解一阶常微分方程范文
常微分论文关于一阶微分方程的解的存在的探讨
常微分方程论文学院：数学科学学院班级：12级统计班指导教师：宋旭霞小组成员：张维萍付佳奇张韦丽张萍日期：2014.06.06关于一阶微分方程的解的存在的探讨摘要：分析了解的存在唯一性定理，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性，并且对此加以证明。
另外，由于能得到精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有重要的意义，而解的存在唯一性是进行近似计算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意义。
如果存在不唯一，不能确定所求的是哪个解。
而解的存在唯一性定理保证了所求解的存在性和唯一性。
关键词：微分方程 连续 可微 近似计算 误差估计 一、存在性与唯一性定理：（1）显式一阶微分方程),(y x f dxdy= （3.1） 这里),(y x f 是在矩形域：00:||,||R x x a y y b -≤-≤ （3.2） 上连续。
（一）、定理1：如果函数),(y x f 满足以下条件：1）在R 上连续：2）在R 上关于变量y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件，即存在常数0L >，使对于R 上任何一对点1(,)x y ，2(,)x y 均有不等式1212(,)(,)f x y f x y L y y -≤-成立，则方程（3.1）存在唯一的解()y x ϕ=，在区间0||x x h -≤上连续，而且满足初始条件00()x y ϕ= （3.3） 其中,min(,),max (,)x y R bh a M f x y M∈==,L 称为Lipschitz 常数.解题思路：1） 求解初值问题(3.1)的解等价于积分方程00(,)xx y y f x y dx =+⎰的连续解。
2） 构造近似解函数列{()}n x ϕ任取一个连续函数0()x ϕ，使得00|()|x y b ϕ-≤，替代上述积分方程右端的y ，得到 0100()(,())xx x y f x x dx ϕϕ=+⎰如果10()()x x ϕϕ≡，那么0()x ϕ是积分方程的解，否则，又用1()x ϕ替代积分方程右端的y ，得到 0201()(,())xx x y f x x dx ϕϕ=+⎰如果21()()x x ϕϕ≡，那么1()x ϕ是积分方程的解，否则，继续进行，得到 001()(,())xn n x x y f x x dx ϕϕ-=+⎰（3.4）于是得到函数序列{()}n x ϕ.3） 函数序列{()}n x ϕ在区间00[,]x h x h -+上一致收敛于()x ϕ，即 lim ()()n n x x ϕϕ→∞=存在，对(3.4)取极限,得到00010lim ()lim (,()) =(,())xn n x n n xx x y f x x dxy f x x dx ϕϕϕ-→∞→∞=++⎰⎰，即00()(,())xx x y f x x dx ϕϕ=+⎰.4) ()x φ是积分方程00(,)xx y y f x y dx =+⎰在00[,]x h x h -+上的连续解.（二）、五个命题这种一步一步求出方程解的方法——逐步逼近法.在定理的假设条件下,分五个命题来证明定理. 为了讨论方便,只考虑区间00x x x h ≤≤+,对于区间00x h x x -≤≤的讨论完全类似.命题 1 设()y x ϕ=是方程(3.1)定义于区间00x x x h ≤≤+上,满足初始条件00()x y ϕ=（3.3）的解,则()y x ϕ=是积分方程00(,)xx y y f x y dx =+⎰00x x x h ≤≤+(3.5)的定义于00x x x h ≤≤+上的连续解.反之亦然.证明 因为()y x ϕ=是方程(3.1)满足00()x y ϕ=的解,于是有()(,())d x f x x dxϕϕ= 两边取0x 到x 的积分得到0()()(,())xx x x f x x dx ϕϕϕ-=⎰00x x x h ≤≤+即有00()(,())xx x y f x x dx ϕϕ=+⎰00x x x h ≤≤+所以()y x ϕ=是积分方程00(,)xx y y f x y dx =+⎰定义在区间00x x x h ≤≤+上的连续解.反之,如果()y x ϕ=是积分方程(3.5)上的连续解,则00()(,())xx x y f x x dx ϕϕ=+⎰ 00x x x h ≤≤+ （3.6）由于),(y x f 在R 上连续,从而(,())f x x ϕ连续,两边对x 求导,可得()(,())d x f x x dxϕϕ= 而且 00()x y ϕ=,故()y x ϕ=是方程(3.1)定义在区间00x x x h ≤≤+上,且满足初始条件00()x y ϕ=的解. 构造Picard 的逐次逼近函数序列{()}n x ϕ.0000100()()(,()) x nn x x y x y f d x x x h ϕϕξϕξξ-=⎧⎪⎨=+≤≤+⎪⎩⎰(1,2,)n = （3.7）命题2 对于所有的n ，（3.6）中的函数()n x ϕ在00x x x h ≤≤+上有定义，连续且满足不等式 0|()|n x y b ϕ-≤ （3.8） 证明 用数学归纳法证明当1n =时，0100()(,)xx x y f y d ϕξξ=+⎰，显然1()x ϕ在00x x x h ≤≤+上有定义、连续且有10000|()||(,)||(,)|()x xx x x y f y d f y d M x x Mh b ϕξξξξ-=≤≤-≤≤⎰⎰即命题成立.假设n k =命题2成立，也就是在00x x x h ≤≤+上有定义、连续且满足不等式 0|()|k x y b ϕ-≤当1n k =+时，10()(,())xk k x x y f dx ϕξϕξ+=+⎰由于),(y x f 在R 上连续,从而(,())k f x x ϕ在00x x x h ≤≤+上连续，于是得知1()k x ϕ+在00x x x h ≤≤+上有定义、连续,而且有100|()||(,())|()xk k x x y f d M x x Mh b ϕξϕξξ+-≤≤-≤≤⎰即命题2对1n k =+时也成立.由数学归纳法知对所有的n 均成立.命题3 函数序列{()}n x ϕ在00x x x h ≤≤+上是一致收敛的.记lim ()()n n x x ϕϕ→∞=,00x x x h ≤≤+证明 构造函数项级数 011()[()()]kk k x x x ϕϕϕ∞-=+-∑ 00x x x h ≤≤+ (3.9)它的部分和为011()()[()()]()nn kk n k S x x x x x ϕϕϕϕ-==+-=∑于是{()}n x ϕ的一致收敛性与级数(3.9)的一致收敛性等价. 为此，对级数(3.9)的通项进行估计.1000|()()||(,())|()xx x x f d M x x ϕϕξϕξξ-≤≤-⎰ (3.10)2110|()()||(,())(,())|xx x x f f d ϕϕξϕξξϕξξ-≤-⎰由Lipschitz 条件得知2110020|()()||()()|ξ() ()2!xx xx x x L d L M x d MLx x ϕϕϕξϕξξξ-≤-≤-≤-⎰⎰设对于正整数n ,有不等式110|()()|() !n n n n ML x x x x n ϕϕ---≤- 成立,则由Lipschitz 条件得知,当00x x x h ≤≤+时,有0111010|()()||(,())(,())| |()()|ξ() ! ()(+1)!xn n n n x xn n x n x nx nn x x f f d L d ML x d n ML x x n ϕϕξϕξξϕξξϕξϕξξξ+--+-≤-≤-≤-≤-⎰⎰⎰于是由数学归纳法可知, 对所有正整数k ,有1110|()()|() !!k k kk k k ML ML x x x x h k k ϕϕ----≤-≤ 00x x x h ≤≤+ (3.11)由正项级数11!kK k h MLk ∞-=∑ 的收敛性,利用Weierstrass 判别法,级数(3.9)在00x x x h ≤≤+ 上一致收敛.因而序列{()}n x ϕ在00x x x h ≤≤+上一致收敛. 设lim ()()n n x x ϕϕ→∞=,则()x ϕ也在00x x x h ≤≤+上连续,且0|()|x y b ϕ-≤命题4 ()x ϕ是积分方程(3.5)的定义在00x x x h ≤≤+上的连续解.证明 由Lipschitz 条件 |(,())(,())||()()|n n f x x f x x L x x ϕϕϕϕ-≤-以及{()}n x ϕ在00x x x h ≤≤+上一致收敛于()x ϕ,可知(,())n f x x ϕ在00x x x h ≤≤+上一致收敛于(,())f x x ϕ.因此000101lim ()lim (,())=lim (,())xn n x n n xn x n x y f d y f d ϕξϕξξξϕξξ-→∞→∞-→∞=++⎰⎰即 00()(,()) xn x x y f d ϕξϕξξ=+⎰故()x ϕ是积分方程(3.5)的定义在00x x x h ≤≤+上的连续解.命题5设()x ψ是积分方程(3.5)的定义在00x x x h ≤≤+上的一个连续解,则()()x x ϕψ≡,00x x x h ≤≤+.证明 设()|()()|g x x x ϕψ=-,则()g x 是定义在00x x x h ≤≤+的非负连续函数,由于 00()(,()) xx x y f d ϕξϕξξ=+⎰0()(,()) xx x y f d ψξψξξ=+⎰而且(,)f x y 满足Lipschitz 条件,可得()|()()||[(,())(,())]||(,())(,())| |()()|()xx xx xxx x g x x x f f d f f d L d L g d ϕψξϕξξψξξξϕξξψξξϕξψξξξξ=-=-≤-≤-=⎰⎰⎰⎰令0()()xx u x Lg d ξξ=⎰,则()u x 是00x x x h ≤≤+的连续可微函数,且0()0u x =,0()()g x u x ≤≤,()()u x Lg x '=,()()u x Lu x '≤,(()())0Lx u x Lu x e -'-≤,即(())0Lx u x e -'≤,于是在00x x x h ≤≤+上, 00()()0Lx Lx u x e u x e --≤=故()()0g x u x ≤≤,即()0g x ≡,00x x x h ≤≤+,命题得证.（三）、对定理说明附注:1、存在唯一性定理中min(,)bh a M=的几何意义.在矩形域R 中(,)f x y M ≤,故方程过00(,)x y 的积分曲线()y x ϕ=的斜率必介于M -与M 之间,过点00(,)x y 分别作斜率为M -与M 的直线.当b M a ≤时，即b a M ≤,（如图(a)所示），解()y x ϕ=在00x a x x a -≤≤+上有定义；当b M a ≥时,即b a M≤,（如图(b)所示），不能保证解在00x a x x a -≤≤+上有定义，它有可能在区间内就跑到矩形R 外去，只有当00b b x x x M M-≤≤+才能保证解()y x ϕ=在R 内，故要求解的存在范围是0||x x h -≤.2、 由于李普希兹条件的检验是比较费事的，而我们能够用一个较强的，但却易于验证的条件来代替他，即如果函数),(y x f 在矩形域R 上关于y 的偏导数),('y x f y 存在并有界，即'(,)y f x y L ≤，则李普希兹条件条件成立. 事实上212121212(,())|(,)(,)|||||||f x y y y f x y f x y y y y L y y θ∂+--=-∂≤-这里12(,),(,),01x y x y R θ∈<<. 如果),('y x f y 在R 上连续，它在R 上当然满足李普希兹条件.但是,满足李普希兹条件的函数),(y x f 不一定有偏导数存在.例如函数(,)||f x y y =在任 何区域都满足李普希兹条件,但它在0y =处没有导数. 3、设方程(3.1)是线性的,即方程为()()dyP x y Q x dx=+ 易知,当(),()P x Q x 在区间[,]αβ上连续时,定理1的条件就能满足,且对任一初值000(,),[,]x y x αβ∈所确定的解在整个区间[,]αβ上有定义、连续.实际上,对于一般方程(3.1),由初值所确定的解只能定义在0||x x h -≤上,是因为在构造逐步逼近函数序列{()}n x ϕ时,要求它不越出矩形域R ,此时,右端函数对y 没有任何限制,只要取0[,]max |()()|x M P x y Q x αβ∈=+.4、Lipschitz 条件 是保证初值问题解惟一的充分条件，而非必要条件. 例如 试证方程0 =0ln || 0 y dy y y dx y ≠⎧=⎨⎩经过xoy 平面上任一点的解都是唯一的.证明 0y ≠时, (,)ln ||f x y y y =,在0y ≠上连续, (,)1ln ||y f x y y '=+也在0y ≠上连续,因此对x 轴外的任一点00(,)x y ,方程满足00()y x y =的解都是唯一存在的.又由ln ||dyy y dx= 可得方程的通解为xce y e=±,其中xce y e=为上半平面的通解,xce y e=-为下半平面的通解,它们不可能与0y =相交.注意到0y =是方程的解,因此对x 轴上的任一点0(,0)x ,只有0y =通过,从而保证xoy 平面上任一点的解都是唯一的. 但是|(,)(,0)||ln ||||ln |||||f x y f x y y y y -==因为0lim |ln |||y y →=+∞,故不可能存在0L >,使得|(,)(,0)|||f x y f x L y -≤所以方程右端函数在0y =的任何邻域并不满足Lipschitz 条件.此题说明Lipschitz 条件 是保证初值问题解惟一的充分条件，而非必要条件. 2)考虑一阶隐方程(,,)0F x y y '= (3.12)由隐函数存在定理,若在000(,,)x y y '的某一邻域内F 连续且000(,,)0F x y y '=,而0Fy ∂≠'∂,则必可把y 唯一地表为,x y 的函数(,)y f x y '= (3.13)并且(,)f x y 于00(,)x y 的某一邻域连续,且满足000(,)y f x y '=如果F 关于所有变元存在连续的偏导数,则(,)f x y 对,x y 也存在连续的偏导数,并且/f F F y y y ∂∂∂=-'∂∂∂ (3.14) 显然它是有界的,由定理1可知,方程(3.13)满足初始条件的0()0y x =解存在且唯一.从而得到下面的定理.定理2 如果在点000(,,)x y y '的某一邻域中: ⅰ) (,,)F x y y '关于所有变元(,,)x y y '连续,且存在连续的偏导数；ⅱ）000(,,)0F x y y '= ⅲ）000(,,)0F x y y y '∂≠'∂ 则方程（3.12）存在唯一的解0() || y y x x x h =-≤（h 为足够小的正数）满足初始条件0000(), ()y x y y x y ''== （3.15） （四）、近似计算和误差估计求方程近似解的方法——Picard 的逐次逼近法0000100()()(,()) x nn x x y x y f d x x x h ϕϕξϕξξ-=⎧⎪⎨=+≤≤+⎪⎩⎰对方程的第n 次近似解()n x ϕ和真正解()x ϕ在0||x x h -≤内的误差估计式1|()()|(1)!n n n ML x x h n ϕϕ+-≤+ （3.16）此式可用数学归纳法证明.000|()()||(,())|()xx x x f d M x x Mh ϕϕξϕξξ-≤≤-≤⎰设有不等式1110|()()|() !!n n nn n ML ML x x x x h n n ϕϕ----≤-≤成立,则0110110|()()||(,())(,())| |()()|ξ()! ()(+1)!(+1)!xn n x xn x n x nx n n n n x x f f d L d ML x d n ML ML x x hn n ϕϕξϕξξϕξξϕξϕξξξ--++-≤-≤-≤-≤-≤⎰⎰⎰ 例1 讨论初值问题22dyx y dx=+, (0)0y = 解的存在唯一性区间,并求在此区间上与真正解的误差不超过0.05的近似解,其中,:11,11R x y -≤≤-≤≤.解 (,)1max |(,|2,1,1,min{,}2x y Rb M f x y a b h a M ∈======,由于|||2|2f y L y∂=≤=∂,根据误差估计式(3.16)11|()()|0.05(1)!(1)!n n n ML x x h n n ϕϕ+-≤=<++可知3n =.于是0()0x ϕ=322100()[()]3xx x x x dx ϕϕ=+=⎰3722210()[()]363xx x x x x dx ϕϕ=+=+⎰37111522320()[()]363207959535xx x x x x x x dx ϕϕ=+=+++⎰3()x ϕ就是所求的近似解,在区间1122x -≤≤上,这个解与真正解得误差不超过0.05. 1、求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)0(2y yx dx dy 的第三次近似解；解 由解的存在唯一性定理知，1），2）中的初值问题的解分别在)0,0(，)0,1(的邻域内存在且唯一。
一阶常微分方程初等解法的简析与举例
一阶常微分方程初等解法的简析与举例姓名：潘晶晶学号:20085031079数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导老师：刘守宗职称：讲师摘要:本文结合例题把常微分方程的求解问题化为积分问题.并且对变量分离,变量变换,常数变易法,恰当微分方程,隐式微分方程等常微分方程的初等解法进行简要分析和求解.关键词:变量变换;隐式微分方程;一阶常微分方程;恰当微分方程A Brief Analysis And Examples of First-Order DifferentialEquations’ Elementary SolutionsAbstract:This article introduce a mothed of tansforming the solution of first-order differenttial equations into the solution of integral.The article also states a brief analysis and elementary method of the elementary solutions for separation of variables,variable transformation, variation law, appropriate differential equation, the implicit declined points equations.Key Words:variable transformation;cain declined equations;first-order differential equation; exact differential equation前言数学分析中研究了变量的各种函数及函数的微分与积分.如函数未知,但知道变量与函数的代数关系,便组成代数方程,通过求解代数方程就可解出未知函数.一阶常微分方程的初等解法是把微分方程的求解问题转化为积分问题,其解的表达式由初等函数或超越函数表示,他们在实际问题中有着广泛的应用,值得我们好好学习和体会. 1.一阶微分方程的基本概念联系着自变量,位置函数及其导数的关系式叫作微分方程,自变量只有一个的微分方程叫作常微分方程,阶数为一阶的叫作一阶常微分方程.2.变量分离方程的解法举例分析2.1变量分离方程的解法形如()()dyf x y dxϕ= (1) 的方程,称为变量分离方程,()f x ,()y ϕ分别是x ,y 的连续函数.这是一类最简单的一阶函数.如果()0y ϕ≠,我们可将(1)改写成()()dyf x dx y ϕ=,这样变量就分离开来了.两边积分,得到()()dyf x dx c y ϕ=+⎰⎰c 为任意常数.由该式所确定的函数关系式(,)y y x c =就是常微分方程(1)的解.例 求解方程dy dx =.解 当1y ≠±时,将变量分离,得=,两边积分,得c =+,则有arcsin arcsin y x c =+,即sin(arcsin )y x c =+,因当1y =±显然也是所求方程的解，且包含于上式，故所求方程的通解为sin(arcsin )y x c =+,其中成为任意常数.2.2化为变量分离的微分方程有些方程本不是可分离变量微分方程的类型,但经过变量变换可化为分离变量的微分方程.可分为三种情况来讨论:()1021==c c 的情形这时,有=dx dy =++y b x a y b x a 2211⎪⎭⎫ ⎝⎛=++x y g xy b a x yb a 2211. 因此,只要作变换x yu =,则方程就转化为变量分离方程.例 求解方程22dyx xy y dx =-. 解 方程可化为2()dy y y dx x x =-,令y u x =,将dy du x u dx dx=+代入上式, 可得2dux u dx=-,易知0u =是上式的一个解,从而0y =为原方程的一个解.当0u ≠时,分离变量得2du dx u x -=,两边积分得1ln u x c =+,故可得原方程的通解为ln x y x c=+. ()22121b b a a =k =的情形. 这时方程可写为()().22222122y b x a f c y b x a c y b x a k dx dy +=++++= 令u y b x a =+22,则方程化为().22u f b a dxdu+=, 这是变量分离方程.例 求解方程111dy dx x y =+-+. 解 令1u x y =-+,则有1y u x -=--,代入所求方程()111d u x dx u---=+,整理可得1du dx u=-, 由变量分离得22u x c =-+,故所求方程的解为()212x y x c -++=.()32121b b a a ≠及21,c c 不全为零的情形 因为方程右端分子,分母都是y x ,的一次多项式,因此⎩⎨⎧=++=++.0,0222111c y b x a c y b x a 代表Oxy 平面上两条相交的直线,设交点为()βα,,若令⎩⎨⎧-=-=,,βαy Y x X 则化为⎩⎨⎧=+=+,0,02211y b x a y b x a 从而变为.2211⎪⎭⎫ ⎝⎛=++=X Y g Y b X a Y b X a dX dY 因此,求解上述变量分离方程,最后代回原方程,即可得到原方程的解.例 求解方程111dy dx x y =+-+. 解 令1u x y =-+,则有1y u x -=--,代入所求方程()111d u x dx u---=+,整理可得1du dx u=-,由变量分离得22u x c =-+,故所求方程的解为()212x y x c -++=. 2.3常数变易法 一阶线性微分方程()(),x Q y x P dxdy+= 其中()()x Q x P ,在考虑的区间上是x 的连续函数,若Q ()0=x ,变为(),y x P dxdy= 称为一阶齐次线性微分方程,若(),0≠x Q 称为一阶非齐次线性微分方程.变易分离方程,易求得它的通解为(),⎰=dxx P ce y这里c 是任意常数.现在讨论非齐次线性方程的通解的求法.不难看出,是的特殊情形,两者既有联系又有差别,因此可以设想它们的解也应该有一定的联系而又有差别,现试图利用方程的通解的形式去求出方程的通解,显然,如果中c 恒保持为常数,它们不可能是的解.可以设想在中将常数c 变易为x 的待定函数,使它满足方程,从而求出(),x c 为此,令()(),dxx P e x c y ⎰=微分之,得到()()()()().dx x P dxx P e x P x c e dxx dc dx dy ⎰+⎰= 以代入得到()()()()()()()()(),x Q e x c x P e x P x c e dxx dc dx x P dx x P dx x P +⎰=⎰+⎰ 即()()(),⎰=-dx x P e x Q dxx dc积分后得到()()(),1c dx e x Q x c dxx P +⎰=-⎰这里1c 是任意常数.将代入得到()()().1⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-c dx e x Q e y dx x P dxx P 这就是方程的通解. 2.4伯努利微分方程 形如()()n y x Q y x P dxdy+= 的方程,称为伯努利微分方程,这里()()x Q x P ,为x 的连续函数.1,0≠n 是常数.利用变量变换可将伯努利方程化为线性方程.事实上,对于,0≠y 用n y -乘两边,得到()(),1x Q x P y dxdyy n n+=-- 引入变量变换,1n y z -=从而().1dxdy y n dx dz n --= 将代入得到()()()(),11x Q n z x P n dxdz-+-= 这是线性微分方程,可按常数变易法求得它的通解,然后代回原来的变量,便得到的通解.此外,当0>n 时，方程还有解.0=y例 求解微分方程222dy y x dx x y=+． 解 这是一个伯努利微分方程,两边同乘以2y ,得222dy y y x dx x=+, 令2u y =,则有2du ux dx x=+. 上式是一个一阶非齐次线形微分方程,由常数变易法可求得上式的解为312u cx x =+, 从而原方程的通解为2312y cx x =+, 2.5恰当微分方程考虑微分形式的一阶微分方程()(),,0M x y dx N x y dy +=(11),如果该式的左端恰好是某个二元函数(),u x y 的全微分,即()()(),,,u u M x y dx N x y dy du x y dx dy x y∂∂+==+∂∂ 则称(11)为恰当微分方程,对于一阶微分方程()(),,0M x y dx N x y dy +=,若有M Ny x∂∂=∂∂,则该方程必为恰当微分方程.我们接着讨论如何求得该恰当微分方程的解.我们可以把(),uM x y x∂=∂看作只关于自变量x 的函数.对它积分可得()(),u M x y dx y ϕ=+⎰,由此式可得()(),d y u M x y dx x x dyϕ∂∂=+∂∂⎰, 又因为有(),uN x y x∂=∂,故 ()(),d y N M x y dx dy xϕ∂=-∂⎰, 对该式积分可得()(),y N M x y dx dy x ϕ∂⎡⎤=-⎢⎥∂⎣⎦⎰⎰, 将该式代入,得恰当微分方程的通解为()(),,M x y dx N M x y dx dy c x ∂⎡⎤+-=⎢⎥∂⎣⎦⎰⎰⎰.例 求解微分方程()2220dyx y y x dx++=． 解 这里2M x y =,22N y x =+,从而2M Nxy y x∂∂==∂∂,可知所求的微分方程为恰当微分方程,则有2uy x x∂=∂, 对x 积分得()2212u x y y φ=+, 再对y 求导,则得()2d y ux y y dyφ∂=+∂, 又有22ux y y∂=+∂, 则可得()2y y φ=,将()2y y φ=代入得22122u x y y =+, 所以原方程的通解为22122x y y c +=. 2.6积分因子法恰当微分方程可以通过积分求出它的通解.因此能否将一个非恰当微分方程化为恰当微分方程就有很大的意义.积分因子就是为了解决这个问题引进的概念.如果存在连续可微函数(),0x y μμ=≠,使得()()()(),,,,0x y M x y dx x y N x y dy μμ+=为一恰当微分方程，即存在函数u ,使Mdx Ndy du μμ+=,则称(),x y μ为方程()(),,0M x y dx N x y dy +=的积分因子.函数(),x y μ为()(),,0M x y dx N x y dy +=积分因子的充要条件是()()M N y xμμ∂∂=∂∂, 即()M N NM x y y xμμμ∂∂∂∂-=-∂∂∂∂. 假设原方程存在只与x 有关的积分因子()x μμ=,则0xμ∂=∂,则μ为原方程的积分因子的充要条件是()M N x y xμμ∂∂∂=-∂∂∂,即()()M Ny x x N φ∂∂-∂∂=仅是关于x 的函数.此时可求得原方程的一个积分因子为()x dxe φμ⎰=.同样有只与y 有关的积分因子的充要条件是()()M Ny xy Mϕ∂∂-∂∂=-是仅为y 的函数,此时可求得方程(11)的一个积分因子为()y dye ϕμ⎰=.例 求解方程()330ydx x y dy ++-=. 解 在此式中M y =,33N x y =+-,因13M Ny x∂∂=≠=∂∂,所以该方程不是恰当方程,因()233M N y x N x y ∂∂--∂∂=+-不是x 的函数,但()2M Ny x M y ∂∂-∂∂=-是y 的函数,所以22dy y e y ⎰=为方程的积分因子,方程乘以积分因子,得()3223330y dx y xy y dy ++-=,该式为恰当微分方程,通过以上介绍的求恰当微分方程的方法得原方程的通解为33414xy y y c +-=. 2.7隐式微分方程2.7.1可以解出y 或x 的方程()1讨论形如,dy y f x dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭的方程的解法,这里假设,dy f x dx ⎛⎫⎪⎝⎭有连续的偏导数.引进参数,dyp dx=则变为 (),.y f x p =将两边对x 求导数,并以dyp dx=代入，得到 .f f p p x p x∂∂∂=+∂∂∂ 方程是关于x ,p 的一阶微分方程,但它的导数已解出,于是可按前面介绍的方法求出它的解.若已求得的通解的形式为(),,p x c ϕ=将它代入,得到()(),,,y f x x c ϕ=这就是得通解.若求得的通解的形式为(),,x p c ϕ=则得到的参数形式的通解为()()(),,,,.x p c y f p c p ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩ 其中是p 参数,c 使任意常数.若求得的通解的形式为(),,0,x p c Φ=则得到的参数形式的通解()(),,0,,.x p c y f x p Φ=⎧⎪⎨=⎪⎩ 其中p 是参数,c 为任意常数.()2形如,dy x f y dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭的方程,假定函数有连续的偏导数. 引进参数,dy p dx=则变为 (),,x f y p =将两边对y 求导数,然后以1dx dy p=代入,得到 1.f f dp p y p dy∂∂=+∂∂ 方程是关于y ,p 的一阶微分方程,但它的导数dp dy已解出,于是可按前面介绍的方法求解,设求得通解为 (),,0,y p c Φ=则得的通解为()(),,0,,.y p c x f y p Φ=⎧⎪⎨=⎪⎩2.7.2不显含y 或x 的方程()1讨论形如(),'0F x y =的方程的解法. 记dy p dx=，令()(),.x t p t ϕφ== 这里t 为参数,因为,dy pdx =以代入上式得()()',dy t t dt φϕ=两边积分,得到()()'.y t t dt c φϕ=+⎰于是,得到方程的参数形式的通解为()()(),'.x t y t t dt c ϕφϕ=⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰ 这里c 为任意常数.()2形如(),'0F y y =的方程,其解法同方程的求解方法类似.记',p y =引入参数t ,将方程表示为适当的数形式()(),.y t p t ϕφ=⎧⎪⎨=⎪⎩由关系式,dy pdx =得()()',t dt t dx ϕφ=由此得()()',t dx dt t ϕφ= ()()'.t x dt c t ϕφ=+⎰于是 ()()()',.t x dt c t y t ϕφϕ⎧=+⎪⎨⎪=⎩⎰ 为方程的参数形式的通解,其中c 为任意常数.此外,不难验证,若(),00F y =有实根,y k =则y k =也是方程的解例 求微分方程''y x e y =-的解.解 令'p y =,则p x e p =-,将上式两边对y 求导1p dp dp e p dy dy=-, 整理并积分可得()2112p y e p p c =-++, 所以方程的通解为()2112p p x e p y e p p c ⎧=-⎪⎨=-++⎪⎩ 结语对于一个给定的常微分方程,不仅要准确判断它属于何种类型,还要注意学习的解题技巧,从中总结经验,培养自己的机智和灵活性,对各种方法的推导进行分析归纳,并根据方程特点,引进适当的变换,将方程换为能求解的类型.才能熟练地把它应用在社会的实践中去.参考文献[1] [美]塞蒙斯G F.微分方程.张理晶译.北京:人民教育出版社,1981.[2] 胡健伟,汤怀民.微分方程数值解法[M].北京:科学出版社,1999.[3] 王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松.常微分方程(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2006.。
一阶常微分方程的解法
一阶常微分方程的解法[摘要]微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法.而一阶微分方程作为微分方程的基础问题，是解决其他问题的重要环节.本文总体分为两个环节：第一部分介绍了一阶显式微分方程的多种解法，深入讨论了可分离变量的方程，可化为变量可分离方程的齐次方程，一阶线性微分方程，恰当方程，积分因子法这些特殊类型.本文的另一部分介绍了一阶隐式微分方程的多种结合，结合可解出y，结合可解出x，不显含y的隐式方程，不显含x的隐式方程这四类特殊的情况进行探讨.文章的最后一部分则是选取了一阶微分方程的四类非常特殊的微分方程，给出了各种通解.[关键词]显式微分方程，可分离变量，一阶线性微分方程，齐次方程，隐式微分方程The Method for First-order Differential EquationsStudent: Wu Tao , School of Information and MathematicsTutor: Wu Haitao , School of Information and Mathematics[Abstract]Differential equations is the most basic mathematical theory and methods to study the natural sciences and the social sciences things, objects and phenomena movement, evolution and variation.The first order differential equations as a basis for the problem, and is an important part of solving other problems.This paper is divided into two areas overall：The first part introduces many kinds of solutions of differential equations of first-order explicit, it discusses the Variable separable equation in depth,The homogeneous equation can be separated equations for variables,First order linear differential equations,The appropriate equations ,Integral factor method,and so on.Another part of the article describes the combination of a variety of first-order differential equations implicit, Y can be solved in conjunction, X can be solved in conjunction, The implicit equation without Y, The implicit equation without X, These four kinds of special cases are discussed in this paper.The last part of the article is selected four kinds of differential equations of first order differential equation is very special, It gives the general solution.[Keywords]Explicit differential equation,Separable variables,First order linear differential equations,Homogeneous equation,Implicit differential equation.一阶常微分方程的解法1前言微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解.牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解.后来瑞士数学家欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论.常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的.数学的其他分支的新发展，如复变函数都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具.牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律.后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置.这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量.2选题背景2.1研究目的与意义一阶常微分方程解法就是把常微分方程的求解问题转化为积分问题，能用这种方法求解的微分方程称为可积方程. 随着常微分方程在实际生产、生活中表现出重要的应用性，因此，研究常微分方程的解题方法也变得十分必要.本文通过对一阶微分方程的初等解法的归纳与总结，以及对变量分离，积分因子，微分方程等各类初等解法的简要分析，同时结合例题把常微分方程的求解问题化为积分问题，进行求解.而且常微分方程就形式种类而言多不胜举，在涉及具体的常微分方程求解问题时应本着抓住特点、拓宽思路、灵活处理的原则, 找出解题的切入点，逐步推进，一举突破.常微分方程因其广泛的应用性而受到科学技术领域的普遍关注和高度重视．但许多常微分方程教材都存在明显的对各类型方程求解的孤立技巧与方法的汇编倾向，许多内容的联系比较松散．面对这种情况，在教学中特别需要把握好教学方法和切实突出课程中的基本思想和方法，使学生在学习中能得到应有思维训练．尤其是一阶常微分方程是非常重要的一类方程，它作为常微分方程的基础内容之一，具有完整的系统理论和丰富的实际背景，学好该内容对提高学生学习后继内容的积极性和思维能力具有重要奠基作用．2.2国内外现状和发展趋势与研究的主攻方向本文讨论的求解一阶常微分方程的，在教材体系和知识逻辑上具有较好的承前性．同时，方法的具体运用过程较常数变易法简洁明了，符合学生认知规律．它在思想上很好地体现了变换化归的思想，讲授它对突出课程的思想方法教学具有重要作用．而在方法的功能上，它不仅能解决当前的线性方程问题，而且在解决非线性方程方面同样具有重要作用．讨论这些方法的应用对拓展学生思维能高其数学素养具有很好作用．但在教学实践中，考虑到公共数学课面对的学生基础和教学目的的局限性，当只能讲授常数变易法，其余两法只作说明而不能具体涉及，以此扩大学生知识视野而又不增加教学难度．但对专业教学则可作必要拓展．个人实践是以讲授常数变易法为主，函数变换法为辅，将其列为课堂讨论题目并作具体推导，但讲而不要求．对积分因子法，则只作为学生思考题目给出，并作适当的提示，让有兴趣和学有余力的学生思考．对教材作这样处理，能在不增加教学难度的情况下，既可突出重点又能较好地分化难点，有利于拓展学生知识视野、激发学生学习兴趣和提高学生对数学的理解能力．微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法.微分方程也就成了最有生命力的数学分支.常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法.因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多烦人应用于社会科学的各个领域.常微分方程在很多学科领域内有着重要的作用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等等，这些问题都可以化为求微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题.2.3主要研究内容，重点研究的关键问题及解决思路本文主要解决了三个问题：（1）一阶微分方程的基本知识和性质；（2）一阶微分方程的解法；（3）一阶微分方程解法的应用举例.一阶微分方程的解法，关键和解题思路即把微分方程的求解问题化为积分问题，其解的表达式由初等函数或超越函数表示.3 一阶显式微分方程的解法3.1 可分离变量的方程如果微分方程(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=中的函数(,)P x y 和(,)Q x y 均可表示为x 的函数与y 的函数的乘积，则称该方程为变量分离的方程.解法 令11(,)()(),(,)()()P x y X x Y y Q x y X x Y y == 于是11()()()()0X x Y y dx X x Y y dy += 若11()()0X x Y y ≠时，有11()()0()()X x Y y dx dy X x Y y += 即11()()()()X x Y y dx dy C X x Y y +=⎰⎰，其中C 为任意常数 当1()0X x =或1()0Y y =时，也是方程的解. 下面结合几种特殊的情况来进行求解[1].1. 形如 )()(y g x f dx dy= 当0)(≠y g 时，得到dx x f y g dy)()(=，两边积分即可得到结果； 当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解.例1 2dy x dx y=解 由2dy x dx y=可知：3220()032x y x dx ydy d -=⇒-=于是321132x y C -=即3223x y C -=，其中C 为常数. 2. 形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M当0)()(≠y N x P 时，可有dy y N y Q dx x P x M )()()()(=，两边积分可得结果；当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=）x P 时，0x x =为原方程的解. 例2 22(1)(1)0x y dx xydy +-+=解 当2(1)0x y -≠时，用它除方程的两断，即得等价的方程22101x ydx dy x y ++=- 再积分上式，有2221ln ln 1x x y C ++-=，其中1C 为任意常数即2221x x e y C -=1(0)C C e =≠ 而0x =或1y =±都是方程的解于是方程的解为2221x x e y C -=，C 为任意常数.3.2 可化为变量可分离方程的齐次方程如果微分方程(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=中的函数(,)P x y 和(,)Q x y 都是x 和y 的同（例如m 次）齐次函数，即：(,)(,),(,)(,)m m P tx ty t P x y Q tx ty t Q x y == 则称微分方程为齐次方程.其等价定义为()dy yg dx x=解法 令y ux =，其中u 为新的未知函数，x 仍为自变量，则(,)(,)(,),(,)(,)(,).mmP x y P x xu x P x u Q x y Q x xu x Q x u ⎧==⎪⎨==⎪⎩ 于是1[(1,)(1,)](1,)0m m x P u uQ u dx x Q u du +++=这是一个变量分离方程.下面结合几种具体的类型进行求解[3]：1.形如)(xyg dx dy =解 令x yu =，则udx xdu dy +=代入得到)(u g u dx dux =+为变量可分离方程 得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x xyf =.2.形如)0(),(≠+=ab by ax G dxdy解 令by ax u +=，则bduadx dy +=代入得到)(1u G badx du b =+为变量可分离方程 得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x by ax f =+. 3.形如)(222111c y b x a c y b x a f dx dy ++++= 解 若02211=b a b a ，则121221120a a a b a b b b λ-=⇒== 于是221222()a x b y c dyf dx a x b y c λ⎛⎫++= ⎪++⎝⎭转化为)(by ax G dxdy+=，下同1； 若02211≠b a b a ，⎩⎨⎧=++=++00222111c y b x a c y b x a 的解为),(00y x 令⎩⎨⎧-=-=00y y v x x u ，则)()()(22112211u v g u v b a u v b a f v b u a v b u a f du dv =++=++=，下同2； 4. ()()0yf xy dx xg xy dy +=只需令u xy =，利用上面类似的方法可求； 5. 2()dyx f xy dx= 只需令v xy =，22),(xyw x y xf dx dy ==，利用上面类似的方法可求； 6. (,)()(,)()0M x y xdx ydy N x y xdy ydx ++-=只需令cos ,sin x r y r θθ==，利用上面类似的方法可求； 例325--+-=y x y x dx dy 解 令2--=y x u ，则du dx dy -=，代入得到uu dx du 71+=-，有所以)(722为常数C C x u +-=把u 代入得到)(7222为常数）（C C x y x =+--例41212+-+-=y x y x dx dy 解 由⎩⎨⎧=+-=+-012012y x y x 得到⎪⎩⎪⎨⎧=-=3131y x令⎪⎩⎪⎨⎧-=+=3131y v x u ，有⎩⎨⎧==du dx dv dy 代入得到uvu v v u v u du dv 21222--=--= 令uvt =，有udt tdu dv +=代入得到ttdu dt u t 212--=+，化简得到 )1(2)1(22221222t t t t d dt t t t u du +-+--=+--= 有)(2)1ln(ln 2为常数C C t t u ++--=所以有)(1121C e C t t C u ±=+-=，故代入得到)0(,31313131131121≠⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++--=+C x y x y C x3.3 一阶线性微分方程方程()()dyP x y Q x dx+=叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的).如果()0Q x =，则方程称为齐次的；如果()Q x 不恒等于零，则方程称为非齐次的.解法一（积分因子法） 首先，我们讨论对应的齐次方程()0dyP x y dx+=的通解问题[2].若0y ≠，分离变量得()dyP x dx y=- 两边积分得()P x dxy Ce -⎰=其次，求解非齐次方程()()dyP x y Q x dx+=，则()()dy P x ydx Q x dx += 于是()()()()()P x dxP x dxP x dxe dy e P x ydx e Q x dx ⎰⎰⎰+=则()()()()P x dxP x dxd e y d Q x e dx ⎰⎰=⎰即()()(())P x dxP x dxy e C Q x e dx -⎰⎰=+⎰，其中C 为任意常数解法二（常数变易法） 首先求得齐次方程()0dyP x y dx+=的通解为 ()P x dxy Ce -⎰=于是令()()P x dxy C x e -⎰=为非齐次方程()()dyP x y Q x dx +=的解. 代入得：()()()()()()()()()P x dxP x dx P x dx dC x e C x P x e P x C x e Q x dx---⎰⎰⎰-+= 于是()()()P x dx dC x Q x e dx⎰= 即()()()P x dxC x Q x e dx C -⎰=+⎰于是非齐次方程()()dyP x y Q x dx+=的解为 ()()()()P x dxP x dxP x dxy Ce e Q x edx ---⎰⎰⎰=+⎰，其中C 为任意常数解法三（利用解的性质）设()P x dxh y Ce -⎰=为齐次方程()0dyP x y dx+=的通解，p y 为对应的非齐次方程()()dyP x y Q x dx+=的一个特解，则方程的通解为 h p y y y =+例6 1)1()1(++=-+n x x e ny dxdyx 解 化简方程为：n x x e y x n dx dy )1(1+=+-，则;)1()(,1)(n x x e x Q x nx P +=+-= 代入公式得到n dxx ndxx P x ee x -1)()1()(+=⎰=⎰=+-μ所以)()()1(])1()1([)1()(为常数C C e x C dx x e x x x y x n n x n n ++=++++=⎰- 例7315dyy dx-= 解 易知方程的一个特解为5y =-对应的齐次方程的通解为3x y Ce =于是方程的通解为35x y Ce =-，其中C 为任意常数3.4 恰当方程考虑对称形式的一阶微分方程(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=，如果存在一个可微函数(,)x y Φ，使得它的全微分为(,)(,)(,)d x y P x y dx Q x y dy Φ=+ 亦即它的偏导数(,),(,)P x y Q x y x y∂Φ∂Φ==∂∂ 则称该方程为恰当方程或全微分方程.解法 先判断是否是恰当方程： 如果有x y x N y y x M ∂∂=∂∂),(),(恒成立，那么原方程是个恰当方程，找出一个 ),(),(),,(),(.),,(y x N yy x G y X M x y x G ts y x G =∂∂=∂∂, 有)(,),(为常数C C y x G =；例8 0)46()63(3222=+++dy y y x dx xy x解 由题意得到，322246),(,63),(y y x y x N xy x y x M +=+= 由xNxy y M ∂∂==∂∂12得到，原方程是一个恰当方程； 下面求一个),(),(),,(),(.),,(y x N yy x G y X M x y x G t s y x G =∂∂=∂∂ 由2263),(),(xy x y X M xy x G +==∂∂得)(3),(223y y x x y x G ϕ++=，两边对y 求偏导得到32246)(6y y x y y x yG+='+=∂∂ϕ，得到34)(y y ='ϕ，有4)(y y =ϕ， 故42233),(y y x x y x G ++=，由0=dG ， 得到)(,34223为常数C C y y x x =++3.5 积分因子法方程(,)(,)0,(,),..0M x y dx N x y dy x y s t Mdx Ndy μμμ+=∃+=是一个恰当方程，那么称),(y x μ是原方程的积分因子；积分因子不唯一.定理 2.5.1 当且仅当)(x NxNy M ϕ=∂∂-∂∂，原方程有只与x 有关的积分因子，且为⎰=dxx e y x )(),(ϕμ，两边同乘以),(y x μ，化为恰当方程，下同2.4[4].定理2.5.2 当且仅当)(y MxNy M φ=-∂∂-∂∂，原方程有只与y 有关的积分因子，且为⎰=dyy e y x )(),(φμ，两边同乘以),(y x μ，化为恰当方程，下同2.4[4].性质2.5.1 齐次方程(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=有积分因子1u xP yQ =+证明 作变换y ux =，由(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=是齐次方程，则1(,)(,)()[(1,)(1,)](1,)0m m m P x ux dx Q x ux udx xdu x P u ux Q u dx x Q u du +++=++= 两边同乘111[(1,)(1,)]m xP yQ x P u uQ u +=++，则有 1(1,)(1,)ln 0(1,)(1,)(1,)(1,)Q u Q u dx du d x du x P u uQ u P u uQ u ⎛⎫+=+= ⎪++⎝⎭⎰ 显然为全微分例9 02)3(2=++xydy dx y e x解 由xy y x N y e y x M x 2),(,3),(2=+=得y y y xNy M 426=-=∂∂-∂∂且有xx N x Ny M 2)(==∂∂-∂∂ϕ，有22),(x e y x dx x =⎰=μ 原方程两边同乘2x ，得到,02)3(322=++ydy x dx y e x x 化为0))22((232=++-y x e x x d x得到解为)(,)22(232为常数C C y x e x x x =++-例10 0)(3=+-dy y x ydx解 由题意得到，)(),(,),(3y x y x N y y x M +-==，有2)1(1=--=∂∂-∂∂xNy M 有yy M xNy M 2)(-==-∂∂-∂∂φ，有22)(),(--=⎰=⎰=y e e y x dy y dy y φμ原方程两边同乘2-y ，得到0)2()(22=-=--+yy x d dy y y x y dx 得到原方程的解为)(,22为常数C C y y x =- 例11dy x ydx x y+=- 解 ()()0x y dx x y dy +--=为齐次方程 由性质2.5.1可知：积分因子2211()()u x x y y x y x y ==+--+于是22220xdx ydy xdx ydyx y x y+--=++ 即221ln()arctan ln (0)2yx y C C x+-=>arctanyxCe=，其中C 为任意正常数4 一阶隐式微分方程的概念与求解思路4.1 定义没有就dy dx解出的形如(,,)0dyF x y dx =的方程我们称为一阶隐式微分方程.4.2 求解思路如果能从方程(,,)0dy F x y dx =中解出dydx那么求解方程就可以归纳到一个或者几个一显式微分方程，求解这些解，就可以得到方程(,,)0dyF x y dx=的解.一般来说，很难从方程(,,)0dy F x y dx =中解出dy dx ，或者即使解出dydx，而其表达式也是极其复杂的，下面介绍的就是不解出dydx，采用引进参数的方法使之变成导数已解出的方程类型，这里主要有以下四个类型：1.(,)dy y f x dx =2.(,)dyx f y dx =3.(,)0dy F x dx =4.(,)0dyF y dx=4.3 常见类型[6]4.3.1 可解出y 的隐式方程(,)dyy f x dx= 如果从方程(,,)0dyF x y dx=中可以解出y ，那么就可以得到第一种类型 (,)dyy f x dx=在这里假设函数y =(,)dyf x dx有关于,x y 有连续的偏导数.引入参数dyp dx=，则原方程变为y =(,)f x p将上式两边对x 求导数，并以p 代替dydx，这样可以得到()(),,f x p f x p dpP x p dx∂∂=+∂∂ 该方程是关于,x p 的一阶显方程如果求的该方程的通解为(,)p x C ϕ=将它代入(,)y f x p =，这样得到原方程的通解为(,(,))y f x x C ϕ= （C 为任意常数）如果，方程()(),,f x p f x p dpP x p dx∂∂=+∂∂还有解 ()p u x =把上式代入到(,)y f x p =，那么就得到原方程的相应解(,())y f x u x =如果能求得方程()(),,f x p f x p dpP x p dx∂∂=+∂∂的通解 (,,)0F x p C =将它和(,)y f x p =结合，就能得到原方程参数形式的通解(,,)0(,)F x p C y f x p =⎧⎨=⎩其中p 是参数，C 是任意常数，如果方程()(),,f x p f x p dpP x p dx∂∂=+∂∂还有解(,)0G x p =将它和(,)y f x p =结合，这样得到方程相应的参数形式的解(,)0(,)G x p y f x p =⎧⎨=⎩ 其中p 为参数.根据上面讨论，为了求解方程(,)dy y f x dx =,我们引进参数dyp dx=，通过对x 进行求导数，从而消去y ，把问题简化成求解关于x 与p 的一阶显示方程，我们这种方法称为微分法.例1 解方程：1dyx y dx=++ 解 原方程是就dydx解出的一阶线性方程，当然可以按其解法求解.在这里，可以把它当作可就y 解出的方程来求解. 原方程就y 解出可得1dyy x dx=-- 令dyp dx=，则可得：1y p x =-- 对上式两边关于x 求导，用dyp dx =代入则可得1dp p dx =- 也就是1dp p dx=+1.当10p +≠时，分离变量，可得1dpdx p =+ 两边同时积分可得ln 1ln p x C +=+ （C 为不等于0的常数）或 l n 1p x C +=+ （C 为任意常数） 即1ln 1x p Ce x p C =-=+-或将上面两个式子代入到1y p x =--可得(2)x y Ce x =-+ （C 为不等于0的任意常数）或ln 11y p p c =-++- （c 为任意实数） 2.当10p +=有：1p =-把它代入到1y p x =--可得：(2)y x =-+ 根据1、2即可知，原方程通解为：(2)x y Ce x =-+（C 为任意常数）其参数形式的通解可表示为：ln 1ln 11x p Cy p p C ⎧=+-⎪⎨=-++-⎪⎩（1p ≠，参数；C 为任意常数） 及(2)y x =-+ 例2 求解方程''1y xy y =+解 该方程克莱罗方程，''20p xp p =-，'0p =，21x p =所以该方程有通解：1y Cx C =+ 以及特解： 211x p y p x p ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去参数p ，得到原方程的奇解：24y x = 所以该方程通解是直线族：1y Cx C =+，而奇解是通解的包络：24y x =. 4.3.2 可解出x 的隐式方程(,)dy x f y dx= 对于可解出x 的方程的第二种类型(,)dy x f y dx= 该方程的求解方法和方程(,)dyy f x dx=的求解方法基本完全类似，这里，我们可以假定函数(,)dy x f y dx =有关于,dyy dx 的连续偏导数.引进参数dyp dx= ，则原式可变为 (,)x y p =将上式两边对y 求导数， 并以1dx dy p=代入，可得 1f f dp p y p dy∂∂=+∂∂该方程是联系,y p ，并且可以根据dpdy解出的一阶微分方程，因此可以按照前面的方法来求解.如果求的方程1f f dpp y p dy∂∂=+∂∂的通解形式： (,)p w y C = （C 为任意常数）则原方程(,)dyx f y dx=的通解为： (,(,))x f y w y C = （C 为任意常数）如果求的方程1f f dpp y p dy∂∂=+∂∂的通解形式为：· (,)y v p C =（p 为参数，C 为常数）则原方程(,)dyx f y dx=的通解为： ((,),)(,)x f v p C p y v p C =⎧⎨=⎩（p 为参数，C 为常数） 如果求的方程1f f dpp y p dy∂∂=+∂∂的通解形式为： (,,)0y p C Φ=则方程(,)x y p =的参数形式的通解为：(,)(,,)0x f y p y p C =⎧⎨Φ=⎩（p 为参数，c 为任意常数） 例3 解方程：3220dy dy y x y dx dx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭解 在这里我们可以把原方程当作可就x 解出的方程来求解，因此就有.2222dy y y dx x dy dx⎛⎫ ⎪⎝⎭=-令dyp dx=，则可得： 2222y y p x p =-对上式两边关于y 求导，用11dx dy dy pdx ==代入整理可得 3(12)0dp p yp dy y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭由0dp pdy y+=，可以求得上式的通解 C p y=， 将它代入到方程2222y y p x p =-，整理后可得原方程通解 232y Cx C =+再由312yp +=0可得3(12)0dp p yp dy y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭的特解312y p=-原方程的参数表示的特解为433812x p y p ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩4.3.3 不显含y 的隐式方程如果从几何的观点来看，微分方程(,,)0dyF x y dx=的解是平面xOy 的一条曲线，它可以用直角坐标系来表示，同样也可以用参数坐标来表示，微分方程的解也可以用参数坐标来表示.对于方程(,,)0dyF x y dx=，若其左端不显含y ，即第三种类型 (,)0dyF x dx=在方程(,)0dy F x dx =中，记dyp dx=.由于不显含y ，我们不妨把方程看作代表平面'xOy 上的一条曲线，这样就可以用某种适当的参数来表示该曲线：()()x t dyt dxϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩ 这里t 为参数. 而沿方程(,)0dyF x dx=的任意一条积分曲线上均满足积分的基本关系dy dy dx dx =，将()()x t dy t dxϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩代入该基本关系式可得 '()()dy t t dt ψϕ=两边积分可以得到'()()y t t dt C ψϕ=+⎰于是可以得到(,)0dyF x dx=的参数形式通解为 '()()()x t y t t dt Cϕψϕ=⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰ 例4 求解方程2330.dy dy x x dx dx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭解 令dytx dx=，则代入原方程可得 331tx t =+从而可得2331dy t dx t =+ 由dydy dx dx=，可得32339(12)(1)t t dy dt t -=+ 对其积分，可得32333329(12)314(1)2(1)t t t y dt C t t -+==+++⎰ 因此方程的通解的参数形式为3332313142(1)t x t t y C t ⎧=⎪+⎪⎨+⎪=+⎪+⎩4.3.4 不显含x 的隐式方程对于不含x 的隐式方程(,)0dyF y dx= 其求解方法和(,)0dy F x dx =的方法基本类似，在这里记dy p dx=， 引入参数t ，将方程表为适当的参数形式()()y t p t ϕψ=⎧⎨=⎩根据关系式dy pdx =可得'()()t dt t dx ϕψ=由此得''()(),,()()t t dx dt x dt C t t ϕϕψψ==+⎰这样就可以得到方程(,)0dyF y dx=的参数形式通解 '()()()y t t x dt C t ϕϕψ=⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰ 此外，容易验证，若(,0)0F y =有实根,y k y k ==则也是方程的解. 例5 求解隐式方程2211dy y dx ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解法 1 由原方程可解出dydx，有dy dx=± 若210y -≠，分离变量可得dx =对它进行积分，则x C =可得原方程通解为22()1y x C --=同时根据210y -=，可知1y =±也是原方程的解.解法 2 方程是不显含x 的隐式方程，可令cos dyt dx=，将其代入到原方程中可解出csc y t =±，这样在0dy dx ≠的情况下，由'dydx y=可得： 2sec (csccot)csc .dx t dt tdt ==积分可得cot ,x t C =±+原方程通解的参数形式为cot csc x t Cy t =±+⎧⎨=±⎩消去参数t ，则可得方程的隐式解2()1y x C --=. 另外，当0dydx=是，由原方程可得21y =，因此方程的解还有1y =±. 解法 3 令dyp dx=，代入原方程可得y =若0dydx≠，由dy dx dy dx=可得3221.(1)dx dp p =±+-积分可得x C =+,可知原方程同通解的参数方程为x C y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去参数可得隐式解22()1y x C --=，此外根据0dydx=也可得到解 1.y =±解法 4 令21,dy t dx y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，代入原方程可得1y t =并且同时可以得到dy dx =若0dydx≠， 由dy dx dy dx=可得dx =对其积分可得x C t=±+，则原方程通解为1x C t y t ⎧=±+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 消去参数，则可得到和前面相同两种方法所得到的相同的隐式解.另外，当0dydx=时，有解1y =±.由例题5的几种解法，我们可以知道，根据入参数的方法差异，得到的解的形式一般也有所不同，但他们包含的解却是相同的.通常说来，只需消去参数t 或p ，就可以转化为方法1得到的通解的参数形式.5 几类特殊的一阶微分方程求解5.1 含有周期的一阶线性方程考虑方程()()dyp x y q x dx+=，其中()p x 和()q x 都是以0ω>为周期的连续函数，则1.若()0q x =，则方程()()dyp x y q x dx+=的任一非零解以ω为周期，当且仅当函数 ()p x 的平均值01()0dp p x dx ωω==⎰；2.若()q x 不恒为零，则方程()()dyp x y q x dx+=有唯一的ω周期解，当且仅当0p ≠，且此解可求[7].证明1.当()0q x ≡时，此时方程的任一非零解为0()()(0)xx p s dsy x CeC -⎰=≠以ω为周期，当且仅当00()()()()()x xx x p s dsp s dsy x y x Ce y x Ceωω+--⎰⎰=+===当且仅当000()()()()()x x x xx x x xx xp s dsp s ds p s dsp s dsp s dseeee ωωω+++-----⎰⎰⎰⎰⎰==⋅当且仅当0()()()()()1x x xxp s dsp s ds p s ds p s dsp s dse e e ωωωωω++-----⎰⎰⎰⎰⎰===当且仅当01()0dp p x dx ωω==⎰2.由题可知：方程的通解为0()()0()xxs x p s ds p t dt y Ce q s e ds --⎰⎰=+⎰ 选择常数C 使得()y x 成为ω周期函数，即()()y x y x ω+=下证：对任意的x ，()()y x y x ω+=只需()(0)y y ω= 事实上，由于()y x 是方程的解，且()(),()()p x p x q x q x ωω+=+= 于是()y x ω+是方程的解因此，函数()()()u x y x y x ω=+-是相应齐次方程()0dup x u dx+=的解 由于()(0)y y ω=则(0)0u = 由性质可知：()0u x ≡ 即()()y x y x ω+= 又由于()(0)y y ω=，则0()0()1()1sp t dtp s dsC q s e ds e ωωω--⎰=⎰-⎰则00()()()0()()()1xxss p s ds xp t dtp t dtp s dse y q s e ds q s e ds e ωωω----⎰⎰⎰=+⎰-⎰⎰⇐若0p ≠，令0()0()1()1sp t dtp s dsC q s e ds e ωωω--⎰=⎰-⎰于是00()()()0()()()1xxss p s dsxp t dtp t dtp s dse y q s e ds q s e ds e ωωω----⎰⎰⎰=+⎰-⎰⎰为方程的ω周期解若1y 也是方程的ω周期解，令1z y y =-于是z 为()0dzp x z dx+=的ω周期解 若0z ≠，则z 为()0dzp x z dx+=的非零ω周期解由1可知：0p =矛盾 于是方程的ω周期解的唯一性⇒若0p =，则()0()0sp t dtq s e ds ωω-⎰=⇒⎰C 可以任选于是ω周期解不唯一；()0()0sp t dtq s e ds ωω-⎰≠⇒⎰C 无解于是ω周期解不存在5.2 Bernoulli 方程定义：形如n y x Q y x P dxdy)()(=+称为Bernoulli 方程. 解法：令ny u -=1，有dy y n du n --=)1(，代入得到)()1()()1(x Q n u x P n dxdu-=-+，这是关于u 的一阶线性方程. 例1 26xy xy dx dy -=解 令1-=y u ，有dy y du 2--=，代入得到x u x dx du =+6，则x x Q xx P ==)(,6)(， 有6)()(x e x dx x P =⎰=μ，)(,8][)(6266为常数C x C x C xdx x x x u +=+⋅=⎰-，把u 代入得到)(,8162为常数C x C x y +=5.3 Clairaut 方程定义：一般我们把形如：''()y xy y ϕ=+的方程称为克莱罗方程，它是关于y 可以解出的一阶隐式方程，其中()z ϕ二阶连续可微，且"()0z ϕ≠.解法：可以利用微分法求解该方程，令'y p =，并对x 求导数可得'()dp dp p p xp dx dxϕ=++ 即('())0dpx p dxϕ+= 当0dpdx =时，有p C =，因此通解为 ()y Cx C ϕ=+当'()0x p ϕ+=时，可得克莱罗方程一个特解''()()()x p y p p p ϕϕϕ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩通解()y Cx C ϕ=+是一族直线5.4 里卡蒂方程定义：)()()(2x R y x Q y x P dxdy++= 解法：先找出一个特解)(0x y ，那么令z y y 10+=，有dxdz z dx dy dx dy 201-=，代入原方程得到)()1)(()1)((102020x R z y x Q z y x P dx dz z dx dy ++++=-， 化简得到0)())()(2(0=+++x P z x Q y x P dxdz为一阶线性微分方程，解出为常数C C x x z ),,()(ϕ=那么原方程的通解为为常数C C x y y ,),(10ϕ+=例2 0)2(22=-+'xy y x解 我们可以找到一个特解xy 10=，验证：201x y -='，代入满足原方程.令z x y 11+=，dxdz z x y 2211--=' 代入有0)2)11(()11(2222=-++--zx x dx dz z x x ， 化简得到，12=+z xdx dz ，所以有 为常数C xCx C dx eex z dxx dxx ,3][1)(222+=+⎰⎰=⎰ 所以原方程的解为为常数C xC x x y ,3112++=几类特殊的一阶微分方程求解或 xy 1参考文献[1]张谋，舒永录，张万雄主编.常微分方程[M].重庆市：重庆大学出版社.2011. 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一阶常微分方程
摘要：本文介绍一阶微分方程的初等解法及其若干应用,把微分方程的求解问题化为积分问题,应用到实际中。
用理论指导实践,由抽象总结出具体规律,加深对所学知识的理解。
本文就常见的可化为变量分离方程后采用积分法求解的常微分方程进行了归纳总结, 作为对此问题的一些探索.定义：微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关系的方程。
微分方程的解是一个符合方程的函数。
而在初等数学的代数方程，其解是常数值，一阶常微分方程初等解法,就是把常微分方程的求解问题转化为积分问题, 能用这种方法求解的微分方程称为可积方程；一阶微分方程的一般形式为：()0,,='y y x f一阶常微分方程是数学中常见而基础的一类微分方程，通常写成如下的形：()()t t x f dt dx ,= 其中x 是要解的未知函数t 是函数的自变量，f 是一个已知的连续函数。
微分方程的解：若把某函数带入微分方程能使该方程成为恒等式，则称这个函数为该微分方程的解。
通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。
特解：在通解中，给任意常数以确定的值而得到的解称为特解初始条件：给定微分方程中未知函数及其导数在指定点的函数值的条件。
1.分离变量法：形如：)()(y x f dx dy ϕ=的方程，称为变量可分离方程，其中)(x f 和)(y ϕ分别是y x ,的连续函数。
以微分形式出现的变量分离方程，形如：()()x b t a dt dx =则称其为变量分离方程。
“变量分离”意为方程右端的部分可以分离成两个不同部分的乘积，其中一个只与自变量t 相关，另一个则只与未知函数x 相关以微分形式出现的变量分离方程，形如()()()()0=+dy y x p dx y n x m ϕ可化为dx x f dy y g )()(=的形式，则该微分方程称为可分离变量的微分方程两边积分，得⎰⎰=dx x f dy y g )()( ，设函数)(y g 和()x f 分别为)(x f 的原函数。
特征方程法介绍范文
特征方程法介绍范文首先，我们来看一个一阶常系数齐次微分方程的例子：dy/dx + ay = 0其中，a是常数。
我们可以将这个方程写成标准形式：dy/dx = -ay然后，我们假设方程的解可以写成指数函数的形式：y = e^(rx)将这个形式的解代入方程中，得到：d(e^(rx))/dx + a(e^(rx)) = 0对指数函数求导，得到：re^(rx) + a(e^(rx)) = 0将方程重新整理，得到：e^(rx)(r + a) = 0由于e^(rx)不会为0，所以我们可以解出特征方程：r+a=0解得：r=-a这样，我们就得到了特征方程的解。
对于一阶常系数齐次微分方程，只有一个解。
接下来，我们来看一个二阶常系数齐次微分方程的例子：d^2y/dx^2 + a1dy/dx + a0y = 0其中，a0和a1是常数。
我们可以将这个方程写成标准形式：y''+a1y'+a0y=0假设方程的解可以写成指数函数的形式：y = e^(rx)将这个形式的解代入方程中，得到：r^2e^(rx) + a1re^(rx) + a0e^(rx) = 0由于e^(rx)不会为0，我们可以约去e^(rx)，得到特征方程：r^2+a1r+a0=0这是一个二次方程，我们可以使用求根公式来解得特征方程的解。
需要注意的是，特征方程法只能求解齐次微分方程，并且只能求解线性常系数齐次微分方程。
对于非线性或非常系数的微分方程，特征方程法无法直接应用。
特征方程法在应用中具有广泛的用途。
它可以用于求解振动系统、电路系统和传热系统的微分方程。
在工程学中，特征方程法可以用于分析系统的稳定性和响应。
在物理学中，特征方程法可以用于求解波动方程和量子力学中的薛定谔方程。
在经济学中，特征方程法可以用于分析经济模型中的动态系统。
总之，特征方程法是求解线性常系数齐次微分方程的一种有力工具。
它的应用范围广泛，可以帮助我们理解和解决各种实际问题。
一阶常微分方程解法的总结.docx
实用标准文案第一章一阶微分方程的解法的小结⑴、可分离变量的方程：①、形如dyf ( x)g ( y) dx当 g( y)dyf (x)dx ，两边积分即可得到结果；0 时，得到g( y)当 g( 0 )0 时，则 y(x)0 也是方程的解。
例 1.1、dyxy dx解：当 ydy x20时，有xdx ，两边积分得到 ln y C (C为常数 ) y2x2所以 y C1 e 2(C1为非零常数且C1e C )y0 显然是原方程的解；x2综上所述，原方程的解为y C1e 2(C1为常数 )②、形如 M ( x) N ( y)dx P(x)Q ( y)dy0当 P( x) N ( y)M (x)Q( y)0 时，可有dx dy ，两边积分可得结果；P(x)N ( y)当 N ( y0 )0 时， y y0为原方程的解，当P(x0）0 时， x x0为原方程的解。
例 1.2 、x( y21)dx y( x21) dy0解：当 ( x21)( y21)0时，有y dy x dx 两边积分得到1y 2x21ln x21ln y 21ln C(C 0) ，所以有( x21)( y21) C (C 0)；当 ( x21)( y21)0 时，也是原方程的解；综上所述，原方程的解为( x21)( y21) C (C为常数 ) 。
⑵可化为变量可分离方程的方程：dy y①、形如g( )实用标准文案解法：令 uy，则 dyxduudx ，代入得到 xduu g(u) 为变量可分离方程， 得到xydxf (u, x, C ) 0(C 为常数 ) 再把 u 代入得到 f (, x,C) 0 (C 为常数 ) 。
xdyG (ax by), (ab 0)②、形如dxadx du1 du a解法：令 uaxby ，则 dyG(u) 为变量可分离方程，b ，代入得到b dxb得到 f (u, x,C )0 (C 为常数 ) 再把 u 代入得到 f (ax by, x,C ) 0 (C 为常数 ) 。
一阶常微分方程解法总结doc
一阶常微分方程解法总结.doc 一阶常微分方程是微分学的基础，也是实际问题中经常遇到的一类方程。
理解并掌握一阶常微分方程的解法对于学习微分学和解决实际问题都具有重要的意义。
本文将总结一阶常微分方程的解法，并举例说明。
一、一阶常微分方程的解法1.变量可分离的微分方程形如dy/dt=f(t)g(y)的微分方程称为可分离变量的微分方程。
这类方程的特点是变量可以分离，通过将方程两边积分，得到y的解。
例：dy/dt=e^(t^2)解：分离变量得：ydt=e^(t^2)dt，积分得：y=0.5e^(t^2)+C。
2.齐次微分方程形如dy/dx=f(y/x)的微分方程称为齐次微分方程。
这类方程的特点是可以通过变量替换化为可分离变量的微分方程，从而求解。
例：dy/dx=(y/x)+1解：令y/x=u，则原方程化为：du/dx=u+1，分离变量得：u dx=dx，积分得：u=x+C，即y=x^2+Cx。
3.一阶线性微分方程形如dy/dt=f(t)g(y)的微分方程称为一阶线性微分方程。
这类方程的特点是可以化为标准形式，通过求解标准形式的解，得到原方程的解。
例：dy/dt=te^(t)解：化为标准形式得：y/dt=te^(t)，令z=y/t，则z’=(y’)t−y/t^2=e^t，积分得：z=e^t+C，即y=t(e^t+C)。
二、总结一阶常微分方程根据其形式和特点，有多种解法。
其中，变量可分离的微分方程可以直接通过分离变量进行求解；齐次微分方程可以通过变量替换化为可分离变量的微分方程进行求解；一阶线性微分方程可以化为标准形式，通过求解标准形式的解得到原方程的解。
这些方法在解决实际问题中具有广泛的应用价值。
在实际应用中，我们需要根据具体的问题和数据选择合适的解法，并对求解结果进行合理的分析和解释。
同时，还需要掌握各种解法的适用范围和局限性，以便在实际应用中做出正确的选择。
一阶常微分方程的解法是微分学的基础知识之一，也是解决实际问题中经常遇到的一类问题。
一阶常微分方程解法总结
章一阶微分方程的解法的小结⑴、可分离变量的方程： ①、形如d^ = f (x)g(y) dx当g(y) =o 时，得到 型f(x)dx ，两边积分即可得到结果;g(y)当g( °) = °时，则y(x)二o 也是方程的解。
例 1.1、巴=xydxdy解：当y = 0时，有xdx ，两边积分得到 yy =0显然是原方程的解；综上所述，原方程的解为y 二Ge^ (G 为常数)②、形如 M (x)N(y)dx P(x)Q(y)dy =0当 P(x)N(y)= 0 dy ，两边积分可得结果；P(x) N(y)当N(y °) = 0时，y 二y °为原方程的解，当 P(x °) = 0时，x = x °为原方程的解。
2 2例「2、x(y -1)dx y(x -1)dy=0解：当 (x 2 -1)(y 2-1) =0时，有Jdy =¥ dx 两边积分得到 1 - y x -1o222Inx —1+1 ny —1=1 nC (C^O)，所以有(x -1)(y -1) =C (C^0)；当(x - 1)(y -0 =0时，也是原方程的解；综上所述，原方程的解为(x 2-1)( y 2-1) =C (C 为常数)。
⑵可化为变量可分离方程的方程： ①、形如dy = g (―)dx x(C 为常数)所以y ^C j e 2(C i 为非零常数且G = _e C)解法：令u=‘ ，则dy=xduudx，代入得到为变量可分离方程，得到x dx解：令u = x - y -2，贝U dy = dx -du ，代入得到1一 史二口，有 udu=-7dx dx u所以齐—7x ・C (C 为常数)，把 u代入得到2"x 一 y -2) Tx=C (C 为常例 2.2、dydx 2x - y 1 x _2y 1解：由丿 2x—y+"0得到、x_2y +1 =01 x =3 1 y =- -3，令 u = x +1 3，有」1v = y 一一dy = dv y ，代入得到 dx =du dv 2u-vdu u-2v 1 _2 v u dt dv 二t d u u d t ，代入得到 t u一 du口，化简得到，1 -2tduu 2 - 2t 2t2d(1 -t t )22(1 -t t )2有 lnu= — I +t)+c (C 为常数)，所 以有f(u,x,C) =0 (C 为常数)再把u 代入得到fd,x,C)=0 (C 为常数)。
一阶常微分方程的解法
一阶常微分方程的解法微积分理论中，微分方程是一个非常重要的分支，它们通常用来描述一些变化或进化过程中的物理现象、生物现象或经济现象等等。
其中，一阶常微分方程是微分方程中最简单的一类。
在这篇文章中，我们将介绍一阶常微分方程的求解方法。
一、分离变量法分离变量法是求解一阶常微分方程最简单也是最常用的方法。
这个方法的基本思想是将微分方程中的变量分开，并将每个变量移到不同的方程两侧，最终得到可以分别积分的两个方程。
具体来说，如果给定一个一阶常微分方程$$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$$我们可以将它改写为$$dy=f(x,y)dx$$然后对两边同时积分，得到$$\int dy=\int f(x,y)dx+C$$其中C为常数。
这个方法的局限性在于只适用于一些特定的微分方程，例如y'=ky这类的方程就可以很容易地用这个方法求解。
举个例子，考虑方程$$\frac{dy}{dx}=x^2y$$我们将它改写为$$\frac{dy}{y}=x^2dx$$然后对两边同时积分，得到$$\ln|y|=\frac{1}{3}x^3+C$$最终解为$$y=Ce^{\frac{1}{3}x^3}$$其中C为常数。
二、齐次方程如果方程中的所有项均能够写成y和x的某个函数的乘积，那么这个方程就是齐次方程。
对于这类方程，我们可以利用变量替换来把它转化为分离变量的形式。
具体来说，如果给定一个一阶常微分方程$$\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})$$我们可以进行变量替换，令y=ux，其中u是关于x的未知函数。
因此，$$\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$$将其带入原方程，得到$$u+x\frac{du}{dx}=f(u)$$将u视为自变量，x视为函数，可转化为$$\frac{dx}{du}=\frac{1}{f(u)-u}$$然后对两边同时积分，得到$$x=\int \frac{1}{f(u)-u}du+C$$最后将u替换成y/x即可。
以「合并法」解一阶常微分方程式
∴ x4 y3 = eC1 ≡ C。
d8
10
【練習】解 (x 2 + 3y 2) dx + 2xydy = 0
---------------------------------------------------------
Hint.
mydx
+
nxdy
=
1 ----------x m-1y n-1
d
( x my
n)
Sol. 原式重組成 x 2dx + y (3ydx + 2xdy) = 0，
即
x
2dx
+
y
d ( x 3y 2 ) -----------
=
0，
x2y
同乘 x 2 成 x 4dx + d ( x 3y 2 ) = 0，
積分得
1 ----
x
5
+
x
3y
2
=
C。
5
11
【練習】解 (x 2 + 3y 2) dx + 2xydy = 0 --------------------------------------------------------《另解》
xdx
±
ydy
=
1 ----
d
(x
2
±
y
2)
2
ydx - xdy
x
------y--2-----
=
d
(----) y
Байду номын сангаас
xdy - ydx
y
------x--2-----
=
卡斯特纳公式范文
卡斯特纳公式范文卡斯特纳公式是由法国数学家卡斯特纳（Louis François Antoine Arbogast）于1806年提出的一种求解任意阶线性常系数常微分方程的方法。
这个公式是通过傅里叶分析的思想和技巧推导出来的，可以将一般形式的常微分方程转化为一个傅里叶级数的表达式。
1.初始条件：假设方程的初始条件是已知的。
2.解的存在性：假设解的存在，意味着方程在给定的定义域内有解。
对于一个一阶线性常微分方程：y'(x)+p(x)y(x)=q(x)y(x) = y(0)e^(-∫p(x)dx) + ∫e^(-∫p(x)dx)q(x)dx其中，e^(-∫p(x)dx) 是卡斯特纳参数。
考虑到一般情况下的常微分方程是高阶的，我们可以利用卡斯特纳公式来解决高阶线性常微分方程，如下所示：y^n(x)+p_1(x)y^(n-1)(x)+...+p_n(x)y(x)=q(x)其中，y^n(x)表示y(x)的n次导数，p_1(x),...,p_n(x)是系数函数，q(x)是非齐次方程的右侧函数。
首先，我们求解这个方程的齐次形式，即将q(x)设置为0。
设y(x)的齐次解为y_0(x)，根据卡斯特纳公式，我们可以写出其表达式为：y_0(x) = y_0(0)e^(-∫p_1(x)dx) + ∫e^(-∫p_1(x)dx)0dx= y_0(0)e^(-∫p_1(x)dx)然后，我们求解齐次解的初始条件y_0(0)。
设y_(n-1)(x),y_(n-2)(x),...,y_1(x)是y(x)的各阶导数，根据方程的初始条件，我们可以写出：y_0(0)=y(0)-p_1(0)y_(n-1)(0)-...-p_n-1(0)y_1(0)接下来，我们引入一个关于x的积分因子I(x)，它的定义为：I(x) = e^(-∫p_1(x)dx)利用这个积分因子，我们可以将非齐次方程转化为一个齐次方程：[I(x)y(x)]'=I(x)q(x)I(x)y'(x)+p_1(x)I(x)y(x)=I(x)q(x)记[I(x)y(x)]'的导数为y_1(x)，我们可以写出：y_1(x)=I(x)q(x)接下来，我们可以利用卡斯特纳公式求解y_1(x)：y_1(x) = y_1(0)e^(-∫p_1(x)dx) + ∫e^(-∫p_1(x)dx)q(x)dx继续向下递推，我们可以得到y_2(x)，y_3(x)，...，直到求解出y(x)。
一阶常系数线性微分方程
一阶常系数线性微分方程
一阶常系数线性微分方程是一种常见的微分方程，它可以用来描述物理系统中的变化。
它的形式为：
$$\frac{dy}{dt}+P(t)y=Q(t)$$
其中，$P(t)$和$Q(t)$是关于时间$t$的函数，$y$是关于时间$t$的未知函数。
一阶常系数线性微分方程的解可以用积分的方法求得，即：
$$y(t)=e^{-\int P(t)dt}\left[\int Q(t)e^{\int P(t)dt}dt+C\right]$$
其中，$C$是一个常数，可以通过初值条件确定。
一阶常系数线性微分方程在物理学、化学、生物学等领域都有广泛的应用，它可以用来描述物理系统中的变化，如振动、传播、温度变化等。
例如，在振动系统中，可以用一阶常系数线性微分方程来描述振动的变化；在传播系统中，可以用一阶常系数线性微分方程来描述信号的传播；在温度变化系统中，可以用一阶常系数线性微分方程来描述温度的变化。
一阶常系数线性微分方程的解可以用积分的方法求得，这种方法可以有效地解决一阶常系数线性微分方程的求解问题。
总之，一阶常系数线性微分方程是一种常见的微分方程，它可以用来描述物理系统中的变化，并且可以用积分的方法求得它的解。
常微分方程毕业论文.
安阳师范学院本科学生毕业论文一阶常微分方程初等解法作专年学日学生诚信承诺书本人郑重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果.尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意.签名：日期：论文使用授权说明本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文.签名：导师签名：日期：一阶常微分方程初等解法田丰(安阳师范学院数学与统计学院，河南安阳 100801066)摘要: 文章对一阶常微分方程运用变量分离,积分因子,恰当微分方程等各类初等解法进行了归纳与总结,同时结合例题演示了常微分方程的求解问题。
关键词:一阶常微分方程;变量分离;恰当微分方程;积分因子1 引言常微分方程在微积分概念出现后即已出现,对常微分方程的研究也可分为几个阶段.发展初期是对具体的常微分方程希望能用初等函数或超越函数表示其解,属于“求通解”时代.莱布尼茨曾专门研究利用变量变换解决一阶常微分方程的求解问题,而欧拉则试图用积分因子处理.但是求解热潮最终被刘维尔证明里卡蒂方程不存在一般初等解而中断.加上柯西初值问题的提出,常微分方程从“求通解”转向“求定解”时代.在20世纪六七十年代以后,常微分方程由于计算机技术的发展迎来了新的时期,从求“求所有解”转入“求特殊解”时代,发现了具有新性质的特殊的解和方程,如混沌（解）、奇异吸引子及孤立子等. 微分方程里各项的次数，其实说的是方程各项中未知函数（y）及其导数（y'，y''，y'''……）的次数但是一般接触到的有解析解的微分方程都不会超过1次，所以齐次一般指的就是方程各项中未知函数（y）及其导数（y'，y''，y'''……）的次数为1也就是说方程各项中必须出现且只出现单独的y，y'，y''，y'''……，而不出现它们的平方、n次方，也不出现它们互相相乘，也不出现常数项（次数为0）其中的常见的求解一阶微分2 一阶常微分方程的初等解法2.1 变量分离法2.1.1 一般变量分离法()()dy f x y dxϕ=, )1.2( 的方程,称为变量分离方程,()f x ,()y ϕ分别是x ,y 的连续函数.这是一类最简单的一阶函数.如果()0y ϕ≠,我们可将)1.2(改写成()()dy f x dx y ϕ=, 这样,变量就分离开来了.两边积分,得到 ()()dy f x dx c y ϕ=+⎰⎰. )2.2(这里我们把积分常数c 明确写出来,而把⎰)(y dy ϕ, ⎰dx x f )(分别理解为)(1y ϕ,)(x f 的原函数.常数c 的取值必须保证)2.2(有意义,如无特别声明,以后也做这样理解. 因)2.2(式不适合0)(=y ϕ情形.但是如果存在0y 使0)(0=y ϕ,则直接验证知0y y =也是)1.2(的解.因此,还必须寻求0)(=y ϕ的解0y ,当0y y =不包括在方程的通解)2.2(中时,必须补上特解0y y =例1 求解方程dx dy -=xy 解 将变量分离,得到xdx ydy -=,两边积分,即得22222c x y +-=, 因而,通解为c y x =+22.这里c 是任意正常数,或者解出y ,写出显函数形式的解2x c y -±=.例2 求解方程y x p dxdy )(=, )1.3( 的通解,其中是)(x p x 的连续函数解 将变量分离,得到dx x p y dy )(=, 两边积分,即cdx x p y ~)(||ln +=⎰. 这里c~是任意常数.由对数定义,有 c dx x p ey ~)(||+⎰=, 即dx x p c e e y ⎰⋅±=)(~,令c e c =±~,得到⎰=dx x p ce y )(, )2.3( 此外,0=y 显然也是方程)1.3(的解,如果允许)2.3(中允许0=c 则0=y 也就包括在)2.3(中,因而)1.3(的通解为)2.3(,其中c 为任意常数2.1.2 用变量分离解齐次微分方程2.1.2.1 用变量分离法解齐次微分方程类型一形如)(yx g dx dy =, 的方程,称为齐次微分方程,这里)(u g 是u 的连续函数.作变量变换xy u =, 即ux y =,于是u dxdu x dx dy +=. 代入原方程可得)(u g u dxdu x =+, 整理后,得到x u u g dx du -=)(. )3.2( 因)3.2(是一个变量分离方程.则可按照变量分离方法求解,然后代回原来的变量,即可得到原方程的解例3 求解方程x y xy dx dy tan += 解 这是齐次微分方程,以u dxdu x dx dy u x y +==及代入,则原方程变为 ,tan u u u dxdu x +=+ 即xu dx du tan =. )3.3( 将上式分离变量,既有,cot x dx udu = 两边积分,得到cx u ~||ln |sin |ln +=. 这里c~是任意常数,整理后,得到 u sin =,~x e c ⋅±c e=±~得到 cx u =sin . )4.3( 此外,方程)3.3(还有解 0tan =u .如果在)3.3(中允许0=c ,则0tan =u 也就包括在)4.3(中,这就是说,方程)3.3(的通解为)4.3(带回原来的变量,得到方程的通解为.sin cx x y=例4 求解方程y xy dx dyx =+2（0<x ）解 将方程改写为x yx y dx dy +=2,这是齐次微分方程.以u dx dux dx dy u x y+==及代入,则原方程变为 .2u dx dux =)5.3( 分离变量,得到,2x dxu du =两边积分,得到)5.3(的通解.)ln(c x u +-=即当0)ln(>+-c x 时,2])[ln(c x u +-=.这里c 时任意常数.此外,方程)5.3(还有解.0=u注意,此解并不包括在通解)5.3(中.代入原来的变量,即得原方程的通解为.])[ln(2c x x y +-=2.1.2.2用变量分离法解齐次微分方程类型二形如222111c y b x a c y b x a dx dy ++++=, )4.2( 的方程不可直接进行变量分离,但是可以经过变量变换后化为变量分离方程,这里1a ,1b ,1c ,2a ,2b ,2c 均为常数.可分为三种情况来讨论:()1k c c b b a a ===212121(常数)的情形 这时方程可化为k dxdy =, 有通解c kx y +=,其中c 为任意常数.()2212121c c k b b a a ≠==的情形. 令y b x a u 22+=,这时有212222c u c ku b a dx dy b a dx du +++=+=. 是变量分离方程()32121b b a a ≠及21,c c 不全为零的情形 因为方程右端分子,分母都是y x ,的一次多项式,因此⎩⎨⎧=++=++.0,0222111c y b x a c y b x a 代表Oxy 平面上两条相交的直线,设交点为()βα,,若令⎩⎨⎧-=-=,,βαy Y x X 则方程可化为⎩⎨⎧=+=+,0,02211y b x a y b x a 从而方程)4.2(变为.2211⎪⎭⎫ ⎝⎛=++=X Y g Y b X a Y b X a dX dY 因此,求解上述变量分离方程,最后代回原方程,即可得到原方程的解.)4(021==c c 的情形, 此时直接变换xy u =即可. 例5 求解方程111dy dx x y =+-+. 解 令1u x y =-+,则有1y u x -=--,代入所求方程()111d u x dx u---=+, 整理可得1du dx u=-, 由变量分离得22u x c =-+,故所求方程的解为()212x y x c -++=.例6 求解方程 31-++-=y x y x dx dy . 解 解方程组⎩⎨⎧=-+=+-,03,01y x y x 得.2,1==y x 令⎩⎨⎧+=+=,1,1Y y X x 代入上式方程,则有YX YX dX dY +-=. 再令,uX Y XYu ==即则上式可化为 du uu uX dX 2211--+=, 两边积分,得cu u X ~|12|ln ln 22+-+-=, 因此c e u u X ~22)12(±=-+,记,1~c e c=±并带回原变量,得1222c X XY Y =-+,122)1()2)(1(2)2(c x y x y =----+-.此外容易验证0122=-+u u ,即2220,Y XY X +-=也是方程的解 ,因此方程的通解为c x y x xy y =---+26222,其中c 为任意的常数. 2.2常数变易法2.2.1常数变易法类型一一阶线性微分方程()(),x Q y x P dxdy+= 其中()()x Q x P ,在考虑的区间上是x 的连续函数,若Q ()0=x ,方程变为(),y x P dxdy= 称其为一阶齐次线性微分方程,若(),0≠x Q 称其为一阶非齐次线性微分方程.变易分离方程,易求得它的通解为(),⎰=dxx P ce y这里c 是任意常数.现在讨论非齐次线性方程的通解的求法.不难看出,是特殊情形,两者既有联系又有差别,因此可以设想它们的解也应该有一定的联系而又有差别,现试图利用方程的通解的形式去求出方程的通解,显然,如果中c 恒保持为常数,它们不可能是的解.可以设想在中将常数c 变易为x 的待定函数,使它满足方程,从而求出(),x c 为此,令()(),dxx P e x c y ⎰=两边同时微分,得到()()()()().dx x P dxx P e x P x c e dxx dc dx dy ⎰+⎰= 代入原方程,得到()()()()()()()()(),x Q e x c x P e x P x c e dxx dc dx x P dx x P dx x P +⎰=⎰+⎰ 即()()(),⎰=-dx x P e x Q dxx dc两边同时积分,得到()()(),1c dx e x Q x c dxx P +⎰=-⎰这里1c 是任意常数,求得到()()().1⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-c dx e x Q e y dx x P dxx P就是方程的通解.这种将常数变为待定函数的方法通常被称之为常数变易法.例7 求方程22y x y dx dy -=的通解 解 原方程可改写为yy x dy dx 22-=, 即y x ydy dx -=2, )6.3( 首先,求出齐次线性微分方程x ydy dx 2=, 的通解为2cy x =.其次,利用常数变易法求非齐次线性微分方程)6.3(的通解 把c 看成)(y c ,将方程2cy x =两边同时微分得y y c y dyy dc dy dx )(2)(2+=. 代入)6.3(,得到ydy y dc 1)(-=, 两边同时积分,即可求得cy y c ~ln )(+-=. 从而,原方程的通解为)ln ~(2y cy x -=, 这里c~是任意常数.2.2.2常数变易法类型二形如n y x Q y x P dxdy)()(+=, )5.2( 的方程,称为伯努利方程,这里)(x P ,)(x Q 为x 的连续函数,n ≠0,1是常数.利用变量变换可将伯努利微分方程化为线性微分方程.事实上,对于0≠y ,用n y -乘)5.2(的两边,得到)()(1x Q x P y dxdyy n n+=--, 引入变量变换n y z -=1,从而dxdyy n dx dz n--=)1(. 代入方程)5.2(,得到)()1()()1(x Q n z x P n dxdz-+-=, 这是线性微分方程,可按照前面介绍的方法来求出它的通解,然后代换原来的变量,便得到方程的通解.此外,当0>n 时,方程还有解0=y .例8 求方程的26xy xydx dy -=通解 解 这是2=n 时的伯努利微分方程.令1-=y z ,算得x z xdx dz +-=6, 这是线性微分方程,求得它的通解为826x xc z +=.代入原来的变量y ,得到8126x x c y +=, 或者c x y x =-886, 这就是原方程的通解. 此外,方程还有解0=y 2.3 利用恰当微分方程求解法 对于一阶微分方程()(),,0M x y dx N x y dy +=,若有M Ny x∂∂=∂∂,则该方程必为恰当微分方程. 下面讨论如何求得该恰当微分方程的解. 把(),uM x y x∂=∂看作只关于自变量y 的函数,对它积分可得 ()(),u M x y dx y ϕ=+⎰由此式可得N dyy d dx y x M y y u =+∂∂=∂∂⎰)(),(ϕ, 由此可得dx y x M yN dy y d ⎰∂∂-=),()(ϕ, 又因为]),([]),([⎰⎰∂∂∂∂-∂∂=∂∂-∂∂dx y x M yx x N dx y x M y N x ]),([⎰∂∂∂∂-∂∂=dx y x M x y x N0=∂∂-∂∂=yMx N , 故等式右边只含有y ,积分可得dy ydx x M y N y ⎰⎰∂∂-=]),([)(ϕ, 进而可得dy dx y x M yN dx y x M u ⎰⎰⎰∂∂-+=]),([),(. 则恰当微分方程的通解为c dy dx y x M y N dx y x M =∂∂-+⎰⎰⎰]),([),(, 这里c 是任意常数.例10 求解方程0)1()1(cos 2=-++dy yxy dx y x .解 因为221,1yx N y y M -=∂∂-=∂∂,故方程是恰当微分方程.把方程重新分项组合,得到0)1()1(cos 2=-++dy yxy dx y x ,即0||ln sin 2=-++yxdyydx y d x d , 或者写成0)||ln (sin =++yxy x d .于是,方程的通解为c yxy x =++||ln sin , 这里c 是任意常数2.4 利用积分因子求解法函数(),x y μ为()(),,0M x y dx N x y dy +=积分因子的充要条件是()()M N y xμμ∂∂=∂∂, 即()M N NM x y y xμμμ∂∂∂∂-=-∂∂∂∂. 假设原方程存在只与x 有关的积分因子()x μμ=,则0xμ∂=∂,则μ为原方程的积分因子的充要条件是()M N x y x μμ∂∂∂=-∂∂∂,即()()M Ny x x Nφ∂∂-∂∂=仅是关于x 的函数.此时可求得原方程的一个积分因子为()x dxe φμ⎰=.同样有只与y 有关的积分因子的充要条件是()()M N y xy Mϕ∂∂-∂∂=-是仅为y的函数,此时可求得方程的一个积分因子为()y dye ϕμ⎰=例9 求解方程0)(=-+dy x y ydx . 解 这里,1,1,,-=∂∂=∂∂-==XNy M x y N y M 方程不是恰当的. 因为yy M 2-=∂∂只与y 有关,故方程有只与y 的积分因子 2||ln 221ye eu y y==⎰=--, 以21yu =乘方程两边,得到 0112=-+yxdydy y dx y , 或者写成02=+-y dyyxdy ydx , 因而通解为c y yx=+||ln .3 结束语文章详细介绍了一阶常微分方程的初等解法，即把一阶常微分方程的解通过初等函数或它们的积分表达出来。
一阶常系数微分方程求解
一阶常系数微分方程求解标题：一阶常系数微分方程的求解方法简介：本文将介绍一阶常系数微分方程的求解方法，旨在帮助读者理解并掌握这一重要的数学概念。
正文：一阶常系数微分方程是微积分学中的基础内容之一，其求解方法相对简单而直观。
在本篇文章中，我们将详细介绍如何解决一阶常系数微分方程。
首先，我们需要了解什么是一阶常系数微分方程。
一阶常系数微分方程可以写成以下形式：dy/dx+ay=b，其中a和b为常数。
求解这个方程意味着要找到函数y(x)，使得等式成立。
解一阶常系数微分方程的一种常见方法是使用分离变量的技巧。
我们将方程重写为dy/(ay-b)=dx，并进行变量的分离。
接下来，我们对等式两边同时进行积分，得到∫dy/(ay-b)=∫dx。
对于左边的积分，我们可以使用换元法来简化计算。
我们令u= ay-b，于是du=ady。
将这个变换代入积分，得到∫(1/a)du/u=∫dx。
对右边进行积分后，得到ln|u|=ax+C，其中C是常数。
将u代回到方程中，得到ln|ay-b|=ax+C。
我们可以通过对等式两边同时取指数，得到|ay-b|=e^(ax+C)。
再次简化等式，得到|ay-b|=Ce^ax，其中C=e^C。
现在，我们可以解y(x)了。
我们分别讨论ay-b的正负情况。
当ay-b为正数时，我们有ay-b=Ce^ax，可以直接解出y(x)。
例如，如果a=2，b=3，C=4，我们得到y(x)=(4e^2x+ 3)/2。
当ay-b为负数时，我们有b-ay=Ce^ax，同样可以直接解出y(x)。
例如，如果a=2，b=3，C=4，我们得到y(x)=(3-4e^2x)/2。
至此，我们已经成功解出了一阶常系数微分方程。
通过使用分离变量和积分的方法，我们可以找到方程的解析解，并得到y(x)的表达式。
总结起来，一阶常系数微分方程的求解方法相对简单，需要使用分离变量和积分的技巧。
通过这些步骤，我们可以找到方程的解析解，进而求得y(x)的表达式。
一阶常微分方程初等解法
一阶常微分方程初等解法摘 要: 本文通过对一阶微分方程的初等解法的归纳与总结，以及对变量分离，积分因子，微分方程等各类初等解法的简要分析，同时结合例题把常微分方程的求解问题化为积分问题，进行求解.关键词: 一阶常微分方程;变量变换;恰当微分方程;积分因子First-order Differential Equation With The PirmaryMethod For NalysisAbstract : Based on the first-order differential equations of the elementary solution of the induction and conclusion, and the separation of variables, integrating factor, equations, etc. summary analysis of various elementary solution, combined with examples the problem of solving ordinary differential equations into integral on the problem solving.Key Words: First-order differential equation;cain declined equations;variable transformation;appropriate differential equation; integrating factor1.预备知识 1. 1 变量分离方程形如()()dyf x y dxϕ= (1) 的方程，称为变量分离方程，()f x ，()y ϕ分别是x ，y 的连续函数.这是一类最简单的一阶函数．如果()0y ϕ≠，我们可将(1)改写成()()dyf x dx y ϕ=，这样变量就分离开来了.两边积分，得到()()dyf x dx c y ϕ=+⎰⎰，c 为任意常数．由该式所确定的函数关系式(,)y y x c =就是常微分方程(1)的解．1. 2 积分因子恰当微分方程可以通过积分求出它的通解．因此能否将一个非恰当微分方程化为恰当微分方程就有很大的意义．积分因子就是为了解决这个问题引进的概念．如果存在连续可微函数(),0x y μμ=≠，使得()()()(),,,,0x y M x y dx x y N x y dy μμ+=为一恰当微分方程，即存在函数u ，使Mdx Ndy du μμ+=，则称(),x y μ为方程()(),,0M x y dx N x y dy +=的积分因子． 函数(),x y μ为()(),,0M x y dx N x y dy +=积分因子的充要条件是()()M N y xμμ∂∂=∂∂， 即()M N NM x y y xμμμ∂∂∂∂-=-∂∂∂∂． 假设原方程存在只与x 有关的积分因子()x μμ=，则0xμ∂=∂，则μ为原方程的积分因子的充要条件是()M N x y x μμ∂∂∂=-∂∂∂，即()()M Ny x x Nφ∂∂-∂∂=仅是关于x 的函数．此时可求得原方程的一个积分因子为()x dxe φμ⎰=．同样有只与y 有关的积分因子的充要条件是()()M Ny xy Mϕ∂∂-∂∂=-是仅为y 的函数，此时可求得方程(11)的一个积分因子为()y dye ϕμ⎰=1. 3恰当微分方程考虑微分形式的一阶微分方程()(),,0M x y dx N x y dy +=(11)，如果该式的左端恰好是某个二元函数(),u x y 的全微分，即()()(),,,u u M x y dx N x y dy du x y dx dy x y∂∂+==+∂∂ 则称(11)为恰当微分方程． 对于一阶微分方程()(),,0M x y dx N x y dy +=，若有M Ny x∂∂=∂∂，则该方程必为恰当微分方程．我们接着讨论如何求得该恰当微分方程的解．我们可以把(),uM x y x∂=∂看作只关于自变量x 的函数，对它积分可得()(),u M x y dx y ϕ=+⎰，由此式可得()(),d y u M x y dx x x dyϕ∂∂=+∂∂⎰， 又因为有(),uN x y x∂=∂，故 ()(),d y N M x y dx dy xϕ∂=-∂⎰， 对该式积分可得()(),y N M x y dx dy x ϕ∂⎡⎤=-⎢⎥∂⎣⎦⎰⎰， 将该式代入，得恰当微分方程的通解为()(),,M x y dx N M x y dx dy c x ∂⎡⎤+-=⎢⎥∂⎣⎦⎰⎰⎰． 2.基本方法2. 1一般变量分离 形如()()dyf x y dxϕ= (1) 的方程，称为变量分离方程，()f x ，()y ϕ分别是x ，y 的连续函数.这是一类最简单的一阶函数．如果()0y ϕ≠，我们可将(1)改写成()()dyf x dx y ϕ=，这样变量就分离开来了.两边积分，得到()()dyf x dx c y ϕ=+⎰⎰，c 为任意常数．由该式所确定的函数关系式(,)y y x c =就是常微分方程(1)的解．2. 2齐次微分方程2. 2. 1齐次微分方程类型一 一阶线性微分方程()(),x Q y x P dxdy+= 其中()()x Q x P ,在考虑的区间上是x 的连续函数,若Q ()0=x ,变为(),y x P dxdy= 称为一阶齐次线性微分方程,若(),0≠x Q 称为一阶非齐次线性微分方程.变易分离方程,易求得它的通解为(),⎰=dxx P ce y这里c 是任意常数.2.2.2齐次微分方程类型二有些方程本不是可分离变量微分方程的类型，但经过变量变换可化为分离变量的微分方程．可分为三种情况来讨论:()1021==c c 的情形 这时，有=dx dy =++y b x a y b x a 2211⎪⎭⎫ ⎝⎛=++x y g xy b a x yb a 2211 因此,只要作变换xyu =,则方程就转化为变量分离方程.()22121b b a a =k =的情形. 这时方程可写为()().22222122y b x a f c y b x a c y b x a k dx dy +=++++= 令u y b x a =+22,则方程化为().22u f b a dxdu+= 这是变量分离方程.()32121b b a a ≠及21,c c 不全为零的情形 因为方程右端分子,分母都是y x ,的一次多项式,因此⎩⎨⎧=++=++.0,0222111c y b x a c y b x a 代表Oxy 平面上两条相交的直线,设交点为()βα,,若令⎩⎨⎧-=-=,,βαy Y x X 则化为⎩⎨⎧=+=+,0,02211y b x a y b x a 从而变为.2211⎪⎭⎫⎝⎛=++=XY g Y b X a Y b X a dX dY 因此,求解上述变量分离方程,最后代回原方程,,即可得到原方程的解. 2. 3常数变易法 一阶线性微分方程()(),x Q y x P dxdy+= 其中()()x Q x P ,在考虑的区间上是x 的连续函数,若Q ()0=x ,变为(),y x P dxdy= 称为一阶齐次线性微分方程,若(),0≠x Q 称为一阶非齐次线性微分方程.变易分离方程,易求得它的通解为(),⎰=dxx P ce y这里c 是任意常数.现在讨论非齐次线性方程的通解的求法.不难看出,是的特殊情形,两者既有联系又有差别,因此可以设想它们的解也应该有一定的联系而又有差别,现试图利用方程的通解的形式去求出方程的通解,显然,如果中c 恒保持为常数,它们不可能是的解.可以设想在中将常数c 变易为x 的待定函数,使它满足方程,从而求出(),x c 为此,令()(),dxx P e x c y ⎰=微分之,得到()()()()().dx x P dxx P e x P x c e dxx dc dx dy ⎰+⎰= 以代入得到()()()()()()()()(),x Q e x c x P e x P x c e dxx dc dx x P dx x P dx x P +⎰=⎰+⎰ 即()()(),⎰=-dx x P e x Q dxx dc积分后得到()()(),1c dx e x Q x c dxx P +⎰=-⎰这里1c 是任意常数.将代入得到()()().1⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-c dx e x Q e y dx x P dxx P这就是方程的通解. 3.基本方法的应用3. 1. 一般变量分离应用举例 3.1.1应用举例例1 求解方程dx dy -=xy 解 将变量分离，得到xdx ydy -= 两边积分，即得22222cx y +-= 因而，通解为c y x =+22 这里c 是任意正常数，或者解出y ，写出显函数形式的解2x c y -±=3.1.2应用举例 例2 求解方程y x p dxdy)(= )3.2( 的通解，其中是)(x p x 的连续函数解 将变量分离，得到dx x p ydy)(= 两边积分，即得cdx x p y ~)(||ln +=⎰ 这里c~是任意常数。
一阶线性微分方程的研究与应用 毕业论文.doc
一阶线性微分方程的研究与应用摘要：本文分析了一阶线性微分方程的几种初等解法类型以及应用，总结出了这些不同类型方程可借助变量变换或积分因子化成变量分离方程和恰当方程两种类型，从而归纳了一阶微分方程的求解问题以及应用领域。
关键词：变量变换积分因子变量分离方程恰当方程引言对于一阶微分方程的初等解法，通常我们把他们归结为方程的积分问题，虽然一般的一阶方程没有初等解法，但是对于一些有限的有初等解法的类型，它们却反映了实际问题中出现的微分方程的相当部分，因此，掌握这些类型方程的解法还是有重要实际意义的，下面我们就对这些类型方程的解法—作以总结。
微分方程微分方程就是联系着自变量、未知函数及其导数的关系式，形如F(x,y,dydx)=0的方程，称为一阶线性微分方程。
1、变量变换方法形如dydx=f(x)g(y) (1-1)的方程，称为变量分离方程，这里的f(x)，g(y)分别x, y的连续函数.如果g(y)≠0,我们将(1-1)改写成dyg(y)=f(x)dx,两边积分得，∫dyg(y)=∫f(x)dx+c (1-2) 其中c任意常数。
例1 求方程dydx=p(x)y的通解，其中p(x)是x的连续函数。
解将变量分离，得到dyy=p(x)dx 两边积分，即得㏑|y|=∫p(x)dx+c 这里c是任意常数，由对数定义，即有|y|=e∫p(x)dx+c即 y=±e c e∫p(x)dx例2 求解方程dydx=-xy解将变量分离，得到y d y=-x d x,两边积分，即得y22=−x22+c2,因而，通解为x2+y2=c这里c是任意正常数。
或者解出y,写出显函数形式的解 y=±√c−x2.例3 求解方程dydx=yx+tanyx解这是齐次微分方程，以yx=u及dydx=x dudx+u代入，则原方程变为x dudx+u=u+tan u即du dx =tan ux将上式分离变量，即有cot udu=dxx两边积分，得到㏑|sin u| =㏑| x|+c,这里c̃是任意常数，整理后得到原方程的通解为sin yx=cx例4 求方程x dydx+2√xy=y (x<0)解将方程改写为dydx=2√yx+yx(x<0)以yx=μ及dydx=xdμdx+μ代入，则原方程变为x dμdx=2√μ (1-3)分离变量，得到2√μ=dxx两边积分，得到（1-3）的通解√μ=㏑(−x)+c 于是μ=[㏑(−x)+c]2(㏑(-x)+c>0)其中c是任意常数。
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解一阶常微分方程1.知识准备 1. 1 变量分离方程形如()()dyf x y dxϕ= (1) 的方程，称为变量分离方程，()f x ，()y ϕ分别是x ，y 的连续函数.这是一类最简单的一阶函数．如果()0y ϕ≠，我们可将(1)改写成()()dyf x dx y ϕ=，这样变量就分离开来了.两边积分，得到()()dyf x dx c y ϕ=+⎰⎰，c 为任意常数．由该式所确定的函数关系式(,)y y x c =就是常微分方程(1)的解．1. 2 积分因子恰当微分方程可以通过积分求出它的通解．因此能否将一个非恰当微分方程化为恰当微分方程就有很大的意义．积分因子就是为了解决这个问题引进的概念．如果存在连续可微函数(),0x y μμ=≠，使得()()()(),,,,0x y M x y dx x y N x y dy μμ+=为一恰当微分方程，即存在函数u ，使Mdx Ndy du μμ+=，则称(),x y μ为方程()(),,0M x y dx N x y dy +=的积分因子． 函数(),x y μ为()(),,0M x y dx N x y dy +=积分因子的充要条件是()()M N y xμμ∂∂=∂∂， 即()M N NM x y y xμμμ∂∂∂∂-=-∂∂∂∂． 假设原方程存在只与x 有关的积分因子()x μμ=，则0xμ∂=∂，则μ为原方程的积分因子的充要条件是()M N x y xμμ∂∂∂=-∂∂∂，即()()M Ny xx N φ∂∂-∂∂=仅是关于x 的函数．此时可求得原方程的一个积分因子为()x dxe φμ⎰=．同样有只与y 有关的积分因子的充要条件是()()M Ny xy Mϕ∂∂-∂∂=-是仅为y 的函数，此时可求得方程(11)的一个积分因子为()y dye ϕμ⎰=1. 3恰当微分方程考虑微分形式的一阶微分方程()(),,0M x y dx N x y dy +=(11)，如果该式的左端恰好是某个二元函数(),u x y 的全微分，即()()(),,,u u M x y dx N x y dy du x y dx dy x y∂∂+==+∂∂ 则称(11)为恰当微分方程． 对于一阶微分方程()(),,0M x y dx N x y dy +=，若有M Ny x∂∂=∂∂，则该方程必为恰当微分方程．我们接着讨论如何求得该恰当微分方程的解．我们可以把(),uM x y x∂=∂看作只关于自变量x 的函数，对它积分可得()(),u M x y dx y ϕ=+⎰，由此式可得()(),d y u M x y dx x x dyϕ∂∂=+∂∂⎰， 又因为有(),uN x y x∂=∂，故()(),d y N M x y dx dy xϕ∂=-∂⎰， 对该式积分可得()(),y N M x y dx dy x ϕ∂⎡⎤=-⎢⎥∂⎣⎦⎰⎰， 将该式代入，得恰当微分方程的通解为()(),,M x y dx N M x y dx dy c x ∂⎡⎤+-=⎢⎥∂⎣⎦⎰⎰⎰． 2.基本方法2. 1一般变量分离 形如()()dyf x y dxϕ= (1) 的方程，称为变量分离方程，()f x ，()y ϕ分别是x ，y 的连续函数.这是一类最简单的一阶函数．如果()0y ϕ≠，我们可将(1)改写成()()dyf x dx y ϕ=，这样变量就分离开来了.两边积分，得到()()dyf x dx c y ϕ=+⎰⎰，c 为任意常数．由该式所确定的函数关系式(,)y y x c =就是常微分方程(1)的解．2. 2齐次微分方程2. 2. 1齐次微分方程类型一 一阶线性微分方程()(),x Q y x P dxdy+= 其中()()x Q x P ,在考虑的区间上是x 的连续函数,若Q ()0=x ,变为(),y x P dxdy= 称为一阶齐次线性微分方程,若(),0≠x Q 称为一阶非齐次线性微分方程.变易分离方程,易求得它的通解为(),⎰=dxx P ce y这里c 是任意常数.2.2.2齐次微分方程类型二有些方程本不是可分离变量微分方程的类型，但经过变量变换可化为分离变量的微分方程．可分为三种情况来讨论:()1021==c c 的情形 这时，有=dx dy =++y b x a y b x a 2211⎪⎭⎫ ⎝⎛=++x y g xy b a x yb a 2211 因此,只要作变换xyu =,则方程就转化为变量分离方程. ()22121b b a a =k =的情形. 这时方程可写为()().22222122y b x a f c y b x a c y b x a k dx dy +=++++= 令u y b x a =+22,则方程化为().22u f b a dxdu+= 这是变量分离方程.()32121b b a a ≠及21,c c 不全为零的情形 因为方程右端分子,分母都是y x ,的一次多项式,因此⎩⎨⎧=++=++.0,0222111c y b x a c y b x a 代表Oxy 平面上两条相交的直线,设交点为()βα,,若令⎩⎨⎧-=-=,,βαy Y x X 则化为⎩⎨⎧=+=+,0,02211y b x a y b x a 从而变为.2211⎪⎭⎫ ⎝⎛=++=X Y g Y b X a Y b X a dX dY 因此,求解上述变量分离方程,最后代回原方程,,即可得到原方程的解. 2. 3常数变易法 一阶线性微分方程()(),x Q y x P dxdy+= 其中()()x Q x P ,在考虑的区间上是x 的连续函数,若Q ()0=x ,变为(),y x P dxdy= 称为一阶齐次线性微分方程,若(),0≠x Q 称为一阶非齐次线性微分方程.变易分离方程,易求得它的通解为(),⎰=dxx P ce y这里c 是任意常数.现在讨论非齐次线性方程的通解的求法.不难看出,是的特殊情形,两者既有联系又有差别,因此可以设想它们的解也应该有一定的联系而又有差别,现试图利用方程的通解的形式去求出方程的通解,显然,如果中c 恒保持为常数,它们不可能是的解.可以设想在中将常数c 变易为x 的待定函数,使它满足方程,从而求出(),x c 为此,令()(),dxx P e x c y ⎰=微分之,得到()()()()().dx x P dxx P e x P x c e dxx dc dx dy ⎰+⎰= 以代入得到()()()()()()()()(),x Q e x c x P e x P x c e dxx dc dx x P dx x P dxx P +⎰=⎰+⎰ 即()()(),⎰=-dx x P e x Q dxx dc积分后得到()()(),1c dx e x Q x c dxx P +⎰=-⎰这里1c 是任意常数.将代入得到()()().1⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-c dx e x Q e y dx x P dxx P这就是方程的通解. 3.基本方法的应用3. 1. 一般变量分离应用举例 3.1.1应用举例 例1 求解方程dx dy -=xy 解 将变量分离，得到x d x y d y -=两边积分，即得22222cx y +-= 因而，通解为c y x =+22 这里c 是任意正常数，或者解出y ，写出显函数形式的解2x c y -±=3.1.2应用举例 例2 求解方程y x p dxdy)(= )3.2(的通解，其中是)(x p x 的连续函数解 将变量分离，得到dx x p ydy)(= 两边积分，即得cdx x p y ~)(||ln +=⎰ 这里c~是任意常数。
由对数定义，既有 c dx x p e y ~)(||+⎰=，即dxx p c e e y ⎰∙±=)(~令c e c =±~，得到⎰=dxx p ce y )( )4.2(此外，0=y 显然也是方程)3.2(的解，如果允许)4.2(中允许0=c 则0=y 也就包括在)4.2(中，因而)3.2(的通解为)4.2(，其中c 为任意常数。
3. 2齐次微分方程应用 3.2.1类型一应用举例例1 求解方程xyx y dx dy tan += 解 这是齐次微分方程，以u dx dux dx dy u x y +==及代入，则原方程变为 ,t a n u u u dxdux +=+ 即 xu dx du tan = )9.2( 将上式分离变量，既有,cot xdxudu =两边积分，得到cx u ~||ln |sin |ln +=这里c~是任意常数，整理后，得到 u sin =,~x e c ∙±c e=±~得到 cx u =sin此外，方程)9.2(还有解0tan =u如果在)9.2(中允许0=c ，则0t a n =u 也就包括在)10.2(中，这就是说，方程)9.2(的通解为)10.2(带回原来的变量，得到方程的通解为.sincx xy= 3.2.2类型一应用举例 例2 求解方程y xy dxdyx=+2（0<x ） 解 将方程改写为xy x y dx dy +=2 这是齐次微分方程.以u dxdux dx dy u x y +==及代入，则原方程变为 .2u dxdux = )11.2( 分离变量，得到,2xdxudu =两边积分，得到)11.2(的通解 .)l n (c x u +-=即当0)ln(>+-c x 时，2])[l n (c x u +-= 这里c 时任意常数.此外，方程)11.2(还有解.0=u 注意，此解并不包括在通解)11.2(中. 代回原来的变量，即得原方程的通解为.])[l n (2c x x y +-= 当0)ln(>+-c x 及0=y .3.2.3类型二应用举例例3 求解方程22dyx xy y dx=-． 解 方程可化为2()dy y y dx x x =-，令y u x =，将dy dux u dx dx=+代入上式， 可得2dux u dx=-，易知0u =是上式的一个解，从而0y =为原方程的一个解．当0u ≠时，分离变量得2du dx u x -=，两边积分得1ln u x c=+，故可得原方程的通解为ln xy x c=+．3.2.4类型二应用举例例4 求解方程111dy dx x y =+-+. 解 令1u x y =-+,则有1y u x -=--,代入所求方程()111d u x dx u---=+,整理可得1du dx u=-, 由变量分离得22u x c =-+,故所求方程的解为()212x y x c -++=.3. 2. 5类型二应用举例例5 求解方程31-++-=y x y x dx dy 解 解方程组⎩⎨⎧=-+=+-0301y x y x得.2,1==y x 令⎩⎨⎧+=+=11Y y X x代入上式方程，则有YX YX dX dY +-= 再令,uX Y XYu ==即则上式可化为 ,2112du uu uX dX --+= c u u X ~|12|ln ln 22+-+-= 因此c e u u X ~22)12(±=-+ 记,1~c e c=±并带回原变量，得.)1()2)(1(2)2(,2122122c x y x y c Y XY Y =----+-=-+此外容易验证,0122=-+u u 即,0222=-+X XY Y 也是方程的解 ，因此方程的通解为,26222c x y x xy y =---+其中c 为任意的常数.3. 3利用积分因子求解 例6 求解方程.0)(=-+dy x y ydx 解 这里,1,1,,-=∂∂=∂∂-==X N y M x y N y M 方程不是恰当的。