高二数学下册8.1椭圆及其标准方程教案人教版

课 题：8．1 椭圆及其标准方程（一）
教学目的：
1．理解椭圆的定义 明确焦点、焦距的概念
2．熟练掌握椭圆的标准方程， 会根据所给的条件画出椭圆的草图并确定椭 圆的标准方程
3．能由椭圆定义推导椭圆的方程 4．启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创 造地解决问题；培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力 教学重点： 椭圆的定义和标准方程 教学难点： 椭圆标准方程的推导 授课类型： 新授课 课时安排： 1 课时
但由于学生比较了解圆的性质，从“曲线与
方程”的内在联系角度来看，学生并未真正有所感受
所以，椭圆定义和椭圆
标准方程的联系成为了本堂课的教学难点
圆锥曲线是平面解析几何研究的主要对象
圆锥曲线的有关知识不仅在
生产、日常生活和科学技术中有着广泛的应用，而且是今后进一步数学的基础
教科书以椭圆为学习圆锥曲线的开始和重点，并以之来介绍求圆锥曲线方程和
⑵ 因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为
y2 x2 2 2 1 (a b 0)
ab
由椭圆的定义知，
2a
( 3) 2 (5 2) 2 ＋ ( 3 ) 2 ( 5 2)2
22
2
2
3 10
1 10
2 10
2
2
a 10 又 c 2
b 2 a 2 c 2 10 4 6
用心 爱心
专心
所以所求标准方程为 y 2 x2 1 10 6
椭圆的标准方程； 第三课时 ，以椭圆为载体的动点轨迹方程的探求
用心 爱心
专心
教学过程 ：
一、复习引入：
1．1997 年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条
消息，从 1997 年 2 月中旬起 , 海尔·波普彗星将逐渐接 近地球，过 4 月以后 , 又将渐渐离去 , 并预测 3000 年后 ,
太阳
它还将光临地球上空 1997 年 2 月至 3 月间 , 许多人目睹了这一天文现象
x2
圆，其方程为：
y2 1
25 16
若以 BC 边为 y轴， BC 线段的中垂线为 x轴建立直角坐标系，则 A 点的轨迹是 椭圆，
x2
其方程为：
y2
1
16 25
用心 爱心
专心
专心
Ｃ.
8
参考答案：
3
Ｄ . 2k
8
8
3
2k
(k ∈ Ｚ）
8
2
2
y
1.A 2.C 3.A 4.
x 1 5. Ｂ
36 35
五、小结 ： 本节课学习了椭圆的定义及标准方程 , 应注意以下几点 :
①椭圆的定义中 , 2a 2c 0 ； ②椭圆的标准方程中 , 焦点的位置看 x , y 的分母大小来确定； ③ a 、 b 、 c 的几何意义
mn
2
2
的标准方程， 可与直线截距式 x y 1类比， 如 x y 1中，由于 a b ，
ab
a2 b2
所以在 x 轴上的“截距”更大，因而焦点在
x 轴上 (即看
22
x , y 分母的大小
)
三、讲解范例：
例 1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴两个焦点坐标分别是 (-4,0) 、（4， 0），椭圆上一点 P 到两焦点的距离
之和等于 10；
⑵两个焦点坐标分别是（ 0，－ 2）和（ 0,2 ）且过（
3
,
5）
22
解：（1）因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为
x2 a2
y2 b2
1
(a b 0)
2a 10,2c 8 a 5, c 4 b2 a2 c2 52 42 9
所以所求椭圆标准方程为 x 2 y 2 1 25 9
y
P
F2
理解：所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐
标轴上， 且两焦点的中点为坐标原点； 在 x2 y 2 1 a2 b2
O
x
F1
与 y2 a2
x2 b2
1这两个 标准方程 中， 都有 a b 0 的要 求，如 方程
用心 爱心
专心
x2 y2 1(m 0, n 0, m n) 就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式
椭圆的定义是一种发生性定义，是通过描述椭圆形成过程进行定义的
作
为椭圆本质属性的揭示和椭圆方程建立的基石，理应作为本堂课的教学重点
同时，椭圆的标准方程作为今后研究椭圆性质的根本依据，自然成为本节课的
另一教学重点
学生对“曲线与方程”的内在联系 ( 数形结合思想的具体表现 ) 仅在“圆的
方程”一节中有过一次感性认识
另法：∵ b 2 a 2 c 2 a 2 4
∴可设所求方程
y2 a2
x2 a2 4
1 ，后将点 （
3
,
5
）的坐标代入可求出
22
a ，从而求出椭圆方程
点评：题（１）根据定义求 若将焦点改为 (0,-4) 、（ 0， 4）其结果如何； 题（２）由学生的思考与练习，总结有两种求法：其一由定义求出长轴与短轴 长，根据条件写出方程；其二是由已知焦距，求出长轴与短轴的关系，设出椭 圆方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程 四、课堂练习 ：
y
P
F1 O
F2
x
由定义 2a 2c , a 2 c2 0
令 a 2 c 2 b 2 代入，得 b 2 x 2 a 2 y 2 a 2b 2 ，
两边同除 a 2b 2 得
2
2
x a2
y b2
1
此即为 椭圆的标准方程
它所表示的椭圆的焦点在 x 轴上， 焦点是 F1( c,0)F2 (c,0) ，中心在坐标原点的
答案： x 2 y 2 1 16 25
用心 爱心
专心
x2
5 椭圆
100
F2 的距离是 答案： 4
y 2 1 上一点 P 到焦点 F1 的距离等于 6，则点 P 到另一个焦点 36
6 动点 P 到两定点 F1 (-4,0) ， F2 (4,0) 的距离的和是 8，则动点 P 的轨迹为 _______
椭圆方程
其中 a 2 c 2 b 2
注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程
如果椭圆的焦点在 y 轴上（选取方式不同，调换
x, y 轴）焦点则变成
x2 F1 (0, c), F 2 (0,c) , 只要将方程 a2
y2 b2
1中的 x, y 调换，即可得
y2 x2 a 2 b 2 1 ，也是 椭圆的标准方程
学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔·波普彗星运行的轨道
是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的
Байду номын сангаас
方程，从而算出它运行周期及轨道的的周长
（说明椭圆在天文学和实际生产生活实践中的广泛应用，指出研究椭圆的
重要性和必要性，从而导入本节课的主题）
2. 复习求轨迹方程的基本步骤：
教 具 ：多媒体、实物投影仪 内容分析 ：
高中数学学科课程标准对本节课的教学要求达到“掌握”的层次，即在对
有关概念有理性的认识，能用自己的语言进行叙述和解释，了解它们与其他知
识联系的基础上，通过训练形成技能，并能作简单的应用
根据数学学科的特点、学生身心发展的合理需要和社会的政治经济、科学
技术的需求，本节课从知识、能力和情感三个层面确定了相应的教学目标
F1
F2
思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆
较扁（ 线段）
在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（
圆）
由此，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关
( 为下面 离心率 概念作铺垫 )
2. 根据定义推导椭圆标准方程：
取过焦点 F1, F2 的直线为 x 轴，线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴
y m2
1 ，焦点在 x 轴上，则其焦距为（
）
A.2 8 m2
B.2
22 m
C.2 m2 8
D.
2 m 22
4. a 6, c 1 , 焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程是
5. 方程 x 2 3
.
y2
sin( 2
)
4
3
8
8
1 表示椭圆，则 Ｂ. k
8
的取值范围是（
）
k 3 (k ∈ Ｚ ） 8
用心 爱心
二、讲解新课： 1 椭圆定义 ：
平面内与两个定点 F1, F2 的距离之和等于常数（大于 | F1F2 | ）的点的轨迹
叫作 椭圆 ，这两个定点叫做 椭圆 的 焦点 ，两 焦点 间的距离叫做椭圆的 焦距
注意 : 椭圆定义中容易遗漏的两处地方：
P
（ 1）两个定点 --- 两点间距离确定
（ 2）绳长 -- 轨迹上任意点到两定点距离和确定
1 椭圆 x 2 y 2 1 上一点 P 到一个焦点的距离为 5，则 P 到另一个焦点的距 25 9
离为（ ）
A.5
B.6
C.4
D.10
2. 椭圆 x 2
y 2 1 的焦点坐标是（
）
25 169
A.( ±5， 0) B.(0 ，± 5)
C.(0 ，± 12)
D.( ± 12， 0)
2
2
3. 已知椭圆的方程为 x 8
3．手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在
彗星 天文
画图板上的 F1, F2 两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉
近，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆 分析：（1）轨迹上的点是怎么来的？ （ 2）在这个运动过程中，什么是不变的？ 答：两个定点，绳长 即不论运动到何处，绳长不变（即轨迹上与两个定点距离之和不变）