0.618与二分法的学习
最优化理论与方法
最优化理论与方法综述李超雄最优化方法是近几十年形成的，它主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。
最优化方法的主要研究对象是各种管理问题及其生产经营活动。
最优化方法的目的在于针对所研究的系统，求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案，发挥和提高系统的效能及效益，最终达到系统的最优目标。
实践表明，随着科学技术的日益进步和生产经营的日益发展，最优化方法已成为管理科学的重要理论基础和不可缺少的方法，被人们广泛地应用到公共管理、经济管理、工程建设、国防等各个领域，发挥着越来越重要的作用。
这就是我理解的整个课程的流程。
在这整个学习的过程当中，当然也会遇到很多的问题，不论是从理论上的还是从实际将算法编写出程序来解决一些问题。
下面给出学习该课程的必要性及结合老师讲解以及在作业过程中遇到的问题来阐述自己对该课程的理解。
20世纪40年代以来，由于生产和科学研究突飞猛进地发展，特别是电子计算机日益广泛应用，使最优化问题的研究不仅成为一种迫切需要，而且有了求解的有力工具。
因此最优化理论和算法迅速发展起来，形成一个新的学科。
至今已出现线性规划、整数规划、非线性规划、几何规划、动态规划、随机规划、网络流等许多分文。
最优化理论与算法包括线性规划单纯形方法、对偶理论、灵敏度分析、运输问题、内点算法、非线性规划K-T条件、无约束最优化方法、约束最优化方法、参数线性规划、运输问题、线性规划路径跟踪法、信赖域方法、二次规划路径跟踪法、整数规划和动态规划等内容。
最优化理论所研究的问题是讨论在众多的方案中什么样的方案最优以及怎样找出最优方案。
这类问题普遍存在。
例如，工程设计中怎样选择设计参数，使得设计方案满足设计要求，又能降低成本；资源分配中，怎样分配有限资源，使得分配方案既能满足各方面的基本要求，又能获得好的经济效益；生产评价安排中，选择怎样的计划方案才能提高产值和利润；原料配比问题中，怎样确定各种成分的比例，才能提高质量，降低成本；城建规划中，怎样安排基本单位的合理布局，才能方便群众，有利于城市各行各业的发展；农田规划中，怎样安排各种农作物的合理布局，才能保持高产稳产，发挥地区优势；军事指挥中，怎样确定最佳作战方案，才能有效地消灭敌人，保存自己，有利于战争的全局；在人类活动的各个领域中，诸如此类，不胜枚举。
华罗庚倡导的0.618法 -回复
华罗庚倡导的0.618法-回复华罗庚是中国著名数学家，他倡导的0.618法，也被称为黄金分割法，是一种在数学、艺术和自然界中普遍存在的比例。
这种比例的应用广泛，不仅能够帮助我们更好地理解世界，还能用于设计、美学和金融等领域。
黄金分割法最初起源于古希腊，它是指一个数与它的整体的比例等于整体与部分的比例。
具体而言，这个比例是0.61803398875：1，也可以简写为0.618。
这个具有神秘魅力的比例在自然界中随处可见，比如树叶的排列方式、海浪的起伏、风景的构图等等。
为了更好地理解黄金分割法，我们可以从一个简单的例子开始。
假设有一段线段AB，如果将整个线段按照黄金分割法划分，则BC与AB的比例等于AB与AC的比例。
这个比例恰好是0.618，也就是黄金分割比例。
当我们继续将线段BC划分，使得CD与BC的比例等于BC与BD 的比例，同样可以得到0.618的比例。
这种划分可以一直延伸下去，创造出一条无限递归的线段，被称为黄金螺旋。
黄金螺旋在数学中起到了至关重要的作用。
它具有非常特殊的性质，其中最重要的一点是其形状的自相似性。
也就是说，黄金螺旋的每个部分都与整体具有相同的形状。
这种自相似性在数学、物理学和生物学等领域中有广泛的应用，可以用于模拟天体运动、解决微分方程、描述DNA的结构等等。
此外，黄金分割法还被广泛应用于艺术和设计中。
众所周知，许多伟大的艺术品和建筑都使用了黄金分割法，以达到更好的视觉效果和平衡感。
比如古希腊的帕台农神殿和米开朗基罗的《创造亚当》都运用了黄金分割法。
此外，黄金分割法还可以用于网页设计、平面设计和摄影中，帮助设计师打造出更具吸引力的作品。
在金融领域，黄金分割法也被应用于分析股票和货币市场。
研究者发现，股票价格和货币价格的涨跌往往符合黄金分割法的比例。
通过将价格趋势划分为0.618的比例，可以预测未来的价格波动，为投资者提供有价值的参考。
从数学到艺术，从自然到金融，黄金分割法以其独特的美学原则和实用效果在各个领域展现出卓越的价值。
工程优化 第4章-4
优点：计算量较少，而且总能收敛到一个局部极小点。 缺点：收敛速度较慢
牛顿法（Newton）---基本思想
牛顿法是一种函数逼近法，基本思想是：在极小点附近用 函数的二阶泰勒多项式近似代替目标函数，从而求得目标函数 的极小点的近似值。 对 f (x) 在 x k 点二阶泰勒展开：
f ( x) f ( xk ) f '( xk )( x xk )
从极值的必要条件 P x a1 2a2 x 0
求得
x a1 / 2a2
求出系数 a1 和 a2 ，就可得到极小点的表达式。
x a1 / 2a2
1 x 2 x
2 2 2
2 x3 f1 x32 x12 f 2 x12 x22 f 3
P x1 a0 a1 x1 a2 x12 f1 f x1
（1） （2） （3）
P x2 a0 a1 x2 a2 x22 f2 f x2
P x3 a0 a1 x3 a2 x32 f3 f x3
插值法---求二次插值多项式的极小点
0, 令 k 1 。 步骤1：给定初始点 x1 R，
步骤2：计算 f '( xk ), f ''( xk ) 。
步骤3：若 f '( xk ) ，停止，x* xk ，否则转步骤4。 步骤4：计算
f '( xk ) xk 1 =xk f ''( xk )
令 k k 1，转步骤2。 特点：收敛速度快，局部二阶收敛。 缺点：须计算二次导数，工作量大；对初始点要求高，要求初 始点离极小点不太远，否则有可能使极小化发散或收敛到非极 小点；局部收敛。
华罗庚0.618法
华罗庚0.618法
该法则最早来源于古希腊数学，被认为具有美学上的完美比例。
华罗庚是中国著名数学家，他将黄金分割法引入中国，并在建筑设
计中广泛应用。
在建筑设计中，华罗庚0.618法可以用于确定建筑物的比例尺寸。
按照该法则，建筑物的不同部分的尺寸比例应接近黄金比例。
这被认为可以增加建筑物的美感和谐度。
在艺术和设计领域，华罗庚0.618法可以用于构图和比例的规划。
按照该法则，艺术品或设计作品的各个元素的尺寸比例应接近
黄金比例，以达到视觉上的平衡和美感。
在金融领域，华罗庚0.618法也有一定的应用。
根据该法则，
金融市场的价格波动可能会遵循黄金分割比例。
一些技术分析师使
用这一比例来预测价格的走势和支撑位、阻力位的位置。
然而，需要注意的是，华罗庚0.618法并非是一种严格的科学
法则，它只是一种经验性的规律。
在实际应用中，不同的领域和情
境可能会有不同的规律和需求，因此并不是所有的设计或分析都需
要严格遵循黄金分割比例。
总结起来，华罗庚0.618法是一种基于黄金比例的数学应用，被广泛应用于建筑、艺术、设计和金融领域。
它可以用于确定比例尺寸、构图规划和价格预测等方面。
然而，它并非是一种绝对的法则，实际应用时需要结合具体情况进行灵活运用。
运筹学0.618法解题思路
运筹学0.618法解题思路
0.618法，也称黄金分割法，是一种常用于优化问题的搜索方法。
它基于黄金比例0.618（或其倒数1.618）的特性，通过逐步逼近最优解。
下面是使用0.618法解决一个简单优化问题的思路：
确定搜索区间：首先，我们需要确定一个初始的搜索区间 [a, b]，其中 a 和 b 是待求解问题的取值范围。
计算取点：根据黄金分割法的原理，我们计算两个内点x1 和 x2，满足以下关系：
x1 = b - 0.618 * (b - a)
x2 = a + 0.618 * (b - a)
比较函数值：计算函数在 x1 和 x2 处的值 f(x1) 和f(x2)。
更新搜索区间：
若 f(x1) < f(x2)，则最优解位于 [a, x2] 区间内，更新搜索区间为 [a, x2]。
若 f(x1) > f(x2)，则最优解位于 [x1, b] 区间内，更新搜索区间为 [x1, b]。
若 f(x1) ≈ f(x2)，则最优解位于 [x1, x2] 区间内，更新搜索区间为 [x1, x2]。
重复步骤2至4，直至达到终止条件，例如达到预设的迭代次数或搜索区间的长度小于给定的阈值。
输出结果：最终搜索区间的中点即为近似的最优解。
需要注意的是，0.618法是一种启发式搜索方法，其结果可能接近但不一定是全局最优解。
因此，在使用该方法时，需要结合具体问题的性质和要求来评估结果的有效性。
希望这个解题思路对您有所帮助！。
初中数学黄金三角形的知识点(一)2024
初中数学黄金三角形的知识点（一）引言概述：初中数学中，黄金三角形是一个重要的概念。
黄金三角形是指一个等腰三角形，其两短边之比等于两短边中短边的比例（约为1.618）。
黄金三角形在几何图形、比例关系等方面有着广泛的应用。
本文将介绍初中数学黄金三角形的知识点，包括构造黄金三角形的方法、黄金比例的计算及应用等等。
正文内容：1. 构造黄金三角形的方法- 方法一：利用正方形构造黄金三角形- 步骤一：先画一个正方形- 步骤二：将正方形边长分成两部分，其中较长的一部分为黄金比例的1，较短的一部分为黄金比例的0.618- 步骤三：以较短部分为边长，作一个正方形- 步骤四：连接正方形两个顶点与原正方形相应端点，得到一个黄金三角形- 方法二：利用等边三角形构造黄金三角形- 步骤一：画一个等边三角形- 步骤二：将等边三角形的底边分为三等分，取其中一段- 步骤三：以这一段为底边，作一个等边三角形- 步骤四：连接新等边三角形的两个顶点与原等边三角形的顶点，得到一个黄金三角形- 方法三：利用黄金矩形构造黄金三角形- 步骤一：画一个黄金矩形，即长边与短边的比例为黄金比例- 步骤二：以短边为底边，作一个正方形- 步骤三：以正方形的边长为半径，以底边上一点为圆心作一条弧- 步骤四：连接弧与正方形的两个顶点，得到一个黄金三角形2. 黄金比例的计算- 黄金比例的定义和性质- 黄金比例的近似值计算方法（如递推法、二分法等）- 黄金比例的无理性证明3. 黄金三角形的性质- 两个黄金三角形的关系（如相似性）- 黄金三角形的内角及边长性质- 黄金三角形的等边三角形关系4. 黄金三角形的应用- 建筑中的黄金比例运用（如帕特农神庙、埃菲尔铁塔等）- 美术作品中的黄金比例运用（如黄金分割法）- 数列中的黄金比例（如斐波那契数列）5. 黄金三角形的相关练习- 初中数学题目中与黄金三角形有关的习题练习- 黄金三角形相关的实际问题解答总结：黄金三角形作为初中数学相关的一个重要概念，通过构造方法、黄金比例计算、性质以及应用等方面的介绍，使我们对黄金三角形有了更深入的认识。
华罗庚0.618法
华罗庚0.618法
华罗庚，我国著名的数学家，他在数学领域的贡献举世闻名。
他的研究涉及许多数学分支，其中包括黄金分割比例0.618。
华罗庚0.618法，即黄金分割法，是一种求解优化问题的数学方法。
0.618法是基于黄金分割比例的数值计算方法。
黄金分割比例是一个无理数，约等于0.618，它在数学、艺术、自然界等许多领域都有着广泛的应用。
在数学领域，0.618法主要用于求解优化问题，如最值问题、插值问题等。
通过利用黄金分割比例的特性，0.618法能够在较短时间内找到问题的最优解。
0.618法的应用领域非常广泛，包括工程、经济、管理、生物等。
在工程领域，0.618法可以用于优化设计、计算结构强度等；在经济领域，0.618法可以用于投资决策、风险评估等；在管理领域，0.618法可以用于制定战略、规划发展等。
在我国，0.618法的研究和应用得到了广泛关注。
许多学者致力于研究0.618法的改进和拓展，如引入黄金分割搜索区间法、黄金分割复合搜索法等。
这些研究为我国的经济、科技、社会发展提供了有力支持。
总之，华罗庚0.618法作为一种求解优化问题的数学方法，在我国得到了广泛的应用和发展。
它不仅在数学领域具有重要意义，还为其他领域的创新发展提供了有力工具。
华罗庚倡导的0.618法
华罗庚倡导的0.618法
黄金分割法是指将一条线段分割为两部分，使整条线段与较短
部分的比例等于较短部分与较长部分的比例。
这个比例约等于
0.618，或者其倒数1.618。
这个比例被认为是一种美学上的理想比例，被广泛应用于艺术和设计中，被认为能够产生视觉上的和谐和
平衡。
在建筑设计中，黄金分割法被用于确定建筑物的比例和比例关系，以使建筑物看起来更加美观和协调。
在绘画和摄影中，黄金分
割法被用于构图和布局，以使画面更加吸引人。
在金融领域，黄金
分割法被用于技术分析和市场预测，以确定价格波动的趋势和可能
的支撑位和阻力位。
黄金分割法不仅仅应用于线段的分割，还可以应用于面积、体
积和时间等方面的比例关系。
例如，黄金长方形是一个长宽比接近
黄金分割比例的长方形，被认为是一种视觉上美观的形状。
尽管黄金分割法在许多领域被广泛应用，但它也有一些争议。
一些人认为，黄金分割法只是一种主观的美学标准，没有科学依据。
另外，有些人认为，过度追求黄金分割法可能导致刻板的设计和缺
乏创新。
总的来说，华罗庚倡导的0.618法即黄金分割法是一种被广泛应用于艺术、设计、建筑和金融等领域的比例关系。
它被认为能够产生视觉上的和谐和平衡，但也存在一些争议。
0.618法
2012-2013（1）专业课程实践论文0.618法王硕，0818180112，R数学08-1班王曹旭，0818180106，R数学08-1班柳希元，0818180127，R数学08-1班一、算法理论618.0法适用于单峰函数，即在所论区间[]b a ,上，函数只有一个极小点x ，在极小点左边，函数单调下降；在极小点右边，函数单调上升。
易见，对于单峰函数，只需选择两个试探点1x ，[]b a x ,2∈，且1x 2x <，就可将包含极小点x 的区间缩短，事实上，必有：若),()(21x f x f >则[]b x x ,1∈；若),()(21x f x f ≤则[]2,x a x ∈.根据单峰函数的这个性质，就可不断迭代缩小包含极小点的区间，最终618.0法取试探点的规则为： ()k k k k a b a -+=382.0λ()k k k k a b a -+=618.0μ详细计算步骤如下：1. 置初始区间[]b a ,及精度要求,0>ε计算试探点)(382.01111a b a -+=λ)(618.01111a b a -+=μ和函数值)()(11μλf f 和，令1=k ；2. 若ε<-k k a b ，停止计算，[]k k b a ,中任意点均可作为所求极小点的近似. 否则，当()k k f f μλ>)(时，转3；当()k k f f μλ≤)(时，转4；3. 置,1,11,k k k k k k b b a μλλ===+++计算(),618.01111++++-+=k k k k a b a μ),(1+k f μ转5；4. 置k k k k k k b a a λμμ===+++111,,，计算()1111382.0++++-+=k k k k a b a λ和(),1+k f λ转55. 令,1+=k k 回2#include<iostream>#include<math.h>using namespace std;double f(double x)//在此输入单峰函数{return 2*pow(x,2)-x-1;}double computeTheValueOfR(double a,double b);//R是λ,a是Ak,b是Bk double computeTheValueOfM(double a,double b);//M是μ,a是Ak,b是Bk int computeMathod(double a,double b,double E);//a是A0,b是B0,E是εint getTheElements(double *a,double *b,double *E);//请求输入范围int main(){double a,b,E;double *a1,*b1,*E1;a1=&a;b1=&b;E1=&E;getTheElements(a1,b1,E1);if(a>=b||E<=0) //Error checking{cout<<"Values you input must be a0<b0, and E must greate than 0"<<endl;return 1;}computeMathod(a,b,E);return 0;}double computeTheValueOfR(double a,double b)//R是λ,a是Ak,b是Bk {return a+0.382*(b-a);}double computeTheValueOfM(double a,double b)//M是μ,a是Ak,b是Bk {return a+0.618*(b-a);}int computeMathod(double a,double b,double E)//a是A0,b是B0,E是ε{double R=computeTheValueOfR(a,b);//计算λ1double M=computeTheValueOfM(a,b);//计算μ1cout<<"a="<<a<<" b="<<b<<" R="<<R<<" M="<<M<<" f(R)="<<f(R)<<" f(M)="<<f(M)<<endl;while(b-a>E)//判断是否达到精度{if(f(R)>f(M)){a=R;b=b;R=M;M=computeTheValueOfM(a,b);cout<<"a="<<a<<" b="<<b<<" R="<<R<<" M="<<M<<"f(R)="<<f(R)<<" f(M)="<<f(M)<<endl;}else if(f(R)<=f(M)){a=a;b=M;M=R;R=computeTheValueOfR(a,b);cout<<"a="<<a<<" b="<<b<<" R="<<R<<" M="<<M<<"f(R)="<<f(R)<<" f(M)="<<f(M)<<endl;}}cout<<"The best solution is between "<<a<<" and "<<b<<endl;return 0;}int getTheElements(double *a,double *b,double *E){double element;cout<<"Please input a0 (a0<b0):"<<endl;cin>>*a;cout<<"Please input b0 (a0<b0):"<<endl;cin>>*b;cout<<"Please input E (E>0)"<<endl;cin>>*E;return 0;}四、算法实现例1.用0.618法解下列问题12)(min 2--=x x x f初始区间为[][]16.01,1,11=-=εb a 。
华罗庚的0.618优选法
华罗庚的0.618优选法华罗庚是中国著名的数学家，也是国内外公认的“数学奇才”。
他在数学研究领域做出了许多重要的贡献，其中包括0.618优选法。
本文将介绍华罗庚的0.618优选法的原理和应用。
一、0.618优选法的原理华罗庚的0.618优选法是基于黄金分割的原理。
黄金分割是指将一段线段分割为两个部分，使整段线段与较长的部分之比等于较长的部分与较短的部分之比。
该比例约等于1：0.618（或约等于0.618：1），即0.618是黄金分割的比例之一。
在数学中，黄金分割比例0.618被广泛应用于各个领域。
华罗庚将这一比例引入数学模型，并运用到实际问题的研究中，提出了0.618优选法。
二、0.618优选法的应用1. 金融领域0.618优选法在金融领域的应用尤为广泛。
金融市场中存在着许多波动，而这种波动具有一定的规律性。
利用0.618优选法可以帮助投资者预测金融市场价格的涨跌趋势，并进行精确的买卖决策。
根据0.618优选法，投资者可以通过计算最高价与最低价之间的0.618和1.618的比例来确定买入和卖出的时机。
当价格接近0.618比例时，投资者可以考虑买入；当价格接近1.618比例时，考虑卖出。
2. 工程设计0.618优选法在工程设计中的应用也非常广泛。
在建筑设计中，黄金分割比例被广泛运用于各个部分的尺寸设定，使建筑物更加美观、谐调。
根据0.618优选法，设计师可以将建筑物的比例按照0.618的比例进行分割，使整体造型更加均衡和谐。
同时，比例的运用还可以在细节处展现金融市场中0.618优选法的精髓，进一步提升设计的美感。
3. 股票市场0.618优选法对股票市场也有一定的应用。
在股票的买卖决策中，投资者可以利用0.618黄金分割比例来判断股价的涨跌趋势。
以股票价格为基准，投资者可以观察价格的波动，并利用0.618黄金分割比例来确定进退。
当股价上涨到接近0.618比例时，即达到了一个低风险买入点；当股价上涨到接近1.618比例时，即达到了一个高风险卖出点。
三、黄金分割法——0.618法
三、黄金分割法——0.618法 知识与技能： 黄金分割法——0.618法是非常著名的优选法，在生产实践中有广泛应用，通过学习这一内容，不仅可以使学生学会一种用数学知识解决实际问题的方法（数学建模），了解黄金分割常数，而且还可以使学生感受数学在解决实际问题中的作用.情感、态度与价值：通过本课学习，增加学生的数学文化内涵，让学生感受到数学的美.教学过程一、黄金分割常数对于一般的单峰函数，如何安排试点才能迅速找到最佳点？假设因素区间为[0, 1]，取两个试点102、101 ，那么对峰值在)101,0(中的单峰函数，两次试验便去掉了长度为54的区间(图1)；但对于峰值在)1,102(的函数，只能去掉长度 为101的区间(图2)，试验效率就不理想了.怎样选取各个试点，可以最快地达到或接近最佳点？在安排试点时，最好使两个试点关于[a ,b ]的中心 2b a + 对称. 为了使每次去掉的区间有一定的规律性，我们这样来考虑：每次舍去的区间占舍去前的区间的比例数相同.黄金分割常数：251+-，用ω表示. 试验方法中，利用黄金分割常数ω确定试点的方法叫做黄金分割法.由于215-是无理数，具体应用时，我们往往取其近似值0.618.相应地，也把黄金分割法叫做0.618法.二、黄金分割法——0.618法例.炼钢时通过加入含有特定化学元素的材料，使炼出的钢满足一定的指标要求.假设为了炼出某种特定用途的钢，每吨需要加入某元素的量在1000g 到2000g 之间，问如何通过试验的方法找到它的最优加入量？我们用存优范围与原始范围的比值来衡量一种试验方法的效率，这个比值叫做精度，即n 次试验后的精度为原始的因素范围次试验后的存优范围n n =δ 用0.618法确定试点时，从第2次试验开始，每一次试验都把存优范围缩小为原来的0.618.因此，n 次试验后的精度为1618.0-=n n δ一般地，给定精度δ，为了达到这个精度，所要做的试验次数n 满足,1618.01<≤-δn 即.0lg 618.0lg )1(<≤-δn 所以.1618.0lg lg +≥δn 黄金分割法适用目标函数为单峰的情形，第1个试验点确定在因素范围的0.618处，后续试点可以用“加两头，减中间”的方法来确定.课后作业1.阅读教材P . 5-P .10；2.《学案》第一讲第三课时.教学后记《春雨的色彩》说课稿一、教材内容分析：春天里万物复苏，百花争艳、绿草如荫、一派迷人的景色。
0.618法
（1）若f (k )>f (k ),由单峰函数性质 有x [k , bk ],因此令 a k 1 k , bk 1 bk
(ak 1 )
(bk 1 )
Байду номын сангаас
0.618法公式推导
（2）若f (k ) f (k ),由单峰函数性质 有x [ak , k ],因此令 a k 1 ak , bk 1 k
k 1 ak 1 2 (bk 1 ak 1 )
k 2 (bk k ) =k bk
2
由上述推论可以看出，除第一次 迭代外，之后每次迭代只需要再
计算一个试探点，从而节省了计 [ak (1 )(bk ak )] 2bk 算量。 ak (bk ak )
谢谢观赏
f ( k )
-1.125 -0.970 -1.125 -1.106 -1.125 -1.123
经6次迭代达后满足： b7 a7 0.111 0.16
最优化算法【线搜索-黄金分割（0.618）算法】
最优化算法【线搜索-黄⾦分割（0.618）算法】使⽤条件优化函数在搜索区间内为单峰函数算法算法类似于⼆分查找算法，能够求单峰函数在搜索区间的极值算法如下：step0:确定单峰函数f(x)的搜索区间[a0,b0]；容错误差δ=a−b, ϵ=f(b)−f(a) ,t=0.618;p=a0+(1−t)(b0−a0),q=a0+t(b0−a0) step1:f(p)<=f(q)yes,to step 2 no,to step 3step2:if |f(b)-f(a)| >= $\epsilon or |b-a|>=\delta$b=q,f(b)=f(q), q=p, f(q)=f(p);p=a+(1-t)(b-a), resolve f(p);elsestop;print p;\\p为求得极值点step3:if |f(b)-f(a)| >= $\epsilon or |b-a|>\delta$a=p,f(a)=f(p), p=q, f(p)=f(q);q=a+t(b-a), resolve f(q);elsestop;print q;\\p为求得极值点算法实现函数：function [R,loos,loos_t] = xiansousuo_golds(func,a,b,delta,epsilon,iterate) t = (sqrt(5)-1)/2;p = a+(1-t)*(b-a);q = a+t*(b-a);f_a=func(a);f_b=func(b);f_p = func(p);f_q = func(q);R=zeros(1,2);loos_t = zeros(iterate,1);loos = zeros(1,2);%step1k=0;while abs(f_b-f_a)>=epsilon || abs(b-a) >= delta || k < iteratek=k+1;loos_t(k,1)=abs(f_b-f_a);if f_p <= f_qb=q;f_b=f_q;q=p;f_q =f_p;p=a+(1-t)*(b-a);f_p = func(p);elsea=p;f_a=f_p;p=q;{f_p =f_q;q=a+t*(b-a);f_q=func(q);end%disp([p,abs(f_b-f_a)]);endif f_p <= f_qR(1,1)=p;R(1,2)=func(p);elseR(1,1)=q;R(1,2)=func(q);endloos=[abs(b-a),abs(f_b-f_a)];endmain函数clc;close all;iterate=30;func=@(s) s^2-sin(s);[R,loos,loos_t]=xiansousuo_golds(func,0,1,1e-4,1e-5,iterate);disp(R);disp(loos);figure(1);plot(1:iterate,loos_t);figure(2);t=linspace(0,1,iterate);y=zeros(iterate,1);for i =1:iteratey(i,1)=func(t(i));endplot(t,y);hold on;minimum = fminbnd(func,0,1);f_min=func(minimum);plot(minimum,f_min,'rp','MarkerSize',10);text(minimum,f_min,['(',num2str(minimum),',',num2str(f_min),')'],'color','b'); disp([minimum,f_min]);epsilon随迭代变化所求函数及极⼩值conclusion1. 算法求得结果和matlab极⼩值函数结果相同，精度较⾼；2. 对于应⽤范围有限制【单峰函数】。
0.618法的原理
0.618法的原理0.618法，也被称为“黄金分割法”或“黄金比例”，是一种数学上的比例关系，其比值约等于0.618。
这一比例关系在许多方面都可以观察到，如自然界的植物生长、艺术品的构图、建筑物的设计等等。
0.618法在各个领域中有着广泛的应用，下面将详细介绍它的原理及其应用。
0.618法的原理可以追溯到古希腊数学家欧几里得所研究的黄金比例。
黄金比例是指将一条线段分成两部分，使整个线段与较长一部分的比值等于较长一部分与较短一部分的比值。
这个比值为0.618，或者其倒数1.618。
这种比例关系在古代被广泛应用于建筑物的设计，使得建筑物更加和谐美观。
0.618法的原理还可以通过斐波那契数列来解释。
斐波那契数列是一个每个数等于前两个数之和的数列，即0、1、1、2、3、5、8、13、21……可以发现，随着数列的增长，每个数与其前一个数的比值接近0.618。
当数列无限延伸时，这一比值会收敛至0.618。
0.618法就是利用斐波那契数列中的这一特性来进行计算和应用的。
在金融领域中，0.618法可以用于股票和市场趋势的分析。
通过观察股价的涨跌幅度，可以发现股价在上升的过程中，每次回调或调整的幅度都与前一次上升波动的幅度之比约等于0.618。
同样的，当股价下降时，每次反弹的幅度和前一次下降波动的幅度之比也约等于0.618。
基于这一原理，投资者可以利用0.618法来确定买入和卖出的时机，以获取更好的收益。
在艺术设计方面，0.618法被广泛应用于构图和布局的设计中。
根据0.618法，将画布或图像分成两部分，使较长部分与整个画布或图像的比值等于0.618。
这样的设计更符合人眼的观感，看起来更加和谐美观。
这一原理也可以应用于网页设计、平面设计等多个领域，提高作品的美感和视觉效果。
在自然界中，许多植物的生长和结构也遵循0.618法。
例如，树干和树枝的比例关系、花朵瓣的排列方式等都可以用黄金比例来解释。
这种黄金比例的存在使得植物看起来更加优美和谐，同时也便于水分和养分的传递和循环。
0.618法和二分法的MATLAB程序及实验比较 最优化
最优化实验报告一学号：1186320…姓名：一、实验目的1.能够对具体的问题用适合的最优化方法进行求解。
2.对同一个问题用不同的进行求解并比较优劣。
二、实验方法利用MATLAB软件，用0.618法和二分法求解问题。
三、实验题目书本p271.求解minf(x)=x^2-x-1.初始区间为[-1,1]，区间精度为0.05.2.求minf(x)=x^3-2x+1的近似解，初始搜索区间为[0,3],区间精度为0.15.3.minf(x)=x^3-3*x+1,初始区间为[0,1],区间精度为0.104.minf(x)=x^4+2*x+4;初始区间为[0,2]，区间精度为0.055.minf(x)=3*x^4-4*x^3+12*x^2,初始区间为[-1,2],区间精度为0.02四、解答此外程序的运行时间与电脑的负载有一定的联系。
在进行比较复杂的运算时，电脑空闲空间大，就能更快的输出结果。
五、实验程序1.①用0.618程序function [s,phis,k,G,E]=golds(phi,a,b,delta,epsilon)t=(sqrt(5)-1)/2; h=b-a; phia=feval(phi,a); phib=feval(phi,b);p=a+(1-t)*h; q=a+t*h; phip=feval(phi,p); phiq=feval(phi,q);k=1; G(k,:)=[a, p, q, b];while(abs(phib-phia)>epsilon)|(h>delta)if(phip<phiq)b=q; phib=phiq; q=p; phiq=phip;h=b-a; p=a+(1-t)*h; phip=feval(phi,p);a=p; phia=phip; p=q; phip=phiq;h=b-a; q=a+t*h; phiq=feval(phi,q);endk=k+1; G(k,:)=[a, p, q, b];endds=abs(b-a); dphi=abs(phib-phia);if(phip<=phiq)s=p; phis=phip;elses=q; phis=phiq;endE=[ds,dphi];tic[s,phis,k,G,E]=golds(inline('s^2-s-1'),-1,1,5e-2,5e-2)toc二分法：fdff.m:function dy=fdiff(x)syms x;f=x^2-x-1;dy=fdiff(f);eff.m:function [k,s,G]=eff(phi,a,b,delta,epsilon)h=0.5*(b-a);phia=feval(phi,a);phib=feval(phi,b);p=a+h;phip=feval(phi,p);k=1;G(k,:)=[k,a,b,p,phip];dphip=subs(fdiff,p);dphia=subs(fdiff,a);dphib=subs(fdiff,b);while(abs(phib-phia)>epsilon)|(h>delta)if(dphip*dphib>0)b=p;phib=phip;elsea=p;phia=phip;endh=0.5*(b-a);p=a+h;phip=feval(phi,p);dphip=subs(fdiff,p);dphia=subs(fdiff,a);dphib=subs(fdiff,b);k=k+1;G(k,:)=[k,a,b,p,phip];endtic[k,s,G]=eff(inline('x^2-x-1'),-1,1,5e-2,5e-2) toc。
零点定理应用0.618优选法
零点定理应用0.618优选法零点定理是德国数学家关于非线性方程求根问题的重要定理之一。
它可以用于求解非线性方程的根，并且被广泛应用于优化问题中。
0.618优选法则是基于零点定理提出的一种优化算法，通过不断迭代逼近函数的极值点，使得优化问题的求解更加高效。
0.618优选法是一种近似最优搜索算法，它的核心思想是通过折半搜索来确定函数的最小值或最大值。
具体来说，该方法首先确定一个搜索区间，然后根据零点定理，将搜索区间不断缩小，并逐步逼近极值点。
这一过程中，通过计算函数在区间内两个特定点的函数值，来判断哪一个方向的搜索更加有希望找到极值点。
0.618优选法的具体步骤如下：步骤一：确定初始搜索区间[a, b]，其中a和b是函数可能的极值点。
步骤二：计算在搜索区间内两个特定点的函数值，将其分别记为f(a)和f(b)。
步骤三：通过计算f(a)和f(b)的大小关系，判断函数可能的极大值和极小值。
-如果f(a) > f(b)，则函数可能在最小值点附近。
将当前搜索区间缩小到[a, (b-a)*0.618+a]，重复步骤二。
-如果f(a) < f(b)，则函数可能在最大值点附近。
将当前搜索区间缩小到[(b-a)*0.618+a, b]，重复步骤二。
-如果f(a) = f(b)，则当前搜索区间内可能存在多个极值点，可以选择任意一个继续搜索。
步骤四：重复步骤二和步骤三，直到搜索区间足够小，或者达到预设的迭代次数为止。
步骤五：根据搜索得到的最小值点或最大值点，确定函数的极值点位置。
0.618优选法的核心思想在于通过每次缩小搜索区间的比例为0.618，以逐步逼近极值点。
这一比例是经过统计学研究确定的最佳值，可以得到更好的搜索效果。
与其他搜索算法相比，0.618优选法具有快速、高效等优点，并且在实际应用中得到了广泛的验证和应用。
总结起来，零点定理是一种用于求解非线性方程根的数学定理，而0.618优选法则是基于零点定理提出的一种用于优化问题求解的近似最优搜索算法。
一维搜索方法
一维搜索方法：（方法比较）“成功—失败”法、二分法、0.618法（黄金分割法）、牛顿法、二次插值法、D.S.C法、Powell法、D.S.C—Powell组合法。
1、“成功—失败”法：主要思想：从一点出发，按一定的步长搜索新点，若成功，加大步长继续搜索，否则，缩短步长小步后退。
此方法可以求最优解所在区间，称为“搜索区间”。
2、二分法：主要思想：区间[a,b]的中间值x0，判断f（x）的导数在三个点处的值，舍去一部分区间再求f(x)的极小值。
3、0.618法：等比例收缩原则，每次留下来的区间长度是上次留下来的区间长度的w倍。
以及对称原则、去坏留好原则。
W=0.6184、牛顿法：基本思想：在极小值点附近用目标函数的二阶泰勒多项式近似代替目标函数，从而求得目标函数的极小值点的近似值。
5、二次插值法：牛顿法是在x k附近的目标函数用泰勒多项式近似代替，而此法是将f(x)用二次插值多项式p(x)近似代替。
把p(x)的极小值点作为f(x)极小值点的代替，从来求得函数的极小值。
6、D.S.C法：主要思想：利用成功—失败法寻找靠近极小值点的三点，进行二次插值。
优点是：收敛速度快，且不要求函数可微。
7、Powell法：基本思想：在搜索方向开始得到三点x0,x1,x2后，作二次插值，求得最小值x，在四点中去坏留好，在余下的三点中再作二次插值……8、D.S.C—Powell组合法：几种方法比较：D.S.C—Powell组合法是非常好的一种方法，它比任何一个单个方法都好D.S.C—Powell组合法与0.618法比较：D.S.C—Powell法中函数值的计算要比黄金分割法少得多，一般来讲它优于黄金分割法。
但：D.S.C—Powell法不一定能收敛到最优解。
最速下降法与修正牛顿法：对于正定二次函数，牛顿法一步可以求得最优解，对于非二次函数，牛顿法并不能保证有限次求得其最优解，但由于目标函数在极小值的附近近似于二次函数，故当初始点靠近极小值时，牛顿法收敛的速度比较快。
0.618法 黄金分割法
三、0.618法(黄金分割法)
1. 0.618法的基本原理:
如下图所示，设[a,b]是单谷函数 (t )初始搜索区 间，λ，μ是对称插入的两个点(λ<μ).设搜索区间 长度的缩短比值恒为α，则有:
(1)＝a+(1- )(b-a),1 ( ) (2) a (b a ), 2 ( ) (3)若1 2，令b , , 2 1
绝对误差 |t-t*| 。记a a0 , b b0 , 0.618。
(b
a)
1 2
5
舍去负根，得α＝0.618 即，每次搜索区间的缩短比为α＝0.618，而 插入点λ，μ的位置为：
λ＝b－α(b－a)=a+(1－α)(b－a)
2. 0.618法的算法
• 0.618法的算法如下: 设 (t ) 是单谷函数， a0 , b0 是初始搜索区间，要求 精的确极小点的近似值 t 与精确极小点t*的最大
a
b , 为待定常数。 ba ba
不妨设缩短后的区间为[a,μ]中在插入一个ξ,为使 下一次的搜索区间的长度缩短比仍为α,应有:
a
ba
a a
b a ba a
a
b a (b a ) a ( a) a
a＋(1-（b-a）,1 ( ), 转（4）
（4）若|b-a| 2 ,令t 0.5(b a), 输出t , 计算 停止；否则转（3）。
谢谢
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0.618法的实例研究:一、算法理论黄金分割法是用于一元函数)(x f 在确定的初始区间],[b a 内搜索极小点a '的一种方法。
它是优化计算中的经典算法，以算法简单、效果明显而著称，是许多优化算法的基础。
但它只适用于某个区间上的凸函数。
其基本思想是：依照“去坏留好”原则，对称原则，以及等比收缩原则来逐步缩小搜索范围。
0.618法适用于单峰区间函数，即所在区间],[b a 上。
具体的说，对于单峰函数，只需选择两个试探点，即在区间],[b a 中取点)(382.01a b a x -+=，)(618.02a b a x -+=，且21x x <，就可以将包含极小点*x 的区间缩短。
事实上，必有：若)()(21x f x f >，则],[1*b x x ∈；若)()(21x f x f ≤，则],[2*x a x ∈。
根据单峰函数这个性质，就可以不断迭代缩小包含极小点的区间。
若进行k 次迭代后，有],[*k k b a x ∈，那么我们在区间],[k k b a 取两个试探点)(382.01a b a x -+=，)(618.02a b a x -+=，且21x x <，计算)(),(21x f x f 的值。
如果)()(21x f x f =，令b x a x ==21,，那么计算||b a -，如果ξ≤-||b a （ξ为所给的精度），则*2x b a =+；如果 )()(21x f x f >，令11x a k =+，k k b b =+1；如果)()(21x f x f <，令k k a a =+1，21x b k =+，如此继续。
这样每次可将搜索区间缩小0.328倍或者0.618倍，直至缩为一点。
黄金分割原理如图1所示，其中618.0=K ，区间长度为L 。
该算法为收敛速度很快的一种搜索方法。
图1.二、算法框图三、算法程序用10xf，区间为]8,2[，e取0.01为例x=x-)(2+7用C语言编程程序如下：#include <stdio.h>#include <math.h>#include <stdlib.h>#define f(x) x*x-7*x+10double hj(double *a,double *b,double e,int *n){double x1,x2,s;if(fabs(*b-*a)<=e)s=f((*b+*a)/2);else{x1=*a+0.382*(*b-*a);x2=*a+0.618*(*b-*a);if(f(x1)>f(x2))*a=x1;else*b=x2;*n=*n+1;s=hj(a,b,e,n);}return s;}main(){double s,a,b,e;int n=0;printf("Please input left boundary right boundary precision:\n"); scanf("%lf%lf%lf",&a,&b,&e);//输入区间和精度的值s=hj(&a,&b,e,&n);//调用hj函数，其中n代表迭代次数printf("a=%lf,b=%lf,s=%lf,n=%d\n",a,b,s,n);}四、算法实现方程为10xx=xf，区间是]8,2[，精度是0.01。
7-)(2+解：运行程序（1）输入2 8 0.01（2）显示出运行结果二分法求解单变量非线性方程及其应用与实现:1. 引言在科学研究与工程技术中常会遇到求解非线性方程f(x)=0的问题。
而方程f(x)是多项式或超越函数又分为代数方程或超越方程。
对于不高于四次的代数方程已有求根公式，而高于四次的代数方程则无精确的求根公式，至于超越方程就更无法求其精确解了。
因此，如何求得满足一定精度要求的方程的近似根也就成为了我们迫切需要解决的问题。
近年来，随着数学科学研究的不断进展，又更新了许多方程求解的方法。
我们知道，对于单变量非线性方程f（x）=0，一般都可采用迭代法求根，由此产生了二分法。
2. 二分法一般地，对于函数f(x),如果存在实数c,当x=c时f(c)=0,那么把x=c叫做函数f(x)的零点。
解方程即要求f(x)的所有零点。
先找到a、b，使f(a)，f(b)异号，说明在区间(a,b)内一定有零点，然后求f[(a+b)/2], 现在假设f(a)<0,f(b)>0,a<b①如果f[(a+b)/2]=0，该点就是零点，如果f[(a+b)/2]<0,则在区间（(a+b)/2，b)内有零点，(a+b)/2=>a，从①开始继续使用中点函数值判断。
如果f[(a+b)/2]>0，则在区间(a,(a+b)/2)内有零点，(a+b)/2=>b，从①开始继续使用中点函数值判断。
这样就可以不断接近零点。
通过每次把f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。
给定精确度ξ,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下:1. 确定区间[a,b],验证f(a)•f(b)<0,给定精确度ξ.2. 求区间(a,b)的中点c.3. 计算f(c).(1) 若f(c)=0,则c就是函数的零点;(2) 若f(a)•f(c)<0,则令b=c;(3) 若f(c)•f(b)<0,则令a=c.4. 判断是否达到精确度ξ:即若┃a-b┃<ξ,则得到零点近似值a(或b),否则重复2-4.由于计算过程的具体运算复杂，但每一步的方式相同，所以可通过编写程序来运算。
3. 实例引入二分法求解单变量非线性方程的例子很多，仅以此例进行分析：求方程f（x）=x³-x-1=0在区间[1.0，1.5]内的一个实根，要求准确到小数点后第2位。
4. 问题分析对于以上单变量非线性方程，已知a=1.0，b=1.5，采用二分法求解。
首先我们根据二分法所允许的误差范围求得应迭代次数。
二分法允许的误差公式：|x*- | ( - )/2=（b-a）/ 0.005，其中k为二分次数。
所以求得本题应二分6次达到预定的精度。
5. 解题过程这里a=1.0，b=1.5，而f（a）<0，f（b）>0。
[a,b]的中点x0=1.25，将区间二等分。
由于f（x0）<0,即f（x0）与f（a）同号，故所求根x*必在x0右侧，这是应令a1=1.25，b1=1.5，得到新的有根区间[a1，b1].如此反复二分6次，结果如下：6. 基本二分法的matlab实现与C语言实现6.1二分法的算法及MATLAB实现function [c, err, yc] = bisect(f, a, b, delta)% f 是所要求解的函数% a 和b 分别是有根区间的左右限% delta 是允许的误差界% c 为所求的近似解% yc 为函数f 在c 上的值% err 是c 的误差估计if nargin < 4delta = 1e -5;endya = feval (’f’, a);yb = feval (’f’, b);if yb == 0, c = b, returnendif ya * yb > 0disp(’(a, b)不是有根区间’);returnendmax1 = 1 + round((log(b - a) - log(delta))/log(2));for k = 1:max1c = (a + b)/2;yc = fevel(’f’, c);if yc == 0 a = c; b = c; break,elseif yb * yc > 0b = c; yb = yc;elsea = c; ya = c;endif (b - a) < delta, breakendendk, c = (a + b)/2, err = abs(b - a), yc = feval(‘f’, c)6.2基本二分法的C语言实现方程式为：f(x) = 0，示例中f(x) = k=2*x*x*x-4*x*x-6使用示例：input a b e: 1 2 1e-5solution: 1.32472源码如下：include<stdio.h>#include<conio.h>#include<math.h>double err=0.00001;double f(double x){double k;k=2*x*x*x-4*x*x-6;return k ;}void main(){double a=-10.0;double b=10.0;double c;c=(a+b)/2;while( f(c)*f(c)>err*err){if( f(c)>0){a=a;b=c;c=(a+b)/2;}if( f(c)<0){a=c;b=b;c=(a+b)/2;}}printf("The x is %lf the value is %lf",c,f(c) );}7.方法总结7.1二分法解题的基本步骤：1）计算f（x）的有根区间[a,b]端点处的值f（a），f（b）。
2）计算f(x)的区间中点的值f（（a+b）/2）。
3）进行函数值的符号比较。
4）根据误差估计二分到一定次数达到精度，从而求得近似值。
7.2二分法的优缺点：优点：算法简单，容易理解，且总是收敛的缺点：收敛速度太慢，浪费时间所以，在以后的学习过程中，我们将根据方程的形式和二分法的优缺点不单独将其用于求根，只用其为根求得一个较好的近似值，方便其他方法的运算。
8. 结论(1)针对现实中的许多剖面设计、轨道设计等关键参数方程中三角函数多、计算工作量较大、迭代收敛条件强等问题，采取数学变化的方法将该方程转化成一个只包含对数函数和多项式函数的新方程，并提出了寻找求解区间的步长搜索算法和自适应步长搜索算法，进而使用二分法求新方程的数值解。
(2)数学分析和数值实践表明，该算法不仅能够正确判断设计方程是否有解，而且在有解的情况下能够正确求出该解，计算量小，计算过程稳定。