高三一轮复习第三节 函数的零点

第三讲函数的零点

1.定义

（1）对于函数y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点.（2）方程f(x)=0有实根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.

2.函数零点的判定

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是f(x)=0的根，我们把这一结论称为零点存在性定理.

Ps：只能判定出零点存在，不能确定零点的个数。

通关秘籍：f(a)f(b)<0与函数f(x)存在零点的关系

（1）若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0，则函数y=f(x)一定有零点。

（2）由函数y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出f(a)f(b)<0。所以f(a)f(b)< 0是在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件。

（3）若函数f(x)在[a,b]上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)f(b)<0⇒函数f(x)在[a,b]上只有一个零点。

3.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的零点分布

研究二次函数零点的分布，一般情况下需要从以下三个方面考虑：

（1）二次函数方程根的判别式；

（2）对应二次函数区间端点函数值的正负；

与区间端点的位置关系。

（3）对应二次函数图象抛物线的对称轴x=−b

2a

4.二分法

（1）定义：对于区间[a,b]上连续不断的，且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值的方法，叫做二分法。

（2）用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：

第一步，确定区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0，给定精确度ε；

第二步，求区间(a,b)的中点x1;

第三步，计算：

（i）若f(x1)=0,则x1就是函数的零点；

（ii）若f(a)f(x1)<0,则令b=x1（此时零点x0∈(a,x1)）;

（iii）若f(x1)f(b)<0,则令a=x1（此时零点x0∈(x1,b)）;

第四步，判断是否达到精确度ε,即若|a−b|<ε,则得到零点近似值a（或b）；否则重复第二，三步。

通关秘籍：二分法求函数零点近似值的口诀

定区间，找中点，中值计算两边看；

同号去，异号算，零点落在异号间；

周而复始怎么办？精确度上来判断。

5.判断函数零点所在区间和零点的个数

（1）判断函数零点所在区间的常用方法

①零点存在性定理，使用条件是函数图象是连续的；

②数形结合法：画出函数的图象，用估算确定区间。

（2）判断函数零点个数的常用方法

①解方程法：令f(x)=0,如果有解，则有几个解就有几个零点；

②函数零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数图象在[a,b]上的图象是连续的曲线，且f(a)f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性等）才能确定函数有多少个零点；

③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数问题，有几个交点就有几个不同的零点。

6.零点性质的应用

已知函数有零点（方程有根）求参数的值域或取值范围常用的方法和思路：

（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围；（2）分离参数法：先讲参数分离，转化为求函数最值问题加以解决；

（3）数形结合法：现将解析式变形，在同一个平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解。

PS：考试中的零点问题、交点问题、根的问题本质上是同一个问题。

口诀：①绝化正负②交零一体③两难平摊④先定后动

①绝化正负：一般绝对值问题，直接画图象，去绝对值化成正负号；

②交零一体：代表着交点和零点问题本身是一件事；

③两难平摊：通过除法，有的时候把两侧函数的难度进行平均分配； ④先定后动：在画图过程中，我们先画定的，再画动的。

例题1. 已知函数()||f x lnx =，20,01()|4|2,1x g x x x <⎧=⎨-->⎩

，则方程|()()|1f x g x +=实根的个数为 4 ．

变式1. 已知函数()||f x lnx =，20,01()1|9|,18

x g x x x <⎧⎪=⎨->⎪⎩．则方程()()10f x g x --=实根的个数为 3 ．

例题2. 已知函数32,(),x x a f x x x a ⎧=⎨>⎩

若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是 {|0a a <或1}a > ．

变式1. 已知函数2()()()

x x a f x x x a ⎧=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是( )

A ．0a <

B ．0a >且1a ≠

C ．1a <

D ．1a <且0a ≠

例题3. 已知函数2(43)3,0()(0,1)(1)1,0a

x a x a x f x a a log x x ⎧+-+<⎪=>≠⎨++⎪⎩在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|23

x f x =-恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是 1[3，2)3 ．

例题4. 已知函数2||,()24,x x m f x x mx m x m ⎧=⎨-+>⎩

，其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则m 的取值范围是 (3,)+∞ ．