现代信号处理实验一平稳信号产生及时频分析实验结果-

4
设平稳信号序列 X 的自相关函数为 xx (m) ，自功率谱为 Pxx (e ) ；序列 X 与 Y 的自相关函数为
j
xy (m) ，互功率谱为 Pxy (e j ) 。对自相关函数与互相关函数作 Z 变换，则有:
Pxx ( z ) xx (m) z m

Pxy ( z ) xy (m) z
（1）均值
均值定义为随机信号 x(n) 的所有样本函数，在同一时刻取值的统计平均值，连续平稳信号的均 值的数学表达式为：
mx E X


xp( x)dx
(1-5)
离散平稳信号均值的数学表达式为：
mx E x(n)
k
x( k ) p ( k )
x

(1-6)
xx (0) x2 mx 0
成立。
2
(1-18)
这说明了自相关函数在 m=0 处具有最大值， 并且 xx (0) 非负。 mx 表示平稳信号 X 中的直流分 量的平均功率， x 表示平稳信号 X 中的交流分量的平均功率，因此 xx (0) 表示平稳信号 X 的总平
2
2
均功率。 性质 2
2
连续平稳信号的方差可表示为：
x2 E X mx


2





2
X mx p ( x)dx
2
(1-8)
离散平稳信号的方差可表示为：
x2 E x(n) mx (n)
其标准方差的表达式为：

2
(1-9)
x E x ( n ) mx ( n )


(1-10)
有偏
（1-32）
无偏
（ 2）
自相关函数的快速计算
利用（4）式计算 Rx ( m) 时，如果 m 和 N 都比较大，则需要的乘法次数过大，因此其应用受到 了限制。这时，可以利用 FFT 来实现对 Rx ( m) 的快速计算。 用 FFT 计算自相关函数的一般步骤： （a）对 x(n) 补 N 个零，得 x '(n) ，对 x '(n) 做 DFT 得 X '(k ) ， k 0,1, , 2 N 1; (b) 求 X '( k ) 的幅平方，然后除以 N，得 (c) 对
若平稳信号 X 为实信号，则其自相关函数：
xx (m) xx (m)
即 xx (m) 为偶函数； 若平稳信号 X 为复信号，则：
* xx (m) xx (m)
（1-19）
（1-20）
即， xx (m) 是 Hermitian 对称的。 性质 3 若平稳信号 X、Y 为实信号，则其互相关函数：
j
功率谱曲线在 ( , ) 内的面积等于信号的均方值； 对于互功率谱有 Pxy (e ) Pxy (e )
* j j
4、平稳随机信号的相关函数的估计
随机信号不能用确定的数学关系式来描述，无法用确定信号的处理方法进行处理。通常用其样 本的统计特征来描述随机信号。本实验将介绍随机过程的相关分析（时域） 。 （1）相关函数估计原理 广义平稳随机序列 x(n) 与 y (n) 的互相关函数定义为：
5
Rxy (m) E[ x(n) y * (n m)]
（1-29）
但实际上我们只能得到序列的有限长度， 基于序列 x(n) 与 y (n) 的 N 个采样值的一个互相关函数 估计公式为：
Rxy (m)
1 Nm
N m 1

n 0
x ( n) y * ( n m)
（1-30）

(1-26)
m
令z e
j
，得到：

Pxx (e j ) xx (m)e j m

Pxy (e ) xy (m)e
j
(1-27)
j m
功率谱反映了信号的功率在频域上随频率 的分布，所以也称 Pxx (e ) 和 Pxy (e ) 为功率谱密
其中 px (k ) 为 x(n) 取值为 x(k ) 时的概率。 有限长平稳信号序列 x ( k ) 的统计平均值，一般称为均值估计，其数学表达式为：
ˆ x E x(n) m
1 N
x(k )
k 0
N
(1-7)
当序列长度足够长时，均值估计能够无限逼近真实均值。
（2）方差
方差表示平稳信号的各取样值偏离平均值的程度，是平稳信号在均值上下起伏变化的一种度量，
因为该估计公式得到的互相关函数为有偏估计，所以常采用下面的无偏估计公式：
1 Rxy (m) N
N m 1

n0
x ( n) y * ( n m)
（1-31）
同理，可以得到随机序列 x(n) 自相关函数估计的两种形式为：
N m 1 1 ( ) R m x ( n ) x* ( n m) x N m n 0 N m 1 1 * Rx (m) N x(n) x (n m) n 0
Baidu Nhomakorabea
有限长平稳信号序列 x ( k ) 的方差估计的计算公式为：
2 ˆx n 0 N
1 2 x ( n ) mx ( n ) N
(1-11)
当序列长度足够长时，方差估计能够精确地逼近真实方差值。
（3）均方值
均方值反映了信号能量在时域上的变化情况，连续平稳信号的均方值表示为：
（4）相关函数
均值、方差、均方值分别表示平稳信号的 1 阶原点矩和 2 阶中心矩。虽然它们都是常用的信号 特征量，但是它们描述的只是离散随机信号在某一时刻之前的所有时刻的统计特性，而不能反映出 在不同时刻各数值之间的内在联系。两个平稳信号虽然具有近似相同的均值与方差，但它们之间的 变化规律可能存在较大的差别，如一个序列各样本随时间变化缓慢，在不同时刻的取值关系密切， 相关性强，而另一个序列的各样本随时间变化强烈，在不同时刻的取值关系松散，相关性弱。 假设两平稳信号序列为 X x ( n) ， Y y (n) ， n 0,1, , N 1 ，则序列 X 自相关函数定 义为：
cov X , Y E X mx Y my
*


(1-25)
3、平稳随机信号的频域描述
作为功率型的平稳信号在时域上可以通过信号数字特征如均值、方差等进行描述，而在频域上 它不满足傅里叶变换的条件。但是由于任何一个平稳信号序列样本的功率是在有限的，所以功率谱 就成为平稳信号频域描述其统计规律的重要特征参量。
xy (m) yx (m)
若平稳信号 X、Y 为复信号，则：
* xy (m) yx ( m)
（1-21）
(1-22) (1-23)
性质 4 性质 5
xx (0) yy (0) xy (m)
由 xx ( M ), , (0), , xx ( M ) 这 2M＋1 个自相关函数组成的矩阵：
实验一
随机信号的产生及时频域表征
一、 实验目的
1、 掌握平稳随机信号的产生，平稳随机信号在时域的描述和频域上的描述及表征，并用 Matlab 实现。 2、 掌握平稳随机信号在平稳随机信号的统计特性分析，包括：自相关函数、互相关函数及相 关系数的分析。
二、 实验原理
在工程和生活中， 随机信号的例子很多。 例如各种无线电系统及电子装置中的噪声与干扰， 水声，语音、生物医学中的心电图（ECG） 、脑电图（EEG） 、肌电图（EMG）与心音图（PCG） 等信号都是随机的。随机信号和确定性信号（前面几章所讨论的信号均为确定性的信号）不同， 它不能通过确切的数学公式来描述，也难以对它准确地预测。对随机信号只能在统计意义上进 行研究，这就决定了其分析与处理的方法和确定性信号相比有着较大的差异。 随机信号分为平稳和非平稳信号两大类，平稳随机信号又分为各态历经和非各态历经信号。 本实验所讨论的平稳信号是各态历经的。在研究无限长信号时，总是取某段有限长信号来 分析，并将有限长信号称为样本，而无限长信号称为总体。各态历经平稳随机过程中样本的时 间平均值与集合平均值相等，因此可以用样本的统计特征表示总体的特征，这样使得信号分析 研究大为简化。
xx (0) xx (1) xx ( M ) (1) (0) ( M 1) xx xx RM xx xx ( M ) xx ( M 1) xx (0)
是非负的。
(1-24)
（5）协方差 序列 X 与 Y 的协方差定义为：
1、 平稳随机信号的描述
平稳信号可以通过时域和频域两种方法进行描述。主要内容包括：平稳信号的定义、平稳信号 的时域描述和平稳信号的频域描述。 （1）平稳随机信号的定义 平稳随机信号是指对时间的变化具有某种平稳性质的一类信号，可分为严格信号和宽平稳信号 两种。 a.严格平稳随机信号的定义 当随机信号 X (n) 的概率密度函数 f x ( x) 满足：
j
j
度。 假设平稳信号 X 的功率是有限的，那么其功率谱密度的反变换必然存在，其反变换就是其自相 关函数，即：
xx (m)
1 Pxx (e j )e j m d 2 1 2 xx (0) Pxx (e j )e j m d E X (n) 2
Dx2 E X
2 x
X p( x)dx D ( x ) D E x ( n)
2 2 2 x 2
(1-12) (1-13)
该式描述了离散平稳信号的强度或功率。 信号的均方值与方差之间的关系描述如下：
2 2 Dx2 x mx
(1-14)
根据该式，信号的均方根值可以根据其方差和均值求得。
2、平稳随机信号的时域描述
平稳信号的统计特性从理论上来说可以利用概率密度函数给以完整的描述，但在许多工程实际 中要确定一个概率函数往往困难很大，需要通过大量的实验才能求出其近似的表达式，而且计算复 杂，使用也不便。事实上许多工程问题的解决，常常只需要知道平稳信号的某些特征参数，因此平 稳信号在时域上可以利用其数字特征来进行描述。平稳信号的数字特征主要有均值、方差、均方值、 自相关函数、互相关函数及协方差等。
mx (n) E x(n) mx
1
(1-2)
（ⅱ）方差为有限值，且也是常数值：
x2 (n) E x(n) mx

2

2 x
(1-3)
（ⅲ）自相关函数 rx ( n1 , n2 ) 和 n1 , n2 的选取点无关，而仅和 n1 , n2 之差有关，即：
x (n1 , n2 ) E x* (n) x(n ) x ( )
xx (m) E x* (n) x(n m)
序列 X 与 Y 的互相关函数定义为：
(1-15)
xy (m) E x* (n) y (n m)
平稳信号相关函数具有如下性质： 性质 1：对于所有的 m，有：
(1-16)
xx (0) xx (m)
3
（1-17）
及：
f X ( x1 , , xN ; n1 , , nN ) f X ( x1 , , xN ; n1 k , , nN k )

k Z
(1-1)

，且上式对任意 Z 都满足 时，则称 X ( n) 是 N 阶平稳信号。当 N Z （即 N 属于自然数） 时，则称 X (n) 是严格平稳信号，也称狭义平稳信号，也称狭义平稳信号。但是在实际中，严 格平稳的随机信号信号基本上是不存在的。 b.宽平稳随机信号的定义 假设随机信号 x(n) 满足： （ⅰ）均值为常数，即：


(1-28)
它反映了信号的平均功率。 功率谱具有如下重要性质： 性质 1 性质 2 性质 3 性质 4 性质 5 不论 X 是实数还是复数， Pxx (e ) 都是频率 的实函数，因此功率谱失去了相位信息；
j
Pxx (e j ) 对所有的频率 都是非负的；
若 x( n) 是实的，由于 xx ( m) 是偶对称的，故 Pxx (e ) 仍是频率 的偶函数；
式中的 n2 n1 ，则称 x(n) 是宽平稳的随机信号。
(1-4)
宽平稳信号是一类重要的随机信号。在实际中，往往把所要研究的随机信号视为宽平稳的，这 样将使问题的研究大为简化。而且事实上，自然界中的绝大部分随机信号都是宽平稳的。 对于一平稳随机信号 x(n) ，如果它的所有样本函数在某一固定时刻的一阶和二阶特性和单一 样本函数在长时间内的统计特性一致，则称 x(n) 为各态遍历信号。对于各态遍历信号，可像确定性 的功率信号那样来定义一阶和二阶数字特征。