三维晶格振动

§3.2 三维晶格的振动
3.2.1 色散关系 1.模型
设三维无限大的晶体,每个原胞中有n个原子，各原子的质 量分别为 m1 , m 2 , m 3 , , m n ; 原胞中这n个原子平衡时的相对
位矢分别为 r 1 , r 2 , r 3 , , r n 。
R l r s 表示平衡时顶点位矢为 R l 的原胞内第s个原子的
答: 晶格振动的波矢数目 =晶体的原胞数N， 格波振动频率数目=晶体的自由度数mNn，
晶体中格波的支数=原胞内原子的自由度数mn。 金刚石结构为复式格子, 每个原胞有2个原子。
m 3, n 2,
有6支格波，3支声学波，3支光学波。 振动模式数为6N。
试探解：
u l s
As e i t R l r s .q As e i t R l .q
可得到3n 个线性齐次方程。
m s 2 As
As有非零解,必须其系数行列式为零
在3n个实根中，其中有3个当波矢q 0时,
Rl N1 a1
(l 1 N 1 )a 1 l 2 a 2 l 3 a 3
Rl N 2 a 2
a2 Rl a1
Rl N1 a1
Rl N 2 a 2
l1 a 1 (l 2 N 2 )a 2 l 3 a 3
根据玻恩---卡门周期性条件：
l l l l N1 , l2l3 u l u 1, 2, 3 u 1 s s s l u l1,l 2, l 3 u l1 , l 2 N 2, l 3 u s s s l ,l l N3 l l l u l u 1, 2, 3 u 1 2 , 3 s s s
为波矢的基矢，波矢的点阵亦具有周期性。
每个波矢代表点占有的体积为：
b1 b2 b3 Ω (2π)3 (2π)3 N2 N3 N N1 NΩ Vc
b2 N2
b1 N1
正格子原胞体积
晶体体积
(二维图示)
波矢密度：波矢空间中单位体积的波矢数目。
Vc 1 ( 2 π) 3 ( 2 π) 3 Vc
i ( t R l q ) i t R l q N 1 a 1 q
l 2 2 l
a2 Rl a1
Rl N1 a1
l
l
3 3
N 1 a 1 q 2π1 N 2 a 2 q 2π 2
N 3 a 3 q 2π 3
a1 q
1
N1
2π
a2 q
2
N2
2π
(1、2、3为整数)
a3 q
3
N3
2π
波矢 q 具有倒格矢的量纲，得出:
q 1 b1 b2 b3 2 3 N1 N2 N3
(b 1、2、3为倒格基矢 b b )
b1 b 2 b 3 三维格波的波矢不是连续的而是分立的，其中 N 、 、 1 N2 N3
第二节 三维晶格的振动
本节主要内容:
3.2.1 色散关系 3.2.2 波矢q的取值和范围
模型
运动方程
试探解
一维问题的处理步骤: 2 2n-2 2n-1 2n+1 2n+2 m n M a .. M x 2n x 2 n1 x 2n1 2 x 2n
m x 2 n 1 x 2 n 2 x 2 n 2 x 2 n 1
( 2 π) 3 每个波矢代表点占有的体积为： Vc q q K h
l u ( q ) As e i t R l .( q K h ) s
As e
i t R l .q
u ( q ) l
位矢；
u l 表示顶点位矢为 R l 的原胞内 s 第s个原子离开平衡位置在方向的位移。
rs
Rl
(2)运动方程和解
l m s u Biblioteka Baidu s
..
(=1,2,3；s=1,2,3,·,n) · ·
[ (=3,s=n)共有3n个方程]
在简谐近似下，上式的右端是位移的线性代数式。
晶格振动的波矢数目 =晶体的原胞数N， 格波振动频率数目=晶体的自由度数， 格波的支数=原胞内原子的自由度数。
一维单原子链，设晶体有N个原胞。
原胞内原子的自由度数=1
晶体的自由度数=N
1支格波
频率数为N
一维双原子链，设晶体有N个原胞。
原胞内原子的自由度数=2 2支格波
晶体的自由度数=2N
频率数为2N
3n个的实根
Ai v Ai (q)q , (i 1,2 ,3) 这3支格波称为声学支格波。
其余的(3n-3)支格波的频率比声学波的最高频率还要高称
之为光学支格波。
3.2.2 波矢q的取值和范围
设晶体有N个原胞,原胞的基矢为： a 1 , a 2 , a 3 ; 沿基矢方向各有N1、N2、N3个原胞, N N 1 N 2 N 3
..
色散关系
x 2 n 1 Ae i t 2 n 1aq
x2 n
波矢q范围 B--K条件
2
Be
i t 2 naq
{( m M ) m 2 M 2 2mM cos 2aq } mM
π π q 2a 2a
波矢q取值
x 2 n x 2( n N )
s
将 q 的取值限制在一个倒格子原胞范围内，此区间称为简 约布里渊区。
Vc Ω N Ω 波矢可取的数目： Ω ( 2 π) 3 ( 2 π) 3 N

3支声学波
A (q )
N 3 N (3n 3) 3nN
q
(3n-3)支光学波 O (q )
晶格振动频率数目:
l u A e i t R l .q s
Rl N 2 a 2
e e e i ( t R q ) e i t R q N a q i t R q N a q i ( t R q ) e e
设晶体有N个原胞,每个原胞有n个原子, 晶格振动的波矢数目 =晶体的原胞数N， 格波振动频率数目=晶体的自由度数mNn，
晶体中格波的支数=原胞内原子的自由度数mn。
m支声学波，m(n-1)支光学波，这里m是晶体的维数，n
是原胞中原子的数目。
例2：金刚石结构有几支格波?几支声学波?几支光学波?设晶 体有N个原胞，晶格振动模式数为多少?