新高考数学专题复习-《应用题》专题

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高考数学应用题复习题集及参考答案

高考数学应用题复习题集及参考答案本文为高考数学应用题复习题集及参考答案，旨在帮助学生复习并加深对应用题的理解。

以下是一系列经典的数学应用题，每道题后附有详细的解答和解题思路。

希望能够对广大考生有所帮助。

一、函数与极限1. 设函数\[y = f(x) = \frac{{\sin x}}{{\sqrt{x}}}\]，求\[\lim_{{x\rightarrow 0}} f(x)\]的值。

解答：由于\[\lim_{{x \rightarrow 0}} \sin x = 0\]，且\[\lim_{{x \rightarrow 0}} \sqrt{x} = 0\]，所以我们有：\[\lim_{{x \rightarrow 0}} f(x) = \lim_{{x \rightarrow 0}} \frac{{\sin x}}{{\sqrt{x}}}\]\[= \frac{{\lim_{{x \rightarrow 0}} \sin x}}{{\lim_{{x \rightarrow 0}} \sqrt{x}}}\]\[= \frac{0}{0}\]（形式不定）利用洛必达法则，求导得：\[\lim_{{x \rightarrow 0}} f(x) = \lim_{{x \rightarrow 0}} \frac{{\cos x}}{{\frac{1}{{2\sqrt{x}}}}}\]\[= \lim_{{x \rightarrow 0}} 2\sqrt{x} \cdot \cos x\]\[= 2 \cdot 0 \cdot 1 = 0\]因此，\[\lim_{{x \rightarrow 0}} f(x) = 0\]。

二、微分与导数2. 已知函数\[y = f(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12\]，求导函数\[y' = f'(x)\]。

解答：使用导数的定义，对函数进行求导：\[y' = \lim_{{\Delta x \rightarrow 0}} \frac{{f(x+\Delta x) -f(x)}}{{\Delta x}}\]\[= \lim_{{\Delta x \rightarrow 0}} \frac{{(x+\Delta x)^3 - 3(x+\Delta x)^2 - 4(x+\Delta x) + 12 - (x^3 - 3x^2 - 4x + 12)}}{{\Delta x}}\]\[= \lim_{{\Delta x \rightarrow 0}} \frac{{x^3 + 3x^2 \Delta x +3x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 - 3x^2 - 6x \Delta x - 3(\Delta x)^2 - 4x -4\Delta x + 12 - x^3 + 3x^2 + 4x - 12}}{{\Delta x}}\]\[= \lim_{{\Delta x \rightarrow 0}} \frac{{3x^2 \Delta x + 3x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 - 6x \Delta x - 3(\Delta x)^2 - 4\Delta x}}{{\Delta x}}\]\[= \lim_{{\Delta x \rightarrow 0}} (3x^2 + 3x \Delta x + (\Delta x)^2 - 6x - 3\Delta x - 4)\]\[= 3x^2 - 6x - 4\]因此，导函数\[y' = f'(x) = 3x^2 - 6x - 4\]。

高三数学专题复习——应用题答案

高三数学专题复习——应用题应用题是高考数学试题中一种常见型题，是考察学生对语言表达问题的理解——即对阅读理解能力的考查。

也是考生失分较多的一种题型，解答这类问题的要害是深刻理解题意,学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化,这就需要建立恰当的数学模型。

应用题其实不难，主要是要认真解读题意，了解一些现实意义，读题要认真，要把每句话的含义读懂，要将关键数据等在草稿纸上记下来，使题意一目了然。

这样才能列出有关式子，从而解决问题。

其实，只要列出了有关式子，后面的解答就不难了！一、直击高考：（2012文、理21）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7．（1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？二、典例精析例1：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。

在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数。

当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．（Ⅰ）当0200x ≤≤时，求函数()v x的表达式;（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）()()x xv x f =可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）注：本题还是不难理解的，但是对于（Ⅱ）若没有给出()()x xv x f =，直接要你求车流量的最大值，你是否知道就是求()()x xv x f =的呢？124584060qp81例2：某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为k .轮船的最大速度为15海里/小时.当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时150元.假定运行过程中轮船以速度v 匀速航行．（1）求k 的值；（2）求该轮船航行100海里的总费用W （燃料费+航行运作费用）的最小值. 解：（1）由题意得燃料费21W kv =，把v =10，196W =代入得0.96k =. （2）21001001500.96W v v v⨯=⋅+=1500096214400002400v v +≥=，其中等号当且仅当1500096v v=时成立，解得1500012.51596v ==<，所以，该轮船航行100海里的总费用W 的最小值为2400（元）.例3、某公司为帮助尚有26.8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，借出20万元将该商店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(所有债务均不计利息)．已知该种消费品的进价为每件40元；该店每月销售量q （百件）与销售价p （元／件）之间的关系用右图中的一条折线（实线）表示；职工每人每月工资为600元，该店应交付的其它费用为每月13200元．（Ⅰ）若当销售价p 为52元／件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数；（Ⅱ）若该店只安排40名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品的价格定为多少元？解：()()81588258401402≤≤+-≤≤+-=p p p p q当52=p 时，销量36=q （百件）收入()43200405210036=-⨯元，支出：x 60013200+（x 为职工人数），由收支平衡，得：50=x （人）（2）每月收入4060013200⨯--pq ()()()()()815837200100408258403720010040)1402(≤≤-⨯-+-≤≤-⨯-+-=p p p p p p()()()()81586900615840780055222≤≤+--≤≤+--=p p p p 由此可知，当p=55时每月纯收入7800元，每年是93600元，五年是468000元，正好还清所有债务！例4：某省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数()f x 与时刻x (时) 的关系为()[]222,0,2413x f x a a x x =-++∈+，其中a 是与气象有关的参数，且1[0,]2a ∈．（1）令21x t x =+, []0,24x ∈，写出该函数21xt x =+的单调区间，并选择其中一种情形进行证明；（2）若用每天()f x 的最大值作为当天的综合放射性污染指数，并记作()M a ，求()M a ；（3）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？解（1）单调递增区间为[]0,1；单调递减区间为[]1,24。

高考数学-应用题专题

1高考数学-应用题应用题类型：1.代数型（1）函数型（2）不等式型（3）数列型（4）概率统计型2.几何型（1）三角型（2）解析几何型（3）立体几何型１. 某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元．（1）问第几年开始获利? （2）若干年后，有两种处理方案：方案一：年平均获利最大时，以26万元出售该渔船方案二：总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案合算．解析. （1）由题意知，每年的费用以12为首项，4为公差的等差数列．设纯收入与年数n 的关系为f （n ），则++-=1612[50)(n n f …9840298)]48(2-+-=-++n n n ．由题知获利即为f （n ）＞0，由0984022>-+-n n ，得-10511051+<<n ．∴ 2.1＜n ＜17.1.而n ∈N ，故n ＝3，4，5， (17)∴ 当n ＝3时，即第3年开始获利．（2）方案一：年平均收入)49(240)(n n n n f +-==．由于1449249=≥+n n n n ，当且仅当n ＝7时取“＝”号． ∴ 1214240)(=⨯-≤nn f （万元）．即第7年平均收益最大，总收益为12×7＋26＝110（万元）．方案二：f （n ）＝22n -＋40n -98＝-22)10(-n ＋102．当n ＝10时，f （n ）取最大值102，总收益为102＋8＝110（万元）．比较如上两种方案，总收益均为110万元，而方案一中n ＝7，故选方案一．2２. 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20020≤≤x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．（Ⅰ）当2000≤≤x 时，求函数()x v 的表达式；（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()x v x x f ⋅=可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）解析：（Ⅰ）由题意：当200≤≤x 时，()60=x v ；当20020≤≤x 时，设()b ax x v +=，显然()b ax x v +=在[]200,20是减函数，由已知得⎩⎨⎧=+=+60200200b a b a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=320031b a 故函数()x v 的表达式为()x v =()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.20020,20031,200,60x x x （Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得()=x f ()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.20020,20031,200,60x x x x x 当200≤≤x 时，()x f 为增函数，故当20=x 时，其最大值为12002060=⨯；当20020≤≤x 时，()()()310000220031200312=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+≤-=x x x x x f ，当且仅当x x -=200，即100=x 时，等号成立．所以，当100=x 时，()x f 在区间[]200,20上取得最大值310000．综上，当100=x 时，()x f 在区间[]200,0上取得最大值3333310000≈，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．3 3. 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3a y x x =+--，其中63<<x ，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。

专题27 解三角形的应用-2025年高考数学一轮复习讲义(知识梳理+真题自测)(新高考专用)原卷版

专题27解三角形的应用（新高考专用）【知识梳理】 (2)【真题自测】 (3)【考点突破】 (4)【考点1】解三角形应用举例 (4)【考点2】求解平面几何问题 (6)【考点3】三角函数与解三角形的交汇问题 (7)【分层检测】 (9)【基础篇】 (9)【能力篇】 (12)【培优篇】 (13)考试要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.1.仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).2.方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).3.方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.2.解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解.一、单选题1．（2022·全国·高考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图， AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在 AB上，CD AB⊥．“会圆术”给出 AB的弧长的近似值s的计算公式：2CDs ABOA=+．当2,60OA AOB=∠=︒时，s=（）A．112-B．112-CD．92-2．（2021·全国·高考真题）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”则海岛的高AB=（）A．⨯+表高表距表目距的差表高B．⨯-表高表距表目距的差表高C．⨯+表高表距表目距的差表距D．⨯-表高表距表目距的差表距二、填空题3．（2021·浙江·高考真题）在ABC中，60,2B AB∠=︒=，M是BC的中点，AM=则AC=，cos MAC∠=.4．（2021·浙江·高考真题）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积为1S，小正方形的面积为2S，则12SS=.三、解答题5．（2021·全国·高考真题）记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.考点突破【考点1】解三角形应用举例一、单选题1．（2024·山东临沂·一模）在同一平面上有相距14公里的,A B 两座炮台，A 在B 的正东方.某次演习时，A 向西偏北θ方向发射炮弹，B 则向东偏北θ方向发射炮弹，其中θ为锐角，观测回报两炮弹皆命中18公里外的同一目标，接着A 改向向西偏北2θ方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点M ，则B 炮台与弹着点M 的距离为（）A ．7公里B ．8公里C ．9公里D ．10公里2．（23-24高一下·浙江·阶段练习）鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶镶嵌着一汪小湖.某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此，他们设计了测量方案.如图，在山脚A 测得山顶P 得仰角为45°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走了90米到达B 点（A ，B ，P ，Q 在同一个平面内），在B 处测得山顶P 得仰角为60°，则鼎湖峰的山高PQ 为（）米.A ．45B ．45C ．)901D ．)901+二、多选题3．（23-24高三下·重庆·阶段练习）如图，在海面上有两个观测点,,B D B 在D 的正北方向，距离为2km ，在某天10：00观察到某航船在C 处，此时测得45,5CBD ∠= 分钟后该船行驶至A 处，此时测得30,60,30ABC ADB ADC ∠∠∠=== ，则（）A ．观测点B 位于A 处的北偏东75 方向B ．当天10：00时，该船到观测点B C ．当船行驶至A 处时，该船到观测点B D ．该船在由C 行驶至A 的这5min 4．（2024·甘肃兰州·一模）某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量，迭代优化完成此次活动．在以下不同小组设计的初步方案中，可计算出旗杆高度的方案有A A ，B ，分别测量旗杆顶端的仰角α，β，再测量A ，B 两点间距离B ．在旗杆对面找到某建筑物（低于旗杆），测得建筑物的高度为h ，在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角α和βC ．在地面上任意寻找一点A ，测量旗杆顶端的仰角α，再测量A 到旗杆底部的距离D ．在旗杆的正前方A 处测得旗杆顶端的仰角α，正对旗杆前行5m 到达B 处，再次测量旗杆顶端的仰角β三、填空题5．（2024·广东湛江·二模）财富汇大厦坐落在广东省湛江市经济技术开发区，是湛江经济技术开发区的标志性建筑，同时也是已建成的粤西第一高楼.为测量财富汇大厦的高度，小张选取了大厦的一个最高点A ，点A在大厦底部的射影为点O ，两个测量基点B 、C 与O 在同一水平面上，他测得BC =120BOC ∠=︒，在点B 处测得点A 的仰角为θ（tan 2θ=），在点C 处测得点A 的仰角为45°，则财富汇大厦的高度OA =米.6．（2021·山东滨州·二模）最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”.如图，树顶A 离地面a 米，树上另一点B 离地面b 米，在离地面()c c b <米的C 处看此树，离此树的水平距离为米时看A ，B 的视角最大.反思提升：1.在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角.2.准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图.3.运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用.4.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.5.方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角.【考点2】求解平面几何问题一、单选题1．（2024·山东·二模）在ABC 中，设内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，设甲：(cos cos )b c a C B -=-，设乙：ABC 是直角三角形，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件2．（2021·黑龙江大庆·模拟预测）下列命题中，不正确的是（）A ．线性回归直线ˆˆˆybx a =+必过样本点的中心(),x y B ．若平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，则平面//α平面βC ．若“11a b <，则a b >”的逆命题为假命题D ．若ABC 为锐角三角形，则sin cos A B >.二、多选题3．（2022·河北沧州·模拟预测）在ABC 中，三边长分别为a ，b ，c ，且2abc =，则下列结论正确的是（）A ．222<+a b abB ．++>ab a bC ．224++≥a b c D ．++≤a b c4．（2024·辽宁葫芦岛·一模）在正四棱台1111ABCD A B C D -中，1136AB A B ==，14AA =，P 为棱1BB 上的动点（含端点），则下列结论正确的是（）A ．四棱台1111ABCD A B C D -的表面积是40+B ．四棱台1111ABCD A BCD -的体积是3C ．1AP PC +的最小值为D ．AP PC +的最小值为三、填空题5．（2023·陕西·模拟预测）已知在ABC 中，5,3,7AB AC BC ===，点D ，E 是边BC 上的两点，点D 在B ，E 之间，,BAD CAE ∠=∠AB AE ⊥，则ADDE=.6．（2023·陕西西安·模拟预测）在平面四边形ABCD 中，2ππ2,6,,36AB DA DC ABC ACB =⋅=∠=∠=，则四边形ABCD 的面积的最大值为．反思提升：平面几何中解三角形问题的求解思路(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.【考点3】三角函数与解三角形的交汇问题一、解答题1．（2024·北京·三模）已知函数2()cos 2cos ,(0)f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .c 为()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求a b -的取值范围.条件①：cos cos 2cos a B b A c C +=；条件②：2sin cos sin 2a A B b A +=；条件③：ABC 的面积为S ，且)2224a b c S +-=.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分.2．（2024·福建漳州·模拟预测）如图，在四边形ABCD 中，π2DAB ∠=，π6B =，且ABC 的外接圆半径为4.(1)若BC =AD =，求ACD 的面积；(2)若2π3D =，求BC AD -的最大值.3．（2023·全国·模拟预测）十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晩期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置．如图1所示，十字测天仪由杆AB 和横档CD 构成，并且E 是CD 的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动．十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从A 点观察．滑动横档CD 使得A ，C 在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点D ，DE 的影子恰好是AE ．然后，通过测量AE 的长度，可计算出视线和水平面的夹角CAD ∠（称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置．(1)在某次测量中，40AE =，横档的长度为20，求太阳高度角的正弦值．(2)在杆AB 上有两点1A ，2A 满足1212AA AA =．当横档CD 的中点E 位于i A 时，记太阳高度角为(1,2)i i α=，其中1α，2α都是锐角．证明：122αα<．4．（2023·福建泉州·模拟预测）在平面四边形ABCD 中，60ABC ∠=︒，120ADC ∠=︒，点B ，D 在直线AC 的两侧，1AB =，2BC =．(1)求∠BAC ；(2)求ABD △与ACD 的面积之和的最大值．5．（2023·河南·模拟预测）已知锐角三角形ABC 的内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，tan tan cos cos AB C B C+=.(1)求A ；(2)若a b c +的取值范围.6．（2023·陕西榆林·三模）已知,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 所对的边，4AB AC ⋅=，且sin 8sin ac B A =．(1)求A ；(2)求sin sin sin A B C 的取值范围．反思提升：解三角形与三角函数的综合应用主要体现在以下两方面：(1)利用三角恒等变换化简三角函数式进行解三角形；(2)解三角形与三角函数图象和性质的综合应用.【基础篇】一、单选题1．（2024·河南新乡·二模）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且7a =，3b =，5c =，则（）A ．ABC 为锐角三角形B ．ABC 为直角三角形C ．ABC 为钝角三角形D ．ABC 的形状无法确定2．（2023·陕西宝鸡·二模）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且4c =，π3A =，则a 的取值范围为（）A ．(0,B ．(C ．(D ．(3．（2024·安徽·模拟预测）在ABC 中，π,6C CA =边上的高等于2，则sin B =（）A ．2B ．12C ．3D ．134．（2024·吉林·二模）如图，位于某海域A 处的甲船获悉，在其北偏东60 方向C 处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东15 的B 处的乙船，已知遇险渔船在乙船的正东方向，那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为（）A B ．2nmileC ．D ．二、多选题5．（20-21高三上·河北张家口·阶段练习）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ．下面四个结论正确的是（）A ．2a =，30A =︒，则ABC 的外接圆半径是4B ．若cos sin a bA B=，则45A =︒C ．若222a b c +<，则ABC 一定是钝角三角形D ．若A B <，则cos cos A B<6．（2023·重庆·三模）如图，为了测量障碍物两侧A ，B 之间的距离，一定能根据以下数据确定AB 长度的是（）A ．a ，b ，γB ．α，β，γC ．a ，β，γD ．α，β，b7．（2024·甘肃兰州·一模）某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量，迭代优化完成此次活动．在以下不同小组设计的初步方案中，可计算出旗杆高度的方案有A ．在水平地面上任意寻找两点A ，B ，分别测量旗杆顶端的仰角α，β，再测量A ，B 两点间距离B ．在旗杆对面找到某建筑物（低于旗杆），测得建筑物的高度为h ，在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角α和βC ．在地面上任意寻找一点A ，测量旗杆顶端的仰角α，再测量A 到旗杆底部的距离D ．在旗杆的正前方A 处测得旗杆顶端的仰角α，正对旗杆前行5m 到达B 处，再次测量旗杆顶端的仰角β三、填空题8．（15-16高三下·河南·阶段练习）如图所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25m 的建筑物CD ，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A 处测得15DAC ︒∠=，沿山坡前进50m 到达B 处，又测得45DBC ︒∠=，根据以上数据得cos θ=．9．（21-22高二上·河南·期末）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设△ABC 的面积为S ，其中a =，2224b c +=，则S 的最大值为．10．（2023·河南·模拟预测）割圆术是估算圆周率的科学方法，由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积，从而得出圆周率为3.1416，在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形的概率为．四、解答题11．（2024·安徽淮北·二模）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22sin2A c b c -=(1)试判断ABC 的形状；(2)若1c =，求ABC 周长的最大值.12．（21-22高三上·湖南长沙·阶段练习）如图，在平面四边形ABCD 中，BC ⊥CD ，ACAD =1，∠CAD =30°．(1)求∠ACD ；(2)若△ABC 为锐角三角形，求BC 的取值范围．一、单选题1．（2024·江西南昌·三模）如图，在扇形OAB 中，半径4OA =，90AOB ∠=︒，C 在半径OB 上，D 在半径OA 上，E 是扇形弧上的动点（不包含端点），则平行四边形BCDE 的周长的取值范围是（）A ．(]8,12B ．(⎤⎦C ．(D ．(二、多选题2．（2022·重庆·三模）在矩形ABCD 中，2AB =，4=AD ，E ，F 分别在边AD ，DC 上（不包含端点）运动，且满足6EBF π∠=，则BEF △的面积可以是（）A ．2B ．C ．3D ．4三、填空题3．（2024·全国·模拟预测）已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且()2cos cos ,2a b C c B a -==，则ABC 的面积S 的取值范围为．四、解答题4．（2024·全国·模拟预测）如图，已知平面四边形ABCD 中，3,5AB BC CD AD ===．(1)若,,,A B C D 四点共圆，求AC ；(2)求四边形ABCD 面积的最大值．一、单选题1．（2021·辽宁丹东·二模）在一座尖塔的正南方地面某点A ，测得塔顶的仰角为2230'︒，又在此尖塔正东方地面某点B ，测得塔顶的仰角为6730︒'，且A ，B 两点距离为540m ，在线段AB 上的点C 处测得塔顶的仰角为最大，则C 点到塔底O 的距离为（）A ．90mB ．100mC ．110mD ．270m 二、多选题2．（2024·贵州黔南·二模）已知锐角ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且ABC 的面积为)2224a c b +-.则下列说法正确的是（）A ．π3B =B ．A 的取值范围为ππ,62⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．若b =ABC 的外接圆的半径为2D ．若a =ABC 的面积的取值范围为82⎛ ⎝⎭三、填空题3．（20-21高一下·湖北宜昌·期末）拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑･波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点.”已知ABC 的圆，以BC ，AC ，AB 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为,A B C ''',.若30ACB ∠= ，则A B C ''' 的面积最大值为.。

数学高考应用题必考知识点

数学高考应用题必考知识点（注意：以下内容以数学高考应用题必考知识点为基础，使用普通文章格式进行说明。

）数学高考应用题必考知识点数学高考中的应用题是考察学生运用所学知识解决实际问题的重要环节，也是考察学生综合素质和运用能力的一种形式。

在准备数学高考时，掌握并熟练运用一些必考的知识点是至关重要的。

本文将介绍数学高考中的应用题必考知识点。

一、函数与图像在数学高考中，函数与图像是应用题的重点内容之一。

学生需要熟练掌握函数的性质、图像的特点以及如何利用函数图像解决实际问题。

1. 函数的性质函数的性质包括定义域、值域、奇偶性等。

在应用题中，我们需要根据题目给定的条件确定函数的定义域和值域，进而解决问题。

2. 图像的特点图像的特点包括函数的单调性、最值、零点等。

学生需要了解不同函数对应的图像特点，便于在解决实际问题时进行分析。

二、几何与三角几何与三角是应用题中常见的数学知识点，对于解决与空间、图形相关的问题非常重要。

1. 直线与平面的性质直线与平面的性质包括平行、垂直、交点等。

学生要能够根据题目给定的条件，运用直线与平面的性质进行分析与推理，解决实际问题。

2. 三角函数及其应用三角函数的比值关系、和差化积等是应用题中常见的知识点。

学生需要掌握三角函数的定义、性质及其在解决实际问题中的应用。

三、概率与统计概率与统计是应用题中的重要内容之一，学生需要了解概率与统计的基本概念与计算方法，以解决与实际情境相关的问题。

1. 概率的计算概率的计算包括样本空间、事件的概率、条件概率等。

学生需要能够根据题目给定的条件，应用概率的基本原理和计算方法，确定事件的概率，解决实际问题。

2. 统计分析与推断统计分析与推断包括样本均值、标准差、正态分布等。

学生需要熟练掌握统计分析与推断的方法，运用相关公式解决实际问题，进行数据的分析和推断。

四、金融数学金融数学是数学高考中的重要内容之一，涉及金融领域中的利率、贷款、投资等实际应用问题。

1. 复利公式与利息计算复利公式与利息计算是金融数学中的基础知识点，学生需要掌握复利公式的推导与运用，能够准确计算利率、本金和利息等。

数学应用题专题训练及解答

一．选择题：1．某种放射性元素，100年后只剩原来质量的一半，现有这种元素1克，3年后剩下（）。

（A ）1005.03 克（B ）(1－0.5%)3克（C ）0.925克（D ）100125.0克2．1980年我国工农业总产值为a 亿元，到2000年工农业总产值实现翻两番的战略目标，年平均增长率至少达到（）。

（A ）2014－1 （B ）2012－1 （C ）2114－1 （D ）2112－13．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（）。

（A ）5种（B ）6种（C ）7种（D ）8种4．已知函数y =2cosx (0≤x ≤2π)的图象和直线y =2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是（）。

（A ）4 （B ）8 （C ）2π （D ）4π5．若干升水倒入底面半径为2cm 的圆柱形容器中，量得水面的高度为6cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（）。

（A ）63cm （B ）6cm （C ）2318cm （D ）3312cm6．有一块“缺角矩形”地皮ABCD E ，其尺寸如图，欲用此块地建一座地基为长方形的建筑物，以下四个方案中，哪一种地基面积最大（）。

（A ）（B ）（C ）（D ）7．由甲城市到乙城市t 分钟的电话费由函数g (t )=1.06×(0.75[t ]+1)给出，其中t >0，[t ]表示大于或等于t 的最小整数，则从甲城市到乙城市5.5分钟的电话费为（）。

（A ）5.83元（B ）5.25元（C ）5.56元（D ）5.04元8．某商场卖甲、乙两种价格不同的商品，由于商品甲连续两次提价20%，同时商品乙连续两次季节性降价20%，结果都以每件23.04元售出，若商场同时售出这两种商品各一件，则与价格不升不降的情况比较，商场盈利的情况是（）。

高中数学应用题专题复习

高中应用题专题复习[考点概述]数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一，也是考生失分较多的一种题型。

解答这类问题的要害是深刻理解题意，学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化，这就需要建立恰当的数学模型，这当中，函数，数列，不等式，排列组合是较为常见的模型，而三角，立几，解几等模型也应在复习时引起重视。

高考应用性问题的热门话题是增减比率型和方案优化型，另外，估测计算型和信息迁移型也时有出现。

当然，数学高考应用性问题关注当前国内外的政治，经济，文化，紧扣时代的主旋律，凸显了学科综合的特色。

一、求解应用题的一般步骤：1、审清题意：认真分析题目所给的有关材料，弄清题意，理顺问题中的条件和结论，找到关键量，进而明确其中的数量关系(等量或大小关系)2、建立文字数量关系式：把问题中所包含的关系可先用文字语言描述关键量之间的数量关系，这是问题解决的一把钥匙。

3、转化为数学模型：将文字语言所表达的数量关系转化为数学语言，建立相应的数学模型(一般要列出函数式、三角式、不等式、数列、排列组合式、概率以及利用几何图形等进行分析)，转化为一个数学问题。

4、解决数学问题：利用所学数学知识解决转化后的数学问题，得到相应的数学结论。

5、返本还原：把所得到的关于应用问题的数学结论，还原为实际问题本身所具有的意义。

二、应用题的常见题型及对策1、与函数、方程(组)、不等式(组)有关的题型常涉及物价、路程、产值、环保、土地等实际问题，也常常涉及角度、长度、面积、造价、利润等最优化问题。

解决这类问题一般要利用数量关系，列出有关解析式，然后运用函数、方程、不等式等有关知识和方法加以解决，尤其对函数最值、均值定理用得较多。

2、与数列有关的问题常涉及到产量、产值、繁殖、利息、物价、增长率、植树造林、土地沙化等有关的实际问题。

解决这类问题常构造等差数列、等比数列(无穷递增等比数列)，利用其公式解决或通过递推归纳得到结论，再利用数列知识求解。

3、与空间图形有关的问题常与空间观测、面积、体积、地球的经纬度等问题有关。

高考数学应用题及答案

高考数学应用题及答案1. 题目：某工厂生产一种产品，该产品的成本函数为 \( C(x) =3000 + 50x \)，其中 \( x \) 表示生产的产品数量。

如果每件产品的销售价格为 \( 150 \) 元，求生产多少件产品时，工厂的利润最大。

答案：首先，我们需要找到利润函数 \( P(x) \)。

利润等于总收入减去总成本，即 \( P(x) = R(x) - C(x) \)。

总收入 \( R(x) \) 为 \( 150x \)，因此利润函数为：\[ P(x) = 150x - (3000 + 50x) = 100x - 3000 \]为了找到利润最大的生产数量，我们需要求 \( P(x) \) 的最大值。

由于 \( P(x) \) 是关于 \( x \) 的线性函数，其最大值出现在\( x \) 取最大值时。

然而，实际生产中 \( x \) 必须是非负整数。

因此，我们需要考虑实际的生产限制。

由于 \( P(x) \) 是一个递增的线性函数，所以当 \( x \) 越大，利润 \( P(x) \) 也越大。

但是，实际生产中可能存在生产能力的限制，例如机器的最大生产能力、原材料的限制等。

假设生产能力限制为\( x_{\text{max}} \)，那么在 \( 0 \leq x \leq x_{\text{max}} \) 的范围内，利润函数 \( P(x) \) 是递增的。

因此，在没有额外限制的情况下，生产的产品数量越多，利润越大。

但是，实际中需要考虑生产能力的限制。

2. 题目：某商店销售两种商品，商品A的售价为 \( 20 \) 元，成本为 \( 15 \) 元；商品B的售价为 \( 30 \) 元，成本为 \( 25 \) 元。

如果商店计划销售这两种商品，使得总利润最大化，且商品A和商品B的销售数量比为 \( 3:2 \)，求商店应该销售多少件商品A和商品B。

答案：设商品A的销售数量为 \( 3k \) 件，商品B的销售数量为\( 2k \) 件，其中 \( k \) 为正整数。

高考数学实际应用题集

高考数学实际应用题集1. 假设一辆汽车以60公里/小时的速度行驶，行驶了1小时后，汽车所行驶的距离是多少？答案：60公里2. 一个长方体的长、宽、高分别是4厘米、3厘米和2厘米，求长方体的对角线长度。

答案：5厘米3. 小明买了一本书，书的定价是100元，书店给出了9折的优惠，小明实际需要支付多少钱？答案：90元4. 某公司有100名员工，其中30%的员工是女性，那么该公司有多少名女性员工？答案：30名5. 一个等差数列的前两项分别是1和3，求这个等差数列的第10项。

答案：176. 一个圆的半径增加了20%，原来的面积是200π平方厘米，增加后的面积是多少？答案：240π平方厘米7. 一个正方体的边长是6厘米，求它的表面积和体积。

答案：表面积112平方厘米，体积72立方厘米8. 一个水池的底面积是20平方米，如果每小时注水2立方米，那么填满水池需要多少时间？答案：10小时9. 一个长方体的长是4厘米，宽是3厘米，高是2厘米，求这个长方体的对角线长度。

答案：5厘米10. 一条直线上有三个点A、B、C，点A的坐标是（1，2），点B 的坐标是（3，4），点C的坐标是（5，6），求线段BC的长度。

答案：7厘米11. 一个圆锥的底面半径是3厘米，高是4厘米，求这个圆锥的体积。

答案：48π立方厘米12. 一个正三角形的边长是6厘米，求这个正三角形的面积。

答案：18平方厘米13. 一个等比数列的前两项分别是1和2，求这个等比数列的第10项。

答案：102414. 一个球的半径是5厘米，求这个球的表面积和体积。

答案：表面积125π平方厘米，体积413.12立方厘米15. 一个长方体的长是4厘米，宽是3厘米，高是2厘米，求这个长方体的对角线长度。

答案：5厘米16. 一条直线上有三个点A、B、C，点A的坐标是（1，2），点B 的坐标是（3，4），点C的坐标是（5，6），求线段AB的长度。

答案：3厘米17. 一个圆的半径是3厘米，求这个圆的面积。

高中生数学应用题练习题及讲解

高中生数学应用题练习题及讲解### 高中生数学应用题练习题及讲解#### 练习题1：几何问题题目：在一个直角三角形中，已知直角边AB的长度为3，斜边AC的长度为5，求另一直角边BC的长度。

解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。

设BC的长度为x，则有：\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \]\[ 5^2 = 3^2 + x^2 \]\[ 25 = 9 + x^2 \]\[ x^2 = 16 \]\[ x = 4 \]所以，BC的长度为4。

#### 练习题2：函数应用题目：某工厂生产一种产品，每件产品的成本为10元，售价为20元。

如果生产x件产品，求总利润y与产品数量x之间的关系。

解答：每件产品的利润为售价减去成本，即20 - 10 = 10元。

总利润y等于每件产品的利润乘以产品数量x，即：\[ y = 10x \]所以，总利润y与产品数量x之间的关系是线性关系，且斜率为10。

#### 练习题3：概率问题题目：一个袋子中有5个红球和3个蓝球，随机抽取2个球，求至少抽到1个红球的概率。

解答：首先计算总的可能情况，即从8个球中抽取2个球的组合数，用组合公式C(n, k)表示：\[ C(8, 2) = \frac{8!}{2!(8-2)!} = 28 \]然后计算没有抽到红球的情况，即抽到2个蓝球的组合数：\[ C(3, 2) = \frac{3!}{2!(3-2)!} = 3 \]至少抽到1个红球的概率为1减去没有抽到红球的概率：\[ P(至少1红) = 1 - \frac{C(3, 2)}{C(8, 2)} = 1 -\frac{3}{28} = \frac{25}{28} \]#### 练习题4：线性规划问题题目：一个农民有10000平方米的土地，他想种植小麦和玉米。

每平方米小麦的利润是10元，每平方米玉米的利润是15元。

如果小麦的种植面积不超过玉米的种植面积的2倍，求最大利润。

高考数学应用题

高考数学应用题
1. 解析几何题: 设直线l经过点A(1,2)且平行于向量u=(3,4)，求直线l的方程。

2. 概率题: 一个骰子投掷三次，求至少出现一次6的概率。

3. 函数题: 已知函数f(x)=3x^2-2x+1，求f(-2)的值。

4. 三角函数题: 在直角三角形ABC中，sinA=3/5，cosB=4/5，求sin(A+B)的值。

5. 利息问题: 一笔本金5000元，年利率为4.5%，计算存款三年后的本息和。

6. 几何题: 设正方形ABCD的边长为2，点E和F分别为AB 和BC的中点，求AD与EF的交点G的坐标。

7. 统计题: 一学校调查了1000名学生的身高，数据显示其中男生的平均身高为170cm，标准差为5cm，女生的平均身高为165cm，标准差为4cm，问全校学生的平均身高和标准差分别是多少？
8. 方程题: 解方程2x^2+5x-3=0。

9. 数列题: 求等差数列an=2n-1的前10项和。

10. 逻辑推理题: 若命题p为真，则下列命题哪些为真？
- p∨(¬p∧q)
- p∧(¬q∨p)
- (p∨q)∧(¬p∨¬q)。

高考数学应用问题(含答案解析)

难点41 应用性问题数学应用题是指利用数学知识解决其他领域中的问题.高考对应用题的考查已逐步成熟，大体是三道左右的小题和一道大题，注重问题及方法的新颖性，提高了适应陌生情境的能力要求.1.（★★★★★）一只小船以10 m/s 的速度由南向北匀速驶过湖面，在离湖面高20米的桥上，一辆汽车由西向东以20 m/s 的速度前进（如图），现在小船在水平P 点以南的40米处，汽车在桥上以西Q 点30米处（其中PQ ⊥水面），则小船与汽车间的最短距离为 .（不考虑汽车与小船本身的大小）.2.（★★★★★）小宁中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：（1）洗锅盛水2分钟；（2）洗菜6分钟；（3）准备面条及佐料2分钟；（4）用锅把水烧开10分钟；（5）煮面条和菜共3分钟.以上各道工序除（4）之外，一次只能进行一道工序，小宁要将面条煮好，最少用分钟.3.（★★★★★）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x （百台），其总成本为G （x ）万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R (x )满足R (x )=⎩⎨⎧>≤≤-+-)5(2.10)50( 8.02.44.02x x x x .假定该产品销售平衡，那么根据上述统计规律.（1）要使工厂有盈利，产品x 应控制在什么范围？（2）工厂生产多少台产品时赢利最大？并求此时每台产品的售价为多少？［例1］为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱（如图），污水从A 孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a 、b 的乘积ab 成反比，现有制箱材料60平方米，问当a 、b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A 、B 孔的面积忽略不计）？命题意图：本题考查建立函数关系、不等式性质、最值求法等基本知识及综合应用数学知识、思想与方法解决实际问题能力，属★★★★级题目.知识依托：重要不等式、导数的应用、建立函数关系式.错解分析：不能理解题意而导致关系式列不出来，或a 与b 间的等量关系找不到. 技巧与方法：关键在于如何求出函数最小值，条件最值可应用重要不等式或利用导数解决.解法一：设经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数为y ，则由条件y =ab k (k ＞0为比例系数)其中a 、b 满足2a +4b +2ab =60 ①要求y 的最小值，只须求ab 的最大值.由①(a +2)(b +1)=32(a ＞0,b ＞0)且ab =30–(a +2b )应用重要不等式a +2b =(a +2)+(2b +2)–4≥124)22)(2(2=-++b a∴ab ≤18，当且仅当a =2b 时等号成立将a =2b 代入①得a =6,b =3.故当且仅当a =6,b =3时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.解法二：由2a +4b +2ab =60,得a a b +-=230, 记aa a ab u +-==2)30((0＜a ＜30)则要求y 的最小值只须求u 的最大值. 由22)2()2(64++-='a a u ，令u ′=0得a =6 且当0＜a ＜6时，u ′＞0，当6＜u ＜30时u ′＜0,∴aa a u +-=2)30(在a =6时取最大值，此时b =3. 从而当且仅当a =6，b =3时,y =ab k 取最小值. ［例2］某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相等.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？命题意图：本题考查等比数列、数列求和解不等式等知识以及极限思想方法和运用数学知识解决实际问题的能力，属★★★★★级题目.知识依托：数列极限、等比数列、解不等式.错解分析：①不能读懂题意，找不到解题的突破口；②写出b n +1与x 的关系后，不能进一步转化为极限问题；③运算出错，得不到准确结果.技巧与方法：建立第n 年的汽车保有量与每年新增汽车数量之间的函数关系式是关键、尽管本题入手容易，但解题过程中的准确性要求较高.解：设2001年末的汽车保有量为b 1万辆，以后各年汽车保有量依次为b 2万辆，b 3万辆，……每年新增汽车x 万辆，则b 1=30,b 2=b 1×0.94+x ,…对于n ＞1，有b n +1=b n ×0.94+x =b n –1×0.942+(1+0.94)x ,…所以b n +1=b 1×0.94n +x (1+0.94+0.942+…+0.94n –1)=b 1×0.94n +n n x x x 94.0)06.030(06.006.094.01⨯-+=⋅-. 当06.030x -≥0，即x ≤1.8时，b n +1≤b n ≤…≤b 1=30 当06.030x -＜0，即x ＞1.8时，06.0]94.0)06.030(06.0[lim 1x x x n n =⨯-+-∞→ 并且数列{b n }逐项递增，可以任意靠近06.0x . 因此如果要求汽车保有量不超过60万辆，即b n ≤60(n =1,2,…)则有06.0x ≤60，所以x ≤3.6 综上，每年新增汽车不应超过3.6万辆.1.解应用题的一般思路可表示如下2.解应用题的一般程序（1）读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础.（2）建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型.熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关.（3）解：求解数学模型，得到数学结论.一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程.（4）答：将数学结论还原给实际问题的结果.3.中学数学中常见应用问题与数学模型（1）优化问题.实际问题中的“优选”“控制”等问题，常需建立“不等式模型”和“线性规划”问题解决.（2）预测问题：经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决.（3）最（极）值问题：工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”，转化为求函数的最值.（4（5）测量问题：可设计成“图形模型”利用几何知识解决.一、选择题1.（★★★★）某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：①如果不超过200元，则不予优惠，②如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠，③如果超过500元，其500元按②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠.某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他一次购买上述同样的商品，则应付款( )A.413.7元B.513.7元C.546.6元D.548.7元2.（★★★★）某体育彩票规定：从01到36共36个号码中抽出7个号码为一注，每注2元.某人想先选定吉利号18，然后再从01到17中选3个连续的号，从19到29中选2个连续的号，从30到36中选1个号组成一注，则此人把这种要求的号买全，至少要花( )A.1050元B.1052元C.2100元D.2102元二、填空题3.（★★★★）一个球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它最后静止在地面上时，共经过了米.4.（★★★★）有一广告气球直径为6米，放在公司大楼上空（如图），当某行人在A地观测气球时，其中心仰角为∠BAC=30°，并测得气球的视角β=2°，若θ很小时，可取sinθ=θ，试估计气球的高B C的值约为米.三、解答题5.（★★★★★）运输一批海鲜，可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择，它们的速度分别为v千米/小时、2v千米/小时、10v千米/小时，每千米的运费分别为a元、b元、c元.且b＜a＜c,又这批海鲜在运输过程中的损耗为m元/小时，若使用三种运输工具分别运输时各自的总费用（运费与损耗之和）互不相等.试确定使用哪种运输工具总费用最省.（题中字母均为正的已知量）。

高考数学最新真题专题解析—数学实际应用题 (新高考卷)

高考数学最新真题专题解析—数学实际应用题（新高考卷）【母题来源】2022年新高考I卷【母题题文】南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2;水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为(√7≈2.65)()A. 1.0×109m3B. 1.2×109m3C. 1.4×109m3D. 1.6×109m3【答案】C【解析】【分析】本题考查了棱台的体积公式的应用，属于基础题．【解答】解：依据棱台的体积公式V=13⋅(S+S′+√SS′)⋅ℎ=13⋅(140000000+180000000+√14000000×18000000)×9≈1.4×109m3．【母题来源】2022年新高考II卷【母题题文】中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现.如图是某古建筑物的剖面图，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，DD1，CC1，BB1，AA1是脊，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的脊步的比分别为DD1OD1=0.5，CC1DC1=k1，BB1CB1=k2，AA1BA1=k3，若k1，k2，k3是公差为0.1的等差数列，直线OA的斜率为0.725，则k3=()A. 0.75B. 0.8C. 0.85D. 0.9【答案】D【解析】【分析】本题考查等差数列、直线的斜率与倾斜角的关系，比例的性质，属于中档题．【解答】解：设OD1=DC1=CB1=BA1=1，则CC1=k1，BB1=k2，AA1=k3′由题意得k3=k1+0.2，k3=k2+0.1，=0.725，且DD1+CC1+BB1+AA1OD1+DC1+CB1+BA1解得k3=0.9．【命题意图】考察数学语言的转化，考察阅读能力，考察数列，直线，立体几何，函数与方程，不等式，三角函数等知识交汇处应用能力，考察逻辑推导能力，考察数形结合的数学思想。

高考数学专题练习 36应用性问题理试题

训练36 应用性问题(推荐时间：75分钟)1．张林在李明的农场附近建了一个小型工厂，由于工厂生产须占用农场的部分资源，因此李明每年向张林索赔以弥补经济损失并获得一定净收入．工厂在不赔付农场的情况下，工厂的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系x＝2 000t.若工厂每生产一吨产品必须赔付农场s元(以下称s为赔付价格)．(1)将工厂的年利润w(元)表示为年产量t(吨)的函数，并求出工厂获得最大利润的年产量；(2)若农场每年受工厂生产影响的经济损失金额y＝0.002t2(元)，在工厂按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，农场要在索赔中获得最大净收入，应向张林的工厂要求赔付价格s是多少？2．甲、乙、丙三人都报考某大学，根据他们的成绩与表现，他们被录取的概率分别为0.5,0.7,0.8，并且他们是否被录取之间互不影响．(1)求至少两人被录取的概率；(2)若用ξ表示被录取的人数，求ξ的概率分布列，并求这3人被录取的人数期望值．3．某城市决定对城区住房进行改造，在建新住房的同时拆除部分旧住房．第一年建新住房a m2，第二年到第四年，每年建设的新住房比前一年增长100%，从第五年起，每年建设的新住房都比前一年减少a m2；已知旧住房总面积32a m2，每年拆除的数量相同．(1)若10年后该城市住房总面积正好比改造前的住房总面积翻一番，则每年拆除的旧住房面积是多少平方米？(2)求前n(1≤n≤10且n∈N)年新建住房总面积S n.4.某观测站在城A 的南偏西20°的方向，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C 处测得公路上B 处有一人，距C 为31千米，正沿公路向A 城走去，走了20千米后到达D 处，此时CD 间的距离为21千米，问：这人还要走多少千米才能到达A 城？5．某企业投放81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第x 个月的利润f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，1≤x ≤20，x ∈N *，110x ，21≤x ≤60，x ∈N *.(单位：万元)为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润再投入到次月的经营中．记第x 个月的利润率为g (x )＝第x 个月的利润第x 个月前的资金总和，例如g (3)＝f 381＋f 1＋f 2.(1)求g (10)；(2)求第x 个月的利润率；(3)求该企业经销此产品期间，哪一个月的利润率最大，并求出该月的利润率．答案1．解 (1)工厂的实际年利润为：w ＝2 000t －st (t ≥0)． w ＝2 000t －st ＝－s (t －1 000s )2＋1 0002s，当t ＝(1 000s )2时，w 取得最大值．所以工厂取得最大年利润的产量t ＝(1 000s)2(吨)．(2)设农场净收入为v 元，则v ＝st －0.002t 2. 将t ＝(1 000s )2代入上式，得v ＝1 0002s －2×1 0003s4. 又v ′＝－1 0002s 2＋8×1 0003s 5＝1 00028 000－s3s 5.令v ′＝0，得s ＝20.当s <20时，v ′>0；当s >20时，v ′<0，所以s ＝20时，v 取得最大值．因此李明向张林要求赔付价格s ＝20(元/吨)时，获最大净收入．2．解 (1)设“至少两人被录取”为事件A ，则A 的对立事件A 为“只有1人被录取或都没有被录取”，而三人都没有被录取的概率为：P 0＝(1－0.5)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.03. 恰好有一人被录取的概率为：P 1＝(1－0.5)×(1－0.7)×0.8＋(1－0.5)×0.7×(1－0.8)＋0.5×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.22，故P (A )＝P 0＋P 1＝0.22＋0.03＝0.25.所以，P (A )＝1－P (A )＝1－0.25＝0.75，即至少有两人被录取的概率为0.75. 也可直接求；三人都被录取的概率为：P 3＝0.5×0.7×0.8＝0.28，两人被录取的概率为：P 2＝0.5×0.7×(1－0.8)＋0.5×(1－0.7)×0.8＋(1－0.5)×0.7×0.8＝0.47，故P (A )＝P 2＋P 3＝0.75.(2)根据(1)可知，P (ξ＝0)＝0.03，P (ξ＝1)＝0.22，恰有三人被录取的概率为：P (ξ＝3)＝0.5×0.7×0.8＝0.28，所以，恰好有二人被录取的概率为：P (ξ＝2)＝1－0.03－0.22－0.28＝0.47. 故ξ的概率分布列为：ξ 0 1 2 3 P (ξ)0.030.220.470.28则被录取的人数期望值为：E (ξ)＝1×0.22＋2×0.47＋3×0.28＝2. 3．解 (1)10年后新建住房总面积为a ＋2a ＋4a ＋8a ＋7a ＋6a ＋5a ＋4a ＋3a ＋2a ＝42a .设每年拆除的旧住房为x m 2，则42a ＋(32a －10x )＝2×32a ，解得x ＝a ，即每年拆除的旧住房面积是a m 2.(2)设第n 年新建住房面积为a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1a1≤n ≤4，12－n a 5≤n ≤10，所以当1≤n ≤4时，S n ＝(2n－1)a ；当5≤n ≤10时，S n ＝a ＋2a ＋4a ＋8a ＋7a ＋6a ＋…＋(12－n )a＝15a ＋n －419－n a2＝23n －n 2－46a2故S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n－1a ，1≤n ≤423n －n 2－462a 5≤n ≤10.4.解本题为解斜三角形的应用问题，要求这人走多少路可到达A 城，也就是要求AD 的长，在△ACD 中，已知CD ＝21千米，∠CAD ＝60°，只需再求出一个量即可．如图，令∠ACD ＝α，∠CDB ＝β，在△CBD 中，由余弦定理得 cos β＝BD 2＋CD 2－CB 22BD ·CD ＝202＋212－3122×20×21＝－17，∴sin β＝437.而sin α＝sin(β－60°)＝sin βcos 60°－sin 60°cos β ＝437×12＋32×17＝5314，在△ACD 中，21sin 60°＝ADsin α，∴AD ＝21×sin αsin 60°＝15(千米)．∴这个人再走15千米就可到达A 城．5．解 (1)依题意，得f (1)＝f (2)＝f (3)＝…＝f (9)＝f (10)＝1，∴g (10)＝f 1081＋f 1＋f 2＋…＋f9＝190. (2)当x ＝1时，g (1)＝181.当1<x ≤20时，f (1)＝f (2)＝…＝f (x －1)＝f (x )＝1，∴g (x )＝f x 81＋f 1＋f 2＋…＋f x －1＝1x ＋80.∵当x ＝1时也符合上式，故当1≤x ≤20时，g (x )＝1x ＋80. 当21≤x ≤60时，g (x )＝f x81＋f 1＋f 2＋…＋f 20＋f 21＋…＋f x －1＝110x 81＋20＋f 21＋…＋f x －1＝110x 101＋x －21x ＋2020＝2xx 2－x ＋1 600.∴第x 个月的利润率为g (x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋80，1≤x ≤20，2x x 2－x ＋1 600，21≤x ≤60.(3)当1≤x ≤20时，g (x )＝1x ＋80是减函数，此时g (x )的最大值为g (1)＝181. 当21≤x ≤60时，g (x )＝2xx 2－x ＋1 600＝2x ＋1 600x－1≤279.当且仅当x ＝1 600x ，即x ＝40时，g (x )有最大值279.又∵279>181，∴当x ＝40时，g (x )有最大值279.即该企业经销此产品期间，第40个月的利润率最大，其利润率为279.。

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高三数学《应用题》专题一、复习目标：数学应用性问题是高考命题的主要题型之一.解答应用题关键是深刻理解题意，会从文字语言向数学的符号语言进行转化，这就需要我们建立恰当的数学模型，其中函数、数列、不等式、是较为常见的模型，而三角，立几，解析等模型也不容忽视.二、考试要求：应用题在高考中一般是中等难度的题型，只要有耐心，再加上细心，抓住关键词、句一般同学都能拿到70%的分数，而大多数同学怕应用题，看到文字叙述比较长就读不下去，因此应用题也就变成了难题，而老师一讲评，又感到很简单，所以解答应用题一定要有信心和耐心三、基础知识、基本方法归纳：解应用题的一般步骤是：1．读题：读懂和深刻理解，译为数学语言，找出主要关系；往往是求那个量，就设这个量为变量x,解答时注意名数是否统一（广东08应用题17）；2．建模：把主要关系数量化、符号化，抽象成数学问题，即转化为一个数学表达式，注意要根据实际意义写出函数的定义域（如一模应用题20）；3．求解：化归为纯数学问题，选择合适的数学方法求解；往往是转化为求函数的最值 4．作答：根据解答结果，回答问题的解决情况。

四个步骤用框图可简单表示为：在近几年高考中，经常涉及的数学模型，有以下一些类型：数列模型、函数模型、不等式模型、三角模型等等.Ⅰ．函数模型现实世界中普遍存在着的最优化问题，常常可归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法去解决. Ⅱ．几何模型如航行、建桥、测量等涉及一定图形属性的应用问题，常常需要应用几何图形的性质，或用方程、不等式或用三角函数知识来求解.Ⅲ．数列模型如增长率、、存款复利、分期付款等与年（月）份有关的实际问题，大多可归结为数列问题，即通过建立相应的数列模型来解决.在解应用题时，是否是数列问题主要看自变量是否与正整数有关. 五、课堂练习与例题 1．一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2KB ，工作时3分钟自身复制一次，（即复制后所占内存是原来的2倍），那么，开机后（）分钟，该病毒占据64MB （1210MB KB )。

A. 45B. 48C. 51D. 422．福州某中学的研究性学习小组为考察闽江口的一个小岛的湿地开发情况，从某码头乘汽艇出发，沿直线方向匀速开往该岛，靠近岛时，绕小岛环行两周后，把汽艇停靠岸边上岸考察，然后又乘汽艇沿原航线提速返回。

设t 为出发后的某一时刻，S 为汽艇与码头在时刻t 的距离，下列图象中能大致表示S ＝f (x)的函数关系的为 ( )D.C.B.A.yyyxxxooooyx3．某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买10g 黄金，售货员先将5g 的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5g 的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（）A ．大于10gB ．小于10gC ．大于等于10gD ．小于等于10g4．13年前一笔扶贫助学资金，每年的存款利息（年利率10.00%，不纳税）可以资助100人上学，平均每人每月50元，现在（存款年利率2.5%，并且扣20%的税）用同样一笔资金每年的存款利息最多可以资助多少人上学（平均每人每月100元） ( )A 、10B 、12C 、15D 、20 5．某新区新建有5个住宅小区（A 、B 、C 、D 、E ），现要铺设连通各小区的自来水管道，请问：最短的管线长为（） A ．13 B ．14 C ．15 D ．17 6．毛泽东在《送瘟神》中写到：“坐地日行八万里”。

又知地球的体积大约是火星的8倍，则火星的大圆周长约____4_____万里。

7．代号为“狂飙”的台风于某日晚8点在距港口的A 码头南偏东60°的400千米的海面上形成，预计台风中心将以40千米／时的速度向正北方向移动，离台风中心350千米的范围都会受到台风影响，则A 码头从受到台风影响到影响结束，将持续______小时． 8．如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm 2,四周空白的宽度为10cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？9．某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件。

为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。

根据经验，每年投入的广告费是x（十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元）的函数关系式；（3）如果投入的年广告费为10 ~ 30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？10．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损率分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？11．某县与沙漠化进行长期的斗争．全县面积为 p ， 2002 年底绿化率达 25 ，从 2003 年开始，每年绿化原有沙漠面积的 15 ，但与此同时，原有绿化面积的 120 被沙化．设2002年底的绿化面积为 a 1，经过 n 年后的绿化面积为 a n +1 ． (I) 求2003年底的绿化面积 (II ) 经过多少年后，绿化率达710?12．随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a 人（4202140<<a ，且a 为偶数)，每人每年可创利10万元．据评估，在经营条件不变的前提下，若．裁员．．x 人，则留岗职员每人每年．．．．多创利0.1x 万元，但公司需付下岗职员每人每年4万元的生活费，并且该公司正常运转情况下，所裁人数不超过50人，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？六．课后练习1．天文台用3.2万元买一台观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为4910n +元（n ∈N *），使用它直至报废最合算（所谓报废最合算是指使用的这台仪器的日平均耗资最少）为止，一共使用了（）A.600天B.800天C.1000天D.1200天2．设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中240≤≤t .下经长期观观察，函数)(t f y =的图象可以近似地看成函数)sin(ϕω++=t A k y 的图象.在下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（）A ．]24,0[,6sin 312∈+=t t y πB ．]24,0[),6sin(312∈++=t t y ππC ．]24,0[,12sin312∈+=t t y πD ．]24,0[),212sin(312t t y ππ++=3．某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,则根据表中数据,就业形势一定是 ( )A.计算机行业好于化工行业.B. 建筑行业好于物流行业.C.机械行业最紧张.D. 营销行业比贸易行业紧张.4. 某产品的总成本y （万元）与产量（台）之间的函数关系是y x x =+-300020012. ()0240<<∈x x N ，，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时的最低产量是A. 100台B. 120台C. 150台D. 180台5. 《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资薪金，所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税的所得额。

此项税款按下表分段累进计算：某人一月份应纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于（） A. 800～900元 B . 900～1200元 C. 1200～1500元 D. 1500～2800元6．一个总体中有100个个体，随机编号0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m+k 的个位数字相同，若m=6，则在第7组中抽取的号码是 .7. 有一座抛物线型拱桥，高水位时，拱顶离水面2米，此时水面宽4米，当水面下降1米后，水面宽___________米。

8．某种饮料分两次提价，提价方案有三种，方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；方案乙：第一次提价q%，第二次提价p%；方案丙：每次提价p q+2%，若p>q>0，则提价最多的方案是___________。

9. 某地1990年底人口为500万，人均住房面积为6米2，若该地区的人口年平均增长率为1%，要使2000年底该地区人均住房面积为7米2，平均每年新增住房面积至少为___________万平方米（1.0110=1.104）。

10．（本小题满分12分））若汽车紧急刹车后滑行的距离y 米与刹车时的速度x km/h 的平方成正比，而某种型号的汽车在速度为60 km/h 时，紧急刹车后滑行的距离为20m ，（1）在限速为100 km/h 的高速公路上，一辆这种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离为50米，问这辆车是否超速行驶？（2）如果考虑到杀车前司机反应的误差，遇到紧急情况时汽车实际滑行的距离近似用模型b ax y +=2表示，其中b 是司机在遇到紧急情况时采取刹车前行驶的路程，2ax 是刹车后滑行的距离,如果b=20米，而一高速公路上提醒司机安全行使的车距要求是100米，那么这种型号的汽车要想在这条高速公路上安全行驶，车速应控制在什么范围？11．如图所示：将一矩形花坛ABCD 扩建为一更大的矩形花园AMPN ，要求B 在AM 上，D 在AN 上，C 在对角线MN 上，AB=3 米，AD=2米。

（1）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，AM 的长应在什么范围内？（2）当AM ，AN 为多少时，矩形AMPN 的面积最小，并求出最小面积。

A B MDN12．一艘轮船在航行中的燃料费用与速度的立方成正比，已知在速度为每小时10千米时燃料费用是每小时6元，而其它与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行使每千米的费用总和最小？13．某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x （吨）与每吨产品的价格p （元/吨）之间的关系式为：21242005p x =-,且生产x 吨的成本为50000200R x =+（元）。