多目标函数的优化设计方法

第9章 多目标函数的优化设计方法
Chapter 9 Multi-object Optimal Design
在实际的机械设计中，往往期望在某些限制条件下，多项设计指标同时达到最优，这类问题称为多目标优化设计问题。

与前面单目标优化设计不同的是，多目标优化设计有着多种提法和模式，即数学模型。

因此，解决起来要比单目标问题复杂的多。

9.1 多目标最优化模型
9.1.1 问题举例
例9-1 生产计划问题 某工厂生产n （2≥n ）种产品：1号品、2号品、...、n 号品。

已知：该厂生产)...,,2,1(n i i =号品的生产能力是i a 吨/小时； 生产一吨)...,,2,1(n i i =号品可获利润i α元；
根据市场预测，下月i 号品的最大销售量为)...,,2(n i b i =吨； 工厂下月的开工能力为T 小时； 下月市场需要尽可能多的1号品。

问题：应如何安排下月的生产计划，在避免开工不足的条件下，使 工人加班时间尽可能的地少；
工厂获得最大利润；
满足市场对1号品尽可能多地要求。

为制定下月的生产计划，设该厂下月生产i 号品的时间为)...,,1(n i x i =小时。

9.1.2 基本概念
如图9.1所示，两个目标函数f 1,f 2中的若干个设计中，3，4称为非劣解，若
)(min{)(*x f x f j j ≤
S.t ．0)(≤x g u u=1,2,………….m
成立，则称*
x 为非劣解。

若不存在一个方向，同时满足：
0)(*≤*∇s x f (目标函数值下降0)(*≤*∇s x g (不破坏约束)
图9.1
则称*
x 为约束多目标优化设计问题的K-T 非劣解。

这样，多目标优化设计问题的求解过程为：先求出满足K-T 条件的非劣解，再从众多的非劣解确定一个选好解。

多目标优化的数学模型：
T r x f x f x f X F V )](),........(),([)(m in 21=--
S.t ．0)(≤x g u u=1,2,………….m
0)(=x h v v=1,2,……….p
式中：)(X F 是向量目标函数。

由于各目标函数往往是相互抵触的，且重要性也不同，因此，应慎重对待。

9.2 多目标优化问题的求解方法
一类是转化为一系列单目标求解； 一类是构造一个新的目标函数求解。

9.2.1 约束法 )(.....m in x f k
0)(.........≤x g t s u u=1,2,………….m
0)(=x h v v=1,2,……….p
0)(j j f x f = j=1,2,….,r k r ≠
式中： )(x f k ----重要的目标函数
0j f ------第j 个目标函数的期望值。

9.2.2 分层序列法
将r 目标函数按重要程度排队)(),........(),(21x f x f x f r ，然后采用宽容分层序列法。

1） ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈=..............)(min *11D x f x f
2） {}
⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧+≤∈=1*
11*22)(|.....................)(min εf x f x D x f x f
r {}
⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--+≤∈1,......2,1.......................)(|.....................).........
(min *r j f x f x D x x f j j j r ε
j ε---宽容量，是为了防止在计算第k 个目标函数值后，若取唯一解，将会导致以后计
算中断。

两目标优化问题用宽容分层序列法求最优解的情况如图9.2所示。

不作宽容时，x ~为最优解，它就是第一个目标函数)(1x f 的严格最优解。

若给定宽容值1ε，则宽容的最优解为
)1(x ，它一进考虑了第二个目标函数)(2x f ，但是对第一个目标函数来说，其最优值就有一
个误差。

例：用宽容分层序列法求)(max
x f V D
x ∈-
式中 T
x f x f x F )](),([)(21=；)(1x f =x x πcos )6(5.0-⨯；2
2)9.2(1)(-+=x x f ； }5.25.1|{≤≤=x x D
按重要程度将目标函数排队为：)(1x f ，)(2x f 。

首先求解
x x x f V D
x πcos )6(5.0)(1max -⨯=-∈得最优点2)1(=x
对应得最优值为 )(1x f =π2cos )26(5.0-⨯=2 设给定的宽裕量1ε=0.052,则可得
}5.25.1,..052.0)()(|{)1(111≤≤->=x x f x f x D
然后求解
)(2
max 1
x f
D x ∈可得
22)9.2(1)(m ax -+=x x f
}5.25.1,..948.1)(|{11≤≤>=x x f x D
从而得最优点为 9.1)
2(=x
这就是该两目标函数的最优点*
x ,其对应得最优值为
2
)(948.1)()
2(2)2(1==x f x f
最优解的情况如图9.3所示。

*1
ε+f 1f
)
2
29.x
π
图9.2 图9.3
9.2.3 线性加权法
)()(...............min 1
x f w X F r
i i i ∑==
加权因子i w 的选择应十分注意，为消除量级上的差别，应将其值在0~1之间规格化。

9.2.4 理想点法与平方和加权法
理想点法的评价函数
∑=-=r
i j j j f f x f X U 1
2*
*
])([
)(
平方和加权法的评价函数
∑=-=r
i j j j f x f X U 1
2*])([)(λ
9.2.5 功效系数法
设有r 个目标函数)(),........(),(21x f x f x f r ,用j d 表示第j 个目标函数的好坏程度，其中10≤≤j d ，0为最差，1为最好。

总的功效系数为
r r d d d d ⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯=21
只要有一个为零，则总方案不可取。

在0到1之间确定功效系数，可用线性函数，指数函数等拟合。

1） 若目标函数追求的是极小，则为图9.4a ； 2 ）若目标函数追求的是极大，则为图9.4b ； 3）若目标函数追求的是某一区间，则为图9.4c 。

min
max
min
max
12
a
b
c
图 9.4
9.2.6 极小极大法
基本思想为：先求出各分目标函数 )(x f j ),........,2,1(r j =的最优解*j x 和)(*
x f j
),........,2,1(r j =，选取可行域中的一点X ，各分目标函数的增量系数定义为:
)
()
()()(*
*x f x f x f X Z j j j j -=
},.....2,1),(max {)(r j X Z x j -=φ
于是原多目标优化问题可转化为下列单目标求解：
},.....2,1),(max {)(.......min r j X Z x j -=φ
0)(.........≤x g t s u u=1,2,………….m
0)(=x h v v=1,2,……….p
可以证明，如果协调曲线通过可行域，用极小极大法求得的最优点必定在协调曲线上。

在可行域内的协调曲线上，若某点满足..........)()(21==x Z x Z ，则该点就一定是最优点，否则，最优点是协调曲线与某约束边界的交点，且该点处的各增量系数之差最小。

三维以上的问题无法做出协调曲线。

因此该法有较大的优越性与通用性。