02二次根式的乘除法与混合运算
《二次根式的乘除》课件
目录
• 二次根式的乘法规则 • 二次根式的除法规则 • 二次根式的混合运算 • 二次根式的乘除在实际问题中的应用 • 总结与回顾
01
二次根式的乘法规则
定义与性质
定义
二次根式是指形如√a（a≥0）的代数式。
性质
二次根式具有非负性，即√a≥0。
乘法运算规则
规则
对于任意实数a、b（a≥0，b≥0），有√a×√b=√(a×b)。
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根据除法规则，$frac{sqrt{5}}{sqrt{2}} = sqrt{frac{5}{2}} = frac{sqrt{10}}{2}$。
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例3：计算$sqrt{3} + sqrt{2} - frac{sqrt{5}}{2}$。
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先进行乘除运算，再进行加减运算，$sqrt{3} + sqrt{2} frac{sqrt{5}}{2} = sqrt{3} + sqrt{2} - frac{sqrt{5}}{2}$ 。
02
二次根式的除法规则
定义与性质
定义
二次根式是指形如√a（a≥0）的代数式。
性质
二次根式具有非负性，即√a≥0。
除法运算规则
规则
对于任意实数a和b（b≠0），有√a/√b=√(a/b)。
注意事项
在进行二次根式的除法运算时，需要保证分母不为0，即b>0。
除法运算实例
实例1
计算√10/√2的结果。
金融领域的应用
假设某项投资的年化收益率为10%，要求计算投 资回报。可以使用二次根式乘除运算，即年化收 益率 = (投资回报 / 本金)^(1/年数) = (1.1 / 1)^(1/2) = 10%√(2) = 14.42%。
二次根式的混合运算法则
二次根式的混合运算法则二次根式是数学中的一个重要概念，也是数学中常见的运算形式。
在二次根式的混合运算中，我们需要遵循一定的法则和步骤，以确保运算结果的准确性。
本文将介绍二次根式的混合运算法则，并通过实例进行说明。
一、二次根式的定义二次根式是指形如√a的数，其中a为非负实数。
在二次根式中，根号内的数称为被开方数，根号外的数称为系数。
二次根式可以进行加、减、乘、除等运算，但需要遵循一定的法则和步骤。
二、二次根式的混合运算法则1. 加法运算当二次根式相加时，要求被开方数相同，系数相加即可。
例如，√2 + √2 = 2√2。
2. 减法运算当二次根式相减时，同样要求被开方数相同，系数相减即可。
例如，√3 - √2 = √3 - √2。
3. 乘法运算当二次根式相乘时，可以将系数相乘，被开方数相乘并合并为一个二次根式。
例如，2√3 * 3√2 = 6√6。
4. 除法运算当二次根式相除时，可以将系数相除，被开方数相除并合并为一个二次根式。
例如，6√6 / 3√2 = 2√3。
5. 混合运算在二次根式的混合运算中，可以按照运算法则依次进行加、减、乘、除等运算。
需要注意的是，乘法和除法运算的优先级高于加法和减法运算。
三、实例分析为了更好地理解二次根式的混合运算法则，我们来看几个实例。
1. 实例一：计算√5 + √3 - √2的值。
根据加法运算法则，√5 + √3 = √5 + √3，再根据减法运算法则，√5 + √3 - √2 = √5 + √3 - √2。
2. 实例二：计算(2√6 - √2) * √3的值。
根据减法运算法则，2√6 - √2 = 2√6 - √2，再根据乘法运算法则，(2√6 - √2) * √3 = 2√18 - √6。
3. 实例三：计算(3√10 + 2√5) / √2的值。
根据加法运算法则，3√10 + 2√5 = 3√10 + 2√5，再根据除法运算法则，(3√10 + 2√5) / √2 = (3√10 + 2√5) / √2。
《二次根式的乘除混合运算》 说课稿
《二次根式的乘除混合运算》说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是《二次根式的乘除混合运算》。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程、板书设计这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析本节课是人教版八年级下册第十六章《二次根式》中的重要内容。
二次根式的乘除混合运算既是对二次根式乘法和除法法则的综合运用，也是后续学习二次根式的加减运算以及解二次根式方程的基础。
通过本节课的学习，学生将进一步提高对二次根式运算的理解和掌握，为解决更复杂的数学问题打下坚实的基础。
在教材的编排上，先介绍了二次根式的乘法和除法法则，然后通过实例引入二次根式的乘除混合运算，让学生在实际运算中体会法则的应用，逐步掌握运算方法和技巧。
二、学情分析八年级的学生已经掌握了实数的基本运算和整式的乘除运算，具备了一定的运算能力和逻辑思维能力。
但对于二次根式的运算，尤其是乘除混合运算，可能会在运算顺序、化简过程中出现错误。
部分学生可能对法则的理解不够深入，在应用时容易出现混淆。
因此，在教学过程中，要注重引导学生理解法则的本质，加强练习，及时纠正错误。
三、教学目标1、知识与技能目标（1）学生能够熟练掌握二次根式的乘除混合运算的法则和方法。
（2）能够正确进行二次根式的乘除混合运算，并化简结果。
2、过程与方法目标（1）通过观察、类比、归纳等活动，培养学生的运算能力和逻辑思维能力。
（2）在运算过程中，提高学生的分析问题和解决问题的能力。
3、情感态度与价值观目标（1）让学生在自主探究和合作交流中，体验数学学习的乐趣，增强学习数学的自信心。
（2）培养学生严谨的学习态度和良好的运算习惯。
四、教学重难点1、教学重点（1）二次根式的乘除混合运算的法则和顺序。
（2）正确化简二次根式的乘除混合运算结果。
2、教学难点（1）运算过程中符号的确定和根式的化简。
（2）灵活运用二次根式的乘除法则进行混合运算。
五、教法与学法1、教法（1）讲授法：讲解二次根式的乘除混合运算的法则和方法，使学生形成系统的知识体系。
二次根式的乘除课件
根据二次根式的乘法定义，$sqrt{2} times sqrt{3} = sqrt{2 times 3} = sqrt{6}$。
02
二次根式的除法运算是指将两个二次根式相除，结果仍为二次根式。
定义
$frac{sqrt{a}}{sqrt{b}}$ 表示 a 的平方根除以 b 的平方根。
符号表示
3. 对乘积进行化简，得到最简二次根式。
01
02
03
04
$frac{4sqrt{2}}{2sqrt{2}}$
示例1
$frac{4sqrt{2}}{2sqrt{2}} = frac{4}{2}$
化简前
$frac{4}{2} = 2$
化简后
$frac{sqrt{10}}{2}$
示例2
$frac{sqrt{10}}{2} = sqrt{10} times frac{1}{2}$
实例一：$\sqrt{3} \times \sqrt{2} \div \sqrt{5}$
04
确定结果的符号
在进行二次根式乘除运算时，要特别注意结果的符号。根据根式的性质，正数的平方根有两个，一个正数和一个负数。因此，在乘除运算中，结果的符号取mes sqrt{9} = 6$，因为4和9都是正数，所以结果为正数。而$sqrt{4} div sqrt{9} = frac{2}{3}$，因为4除以9的结果为正数，所以结果的符号为正。
在进行二次根式乘除运算时，首先要化简被开方数。将被开方数化简到最简形式，可以避免在运算过程中出现复杂的表达式。
例如，$sqrt{12} = sqrt{4 times 3} = 2sqrt{3}$，通过化简被开方数，可以将复杂的根式表达式化简为简单的形式，方便后续的运算。
二次根式的乘除法则公式二次根式混合运算解题步骤二次根式化简方法
一、二次根式的乘除法法则1、积的算数平方根的性质，列如：√ab=√a·√b(a≥0，b≥0)2、乘法法则，列如：√a·√b=√ab(a≥0，b≥0)，二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
3、除法法则，√a÷√b=√a÷b(a≥0，b>0)，二次根式的除法运算法则，用语言叙述为：两个数的算术平方根的商，等于这两个数商的算术平方根。
4、有理化根式。
如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化根式,也称有理化因式。
二、二次根式混合运算解题步骤1、确定运算顺序。
2、灵活运用运算定律。
3、正确使用乘法公式。
4、大多数分母有理化要及时。
5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化。
6、字母运算时注意隐含条件和末尾括号的注明。
7、提公因式时可以考虑提带根号的公因式。
三、二次根式化简方法二次根式是中学代数的重要内容之一，而二次根式的化简是二次根式运算的基础，学好二次根式的化简是学好二次根式的关键。
下面给同学们归纳总结了几种方法，帮助大家学好二次根。
1、乘法公式法2、因式分解法3、整体代换法4、巧构常值代入法1.乘法规定：(a≥0，b≥0)二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。
推广：(1)(a≥0，b≥0，c≥0)(2)(b≥0，d≥0)2.乘法逆用：(a≥0，b≥0)积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的'积。
注意：公式中的a、b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b≥0;3.除法规定：(a≥0，b>0)二次根式相处，把被开方数相除，根指数不变。
推广：，其中a≥0，b>0，。
方法归纳：两个二次根式相除，可采用根号前的系数与系数对应相除，根号内的被开方数与被开方数对应相除，再把除得得结果相乘。
4.除法逆用：(a≥0，b>0)商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
八年数学下二次根式加减乘除混合运算考点与讲解二次根式加减乘除混合运算考点与讲解
二次根式加减乘除混合运算考点与解析1．计算：．考点：二次根式的乘除法．专题：计算题．分析：按照•=，从左至右依次相乘即可．解答：解：，=2．点评：本题考查二次根式的乘法运算，比较简单，注意在运算时要细心．2．计算：﹣32+×+|﹣3|考点：二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值．分析：分别利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质化简求出即可．解答：解：﹣32+×+|﹣3|=﹣9+×+3﹣=﹣5﹣．点评：此题主要考查了二次根式的混合运算以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质等知识，正确化简各数是解题关键．3．计算：（﹣1）2015+sin30°+（2﹣）（2+）．考点：二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值．分析：运用﹣1的奇次方等于﹣1，30°角的正弦等于，结合平方差公式进行计算，即可解决问题．解答：解：原式=﹣1++4﹣3=．点评：该题主要考查了二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值等知识点及其应用问题；牢固掌握特殊角的三角函数值、灵活运用二次根式的混合运算法则是正确进行代数运算的基础和关键．4．计算：．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：先根据二次根式的乘除法法则得到原式=﹣+2，然后利用二次根式的性质化简后合并即可．解答：解：原式=﹣+2=4﹣+2=4+．点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后进行二次根式的加减运算．5．计算：（1）sin60°﹣|﹣|﹣﹣（）﹣1（2）（1+）÷．考点：二次根式的混合运算；分式的混合运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：（1）根据特殊角的三角函数值、分母有理化和负整数指数幂的意义得到原式=﹣﹣﹣2，然后合并即可；（2）先把括号内合并和除法运算化为乘法运算，然后约分即可．解答：解：（1）原式=﹣﹣﹣2=﹣2；（2）原式=•=x．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数指数幂和分式的混合运算．6．计算：（2015﹣π）0+|﹣2|+÷+（）﹣1．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．分析：首先根据零指数幂、负整数指数幂的运算方法，二次根式的除法的运算法则，以及绝对值的求法计算，然后根据加法交换律和结合律，求出算式（2015﹣π）0+|﹣2|+÷+（）﹣1的值是多少即可．解答：解：（2015﹣π）0+|﹣2|+÷+（）﹣1．=1+3=（1+2+3）=6+0=6点评：（1）此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）a0=1（a≠0）；（2）00≠1．（3）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）a﹣p=（a≠0，p为正整数）；（2）计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；（3）当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．（4）此题还考查了绝对值的非负性和应用，要熟练掌握．7．化简：（1）（2）（3）．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）、（2）利用二次根式的性质把二次根式化为最简二次根式；（3）根据平方差公式计算．解答：解：（1）原式=4；（2）原式=；（3）原式=（﹣）（+）=3﹣2=1．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．8．计算：（1）（2）﹣5+6（3）×﹣（4）﹣π（精确到0.01）．考点：二次根式的混合运算．分析：（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（3）根据二次根式的乘法法则运算；（4）把≈1.414，π=3.142代入原式进行近似计算即可．解答：解：（1）原式=2+4﹣=5；（2）原式=4﹣+=3；（3）原式=﹣=20﹣3=17；（4）原式≈0.5+1.414﹣3.142≈﹣1.23．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．9．计算：﹣﹣（）2+|2﹣|．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：先把各二次根式化为最简二次根式，再根据绝对值的意义去绝对值，然后合并即可．解答：解：原式=2﹣﹣2+2﹣=．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．10．计算：（）﹣1﹣|2﹣1|+．考点：二次根式的混合运算；负整数指数幂．专题：计算题．分析：根据负整数指数幂和分母有理化的意义得到原式3﹣2+1+，然后合并即可．解答：解：原式=3﹣（2﹣1）+=3﹣2+1+=4﹣．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数指数幂．11．计算：+（﹣）+．考点：二次根式的混合运算．分析：先进行二次根式的化简和乘法运算，然后合并．解答：解：原式=+1+3﹣3+=4﹣．点评：本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简和乘法法则．12．计算：（）﹣2﹣+（﹣6）0﹣．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值得到原式=4﹣4+1﹣，然后进行二次根式的除法运算后合并即可．解答：解：原式=4﹣4+1﹣=1﹣2=﹣1．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值．13．计算：（2﹣）2+﹣（）﹣1．考点：二次根式的混合运算；负整数指数幂．专题：计算题．分析：根据完全平方公式和负整数指数幂的意义得到原式=4﹣4+3﹣3，然后合并即可．解答：解：原式=4﹣4+3﹣3=1﹣．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数指数幂．14．计算（1）（2）．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．分析：（1）先算负指数幂，0次幂和绝对值，再进一步合并即可；（2）先利用平方差公式和二次根式的性质化简，再进一步合并即可．解答：解：（1）原式=2﹣1+3=4；（2）原式=2﹣3+﹣2=﹣3．点评：此题考查二次根式的混合运算，正确掌握二次根式的性质化简以及乘法计算公式是解决问题的关键．15．（1）计算：4×÷﹣2sin30°﹣（）﹣1（2）化简：÷﹣．考点：二次根式的混合运算；分式的混合运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．分析：（1）分别进行二次根式的乘法运算、除法运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂等运算，然后合并；（2）根据分式的混合运算法则求解．解答：解：（1）原式=10÷﹣2×﹣2=10﹣1﹣2=7；（2）原式=•﹣=﹣=．点评：本题考查了二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值、负整数指数幂等知识，掌握运算法则是解答本题的关键．16．计算：（1）+（﹣2013）0﹣（）﹣1+|﹣3|（2）÷﹣×+．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．专题：计算题．分析：（1）根据零指数幂和负整数指数幂的意义得到原式=3+1﹣2+3，然后进行加减运算；（2）根据二次根式的乘除法则运算．解答：解：（1）原式=3+1﹣2+3=5；（2）原式=﹣+2=4﹣+2=4+．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂和负整数指数幂．17．计算（1）÷+﹣3（2）（+）（﹣）．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）先进行二次根式的除法运算，再先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用平方差公式计算．解答：解：（1）原式=+2﹣3=0；（2）原式==a﹣2b．点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．18．（1）（2）．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）先进行乘方和开方运算，再进行乘法运算，然后进行减法运算；（2）先去括号，然后合并即可．解答：解：（1）原式=4+4×（﹣）=4﹣3=1；（2）原式=2+2﹣=2+．点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．19．计算题：（1）+﹣；（2）（1+）（﹣）﹣（2﹣1）2．考点：二次根式的混合运算．分析：（1）先进行二次根式的化简，然后合并；（2）先进行二次根式的乘法运算，然后合并．解答：解：（1）原式=3+﹣=4﹣；（2）原式=﹣+﹣3﹣13+4=4﹣2﹣13．点评：本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法法则以及二次根式的化简．20．计算（1）+（3+）（2）（﹣）×2（3）先化简，再求值．（a+）﹣（﹣b），其中a=2，b=3．考点：二次根式的混合运算；二次根式的化简求值．专题：计算题．分析：（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）根据二次根式的乘法法则运算；（3）先把各二次根式化为最简二次根式得到原式=+2﹣+，然后合并后把a和b的代入即可．解答：解：（1）原式=3+3+2=8；（2）原式=2﹣2=4﹣；（3）原式=+2﹣+=+3当a=2，b=3时，原式=+3．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了二次根式的化简求值．。
16.2 二次根式的乘除
例 6 计算:(1)-2 15÷3 3×6 5;
(2)
3
·
2
÷
2
1
2
3
;(3)3 2 × -
1
8
15 ÷
1
2
2
.
5
分析(1)利用二次根式的乘除法则计算即可;(2)先根据二次根式
的除法法则计算括号里的,再计算即可;(3)先把乘除法混合运算转
化成乘法运算,再进行乘法运算即可.
22
教材新知精讲
(4)公式里的字母可以是具体的数,也可以是值为非负数的代数
式.
(5)当二次根式前面系数不为 1 时,可以类比单项式与单项式相
乘的法则,先把系数相乘,再把被开方数相乘,即
m ·
n =mn (a≥0,b≥0).
3
教材新知精讲
知识点一
知识点二
知识点三
例 1 计算:(1)
5
×
3
知识点四
知识点五
综合知识拓展
10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。17:50:0617:50:0617:509/12/2021 5:50:06 PM
教材新知精讲
综合知识拓展
11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.9.1217:50:0617:50Sep-2112-Sep-21
平方根的性质结合起来使用.商的算术平方根实质是二次根式除法
法则的逆用.
(5)利用商的算术平方根的性质,可以把被开方数的分母是开得尽
方的数的二次根式进行化简.
15
教材新知精讲
知识点一
知识点二
二次根式的乘除法ppt
二次根式的乘除法运算技巧
乘法运算技巧
$(1)$把每个二次根式化成最简二次根式;$(2)$灵活运用分配律，将每一项分别相 乘。
除法运算技巧
$(1)$把除法转化为乘法，将分子分母分别相除;$(2)$运用约分的方法将分子分母 约去公因式，将其化简。
03
二次根式的乘法运算
二次根式的乘法运算定律
运算法则
分配律
二次根式的混合运算同样适用分配律，即将一个二次根式乘以多个二次根式，等于将这个 二次根式分别乘以每一个二次根式，然后进行相乘。
结合律
二次根式的混合运算同样适用结合律，即将多个二次根式相乘，可以先把其中几个二次根 式乘起来，然后再与其他二次根式相乘。
二次根式的混合运算实例
• 例子1：将 $\sqrt{5} \times (\sqrt{3} + \sqrt{2})$ 进行化简 • 原式 = $\sqrt{5 \times 3} + \sqrt{5 \times 2}$ • = $\sqrt{15} + \sqrt{10}$。 • 例子2：计算 $(\sqrt{2} + \sqrt{3})^{2}$ • 原式 = $\sqrt{2} \times \sqrt{2} + \sqrt{3} \times \sqrt{3} + 2 \times \sqrt{2} \times \sqrt{3}$ • = 2 + 3 + 2 \sqrt{6}$ • = 5 + 2 \sqrt{6}$。 • · 例子1：将 $\sqrt{5} \times (\sqrt{3} + \sqrt{2})$ 进行化简 • · ``` • · 原式 = $\sqrt{5 \times 3} + \sqrt{5 \times 2}$ • · = $\sqrt{15} + \sqrt{10}$。 • · ``` • · 例子2：计算 $(\sqrt{2} + \sqrt{3})^{2}$
二次根式的乘除课件
乘法运算规则
01
两个二次根式相乘，其结果是被 开方数相乘，根号不变。
02
例如：$\sqrt{3} \times \sqrt{4} = \sqrt{3 \times 4} = \sqrt{12}$
实例解析
计算实例
$\sqrt{5} \times \sqrt{10} = \sqrt{5 \times 10} = \sqrt{50}$
在进行乘法运算时，需要将二次根式 进行相乘，并化简为最简二次根式。 具体来说，如果两个二次根式的被开 方数相同，则它们可以进行相乘；如 果两个二次根式的被开方数不同，则 需要先进行换元，将它们都转换为被 开方数相同的二次根式，再进行相乘 。
除法运算规则
在进行除法运算时，需要将被除式进 行分母有理化，并化简为最简二次根 式。具体来说，如果被除式的分母是 一个完全平方数，则可以将被除式转 换为有理分式；如果被除式的分母不 是一个完全平方数，则需要先进行换 元，将被除式转换为分母为完全平方 数的有理分式，再进行分母有理化。
在几何图形中的应用
计算面积和周长
在几何图形中，二次根式可以用 来计算图形的面积和周长。例如 ，在矩形、三角形等图形中，可 以通过二次根式计算其面积和周
长。
求解最值问题
在几何图形中，可以利用二次根 式来求解一些最值问题，如最大
值、最小值等。
判断形状
通过比较不同图形的面积或周长 ，可以利用二次根式来判断图形
将除法转化为乘法
将除法问题转化为乘法问题，利用乘法的性质进行计算。
分子分母同时平方
将除数和被除数分别平方，然后进行约分，得到最终结果。
实例解析
实例1
实例3
$\frac{4}{\sqrt{3}}$ 的计算过程及结 果解析。
二次根式的混合运算
1 −1
2
应用练习
3.3 计算： − 2 × 6 +
3−2 −
1 −1
2
课 堂 小 结
−
− >0
− =0
绝对值的化简： − = ቐ 0
− − − <0
例题讲解四
4.计算： 12 −
1 −1
2
+
1
3−1
− − 3.14
0
+ 2 3−4
应用练习
4.1 计算：
2012 − 1
− − 2
0
+ −
1 −1
3
+ 3 − 12
课 堂 小 结
1. 完全平方公式： +
2
= 2 + 2 + 2 , (a − b)2 = 2 − 2 + 2
2. 平方差公式： + − = 2 − 2
课堂大总结
1.二次根式的混合运算依据：有理数的运算律（交换律、结合律、分配律）、
3.二次根式的除法法则： ÷ =
4.二次根式除法法则的逆用：
5.完全平方公式： +
2
≥ 0, > 0
= ÷ ≥ 0, > 0
= 2 + 2 + 2 , (a − b)2 = 2 − 2 + 2
6.平方差公式： + − = 2 − 2
应用练习
5.2
2
计算：
3
9 − 6
4
+
1
例题讲解六
6. 计算：
教学课件：二次根式的乘除混合运算
根号内外分别乘除
解：原式=235 2 5 9
2
=6 5
25 2 9
带分数化成假分数
= 6 20 59
=62 5 53
=4 5 5
化成最简二次根式
灵活应用，能力提升
例1 变式 计算：2 2 -5 0.2 3 5
切勿漏了符号
解：原式=-2 53 2 1 5
5 =- 6 2 5 5
5
小数化成分数
=-
6 5
5
2
=-6 2
灵活应用，能力提升
例2 计算：3 27 1 50 6 2
解：原式=
3
1 2
27 50 6
= 3 225 2
= 3 15 2
= 45 2
根号内外分别乘除
灵活应用，能力提升
例2 变式 计算：3 27 1 50 3
h2km，那么它们的传播半径之比是多少？
解：半径之比= 2Rh1 2R h1 h1 h1 h2 h1h2
2Rh2
2R h2 h2
h2 h2
h2
我们看到，这个比与地球半径无关，这样，只要知道h1，h2， 就可以求出比值.
课堂小结，凝练归纳
二次根式乘除混合运算的解题策略 1.小数化成分数，带分数化成假分数 2.可将根号前的系数对应乘除，再将被开方数对应乘除 3.两部分结果相乘 4.约分、化简
= 135 2 2
灵活应用，能力提升
例3 （课本P1 引言）电视塔越高,从塔顶发射出的电磁波传播得越远,从而能收看到电视 节目的区域就越广.如果电视塔高h km,电视节目信号的传播半径为r km,则它们之间存在
近似关系 r 2Rh ,其中R是地球半径,R≈6400km.”如果两个电视塔的高分别是h1km，
初二数学(人教版)二次根式的乘除混合运算PPT课件
祝同学们越来越优秀！
75 12 75
12
1.二次根式的乘法法则；
除号变为分数线 化简 结果
25 3 5 3 2. ab a b；
4 3 2 3 3. a2 a.
5； 2
（2）解法3： 75 ( 3 4) 知识点
75 3 4
3 25 3 4
5. 2
1. ab a b；
2. a2 a.
36 1 2
9=3；
知识点 1.倒数；
2. 1 1 1； aaa
3.二次根式乘法法则； 4. a2 a.
（1）解法3： 3 6 2
二次根式的乘除 （无括号）
3 6 1 2
除法转化为乘法
3 3 2 1 2
知识点 1.倒数；
2. ab
a b；
化简
( 3)2 1
结果
3.
3.( a )2 a.
10
10
结果
3 2.
10
知识点 1.倒数； 2.二次根式乘法法则； 3. ab a b； 4. a2 a.
例3 计算：
(1) 7 3 14 3 2 1； 15 2 2
(2)
4 4 3 5
5
3 4
10 .
对比 例2 计算：2 12 3 5 2.
4
回顾
例如，
3 1 1 (2 1 )
（2）解法1： 75 ( 3 4) 知识点
二次根式的乘除 （有括号）
括号内乘法
75 12 75
12
1.二次根式的乘法法则； 2.二次根式的除法法则；
再算除法 化简二次根式
结果
25 4
5； 2
3. a2 a.
（2）解法2： 75 ( 3 4) 知识点
二次根式的乘除
二次根式的乘除在数学中，我们经常会遇到涉及二次根式的乘除运算。
二次根式是指形如√a的数，其中a为一个非负实数。
本文将详细讨论二次根式的乘法和除法运算，帮助读者更好地理解和应用这些运算法则。
一、二次根式的乘法运算二次根式的乘法运算涉及到两个二次根式的相乘。
为了方便讨论，我们假设有两个二次根式√a和√b。
那么它们的乘积可以表示为：√a * √b = √(a * b)根据上述公式，我们可以得出二次根式的乘法运算法则：将两个二次根式的被开方数相乘，结果再开平方根。
举例来说，假设我们要计算√2 * √3的结果。
按照乘法运算法则，我们可以将2和3相乘得到6，然后再开平方根，得到最终结果√6。
二、二次根式的除法运算二次根式的除法运算涉及到两个二次根式的相除。
同样地，假设有两个二次根式√a和√b，它们的除法可以表示为：√a / √b = √(a / b)根据上述公式，我们可以得出二次根式的除法运算法则：将两个二次根式的被开方数相除，结果再开平方根。
举例来说，假设我们要计算√8 / √2的结果。
按照除法运算法则，我们可以将8和2相除得到4，然后再开平方根，得到最终结果√4=2。
需要注意的是，二次根式的除法运算中，被开方数相除时需要确保除数不为零，否则运算结果将无意义。
三、二次根式的乘除混合运算在实际问题中，我们可能会遇到涉及二次根式的乘除混合运算。
解决这类运算问题的关键在于灵活运用乘法和除法运算法则，根据具体情况进行分解和合并。
举例来说，假设我们要计算(√2 + √3) * (√2 - √3)的结果。
根据乘法分配律的原理，我们可以将该式拆分为两部分，即(√2 * √2) - (√2 * √3) + (√3 * √2) - (√3 * √3)。
然后，根据乘法运算法则进行计算，得到最终结果为2 - √6 - √6 + 3 = 5 - 2√6。
类似地，如果我们要计算(√8 + √2) / (√2 + √3)的结果，可以采用分子分母同除以√2的方法，得到(√4 + 1) / (√1 + √(3/2))。
二次根式的乘除ppt课件
化运算 .
感悟新知
知1－讲
特别提醒
1. 法则中被开方数a，b既可以是数，也可以是式子，但都
必须是非负的 .
2. 二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的因数或因
式时一定要开方 .
3. 二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个整式 .
感悟新知
知1－练
10
8
10
＝－
9×8＝－20 2.
3
10
3
27÷ ＝－1× 3 ×
8
8
27×
3
感悟新知
知3－练
(5)
(a>0，b>0)；
a3b6
解：∵a>0，b>0，∴
＝
ab
(6)8 ÷3 ÷6 .
a3b6
＝ a2b5＝ab2 b.
ab
4
8 6÷3 3÷6 2＝(8÷3÷6)× 6÷3÷2＝ .
学习目标
第21章 二次根式
21.2 二次根式的乘除
感悟新知
知1－讲
知识点 1 二次根式的乘法
1. 二次根式的乘法法则
一般地，有 · ＝ (a ≥ 0，b ≥ 0). 这就
是说，两个算术平方根的积，等于它们被开方数的
积的算术平方根 .
感悟新知
知1－讲
2. 二次根式的乘法法则的推广
(1)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式乘单
方根代替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因
式移到根号外时，要注意应写在分母的位置上；
C. 0 ≤ x<1
D. x ≥ 0 且x ≠ 1
二次根式的乘除(课件)八年级数学下册(苏科版)
2h
.从100米高空抛物到落地所需时间t2是从50米高
10
空抛物到落地所需时间t1的多少倍？
解:由题意得
t2
t1
2 100
10 20 2.
10
2 50
10
课堂练习
1.化简
A．9
18 2 的结果是（ B ）
B．3
C． 3 2
D．
2 3
2.下列根式中，最简二次根式是（ C ）
注意：被开方数 a，b 既可以是数，也可以是代数式，但都必须是非
负的．
典型例题
例1 计算：
1
3 5；
2
1
27.
3
解： 1 3 5= 3 5= 15；
2
1
1
27 = 27 = 9=3.
3
3
提示：
两个二次根式相乘，把被开方数
相乘，根指数不变.即：
a b ab (a≥0，b≥0)
7
7
5
× × ＝
2²×2×5
2 10
＝
．
5×5
5
8
5
探究新知
二次根式的乘除混合运算中的四点注意：
（1）带分数要化成假分数；
（2）要注意确定最后结果的符号；
（3）最后结果一般要化为最简二次根式或整式；
（4）在二次根式的乘除混合运算中，有理数的运算法则同样适用．
05
二次根式乘除法的应用
典型例题
例题9. 一个长方形的长和宽分别是 10 和2 2 .求这个
可以发现这些数不能再化简，这些数有两个特点：
（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
二次根式的乘除法PPT课件
contents
目录
• 二次根式基本概念与性质 • 二次根式乘法运算规则 • 二次根式除法运算规则 • 乘除混合运算及简化方法 • 在实际问题中应用举例 • 错题集锦与答疑环节
二次根式基本概念与
01
性质
二次根式定义及表示方法
定义
形如$sqrt{a}$（$a geq 0$）的式 子叫做二次根式。
解析
首先将二次根式化为最简形式，$sqrt{8} = 2sqrt{2}$，$sqrt{12} = 2sqrt{3}$。 然后进行乘法运算，$2sqrt{2} times 2sqrt{3} = 4sqrt{6}$。
典型例题解析
• 例题2：计算$\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}}$。 • 解析：首先将二次根式化为最简形式，$\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$。然后
注意挖掘题目中的隐含条件，避免因为忽视条件而导致错 误。
学生提问环节，老师答疑解惑
学生提问
老师，我在计算二次根式的乘法时总是出错，有什么方法可以 避免吗？
老师回答
首先，你需要熟练掌握二次根式的乘法运算法则，其次在计算 过程中要保持细心和耐心，注意每一步的计算准确性。同时， 你可以通过多做练习题来提高自己的计算能力和准确性。
进行除法运算，$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 2$。 • 例题3：计算$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{3}}{\sqrt{3}}$。 • 解析：首先观察分子分母的特点，发现可以分母有理化。然后进行化简，
$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{3}) \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{18} + 3}{3} = \frac{3\sqrt{2} + 3}{3} = \sqrt{2} + 1$。
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5下列运算正确的是（）
(A) (B) (C) (D)
6如果最简二次根式 与 是同类二次根式，那么使 有意义的 的取值范围是（）
(A) (B) (C) (D)
二填空题
1式子 化简的结果是
2如果 ，则 、 应满足
3如果 ，则 的值是
4
5已知 ，那么 的值
三简答题
1计算： . 2计算
2在 、 、 、 中，与 是同类二次根式的是
3 的整数部分是
4计算：
5化简：
6化简：
7方程 的解是
8已知 ，则 的值等于
三解答题
1计算： .
2计算 .
3计算
4已知 ， ，求 的值.
5已知 ，求代数式 的值
二次根式乘除
一知识点总结
1乘法法则：二次根式的性质三逆用就是二次根式的乘法法则.
两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变.
同步练习
1计算
例3解不等式： .同步练习1解不等式
例4、若最简二次根式 与 是同类二次根式，求m,n的值
例5、已知4x +y -4x-6y+10=0,求：
（ + ）-( - )的值。
课堂练习
一选择题
1与 是同类二次根式的是（）
(A) (B) (C) (D)
2下列运算正确的是（）
(A) (B) (C) (D)
2除法法则：二次根式的性质四逆用就是二次根式的除法法则.
两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变.
3分母有理化：把分母中的根号化去.
4混合运算： 实数的运算律、运算性质以及运算顺序规定，在在二次根式中都是用.
二典型例题分析
例1计算：（1） ；（2） ；（3）
例2计算：
（1） ；（2） ；（3）
例3把下列各式分母有理化
3若 的整数部分为 ，小数部分为 ，则 的值是（）
(A) (B) (C) (D)
4 的值等于（）
(A) (B) (C) (D)
5对于所有实数 、 ，下列等式总能成立的是（）
(A) (B) (C) (D)
6若 与 互为倒数，则（）
(A) (B) (C) (D)
二，填空题
1若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 ，
教学内容
一知识点总结
1二次根式的加减法与整式加减法的关系
整式加减法归结为合并同类项，二次根式的加减同整式的类似，归结为合并同类二次根式.
2 二次根式加减法的一般过程是：
先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并.
二典型例题分析
例1计算
（1） ；（2）
同步练习
1计算 ；
例2计算
（1） ；（2）
， 时， 。
2. 计算： 。
3. 计算： 。 =
4. 长方形的宽为 ，面积为 ，则长方形的长约为（精确到0.01）。
5. 下列各式不是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知 ，化简二次根式 的正确结果为（ ）
A. B. C. D.
7. 对于所有实数 ，下列等式总能成立的是（ ）
（1） ；（2） ；（3）
同步练习
1把下列各式分母有理化：
（1） ；（2） ；（3） .
课堂练习
一选择题
1设 的小数部分为 ，则 的值是（）
(A) (B) (C) (D)
2若 ，则 的值是（）
(A) (B) (C) (D)
3式子 成立的条件是（）
(A) (B) (C) (D)
4下列等式不成立的是（）
A. B.
C. D.
8. 计算：
9. 化简：
签字确认
学员教师班主任