与导数有关的应用题

与导数有关的应用题

1.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售

价格x (单位：元/千克)满足关系式210(6)3

a y x x =

+--，其中36x <<，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．

(Ⅰ) 求a 的值； (Ⅱ) 若该商品的成本为3元/千克, 试确定销售价格x 的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

2.已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元。设该公司一年内生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为)(x R 万元，且⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-=10,31000108100,3018.10)(22x x x

x x x R （1）写出年利润W （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；

（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？（注：年利润=年销售收入-年总成本）

3.某学校要建造一个面积为10000平方米的运动场.如图，

运动场是由一个矩形ABCD 和分别以AD 、BC 为直径的两个

半圆组成.跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道

外，其他地方均铺设草皮.已知塑胶跑道每平方米造价为

150元，草皮每平方米造价为30元

(1)设半圆的半径OA=r (米),试建立塑胶跑道面积S 与r 的函数关系S(r )

(2)由于条件限制[30,40]r ,问当r 取何值时,运动场造价最低?

4一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a 成正比，与它的厚度d 的平方成正比，与它的长度l 的平方成反比.

(Ⅰ)将此枕木翻转90°（即宽度变为厚度），枕木的安全负荷会如何变化？为什么？（设翻转前后枕木的安全负荷分别为21,y y 且翻转前后的比例系数相同都为k ）

(Ⅱ)现有一根横断面为半圆（已知半圆的半径为R ）的木材，用它来截取成长方体形的枕木，其长度

为10，问截取枕木的厚度为d 多少时，可使安全负荷y 最大？

O A B

C

θ 5.某风景区在一个直径AB 为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点A 与圆弧上设计的一点C 之间设计为直线段小路，在路的两侧．．

边缘种植绿化带；从点C 到点B 的为沿弧BC 的弧形小路，在路的一侧．．

边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带宽度忽略不计）

（1）设 ÐBAC =q （弧度），将绿化带总长度表示为q 的函数()s θ；

（2）试确定q 的值，使得绿化带总长度最大．

6.某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，

左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为80

3

立方米，且2

l r

≥.假设该容器的

建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为(3)

c c＞.设该容器的建造费用为y千元.

（Ⅰ）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；

（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r.