排列组合综合(讲师版)

【知识点】排列组合综合 【适用场合】当堂例题 【难度系数】1
【试题来源】
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【题目】大林和小林共有小人书不超过 50 本，他们各自有小人书的数目有多少种可能的情况？ 【答案】1326 【解析】大林有 0 本书，小林有 0～50 本书，51 种情况； 大林有 1 本书，小林有 0～49 本书，50 种情况； 大林有 2 本书，小林有 0～48 本书，49 种情况； ………… 大林有 49 本书，小林有 0～1 本书，2 种情况； 大林有 50 本书，小林有 0 本书，1 种情况； 所以共有：1+2+3+……+51=1326 种情况.
（2）要求至少两名女生人选，那么“只有一名女生入选”和“没有女生入选”都不符合要求．运用包含与排除的
方法，从所有可能的选法中减去不符合要求的情况： C188 C180 C170 C81 42753 . （3）4 人必须入选，则从剩下的 14 人中再选出另外 4 人. C144 1001 . （4）从所有的选法 C188 中减去这 4 个人同时入选的 C144 种可能： C188 - C144 =42757. （5）分三类情况：4 人无人入选，4 人仅有 1 人入选，4 人中有 2 人入选，共： C184 C41 C174 C42 C164 =34749.
【解析】①5 个人排成一排照相，从左到右共 5 个位置。第一个位置可从 5 个人中任选一人，有 5 种选法；第二个
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位置只能从剩下的 4 个人中任选一人，有 4 种选法，同理，第三、第四、第五个位置分别有 3 种、2 种、1 种选法。 每个位置上站了一人就是一种排法。根据乘法原理，共有 5×4×3×2×1=120 种排法。 ②5 个人排成两排照相，可先排前排、再排后排，依次也有 5 个位置，类似①的方法可得共有 5×4×3×2×1=120 种排法。 ③这里，限定某人必须站在中间，他的位置固定了，而其余 4 人可以任意站位，类似①的分析可知共有 4×3×2× 1=24 种排法。
【知识点】排列组合综合 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3
【试题来源】 【题目】小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？ （1）七个人排成一排； （2）七个人排成一排，小新必须站在中间. （3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间. （4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边. （5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上. （6）七个人战成两排，前排三人，后排四人. （7）七个人战成两排，前排三人，后排四人. 小新、阿呆不在同一排.
【知识点】排列组合综合 【适用场合】当堂例题 【难度系数】1
【试题来源】（1）（迎春杯决赛）（2）（兴趣杯少年数学邀请赛决赛） 【题目】（1）如右图（1）是中国象棋盘，如果双方准备各放一个棋子，要求它们不 在同一行，也不在同一列，那么总共有多少种不同的放置方法？ （2）在右图（2）中放四个棋子“兵”，使得每一列有一个“兵”，每一行至多有一个 “兵”．有多少种不同的放法？
同的，所以本题实质就是 7 个元素的全排列． P77 5040 （种）.
（7）可以分为两类情况：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，两种情况是对等的，所以只要求出
其中一种的排法数，再乘以 2 即可．4×3× P55 ×2=2880(种)．排队问题，一般先考虑特殊情况再去全排列．
【知识点】排列组合综合 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3
【知识点】排列组合综合 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4
【试题来源】 【题目】一个六位数能被 11 整除，它的各位数字非零且互不相同的．将这个六位数的 6 个数字重新排列，最少还 能排出多少个能被 11 整除的六位数?
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【答案】71
【解析】设这个六位数为 abcdef ，则有 (a c e) 、 (b d f ) 的差为 0 或 11 的倍数．且 a 、 b 、 c 、 d 、 e 、 f 均不为 0，任何一个数作为首位都是一个六位数． 先考虑 a 、 c 、 e 偶数位内， b 、 d 、 f 奇数位内的组内交换，有 P33 × P33 =36 种顺序； 再考虑形如 badcfe 这种奇数位与偶数位的组间调换，也有 P33 × P33 =36 种顺序． 所以，用均不为 0 的 a 、b 、c 、d 、e 、 f 最少可以排出 36+36=72 个能被 11 整除的数(包含原来的 abcdef )．所
隔板法 隔板法就是在 n 个元素间插入（b-1）个板，即把 n 个元素分成 b 组的方法。
例题精讲 【试题来源】 【题目】①有 5 个人排成一排照相，有多少种排法？ ②5 个人排成两排照相，前排 2 人，后排 3 人，共有多少种排法？ ③5 个人排成一排照相，如果某人必须站在中间，有多少种排法？ ④5 个人排成一排照相，某人必须站在两头，共有多少种排法 【答案】①120 种排法②120 种排法。③24 ④ 48
【答案】（1）P77 5040（2）P66 720（种）. （3）2× P66 =1440(种)．（4）2 P55 240 (种)．（5）P52 P55 2400 （种）. （6） P77 5040 （种）. （7）4×3× P55 ×2=2880(种)．
【解析】（1） P77 5040 （种）. （2）只需排其余 6 个人站剩下的 6 个位置． P66 720 （种）. （3）先确定中间的位置站谁，冉排剩下的 6 个位置．2× P66 =1440(种)．
排列组合综合
知识定位 本讲主要讲授的是排列组合的几种基本方法。要求在熟练掌握乘法原理和加法原理的基础上，掌握几
种基本的排列组合相关问题的方法：特殊位置特殊元素优先分析法、捆绑法、插空法、隔板法 知识梳理 乘法原理 我们在完成一件事时往往要分为多个步骤，每个步骤又有多种方法，当计算一共有多少种完成方法 时就要用到乘法原理. 乘法原理：一般地，如果完成一件事需要 n 个步骤，其中，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步 有 m2 种不同的方法 ，…，做第 n 步有 mn 种不同的方法，则完成这件事一共有 N=m1×m2×…×mn 种不同的方法． 乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成，这几步是完成这件任务缺 一不可的，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”. 加法原理 无论自然界还是学习生活中，事物的组成往往是分门别类的，例如解决一件问题的往往不只一类途 径，每一类途径往往又包含多种方法，如果要想知道一共有多少种解决方法，就需要用到加法原理. 加法原理：一般地，如果完成一件事有 k 类方法，第一类方法中有 m1 种不同做法，第二类方法中有 m2 种不同做法 ，…，第 k 类方法中有 mk 种不同的做法，则完成这件事共有 N= m1 + m2 +…+mk 种 不同的方法. 加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样 的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”.
④这里，限定某人必须站在两头，这件事分两步完成，第一步，安排限定的人，有 2 种方法；第二步，安排其它 的 4 人，类①的分析，有 4×3×2×1=24 种方法，根据乘法原理，共有 2×（4×3×2×1）=24×2=48 种排法. 注：对于①和②其实是一种题，算法可以归为一种，因为每个位置都是独一无二的，没有重复，所以 5 人一排和两 排方法是没有分别的
特殊位置特殊元素优先分析法 把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先 安排的方法。
捆绑法 在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻元素视作一个大元素进行排序，然 后再考虑大元素内部各元素间顺序的解题策略就是捆绑法．
插空法 元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位 置之间和两端的空中。
#对应知识梳理 2 【知识点】排列组合综合 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2
【试题来源】 【题目】把 13 拆成三个数的和，请问有几种拆法？ 【答案】66
【解析】隔板法：13 写成 13 个 1，这样有 12 个空，我们可以拿 2 块板，可以把 1 分成 3 堆，
所以总共有
C122
=
12 2
11 1
【答案】（1）C83 C150 14112 ；（2）C188 C180 C170 C81 42753 .（3）C144 1001 .（4）C188 - C144 =42757. （5） C184 C41 C174 C42 C164 =34749. 【解析】（1）恰有 3 名女生入选，说明男生有 5 人入选，应为： C83 C150 14112 ；
【知识点】排列组合综合 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3
【试题来源】 【题目】数 3 可以用 4 种方法表示为 1 个或几个正整数的和，如 3，1＋2，2+1，1+1＋1。问：1999 表示为 1 个或 几个正整数的和的方法有多少种？ 【答案】见解析 【解析】我们将 1999 个 1 写成一行，它们之间留有 1998 个空隙，在这些空隙处，或者什么都不填，或者填上“＋” 号。例如对于数 3，上述 4 种和的表达方法对应： 111，11＋1，1＋11，1＋1＋1。显然，将 1999 表示成和的形式与填写 1998 个空隙处的方式之间一对一，而每一个 空隙处都有填“＋”号和不填“＋”号 2 种可能，因此 1999 可以表示为正整数之和的不同方法有
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Байду номын сангаас
可以组成______个满足要求的三位数． 【答案】504，210 【解析】1) 9×8×7=504个 2）504-（6+5+5+5+5+5+5+6）×6-7×6=210个 （减去有2个数字差是1的情况，括号里8个数分别表示这2个数是12，23，34，45，56，67，78，89的情况，×6是 对3个数字全排列，7×6是三个数连续的123 234 345 456 567 789这7种情况）
【试题来源】 【题目】从 10 名男生，8 名女生中选出 8 人参加游泳比赛.在下列条件下，分别有多少种选法？ （1） 恰有 3 名女生入选； （2） 至少有两名女生入选； （3） 某两名女生，某两名男生必须入选； （4） 某两名女生，某两名男生不能同时入选； （5） 某两名女生，某两名男生最多入选两人.
【答案】6480，16 【解析】（1）设甲方先放棋子，乙方后放棋子．那么甲方可以把棋子放在棋盘的任意位置，故甲方有：10×9=90 种不同的放置方法．对应甲方的第一种放法，乙方按规定必须去掉甲方棋子所在的行与列，而放置在剩下的任意位 置，所以乙方有：9×8=72 种不同的放置方法．因此，总共有：72×90=6480 种不同的放置方法． （2）第一列有 2 种放法．第一列放定后，第二列又有 2 种放法．…如此下去，共有 2×2×2×2=16 种不同的放法． 注：对于第（2）题，一定要从第一列开始考虑，也就是从取值范围小的开始入手，如果从范围大的入手，那 么就会出现两种情况：包含小范围的和不包含小范围的。分类考虑起来可能会比较麻烦，所以遇到此类题， 从小范围的开始考虑比较容易得到答案
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（4）先排两边，再排剩下的 5 个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置． 2 P55 240 (种)． （5）先排两边，从除小新、阿呆之外的 5 个人中选 2 人，再排剩下的 5 个人， P52 P55 2400 （种）.
（6）七个人排成一排时，7 个位置就是各不相同的．现在排成两排，不管前后排各有几个人，7 个位置还是各不相
=66
#对应知识梳理 6 【知识点】排列组合综合 【适用场合】当堂例题 【难度系数】
【试题来源】 【题目】用数码 0，1，2，3，4 可以组成多少个小于 1000 的没有重复数字的自然数? 【答案】69 【解析】小于 1000 的自然数包括一位数、两位数、三位数，可以分类计算．注意“0”是自然数，且不能作两位数、
三位数的首项． 5 P41 P41 P41 P42 69 （个）.很自然的知道需要根据位数分类考虑，而且首位非零的限制也
需要考虑．
【知识点】排列组合综合 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3
【试题来源】 【题目】用 1～9 可以组成______个不含重复数字的三位数：如果再要求这三个数字中任何两个的差不能是 1，那么