排列组合综合(讲师版)
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高考数学一轮复习第十一章计数原理11.1排列、组合获奖课件名师公开课
例3 (2017浙江吴越联盟测试,13)2 016是这样一个四位数,其各个数位 上的数字之和为9,则各个数位上的数字不同且其和为9的四位数共有
个. 解题导引 对各数位上的数字是否含0进行讨论→把四个不同数字之和为9 的组合列出来→用排列和分步计数原理得结论
解析 对构成满足条件的四位数各数位上的数字是否含0进行分类讨 论.若不含0,则有1+2+3+4=10>9,不成立;若含0,则9可以改写为9=0+1+2 +6=0+1+3+5=0+2+3+4,此时满足条件的四位数共有3×3× A 33=54个. 答2 880种站法.
5
(5)(方程思想)设甲、乙、丙三人顺序一定的站法有x种,则x A =33 A ,99∴x=
A
9 9
=60 480(种).
A
3 3
评析 在解决排列、组合综合性问题时,必须深刻理解排列与组合的概 念,能够熟练确定一个问题是排列问题还是组合问题,牢记排列数、组 合数计算公式与组合数性质.容易产生的错误是重复和遗漏计数.
解析
分两种情况讨论,若甲组2人,则有 C
2 5
种方法,此时将剩余的3人分
给乙、丙两组,有 C
2 3
·A
22种方法,共有
C
2 5
C ·32 A种22 方法;若甲组3人,则有
C
3 5
种方法,此时将剩余的2人分给乙、丙两组,有 A
22种方法,共有
C
3 5
A
种2 方 2
法.因此不同的分配方案的种数为 C
2 5
类、分步标准,确保不重不漏.
例1 用三种不同的颜色,将如图所示的四个区域涂色,每种颜色至少用
高考数学一轮复习课件选修第6课排列、组合的综合问题
2、区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键是看所选出的元素与顺序是否 有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则是组合 问题。
基础知识回顾与梳理
3、有关排列、组合的混合问题，解题应遵循先选后排的原则。 4、解决有限制条件的排列问题最基本的方法是特殊（元素）优先法、捆绑法、 插空法等等。
插空法 除法 间接法
不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制元素的排列，再将不相邻 的元素插在前面元素排列的空中。
对于定序问题，可以先不考虑顺序限制，排列后，再除以定元素的 全排列。
正难则反，等价转化的方法
范例导析
变式：若7人站成一排，其中4男3女，要求男女生 相间，则有多少种站法？
解题反思
1．排列组合应用题的背景丰富无特定的模式和规律可循，背景陌生时，必须认真 审题，把握问题的本质特征，并善于把问题转化为排列组合的常规模式进而求解。
诊断练习
题1：某同学逛书店，发现三本喜欢的书，
_____种。
7
决定至少买其中一本，则 购物方案有
题2：用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为_____
48
诊断练习
题3：一天的课表有六节，其中上午4节，下午2节，要安排语文、数学、英语、 微机、体育、地理6节课，要求上午第一节不安排体育课，数学课必须安排在 上午，微机必须安排在下午，有_________种不同的排课方法？
156
诊断练习
题4：3位男生和3位女生共6位同学站 成一排，若男生甲不站两端，3位女生 中有且只有两位女生相邻，则不同的 排法种数是________．
范例导析
例1、6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法： （1）分给甲、乙、丙三人，每人2本； （2）分为三份，每份2本； （3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本； （4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本； （5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本。
基础知识回顾与梳理
3、有关排列、组合的混合问题，解题应遵循先选后排的原则。 4、解决有限制条件的排列问题最基本的方法是特殊（元素）优先法、捆绑法、 插空法等等。
插空法 除法 间接法
不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制元素的排列，再将不相邻 的元素插在前面元素排列的空中。
对于定序问题，可以先不考虑顺序限制，排列后，再除以定元素的 全排列。
正难则反，等价转化的方法
范例导析
变式：若7人站成一排，其中4男3女，要求男女生 相间，则有多少种站法？
解题反思
1．排列组合应用题的背景丰富无特定的模式和规律可循，背景陌生时，必须认真 审题，把握问题的本质特征，并善于把问题转化为排列组合的常规模式进而求解。
诊断练习
题1：某同学逛书店，发现三本喜欢的书，
_____种。
7
决定至少买其中一本，则 购物方案有
题2：用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为_____
48
诊断练习
题3：一天的课表有六节，其中上午4节，下午2节，要安排语文、数学、英语、 微机、体育、地理6节课，要求上午第一节不安排体育课，数学课必须安排在 上午，微机必须安排在下午，有_________种不同的排课方法？
156
诊断练习
题4：3位男生和3位女生共6位同学站 成一排，若男生甲不站两端，3位女生 中有且只有两位女生相邻，则不同的 排法种数是________．
范例导析
例1、6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法： （1）分给甲、乙、丙三人，每人2本； （2）分为三份，每份2本； （3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本； （4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本； （5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本。
排列组合的综合应用(公开课)
种
练习题 要求某几个元素必须排在一起的问题 ,可以用捆绑 法来解决问题 . 即将需要相邻的元素合并为一个元 2、某人射击 8 枪，命中4枪，4枪命中恰好有3 素 , 再与其它元素一起作排列 , 同时要注意合并元素 枪连在一起的情形的不同种数为（ 20 ） 内部也必须排列.
三.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞 蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
解决排列组合综合性问题的一般过程如下:
1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类, 或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无 序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.
※解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此 必须掌握一些常用的解题策略
十四. 合理分类与分步策略 例14.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱 歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目, 有多少选派方法? 解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞 ，3人 为全能演员。以只会唱歌的5人是否选上唱歌 人员为标准进行研究只会唱的5人中没有人选 上唱歌， C 共有 C ____种,只会唱的5人中只有1人 选上唱歌共有 种,只会唱的5人中只有 C C________ C 2人选上唱歌，共有 C C ____种，由分类计数原理 2 1 1 2 2 2 共有 种。 C32C________________ C C C C 3 5 3 4 5 C5
排列组合的综合应用
复习巩固
1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的 方法，在第2类办法中有m2 种不同的方法，…，在第n类 办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． N=m1 +m2 + +mn
排列组合公开课PPT课件一等奖新名师优质课获奖比赛公开课
排列组合解题技巧综合复习
教学目旳 教学过程 课堂练习 课堂小结
1.熟悉处理排列组合问题旳基本 措施;
2.让学生掌握基本旳排列组合应用 题旳解题技巧;
3.学会应用数学思想分析处理排 列组合问题.
一 复习引入
二 新课讲授
排列组合问题在实际应用中是非常广泛旳, 而且在实际中旳解题措施也是比较复杂旳,下面 就经过某些实例来总结实际应用中旳解题技巧.
n! (n m)!
4.组合数公式:
Cn m
An m Am m
n(n 1)(n 2)(n m 1) m!
n!
m!(n m)!
排列与组合旳区别与联络:与顺序有关旳
为排列问题,与顺序无关旳为组合问题.
例1 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。 8个学生，4个老师，要求老师在学生之间，且老师互不 相邻，共有多少种不同旳坐法？
例4 袋中有不同旳5分硬币23个,不同旳1角硬币10个, 假如从袋中取出2元钱,有多少种取法? 分析 此题是一种组合问题,若是直接考虑取钱旳问题 旳话,情况比较多,也显得比较凌乱,难以理出头绪来.但 是假如根据组合数性质考虑剩余问题旳话,就会很轻 易处理问题.
解 把全部旳硬币全部取出来,将得到 0.05×23+0.10×10=2.15元,所以比2元多0.15元,所 以剩余0.15元即剩余3个5分或1个5分与1个1角,所以 共有 C233 C213种 C取110 法.
（1）分为两组，一组7人，一组5人； （2）分为甲、乙两组，甲组7人，乙组5人； （3）分为甲、乙两组，一组7人，一组5人； （4）分为甲、乙两组，每组6人； （5）分为两组，每组6人； （6）分为三组，一组5人，一组4人，一组3人； （7）分为甲、乙、丙三组，甲组5人，乙组4人，丙组3人； （8）分为甲、乙、丙三组，一组5人，一组4人，一组3人； （9）分为甲、乙、丙三组，每组4人； （10）分为三组，每组4人．
教学目旳 教学过程 课堂练习 课堂小结
1.熟悉处理排列组合问题旳基本 措施;
2.让学生掌握基本旳排列组合应用 题旳解题技巧;
3.学会应用数学思想分析处理排 列组合问题.
一 复习引入
二 新课讲授
排列组合问题在实际应用中是非常广泛旳, 而且在实际中旳解题措施也是比较复杂旳,下面 就经过某些实例来总结实际应用中旳解题技巧.
n! (n m)!
4.组合数公式:
Cn m
An m Am m
n(n 1)(n 2)(n m 1) m!
n!
m!(n m)!
排列与组合旳区别与联络:与顺序有关旳
为排列问题,与顺序无关旳为组合问题.
例1 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。 8个学生，4个老师，要求老师在学生之间，且老师互不 相邻，共有多少种不同旳坐法？
例4 袋中有不同旳5分硬币23个,不同旳1角硬币10个, 假如从袋中取出2元钱,有多少种取法? 分析 此题是一种组合问题,若是直接考虑取钱旳问题 旳话,情况比较多,也显得比较凌乱,难以理出头绪来.但 是假如根据组合数性质考虑剩余问题旳话,就会很轻 易处理问题.
解 把全部旳硬币全部取出来,将得到 0.05×23+0.10×10=2.15元,所以比2元多0.15元,所 以剩余0.15元即剩余3个5分或1个5分与1个1角,所以 共有 C233 C213种 C取110 法.
（1）分为两组，一组7人，一组5人； （2）分为甲、乙两组，甲组7人，乙组5人； （3）分为甲、乙两组，一组7人，一组5人； （4）分为甲、乙两组，每组6人； （5）分为两组，每组6人； （6）分为三组，一组5人，一组4人，一组3人； （7）分为甲、乙、丙三组，甲组5人，乙组4人，丙组3人； （8）分为甲、乙、丙三组，一组5人，一组4人，一组3人； （9）分为甲、乙、丙三组，每组4人； （10）分为三组，每组4人．
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题目2：从7个不同元素 中取出4个元素的组合数 ，其中某特定元素可以 不被取出。
答案1：$A_{7}^{4} A_{6}^{3} = 7 times 6 times 5 times 4 - 6 times 5 times 4 = 336$
答案2：$C_{7}^{4} C_{6}^{3} = frac{7 times 6 times 5 times 4}{4 times 3 times 2 times 1} - frac{6 times 5 times 4}{3 times 2 times 1} = 28$
排列组合问题的变种与拓展
排列组合问题的变种
如“带限制的不同元素的排列组合” 、“重复元素的排列组合”等，需要 进一步拓展学生的思路。
拓展方法
通过变种问题的解析，引导学生深入 思考排列组合问题，并掌握其变化规 律，为解决更复杂的问题打下基础。
04
CATALOGUE
排列组合的数学原理
排列组合的数学原理简介
数学教育的核心
排列组合是数学教育中的 重要内容，对于培养学生 的数学素养和解决问题的 能力具有重要意义。
解决排列组合问题的方法与技能
乘法原理
加法原理
乘法原理是解决排列组合问题的基础，通 过将各个独立事件的产生概率相乘，可以 计算出复合事件的产生概率。
加法原理用于计算具有互斥性的事件的概 率，通过将各个互斥事件的产生概率相加 ，可以得到总的产生概率。
解析方法
通过实例演示和讲授，帮助学生理解排列组合的基本概念和计算方法，同时引导 学生思考如何解决实际问题。
实际问题的排列组合解决方案
实际问题的排列组合
如“安排会议”、“排定演出节目单”、“安排生产计划” 等，需要结合具体情境进行分析。
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10$
进阶练习题
题目：在数字"202X"中，各位数字相加和为10，称该 数为"如意四位数"，用数字0，1，2，3，4，5组成的
无重复数字且大于202X的"如意四位数"有____个．
输标02入题
01
答案：12
03
答案：10
04
题目：在数字``202X''中，各位数字相加和为10，称该数 为``如意四位数''，用数字0，1，2，3，4，5组成的无重 复数字且大于202X的``如意四位数''有____个．
确定元素
确定题目中涉及的元素，并理 解元素之间的关系。
确定限制条件
理解题目中的限制条件，如是 否可以重复、是否需要排序等
。
建立数学模型
根据问题类型、元素和限制条 件，建立相应的数学模型。
常见题型解析
排列问题
如“5个人排成一排，有多少种不同的排法？”这类问题需要斟酌到顺序，使用排列公式 $A_n^m = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$进行计算。
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（ 0<m≤n），依照一定的顺序排成 一列，叫做从n个元素中取出m个
元素的一个排列。
排列的计算公式
P(n, m) = n! / (n-m)!，其中"!"表 示阶乘。
排列的特性
排列与取出元素的顺序有关，元素 相同但顺序不同是不同的排列。
组合的定义
01
02
03
组合的定义
从n个不同元素中取出m个元素（不放回） 进行排列，得到的排列数记为$A_{n}^{m}$ 。
组合数定义
进阶练习题
题目：在数字"202X"中，各位数字相加和为10，称该 数为"如意四位数"，用数字0，1，2，3，4，5组成的
无重复数字且大于202X的"如意四位数"有____个．
输标02入题
01
答案：12
03
答案：10
04
题目：在数字``202X''中，各位数字相加和为10，称该数 为``如意四位数''，用数字0，1，2，3，4，5组成的无重 复数字且大于202X的``如意四位数''有____个．
确定元素
确定题目中涉及的元素，并理 解元素之间的关系。
确定限制条件
理解题目中的限制条件，如是 否可以重复、是否需要排序等
。
建立数学模型
根据问题类型、元素和限制条 件，建立相应的数学模型。
常见题型解析
排列问题
如“5个人排成一排，有多少种不同的排法？”这类问题需要斟酌到顺序，使用排列公式 $A_n^m = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$进行计算。
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（ 0<m≤n），依照一定的顺序排成 一列，叫做从n个元素中取出m个
元素的一个排列。
排列的计算公式
P(n, m) = n! / (n-m)!，其中"!"表 示阶乘。
排列的特性
排列与取出元素的顺序有关，元素 相同但顺序不同是不同的排列。
组合的定义
01
02
03
组合的定义
从n个不同元素中取出m个元素（不放回） 进行排列，得到的排列数记为$A_{n}^{m}$ 。
组合数定义
排列组合公式市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
，k个物体属于第二类，… ，k个物体属于 第(k-1)!类。
推论
• 多项式(x1+x2+…+xn)r旳展开式中有
项
x x k1 k2 12
xnkn旳系数为
。
(2x1 3x2 5x3 )6
x13 x2 x32
(x1 x2 xr )n
n1 n1
,nn22,, nr 为nr 非 n负整数
组合数旳推广
Cnr
n! r!(n r)!
n(n
1)(n r!
r
1)
n r
R,r Z
r
(
1)(
r! 1,
0,
r
1)
,r r r
0 0 0
计算
1 2 3
1
2 3
1 2 0
53
例题
• 假如一种凸十边形无三条对角线在这个十边形旳 内部交于一点，问这些对角线被它们旳交点提成 多少条线段？
3, x2 ≥ 1,x3 ≥ 0,x4 ≥ 5。
例题
• 从为数众多旳一分币、二分币、一角币和二 角币中，能够有多少种措施选出六枚来？
• F(4,6)=C(4+6-1,6)=C(9,6)=84
例题
• 某糕点厂将8种糕点装盒，若每盒有一打糕 点，求市场上能买到多少种该厂出品旳盒 装糕点？
• 某糕点厂将8种糕点装盒，若每盒有一打糕 点，且要求每种糕点至少放一块。求市场 上能买到多少种该厂出品旳盒装糕点？
多边形
例题
• 对角线旳条数为C(10,2)-10=45-10=35 • 任选两条对角线，可能相交在多边形内部，可能
交点为多边形旳顶点，可能无交点（交点在多边 形外） • 任选四个顶点，相应一种交点，每个对角线提成 两段 • 每个对角线是一段 • 35+C(10,4) × 2=455
推论
• 多项式(x1+x2+…+xn)r旳展开式中有
项
x x k1 k2 12
xnkn旳系数为
。
(2x1 3x2 5x3 )6
x13 x2 x32
(x1 x2 xr )n
n1 n1
,nn22,, nr 为nr 非 n负整数
组合数旳推广
Cnr
n! r!(n r)!
n(n
1)(n r!
r
1)
n r
R,r Z
r
(
1)(
r! 1,
0,
r
1)
,r r r
0 0 0
计算
1 2 3
1
2 3
1 2 0
53
例题
• 假如一种凸十边形无三条对角线在这个十边形旳 内部交于一点，问这些对角线被它们旳交点提成 多少条线段？
3, x2 ≥ 1,x3 ≥ 0,x4 ≥ 5。
例题
• 从为数众多旳一分币、二分币、一角币和二 角币中，能够有多少种措施选出六枚来？
• F(4,6)=C(4+6-1,6)=C(9,6)=84
例题
• 某糕点厂将8种糕点装盒，若每盒有一打糕 点，求市场上能买到多少种该厂出品旳盒 装糕点？
• 某糕点厂将8种糕点装盒，若每盒有一打糕 点，且要求每种糕点至少放一块。求市场 上能买到多少种该厂出品旳盒装糕点？
多边形
例题
• 对角线旳条数为C(10,2)-10=45-10=35 • 任选两条对角线，可能相交在多边形内部，可能
交点为多边形旳顶点，可能无交点（交点在多边 形外） • 任选四个顶点，相应一种交点，每个对角线提成 两段 • 每个对角线是一段 • 35+C(10,4) × 2=455
《排列组合综合应用》课件
组合的加法原理和乘法原理
组合的加法原理
如果一个组合由两个互不相干的 子组合组成，则它们的组合数相
加。
组合的乘法原理
如果一个组合可以分为几个连续 的子组合，则它们的组合数相乘
。
举例
有5个不同的红球和3个不同的蓝 球，从中取出3个球，按颜色分
为红球和蓝球的组合数为 $C_{5}^{3} + C_{3}^{3}$。
如何设计有效的市场推广方案
市场定位分析
利用排列组合原理，分析 目标市场的特点，确定合 适的市场定位策略。
推广渠道选择
根据市场定位和目标客户 群体，选择有效的推广渠 道，如广告、公关、促销 等。
营销组合策略
制定合理的价格、渠道、 促销等营销组合策略，以 提高市场推广效果。
如何优化旅游行程安排
景点选择与搭配
综合练习题
题目1
有10名学生报名参加3个不同的课外活动，每个活动都至少有一名学生参加，问共有多少种不同的报名方式？
题目2
有12名学生报名参加学校的运动会，其中6人报名参加跑步比赛，4人报名参加跳远比赛，2人报名参加投掷比赛，问 共有多少种不同的参赛方式？
答案解析
综合练习题难度较大，考察了排列组合在实际问题中的应用。这些题目需要运用排列组合的原理和技巧 ，结合实际问题的限制条件进行解答。通过这些练习，学生可以加深对排列组合综合应用的理解，提高 解决实际问题的能力。
重复计数问题
总结词
在排列组合计算中，由于对重复元素的 处理不当，导致重复计算。
VS
详细描述
重复计数问题是指在进行排列组合计算时 ，由于对重复元素的考虑不周，导致对某 些组合进行了重复计算。例如，在计算从 5个不同元素中取出3个元素的排列数时 ，如果将其中两个元素视为相同，就会导 致重复计数。
排列组合ppt
解: (1) ①位置分析法: N A51 A53 300
②元素分析法: N A54 A31 A53 120180 300 ③间接法: N A64 A53 360 60 300
(2)位置分析法: N A53 A21 A41 A42 60 96 156 (3)位置分析法: N A53 A41 A42 60 48 108
例4:某班级有8名志愿者，其中3名男生，5名 女生，现要选派3名志愿者帮助社区打扫教室.
（1）恰好有1名男生，有多少种不同的选派方法？ （2）至少有1名男生，有多少种不同的选派方法？ （3）至少有1名男生和1名女生，有多少种不同的选
派方法？Βιβλιοθήκη 练习４:１．从6名学生和4名教师中选出3人参加“文明风采”比 赛， （1）选出的3人中恰有1名学生的选法有多少种？ （2）选出的3人中至少有1名学生的选法有多少种？ （3）选出的3人中，既有教师又有学生的选法有多
学好数学要做到——勤练、善思
一、教学目的与要求
1.能利用排列数及组合数公式熟练解决排列组合的 计算问题
2.熟悉解决排列组合问题的基本方法;
3.让学生掌握基本的排列组合应用题的解题技巧;
4.学会应用数学思想分析解决排列组合问题.
二、知识结构
基本 原理
排列 组合
二项式 定理
排列数公式 组合数公式 组合数性质 展开式 通项公式 系数性质
年VIP
月VIP
连续包月VIP
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每月专享9次VIP专享文档下载特权， 自VIP生效起每月发放一次，持续有 效不清零。自动续费，前往我的账号 -我的设置随时取消。
②元素分析法: N A54 A31 A53 120180 300 ③间接法: N A64 A53 360 60 300
(2)位置分析法: N A53 A21 A41 A42 60 96 156 (3)位置分析法: N A53 A41 A42 60 48 108
例4:某班级有8名志愿者，其中3名男生，5名 女生，现要选派3名志愿者帮助社区打扫教室.
（1）恰好有1名男生，有多少种不同的选派方法？ （2）至少有1名男生，有多少种不同的选派方法？ （3）至少有1名男生和1名女生，有多少种不同的选
派方法？Βιβλιοθήκη 练习４:１．从6名学生和4名教师中选出3人参加“文明风采”比 赛， （1）选出的3人中恰有1名学生的选法有多少种？ （2）选出的3人中至少有1名学生的选法有多少种？ （3）选出的3人中，既有教师又有学生的选法有多
学好数学要做到——勤练、善思
一、教学目的与要求
1.能利用排列数及组合数公式熟练解决排列组合的 计算问题
2.熟悉解决排列组合问题的基本方法;
3.让学生掌握基本的排列组合应用题的解题技巧;
4.学会应用数学思想分析解决排列组合问题.
二、知识结构
基本 原理
排列 组合
二项式 定理
排列数公式 组合数公式 组合数性质 展开式 通项公式 系数性质
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排列组合的综合运用(PPT)4-2
例1：7种不同的花种在排成一列的花盆里， 若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花 盆中，问有多少不同的种法？
小结：当排列或组合问题中，若某些元素或某些位置有特殊要 求 的时候，那么，一般先按排这些特殊元素或位置，然后再 按排其它元素或位置，这种方法叫特殊元素（位置）分析法。
例2：要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目 的节目单，如果舞蹈节目不排头，并且任何2个 舞蹈节目不连排，则不同的排法有几种？
例7 期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有 多少种不同的安排顺序? 分析 对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲的 话,他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列中,他 们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种情况,能 够得到全体,那么问题就可以解决了.并且也避免了问题 的复杂性.
解 不加任何限制条件,整个排法有 种A99,“语文安排在数 学之前考”,与“数学安排在语文之前考”的排法是相 等的,所以语文安排在数学之前考的排法共有 种12 .A99 结论 对等法:在有些题目中,它的限制条件的肯定与否 定是对等的,各占全体的二分之一.在求解中只要求出 全体,就可以得到所求.
小结：当某几个元素要的元素按要求插入已排好元素 的空隙之中，这种方法叫插空法。
例3：某工厂制造的一台机器要按装一排8个不同的按钮，
其中3个方按钮一定要装在一起，而且红色方钮必在另两
方钮中间，有多少种装法？
捆绑法
的符号。 按照IUPAC的指引，D 或 H 和 T 或 H 都可以使用，但推荐使用 H 和 H(同位素相对原子质量不同），生活中通常使用氕。 氢在自然界中存在的同 位素有： 氢的同位素氕的电子排布 氢的同位素氕的电子排布 氕（piē）（氢，H） 氘（dāo）（氢，重氢，D） 氚（chuān）（氢，超重氢，T） 以人工方法 合成的同位素有： 氢4、氢、氢、氢7 氕（氢-） 氕； 快乐作文培训加盟 快乐作文培训加盟 ；的原子核只有一个质子，丰度达 . % ，是 构造第二简单的的原子。 氘（氢-） 氘为氢的一种稳定形态同位素，也被称为重氢，元素符号一般为H或D。它的原子核由一颗质子和一颗中子组成。在大自 然的含量约为一般氢的7分之一。氢（H）的同位素,其相对原子质量为普通轻氢的二倍,少量的存在于天然水中,用于核反应,并在化学和生物学的研究工作中作 示踪原子（deuterium）——亦称“重氢”,元素符号D。 氚（氢-） 氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，元素符号为T或H。它的原子核由一颗质子和两颗中 子所组成，并带有放射性，会发生β衰变，其半衰期为.4年。自然界中存在极微，从核反应制得。主要用于热核反应。 氢-4 氢-4是氢的同位素之一，它包含 了质子和三个中子。在实验室里，是用氘的原子核来轰炸氚的原子核，来合成一个氢4的原子核。在这过程中，氚的原子核会从氘的原子核上吸收一个中子。 氢4的质量为4.7 U，半衰期为 . ×-秒。 氢-4. 氢-4.结构上类似氦，它包含了个质子和个中子，但因其中一个电子是渺子，但由于渺子的轨道特殊，轨道非常 接近原子核，而最内侧的电子轨道与渺子的轨道相较之下在很外侧，因此，该渺子可视为原子核的一部份，所以整个原子可视为：原子核由个渺子、个质子 和个中子组成、外侧只有一个电子，因此可以视为一种氢的同位素，也是一种奇异原子。一个渺子重约.U，故名氢- 4.（4.H）。氢-4.原子可以与其他元素反 应，和行为更像一个氢原子不是像惰性的氦原子。 氢- 氢-是氢的同位素之一，它的原子核包含了四个中子和一个质子，在实验室里用一个氚的原子核来轰炸 氚，这让氚吸收两个氚原子核的质子而形成了氢。氢的半衰期非常短，只有. ×-秒。 氢- 氢-是不稳定的氢同位素之一，它包含了一个质子和五个中子，半衰 期为×-秒。 氢-7 氢-7是不稳定的氢同位素之一，它包含了一个质子和六个中子， 图表 符号 质子数 中子数 原子质量单位(u) 半衰期 原子核自旋 丰度 丰度 的变化率 H .7,,,7() 稳
小结：当排列或组合问题中，若某些元素或某些位置有特殊要 求 的时候，那么，一般先按排这些特殊元素或位置，然后再 按排其它元素或位置，这种方法叫特殊元素（位置）分析法。
例2：要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目 的节目单，如果舞蹈节目不排头，并且任何2个 舞蹈节目不连排，则不同的排法有几种？
例7 期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有 多少种不同的安排顺序? 分析 对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲的 话,他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列中,他 们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种情况,能 够得到全体,那么问题就可以解决了.并且也避免了问题 的复杂性.
解 不加任何限制条件,整个排法有 种A99,“语文安排在数 学之前考”,与“数学安排在语文之前考”的排法是相 等的,所以语文安排在数学之前考的排法共有 种12 .A99 结论 对等法:在有些题目中,它的限制条件的肯定与否 定是对等的,各占全体的二分之一.在求解中只要求出 全体,就可以得到所求.
小结：当某几个元素要的元素按要求插入已排好元素 的空隙之中，这种方法叫插空法。
例3：某工厂制造的一台机器要按装一排8个不同的按钮，
其中3个方按钮一定要装在一起，而且红色方钮必在另两
方钮中间，有多少种装法？
捆绑法
的符号。 按照IUPAC的指引，D 或 H 和 T 或 H 都可以使用，但推荐使用 H 和 H(同位素相对原子质量不同），生活中通常使用氕。 氢在自然界中存在的同 位素有： 氢的同位素氕的电子排布 氢的同位素氕的电子排布 氕（piē）（氢，H） 氘（dāo）（氢，重氢，D） 氚（chuān）（氢，超重氢，T） 以人工方法 合成的同位素有： 氢4、氢、氢、氢7 氕（氢-） 氕； 快乐作文培训加盟 快乐作文培训加盟 ；的原子核只有一个质子，丰度达 . % ，是 构造第二简单的的原子。 氘（氢-） 氘为氢的一种稳定形态同位素，也被称为重氢，元素符号一般为H或D。它的原子核由一颗质子和一颗中子组成。在大自 然的含量约为一般氢的7分之一。氢（H）的同位素,其相对原子质量为普通轻氢的二倍,少量的存在于天然水中,用于核反应,并在化学和生物学的研究工作中作 示踪原子（deuterium）——亦称“重氢”,元素符号D。 氚（氢-） 氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，元素符号为T或H。它的原子核由一颗质子和两颗中 子所组成，并带有放射性，会发生β衰变，其半衰期为.4年。自然界中存在极微，从核反应制得。主要用于热核反应。 氢-4 氢-4是氢的同位素之一，它包含 了质子和三个中子。在实验室里，是用氘的原子核来轰炸氚的原子核，来合成一个氢4的原子核。在这过程中，氚的原子核会从氘的原子核上吸收一个中子。 氢4的质量为4.7 U，半衰期为 . ×-秒。 氢-4. 氢-4.结构上类似氦，它包含了个质子和个中子，但因其中一个电子是渺子，但由于渺子的轨道特殊，轨道非常 接近原子核，而最内侧的电子轨道与渺子的轨道相较之下在很外侧，因此，该渺子可视为原子核的一部份，所以整个原子可视为：原子核由个渺子、个质子 和个中子组成、外侧只有一个电子，因此可以视为一种氢的同位素，也是一种奇异原子。一个渺子重约.U，故名氢- 4.（4.H）。氢-4.原子可以与其他元素反 应，和行为更像一个氢原子不是像惰性的氦原子。 氢- 氢-是氢的同位素之一，它的原子核包含了四个中子和一个质子，在实验室里用一个氚的原子核来轰炸 氚，这让氚吸收两个氚原子核的质子而形成了氢。氢的半衰期非常短，只有. ×-秒。 氢- 氢-是不稳定的氢同位素之一，它包含了一个质子和五个中子，半衰 期为×-秒。 氢-7 氢-7是不稳定的氢同位素之一，它包含了一个质子和六个中子， 图表 符号 质子数 中子数 原子质量单位(u) 半衰期 原子核自旋 丰度 丰度 的变化率 H .7,,,7() 稳
数学人教A版选修2-3课前导引：1.2.5排列组合的综合问
1.2.5 排列组合的综合问题
课前导引
问题导入
一排共八个座位，甲、乙、丙三人按如下方式入坐，每人左右都有空座位，且三人的顺序是甲必须在另两人之间，则不同的坐法共有多少种?
思路分析：在五个空位中的四个空档中，任选三个让甲在乙、丙之间的顺序坐好，有34C 种
坐法，然后再交换乙与丙的位置有22A 种方法，由分步计数原理得总的坐法数为34C 22
A =8(种) 知识预览
1.分类计数原理和分步计数原理是解决排列组合问题的两个基本原理；
2.熟悉“邻与不邻”、“在与不在”、“至多、至少”、“特殊位置(元素)优先考虑”等类型的题目是解决排列组合混合问题的基础；
3.“枚举法”、“正难则反”的原则和方法也是解决排列组合问题的重要方法；
4.解决排列组合的综合问题要遵循一定的先后原则.。
最新-2018年高考数学一轮总复习名师精讲 第50讲排列、组合及其应用课件 精品
人在中间位置作全排列， A22·A44＝48(种)站法．
有A44种
，根
据
分步
计数
原
理，
共
有
❖ (6)解法一：甲在左端的站法有A55种，乙在右端的站法有A55种， 且甲在左端而乙在右端的站法有A44种，共有A66－2A55＋A44＝ 504(种)站法．
❖ 解法二：以元素甲分类可分为两类：①甲站右端有A55种，②甲 在中间4个位置之一，而乙不在右端有A41·A41·A44种，故共有 A55＋A41·A41·A44＝504(种)站法．
(2)证明：证法一：右边＝n－n！m！＋n－mm·n＋！1！ ＝n！n－nm－＋m1＋！1＋n－mm·n＋！1！ ＝n＋n＋1－1m！！ ＝An＋1m＝左边． 证法二：右边＝(n－m＋1)Anm－1＋mAnm－1 ＝(n＋1)Anm－1＝An＋1m＝左边．
❖ [点评] 注意运用排列数公式的阶乘形式进行变形论证，此题(2) 还可构造排列应用模型论证．
❖ 也可用“间接法”，6个人全排列有A66种站法，由(2)知甲、乙 相 邻 有 A55·A22 ＝ 240 种 站 法 ， 所 以 不 相 邻 的 站 法 有 A66 － A55·A22＝720－240＝480(种)．
❖ (4)解法一：先将甲、乙以外的4个人作全排列，有A44种，然后 将 甲 、 乙 按 条 件 插 入 站 队 ， 有 3A22 种 ， 故 共 有 A44·(3A22) ＝ 144(种)站法．
(2)将组合数不等式转化为代数不等式来解． 由nn－16n－2－nn－1n2－4 2n－3 ＜nn－1n－2240n－3n－4， 可得 n2－11n－12＜0.解得－1＜n＜12. 又∵n∈N*，且 n≥5，∴n∈{5,6,7,8,9,10,11}．
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特殊位置特殊元素优先分析法 把问题一般采取特殊元素（位置）优先 安排的方法。
捆绑法 在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻元素视作一个大元素进行排序，然 后再考虑大元素内部各元素间顺序的解题策略就是捆绑法．
插空法 元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位 置之间和两端的空中。
（2）要求至少两名女生人选，那么“只有一名女生入选”和“没有女生入选”都不符合要求．运用包含与排除的
方法，从所有可能的选法中减去不符合要求的情况： C188 C180 C170 C81 42753 . （3）4 人必须入选，则从剩下的 14 人中再选出另外 4 人. C144 1001 . （4）从所有的选法 C188 中减去这 4 个人同时入选的 C144 种可能： C188 - C144 =42757. （5）分三类情况：4 人无人入选，4 人仅有 1 人入选，4 人中有 2 人入选，共： C184 C41 C174 C42 C164 =34749.
排列组合综合
知识定位 本讲主要讲授的是排列组合的几种基本方法。要求在熟练掌握乘法原理和加法原理的基础上，掌握几
种基本的排列组合相关问题的方法：特殊位置特殊元素优先分析法、捆绑法、插空法、隔板法 知识梳理 乘法原理 我们在完成一件事时往往要分为多个步骤，每个步骤又有多种方法，当计算一共有多少种完成方法 时就要用到乘法原理. 乘法原理：一般地，如果完成一件事需要 n 个步骤，其中，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步 有 m2 种不同的方法 ，…，做第 n 步有 mn 种不同的方法，则完成这件事一共有 N=m1×m2×…×mn 种不同的方法． 乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成，这几步是完成这件任务缺 一不可的，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”. 加法原理 无论自然界还是学习生活中，事物的组成往往是分门别类的，例如解决一件问题的往往不只一类途 径，每一类途径往往又包含多种方法，如果要想知道一共有多少种解决方法，就需要用到加法原理. 加法原理：一般地，如果完成一件事有 k 类方法，第一类方法中有 m1 种不同做法，第二类方法中有 m2 种不同做法 ，…，第 k 类方法中有 mk 种不同的做法，则完成这件事共有 N= m1 + m2 +…+mk 种 不同的方法. 加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样 的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”.
【答案】（1）C83 C150 14112 ；（2）C188 C180 C170 C81 42753 .（3）C144 1001 .（4）C188 - C144 =42757. （5） C184 C41 C174 C42 C164 =34749. 【解析】（1）恰有 3 名女生入选，说明男生有 5 人入选，应为： C83 C150 14112 ；
【知识点】排列组合综合 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3
【试题来源】 【题目】小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？ （1）七个人排成一排； （2）七个人排成一排，小新必须站在中间. （3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间. （4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边. （5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上. （6）七个人战成两排，前排三人，后排四人. （7）七个人战成两排，前排三人，后排四人. 小新、阿呆不在同一排.
【知识点】排列组合综合 【适用场合】当堂例题 【难度系数】1
【试题来源】（1）（迎春杯决赛）（2）（兴趣杯少年数学邀请赛决赛） 【题目】（1）如右图（1）是中国象棋盘，如果双方准备各放一个棋子，要求它们不 在同一行，也不在同一列，那么总共有多少种不同的放置方法？ （2）在右图（2）中放四个棋子“兵”，使得每一列有一个“兵”，每一行至多有一个 “兵”．有多少种不同的放法？
=66
#对应知识梳理 6 【知识点】排列组合综合 【适用场合】当堂例题 【难度系数】
【试题来源】 【题目】用数码 0，1，2，3，4 可以组成多少个小于 1000 的没有重复数字的自然数? 【答案】69 【解析】小于 1000 的自然数包括一位数、两位数、三位数，可以分类计算．注意“0”是自然数，且不能作两位数、
#对应知识梳理 2 【知识点】排列组合综合 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2
【试题来源】 【题目】把 13 拆成三个数的和，请问有几种拆法？ 【答案】66
【解析】隔板法：13 写成 13 个 1，这样有 12 个空，我们可以拿 2 块板，可以把 1 分成 3 堆，
所以总共有
C122
=
12 2
11 1
【答案】（1）P77 5040（2）P66 720（种）. （3）2× P66 =1440(种)．（4）2 P55 240 (种)．（5）P52 P55 2400 （种）. （6） P77 5040 （种）. （7）4×3× P55 ×2=2880(种)．
【解析】（1） P77 5040 （种）. （2）只需排其余 6 个人站剩下的 6 个位置． P66 720 （种）. （3）先确定中间的位置站谁，冉排剩下的 6 个位置．2× P66 =1440(种)．
三位数的首项． 5 P41 P41 P41 P42 69 （个）.很自然的知道需要根据位数分类考虑，而且首位非零的限制也
需要考虑．
【知识点】排列组合综合 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3
【试题来源】 【题目】用 1～9 可以组成______个不含重复数字的三位数：如果再要求这三个数字中任何两个的差不能是 1，那么
隔板法 隔板法就是在 n 个元素间插入（b-1）个板，即把 n 个元素分成 b 组的方法。
例题精讲 【试题来源】 【题目】①有 5 个人排成一排照相，有多少种排法？ ②5 个人排成两排照相，前排 2 人，后排 3 人，共有多少种排法？ ③5 个人排成一排照相，如果某人必须站在中间，有多少种排法？ ④5 个人排成一排照相，某人必须站在两头，共有多少种排法 【答案】①120 种排法②120 种排法。③24 ④ 48
同的，所以本题实质就是 7 个元素的全排列． P77 5040 （种）.
（7）可以分为两类情况：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，两种情况是对等的，所以只要求出
其中一种的排法数，再乘以 2 即可．4×3× P55 ×2=2880(种)．排队问题，一般先考虑特殊情况再去全排列．
【知识点】排列组合综合 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3
【知识点】排列组合综合 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4
【试题来源】 【题目】一个六位数能被 11 整除，它的各位数字非零且互不相同的．将这个六位数的 6 个数字重新排列，最少还 能排出多少个能被 11 整除的六位数?
5 / 11
【答案】71
【解析】设这个六位数为 abcdef ，则有 (a c e) 、 (b d f ) 的差为 0 或 11 的倍数．且 a 、 b 、 c 、 d 、 e 、 f 均不为 0，任何一个数作为首位都是一个六位数． 先考虑 a 、 c 、 e 偶数位内， b 、 d 、 f 奇数位内的组内交换，有 P33 × P33 =36 种顺序； 再考虑形如 badcfe 这种奇数位与偶数位的组间调换，也有 P33 × P33 =36 种顺序． 所以，用均不为 0 的 a 、b 、c 、d 、e 、 f 最少可以排出 36+36=72 个能被 11 整除的数(包含原来的 abcdef )．所
【试题来源】 【题目】从 10 名男生，8 名女生中选出 8 人参加游泳比赛.在下列条件下，分别有多少种选法？ （1） 恰有 3 名女生入选； （2） 至少有两名女生入选； （3） 某两名女生，某两名男生必须入选； （4） 某两名女生，某两名男生不能同时入选； （5） 某两名女生，某两名男生最多入选两人.
4 / 11
（4）先排两边，再排剩下的 5 个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置． 2 P55 240 (种)． （5）先排两边，从除小新、阿呆之外的 5 个人中选 2 人，再排剩下的 5 个人， P52 P55 2400 （种）.
（6）七个人排成一排时，7 个位置就是各不相同的．现在排成两排，不管前后排各有几个人，7 个位置还是各不相
④这里，限定某人必须站在两头，这件事分两步完成，第一步，安排限定的人，有 2 种方法；第二步，安排其它 的 4 人，类①的分析，有 4×3×2×1=24 种方法，根据乘法原理，共有 2×（4×3×2×1）=24×2=48 种排法. 注：对于①和②其实是一种题，算法可以归为一种，因为每个位置都是独一无二的，没有重复，所以 5 人一排和两 排方法是没有分别的
【答案】6480，16 【解析】（1）设甲方先放棋子，乙方后放棋子．那么甲方可以把棋子放在棋盘的任意位置，故甲方有：10×9=90 种不同的放置方法．对应甲方的第一种放法，乙方按规定必须去掉甲方棋子所在的行与列，而放置在剩下的任意位 置，所以乙方有：9×8=72 种不同的放置方法．因此，总共有：72×90=6480 种不同的放置方法． （2）第一列有 2 种放法．第一列放定后，第二列又有 2 种放法．…如此下去，共有 2×2×2×2=16 种不同的放法． 注：对于第（2）题，一定要从第一列开始考虑，也就是从取值范围小的开始入手，如果从范围大的入手，那 么就会出现两种情况：包含小范围的和不包含小范围的。分类考虑起来可能会比较麻烦，所以遇到此类题， 从小范围的开始考虑比较容易得到答案
【知识点】排列组合综合 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3
【试题来源】 【题目】数 3 可以用 4 种方法表示为 1 个或几个正整数的和，如 3，1＋2，2+1，1+1＋1。问：1999 表示为 1 个或 几个正整数的和的方法有多少种？ 【答案】见解析 【解析】我们将 1999 个 1 写成一行，它们之间留有 1998 个空隙，在这些空隙处，或者什么都不填，或者填上“＋” 号。例如对于数 3，上述 4 种和的表达方法对应： 111，11＋1，1＋11，1＋1＋1。显然，将 1999 表示成和的形式与填写 1998 个空隙处的方式之间一对一，而每一个 空隙处都有填“＋”号和不填“＋”号 2 种可能，因此 1999 可以表示为正整数之和的不同方法有
捆绑法 在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻元素视作一个大元素进行排序，然 后再考虑大元素内部各元素间顺序的解题策略就是捆绑法．
插空法 元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位 置之间和两端的空中。
（2）要求至少两名女生人选，那么“只有一名女生入选”和“没有女生入选”都不符合要求．运用包含与排除的
方法，从所有可能的选法中减去不符合要求的情况： C188 C180 C170 C81 42753 . （3）4 人必须入选，则从剩下的 14 人中再选出另外 4 人. C144 1001 . （4）从所有的选法 C188 中减去这 4 个人同时入选的 C144 种可能： C188 - C144 =42757. （5）分三类情况：4 人无人入选，4 人仅有 1 人入选，4 人中有 2 人入选，共： C184 C41 C174 C42 C164 =34749.
排列组合综合
知识定位 本讲主要讲授的是排列组合的几种基本方法。要求在熟练掌握乘法原理和加法原理的基础上，掌握几
种基本的排列组合相关问题的方法：特殊位置特殊元素优先分析法、捆绑法、插空法、隔板法 知识梳理 乘法原理 我们在完成一件事时往往要分为多个步骤，每个步骤又有多种方法，当计算一共有多少种完成方法 时就要用到乘法原理. 乘法原理：一般地，如果完成一件事需要 n 个步骤，其中，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步 有 m2 种不同的方法 ，…，做第 n 步有 mn 种不同的方法，则完成这件事一共有 N=m1×m2×…×mn 种不同的方法． 乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成，这几步是完成这件任务缺 一不可的，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”. 加法原理 无论自然界还是学习生活中，事物的组成往往是分门别类的，例如解决一件问题的往往不只一类途 径，每一类途径往往又包含多种方法，如果要想知道一共有多少种解决方法，就需要用到加法原理. 加法原理：一般地，如果完成一件事有 k 类方法，第一类方法中有 m1 种不同做法，第二类方法中有 m2 种不同做法 ，…，第 k 类方法中有 mk 种不同的做法，则完成这件事共有 N= m1 + m2 +…+mk 种 不同的方法. 加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样 的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”.
【答案】（1）C83 C150 14112 ；（2）C188 C180 C170 C81 42753 .（3）C144 1001 .（4）C188 - C144 =42757. （5） C184 C41 C174 C42 C164 =34749. 【解析】（1）恰有 3 名女生入选，说明男生有 5 人入选，应为： C83 C150 14112 ；
【知识点】排列组合综合 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3
【试题来源】 【题目】小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？ （1）七个人排成一排； （2）七个人排成一排，小新必须站在中间. （3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间. （4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边. （5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上. （6）七个人战成两排，前排三人，后排四人. （7）七个人战成两排，前排三人，后排四人. 小新、阿呆不在同一排.
【知识点】排列组合综合 【适用场合】当堂例题 【难度系数】1
【试题来源】（1）（迎春杯决赛）（2）（兴趣杯少年数学邀请赛决赛） 【题目】（1）如右图（1）是中国象棋盘，如果双方准备各放一个棋子，要求它们不 在同一行，也不在同一列，那么总共有多少种不同的放置方法？ （2）在右图（2）中放四个棋子“兵”，使得每一列有一个“兵”，每一行至多有一个 “兵”．有多少种不同的放法？
=66
#对应知识梳理 6 【知识点】排列组合综合 【适用场合】当堂例题 【难度系数】
【试题来源】 【题目】用数码 0，1，2，3，4 可以组成多少个小于 1000 的没有重复数字的自然数? 【答案】69 【解析】小于 1000 的自然数包括一位数、两位数、三位数，可以分类计算．注意“0”是自然数，且不能作两位数、
#对应知识梳理 2 【知识点】排列组合综合 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2
【试题来源】 【题目】把 13 拆成三个数的和，请问有几种拆法？ 【答案】66
【解析】隔板法：13 写成 13 个 1，这样有 12 个空，我们可以拿 2 块板，可以把 1 分成 3 堆，
所以总共有
C122
=
12 2
11 1
【答案】（1）P77 5040（2）P66 720（种）. （3）2× P66 =1440(种)．（4）2 P55 240 (种)．（5）P52 P55 2400 （种）. （6） P77 5040 （种）. （7）4×3× P55 ×2=2880(种)．
【解析】（1） P77 5040 （种）. （2）只需排其余 6 个人站剩下的 6 个位置． P66 720 （种）. （3）先确定中间的位置站谁，冉排剩下的 6 个位置．2× P66 =1440(种)．
三位数的首项． 5 P41 P41 P41 P42 69 （个）.很自然的知道需要根据位数分类考虑，而且首位非零的限制也
需要考虑．
【知识点】排列组合综合 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3
【试题来源】 【题目】用 1～9 可以组成______个不含重复数字的三位数：如果再要求这三个数字中任何两个的差不能是 1，那么
隔板法 隔板法就是在 n 个元素间插入（b-1）个板，即把 n 个元素分成 b 组的方法。
例题精讲 【试题来源】 【题目】①有 5 个人排成一排照相，有多少种排法？ ②5 个人排成两排照相，前排 2 人，后排 3 人，共有多少种排法？ ③5 个人排成一排照相，如果某人必须站在中间，有多少种排法？ ④5 个人排成一排照相，某人必须站在两头，共有多少种排法 【答案】①120 种排法②120 种排法。③24 ④ 48
同的，所以本题实质就是 7 个元素的全排列． P77 5040 （种）.
（7）可以分为两类情况：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，两种情况是对等的，所以只要求出
其中一种的排法数，再乘以 2 即可．4×3× P55 ×2=2880(种)．排队问题，一般先考虑特殊情况再去全排列．
【知识点】排列组合综合 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3
【知识点】排列组合综合 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4
【试题来源】 【题目】一个六位数能被 11 整除，它的各位数字非零且互不相同的．将这个六位数的 6 个数字重新排列，最少还 能排出多少个能被 11 整除的六位数?
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【答案】71
【解析】设这个六位数为 abcdef ，则有 (a c e) 、 (b d f ) 的差为 0 或 11 的倍数．且 a 、 b 、 c 、 d 、 e 、 f 均不为 0，任何一个数作为首位都是一个六位数． 先考虑 a 、 c 、 e 偶数位内， b 、 d 、 f 奇数位内的组内交换，有 P33 × P33 =36 种顺序； 再考虑形如 badcfe 这种奇数位与偶数位的组间调换，也有 P33 × P33 =36 种顺序． 所以，用均不为 0 的 a 、b 、c 、d 、e 、 f 最少可以排出 36+36=72 个能被 11 整除的数(包含原来的 abcdef )．所
【试题来源】 【题目】从 10 名男生，8 名女生中选出 8 人参加游泳比赛.在下列条件下，分别有多少种选法？ （1） 恰有 3 名女生入选； （2） 至少有两名女生入选； （3） 某两名女生，某两名男生必须入选； （4） 某两名女生，某两名男生不能同时入选； （5） 某两名女生，某两名男生最多入选两人.
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（4）先排两边，再排剩下的 5 个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置． 2 P55 240 (种)． （5）先排两边，从除小新、阿呆之外的 5 个人中选 2 人，再排剩下的 5 个人， P52 P55 2400 （种）.
（6）七个人排成一排时，7 个位置就是各不相同的．现在排成两排，不管前后排各有几个人，7 个位置还是各不相
④这里，限定某人必须站在两头，这件事分两步完成，第一步，安排限定的人，有 2 种方法；第二步，安排其它 的 4 人，类①的分析，有 4×3×2×1=24 种方法，根据乘法原理，共有 2×（4×3×2×1）=24×2=48 种排法. 注：对于①和②其实是一种题，算法可以归为一种，因为每个位置都是独一无二的，没有重复，所以 5 人一排和两 排方法是没有分别的
【答案】6480，16 【解析】（1）设甲方先放棋子，乙方后放棋子．那么甲方可以把棋子放在棋盘的任意位置，故甲方有：10×9=90 种不同的放置方法．对应甲方的第一种放法，乙方按规定必须去掉甲方棋子所在的行与列，而放置在剩下的任意位 置，所以乙方有：9×8=72 种不同的放置方法．因此，总共有：72×90=6480 种不同的放置方法． （2）第一列有 2 种放法．第一列放定后，第二列又有 2 种放法．…如此下去，共有 2×2×2×2=16 种不同的放法． 注：对于第（2）题，一定要从第一列开始考虑，也就是从取值范围小的开始入手，如果从范围大的入手，那 么就会出现两种情况：包含小范围的和不包含小范围的。分类考虑起来可能会比较麻烦，所以遇到此类题， 从小范围的开始考虑比较容易得到答案
【知识点】排列组合综合 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3
【试题来源】 【题目】数 3 可以用 4 种方法表示为 1 个或几个正整数的和，如 3，1＋2，2+1，1+1＋1。问：1999 表示为 1 个或 几个正整数的和的方法有多少种？ 【答案】见解析 【解析】我们将 1999 个 1 写成一行，它们之间留有 1998 个空隙，在这些空隙处，或者什么都不填，或者填上“＋” 号。例如对于数 3，上述 4 种和的表达方法对应： 111，11＋1，1＋11，1＋1＋1。显然，将 1999 表示成和的形式与填写 1998 个空隙处的方式之间一对一，而每一个 空隙处都有填“＋”号和不填“＋”号 2 种可能，因此 1999 可以表示为正整数之和的不同方法有