晶向、晶面及晶带
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5
2.晶向指数[u v w]确定步骤： ① 建立一个右手空间直角坐标系，在待测晶向上确定两个点的坐 标。 ② 用终点的坐标减去起点的坐标，得到沿各坐标轴方向上的数值。 ③ 将其按比例化为最小的整数。 ④ 将此整数放在一个方括号[u v w]中。若有负号，将负号标在该 数字的上方。
如[121]表示
第2章 晶体学基础
参考教材： The Science and Engineering of
Materials
目录
晶体及其基本性质 晶向、晶面及晶带 晶体的间隙 晶体的缺陷 晶体的投影 倒易点阵
2
2.2 晶向、晶面及晶带
1、晶向与晶向指数 2、晶面与晶面指数 3、面间距、晶面夹角和晶带理论 4、间隙
B (001)
C (110)
D
D (011/2)
O
C
Y
_ AB: [10_1] BC: [1_11] AD: [221]
2020年12月15日1时10分
给出晶向指数，如何画出该晶向？ 例：在立方晶格中画出[012]和[123]晶向？
Z
[0l2]
O
X
[0l2]
10
Y
0, 1/2, 1 2020年12月15日1时10分
(1)平行的晶面组成晶面族，晶面族包含所有格点； (2)晶面上格点分布具有周期性； (3)同一晶面族中的每一晶面上，格点分布(情况)相同； (4)同一晶面族中相邻晶面间距相等。
16
2.晶面指数（hkl）确定步骤： ① 以晶胞的某一阵点为原点，以过原点的晶轴为坐标轴，以点阵常
数a，b，c为三个坐标轴的长度单位，建立一个空间直角坐标系。 但原点应位于待定晶面之外，以避免出现零截距。 ① 找出待定晶面在三轴的截距，如果该晶面与某轴平行，则截距为 无穷大。 ② 求出晶面在三个坐标轴上的截距x，y，z，对所求截距取倒数得 1/x，1/y，1/z； ③ 将它们按比例化成三个最小的整数h，k，l； ④ 再将它们放在一个圆括号中即得该晶面的晶面指数（hkl）。如 果有存在负号，将负号标在该数字的上方。
u 1, v 2, w 1
Coordinates of selected points in the
unit cell. The number refers to the
6
distance from the origin in terms of
lattice parameters.
例题：确定图1-18中A，B和C方向的晶向指数
Z
[123－]
X
1/3, 2/3, -1
Y
O1
O
P
11
2020年12月15日1时10分
注意： 晶向是一个矢量，有方向的区别； 一个晶向跟它的倍数是相同的； 对于高对称性的晶体来说，晶体学上等价的晶向具有相似的晶向指数。
这些等价的晶向构成的集合，称为晶向族 。也就是互相不平行而原子 排列规律相同的晶向的集合； 在立方体中有，沿立方边的晶列一共有6个不同的晶向，由于晶格的 对称性，这6个晶向并没有什么区别，晶体在这些方向上的性质是完 全相同的，统称这些方向为等效晶向，写成<100>； 同一晶向族中的指数相同，只是排列顺序或符号不同； 立方晶系中的一些重要的晶向族有6种轴向<100>、12种面对角线方向 <110>、8种体对角线方向<111>和顶点到面心的方向<112>。
0.51125nm 因此，线密度也可以看成是阵点间距的倒数。 线致密度＝线密度×2r 。 线致密度＝线密度×2r ＝3.91×2×0.12781＝1 说明原子沿[110]晶向相互接触(面心立方晶胞的最密排方向)。
15
二、晶面及晶面指数
1.晶面
在晶格中，通过任意三个不在同一直线上的格点作一平面，称为 晶面，描写晶面方位的一组数称为晶面指数。
3
2020年12月15日1时10分
一、晶向及晶向指数
1.晶向： 通过晶格中任意两个格
点连一条直线称为晶列， 晶列的取向称为晶向，描 写晶向的一组数称为晶向 指数(或晶列指数 miller indices)。
过一格点可以有无数晶 列。
4
晶列的特点： (1)平行晶列组成晶列族，晶列族包含所有的格点； (2)晶列上格点分布是周期性的； (3)晶列族中的每一晶列上，格点分布都是相同的； (4)在同一平面内，相邻晶列间的距离相等。
晶向 A
1.两点坐标分别为（1, 0, 0） and（0, 0, 0） 2. （1, 0, 0） - （0, 0, 0） =（ 1, 0, 0） 3. 已为最小的整数，记作 [100]
晶向B
1.两点坐标分别为（1, 1, 1） and （0, 0, 0） 2. （1, 1, 1） -（0, 0, 0） = （1, 1, 1） 3.已为最小的整数，记作 [111]
晶向C
1.两点坐标分别为（0, 0, 1） and （1/2, 1, 0） 2. （0, 0, 1） -（1/2, 1, 0） = （-1/2, -1, 1）
3. 2(-1/2, -1, 1) = -1, -2, 2，记作 [ 122]
练习1：确定图中AB，BC和AD的晶向指数
A
X
9
Z
B
A (100)
Determining the repeat distance, linear density, and packing fraction for [110] direction in FCC copper.
14
例：已知Cu是FCC晶胞结构，晶格常数a = 0.36451 nm，计算 晶胞中[110]晶向的阵点距离、线密度和线致密度？
[100]
[001] [010] [100]
[010] [001]
100 [100] [010] [001][100][0 10][00 1]
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来自百度文库
2020年12月15日1时10分
3. 阵点间距、线密度和堆垛密度
阵点间距（repeat distance）：沿晶向方向阵点之间的距离。 线密度(liner density):沿一个方向单位长度上相同阵点的数目。 线堆垛密度（线致密度）:某个晶向上的原子所占的长度的比例。
对于FCC晶胞中[110]晶向，起点设在0,0,0位置，下一个阵点在 面心，即1/2,1/2,0的位置。因此，阵点间的距离是面对角线的 一半，等于 1 2a 。铜的晶格常数为0.36151nm，可以算出阵点 间距为0.25562nm。
铜的面心立方晶胞[110]晶向有2个重复距离，为 2a 0.51125nm 线密度＝ 2 ＝3.91阵点/nm
2.晶向指数[u v w]确定步骤： ① 建立一个右手空间直角坐标系，在待测晶向上确定两个点的坐 标。 ② 用终点的坐标减去起点的坐标，得到沿各坐标轴方向上的数值。 ③ 将其按比例化为最小的整数。 ④ 将此整数放在一个方括号[u v w]中。若有负号，将负号标在该 数字的上方。
如[121]表示
第2章 晶体学基础
参考教材： The Science and Engineering of
Materials
目录
晶体及其基本性质 晶向、晶面及晶带 晶体的间隙 晶体的缺陷 晶体的投影 倒易点阵
2
2.2 晶向、晶面及晶带
1、晶向与晶向指数 2、晶面与晶面指数 3、面间距、晶面夹角和晶带理论 4、间隙
B (001)
C (110)
D
D (011/2)
O
C
Y
_ AB: [10_1] BC: [1_11] AD: [221]
2020年12月15日1时10分
给出晶向指数，如何画出该晶向？ 例：在立方晶格中画出[012]和[123]晶向？
Z
[0l2]
O
X
[0l2]
10
Y
0, 1/2, 1 2020年12月15日1时10分
(1)平行的晶面组成晶面族，晶面族包含所有格点； (2)晶面上格点分布具有周期性； (3)同一晶面族中的每一晶面上，格点分布(情况)相同； (4)同一晶面族中相邻晶面间距相等。
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2.晶面指数（hkl）确定步骤： ① 以晶胞的某一阵点为原点，以过原点的晶轴为坐标轴，以点阵常
数a，b，c为三个坐标轴的长度单位，建立一个空间直角坐标系。 但原点应位于待定晶面之外，以避免出现零截距。 ① 找出待定晶面在三轴的截距，如果该晶面与某轴平行，则截距为 无穷大。 ② 求出晶面在三个坐标轴上的截距x，y，z，对所求截距取倒数得 1/x，1/y，1/z； ③ 将它们按比例化成三个最小的整数h，k，l； ④ 再将它们放在一个圆括号中即得该晶面的晶面指数（hkl）。如 果有存在负号，将负号标在该数字的上方。
u 1, v 2, w 1
Coordinates of selected points in the
unit cell. The number refers to the
6
distance from the origin in terms of
lattice parameters.
例题：确定图1-18中A，B和C方向的晶向指数
Z
[123－]
X
1/3, 2/3, -1
Y
O1
O
P
11
2020年12月15日1时10分
注意： 晶向是一个矢量，有方向的区别； 一个晶向跟它的倍数是相同的； 对于高对称性的晶体来说，晶体学上等价的晶向具有相似的晶向指数。
这些等价的晶向构成的集合，称为晶向族 。也就是互相不平行而原子 排列规律相同的晶向的集合； 在立方体中有，沿立方边的晶列一共有6个不同的晶向，由于晶格的 对称性，这6个晶向并没有什么区别，晶体在这些方向上的性质是完 全相同的，统称这些方向为等效晶向，写成<100>； 同一晶向族中的指数相同，只是排列顺序或符号不同； 立方晶系中的一些重要的晶向族有6种轴向<100>、12种面对角线方向 <110>、8种体对角线方向<111>和顶点到面心的方向<112>。
0.51125nm 因此，线密度也可以看成是阵点间距的倒数。 线致密度＝线密度×2r 。 线致密度＝线密度×2r ＝3.91×2×0.12781＝1 说明原子沿[110]晶向相互接触(面心立方晶胞的最密排方向)。
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二、晶面及晶面指数
1.晶面
在晶格中，通过任意三个不在同一直线上的格点作一平面，称为 晶面，描写晶面方位的一组数称为晶面指数。
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2020年12月15日1时10分
一、晶向及晶向指数
1.晶向： 通过晶格中任意两个格
点连一条直线称为晶列， 晶列的取向称为晶向，描 写晶向的一组数称为晶向 指数(或晶列指数 miller indices)。
过一格点可以有无数晶 列。
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晶列的特点： (1)平行晶列组成晶列族，晶列族包含所有的格点； (2)晶列上格点分布是周期性的； (3)晶列族中的每一晶列上，格点分布都是相同的； (4)在同一平面内，相邻晶列间的距离相等。
晶向 A
1.两点坐标分别为（1, 0, 0） and（0, 0, 0） 2. （1, 0, 0） - （0, 0, 0） =（ 1, 0, 0） 3. 已为最小的整数，记作 [100]
晶向B
1.两点坐标分别为（1, 1, 1） and （0, 0, 0） 2. （1, 1, 1） -（0, 0, 0） = （1, 1, 1） 3.已为最小的整数，记作 [111]
晶向C
1.两点坐标分别为（0, 0, 1） and （1/2, 1, 0） 2. （0, 0, 1） -（1/2, 1, 0） = （-1/2, -1, 1）
3. 2(-1/2, -1, 1) = -1, -2, 2，记作 [ 122]
练习1：确定图中AB，BC和AD的晶向指数
A
X
9
Z
B
A (100)
Determining the repeat distance, linear density, and packing fraction for [110] direction in FCC copper.
14
例：已知Cu是FCC晶胞结构，晶格常数a = 0.36451 nm，计算 晶胞中[110]晶向的阵点距离、线密度和线致密度？
[100]
[001] [010] [100]
[010] [001]
100 [100] [010] [001][100][0 10][00 1]
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2020年12月15日1时10分
3. 阵点间距、线密度和堆垛密度
阵点间距（repeat distance）：沿晶向方向阵点之间的距离。 线密度(liner density):沿一个方向单位长度上相同阵点的数目。 线堆垛密度（线致密度）:某个晶向上的原子所占的长度的比例。
对于FCC晶胞中[110]晶向，起点设在0,0,0位置，下一个阵点在 面心，即1/2,1/2,0的位置。因此，阵点间的距离是面对角线的 一半，等于 1 2a 。铜的晶格常数为0.36151nm，可以算出阵点 间距为0.25562nm。
铜的面心立方晶胞[110]晶向有2个重复距离，为 2a 0.51125nm 线密度＝ 2 ＝3.91阵点/nm