北邮数学建模期末考试试题2016

北京邮电大学2015—2016学年第一学期

《计算机算法与数学模型<上>》期末考试试题

说明：1）本次考试采用开卷方式，答卷时间为一周（2016年01月04-11日），请按时（2016年01月11、12日数学模型课课间，逾时不候）交卷；2）本课程的考试是一学期课程学习结束的一次综合复习，因此在答题时务必独立完成，除了查阅有关资料外，请避免同学间相互抄袭，如发现雷同答卷，一并作废！3）答题纸务必采用学校提供的标准答题纸，否则将被视为无效。请在答卷卷首写清姓名、班级、学号（学校统一10位编号）等。4）凡涉及计算编程的题目，将程序打包、压缩、以 “数学模型”+“本人学号”+“姓名”命名后发到ftp://10.105.66.241(用户名：homework,密码：homework )5) 若由于印刷原因造成试题不清晰，请从http://10.105.66.241/sxjm 下载试题的电子文档。

一、 综合建模——“互联网+”时代的出租车资源配置

出租车是市民出行的重要交通工具之一，“打车难”是人们关注的一个社会热点问题。随着“互联网+”时代的到来，有多家公司依托移动互联网建立了打车软件服务平台，实现了乘客与出租车司机之间的信息互通。这样，按照乘客的出行计划接受出租车上门服务，会因服务提供的舒适性与有效性将被越来越多的市民认可；同时，出租车可以有效避免目前盲目沿街揽客伴随的过高空载率而获益，会有越来越多出租车司机选择加入打车软件服务系统。

但任何一种新生事物的出现，其被社会接收和广泛采纳均是渐进的，比方由于打车软件服务平台开始收取“过高”的服务费用，一些出租车对这一服务采取排斥的态度；而部分选择性接受平台服务的出租车当遇到更好的打车需求时，对平台提供的任务指派时有挑单现象发生，若这样的记录积累到一定数量，服务平台也会对相应的车辆拒绝提供服务。当然，乘客的失约行为也是令人头痛的事情。

比如选择北京市，参考双（多）种群生态学模型，1）给出在非来几年的时间，城市出租车会遵从的不同打车模式的变化趋势；2）当然，你可能也注意到社会和政府对城市空气质量问题日渐关注，优先发展和选择城市公交（这里公交不包括出租车，仅指类似地铁、大巴等相对大型的乘客运载工具），这样，系统演进的行为会变得更加复杂，同样希望能够给出适宜的模型描述与分析。

二、模型解释

1． 在允许缺货的存贮策略分析中，按“成本最小化”建模，从得到的结果中发现在一个存贮周期中确有一段时期为“零贮存”，且又不积极再进货。试分析该模型的缺陷以及改进的方向。

2．以x(t)、y(t)表示甲乙交战双方在时刻t 的兵力，不妨视为双方的士兵人数，x (0)=x 0、y (0)=y 0表示甲乙双方在开战时的初始兵力，显然x 0、y 0>0，在特定假设条件下，我们建立如下的一个混合作战模型：

{ẋ=−c ∙x ∙y

ẏ=−b ∙x x (0)=x 0、y (0)=y 0

请你试着解释其意义，并通过求解给出甲方取胜的条件。

3．关于“席位的公平分配问题”，一些教程在Q 值法的导出时，均以如下算例为论据，说明绝对不公平性指标在评价一个分配方案其公平性程度是不适当的，进而给出相对不公平性指标，最终导出Q 值法。我认为这个例子是不适当的，你能给出一些有说服力的论述吗？

4.以下是我在某教程上截取下有关节水洗衣问题的建模分析的判断，假定其它模型参数一定时，考虑呆洗衣服（质）量不同取值在，最优洗衣策略对应的洗涤轮数和用水量。请用归纳的观点，

5．考虑实物交换问题，我们假定讨论甲、乙双方，限于A、B两种物品；以(x,y)、(u,v)分别表示甲方、乙方拥有A、B两种物品的量，以f(x,y)、g(u,v)分别表示甲方、乙方相应的满意程度，称之为满意度函数。进而建立如下模型：

Max Min{

f(x,y)

f(x0,y0)

,

g(u,v)

g(u0,v0)

}

s.t.{x+y=x0+y0,u+v=u0+v0

f(x,y)≥f(x0,y0),g(u,v)≥g(u0,v0)

x,y,u,v≥0

尝试解释包括模型参数x0,y0,u0,v0在内，目标约束、各组约束条件的具体意义；论述该模型的合理性以及可能的不同目标函数选择。

三、计算与论证

1．n人合作对策问题

记I={1,2⋯n}，2I={s|s⊆I}为I的幂集合，v:2I→R为2I到实数集的一个函数，v是n人合作对策问题的某个特征函数，若以φ(v)=(φ1(v),φ2(v)⋯φn(v))T表示n人合作对策问题关于特征函数v的算法，以下是著名的Sℎaply值方法：

{φi(v)=∑w(|s|)∙[v(s)−v(s\{i})](i=1..n) i∈s⊆I

w(|s|)=[(n−|s|)!∙(|s|−1)!]/n!

这里，|s|表示集合s中元素数目：

1）试用排列组合的观点解释w(|s|)的意义；

2）显然对∀s∈2I，均有w(|s|)≥0。请您论证∑w(|s|)

i∈s,s⊆I

=1(∀i=1..n)；

3）试着解释Sℎaply值方法的合理性及其局限性（不足）。

2．核武器竞赛（http://10.105.66.241/sxjm/lec/Course06/course06_1.htm）如参考课件，在适当的模型假设下，若要采用期望值准则分析建模，即每一方均希望在遭到

对方倾斜性核打击后，保留下核弹数目的数学期望值不少于某个设定值，则得定解条件(参数、变量的符号均保持课件原样)：

x ∙p 1y ≥x 0、y ∙p 2x ≥y 0

得到甲、乙双方的安全曲线分别为： f(y)=x 0∙p 1−y 、g(x)=y 0∙p 2−x 。

联系实际，我们觉得对模型假设所表述的国家安全概念的适宜解读，应当是，“每一方均希望在遭到对方倾斜性核打击后，保留下核弹数目不少于某个设定值的概率不少于某个概率设定值，比方0.9”。进而，相应的定解条件变为：

∑C x k ∙p 1k∙y ∙(1−p 1y )

(x−k)x k=x 0≥0.9、∑C y k ∙p 2k∙x ∙(1−p 2x )(y−k)y k=y 0≥0.9 这里，将x 、y 解读为自然数。

请尝试推论甲乙双方的无差别曲线以及双方安全区域的存在性（当然，你也可以采用类似计算机模拟等数值的、近似的一些手法对模型展开讨论）。

3． 在 97年前后，我国的一些大中城市出现了产品的分销热。安利公司是美国一家主要生产清洁产品的大公司，在许多国家开设分公司，据说“分销”是安利产品的主要销售方式，产品的“分销员”从公司代理处提取产品并直接送到顾客手中，公司从产品的销售收入中让利作为“分销员”的报酬。显然一个大而好的“分销网络”对公司是重要的，公司鼓励“分销员”一方面挖掘产品的潜在消费群，一方面不断地壮大“分销网络”本身—即不断地吸引新的成员加入并给予指导，而公司同样依据由“你”发展起来“分销网络”的销售业绩给予适当的报酬。

假设你O 与你相关的一个人群I ={1,2⋯n}合作从事某项经营活动，整体效益表现为I 中每一成员的成绩x i 之和s =∑x i n i=1，而O 的所有工作是帮助I 中每个成员取得尽可能大的成绩， 即O 的成绩需要根据x i (i =1,2⋯n)做出综合评定，不妨将之设计为x =(x 1,x 2⋯x n )T 的一个函数：

O =f (x 1,x 2⋯x n )

定性分析f 应满足：1）非负性：0≤f (x 1,x 2⋯x n )≤s ；2）单调性：ðf

ðx i ≥0(i =1..n)； 3） 对称性：对任意x =(x 1,x 2⋯x n )T 、y =(y 1,y 2⋯y n )T ，若经有限次对换可将(x 1,x 2⋯x n )T 化为(y 1,y 2⋯y n )T ，即存在 I ={1,2⋯n} 上的一全排列i 1,i 2⋯i n 满足：x k =y i k (k =1..n)， 则有

f (x 1,x 2⋯x n )=f (y 1,y 2⋯y n )；4）无考性：若x =(x 1,x 2⋯x n )T 中有n −1个分量为0，则f (x 1,x 2⋯x n )=0.

为简化起见， 只须设计两个一元函数α(t )、f ∗(t )即可，要求a ）非负性：0≤α(t )≤1、0≤f ∗(t )≤t ；b ）单调性：dα(t )dt

≥0、df ∗(t )dt ≥0；c ）无考性：α(0)=0. 令f (x 1,x 2⋯x n )=∑α(s −x i )∙f ∗(x i )n i=1，试着证明：由满足条件a ，b ，c 的α(t )、f ∗(t )定义

的f (x 1,x 2⋯x n )满足条件1）~4）；

若将x =(x 1,x 2⋯x n )T 、O 表示收入，试解释α(s −x i )、f ∗(x i )的经济意义，并阐明构造

f (x 1,x 2⋯x n )=∑α(s −x i )∙f ∗(x i )n i=1的合理性.