高一数学同步辅导教材(第1讲)

高一数学同步辅导教材（第1讲）

一、本讲教学进度

1.1—1.2 (P1--10)

二、本讲教学内容

1．集合

2．子集

3．全集和补集

三、重点、难点选讲

1．集合

（1）集合概念.

和几何中的点、线、面一样，集合是数学中最原始的概念之一，不能用其他基本概念来定义，它们也叫做不定义的概念或原始概念.课本通过几个具体例子对集合进行描述性的说明，这也表明集合概念和其他数学概念一样，是从现实世界中由具体事物抽象出来的，而不是数学家凭空臆造出来的.

（2）集合中元素的特性.

确定性，对于一个给定的集合，集合中的元素必须是确定的，也就说，对于任何一个作为具体研究对象的元素，都能确定这个元素是这个集合的元素或不是这个集合的元素，两种情况必有且只有一种为真.因此，诸如“高一（1）班个子高的同学”，“比较大的角”，就不能构成集合，因为“个子高”和“比较大”没有一个确定的标准.

互异性，对于给定集合中的任意两个元素，它们必定不相同，即集合中的元素是没有重复现象的，因此，一个元素在同一集合中只能出现一次.这个特性在解某些问题时非常重要.

无序性，由于集体是指一组对象的全体，而不论这些对象的先后顺序，因此在表示集合时，元素排列的先后顺序不影响集合的表示.

（3）集合的表示法

表示一个集合常用下列两种方法：

列举法：把集合中的元素一一列举出来，并写在大括号内表示集合的方法叫列举法.当元素个数较多，或集合有无限多个元素，在用列举法表集合时，可以采用省略号，但应很容易按常规看出该集合中元素的规律.如：“小于100的正奇数”集合可以表示为{1，3，5，7，9，…，99}；“负整数”集合可以表示为{-1，-2，-3，-4，…}.

描述法：把集合中元素的公共属性描述出来，用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法叫描述法.描述法中，竖线前面是这个集合的“代表元素”的一般形式，竖线后面是这个集合元素的公共

属性.如：{x|x+3=3x-1}表示元素x 是方程x+3=3x-1的解，即x=2，亦即{x|x+3=3x-1}={x|x=2}={2}。所有整数组成的集合可以写成{整数}，而{所有整数}的写法就不要当了.

用描述法表示集合时要注意些“代表元素”是什么.如：{R x x y y ∈+=,1|2

}和{R x x y y x ∈+=,1|),(2}表示两个不同的集合，前一个集合就是{1|≥y y }，后一个集合是抛物线12+=x y 上所有点组成的集合.

（4）符号“∈”与“∉”

表示“属于”的符号“∈”和表示“不属于”的符号“∉”（或∈）仅表示元素与集合之间的关系，而不是两个集合之间的关系.

由集合中元素的确定性，对于任意元素a 和集合M ，在“M a ∈”和“M a ∉”这两种关系中，必有且仅有一种关系成立.

（5）集合按其中元素的多少，对只有有限个元素的集合叫有限集，含有无限多个元素的集合叫无限集.对于只有一个元素的集合有时也叫做单元集.

不含任何元素的集合叫做空集.用“Φ”表示，如：{R x x x ∈=+,01|2}是空集.但{Φ}不是空集，它是以集合为元素的集合（这个元素是“Φ”），{0}也不是空集，它有一个元素“0”.

（6）常用的数集符号

以数为元素的集合叫数集.按约定，常用的数集符号有：N —自然数集（非负整数集）；Z —整数集；+*N N 或—正整数集；Q —有理数集；R —实数集.

例1 判断下列各条件所指对象能否构成集合：（1）2000年11月1日零时在江苏省内的所有中国人；（2）某校高一（3）班所有视力好的同学；（3）60的质因数；（4）某校高一年级字写得漂亮的同学. 解（1）、（3）两个条件所指的对象具有确定性，因此（1）、（3）两个条件所指的对象可以构成集合.

（2）、（4）两个条件所指的对象无明确的标准，因此（2）、（4）两个条件所指的对象不能构成集合.

例2 用另一种表示法写出下列各集合：

（1）{3的正整数倍的数}；

（2）{1，6，11，16，21，26，…}.

解 （1）可用列举法表示为{3，6，9，12，15，…}；

（2）可用描述法表示为{被5除余1时的正整数}，或表示为{.,15|N n n x x ∈+=}

例3 已知集合{2，1-x ,5522+-x x }，求实数x 应满足的条件.

解 由集合中元素的互异性，有

,21≠-x ,3≠x ,3≠x

,25522≠+-x x 即 ,03522≠+-x x 得 ,2

3,1≠≠x x 且 .15522-≠+-x x x ,0332

≠+-x x .R x ∈ ∴应满足3≠x ，且 1≠x ，且2

3≠x . 2、子集⎪⎩⎪⎨⎧

（1）子集的定义

对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，即若x A ∈,就必有x B ∈,则称集合A 是集合B 的子集.

应注意，“集合B 中的部分元素组成的集合A 叫集合B 的子集”的说法是错误的，因为这和“空集是任何集合的子集”的规定矛盾，也和“任何一个集合是它本身的子集”的结论矛盾.

（2）符号“⊆”、“⊇”、“ ⊆”、“ ⊇”、“⊂”、“⊃”.

这几个符号仅适用于两个集合之间的关系，而前面的符号“∈”、“∉”是用于

元素与集合之间的关系.规定“空集是任何集合的子集”后，任何一个集合是它本身

的子集，即A A ⊆.并且可知“空集是任何非空．．集合的真．

子集”，但不能说“空集是任 何集合的真子集”，因为空集不是空集的真子集.

由子集和真子集的定义，容易证明集合的包含关系有传递性，即：若B A ⊆，

C B ⊆，则C A ⊆；若A ⊂B ，B ⊂C ，则A ⊂C.

（3）集合的相等

若集合A 和B ，既满足B A ⊆，又满足B A ⊇，则这两个集合相等，即A=B. 因此要证明A=B ，只要证明B A ⊆，同时有B A ⊇就可以了.

（4）韦恩图

如果两个集合A 和B 有关系A B ，可以用右图表示，这个图常称为韦恩图，