循环卷积与线性卷积的实现

实验五 循环卷积与线性卷积的实现
一、实验目的
（1） 进一步理解并掌握循环卷积与线性卷积的概念； （2） 理解掌握二者的关系。

二、实验原理
两个序列的N 点的循环卷积定义为
1
0[()()]()(())N N N k h n x n h m x n m -=⊗=-∑ (0)
n N ≤< 从定义中可以看到，循环卷积和线性卷积的不同之处在于：两个N 点序列的N 点循环
卷积结果仍为N 点序列，而它们的线性卷积的结果长度则为2N -1；循环卷积对序列的移位采取循环移位，而线性卷积对序列采取线性移位。

正是这些不同，导致了线性卷积和循环卷积有不同的结果和性质。

两个序列的N 点循环卷积是它们的线性卷积以N 为周期的周期延拓。

设序列()h n 的长度为1N ，序列()x n 的长度为2N ，此时线性卷积结果的序列点数为'121N N N =+-；因此如果循环卷积的点数N 小于121N N +-，那么上述周期性延拓的结果就会产生混叠，从而两种卷积会有不同的结果。

而如果满足'N N =的条件，就有循环卷积与线性卷积的结果在0n N ≤<范围内相同。

根据DFT 循环卷积性质中的卷积定理
{[()()]}[()][()]N DFT h n x n DFT x n DFT h n ⊗=∙
因此可以根据性质先分别求两个序列的N 点DFT ，并相乘，然后取IDFT 以得到循环卷积。

三、实验分析
例题：已知有限长序列()x n 与()h n 如下图所示， （1） 画出两者之间的线性卷积 （2） 8点圆卷积。

（3） 5点圆卷积。

解析如下：
（1）()x n 与()h n 的线性卷积，由公式可知：
()*()()()m h n x n x m h n m ∞
=-∞
=
-∑
()x m 与()h m -的图形如下：
利用方格平移法：
由方格平移法可知： 当0n =时，()*()0h n x n = 当1n =时，()*()0h n x n =
当2n =时，()*()0*11*11h n x n =+= 当3n =时，()*()2*11*10*13h n x n =++= 当4n =时，()*()3*12*11*10*16h n x n =+++= 当5n =时，()*()3*12*11*10*16h n x n =+++= 当6n =时，()*()3*12*11*16h n x n =++= 当7n =时，()*()3*12*15h n x n =+= 当8n =时，()*()3*13h n x n ==
得到图形如下：
（2）()x n 与()h n 的8点圆卷积，由公式可知：
7
8880
()()(())(())()n x n h n x m h n m G n =⊗=-∑
8(())x m 与8(())h m -的图形如下：
根据下面图表可计算得到圆卷积：
取和得到圆卷积为3。

n=时：
当2
取和得到圆卷积为1。

取和得到圆卷积为6。

n=
5
取和得到圆卷积为6。

取和得到圆卷积为6。

7
n=
取和得到圆卷积为5。

得到波形如下：
（2）()x n 与()h n 的5点圆卷积，由公式可知：
4
4440
()()(())(())()n x n h n x m h n m G n =⊗=-∑
4(())x m 与4(())h m -的图形如下：
根据图标可计算得到圆卷积： 当0n =
取和得到圆卷积为6。

n=时：
当1
取和得到圆卷积为6。

n=
当2
n=
当3
取和得到圆卷积为6。

n=
当4
画出波形如下：
四、仿真实验
Matlab程序设计如下：
编写的循环卷积程序：
方法一：直接根据定义计算，程序编辑如下：
function y=circonv1(x1,x2,N)
if length(x1)>N
error('N must not be less than length of x1')
end
if length(x2)>N
error('N must not be less than length of x2')
end
x1=[x1,zeros(1,N-length(x1))];
x2=[x2,zeros(1,N-length(x2))];
n=[0:1:N-1];
x2=x2(mod(-n,N)+1);
H=zeros(N,N);
for n=1:1:N
H(n,:)=cd(x2,n-1,N);
end
y=x1*H';
function y=cd(x,m,N)
if length(x)>N
error
end
x=[x zeros(1,N-length(x))];
n=[0:1:N-1];
n=mod(n-m,N);
y=x(n+1);
方法二：根据性质先分别求两个序列的N点DFT，并相乘，然后取IDFT以得到循环卷积
function y=circonv2(x1,x2,N)
if length(x1)>N
error('N must not be less than length of x1')
end
if length(x2)>N
error('N must not be less than length of x2')
end
X1k=fft(x1,N);
X2k=fft(x2,N);
Yk=X1k.*X2k;
y=ifft(Yk);
if((all(imag(x1)==0))&&(all(imag(x2)==0))) y=real(y);
end
编写的主程序：
n=[0:1:4];m=[0:1:4];
N1=length(n);N2=length(m);
xn=ones(1,5);
hn=[0,0,1,2,3];
y1n=conv(xn,hn);
y2n=circonv2(xn,hn,N1+N2-1);
y3n=circonv1(xn,hn,N1);
ny1=[0:1:length(y1n)-1];
ny2=[0:1:length(y3n)-1];
subplot(3,1,1);
stem(ny1,y1n);
subplot(3,1,2);
stem(ny1,y2n);
subplot(3,1,3);
stem(ny2,y3n);
运行结果如下：
图表1实验结果
与理论结果一致。

五、实验小结
通过本次实验理解并掌握了循环卷积与线性卷积的概念，也掌握了两者之间的关系。

学会了matlab中线性卷积函数，以及如何编写循环卷积。

在仿真过程中出现了一些问题，由于matlab提供线性卷积函数，则只需要自己编写循环卷积，在编写过程中，没有注意到matlab 中的大小写的严格区别，导致程序运行错误。

经过反复检查之后发现了错误，经改正后得到了正确的运行结果。

收获很大。