高中数学拓展知识-对数尺
高一上册数学对数知识点
高一上册数学对数知识点对数是数学中一种重要的运算形式，能够将指数运算转化为对数运算，从而简化计算过程。
它在解决指数方程、评估指数函数的值以及处理复杂的数学问题方面起着重要作用。
在高中数学课程中，学习对数是必不可少的一部分。
下面我将为大家介绍高一上册数学中的几个重要的对数知识点。
一、对数的定义与性质1. 对数的定义：对于正数a（a≠1）和正数x，如果满足a^x=b （b>0），那么称x为以a为底b的对数，记作logₐb=x。
其中，a 被称为对数的底数，b被称为真数。
2. 对数的性质：（1）logₐ1=0，任何数的以自身为底的对数等于1。
（2）logₐa=1，任何数以其自身为底的对数等于1。
（3）logₐ(a*b)=logₐa+logₐb，任何两个正数的乘积的对数等于它们的对数之和。
（4）logₐ(a/b)=logₐa-logₐb，任何两个正数的商的对数等于它们的对数之差。
（5）logₐ(a^p)=p*logₐa，任何数的幂的对数等于指数与幂的底数的对数乘积。
二、常用对数与自然对数1. 常用对数：以10为底的对数称为常用对数，常用对数的记作logb，其中b表示真数。
常用对数的底数为10，即log₁₀b。
2. 自然对数：以自然常数e（约等于2.71828）为底的对数称为自然对数，自然对数的记作lnx，其中x表示真数。
三、对数运算的应用1. 对数方程：对数方程是指以对数形式表示的方程。
通过对数的性质，可以将一些指数方程转化为对数方程，从而更方便地解决问题。
2. 指数函数：指数函数是以指数形式表示的函数，具有形如f(x)=a^x的表达式，其中a为底数。
对数函数则是指数函数的逆运算，可以通过对数函数求解指数函数的值。
3. 对数尺度：对数尺度在测量和表达某些现象时往往更加合适。
例如在地震的震级表中，每增加一个单位的震级，地震的能量就增加10倍。
四、常用对数的换底公式1. 换底公式：对于任意正数a、b以及正整数n，换底公式为logₐb=logₐn * lognb。
对数知识点归纳总结高中
对数知识点归纳总结高中一、对数的基本概念1. 指数指数是用来表示一个数的乘方的指数。
对数与指数是互为逆运算的。
如果a的x次方等于b，那么x就是以a为底b的对数，记作x=logab。
其中，a被称为对数的底，b被称为真数，x被称为指数。
2. 对数的性质对数的性质包括：（1）对数的基本定义：loga1=0, logaa=1（2）对数的唯一性：对于任意的a>0，且a≠1，b>0，b>0且b≠1，则a的对数是唯一的。
（3）对数的运算性质：logab+logac=loga(bc)，logab-logac=loga(b/c)，nlogab=loga(b^n)。
3. 对数的运算对数可以进行加法、减法、乘法和除法运算，其中乘方运算是对数最基本的运算。
对数的运算基于对数的定义和性质。
通过对数的运算，可以简化复杂的乘方运算，进而求解各种数学问题。
4. 对数的换底公式对数的换底公式是指当对数的底不同时，如何求解两个底不同的对数之间的关系。
对数换底公式为：logab=logcb/logca。
5. 对数方程对数方程是指方程中包含对数的运算。
通过对数方程的变形和化简，可以求解出未知数的值。
对数方程在实际问题中有着广泛的应用，如生物学、物理学和经济学等领域。
6. 对数不等式对数不等式是指包含对数的不等式。
对数不等式可以通过对数的性质和运算来进行求解。
对数不等式在数学推导和应用问题中有着重要的作用。
二、常用对数1. 自然对数自然对数是以常数e（约等于2.71828）为底的对数。
自然对数在数学和物理中有着广泛的应用，如求解指数函数、微积分和概率统计等问题。
2. 常用对数常用对数是以10为底的对数。
常用对数在数学、工程和科学中常常用到，方便计算和表述。
3. 底为2的对数底为2的对数在计算机和信息技术领域有着特殊的应用，如计算机存储容量的衡量、数据压缩和信息传输等方面。
三、对数的应用1. 对数函数对数函数是指以对数形式表达的函数。
高三对数知识点总结
高三对数知识点总结在高三数学学习中，对数是一个重要的知识点。
对数的概念和性质在数学的各个领域都有广泛的应用，是解决各类问题的重要工具。
接下来我将对高三对数的知识点进行总结。
1. 对数的定义与性质对数是指数与底数的关系。
如果aᶺ = x，则称数a为底数，指数ᶺ为x的对数。
对数的定义为logₐx=ᶺ。
对数的性质有：（1）logₐ(xy)=logₐx+logₐy（2）logₐ(x/y)=logₐx-logₐy（3）logₐ(xᶺ)=ᶺlogₐx（4）logₐ1=0（5）logₐa=12. 常用对数和自然对数常用对数是以10为底的对数，常用记作logx。
自然对数是以e （欧拉数）为底的对数，记作lnx。
常见对数和自然对数的换底公式为：（1）lnx=logₑx=log₁₀x/log₁₀e（2）logₐx=logcxa/logcab3. 对数方程与指数方程对数方程是含有对数函数的方程。
解对数方程的关键是将对数方程转化为指数方程，再进行求解。
对数方程的解还需满足底数的定义域要求。
例如，对数方程log₃(x+1)-log₃(x-2)=1，可转化为指数方程3¹=log₃(x+1)/(x-2)，解得x=0。
4. 对数函数与指数函数的关系对数函数与指数函数是互为反函数。
对数函数的定义域是正实数，值域是实数；指数函数的定义域是实数，值域是正实数。
两者之间的关系可以通过对数函数和指数函数的图像进行理解。
例如，y=log₃x和y=3ˣ的图像是关于y=x对称的。
5. 指数函数与对数函数的应用指数函数和对数函数在实际问题中有广泛的应用，如复利计算、化学反应速率等。
6. 对数运算的应用对数运算可以简化复杂的计算，解决实际问题。
例如，在学习生物学中，对数运算可以用于衡量物种数量的增长和衰减。
7. 对数函数的导数对数函数的导数公式为(d/dx)logₐx=1/(xlogₐe)。
根据导数公式，对数函数的单调性可以进行推导。
当底数大于1时，对数函数是递增函数；当底数小于1时，对数函数是递减函数。
高中数学对数的知识点总结
高中数学对数的知识点总结一、对数的定义1. 对数的概念对数是指数的逆运算。
设a为正实数且a≠1，a的正实数b的对数写作logₐb，读作“以a为底b的对数”。
其中a称为底数，b称为真数。
即logₐb=c,是等价的关系式a^c=b。
例如，log₂8=3，即等式2^3=8成立。
2. 对数的性质（1）底数为1时，b=1,a=1,log₁1=0;即logₐa=0。
（2）底数为正数时，即a>0,且a≠1时⒈对于任意正数b,1≠b,底数相等时，对数相等，即a>0,a≠1时，logₐb=logₐc，当且仅当b=c。
即对于任意正数b,0<a≠1,等式a^x=b的解是唯一的。
⒉对于任意正数a，b，c，当a>0，a≠1时，loga(b*c)=loga(b)+loga(c)。
⒊对于任意正数a，b，c，当a>0，a≠1时，loga(b/c)=loga(b)-loga(c)。
⒋对于任意正数a，b，当a>0，a≠1时，loga(b^c)=c*loga(b)，其中c是常数。
3. 对数的求值对数的求值即是用对数的性质，把对数的计算用其它运算替代。
4. 对数的应用对数是一个非常重要和常见的概念，在数学中有着广泛的应用。
在科学、工程、经济和社会等领域中，对数都有着重要的作用。
例如在地震、声音、强度、音乐、语言学和政治领域等，都用到对数。
二、对数的基本概念1. 对数方程的解法对数方程的解法是通过对数的性质来解对数方程。
分为以下几种类型：（1）把一个对数方程转化为同底数的对数方程，通过对数的定义和性质，解方程找到x的值。
（2）两个底数不同的对数方程，通过换底公式进行计算，转换成相同底数的对数方程。
2. 对数不等式的解法对数不等式的解法是把对数引入不等式组成的方程中，然后进一步思考分析，解不等式。
对数不等式常见的类型有以下几种：（1）把对数不等式分解为多个对数方程，然后再求解。
3. 对数方程组的解法对数方程组的解法是将多个对数方程组合成一个方程，然后根据对数的性质和方程组的解法，求解出方程组的解集。
高一对数知识点总结
高一对数知识点总结在高中数学学习中，对数是一个重要而有用的概念。
对数可以帮助我们处理大量的数据，简化计算过程，同时也在科学和工程领域中具有广泛的应用。
本文将对高一学生所学习的对数知识进行总结和归纳。
一、对数的定义和性质对数是指数和底数的关系。
设a为正数，且a≠1，若a^x=b，则称x为以a为底b的对数，记作x=loga b。
其中，a为底数，b为真数，x为对数。
对数具有一些重要的性质：1. 对数的底数不同，对数值也不同。
即对于任意正数a,b,c，若a>b，那么loga c>logb c。
2. 指数与对数是互反的运算，即a^loga b=b，loga(a^b)=b。
3. 对数函数的图像为曲线，且以y=x为对称轴。
4. 对数函数的定义域为正数集，值域为实数集。
二、对数的运算在高一学习中，对数的运算主要涉及对数的乘法、除法、幂运算等。
1. 对数的乘法：loga mn=loga m+loga n。
对数的乘法利用了指数的幂运算的性质，可以将两个数的对数相加得到等于两个数乘积的对数。
2. 对数的除法：loga (m/n)=loga m-loga n。
对数的除法利用了指数的幂运算的性质，可以将两个数的对数相减得到等于两个数商的对数。
3. 对数的幂运算：loga (m^p)=p*loga m。
对数的幂运算利用了指数的幂运算的性质，可以将一个数的对数乘以指数得到等于该数的指数幂的对数。
4. 对数的换底公式：loga b=logc b/logc a。
当计算某个底数不方便时，可以利用换底公式将底数转换为其他底数，以便计算。
三、对数的应用对数在许多实际问题中起着重要的作用，下面将介绍一些常见的对数应用。
1. 增长问题：对数可以用来描述某种增长速度。
例如，当我们研究细胞分裂的速度、人口的增长速度、物种的扩散速度等时，可以利用对数函数来模拟和描述其增长过程。
2. 比率问题：对数可以用来计算两个量之间的比率。
例如，当我们研究经济增长率、人均GDP增长率等时，可以利用对数函数来计算和比较各个国家或地区之间的增长率。
高一数学上册关于对数的知识点归纳
高一数学上册关于对数的知识点归纳
一、对数的概念
(1)对数的定义：
如果ax=n(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底n的对数，记作x=logan，其中a叫做对数的底数，n叫做真数.当a=10时叫常用对数.记作x=lg_n，当a=e时叫自然对数，记作x=ln_n.
(2)对数的常用关系式(a，b，c，d均大于0且不等于1)：
①loga1=0.
②logaa=1.
③对数恒等式：alogan=n.
二、解题方法
1.在运用*质logamn=nlogam时，要特别注意条件，在无m>0的条件下应为logamn=nloga|m|(n∈n*，且n为偶数).
2.对数值取正、负值的规律：
当a>1且b>1，或00;
3.对数函数的定义域及单调*：
在对数式中，真数必须大于0，所以对数函数y=logax的定义域应为{x|x>0}.对数函数的单调*和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调*时，要按01进行分类讨论.
4.对数式的化简与求值的常用思路
(1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.
(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.。
高中数学知识点全总结对数
高中数学知识点全总结对数一、对数的概念与性质对数是数学中一个重要的概念，它与指数函数有着密切的关系。
对数的定义是基于指数的逆运算，其形式为：如果 \(a^x=b\)，那么 \(x\) 就是以 \(a\) 为底 \(b\) 的对数，记作 \(x = \log_a b\)，其中\(a\) 称为对数的底数，\(b\) 称为真数。
1.1 常用对数在实际应用中，以 10 为底的对数被称为常用对数，记作 \(\log_{10} b\)，简写为 \(\log b\)。
以自然数 \(e\)（约等于 2.71828）为底的对数称为自然对数，记作 \(\ln b\)。
1.2 对数的性质对数具有以下基本性质，这些性质在解决对数方程和简化对数表达式时非常有用：- \(\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y\)- \(\log_a (x/y) = \log_a x - \log_a y\)- \(\log_a (x^p) = p \cdot \log_a x\)- \(\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}\)（换底公式）二、对数的运算法则对数的运算法则与指数的运算法则相对应，是解决高中数学问题时不可或缺的工具。
掌握对数的运算法则，可以帮助我们更快地解决涉及乘法、除法、幂运算的对数问题。
2.1 乘法变加法当面对两个相同底数的对数相乘时，可以将乘法转换为加法：\(\log_a (x^n) = n \cdot \log_a x\)2.2 除法变减法同样地，当进行相同底数的对数相除时，可以将除法转换为减法：\(\log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y\)2.3 幂运算对于对数的幂运算，可以将幂移到对数前面：\(\log_a (x^p) = p \cdot \log_a x\)三、对数的应用对数在实际问题中有广泛的应用，特别是在处理涉及增长和衰减的问题时。
对数知识点总结高中
对数知识点总结高中一、概念对数是指数运算的逆运算，是一种用来求解指数方程的运算方法。
对数可以帮助我们快速计算复杂的指数运算，简化数学问题的求解过程。
二、对数的定义1.定义：设a是一个大于0且不等于1的实数，a ≠ 1，且a≠0。
若aⁿ=x（n∈R），则称n 是以a为底x的对数，记作n=logₐx，其中a称为底数，x称为真数，n称为指数。
2.对数的性质：（1）logₐa = 1（2）aⁿ=x（n∈R），则x>0（3）a>1时，n>0 <=> logₐx>0a<1时，n>0 <=> logₐx<0（4）a>1时，m>n <=> logₐm>logₐna<1时，m>n <=> logₐm<logₐn（5）logₐmn=logₐm+logₐn（6）logₐm/n=logₐm-logₐn（7）log_a(x^n)=nlog_ax（8）logₐ1=0,logₐa=1三、对数的运算1.换底公式若已知log_bx的值，要求log_ax的值时，可以利用换底公式来求解。
设log_bx=y，则x=b^y则log_ax=log_ab^y=ylog_ab2.对数的加减法logₐm+logₐn=logₐmnlogₐm-logₐn＝logₐ(m/n)3.对数的乘方法则logₐ(x^m)=mlogₐx4.对数的除法法则logₐ(x/n)=logₐx-logₐn四、对数方程对数方程是指含有对数的方程，形式为logₐx=b。
求解对数方程时，我们需要根据对数的性质和换底公式来化简方程，从而得到方程的解。
五、对数不等式对数不等式是含有对数的不等式，形式为logₐx>b。
求解对数不等式时，我们需要根据对数的性质来化简不等式，然后利用不等式的性质来解决问题。
六、对数函数对数函数是指y=logₐx（a>0且a≠1）这样的函数。
数学高一对数的知识点归纳
数学高一对数的知识点归纳在高中数学中，对数是一个非常重要的概念，它在很多数学题目中都扮演着重要的角色。
本文将对高一数学中对数的相关知识点进行归纳总结，以帮助同学们更好地掌握对数的基本概念和性质。
一、对数的定义和性质1. 对数的定义对数是指数运算的逆运算。
设 a 为正实数，且a≠1，b 为正实数，则满足 a^x = b 的方程 x 称为以 a 为底 b 的对数，记作x=logₐb。
2. 对数的性质（1）对数的底数不得为 0 或 1。
（2）对数可以转化为指数形式，即 a^x = b 等价于x=logₐb。
（3）对数运算中常用的性质有对数之和等于取对数之积、对数之差等。
（4）常用对数的底数是10，自然对数的底数是e≈2.718，其中e 是自然对数的底数。
二、对数的运算1. 对数的乘除法（1）对数的乘法性质：logₐ(mn) = logₐm + logₐn。
（2）对数的除法性质：logₐ(m/n) = logₐm - logₐn。
2. 对数的幂次法则（1）对数的幂法则：logₐ(m^k) = klogₐm。
（2）对数的根法则：logₐ√(m) = 0.5 * logₐm。
3. 对数的换底公式（1）换底公式1：logₐm = logᵦm / logᵦa。
（2）换底公式2：logₐm = logc(m) / logca。
三、对数方程和对数不等式1. 对数方程的解法对数方程是形如logₐm = n 的方程，可以通过变换为指数形式求解。
例如，对于方程 log₃(2x+1) = 2，可以转化为 3^2 = 2x+1，进而求得 x 的值。
2. 对数不等式的解法对数不等式是形如logₐm < n 或logₐm > n 的不等式，可以通过构造指数形式来解决。
例如，对于不等式 log₂(x+1) > 2，可以转化为 2^(x+1) > 2^2，通过求解不等式得到 x 的取值范围。
四、常用对数和自然对数1. 常用对数常用对数是以 10 为底的对数，记作 log(m) 或 log10(m)。
人教版高一对数概念知识点
人教版高一对数概念知识点高一对数概念知识点对数是数学中常见的一个概念，我们经常在数学课本中见到它的身影。
那么，什么是对数呢？在这篇文章中，我们将详细介绍人教版高一对数概念知识点，让大家对对数有一个更加深入的理解。
一、对数的定义对数是数学中一个重要的概念，它可以帮助我们简化计算，并解决一些复杂的数学问题。
在定义对数之前，我们先来了解指数的概念。
指数，是用来表示重复乘积的运算法则。
例如，2的3次方可以表示为2³，意思是2乘以2乘以2，即2x2x2=8。
指数运算的反运算即为对数运算。
对数可以这样定义：设正整数a大于1，且不等于1。
如果aⁿ=x，那么数n叫做以底数a的对数。
用符号logₐ(x)表示，其中n 叫做x的对数，a叫做底数，x叫做真数。
二、常见对数与自然对数在数学中，我们通常使用常见对数和自然对数。
常见对数以10为底，自然对数以e（约等于2.71828）为底。
常见对数可以写作log₁₀(x)，它表示以10为底数，真数是x 的对数。
自然对数可以写作logₑ(x)或ln(x)，其中e是自然对数的底数。
常见对数和自然对数在计算中都经常被使用，具体使用哪一个取决于问题本身的特点和要求。
三、对数的性质对数有许多重要的性质，了解并熟练运用这些性质，能够在计算中事半功倍。
下面是对数的几个重要性质：1. logₐ(mn) = logₐm + logₐn这个性质叫做乘法公式，它表明两个数的乘积的对数等于这两个数的对数之和。
2. logₐ(m/n) = logₐm - logₐn这个性质称为除法公式，它表明两个数的商的对数等于这两个数的对数之差。
3. logₐ(mⁿ) = n * logₐm这个性质称为幂公式，它表明一个数的指数幂的对数等于指数乘以这个数的对数。
4. logₐa = 1这个性质表明任何数以其自身为底的对数都等于1。
四、对数的应用对数在数学中有着广泛的应用，下面是一些常见的应用场景：1. 对数函数对数函数是一类常用的基本函数，如y = log(x)，它在很多科学领域中都有重要的应用，如物理学、化学等。
高一对数基本知识点
高一对数基本知识点在高一数学学习中，对数是一个非常重要的概念。
对数广泛应用于各个科学领域以及实际生活中，对数的基本知识点不仅能够帮助我们解决数学问题，还可以增加我们对数学的认识和理解。
本文将介绍高一对数的基本知识点，帮助读者掌握对数的概念、性质和应用。
一、对数的概念在数学中，对数是一种表示指数运算的方法。
对数的定义如下：如果a^x=b，其中a、b为正数，且a≠1，那么x就是以a为底b的对数，记作x=logₐb。
其中，a称为底数，x称为指数，b称为真数。
对数的定义可以用以下公式表示：a^x=b ⇔x=logₐb。
二、对数的性质1. 对数的底数必须大于0且不等于1，真数和底数必须为正数。
2. 对数的底数相同时，真数越大，对数越大；真数越小，对数越小。
3. 当真数为1时，任何底数的对数都等于0。
4. 当底数为a，指数为x时，a^x的对数等于x，即logₐa^x=x。
5. 对数运算有“换底公式”，即logₐb=logCa/logCb，其中C为一个满足C>0且C≠1的正数。
三、常用对数和自然对数1. 常用对数：以10为底的对数称为常用对数，常用对数的记法为logb。
常用对数中的真数b可以是任何正数，常用对数的底数为10。
常用对数logb是b的指数，即b=10^logb。
例如，log10^100=2，因为10^2=100。
2. 自然对数：以自然常数e(约等于2.71828)为底的对数称为自然对数，自然对数的记法为ln。
自然对数的底数为e，自然对数lnb是以e为底b的指数，即b=e^lnb。
例如，ln^20=e，因为e=e^1。
四、对数的应用对数在实际应用中有广泛的用途，以下列举几个常见的应用领域：1. 数学建模：对数可以帮助我们简化复杂的数学问题，将指数运算转化为对数运算，从而更方便地进行数学建模和求解。
2. 数据压缩：对数可以用来对数据进行压缩，通过对数变换，可以将大范围的数值变换到一个较小的范围内，减少数据存储的空间和计算的时间。
高中数学必修一：对数运算的应用拓展教案
高中数学必修一：对数运算的应用拓展教案
一、教学目标
1.了解对数的应用领域及其与数学、物理、化学等学科的联
系。
2.掌握对数的特性、常用的对数运算及其实际应用。
3.运用对数解决实际问题，培养学生的数学思维能力和创新
精神。
二、教学方法
1.课前讲授，让学生了解对数的基本概念和性质。
2.课堂活动，引导学生探究对数的实际运用和应用举例。
3.小组合作，加强学生间的互动交流，提升学生的思维能力
和解决问题的能力。
三、教学内容
1.对数的应用领域
介绍对数运算的应用领域，如音乐、生物、物理、化学等，在不同领域中对数的应用方法和实际意义。
2.对数的特性及运算规律
1)对数的定义及基本性质
2)对数的运算规律：加减、乘除及其法则。
3.对数的实际应用
1)物理中的对数应用
2)生物学中对数的应用
3)化学中对数的应用
4)金融中对数的应用
四、课堂实践
1.让学生自己寻找对数的实际应用，结合实际例子进行讲解。
2.利用小组合作方式，让学生进行对数的题目练习，并加强学生之间的互动交流。
3.让学生自己设计有关对数的小项目，提升学生的实践能力和创新精神。
五、教学反思
通过对数运算的应用拓展教学，让学生深入了解对数的特性和实用性，掌握对数的基本知识和运算规律，培养学生的数学思维能力和创新精神，提升学生的实践能力和解决问题的能力。
同时，通过小组合作方式，加强学生之间的互动交流，促进共同学习和友好协作，达到了教育教学目的。
对数尺使用方法
对数尺使用方法哎呀，说起对数尺，这玩意儿可真是个老古董了。
记得小时候，爷爷的书房里总摆着一把，他总是用它来画图，那时候的我，觉得这东西可神奇了。
对数尺，顾名思义，就是用来画对数的尺子。
不过，别误会，它可不是用来画那些弯弯曲曲的数学曲线，而是用来计算和绘制对数函数图的。
这东西，对于我们这些非专业人士来说，可能有点陌生，但对于工程师、科学家来说，那可是个宝贝。
记得有一次，我跟着爷爷去他的工作室，他正拿着一把对数尺，对着一张图纸比划。
我好奇地凑过去，问他这是啥玩意儿。
爷爷笑着摸摸我的头，说：“这可是个好东西，有了它，我就能画出最精确的对数图了。
”爷爷告诉我，对数尺的原理其实很简单，就是利用了对数的换底公式。
尺子上有很多刻度，每个刻度都对应着一个特定的对数值。
你只需要找到对应的刻度，就能画出你想要的对数曲线。
他给我示范了一下，只见他把尺子放在图纸上，然后对准了两个点，轻轻一划，一条平滑的曲线就出现了。
我那时候觉得，这比用普通的尺子画直线还要简单。
爷爷还告诉我，对数尺的妙处在于，它能让复杂的计算变得简单。
比如，你要计算一个数的对数，只需要找到这个数在尺子上的位置，然后看它对应的刻度，就能得到答案了。
我那时候听得一头雾水，但爷爷的耐心讲解，让我对这把尺子充满了好奇。
他告诉我，对数尺不仅可以用来画图，还可以用来解决一些实际问题，比如计算声音的分贝值，或者测量地震的震级。
现在，虽然我已经长大，对数尺也不再是那么神秘的东西了，但我还是会时不时地想起爷爷的那把对数尺，和他耐心教我的样子。
对数尺，对我来说，不仅仅是一个工具，更是一段美好的回忆。
所以，如果你有机会接触到对数尺，不妨试试用它来画图，感受一下那种简单而精确的乐趣。
你会发现，即使是最古老的工具，也有它独特的魅力。
2024年新高一数学初升高衔接《对数及其运算》含答案解析
第16讲 对数及其运算模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．理解对数的概念，掌握对数的基本性质；2．掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程；3．理解对数的运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；4．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明.知识点 1 对数的概念与性质1、对数的概念：如果x a N =（0a >且1a ≠），那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x =log a N ，其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数．2、常用对数与自然对数名称定义记法常用对数以10为底的对数叫做常用对数lg 自然对数以无理数 2.71828e =⋅⋅⋅为底的对数称为自然对数ln3、对数的性质（1）当0a >，且1a ≠时，x a N =⇔log a x N =；（2）负数和0没有对数，即0>N ；（3）特殊值：1的对数是0，即log 1a =0（0a >，且1a ≠）；底数的对数是1，即log 1a a =（0a >，且1a ≠）；（4）对数恒等式：log a N a N =；（5）log ba ab =．知识点 2 对数的运算性质及应用1、运算性质：0>a ,且1≠a ，0,0>>N M （1）N M MN a a a log log )(log +=；（2）N M NMa a alog log log -=；（3）M n M a na log log =2、换底公式（1）换底公式：abb c c a log log log =(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)．（2）可用换底公式证明以下结论：①ab b a log 1log =； ②1log log log =⋅⋅a c b c b a ；③b b a na n log log =；④b n mb a ma n log log =； ⑤b b a alog log 1-=.知识点 3 对数运算常用方法技巧1、对数混合运算的一般原则（1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式log log m n a a nM b m=化简合并；（2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式；（3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂；（4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并；（5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式．2、对数运算中的几个运算技巧（1）lg 2lg 51+=的应用技巧：在对数运算中如果出现lg 2和lg 5，则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现lg 2lg 5+，再应用公式lg 2lg 51+=进行化简；（2）log log 1a b b a ⋅=的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒，则可用公式log log 1a b b a ⋅=化简；（3）指对互化的转化技巧：对于将指数恒等式xyza b c ==作为已知条件，求函数(),,f x y z 的值的问题，通常设(0)x y za b c k k ===>，则log a x k =，log b y k =，log c z k =，将,,x y z 值带入函数(),,f x y z 求解．考点一：对数的概念及辨析例1．（23-24高一上·全国·专题练习）（多选）下列选项中错误的是（ ）A ．零和负数没有对数B ．任何一个指数式都可以化成对数式C ．以10为底的对数叫做自然对数D ．以e 为底的对数叫做常用对数【变式1-1】（23-24高一上·贵州贵阳·月考）使式子(31)log (2)x x --有意义的x 的取值范围是（ ）A ．2x >B ．123x <<C ．123x <<且23x ≠D ．2x <，【变式1-2】（23-24高一上·吉林延边·期中）在对数式()()3log 5a b a -=-中，实数a 的取值范围是（ ）A ．()(),35,-∞⋃+∞B ．()3,5C ．()3,4D ．()()3,44,5【变式1-3】（22-23高一上·江苏宿迁·期中）在下列四个命题中，正确的是（ ）A ．若M N =则log log a a M N =；B ．若log log a a M N =，则M N =；C ．22log log a a M N =，则M N =；D ．若M N =，则22log log a a M N =．考点二：对数式与指数式互化例2.（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）将3log 0.81x =化成指数式可表示为（ ）A ．30.81x =B ．0.813x =C ．0.813x=D ．30.81x=【变式2-1】（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）将328=化为对数式正确的是（ ）A ．2log 38=B ．2log 83=C ．8log 23=D ．3log 28=【变式2-2】（23-24高一上·江苏连云港·期中）已知)4x =，则x =（ ）A ．2-B ．0C ．2D ．4【变式2-3】（23-24高一上·江西宁冈·期中）（多选）下列指数式与对数式的互化，正确的一组是（ ）A ．0e 1=与ln1=0B ．131273-=与2711log 33=-C ．2log 42=与1242=D ．5log 5=1与155=考点三：利用对数性质解对数方程例3.（23-24高一·江苏·假期作业）方程()()2lg 1lg 22x x -=+的根为（ ）A ．3-B ．3C ．1-或3D ．1或3-【变式3-1】23-24高一上·山东烟台·月考）方程()3log 941xx -=+的实数解为.【变式3-2】（23-24高一上·广东深圳·期中）已知a ，b 是方程22(ln )3ln 10x x -+=的两个实数根，则log log a b b a +=．【变式3-3】（23-24高一上·全国·练习）已知a ，b 是方程3273log log 433x x +=-的两个根，试给出关于a ，b 的一个结论．考点四：利用对数运算性质化简例4.（23-24高一下·云南昆明·期中）下列等式正确的是（ ）A ．22(lg5)2lg2(lg2)1+-=B ．335log 5log 2log 93⋅⋅=C．ln 2eπ+=D122.535[(0.064)]1-=【变式4-1】（23-24高一下·浙江·期中）化简()2151515155log 91log 3log 5log log 155⎛⎫+-⋅= ⎪⎝⎭.【变式4-2】（23-24高一上·贵州毕节·期末）计算：(1)2+00.5281(log 8log 2)(3)16⋅-；(2)ln3427log 9log 8lg 4lg 25e+⋅++.【变式4-3】（24-25高一上·全国·课后作业）计算：(1)420.5251log log 3log 95+-；(2)()2323223log 2log 3log 2log 3log 3log 2+--．考点五：用已知对数表示其他对数例5.（23-24高一下·江苏盐城·期末）若lg2a =，lg3b =，则用a ，b 表示lg12=（ ）A ．2a bB ．2abC ．2+a bD ．2a b+【变式5-1】（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知25a=，则lg 2=（ ）A ．1aa +B ．1a a -C ．11a +D ．1a a -【变式5-2】（23-24高一上·江苏宿迁·期末）已知2log 3a =，27b =，用a ，b 表示42log 56为（ ）A ．3b a b++B ．3b a b+C ．31b a b +++D ．31b a b ++【变式5-3】（23-24高一上·甘肃武威·月考）已知lg2,lg3a b ==，则30log 18=（ ）A ．21a bb +-B ．21a b b ++C ．21a b b --D ．21a b b -+考点六：利用换底公式证明等式例6.（23-24高一上·山东淄博·期末）设a ，b ，c 都是正数，且346a b c ==，那么下列关系正确的是（ ）A ．2a b c+=B ．2ac bc ab+=C ．1112a b c+=D ．112a b c+=【变式6-1】（23-24高一上·全国·随堂练习）求证：28log 643log 64=．【变式6-2】（23-24高一上·全国·随堂练习）设0a >，0b >，0α≠，且1a ≠，1b ≠，利用对数的换底公式证明：(1)1log log a b b aαα=；(2)log log a a b b αββα=．【变式6-3】（23-24高一上·河北石家庄·月考）设000a b a >>≠，，，且11a b ≠≠，，利用对数的换底公式证明：(1)log log a a b b αββα=；(2)1log log a b b aαα=；(3)计算：若2log 32x =，求33x x -+的值．一、单选题1．（23-24高一上·全国·专题练习）在()log 5a b a =-中，实数a 的取值范围是（ ）A ．5a >或a<0B ．01a <<或15a <<C ．01a <<D ．15a <<2．（23-24高一下·湖南株洲·月考）若lg a （0a >）与lgb （0b >）互为相反数，则（ ）A ．1a b +=B ．0a b -=C ．1ab =D ．1ab=3．（23-24高一上·全国·课后作业）将31128⎛⎫= ⎪⎝⎭化为对数式正确的是（ ）A ．121log 38=B ．121log 38=C ．181log 32=D ．311log 28=4．（23-24高一下·陕西西安·月考）1lg 22+=（ ）A ．12B ．1C ．lg 5D．5．（23-24高一上·北京·月考）若1ab >，则下列等式中正确是的是（ ）A ．()lg lg lg ab a b=+B ．lg lg lg a a bb ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()21lg()lg 2a b a b +=+D ．()1lg log 10ab ab =6．（23-24高一上·天津·期末）化简2345log 3log 4log 5log 8⨯⨯⨯的值为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．8二、多选题7．（23-24高一上·贵州安顺·期末）下列运算正确的有（ ）A ．lg 2lg 3lg 5+=B ．33log 10010log 10=C ．4log 545=D ．34log 4log 31⋅=8．（23-24高一上·吉林延边·期中）下列命题中正确的是（ ）A ．已知25a=，8log 3b =，则34a b -=259B ．222(lg 2)3lg 2lg 5(lg 5)lg 2++-的值为1C ．若3log 41x =，则44x x -+的值为103D ．若23m n k ==且112m n+=，则k =6三、填空题9．（23-24高一下·上海嘉定·月考）已知2log 3a =，25b =则12log 45= .（用含,a b的式子表示）10．（23-24高一下·云南昆明·期中）若4312,log 12a b ==，则11a b+=.11．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）设m ，n 是方程()23lg lg 10x x -+=的两个实根，则mn =．四、解答题12．（22-23高一上·新疆喀什·期末）求值：(1)0113410.027167-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；(2)ln 2145log 2lg 4lg e 2+++.(3)()()48392log 3log 3log 2log 2++13．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）（1）若3515a b ==，求55a b+的值；（2）求值：()()22327lg 5lg 2lg 503π++⨯--.第16讲 对数及其运算模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．理解对数的概念，掌握对数的基本性质；2．掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程；3．理解对数的运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；4．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明.知识点 1 对数的概念与性质1、对数的概念：如果x a N =（0a >且1a ≠），那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x =log a N ，其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数．2、常用对数与自然对数名称定义记法常用对数以10为底的对数叫做常用对数lg自然对数以无理数 2.71828e =⋅⋅⋅为底的对数称为自然对数ln3、对数的性质（1）当0a >，且1a ≠时，x a N =⇔log a x N =；（2）负数和0没有对数，即0>N ；（3）特殊值：1的对数是0，即log 1a =0（0a >，且1a ≠）；底数的对数是1，即log 1a a =（0a >，且1a ≠）；（4）对数恒等式：log a N a N =；（5）log ba ab =．知识点 2 对数的运算性质及应用1、运算性质：0>a ,且1≠a ，0,0>>N M （1）N M MN a a a log log )(log +=；（2）N M NMa a alog log log -=；（3）M n M a na log log =2、换底公式（1）换底公式：abb c c a log log log =(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)．（2）可用换底公式证明以下结论：①ab b a log 1log =； ②1log log log =⋅⋅a c b c b a ；③b b a na n log log =；④b n mb a ma n log log =； ⑤b b a alog log 1-=.知识点 3 对数运算常用方法技巧1、对数混合运算的一般原则（1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式log log m n a a nM b m=化简合并；（2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式；（3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂；（4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并；（5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式．2、对数运算中的几个运算技巧（1）lg 2lg 51+=的应用技巧：在对数运算中如果出现lg 2和lg 5，则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现lg 2lg 5+，再应用公式lg 2lg 51+=进行化简；（2）log log 1a b b a ⋅=的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒，则可用公式log log 1a b b a ⋅=化简；（3）指对互化的转化技巧：对于将指数恒等式xyza b c ==作为已知条件，求函数(),,f x y z 的值的问题，通常设(0)x y za b c k k ===>，则log a x k =，log b y k =，log c z k =，将,,x y z 值带入函数(),,f x y z 求解．考点一：对数的概念及辨析例1．（23-24高一上·全国·专题练习）（多选）下列选项中错误的是（ ）A ．零和负数没有对数B ．任何一个指数式都可以化成对数式C ．以10为底的对数叫做自然对数D ．以e 为底的对数叫做常用对数【答案】BCD【解析】对于A ：由对数的定义可知：零和负数没有对数.故A 正确；对于B ：只有符合0a >，且10a N ≠>，，才有log xa a N x N =⇔=，故B 错误；对于C ：以10为底的对数叫做常用对数，故C 错误；对于D ：以e 为底的对数叫做自然对数，故D 错误.故选：BCD.【变式1-1】（23-24高一上·贵州贵阳·月考）使式子(31)log (2)x x --有意义的x 的取值范围是（ ）A ．2x >B ．123x <<C ．123x <<且23x ≠D ．2x <，【答案】C【解析】由式子(31)log (2)x x --有意义，则满足31031120x x x ->⎧⎪-≠⎨⎪->⎩，解得123x <<且23x ≠.故选：C.【变式1-2】（23-24高一上·吉林延边·期中）在对数式()()3log 5a b a -=-中，实数a 的取值范围是（ ）A ．()(),35,-∞⋃+∞B ．()3,5C ．()3,4D ．()()3,44,5 【答案】D【解析】要使对数式()()3log 5a b a -=-有意义，需满足303150a a a ->⎧⎪-≠⎨⎪->⎩，解得34a <<或45a <<，所以实数a 的取值范围是()()3,44,5 ．故选:D.【变式1-3】（22-23高一上·江苏宿迁·期中）在下列四个命题中，正确的是（ ）A ．若M N =则log log a a M N =；B ．若log log a a M N =，则M N =；C ．22log log a a M N =，则M N =；D ．若M N =，则22log log a a M N =．【答案】B【解析】对A ，若0M N =≤，则log ,log a a M N 均无意义，故A 错；对B ，若log log a a M N =，说明0M N =>，则B 项正确；对C ，若22log log a a M N =，则22M N =，不一定能推出M N =，故C 错；对D ，若0M N ==，则22log ,log a a M N 无意义，故D 错.故选：B考点二：对数式与指数式互化例2.（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）将3log 0.81x =化成指数式可表示为（ ）A ．30.81x =B ．0.813x =C ．0.813x=D ．30.81x=【答案】A【解析】把对数式3log 0.81x =化成指数式，为30.81x =．故选：A ．【变式2-1】（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）将328=化为对数式正确的是（ ）A ．2log 38=B ．2log 83=C ．8log 23=D ．3log 28=【答案】B【解析】328=化为对数式为2log 83=，故选：B ．【变式2-2】（23-24高一上·江苏连云港·期中）已知)4x =，则x =（ ）A ．2-B ．0C ．2D ．4【答案】C【解析】由)4x =得42x =，即22x x =，又0x >且1x ≠，所以2x =，故选：C ．【变式2-3】（23-24高一上·江西宁冈·期中）（多选）下列指数式与对数式的互化，正确的一组是（ ）A ．0e 1=与ln1=0B ．131273-=与2711log 33=-C ．2log 42=与1242=D ．5log 5=1与155=【答案】ABD【解析】根据指数式与对数式的互化公式log Na ab b N =⇔=(0a >且1,0)a N ≠>可知，ABD 正确；对于C ，22log 4242=⇔=，故C 错误.故选：ABD考点三：利用对数性质解对数方程例3.（23-24高一·江苏·假期作业）方程()()2lg 1lg 22x x -=+的根为（ ）A ．3-B ．3C ．1-或3D ．1或3-【答案】B【解析】由()()2lg 1lg 22x x -=+，得2212210220x x x x ⎧-=+⎪->⎨⎪+>⎩，即2223010220x x x x ⎧--=⎪->⎨⎪+>⎩，解得3x =，所以方程()()2lg 1lg 22x x -=+的根为3.故选：B【变式3-1】23-24高一上·山东烟台·月考）方程()3log 941xx -=+的实数解为.【答案】3log 4【解析】由()3log 941x x -=+，得()133log 94log 3x x +-=，所以1943x x +-=，即()23433x x -=⋅，即()()34310x x-+=，所以34x =或31x =-（舍去），所以3log 4x =.故答案为：3log 4.【变式3-2】（23-24高一上·广东深圳·期中）已知a ，b 是方程22(ln )3ln 10x x -+=的两个实数根，则log log a b b a += ．【答案】52/2.5【解析】方法一：因为a ，b 是方程()22ln 3ln 10x x -+=的两个实数根，由韦达定理得1ln ln 2a b ⋅=，3ln ln 2a b +=，则()()()()2222ln ln ln ln 2ln ln ln ln ln ln 5log log 2ln ln ln ln ln ln ln ln 2a b a b a b a b a b b a b a a b a b a b a b ++-⋅++=+===-=⋅⋅⋅，即5log log 2a b b a +=；方法二：因为22310t t -+=的根为1t =或12t =，不妨设ln 1a =，1ln 2b =，则e a =，b =，所以e 15log log log 222e a b b a +=+=+=．故答案为：52.【变式3-3】（23-24高一上·全国·练习）已知a ，b 是方程3273log log 433x x +=-的两个根，试给出关于a ，b 的一个结论 ．【答案】1081a b +=（答案不唯一）【解析】根据换底公式有33333log log lo 7g l 343og 32x x +=-，即33114133log log x x ++=-+，令3g 1lo x t +=，则1433t t +=-，解得1t =-或3t =-.所以31log 1x +=-或31log 3x +=-，解得19x =或181x =.故答案为：1081a b +=（答案不唯一）考点四：利用对数运算性质化简例4.（23-24高一下·云南昆明·期中）下列等式正确的是（ ）A ．22(lg5)2lg2(lg2)1+-=B ．335log 5log 2log 93⋅⋅=C．ln 2e π+=D122.535[(0.064)]1-=【答案】A【解析】对于A 中，由2222(lg5)2lg2(lg2)(1lg2)2lg2(lg2)1+-=-+-=，所以A 正确；对于B 中，由335lg5lg22lg3log 5log 2log 93lg3lg3lg5⋅⋅=⋅⋅≠，所以B 错误；对于C中，由ln 27e log 825ππ=++-≠，所以C 错误；对于D 中，122.513551515[(0.064)](0.4)122222--=+⨯=+⨯≠，所以D错误．故选：A【变式4-1】（23-24高一下·浙江·期中）化简()2151515155log 91log 3log 5log log 155⎛⎫+-⋅= ⎪⎝⎭.【答案】1【解析】原式()()()()22221515151515151515log 3log 9log 5log 5log 32log 3log 5log 5=+⋅+=+⋅+()21515log 3log 5=+()215log 151==.故答案为：1.【变式4-2】（23-24高一上·贵州毕节·期末）计算：(1)2+00.5281(log 8log 2)(3)16⋅-；(2)ln3427log 9log 8lg 4lg 25e+⋅++.【答案】(1)0；(2)6【解析】（1）原式=1122234937(1()1021644+-=+-=（2）原式=3+log 23⋅log 32+lg100=3+1+2=6．【变式4-3】（24-25高一上·全国·课后作业）计算：(1)420.5251log log 3log 95+-；(2)()2323223log 2log 3log 2log 3log 3log 2+--．【答案】(1)0；(2)2【解析】（1）420.5251log log 3log 95+-22222251log log 95log 3log 4log 0.5=+-2225log log 3log 53=+-225log 35log 103⎛⎫=⨯÷== ⎪⎝⎭；（2）()2323223log 2log 3log 2log 3log 3log 2+--2ln 2ln 3ln 2ln 2ln 3ln 3ln 3ln 2ln 3ln 3ln 2ln 2⎛⎫=+-⋅-⋅ ⎪⎝⎭2222ln 2ln 3ln 2ln 322ln 3ln 2ln 3ln 2⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.考点五：用已知对数表示其他对数例5.（23-24高一下·江苏盐城·期末）若lg2a =，lg3b =，则用a ，b 表示lg12=（ ）A ．2a bB ．2abC ．2+a bD ．2a b+【答案】D【解析】由对数运算性质可得()2lg12lg 34lg3lg4lg3lg2lg32lg22a b =⨯=+=+=+=+，故选：D.【变式5-1】（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知25a=，则lg 2=（ ）A ．1aa +B ．1a a -C ．11a +D ．1a a -【答案】C 【解析】由25a=得，2lg 51lg 2log 5lg 2lg 2a -===，则1lg 21a =+，故选：C ．【变式5-2】（23-24高一上·江苏宿迁·期末）已知2log 3a =，27b =，用a ，b 表示42log 56为（ ）A ．3b a b++B ．3b a b+C ．31b a b +++D ．31b a b ++【答案】C【解析】因为27b =，所以2log 7=b ，2222242222222log 56log 7log 8log 73log 23log 56log log 7742log log log l g 62o ++==+=++31+=++b b a .故选： C.【变式5-3】（23-24高一上·甘肃武威·月考）已知lg2,lg3a b ==，则30log 18=（ ）A ．21a bb +-B ．21a b b ++C ．21a b b --D ．21a b b -+【答案】B 【解析】30lg18lg2lg92log 18lg30lg311a bb ++===++，故选:B.考点六：利用换底公式证明等式例6.（23-24高一上·山东淄博·期末）设a ，b ，c 都是正数，且346a b c ==，那么下列关系正确的是（ ）A ．2a b c +=B ．2ac bc ab+=C ．1112a b c+=D ．112a b c+=【答案】C【解析】由346a b c k ===，得3log a k =，4log b k =，6log c k =，1log 3k a=，1log 4k b =，1log 6k c =，则11log 4log 222k k b ==，根据log 3log 2log 6k k k +=可知，1112a b c+=.故选：C 【变式6-1】（23-24高一上·全国·随堂练习）求证：28log 643log 64=．【答案】证明见解析【解析】左边622log 26log 26===，右边362263log 23log 263==⨯⨯=，所以左边=右边，得证.【变式6-2】（23-24高一上·全国·随堂练习）设0a >，0b >，0α≠，且1a ≠，1b ≠，利用对数的换底公式证明：(1)1log log a b b aαα=；(2)log log a a b b αββα=．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）log 1log log log b a b b b b a aααα==，所以等式成立；（2）log log log log log log a a a a a a b b b b a a αββαββαα===，所以等式成立.【变式6-3】（23-24高一上·河北石家庄·月考）设000a b a >>≠，，，且11a b ≠≠，，利用对数的换底公式证明：(1)log log a a b b αββα=；(2)1log log a b b aαα=；(3)计算：若2log 32x =，求33x x -+的值．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)174【解析】（1）因为log log log log log a a a a a a b b b b a a αββββα===，所以命题log log a ab b αββα=得证.（2）因为log 1log log log b a a b b b b a aαα==，所以命题1log log ab b a αα=得证.（3）因为2log 32x =，所以22322log 22log 4log 3log 3x ===，故1333log 4log 4log 4117333343444x x---+=+=+=+=，即33x x -+的值为174.一、单选题1．（23-24高一上·全国·专题练习）在()log 5a b a =-中，实数a 的取值范围是（ ）A ．5a >或a<0B ．01a <<或15a <<C ．01a <<D ．15a <<【答案】B【解析】由对数的定义可知5001a a a ->⎧⎪>⎨⎪≠⎩，解得05a <<，且1a ≠，故选：B ．2．（23-24高一下·湖南株洲·月考）若lg a （0a >）与lg b （0b >）互为相反数，则（ ）A ．1a b +=B ．0a b -=C ．1ab =D ．1a b=【答案】C【解析】因为lg a （0a >）与lg b （0b >）互为相反数，所以lg lg lg 0a b ab +==，所以1ab =.故选：C.3．（23-24高一上·全国·课后作业）将31128⎛⎫= ⎪⎝⎭化为对数式正确的是（ ）A ．121log 38=B ．121log 38=C ．181log 32=D ．311log 28=【答案】B【解析】31128⎛⎫= ⎪⎝⎭化为对数式：121log 38=，故选：B 4．（23-24高一下·陕西西安·月考）1lg 22+=（ ）A ．12B ．1C ．lg 5D．【答案】A【解析】11111lg 2lg 2lg 5lg(25)22222+=+=⨯=.故选：A5．（23-24高一上·北京·月考）若1ab >，则下列等式中正确是的是（ ）A ．()lg lg lg ab a b=+B ．lg lg lg a a bb ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()21lg()lg 2a b a b +=+D ．()1lg log 10ab ab =【答案】D【解析】当0,0a b <<时，ABC 均不成立，由换底公式知D 正确．故选：D ．6．（23-24高一上·天津·期末）化简2345log 3log 4log 5log 8⨯⨯⨯的值为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．8【答案】B【解析】由题意可得：2345ln 3ln 4ln 5ln 8ln 83ln 2log 3log 4log 5log 83ln 2ln 3ln 4ln 5ln 2ln 2⨯⨯⨯=⨯⨯⨯===.故选：B.二、多选题7．（23-24高一上·贵州安顺·期末）下列运算正确的有（ ）A ．lg 2lg 3lg 5+=B ．33log 10010log 10=C ．4log 545=D ．34log 4log 31⋅=【答案】CD【解析】对A ，lg 2lg 3lg 6+=，故A 错误；对B ，33log 1002log 10=，故B 错误；对C ，4log 545=正确；对D ，34log 4log 31⋅=正确.故选：CD8．（23-24高一上·吉林延边·期中）下列命题中正确的是（ ）A ．已知25a=，8log 3b =，则34a b -=259B ．222(lg 2)3lg 2lg 5(lg 5)lg 2++-的值为1C ．若3log 41x =，则44x x -+的值为103D ．若23m n k ==且112m n+=，则k =6【答案】ABC 【解析】因为25a=，则2log 5a =，且821log 3log 33b ==，则22253log 5log 3log 3a b -=-=则()22252log 253log 9332542229a b a b--====，故A 正确；()()222(lg 2)3lg 2lg 5(lg 5)lg 22lg 2lg 5lg 2lg 5lg 22lg 2lg 5lg 2++-=++-=+-lg 2lg 51=+=，故B 正确；由3log 41x =可得431log 3log 4x ==，则44log 3log 31104444333x x --+=+=+=，故C 正确；因为23m n k ==，则23log ,log m k n k ==，则11log 2,log 3k k m n==，所以11log 2log 3log 62k k k m n+=+==，所以k =D 错误；故选：ABC 三、填空题9．（23-24高一下·上海嘉定·月考）已知2log 3a =，25b =则12log 45=.（用含,a b的式子表示）【答案】22a b a ++【解析】因为25b =，所以2log 5b =，又2log 3a =，所以()()2222122222log 59log 45log 5log 9log 45log 12log 34log 3log 4⨯+===⨯+222222log 52log 3log 32log 2a ba ++=++=.故答案为：22a b a ++10．（23-24高一下·云南昆明·期中）若4312,log 12ab ==，则11a b +=.【答案】1【解析】因为312a =，所以3log 12a =，所以121212341111log 3log 4log 121log 12log 12a b +=+=+==.故答案为：1.11．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）设m ，n 是方程()23lg lg 10x x -+=的两个实根，则mn =．【答案】1000【解析】()23lg lg 10x x -+=，即()2lg 3lg 10x x -+=，设lg t x =，由题意lg lg m n ，是方程2310t t -+=的两个根，由根与系数关系得lg lg 3m n +=，即lg 3mn =，所以1000mn =.故答案为：1000.四、解答题12．（22-23高一上·新疆喀什·期末）求值：(1)0113410.027167-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；(2)ln 2145log 2lg 4lg e 2+++.(3)()()48392log 3log 3log 2log 2++【答案】(1)53-；(2)52；(3)2【解析】（1）()()()111113443344410.027160.32147--⎛⎫⎡⎤-+=-+- ⎪⎣⎦⎝⎭10521433=-+-=-（2）2ln 221245log 2lg 4lg e log 2lg 2lg 5lg 222-+++=++-+13352lg 2lg 5lg 22lg 2lg 512222=-++-+=++=+=（3）()()()()232483932232log 3log 3log 2log 22log 3log 3log 2log 2++=++223311log 3log 3log 2log 232⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2343log 3log 2232⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）（1）若3515a b ==，求55a b+的值；（2）求值：()()22327lg 5lg 2lg 503π++⨯--.【答案】（1）5；（2）13π-【解析】（1）因为3515a b ==，所以35log 15,log 15==a b ，3551,1lo 1g 15l g 1o 1a b ==，则()()15151535551155log 3log 55log 355log 15log 15a b ⎛⎫+=+=+=⨯= ⎪⎝⎭；（2）()()()()()22223331027lg 5lg 2lg 503π3lg 5lglg 105π35++⨯--=++⨯⨯-+()()()()()22223lg 51lg 51lg 5π312πlg 51lg 513π=++-⨯+-+=-++-=-．。
高中对数知识点总结
高中对数知识点总结一、对数的定义及性质1. 对数的定义对数的定义是指数的逆运算。
对数是以一个固定的底数作为基数的。
一个数 x 是以 a 为底的对数，记作loga x = y，其中 a 称为对数的基数，x 称为真数，y 称为对数。
对数的定义可以表示为指数运算的逆运算。
根据对数的定义，我们可以得出对数的性质：① 对数是指数的逆运算。
如果 x 是以 a 为底的 y 的对数那么 a^y = x。
② 对数的底数和真数必须是正数，并且底数不等于1且不等于0。
③ 如果 a^y = x ，则 loga x = y。
④ 以10为底的对数是以10为底的通用对数，记作log x；以e(自然对数)为底的对数是自然对数，记作ln x。
⑤ 对数有唯一性，即同一个数只能有一个对数。
对数的定义及性质是学习对数的基础，我们需要牢固掌握这些定义和性质，以便能够运用到具体问题中。
二、对数的运算对数的运算主要有加法、减法、乘法、除法四种形式。
对数的运算需要根据对数的性质来进行。
1. 对数的加法对数的加法规则是loga (x*y) = loga x + loga y。
对于加法规则，我们首先将真数进行乘法运算，然后再对结果取对数，并且将对数进行加法运算。
2. 对数的减法对数的减法规则是loga (x/y) = loga x - loga y。
对于减法规则，我们首先将真数进行除法运算，然后再对结果取对数，并且将对数进行减法运算。
3. 对数的乘法对数的乘法规则是loga (x^m) = m*loga x。
对于乘法规则，我们首先将指数 m 从真数中提出来，然后再对结果取对数。
4. 对数的除法对数的除法规则是loga (x^m/y) = loga x^m - loga y = m*loga x - loga y。
对于除法规则，我们首先将指数 m 从真数中提出来，然后再对结果取对数，并且将对数进行减法运算。
对数的运算是解决实际问题中常用到的技能，同时也能够帮助我们简化数学运算，因此对数的运算也是需要我们掌握的重要技能。
高一数学对数知识点
高一数学对数知识点在高中数学中，对数是一个非常重要的概念。
它不仅在数学中有着广泛的应用，而且在实际生活中也经常被用到。
那么，什么是对数？对数有什么特点和性质呢？本文将对高中数学中的对数知识点进行详细讲解。
一、对数的定义和性质对数是指某个数在指定底数下的幂值。
以底数b为底，真数为x的对数记作logb x，读作“以b为底x的对数”。
对数的定义可以表示为：x = logb y ⟺ b^x = y其中，b被称作底数，y被称作真数，x为对数。
对数的定义可以帮助我们从幂运算的角度来理解对数的概念。
对数有以下几个重要性质：1. logb 1 = 0：任何数的底数为1的对数都等于0。
2. logb b = 1：任何数的底数为自己的对数都等于1。
3. logb (xy) = logb x + logb y：对数的乘法法则，两个数的乘积的对数等于这两个数分别的对数之和。
4. logb (x/y) = logb x - logb y：对数的除法法则，两个数的商的对数等于这两个数分别的对数之差。
5. logb (x^n) = nlogb x：对数的幂法则，一个数的指数幂的对数等于这个指数乘以这个数的对数。
这些性质是对数运算中常用的运算法则，可以根据这些法则简化问题，进行对数运算。
二、常见对数和自然对数常见对数是指以10为底的对数，通常表示为log x。
自然对数是指以常数e（约等于2.71828）为底的对数，通常表示为ln x。
常见对数和自然对数有着特殊的关系：log x = ln x / ln 10也就是说，常见对数和自然对数之间是可以相互转化的。
常见对数和自然对数在实际应用中都有着重要的作用。
通常，常见对数用于计算底数为10的对数问题，而自然对数则常用于计算指数增长和衰减问题。
三、对数方程和对数不等式对数在方程和不等式中也有重要的应用。
对数方程和对数不等式的解题过程主要包含以下几个步骤：1. 将等式或不等式转化为对数的形式；2. 根据对数的性质化简方程或不等式；3. 解方程或不等式，找出满足条件的解。
高一对数知识点梳理
高一对数知识点梳理一、引言对数是数学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域。
在高中阶段的数学学习中，对数是一个必不可少的内容。
本文将从对数的定义、性质、运算、应用以及解题技巧等方面对高一的对数知识进行梳理和总结。
二、对数的定义与性质对数的定义是在确定底数的情况下，求指数与对数之间的关系。
通常我们用“log”表示对数运算，其中“a”称为真数，底数为“b”，对数为“x”，表示为logba=x。
对数具有以下几个基本性质：对数的底数不能为0或1，对数和指数是互逆的，即logba=x和b^x=a。
三、对数的运算对数的运算主要包括换底公式、对数的乘法与除法、对数的幂与根等。
首先，换底公式是对数运算中常用的一种技巧，它可以将不同底数的对数互相转换，并且在求解特定问题时能够提供更便利的方式。
其次，对数的乘法与除法利用对数的性质相应地进行运算，如loga(b*c)=logab+logac, loga(b/c)=logab-logac。
最后，对数的幂与根运算可以将对数的幂与根与指数的幂与根相对应，如loga(b^x)=xlogab, loga√b=1/2logab。
四、对数的应用对数在实际应用中具有广泛的用途。
以生物学为例，生物的种群增长通常呈现出指数增长的趋势，而对数函数可以对种群的增长趋势进行描述和预测。
在电子工程领域，对数可以用于计算电子元件的增益或损耗。
此外，在金融领域，对数可以用于计算利息的复合增长。
这些都是对数在实际应用中的典型案例。
五、对数题目解题技巧在解决对数题目时，我们需要掌握一些解题技巧。
首先，在对数运算中，我们可以利用已知条件求解未知数，例如通过使用对数的性质将方程进行转换，从而简化问题。
其次，注意对数运算中的特殊情况，例如当真数为1时，其对数为0；当真数与底数相等时，其对数为1。
最后，我们需要理解对数与指数之间的相互转化关系，并能够熟练运用。
六、总结通过对高一对数知识的梳理，我们了解了对数的定义与性质、运算法则、应用场景以及解题技巧。
高一数学必修一第三单元对数相关知识点-精选教育文档
高一数学必修一第三单元对数相关知识点
对数是函数学习的一部分，小编为大家整理了高一数学必修一第三单元对数相关知识点，希望对你有帮助!
对数相关知识点
1.对数的概念：
一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作： ( —底数，—真数，—对数式)
注意对数的书写格式.
两个重要对数：
1 常用对数：以10为底的对数 ;
2 自然对数：以无理数为底的对数的对数 .
指数式与对数式的互化
幂值真数
= N = b
底数
指数对数
(二)对数的运算性质
如果，且，，，那么：
○1
○2 - ;
○3 .
注意：换底公式： ( ，且 ; ，且 ; ).
利用换底公式推导下面的结论：(1) ;(2) .
(3)、重要的公式①、负数与零没有对数; ②、，③、对数恒等式
(二)对数函数
1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是(0，+∞).
注意：1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。
如：，都不是对数函数，而只能称其为对数型函数.
2 对数函数对底数的限制：，且 .
2、对数函数的性质：
a1 0
定义域x0 定义域x0
值域为R 值域为R
在R上递增在R上递减
函数图象都过定点(1，0) 函数图象都过定点(1，0)
高一数学必修一第三单元对数相关知识点全部内容就是这些，更多内容请关注查字典数学网!。
高三对数知识点
高三对数知识点在数学学科中，对数是十分重要且常见的概念之一。
在高三学习阶段，对数知识点的掌握对于理解和解决各种数学问题具有重要的作用。
本文将从基本定义、特性和应用等方面综述高三对数知识点。
一、对数的基本定义对数是指在指数运算中，对一个数取对数就是求出以某个给定的底数为底，这个底数的指数与这个数相等的对数。
通常表示为log。
1. 对数的基本性质- 定义性质：对于任意的正实数a和大于0且不等于1的正实数b，logb a=x的等价表达式是b^x=a。
- 底数为10的情况：常用的以10为底的对数称为常用对数，通常用log表示。
- 底数为e的情况：以e为底的对数称为自然对数，通常用ln 表示。
二、对数的特性在对数的学习过程中，了解其特性对于问题的解决十分重要。
1. 对数的反函数关系对数与指数是一种反函数的关系，即logb b^x=x，b^logb x=x。
2. 对数的性质- 对数的定义域：loga x (a>0,并且a≠1)的定义域为x>0。
- 对数的值域：loga x (a>0,并且a≠1)的值域为R。
- 特殊对数：当底数为1时，log1 x是无意义的。
- 对数的底数转换：对于任意的a,b,c(x>0)，loga x=loga b/loga c。
三、对数的应用对数在实际问题的解决中具有广泛的应用。
以下是对数在不同领域的具体应用。
1. 对数在数值比较中的应用由于对数能够将大范围的数值转换为较小的数值区间，因此在比较大量数据时往往使用对数进行比较，以方便分析。
2. 对数在科学计算中的应用自然对数e^x在科学计算中常常出现，它在微积分和微分方程等领域有广泛应用。
3. 对数在经济学中的应用对数在金融和经济学中有着广泛的应用，尤其是在计算复利和折旧等方面。
4. 对数在生物学中的应用对数在生物学中的应用十分广泛，例如在计算物种数量、酶反应速率等方面。
5. 对数在物理学中的应用对数在物理学中的应用广泛，例如在测量震级、模拟天体运动等方面。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
对数计算尺
自17世纪初问世以来，计算尺一直是使用最为广泛的计算工具，在科学和工程计算中占据统治地位，辉煌了三百余年，对人类文明的进程功不可没。
但是，由于它的计算精度有限，在20世纪中期以后，计算尺逐渐被电子计算器取代。
纳皮尔利用对数表简化了计算任务，但应用他的方法来进行计算，有一个重要的前提，那就是必须能便捷地查看对数表。
1620年，英国数学家埃德蒙·甘特（EdmundGunter）把对数刻在一把尺子上，这样他那些从事计算的同事无须跑图书馆也能查到对数了。
甘特把数字标在一条直线上，各个数的位置与其对数值成比例。
在他的标尺上，越到左边，数字分布就越稀；越到右边，数字分布越密。
有了这把尺子，两个数的乘法就可以这样来完成：用一把两脚规量出尺子的起点到第一个因数的距离，然后使两脚规张开角度保持不变，把一只脚移到第二个因数的位置上，这时，另一只脚所指示的位置就对应于两段距离之和，此位置上的读数就是两数相乘的结果。
大约在1622年，英国圣公会牧师威廉·奥特雷德（William·Oughtred）把两根木制对数标尺并排放在一起，创造出了世界上第一把计算尺。
有了奥特雷德的发明在手，人们就可以告别对数表，甚至连什么是对数都不用知道。
要做乘法，只须拉拉计算尺，对一下两个因数的位置，便可读出得数。
弦、切、割正余都相通，
对数不论自然或常用，
双曲函数一起弄，
三点一四一五九，
快把计算尺拉动，
理工，理工，理工！
这是美国加州理工学院当年的“勤奋者”之歌。
当年计算尺的红火程度可见一斑。
19世纪前半期，计算尺得到了若干改进和发展。
1814年，彼得·罗吉特发
明了双对数计算尺。
它可以用来求分数次幂或开分数次方。
1850年，马内姆选出四种用得最频繁的对数标尺，并加上一个游标。
1921年，伦敦工程师奥蒂· 金（Otis ·King ）制成了一把可以放进口袋的圆柱形计算尺。
由于几乎没有替代工具可选择，科技人员便逐渐习惯了计算尺。
为了加快计算速度，计算尺制造商也在计算尺上增加了其他各种标记和符号。
通常，计
算尺上标有π、4
、常数e （自然对数的底）等，有时游标还可以把英寸换算为厘米，或把马力换算为瓦。
各种专用计算尺也应运而生：供化学家使用的计算尺上标有分子量；供造船工程师使用的计算尺上可查到水压公式；而供原子弹设计人员使用的计算尺上，则标出了放射性衰变常数的值。
到1945年，在工程师一族中，双对数复式计算尺已经相当普及了。
这种计算尺每一面有十几种标尺，利用它可以轻而易举地求出一个数的任意次方，并计算正弦、余弦和双曲三角函数等。
第二次世界大战期间，美国轰炸机的投弹手和领航员在需要迅速计算时，就常常求助于专用计算尺。
美国海军设计了一种通用的计算尺“底盘”，盘身为铝制，带有一个塑料游标，将不同的赛璐珞制成的卡片插入底盘中，便可进行各种专门计算，如计算飞机的航程、耗油和高度等。
到20世纪60年代，计算尺已经成为科技人员不可或缺的工具了。
计算尺为许多杰出的工程设计成就立下了汗马功劳，纽约帝国大厦、胡佛大坝、金门桥的悬索、液压汽车变速器、晶体管收音机、波音707客机等。
德国V2火箭和美国土星5号助推火箭的设计者沃纳·冯·布劳恩，使用的是一把德国Nestler 公司出品的相当简陋的计算尺；在每次阿波罗登月行动中，宇航员们都携带了 Pickett 公司生产的计算尺，把它作为备用的计算工具。
苏联工程师谢尔盖·科罗廖夫（Sergei ·Korolev ）在设计人造地球卫星和东方号宇宙飞
船时，使用了Nestler计算尺；阿尔伯特·爱因斯坦对计算尺也是情有独钟、爱不释手。
然而计算尺有一个致命缺陷：标准计算尺通常只能达到3位数字的精度。
20世纪前半期，齿轮式机械计算器曾经是计算尺的主要竞争对手。
但到了20世纪60年代初，电子技术闯入了这一领域。
1963年，美国加利福尼亚州圣林德罗市的罗伯特·拉根（Robert·Ragen）开发出了最早一代晶体管电子计算器------Friden130。
这种台式计算器拥有四项功能，可以不声不响地得出精度达12位数字的计算结果，令工程师们啧啧称奇。
据拉根回忆，他是完全靠模拟计算工具设计出这个神奇的电子玩意儿的：“从晶体管栅流到存储器延迟线，整个电路全靠我在一把Keuffel&Esser公司生产的计算尺上完成。
”或许可以说，正是计算尺帮助人们设计出了那种最终把它送进历史博物馆的工具。
电子计算器最终颠覆了计算尺的统治。
1975年，Keuffel&Esser公司关闭了计算尺生产线，计算尺时代终于走到了尽头。