泛函分析第4章内积空间

第四章 积空间

在第三章中，我们把n 维Euclid 空间n R 中的向量的模长推广到一般线性空间中去，得到了赋线性空间的概念。但在n R 中可以通过两个向量的夹角讨论向量与方向的问题。这对仅有模长概念的赋线性空间是做不到的。我们知道，n R 中向量的夹角是通过向量的积描述的，因此在本章我们引入了一般的积空间的概念。

4.1 积空间的基本概念

首先回忆几何空间3R 中向量积的概念。设123(,,)x t t t =，123(,,)y s s s R =∈，设x 与y 夹角为ϕ，由解析几何知识可得

112233

cos t s t s t s x y

ϕ++=

⋅

其中， 13

2

2

1

()k k x t ==∑，13

22

1

()k k y s ==∑

令3

1

,k k k x y t s ==∑，称为x 与y 的积，不难证明它有如下性质：

（1）3,0,,,0;x y x R x x x θ≥∀∈=⇔=且 （2）3,,,,;x y y x x y R =∀∈

（3）3121212,,,,,,;x x y x y x y x x y R +=+∀∈ （4）3,,,,,.x y x y R x y R λλλ=∀∈∀∈

注：由定义可得x =

我们可以讨论如向量的直交及投影等重要几何问题。

现在我们引入一般的积空间的概念。

【定义 4.1】 设X 为数域F 上线性空间，若对任两个元素（向量）x ，y X ∈，有惟一F 中数与之对应，记为,x y ，并且满足如下性质：

（1）,0,,,0;x y x X x x x θ≥∀∈=⇔=且 （2）,,,,;x y y x x y X =∀∈

（3）121212,,,,,,;x x y x y x y x x y X +=+∀∈ （4）,,,,,;x y x y F x y X λλλ=∀∈∀∈

则称,x y 为x 与y 的积，有了积的线性空间叫做积空间，当F 为实数域R （或复数域C ），叫X 为实（或复）积空间。

注:由性质（3）与性质（4）知，积运算关于第一变元是线性的。

由性质（2）与性质（4）可推知,,x y x y λλ=.于是当X 为积空间时，积关于第二个变元也是线性的。而常称,,x y x y λλ=为共轭齐次性，因此在X 为赋积空间时，积是共轭线性的。

今后讨论中不加注明时，恒设X 为复积空间。

【引理 4.1】（Schwaraz 不等式） 设X 为积空间，对任意x ，y X ∈，成立不等式

,x y ≤证明：若y θ=，则任x X ∈，有,0x θ=，则显然不等式成立。现在设y θ≠，则F λ∀∈，有

2

0,,,,,x y x y x x x y y x y y λλλλλ

≤++=+++

取,,x y y y

λ=-

代入上式可得2

,,0,x y x x y y

-

≥，由此可得

,x y ≤

证毕。

【定理 4.1】 设X 为积空间，对任x X ∈，令x =x 是x 的数。

证明：因数的前两条性质可直接由积的性质推出，我们仅验证它满足第三条性质（即三角不等式）。事实上

2

,,,,,x y x y x y x x x y y x y y +≤++=+++

2

2

22()x x y y x y ≤+⋅+=+

故有x y x y +=+.证毕。

注：常称x =

义下，第二章关于赋线性空间的有关容都适用于积空间。特别当积空间X 按由积导出的数完备的，称X 为Hilbert 空间。

以下介绍几个常用的Hilbert 空间的例子。

例 4.1 n F 表示（实或复）Euclid 空间，对于12(,,,)n x t t t =，12(,,,)n n y s s s F =∈，

类似于几何空间3R 中向量的积定义，令

1,n

n n k x y t s ==⋅∑

不难验证n F 成为一个Euclid 空间。 例 4.2 2

2

121

{(,,

,):,,1,2,}n

n n n i l x t t t t t F n ===<∞∈=∑，当12(,,

,)n x t t t =，

212(,,

,)n y s s s l =∈时，令

1

,n n k x y t s ∞

==⋅∑

容易证明2l 成为积空间。以下证明2l 为Hilbert 空间。任取Cauchy 列n x =

()()

()

212(,,

,)n n n n t t t l ∈，则对任0,,N ε>∃当,n m N >时，有

1

2()

()21

()n m n m k

k

k x x t

t

ε∞

=-=-<∑

因而有

()()(1,2,)n m k k t t k ε-<=

故数列()2

1

{}n k n t l F ∞=∈⊂是Cauchy 列，因数域F 完备，则存在(1,2,)k s F k ∈=，使 ()

lim n k k n t s →∞

=，令12(,,)x s s =，则任1,2,k =，当,n m N >时，有

22

()

()21

k

n m i

i

n m

i t

t

x x ε=-≤-<∑

则令m →∞，对每个n N ≥及任1,2,

k =，有

2

()21

k

n i i i t s ε=-≤∑