正弦函数、余弦函数的性质(全)
正弦函数、余弦函数的性质
2 T
二、奇偶性
y
o
x
正弦函数是奇函数, 余弦函数是偶函数.
三、最大值与最小值
y
o
x
正弦函数当且仅当x 2k 且仅当x 2k
2
, k Z时取得最大值1, 当
2 余弦函数当且仅当x 2k , k Z时取得最大值1,当且仅 当x 2k , k Z时取得最小值 1.
解：（1）∵
3cos( x 2 ) 3cos x
∴自变量x只要并且至少要增加到x+2
y 3cos x, x R 的值才能重复出现.
，函数
所以，函数 y 3cos x, x R 的周期是 2
(2) sin(2 x 2 ) sin 2( x ) sin 2 x
§ 1.4.2 正弦函数、 余弦函数的性质 (一)
引入
y
o
ห้องสมุดไป่ตู้
x
周期函数: 对于函数f(x),若存在一个非零常数 ,使 T
得当x取定义域内的每一个值 都有 时, f ( x T ) f ( x)
称之, 非零常数T叫做这个函数的周期.
新课
若在周期函数 的所有周期中存 f(x) 在一个最小的正数, 则这个最小正数就 叫做f(x)的最小正周期.
, k Z时取得最小值 1;
例2、求下列函数的最 及取得最值时自 值, 变量x的集合:
(1) y cos x 1, x R; ( 2) y 3 sin 2 x, x R;
小结
1. 周期函数的定义，周期，最小正周期
2. 三角函数的奇、偶性
3. 三角函数的单调性；
作业
一、 周期性 正弦函数是周期函数2k( k Z , k 0)都 ,
正弦、余弦、正切函数图象及其性质
函数正弦函数y=sinx 余弦函数y=cosx 正切函数y=tanx图像定义域R R{x∣x≠Kπ+π/2,K∈Z}值域[-1，1][-1，1]R周期性最小正周期都是2π最小正周期都是2π最小正周期都是π奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心是(Kπ,0),K∈Z；对称轴是直线x=Kπ+π/2,K∈Z对称中心是(Kπ+π/2,0),K∈Z；对称轴是直线x=Kπ,K∈Z对称中心是(Kπ/2,0),K∈Z单调性在[2Kπ-π/2,2Kπ+π/2],K∈Z上单调递增；在[2Kπ+π/2,2Kπ+3π/2],K∈Z上单调递减在[2Kπ,2Kπ+π],K∈Z上单调递减；在[2Kπ+π,2Kπ+2π],K∈Z上单调递增在[Kπ-π/2,Kπ+π/2],K∈Z上单调递增最值当X=2Kπ(K∈Z)时，Y取最大值1；当X=2Kπ+3π/2(K∈Z时，Y取最小值－1当X=2Kπ+π/2(K∈Z)时，Y取最大值1；当X=2Kπ+π(K∈Z时，Y取最小值－1无最大值和最小值正弦、余弦、正切函数图象及其性质注意1、正弦函数y=sinx在[2kπ-π/2, 2kπ+π/2]（k∈Z）上是增函数，但不能说它在第一或第四象限是增函数；对于正切函数，它在定义域的每一个单调区间内都是增函数，但不能说它在定义域上是增函数。
2、对于复合函数y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)、y=Atan(ωx+φ)均可以将ωx+φ视为一个整体，用整体的数学方法转化为熟悉的形式解决。
当ω＜0时，要特别注意。
如：y=sin(-2x+π/4)可以化为y=-sin(2x-π/4)或y=cos(2x+π/4)再求解。
3、函数y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为2π/∣ω∣，y=Atan(ωx+φ) 的最小正周期为π/∣ω∣。
正弦函数和余弦函数的图像与性质
例2.求下列函数的最大值与最小值，及取到最值 时的自变量 x 的值. (2) y 3sin x cos x (1) y sin(2 x )
4 解:(1)视为 y sin u , u 2 x 4
8 3 当 u 2k ，即 x k , k Z 时， 2 8 ymin 1 2
二、正弦函数与余弦函数的周期
对于任意 x R 都有
sin( x 2k ) sin x, k Z cos( x 2k ) cos x, k Z
正弦函数是周期函数， k , k Z , k 0 都是它的 2
周期，最小正周期是 2 余弦函数是周期函数， k , k Z , k 0 都是它的 2 周期，最小正周期是 2
注：一般三角函数的周期都是指最小正周期
1 (1) f ( x) cos 2 x (2) f ( x) sin( x ) 2 6 解: (1)设 f ( x)的周期为 T f ( x T ) f ( x)
即 cos[2( x T )] cos 2 x 即 cos(2 x 2T ) cos 2 x 即 对任意 u 都成立：cos(u 2T ) cos u 因此 2T 2 ，从而 T 解毕
第六章 三角函数
5.6.4 正弦定理、余弦定理和解斜三角形
6.1.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质
一、正弦函数和余弦函数的概念 实数集与角的集合可以建立一一对应的关系， 每一个确定的角都对应唯一的正弦(余弦)值. 因此，任意给定一个实数 x ，有唯一确定的值
sin x(cos x) 与之对应.
函数 y sin x 叫做正弦函数 函数 y cos x 叫做余弦函数 正弦函数和余弦函数的定义域是 R 正弦函数和余弦函数的值域是[1,1]
正弦函数、余弦函数的性质 课件
(3)y＝2sin12x－π6，x∈R. 解 ∵2sin12x＋4π－π6＝2sin12x－π6＋2π＝2sin12x－π6，
∴自变量x只要并且至少要增加到x＋4π，
函数 y＝2sin12x－π6，x∈R 的值才能重复出现， 所以，函数 y＝2sin12x－π6，x∈R 的周期是 4π.
反思与感悟 对于形如函数 y＝Asin(ωx＋φ)，ω≠0 时的周期求 法常直接利用 T＝|2ωπ|来求解，对于 y＝|Asin ωx|的周期情况常结 合图象法来求解.
探究点一 周期函数的定义
思考1 观察正弦函数图象知，正弦曲线每相隔2π个单位重复出现 其理论依据是什么？ 答 诱导公式sin(x＋2kπ)＝sin x(k∈Z)当自变量x的值增加2π的整 数倍时，函数值重复出现.数学上，用周期性这个概念来定量地刻 画这种“周而复始”的变化规律.
思考2 设f(x)＝sin x，则sin(x＋2kπ)＝sin x可以怎样表示？把函数 f(x)＝sin x称为周期函数，那么，一般地，如何定义周期函数呢？ 答 f(x＋2kπ)＝f(x)(k∈Z)这就是说：当自变量x的值增加到x＋2kπ 时，函数值重复出现. 一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x 取定义域内的每一个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，那么就把函数y＝ f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期.
小结 为了突出函数的这个特性，我们把函数f(x)＝sin x称为周 期函数，2kπ为这个函数的周期 (其中k∈Z且k≠0).
思考3 正弦函数y＝sin x的周期是否唯一？正弦函数y＝sin x 的周期有哪些？ 答 正弦函数y＝sin x的周期不止一个. ±2π，±4π，±6π，… 都 是 正 弦 函 数 的 周 期 ， 事 实 上 ， 任 何 一 个 常 数 2kπ(k∈Z 且 k≠0)都是它的周期.
正弦函数和余弦函数的图像与性质
3. 求最小正周期： (1) f ( x) 3sin x 4cos x (2) f ( x) sin 2 x (3) f ( x) sin 2 x cos 2 x
y cos x , x R 的值域是 [1,1]，最大值是 1，最小值是 1.
当 cos x 1时，x 2k (k Z). 当 cos x 1 时，x (2k 1) (k Z).
（2）周期性
一般地，对于函数 f ( x)，如果存在一个常数 T (T 0)， 使得当 x 取定义域 D 内的任意值时，都有 f ( x T ) f ( x) 成立，那么函数 f ( x) 叫做周期函数，常数 T 叫做函数 f ( x) 的周期。对于一个周期函数 f ( x) 来说，如果在所有的周期中 存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做函数 f ( x) 的 最小正周期。
解： 偶函数； (1)
(2) f ( x) cos 2 x，偶函数；
2 (k Z)
(3)sin x 1 x 2k
x
，但 x 可以取 ，即 f ( x)的定义域不关于原点对称， 2 2
f ( x) 是非奇非偶函数。
(4) f ( x)
1 sin 2 x sin x 1 1 sin 2 x sin x 1
5 3 增：k , k (k Z)， 减：k , k (k Z) 8 8 8 8
(4) y log 1 2cos x 3
2
3 解： x cos x 2 k , 2 k 2 6 6
正弦函数余弦函数的性质(单调性)
正弦函数余弦函数的性质（单调性）正弦函数和余弦函数是高中数学中常见的三角函数，它们具有许多重要的性质。
单调性是它们非常重要的性质之一。
在本文中，我们将详细讨论正弦函数和余弦函数的单调性，希望能帮助读者更好地理解和掌握这两个函数的特性。
让我们来回顾一下正弦函数和余弦函数的定义。
正弦函数记作sin(x)，它表示的是单位圆上一个点的纵坐标，即sin(x) = y。
余弦函数记作cos(x)，它表示的是单位圆上一个点的横坐标，即cos(x) = x。
正弦函数和余弦函数的定义域都是实数集合R，值域是[-1, 1]。
接下来，我们将分别讨论正弦函数和余弦函数的单调性。
首先讨论正弦函数的单调性。
在定义域内，正弦函数的单调性与其自变量的取值有关。
我们知道，在单位圆上，正弦函数表示的是一个点的纵坐标，而单位圆的纵坐标是在[-1, 1]之间变化的。
我们可以得出结论：正弦函数的单调性是周期性的。
具体地说，正弦函数在每个周期内都是先增后减或先减后增的。
这是因为在单位圆上，随着自变量从0增加到π/2，正弦函数的取值是逐渐增大的；而当自变量从π/2增加到π时，正弦函数的取值则逐渐减小；接着在从π增加到3π/2的过程中又是逐渐增大的；最后在从3π/2增加到2π时，又是逐渐减小的。
我们可以得出结论：正弦函数在每个周期内都是先增后减或先减后增的，是一个周期函数。
总结一下，正弦函数和余弦函数的单调性都是周期性的。
在每个周期内，正弦函数都是先增后减或者先减后增的；而余弦函数则是先减后增或者先增后减的。
这些性质使得正弦函数和余弦函数在数学建模、物理学、工程等领域中有着广泛的应用。
掌握正弦函数和余弦函数的单调性是非常重要的。
希望本文的讨论能够帮助读者更好地理解和掌握这些函数的性质，为进一步的学习和研究打下良好的基础。
正弦函数、余弦函数的性质(全)
当且仅当 x 2k， （ k Z） 时 ， (cos x)min 1.
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
ycox(sxR)
例题
求使函数
y3cos2x( )
取得最大值、最小值的
2
自变量的集合，并写出最大值、最小值。
y
1
3 5 2
而在每个闭区间[ 2k , 3 2k ](k Z )上都是
2
2
减函数，其值从1减小到－1。
探究：余弦函数的单调性 y
1
3 5 2
2 3
2
2
O 3 2 5 3 x
2
2
2
1
当x在区间 [3 , 2 ]、[，0]、[，2 ][3 , 4 ] 上时，
4
5 6 x
y=cosx (xR)
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
一.周期性
对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得 当x取定义域内的每一个值时，都有 f (x+T)=f (x)
那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个 函数的周期。
注：1正、T弦要是函非数零常是数周期函数，2k(kZ且 k0)，最小
其值从 1减至-1
五、余弦函数的单调性
y
1
-3 5 -2 3
2
2
o - 2
2
-1
x - … …
2
cosx -1
0
正弦、余弦函数的性质
2k ,2 2k k Z 递增
2k , 2k k Z 递减
x 2k , k Z
x 2k , k Z
ymax 1
ymin 1
奇函数
偶函数
对称中心:k ,0, k Z
x k , k Z
对称轴：
2
对称中心:
k
2
,0 ,
k
Z
x k , k Z
对称轴：
课堂小结
2、新课程导学P66 3,4
,k
Z
函数y
3sin
2x最大值是-3.
因为有负 号，结论 要相反呀！
求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合， 并写出最大值、最小值各是多少。
（教材P39页例4）利用三角函数的单调性，比较下列各组数的的大小.
(1) sin( )与sin( )
18
10
(2) cos( 23 )与cos( 17 )
下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出它们取最大值、 最小值的自变量的集合，并说出最大值、最小值分别是什么？
(1) y cosx 1, x R;
(2) y 2sin 3x, x R;
解：(1)使函数y cos x 1, x R取得最大值的x的集合， 就是使函数y cos x, x R
2
最小值：当x 2k , k Z时，有最小值y 1.
2
知识点二、余弦函数的对称性与奇偶性
y
y cos x的图像
1
3 5
2
2 3
2
2
O 1
2
3 2
2
5 3
2
x
单调性：
在区间 [ 2k , 2k ], k Z 上是增函数
在区间 [2k , 2k ], k Z 上是减函数 最大值：当x 2k , k Z时，有最大值 y 1; 最小值：当x 2k , k Z时,有最小值y 1.
正弦函数余弦函数的图像与性质
三角函数在物理学中的应用
振动与波动
正弦和余弦函数是描述简谐振动和波动的基本函 数，广泛应用于声学、光学等领域。
交流电
交流电的电压和电流是时间的正弦或余弦函数， 用于驱动各种电器设备。
磁场与电场
在电磁学中，正弦和余弦函数用于描述磁场和电 场的分布和变工程中的许多振动问题都可以用 正弦和余弦函数来描述，如桥梁 振动、车辆振动等。
周期性
正弦函数具有周期性， 其周期为2π。
奇偶性
正弦函数是奇函数，满 足sin(-x) = -sin(x)。
余弦函数的定义
定义
余弦函数是三角函数的另一种形式，定义为直角三角形中锐角的邻边与斜边的比值，记作 cos(x)。
周期性
余弦函数也具有周期性，其周期为2π。
奇偶性
余弦函数是偶函数，满足cos(-x) = cos(x)。
奇偶性
总结词
正弦函数是奇函数，而余弦函数是偶 函数。
详细描述
奇函数满足$f(-x) = -f(x)$，偶函数满 足$f(-x) = f(x)$。对于正弦函数， $sin(-x) = -sin(x)$；对于余弦函数， $cos(-x) = cos(x)$。
最值与振幅
总结词
正弦函数和余弦函数都具有最大值和最小值，这取决于它们的振幅。
正弦函数余弦函数的图像与性质
目录
• 正弦函数与余弦函数的定义 • 正弦函数与余弦函数的图像 • 正弦函数与余弦函数的性质 • 正弦函数与余弦函数的应用 • 正弦函数与余弦函数的扩展知识
01 正弦函数与余弦函数的定 义
正弦函数的定义
定义
正弦函数是三角函数的 一种，定义为直角三角 形中锐角的对边与斜边 的比值，记作sin(x)。
正弦函数余弦函数的性质(单调性)
正弦函数余弦函数的性质（单调性）正弦函数和余弦函数是高中数学中常见的函数，它们具有许多重要的性质。
单调性是其中之一。
本文将重点介绍正弦函数和余弦函数的单调性，希望能对读者加深对这两个函数的理解。
我们先来介绍一下正弦函数和余弦函数的定义。
正弦函数记作y=sin(x)，其中x表示自变量，y表示函数值。
余弦函数记作y=cos(x)，同样x表示自变量，y表示函数值。
这两个函数都是周期函数，其周期为2π。
下面我们分别来介绍它们的单调性。
正弦函数的单调性：正弦函数在每一个周期内都是先增后减或者先减后增的。
具体来说，当自变量x增大时（在0到π/2之间），y=sin(x)也逐渐增大，当自变量x继续增大（在π/2到π之间），y=sin(x)逐渐减小，当自变量x继续增大（在π到3π/2之间），y=sin(x)又逐渐增大，以此类推。
从图上来看，正弦函数的图像会呈现出一种周期性的波动，这体现了正弦函数的周期性。
我们可以得出结论，正弦函数在每一个周期内都是先增后减或者先减后增的。
正弦函数和余弦函数在各自的周期内的单调性是不同的。
正弦函数是先增后减或者先减后增的，而余弦函数是先减后增或者先增后减的。
这也是因为正弦函数和余弦函数的定义和性质不同所导致的。
通过对这两个函数的单调性进行分析，可以帮助我们更好地理解它们的规律和特点。
除了单调性以外，正弦函数和余弦函数还有许多其他重要的性质，比如周期性、奇偶性、图像特点等。
这些性质都是我们在学习和应用这两个函数时需要重点关注的内容。
希望通过本文的介绍，读者能够对正弦函数和余弦函数的单调性有更清晰的认识，并能够更好地应用这些知识解决实际问题。
正弦函数、余弦函数的性质(经典)
sin2x=2sinxcosx，cos2x=cos²x-sin²x。
半角恒等式用于计算一个角的一半角的三角函数值，例如
sin(x/2)=±√[(1-cosx)/2]，cos(x/2)=±√[(1+cosx)/2]。
三角函数的积分
三角函数的积分是数学中一类特殊的积分，主要涉及到三角函数的积分计算。通过三角函数的积分， 可以求得三角函数值的面积、体积和其他物理量。
三角函数与复数
三角函数与复数之间有着密切的联系 ，复数可以用三角函数的形式表示， 而三角函数也可以用复数进行计算和 分析。
在复平面上，复数可以用极坐标形式表 示为z=r(cosθ+i sinθ)，其中r是模长， θ是辐角。这个表示方法与三角函数的 定义非常相似，因此可以将复数的运算 转化为三角函数的运算。
奇偶性
总结词
正弦函数是奇函数，而余弦函数是偶 函数。
详细描述
正弦函数满足$f(-x) = -f(x)$，即对于 任何实数x，都有$sin(-x) = -sin(x)$。 相反，余弦函数满足$f(-x) = f(x)$， 即对于任何实数x，都有$cos(-x) = cos(x)$。
最值和零点
总结词
正弦函数图像是一个周期函数，其基本周期为$2pi$。
在一个周期内，正弦函数图像呈现先上升后下降的趋势，且在$[0, pi]$区间内是单调递增的。
正弦函数的最大值为1，最小值为-1，且在$x=frac{pi}{2}+2kpi$（$k in Z$）处取得最大 值，在$x=2kpi$（$k in Z$）处取得最小值。
三角函数在复数域中有许多重要的性 质和应用，例如：傅里叶变换、拉普 拉斯变换、Z变换等。这些变换在信 号处理、控制系统等领域有着广泛的 应用。
正弦函数_余弦函数的性质 ppt课件
(2)y 3sin2x, xR.
解（：2）令t=2x,因为使函{t数|ty 3si2nkt,t, k RZ取}最大值的t的集合是
由 2xt2k2 得 xk
2
4
所以使函数 y3sin2x,x R 取最大值的x的集合是
{x|xk,kZ}
4 同理，使函数 y3sin2x,x R取最小值的x的集合是
3 5
2
2 3
2
P' 2
y 1P
O 3 2
2
2
1
5 3 x
2
对称轴：x L5,3,1,1,3L
2 2 222
xk,kZ
2
对称中心： L ( , 0 ) , ( 0 , 0 ) , ( , 0 ) , ( 2 , 0 ) L
(k,0) k Z
ppt课件
27
余弦函数的图象 y
说明：我们现在谈到三角函数周期时，如果 不加特别说明，一般都p是pt课件指的最小正周期。 5
正弦函数 ys ixn(xR)
y
· · -2
-
o
· · · ·x
2 3
4
x 结合图像：在定义域内任取一个 ，
由诱导公式可知： s ix n2 (k)s ixn
即 f(x2k)f(x)
☺正弦函数ys ixn(xR ppt课)是件 周期函数，周期是 2k6
3
A.x 4
3
B.x 2
C .x
12
y
D.x0
1
3 5
2
2 3
2
2
O 3 2 5 3 x
2
2
2
1
解：经验证，当
正弦函数、余弦函数的性质
正弦函数、余弦函数的性质【知识点分析】一、周期函数的定义函数)(x f y =，定义域为I ，当I x ∈时，都有)()(x f T x f =+，其中T 是一个非零的常数，则)(x f y =是周期函数，T 是它的一个周期.知识点分析：1.定义是对I 中的每一个x 值来说的，只有个别的x 值满足)()(x f T x f =+或只差个别的x 值不满足)()(x f T x f =+都不能说T 是)(x f y =的一个周期.2.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期.（1）正弦函数、余弦函数的值域为[]1,1-，是指整个正弦函数、余弦函数或一个周期内的正弦曲线、余弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么正弦函数、余弦函数的值域就可能不是[]1,1-，因而求正弦函数、余弦函数的值域时，要特别注意其定义域．（2）求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求sin()y x =-的单调递增区间时，应先将sin()y x =-变换为sin y x =-再求解，相义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域．三、正弦型函数sin()y A x ωϕ=+和余弦型函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>的性质．函数sin()y A x ωϕ=+与函数cos()y A x ωϕ=+可看作是由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =类似地得到：（1）定义域：R（2）值域：[],A A -（3）单调区间：求形如sin()y A x ωϕ=+与函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把x ωϕ+视为一个“整体”，分别与正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =的单调递增（减）区间对应解出x ，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由)(2222Z k k x k ∈+≤+≤-ππϕωππ解出x 的范围所得区间即为增区间，由)(23222Z k k x k ∈+≤+≤+ππϕωππ解出x 的范围，所得区间即为减区间． （4）奇偶性：正弦型函数sin()y A x ωϕ=+和余弦型函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>不一定具备奇偶性．对于函数sin()y A x ωϕ=+，当()k k z ϕπ=∈时为奇函数，当()2k k z πϕπ=±∈时为偶函数；对于函数cos()y A x ωϕ=+，当()k k z ϕπ=∈时为偶函数，当()2k k z πϕπ=±∈时为奇函数．知识点分析：判断函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件．（5）周期：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+的周期与解析式中自变量x 的系数有关，其周期为2T πω=．（6）对称轴和对称中心与正弦函数sin y x =比较可知，当()2x k k z πωϕπ+=±∈时，函数sin()y A x ωϕ=+取得最大值（或最小值），因此函数sin()y A x ωϕ=+的对称轴由()2x k k z πωϕπ+=±∈解出，其对称中心的横坐标()x k k z ωϕπ+=∈，即对称中心为,0()k k z πϕω-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．同理，cos()y A x ωϕ=+的对称轴由()x k k z ωϕπ+=∈解出，对称中心的横坐标由()x k k z πωϕπ+=±∈解出．知识点分析：若x R ∉，则函数sin()y A x ωϕ=+和函数cos()y A x ωϕ=+不一定有对称轴和对称中心． 【例题及练习】类型一：正弦函数、余弦函数的定义域与值域例1．求函数y =例2.求函数lg(2sin 1)y x =-的定义域例3．求下列函数的值域： （1）y=3―2sin x（2）2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；（3）cos 2cos 1x y x -=-．例4.求y=cos 2x+4sin x ―2的值域．类型二：正弦函数、余弦函数的单调性例5．（2016 浙江温州期末）设函数()sin(2)3f x a x b π=++（1）若a ＞0，求f （x ）的单调递增区间；（2）当[0,]4x π∈时，f （x ）的值域为[1，3]，求a ，b 的值．例6。
正余弦函数的性质(最值与单调性)
如果存在一个非零常数T，对于定义域内的每一个x，函数f(x)满足f(x+T)=f(x)，则称f(x) 是周期函数，T称为这个函数的周期。
周期的求法
直接观察法
ห้องสมุดไป่ตู้
01
通过观察函数的表达式，找出具有相同形式的项，从而确定周
期。
公式法
02
利用三角函数的周期性质，如正弦函数和余弦函数的周期公式，
单调性的判断方法
利用导数判断
求出函数的导数，当导数大于0时，函数单调递增；当导数小于0时，函数单调递减。
利用定义判断
在定义域内取两个数，比较函数值的大小，若函数值随自变量的增大而增大，则函数在该区间内单调 递增；反之，则函数在该区间内单调递减。
03
正余弦函数的周期性
周期的定义
周期函数
如果一个函数在一定周期内的变化情况与整个定义域内的变化情况完全相同，则称该函 数是周期函数。
函数性质
正余弦函数的图像是周期函数，具有对称性和周 期性。
图像的特点
1 2
周期性
正余弦函数的图像是周期函数，具有固定的周期。
对称性
正余弦函数的图像具有对称性，即关于y轴对称 或关于原点对称。
3
极值点
正余弦函数的图像在极值点处达到最大值或最小 值。
图像的应用
物理应用
正余弦函数在物理中有广泛的应用，如交流电、振动、波动等。
03
奇偶性的判断方法
观察函数图像是否关 于原点或y轴对称
利用定义域排除特殊 点，确定奇偶性
检查$f(-x)$与$f(x)$ 的关系，是否满足奇 偶性定义
05
正余弦函数的图像与性质
图像的绘制
手工绘制
正弦函数余弦函数的性质
正弦函数余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的性质(1)知识点包括周期性、正、余弦函数的奇偶性、求函数周期的三种方法、利用定义判断函数奇偶性的三个步骤、三角函数周期性与奇偶性的解题策略、探究函数y＝a sin(ωx＋φ)及y＝a cos(ωx＋φ)的周期公式、函数的奇偶性与对称性的拓展等部分，有关正弦函数、余弦函数的性质(1)的详情如下：周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数t，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋t)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数t叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期．(3)正弦函数y＝sin x(x∈r)和余弦函数y＝cos x(x∈r)都是周期函数，最小正周期为2π,2kπ(k∈z且k≠0)是它们的周期．正、余弦函数的奇偶性正弦函数y＝sin x(x∈r)是奇函数，图象关于原点对称；余弦函数y＝cos x(x∈r)是偶函数，图象关于y轴对称．求函数周期的三种方法(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x都满足f(x＋t)＝f(x)的非零常数t.该方法主要适用于抽象函数．(2)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般可采用此法．(3)公式法：利用定义判断函数奇偶性的三个步骤三角函数周期性与奇偶性的解题策略(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝a sin(ωx＋φ)或y＝a cos(ωx＋φ)的形式，再利用公式求解．还可以用求周期．(2)判断函数y＝a sin(ωx＋φ)或y＝a cos(ωx＋φ)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝a sin ωx或y＝a cos ωx其中的一个．即y＝a sin(ωx＋φ)，当φ＝kπ时为奇函数，当φ＝时，为偶函数．y＝a cos(ωx＋φ)，当φ＝时为奇函数，当φ＝kπ时为偶函数．探究函数y＝a sin(ωx＋φ)及y＝a cos(ωx＋φ)的周期公式事实上，令z＝ωx＋φ，那么由x∈r得z∈r，且函数y＝a sin z，z∈r及函数y＝a cos z，z∈r的周期都是2π.因为z＋2π＝(ωx＋φ)＋2π＝，所以，自变量x增加函数值就重复出现；并且增加量小于时，函数值不会重复出现．即t＝是使等式a sin[ω(x＋t)＋φ]＝a sin(ωx＋φ)，a cos[ω(x＋t)＋φ]＝a cos(ωx＋φ)成立的最小正数，从而，函数y＝a sin(ωx＋φ)，x∈r及函数y＝a cos(ωx＋φ)，x∈r的周期t＝函数的奇偶性与对称性的拓展y＝sin x，(x∈r)是奇函数，图象关于原点对称，结合周期性其对称中心为(kπ，0)(k∈z)，也是轴对称图形，其对称轴为x＝kπ＋(k∈z)．y＝cos x也是如此，总结如下。
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最小值：当
2 k
有最小值 y 时，
1
四、正弦、余弦函数的最值
y
1 -4 -3 -2 -
y sin x( x R)
2 3 4 5 6
o
-1
当且仅当 x 2 k ，（ k Z ）时， (sin x ) max 1； 2 当且仅当 x 2 k ，（ k Z ）时， (sin x ) min 1 . 2
2 3
2
2
O
2
1
3 2
2
5 2
3
x
5 3 3 5 … … [ ， ]、 [ ， ] 上时， 当 在区间 [ , ]、
x
2
2
2 2
2
2
曲线逐渐上升，sinα的值由 1增大到 1。
7 5 3 3 5 7 [ ， ]、 [ ， ]、 [ , ]„ 当x在区间 … [ , ]、 2 2 2 2 2 2 2 2
4 同理，使函数 y 3sin 2 x, x R 取最小值的x的集合是 4 函数 y 3sin 2 x, x R取最大值是3，最小值是-3。 {x | x
{x | x
k , k Z }
k , k Z }
五、探究：正弦函数的单调性 y
1
3 5 2
{x | x 2k , k Z}
使函数 y cos x 1, x R 取得最小值的x的集合，就是 使函数 y cos x, x R 取得最小值的x的集合
{x | x (2k 1) , k Z} 函数 y cos x 1, x R 的最大值是1+1=2；最小值是
x
当且仅当 x 2 k ， （ k Z ） 时 ， (cos x ) max 1；
当且仅当 x 2 k ， （ k Z ） 时 ， (cos x ) min 1 .
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
6
y cos x( x R)
小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.
(1)y cos x 1, x R; (2)y 3sin 2 x, x R.
解： 这两个函数都有最大值、最小值. （1）使函数 y cos x 1, x R 取得最大值的x的集合，就是 使函数 y cos x, x R 取得最大值的x的集合
最高点： (0,1) (2 ,1) 最低点：
( 3 , 0) 2
-
注意：函数图 像的凹凸性！
( , 1)
与x轴的交点： (
2
, 0)
一、正弦、余弦函数的周期性
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
6
x
y=sinx (xR)
y=cosx (xR)
y
1 -4 -3 -2 -
3、 周期函数的周期T往往是多值的（如y=sinx 2,4,…,-2,-4,…都是周 期）
A cos( x ) 的周期是
2
二.奇偶性
3 5 2
2 3
2
y
1
2
O
2
(1) f ( x ) sin x , x R 任意x R f ( x ) sin( x ) sin x f ( x ) f ( x ) sin x , x R y 为奇函数
o
-1
2
3
4
5
6
x
一.周期性
对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得 当x取定义域内的每一个值时，都有 f (x+T)=f (x)
那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个 函数的周期。
正弦函数是周期函数， 注：1 、T要是非零常数 2k (k Z且k
0) ，最小
上时，曲线逐渐下降， sinα的值由1 减小到 1 。
探究：正弦函数的单调性 y
1
3 5 2
2 3
2
2
O
2
1
3 2
2
5 2
3
x
正弦函数在每个闭区间[ 2 k , 2 k ]( k Z ) 2 2 都是增函数，其值从－1增大到1； 3 而在每个闭区间[ 2 k , 2 k ]( k Z )上都是 2 2 减函数，其值从1减小到－1。
1
1
3 2
2
5 2
3
x
3 5 2
2 3
2
2
O
2
1
3 2
2
5 2
3
x
(2) f ( x ) cos x , x R 任意x R f ( x ) cos( x ) cos x f ( x ) f ( x ) cos x , x R 为偶函数
3
x
(1)sinx > 0 : (0 2k , 2k )
kZ kZ
(2)sin x 0 :( 2k , 0 2k )
y
1
(1)cos x 0 : (2)cos x 0 :
3 5 2
2 3
2
(
2
2
O
2k
1
,
2
2
3 2
探究：余弦函数的单调性 y
1
3 5 2
2 3
2
2
O
2
1
3 2
2
5 2
3
x
[ ， 0]、 [ ， 2 ][3 , 4 ] 上时， 当x在区间 [ 3 , 2 ]、
曲线逐渐上升，cosα的值由 1 增大到1 。
[0， ]、 [2 ， 3 ] 上时， 当x在区间 [ 2 , ]、
R
3 { x | 2 k x 2k , k Z} 2 2
[0,1]
[0,2]
(3) y 2sin(2 x ), x [ , ] 3 6 6
四.最值
探究：正弦函数的最大值和最小值 y
1
3 5 2
2 3
2
2
O
2
1
五、余弦函数的单调性
y
1 -3
5 2
-2
3 2
-
2
o
-1
2
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
cosx
- -1
…
2
…
0
1
…
2
…
-1
0
0
y=cosx (xR) 增区间为 [
+2k , 2
+2k],kZ 其值从-1增至1 其值从 1减至-1
+ ], kZ 减区间为 [2k, 2k，
练习
P46 (4) y 4 sin x
x [ , ]
先画草图，然后根据草图判断
y
4
3 5 2
2 3
2
2
O
2
4
3 2
2
5 2
3
x
练习
P46 练习1
3 5 2
2 3
2
y
1
2
O
2
1
3 2
2
5 2
2
与x轴的交点： (0,0) ( ,0) (2 ,0)
-
注意：函数图 像的凹凸性！
,1)
最低点： ( 3 ,1)
2
余弦函数 图像特征：
-1
y
y cos x
-
x [0, 2 ]
1-
o
-1 -
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
在函数 y cos x, x [0, 2 ] 的图象上，起关键作用的点有：
三.定义域和值域
y
1
3 5 2
2 3
2
2
O
2
1
3 2
2
5 2
3
x
正弦函数 y sin x
定义域：R 值域：[-1，1] y
1
2
O
2
3 5 2
2 3
2
1
3 2
2
5 2
3
x
余弦函数 y cos x 定义域：R 值域：[-1，1]
-1+1=0.
练习.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最 小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.
(1)y cos x 1, x R; (2)y 3sin 2 x, x R.
解： （2）令t=2x,因为使函数y 3sin t , t R 取最大值的t的集合是 {t | t 2k , k Z } 2 由 2 x t 2k 得 x k 2 4 所以使函数 y 3sin 2 x, x R取最大值的x的集合是