历年高等数学A(下)试卷和解答

福州大学工科《大学数学（三）》试题A （050113）

一．单项选择（每小题2分，共10分）

1．下列级数中为条件收敛的是（ ）。 （A

）1(1)

n

n +∞

=-∑ （B ）211(1)n

n n +∞

=-∑ （C ）1(1)(1)2n n n n i +∞=+-∑ （D ）2

1

1(1)ln(1)n

n n +∞

=-+∑ 2．设[]()()F f t ω=F

，则[]()f t '=F （

）()F ω。

（A ）ω- （B ）ω （C ）j ω （D ）j ω-

3．z =∞为函数1

()sin f z z z

=的（ ）。

（A ）一级极点 (B)二级极点 (C)可去奇点 (D)本性奇点

4．积分0sin t

dt t

+∞⎰=( )。

（A ）0 （B ）2

π

（C ）π （D ）2π

5．方程52310z z +-=在12z <<内的根的数目为（ ）。 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）5 二．填空（每小题2分，共10分）

1．函数1

()1

z f z e =-的极点z = 。

2．留数Res ,(1)z e z z ⎡⎤

∞⎢

⎥-⎣⎦

= 。 3．设1,02

()122,1

2

x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩在[]01，内展开为正弦级数，其和函数为()S x ，则5()2S = 。

4．Fourier 变换()2()()t

u t e t δ-⎡⎤*⎣⎦F = 。

5．21

()(1)

f z z z =-在1z <<+∞内的Laurent 展开式是 。

三.计算题（每小题10分，共30分） 1．求幂级数1n

n x n

+∞

=∑

的收敛区间与和函数()S x 2．设C 为2z =的正向，求积分21cos (1)

C

z e I z dz z z z ⎡⎤

=+⎢⎥-⎣⎦⎰。 3．计算实积分20sin 9

x x

I dx x +∞

=+⎰

。

四、计算题（每小题10分，共30分）

1．求Fourier 变换2()()cos3t

F =t u t e t ω-⎡⎤⎣⎦F 。

2．求Laplace 变换20sin 3t t

te t dt -⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰L 。

3．设221()(1)

s s F s s s +-=

-2

，求()F s 的Laplace 逆变换()f t 。

五、（10分）设[]()()F f t ω=F

，a 为非零的常数，证明：[]1()()f a t F a a

ω

=

F 。 六、(10分)解积分方程：2

()2sin()()t

y t t t y d τττ=+-⎰。

大学数学（三）A 参考答案（050113）

一、单项选择（每小题2分，共10分） 1.A 2.C 3.C 4.B 5.C

二、填空（每小题2分，共10分）

1.2(0)k i k π≠，

2.1e -，

3.3

4， 4.12j ω+， 5.301n n z +∞

+=∑，

三、计算题（每小题10，共30分）

1.解 11

lim lim 1,

11n n

n n c n

R c n λλ+→∞→∞=====+,n

11

1(1)11,当时，发散，

时收敛,n n x x n n +∞

+∞

==-==-∑∑ 1的收敛区间为[-1,1).n n x n +∞

=∑1

0011

1()ln(1),111n x x n n n x S x t dt dt x x n t +∞+∞-======---≤<-∑∑⎰⎰. 2.解 21

cos 1)z

C C

e dz z dz z z z -⎰

⎰1分

原式＝　＋　（ , 3

11111

cos 2!4!z z z z z

=-+-，

11

cos 2　C

z dz ic i z ππ-==-⎰ 022Res[,0]|11)1)（（z z z e e z z z ===--， 1122Res[,1]()||01)（z

z z z

z z e e e z e z z z z ==-'===- 21

cos 21)原式=　＋　（z

C C

e dz z dz i i i z z z πππ=-=-⎰

⎰ 3．解 221sin 1Im()2929ix x x xe I dx dx x x +∞+∞-∞-∞==++⎰

⎰，2()139

iz

ze f z z i z ==+在上半平面内有级极点，23

3R es[(),3](9)2iz z i ze e f z i z -=='+=，

2

32,92ix xe e dx i x π-+∞

-∞

=+⎰ 3

2

e I π-= 四、计算题（每小题8，共24分） 1.解

3322323()(())()()2

j t j t

t

t j t

t j t

e e tu t e

tu t e e tu t e e ω-----+⎡⎤⎡⎤=

=+⎣⎦⎣⎦，

21

(())2t u t e j ω

-=

+， 22

111

(())()2(2)t d tu t e j d j j ωωω-=

=-++， 23232

2

1

1(()),

(()),[2(3)][2(3)]t j t t j t tu t e e tu t e e j j ωω---==

+-++

22222

111(2)9

(){}2[23][23][(2)9]j F j j j j j ωωωωω+-=+=+-++++。