第三章 恒定电流的电场典型例题

(3), (4) 由条件(1),(2)得，第二类齐次边界条件
且
由条件(3)得
题图3.7
由于常数也满足第二类齐次边界条件，通解中含有线性函数项，所以
由条件(4)得 由条件(3)得 要满足上式，只有
3.13 一金属圆锥，高度为，底的半径为，，锥顶与地距离为如题图 3.8所示。求该圆锥与地之间的电位，电场。 解： 圆锥电压为，锥的轴线与地面垂直，依据此边界形状，选用球坐 标求解为宜。
题图 3.17
该扇形片电阻为 （2）同样采用圆柱坐标系中的分离变量法求解。这时金属电极放在、 面上，设面上的电位为0，面上的电位为。导体中的电位应满足如下条 件： ①，； ②，； ③，； ④，。 为满足边界条件，应取 由条件①得 由条件②得 联立求解，得
， 这时扇形片的电阻为
同理由小球产生的电位
那么在空间点处的电位可以求得
题图3.4
根据这个表示式可以求出小球表面上点的电位，即小球的电位
两个导体球之间的电位差为
所以两个导体球之间的电阻为
3.10 在导体中有恒定电流而其周围媒质的电导率为零时，试证明导
体表面电通量密度的法线分量，但矢量关系不成立，式中是导体表面向
外的法线单位矢量。
由于，则可近似视电位不随变化，电位仅为坐标的函数，即电位为 一维场，。 (1)求电位。
所以 故 因此 利用两个边界条件确定常数，。 由，，。 由，得，故
题图3.8
(1)求电场强度。 因为，所以
即 3.14 如题图3.9所示的一对无限大接地平行导体板，板间有一与轴
平行的线电荷，其位置为。求板间电位函数。 解： 设其解为
. 因为随着的变化，分别按变化，所以按照变化，而在面上微元按照
变化，故在面上的积分
因此
考虑到各导体表面电位为常数，得导电媒质中总的热损耗功率
故命题得证。 3.12 求如题图3.7所示得二维区域内得电位分布。
解： 可用二维场来求解。电位满足二维拉普拉斯方程，是一个混合边 界边值问题。其解为 边界条件为 (1), (2)
(2) 所以将(1)、(2)联立求解，可得管壁和水中的电流强度
， 3.6 大气中由于存在少量的自由电子和正离子而具有微弱的导电 性。 (1)地表附近，晴天大气平均电流强度为，大气平均电流密度约为 。问大气电阻率是多大？ (2)电离层和地球表面之间的电位差为，大气的总电阻是多大？（地球半 径） 解：(1) 根据欧姆定律 可得大气电阻率为 (2) 在地面附近电流强度可求
题图3.11
所以半圆环的电阻为 半圆球的功率损耗为
3.17题一个半径为的半球形接地导体埋于电导率为的土壤中，如图 所示。
题图 3.12
（1）请导出计算接地电阻的公式。 （2）若,，该地段的大地电导率为，行人前落脚点在，后落脚点在点， 跨距为，请计算跨步电压。 解：
（1）采用镜像法，作球的镜像，如图虚线所示。 设流入球的电流为，导体球的电流分布为 电场强度为 以无穷远处为零点电位，则导体球的电压为 接地电阻为
设各电极的电位分别是各电极流出的电流是证明导电媒质中总的热损耗
功率是
证明：导电媒质中的损耗功率是
根据电位的定义
及欧姆定率
有
题图3.6
利用矢量恒等式
并考虑到均匀导电媒质中
得损耗功率 (1)
(1)式中得面积分在各导体表面无限大球面以及与的连接面上进行。
讨论(1)式：
. 在与的连接面上，因为曲面的法线方向相反，所以积分为零；
3.5 铁制水管，内、外直径分别为2.0 cm和2.5 cm，常用水管来使电 器设备接地。如果从电器设备流入到水管中的电流是20A，那么电流在 管壁和水中各占 多少？假设电阻率是0.01m。 解：单位长度的铁管电阻为
单位长度的水柱电阻为 当水管中的电流为20A时，水柱和铁管中的电流之比为
(1) 又根据题意
所以总电阻
3.7 一铜棒的横截面积为，长为，两端的电位差为。已知铜的电导
率为，铜内自由电子的电荷密度。求：
(1)电阻；(2) 电流；(3) 电流密度；(4) 棒内的电场强度；(5) 所消耗的功
率
解：(1) 铜棒电阻
(2) 铜棒内电流
(3) 铜棒内电流密度
(4) 棒内的电场强度
(5) 消耗的功率
3.8 试推导不同导电媒质的分界面上存在自由面电荷的条件
的总和。
解：
设球内任一点到球心的距离为，转轴与矢径夹角为，则该点的结速度
球内的电荷体密度
该点的电流密度
球内电流为
题图3.15
3.22 如图所示，同轴电缆的内导体半径为，外导体的内半径为，其
中填充两种漏电媒质，媒质分界面是同轴圆柱面，分界面的半径为，
内、外两层媒质的介电常数分别为、，电导率分别为、，当外加恒定电
第三章 恒定电流的电场
3.1 已知电流密度矢量， 试求：(1)穿过面积，，， 沿方向的总电流。(2)在上述面积中心处电流密度的大小。 (3)在上述面积上电流密度方向的分量的平均值。 解：(1)因为，则
， 则所求总电流为
题图3.1
(2)容易得到该面积中心点的坐标为：，，，代入的表达式后可得 到该点的电流密度矢量为 其大小为。
压时（内导体接正极），求：
（1）媒质内的电场；
（2）分界面上的自由电荷面密度。
解：
由于电缆内、外电极的电导率远大于其间填充导
电媒质的电导率，所以在计算内、外导体间导电
媒质中的恒定电场时，可以把内、外导体视为等
位体。由对称性可知，媒质中恒定电场仅有径向
分量，且、只与有关。
（1）方法一：设单位长度电缆中，由内导体流
向外导体的电流为，则
在分界上，即时，，得
由此两种媒质中的电场强度为
题图3.16
利用得
由此得：
方法二：设两种导电媒质中的电位函数分别为和，它们满足的边值问题
为
微分方程的通解为 代入边界条件决定待定系数，得到 （2）两种媒质分界面上自由电荷的面密度，可利用分界面上的边界条 件来求。
3.23 半径分别为，，厚度为，张角为的扇形电阻片（其电导率 为），如图所示。试求两种不同的极板（金属极板，不计算其电阻）放 置方法，该扇形片的电阻。 （1）两极板分别置于、面（平面）上。 （2）两极板分别置于、面（圆弧面）上。 解： （1）求导体区的电位，此为二维问题，可利用圆柱坐标系中的分离变 量法求解。导体中的电位应满足如下条件： ①， ②， ③处， 为满足上述条件，应取 由条件①得，。 由条件②得，，即
（2）如图，据题意知，，。 跨步电压为
3.18 两半球形接地体埋在地下(参见图)。若球的半径为，土壤的电 导率为，球心间的距离为，且，请计算两球间的电阻。
题图 3.13
解： 当时，可以采用孤立导体球电位的计算方法。利用镜像法，作出 半球的镜像。如图虚线所示。设流入半球的电流为，流入全球的电流 为。这样两个孤立导体球的电流分布分别为 电场强度分别为 以无穷远处为零点电位，两接地器的电位分别为 两接地器之间的电压为 两接地器间的电阻为
(3)的平均值为 由于的分布是非均匀的，所以穿过该面积沿方向的电流密度平均值和面 积的中心点处电流密度大小不相等。
3.2 流过细导线的电流沿轴向下流到中心在与轴垂直的导体薄片 上。求薄片上的电流密度矢量，并求在平面的扇形区域内的电流。
题图3.2
解：由前面的分析可知，时，电流密度矢量为 那么，在扇形区域内的电流为 需要注意的是，这里的电流密度只存在于导体薄层上，为面电流密度， 因此在求电流的时候，用的是公式，而不是，但两者本质是相同的。
层介质，其界面为。内、外层介质的介电常数及电导常数及电导率分别 为，；，。 (1) 若在内、外球间加电压，求两层介质中的及，，处的自由电荷密 度。 (2) 求此电容器的漏电阻。 解：根据题意，设从内球面流出的总பைடு நூலகம்流为，可知，则内层介质和外层 介质中的电场强度分别为
， 容易验证上面两式满足介质分界面（）处的边界条件，而内外导体间的 电压为 式中，。因此电流密度矢量为 根据，则处的电荷密度为 处的电荷密度为 处的电荷密度为 而此电容器的漏电阻为
置，介质块的相对介电常数为，两板之间的电位差保持不变，为，求作 用与介质块上的电场力。（忽略极板边缘效应）
题图3.14
解：平行板电容器中的储能为（忽略极板边缘效应）
电压不变，设位移变化量为，静电力
3.21 一个半径为的球内均匀分布着总电荷量为的电荷，该球体以角
速度绕一直径旋转，如图所示。试求球体内的电流密度并计算分布电流
3.3 有一非均匀导电媒质板,厚度为,其两侧面为良导体电极,下板表 面与坐标重合,介质的电阻率为，介电常数为，而其中有的均匀电流。 试求： (1) 介质中的自由电荷密度。 (2) 两极板间的电位差。 (3)面积为的一块介质板中的功率损耗。 解：(1)介质中的自由电荷体密度为
(2) 两极板间的电位差为 (3)面积为的一块介质板中的功率损耗为 3.4 设有同心球电容器，内球半径为，外球内半径为，中间充有两
3.19有一正方形玻璃容器，容积为，若在相对的内侧贴有两个薄铜 片电极，在容器中充满纯净水，其电导率，比热容，若在两电极间加电 压，求水温升高的速度。 解：设容器的边长为。因为，可以求出。 容器内的纯净水是均匀媒质，则
， 水的电阻 水中的电功率 水温升高的速率
3.20 平板电容器的长、宽、高为，同样尺寸的介质块处于如图位
如已知边界条件，则一定有， 故 同时有 联立求解以上两个方程，可得 于是，由此可知 题图3.10 从角区域两介质边界上的衔接条件来看，显然有，又因，，所以试探解 是唯一的真实解。又根据的导体边界条件，求得内导体表面单位长度上 的电荷量为 因此同轴线单位长度上的电容为
3.16 如图所示，厚度为的导体板做成半圆环，内半径为，外半径 为，导体的电导率为，若在截面、上加上电压，求半圆环的电阻和功率 损耗。 解： 由对称性分析可知
式中，系数由边界条件确定
题图3.9
可以将线电荷写成
其中一维函数，由下式定义：
由此可知
两端同乘以，并从积分，有
故
3.15 半径分别为的同轴线，外加电压，如题图3.10所示，圆柱面电 极间在图示角部分充满介电常数为的介质，其余部分为空气，求介质与 空气中的电场与单位长度上的电容量。 解：介质与空气中的电位必须既满足又满足导体表面的边界条件和介质 交界面的衔接条件。根据唯一性定理，采用试探方法求解，即假定电位 的解是圆柱坐标下一维坐标的对数函数，然后检验它们是否满足所有的 边界条件。设两个区域的电位函数为
解：根据电磁场的边界条件，有
在线性媒质中
所以 在分界面上
题图 3.3
故
因此，分界面上存在自由电荷的条件是
3.9 在电导率为的均匀导电媒质中有半径为的两个理想导体小球，
两球心之间的距离为有计算两导体球之间的电阻。
解：将两导体球作为两个电极，假定其间电流为。由于因此可认为两个
小球互不影响。
在空间点由小球产生的电位
证明：可以从界面上法线方向和切线方向去分析
. 法向
在媒质1中因为
所以，由欧姆定律得
在边界上有
于是可知媒质2中电流沿界面流动，
题图3.5
由
得
根据电位移矢量的边界条件，可得
. 切向
媒质2中
于是在边界上有
故
综上所示，边界上有
而电位移矢量
因此，命题得证。
3.11 无限大均匀导电媒质中有分布在有限区域的个理想导电电极，