC＝BD.

证明：过O作OE⊥AB于E，

则AE＝EB，CE＝ED.

∴AE－CE＝BE－DE.

∵AC＝AE－CE，BD＝BE－DE，

∴AC＝BD.

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