初中数学二次函数的简单应用

2.2.3 二次函数的简单应用

一、函数图象的平移变换与对称变换

1．平移变换

问题1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次

函数的图象平移？

我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、

不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可． 例1 求把二次函数y ＝x 2－4x ＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式： （1）向右平移2个单位，向下平移1个单位； （2）向上平移3个单位，向左平移2个单位．

分析：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状（即不改变二次项系数），所以只改

变二次函数图象的顶点位置（即只改变一次项和常数项），所以，首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然后，再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式．

解：二次函数y ＝2x 2－4x －3的解析式可变为

y ＝2(x －1)2－1， 其顶点坐标为(1，－1)．

（1）把函数y ＝2(x －1)2－1的图象向右平移2个单位，向下平移1个单位后，其函数图象的顶

点坐标是(3，－2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为 y ＝2(x －3)2－2．

（2）把函数y ＝2(x －1)2－1的图象向上平移3个单位，向左平移2个单位后，其函数图象的顶

点坐标是(－1， 2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为 y ＝2(x ＋1)2＋2．

2．对称变换

问题2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这

一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？

我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特

点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题．

例2 求把二次函数y ＝2x 2－4x ＋1的图象关于下列直线对称后

x

y

O

x ＝－1

A (1,－1)

图2.2－7

所得到图象对应的函数解析式：

（1）直线x＝－1；

（2）直线y＝1．

解：（1）如图2．2－7，把二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于直线x＝－1作对称变换后，只改变图象的顶点位置，不改变其形状．

由于y＝2x2－4x＋1＝2(x－1)2－1，可知，函数y＝2x2－4x＋1图象的顶点为A(1,－1)，所以，对称后所得到图象的顶点为A1(－3，1)，所以，二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于直线x＝－1对称后所得到图象的函数解析式为y＝2(x＋3)2－1，即y＝2x2＋12x＋17．

（2）如图2．2－8，把二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于直线x＝－1作对称变换后，只改变图象的顶点位置和开口方向，不改变其形状．

由于y＝2x2－4x＋1＝2(x－1)2－1，可知，函数y＝2x2－4x＋1图象的顶点为

A(1,－1)，所以，对称后所得到图象的顶点为B(1，3)，且开口向下，所以，二次

函数y＝2x2－4x＋1的图象关于直线y＝1对称后所得到图象的函数解析式为y＝

－2(x－1)2＋3，即y＝－2x2＋4x＋1．

二、分段函数

一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，

这种函数，叫作分段函数．

例3在国内投递外埠平信，每封信不超过20g付邮资80分，超过20g不

超过40g付邮资160分，超过40g不超过60g付邮资240分，依此类推，每封x g(0＜x≤100)的信应付多少邮资（单位：分）？写出函数表达式，作出函数图

象．

分析：由于当自变量x在各个不同的范围内时，应付邮资的数量是不同的．所以，可以用分段函数给出其对应的函数解析式．在解题时，需要注意的是，当x在各个小范围内（如20＜x≤40）变化时，它所对应的函数值（邮资）并不变化（都是160分）．

解：设每封信的邮资为y（单位：分），则y是x的函数．这个函数的解析式为

x y

O

y＝1

A(1,－1)

B(1，3)

图2.2－8

80,(0,20]160(20,40]

240,940,80]320(60,80]400,(80,100]

x x y x x x ∈⎧⎪∈⎪⎪

=∈

⎨⎪∈⎪∈

⎪⎩ 由上述的函数解析式，可以得到其图象如图2．2－9所示．

例4如图9－2所示，在边长为2的正方形ABCD 的边上有一个动点P ，从点A 出发沿折线ABCD 移动一周后，回到A 点．设点A 移动的路程为x ，ΔPAC 的面积为y ．

（1）求函数y 的解析式； （2）画出函数y 的图像； （3）求函数y 的取值范围．

分析：要对点P 所在的位置进行分类讨论．

解：（1）①当点P 在线段AB 上移动（如图2．2－10①），即0＜x ≤2时，

y ＝

1

2

AP BC ⋅＝x ；

②当点P 在线段BC 上移动（如图2．2－10②），即2＜x ＜4时，

y ＝

12PC AB ⋅＝1

(4)22

x -⋅＝4－x ； ③当点P 在线段CD 上移动（如图2．2－10③），即4＜x ≤6时，

y ＝12PC AD ⋅＝1(4)22

x -⋅＝x －4；

④当点P 在线段DA 上移动（如图2．2－10④），即6＜x ＜8时，

A

C

B

D

P

图2.2－10