子空间的和与直和

5.5 子空间的和与直和

授课题目：

子空间的和与直和. 教学目标：

1．理解并掌握子空间的概念.

2．掌握子空间的判别方法，熟悉几种常见的子空间. 3．掌握子空间的交与和的概念. 授课时数：3学时

教学重点：子空间的判别. 教学难点：子空间的交与和． 教学过程：

一 子空间的的和 回忆:

令W 是数域F 上向量空间V 的一个非空子集.如果W 对于V 的加法以及标量与向量的乘法来说是封闭的，那么就称W 是V 的一个子空间. 一个向量空间V 本身和零空间叫做V 的平凡子空间。V 的非平凡子空间叫做V 的真子空间。

1. 定义：设12,W W V ⊆，则称V 的子集{}121122/,W W αααα+∈∈ 为1212w w W W +与的和，记为

即12W W +={}121122/,W W αααα+∈∈

定理5.5.1：若12,W W 均为V 的两个子空间，则12W W +仍然是子空间.

证明：12,W W θθθθθ∈∈∴=+∈12W W +故12W W +≠φ 对121212,,,,a b F W W αβαααβββ∀∈∉+=+=+有，

111222,,,W W αβαβ∈∈ 12W W +均为v 子空间.

∴

111222,a b W a b W αβαβ+∈+∈

于是

()()()()1212112212a b a b a b a b W W αβααββαβαβ+=+++=+++∈+

∴

12W W +是V 的子空间。

推广：12,,

,n W W W V n 为的个子空间，则

{}12121122/,,

,n n n n W W W W W W αααααα++

+=++

+∈∈∈

仍然是V 的子空间.

补充：若1W =L ()r ααα,,,21 ，()212,,,t W L βββ=

则12W W +=L ()t r βββααα,,,,,,,2121

证明：∈γ12W W +，有βαγ+=，12,W W αβ∈∈ 设r r k k k αααα+++= 2211

t t l l l ββββ+++= 2211

∴ =+=βαγr r k k k ααα+++ 2211+βββt l l l +++ 2211

∴

12W W +=L ()t r βββααα,,,,,,,2121

定理5.5.2 维数定理。dim(12W W +)=dim ()1212dim dim W W W W +-⋂

证明: 设1

2dim()0,W W r => 取12W W 的一个基为12{,,,},r ααα 因为12W W

同是12,W W 的子空间, 所以可以分别扩充成1W 与2W 的基

121{,,,,,,},r s αααββ (2) 121{,,

,,,

,},r t αααγγ (3)

这里12dim ,dim .W r s W r t =+=+ 下面证明1211{,,

,,,,,,,}r s t αααββγγ (4)是12W W +的基.

显然, 12W W +中每个向量都可以由(4)线性表示, 只需证明(4)线性无关. 设112211110,r r s s t t a a a b b c c αααββγγ+++++++++= 则1122111112.r r s s t t a a a b b c c W W αααββγγ++

+++

+=--

-∈+

于是在F 中存在12,,,,r k k k 使得1111,t t r r c c k k γγαα--

-=+

+

即11110.r r t t k k c c ααγγ+++++=

由于121,,

,,,

,r t αααγγ是2W 的基, 所以

1210,0.r t k k k c c =====

==

于是 11110.r r s s k k b b ααββ+++++=

由于121,,

,,,

,r s αααββ是1W 的基, 所以

1210,0.r s k k k b b =======

这样(4)线性无关, 从而(4)是12W W +的基. 从而

12dim()W W r s t r s r t r +=++=+++- 121

2dim dim dim().W W W

W =+-

对于0r =时, 仿照上面的证明, 把1W 和2W 的基拼起来就是和的基.

推论：①dim(12W W +)≤dim 12dim W W +

②当且仅当12W W ⋂={0}时()12dim W W +=dim 12dim W W + ③dim 12dim W W +＞n,则12W W ⋂{}0≠

例1：设有向量组()()()0,3,0,3,1,1,0,2,1,2,0,1321=-==ααα

()()1,3,1,4,1,0,1,121==ββ

令()()12312,,,,V L V L αααββ==，求12V V +的维数和一组基 解：由于12V V +=()()21321,,,ββαααL L

+=L ()2131,,,,ββααα

故12V V +的维数就是向量2131,,,,ββααα的秩，而这个向量组的极大无关组也是12V V +的基。

将2131,,,,ββααα为列作矩阵施行初等行变换：

B A =⎥

⎥

⎥⎥⎦

⎤

⎢

⎢⎢⎢⎣⎡-−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢

⎢⎢

⎢⎣⎡--−−→−⎥⎥

⎥⎥⎦⎤⎢

⎢⎢

⎢⎣⎡-=-00000101011100000011

1101130312110001101

11101130312110004132131γγ 由于秩（A ）=秩（B ）=3，且由B 知，第2，3，4列线性无关，故132,,βαα便是12V V +的一个基。（杨子胥—下册—154）

例2：()()()1,1,1,1,1,0,0,1,1,0,1,1321-===ααα

()()0,1,1,0,1,0,2,121==ββ

求()()21321,,,ββαααL L +和()321,,αααL ()21,ββL 的基和维数