平面向量与解析几何交汇的综合问题
炙手可热的平面向量
考虑 函数ｇ ｔ ｘ ） ＝ ３ ｘ ２ ｘ ， 由于ｇ ） 的图象是 对称 轴为 ， 开口向上的抛物线 ，故要使ｆ ３ ｘ 一 ２ （ 一 １ ， １ ）上恒成立
， ｇ （ － Ｄ ， 即ｔ ≥５
，
数量积、 夹角等公式等， 通过数形转化 ， 实现与三角的有机整 合， 来考查三角方面的知识和方法及综合解题能力。 例 ３ 设二 ＝ （ 口 ｌ ， 口 ２ ） ， ； ＝ ｏ ） 。 ， ｂ ２ ） ， 定 义 一种 向量 积 ： 二 ； ＝ （ ａ ｂ ，
即 ： 一 终 ） 一 鲁 ＋ ＝ ｏ ．
二 ∥ ， 上 等， 去掉向量这层外衣， 得到一个表达式． （ ２ ） 根
据表达式 的特点 ， 进行有效地转化 、 变形 、 化简． ３ ． 平面向量与解析几何 的交汇创新题
平面向量与解析几何的交汇题是最近几年高考的热点， 堪称交 汇题类 中的“ 黄金搭档 ” ， 该 类问题 主要 以数形转化 为 主线 ， 来考查平 面向量相关知识 ， 曲线 的方 程和性质 及综 合解 题能力． 例５ ． 在平面直角坐标系 ｘ Ｏ ｙ 中， 经过点 （ ０ ， 、 『 主 ） 且斜率 为 ｋ
若． ， （ ） 在（ 一 １ ， １ ） 上是增函数， 则在（ 一 １ ， １ ） 上恒有， ） ≥
Ｏ
。
代 入 椭 圆方 程 得 等＋ （ ｋ ｘ＋ ） ： ＝ １ ， 整 理 得
．
．
厂 ） ≥ ｏ §， ３ ｘ 一 ２ ｘ 在（ 一 １ ， １ ） 上恒成立
＋ ｋ ２ ） ＋ ２ 、 ｆ ｘ ＋ ｌ ＝ ０ ． ①
解得 ． ｋ ＝ 一 ， 与（ １ ） 中的 ｋ ｚ ＞ 相矛 盾 ， 所 以不存 在常数 ｋ 使 ＋ 与面垂直． ａ ２ １ ） ２ ） ． 已知点 Ｐ （ ｅ ， ｓ ｉ ｎ Ｏ ） ， （ ２ ， ， ； ＝ ， ０ ） 点 Ｑ在 ｙ － ｆ ｉ （ ｘ ） 的图象上 点评 ： 在讨论直线和 圆锥曲线的位置关系时 ， 先联立 方程 运动， 满足 ＝ ＋ ； ， （ 其 中 ０为坐标原 点） ， 则ｙ ＝ ｆ （ ｘ ） 的最 大 组 ， 再消去 ｘ （ 或ｙ ） ， 得到关于 ｙ （ 或ｘ ） 的方程 ， 如果 是直线与 圆 值 Ａ及最小正周期 Ｔ 分别为Ｏ 或椭圆， 则所得方程一定为一元二次方程； 如果是直线与双曲 Ａ． ２ ， 竹 Ｂ ． ２ ， ４ 竹 ｃ ， ４ 霄 Ｄ ， 订 线或抛物线 ，则需讨论二次项系数等 于零 和不等 于零两种情 分析： 首先进 行坐标运算 ， 再利用 数量积运算 列 出 ｆ （ ｘ ） 的 况 ， 只有二次方程才有判别式 ， 另外还应注意斜率不存在 的情 形． 解析式 。 平面 向量 与函数 、 三角 、 解 析几 何等多学科 有机 的融合 ， 解： 设面＝ （ ｘ ， ｙ ） ， 则有 ｘ ， ｙ ） ＝ （ ２ ０ ， 知 ｉ ｎ ｅ ） ＋ （ ； ， ｏ ） ＝ （ ２ ０ ＋ 雪 ， 注重了学科的内在联系和知识的综合， 全方位、 多角度、 多层 次考查基础知识 、 基本技能和基本思想方法及数学思维品质， 今后的试题将聚焦于多学科知识网络交汇点、 新颖灵活、 突出 ． ． ＝ 专 一 参 对数学能力的考查。 因此， 在复习中应有意识地把向量与其它 内容进行整合． 如向量与三角函数、 函数、 解析几何等 ， 特别是 ２ ｒ ｔ 平面向量与三角知识的融合交汇问题，在以后的高考中一定 ｙ 的 最 大 值 为 ｛ ， 最 小 ｉ Ｅ ｌ ￣Ｔ ＝ ＝ ４ １ Ｔ ． 会有所体现． 答案 ： Ｃ 点评： 解答向量与三角函数相结合问题的一般步骤： （ １ ） 利 用向量的各种运算法则， 常见的有
向量与解析几何结合解答题精选
向量与解析几何结合解答题精选平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算。
或者考虑向量运算的 几何意义，利用其几何意义解决有关问题。
1.已知1OF ＝（－3，0），2OF ＝（3，0），（O 为坐标原点），动点M 满足：||1＋||2MF ＝10。
（1）求动点M 的轨迹C ；（2）若点P 、Q 是曲线C 上任意两点，且·=0，求222OQOP •的值【解】（1）由||1MF ＋||2MF ＝10知： 动点M 到两定点F 1和F 2的距离之和为10根据椭圆的第一定义：动点M 的轨迹为椭圆：122=+y x （2）∵点P 、O 是1162522=+y x 上任意两点 设P(ααsin 4,cos 5)，Q(ββsin 4,cos 5)（注意：这是点在椭圆上的一种常规设法，也是椭圆的参数方程的一个应用） ∵OP ·OQ =0 得：βαβαsin sin 16cos cos 25+＝0 ①而2、22•都可以用α、β的三角函数表示，利用①可以解得：222•＝400412.已知：过点A （0，1）且方向向量为＝（1，k ）的直线l 与⊙C ：1)3()2(22=-+-y x 相交与M 、N 两点。
（1）求实数k 的取值范围；（2）求证：AM ·AN 为定值；（3）若O 为坐标原点，且OM ·ON ＝12，求k 的值。
【解】∵直线l 过点A （0，1）且方向向量为＝（1，k ）∴直线l 的方程为：y ＝kx ＋1 （注意：这里已知方向向量即已知直线的斜率） 将其代入⊙C ：1)3()2(22=-+-y x ，得：07)1(4)1(22=++-+x k x k ①由题意：△＝07)1(4)]1(4[2>⨯+⨯-+-k k 得：374374+<<-k （注意：这里用了直线和方程组成方程组，方程有两根；本题还可以用圆与直线有两个交点，d<R 来解）（2）利用切割线定理可以证明|AM |·|AN |＝|AT |2=7,AT 为切线，T 为切点。
【巧解妙解】高考数学向量与其他问题结合的经典题型
平面向量综合应用与解题技巧【命题趋向】由2019年高考题分析可知：1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右．2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主． 【考点透视】“平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为：1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式．5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等．6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题． 【例题解析】1. 向量的概念，向量的基本运算(1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法.(3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式.例1（北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（ ） Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD = Ｃ．3AO OD = Ｄ．2AO OD = 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力．解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0, 故选A ． 例2．（安徽卷）在ABCD 中，,,3AB a AD b AN NC ===，M 为BC 的中点，则MN =______.（用a b 、表示）命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+由得，12AM a b =+，所以,3111()()4244MN a b a b a b =+-+=-+. 例3．（广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量=( ) （A ）BA BC 21+- （B ） 21--（C ） 21- （D ）21+命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：21+-=+=，故选A.例4． (重庆卷)与向量a =71,,22b ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎪⎭⎫ ⎝⎛27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54 (B) ⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54或⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54 （C ）⎪⎭⎫- ⎝⎛31,322 （D ）⎪⎭⎫- ⎝⎛31,322或⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,322 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题.解：设所求平面向量为,c 由433,,, 1.555c c ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4或-时5另一方面,当7413431,,cos ,.5527a c c a c a c ⎛⎫⨯+⨯- ⎪⋅⎛⎫=-=== ⎪⋅⎝⎭⎛⎫时 当7413431,,cos ,.5527a c c a c a c ⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯ ⎪ ⎪⋅⎛⎫=-==- ⎪⋅⎝⎭⎛⎫时 故平面向量c 与向量a =71,,22b ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎪⎭⎫ ⎝⎛27,21的夹角相等.故选B. 例5．（天津卷）设向量a 与b 的夹角为θ，且)3,3(=a，)1,1(2-=-a b ，则=θcos __． 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及用平面向量的数量积处理有关角度的问题.解: ()()()()(),,22,3,323,231,1.b x y b a x y x y =-=-=--=-设由 ()2311,1,2.231 2.x xb y y -=-=⎧⎧⇒∴=⎨⎨-==⎩⎩得 2cos ,33a b a b a b⋅===⋅+例6.（2006年湖北卷）已知向量()3,1a =，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3a b ⋅=，则b = （）（A ） ⎪⎪⎭⎫⎝⎛21,23 （B ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21 （C ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛433,41 （D ） ()0,1 命题意图: 本题主要考查应用平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及方程的思想解题的能力.解:设(),()b x y x y =≠，则依题意有1,y +=1,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 故选B.例7.设平面向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++=.如果向量1b 、2b 、3b ，满足2i i b a =，且i a 顺时针旋转30o 后与i b 同向，其中1,2,3i =，则（ ）（A ）1230b b b -++= （B ）1230b b b -+= （C ）1230b b b +-= （D ）1230b b b ++=命题意图: 本题主要考查向量加法的几何意义及向量的模的夹角等基本概念.常规解法：∵1230a a a ++=，∴ 1232220.a a a ++=故把2i a (i=1,2,3)，分别按顺时针旋转30 后与i b 重合，故1230b b b ++=，应选D.巧妙解法：令1a =0，则2a =3a -，由题意知2b =3b -，从而排除B ，C ，同理排除A ，故选(D). 点评：巧妙解法巧在取1a =0，使问题简单化.本题也可通过画图,利用数形结合的方法来解决.2. 平面向量与三角函数,解析几何等问题结合(1) 平面向量与三角函数、三角变换、数列、不等式及其他代数问题，由于结合性强，因而综合能力较强，所以复习时，通过解题过程，力争达到既回顾知识要点，又感悟思维方法的双重效果，解题要点是运用向量知识，将所给问题转化为代数问题求解.(2)解答题考查圆锥曲线中典型问题，如垂直、平行、共线等，此类题综合性比较强，难度大. 例8．（2007年陕西卷理17.）设函数f (x )=a-b ,其中向量a =(m,cos2x ),b =(1+sin2x ,1),x ∈R ,且函数y=f (x )的图象经过点⎪⎭⎫⎝⎛2,4π，（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数f (x )的最小值及此时x 的值的集合. 解：（Ⅰ）()(1sin 2)cos 2f x a b m x x ==++，由已知πππ1sin cos 2422f m ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1m =．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π()1sin 2cos 2124f x x x x ⎛⎫=++=+⎪⎝⎭，∴当πsin 214x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x 的最小值为1，由πsin 214x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得x 值的集合为3ππ8x x k k ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z ， 例2．（2007年陕西卷文17）设函数b a x f 、=)(.其中向量2)2π(R,),1,sin 1(),cos ,(=∈+==f x x b x m a 且.（Ⅰ）求实数m 的值; （Ⅱ）求函数)(x f 的最小值.解：（Ⅰ）()(1sin )cos f x m x x ==++a b ，πππ1sin cos 2222f m ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1m =．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π()sin cos 114f x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，∴当πsin 14x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x 的最小值为1例9．（湖北卷理16）已知ABC △的面积为3，且满足06AB AC ≤≤，设AB 和AC 的夹角为θ． （I ）求θ的取值范围；（II ）求函数2()2sin 24f θθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭π的最大 解：（Ⅰ）设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，， 则由1sin 32bc θ=，0cos 6bc θ≤≤，可得0cot 1θ≤≤，ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴．（Ⅱ）2π()2sin 24f θθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭π1cos 222θθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1sin 2)2θθ=+-πsin 2212sin 213θθθ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭．ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2363θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，，π22sin 2133θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤．即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π4θ=时，min ()2f θ=． 例10．（广东卷理）已知ABC 的三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、Ｃ(c,0) （1）若c=5，求sin ∠A 的值；（2）若∠A 为钝角，求c 的取值范围； 解：（1）(3,4)AB =--，(3,4)AC c =--，若c=5， 则(2,4)AC =-，∴cos cos ,A AC AB ∠=<>=sin ∠A ； （2）∠A 为钝角，则39160,0,c c -++<⎧⎨≠⎩解得253c >，∴c 的取值范围是25(,)3+∞例11．（山东卷文17）在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为tan a b c C =，，，（1）求cos C ；（2）若52CB CA =，且9a b +=，求c ．解：（1）sin tan cos CC C=∴=又22sin cos 1C C +=解得1cos 8C =±． tan 0C >，C ∴是锐角． 1cos 8C ∴=． （2）52CB CA =， 5cos 2ab C ∴=，20ab ∴=． 又9a b += 22281a ab b ∴++=． 2241a b ∴+=．2222cos 36c a b ab C ∴=+-=．6c ∴=．例12. （湖北卷）设函数()()f x a b c =⋅+，其中向量()()sin ,cos ,sin ,3cos a x x b x x =-=-, ()cos ,sin ,c x x x R =-∈.（Ⅰ）求函数()x f 的最大值和最小正周期；（Ⅱ）将函数()x f y =的图像按向量d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d . 命题意图:本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力.解：(Ⅰ)由题意得，f(x)＝a ·(b c +)=(sinx,－cosx)·(sinx－cosx,sinx －3cosx)＝sin 2x －2sinxcosx+3cos 2x ＝2+cos2x －sin2x ＝2+2sin(2x+43π).所以，f(x)的最大值为2+2，最小正周期是22π＝π.（Ⅱ）由sin(2x+43π)＝0得2x+43π＝k.π，即x ＝832ππ-k ,k ∈Z ，于是d ＝（832ππ-k ，－2），(k d π=-k ∈Z.因为k 为整数，要使d 最小，则只有k ＝1，此时d ＝（―8π，―2）即为所求.例13．（2006年全国卷II ）已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2＜θ＜π2．（Ⅰ）若a ⊥b ，求θ；（Ⅱ）求｜a ＋b ｜的最大值． 命题意图:本小题主要考查平面向量数量积和平面向量的模的计算方法、以及三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力.解：（Ⅰ）若a ⊥b ，则sin θ＋cos θ＝0，由此得 tan θ＝－1(－π2＜θ＜π2)，所以 θ＝－π4；（Ⅱ）由a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)得｜a ＋b ｜＝(sin θ＋1)2＋(1＋cos θ)2＝3＋2(sin θ＋cos θ)＝3＋22sin(θ＋π4)，当sin(θ＋π4)＝1时，|a ＋b |取得最大值，即当θ＝π4时，|a ＋b |最大值为2＋1．例14．（2006年陕西卷）如图，三定点(2,1),(0,1),(2,1);A B C --,,AD t AB BE tBC == ,[0,1].DM tDE t =∈（I ）求动直线DE 斜率的变化范围； （II ）求动点M 的轨迹方程。
平面向量与解析几何交汇题的分类解析
平面向量与解析几何交汇题的分类解析湖北省广水市第一高级中学 (432700) 刘才华 Email:lch2019@平面向量既有大小又有方向，它具备数与形的双重身份，因此平面向量与解析几何交汇题，要善于分析清楚向量式的几何意义，借助向量形的特征使抽象的问题直观化、形象化；也要善于运用向量的坐标运算，借助向量数的特征用代数的方法研究几何图形的性质.一、利用向量式的几何意义求解定值问题例1 已知过点(0,1)A 的直线l 与⊙c ：1)3()2(22=-+-y x 相交与M 、N 两点. 求证：AM AN ⋅为定值.解 如图1示，由于向量AM 、AN共线且同方向， ∴||||AM AN AM AN ⋅=⋅ ，作圆的切线AT ，由圆的切割线定理，则 222||||||||817AM AN AT AC r ⋅==-=-= ，∴AM AN ⋅为定值.例2 已知1OF ＝(3,0)-，2OF＝(3,0)（O 为坐标原点），动点M 的轨迹为c ，且M 满足：12||||10MF MF +=.(1) 求动点M 的轨迹方程；(2) 若点P 和Q 是曲线c 上的任意两点，且0OP OQ ⋅= ，求222PQOP OQ⋅ 的值.解 (1）∵1212||||10||6MF MF F F +=>=，∴动点M 的轨迹c 为椭圆，且210a =，26c =，∴5a =，3c =，则4b =，∴点M 的轨迹方程为2212516x y +=. (2) 向量式2222222||||()||||||||PQ PQPQ OP OQ OP OQ OP OQ ==⋅⋅⋅ 如图2示，∵0OP OQ ⋅=，∴POQ ∆为直角三角形，∴POQ ∆的面积为11||||||22S OP OQ PQ d =⋅=⋅ ，∴d =∴向量式22221PQ d OP OQ=⋅ ，即为原点到直线PQ 的距离d 的平方的倒数. 图2图1设PQ 的方程为y kx m =+，联立2212516y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(1625)50254000k x kmx m +++-=，设11(,)P x y 、22(,)Q x y ，则有1222122501625254001625km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩， 由12121212()()OP OQ x x y y x x kx m kx m ⋅=+=++⋅+221212(1)()0k x x km x x m =++++= ∴22222222540050(1)016251625b k m k m k k -+-+=++，化简得2241400(1)m k =+，即22400141m k =+，∴2222400141m d k ===+， 若斜率k 不存在，则OP 的方程为y x =，联立2212516y xx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得x =∴直线PQ的方程为x =PQ的距离d =240041d =.∴综合上述2222141400PQ d OP OQ==⋅ . 二、利用向量的坐标运算求解轨迹方程例3 设过点(,)P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA = ，且1OQ AB ⋅=.求P 点的轨迹方程解 由题意设(,0)A a 、(0,)B b ，且0a >、0b >.∵2BP PA =，即(,)2(,)x y b a x y -=--，∴222x a x y b y =-⎧⎨-=-⎩， 即323a x b y ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴3(,0)2A x 、(0,3)B y ，3(,3)2AB x y =-又点Q 与点P 关于y 轴对称知，∴(,)Q x y -，OQ=(,)x y -，则2233(,)(,3)3122OQ AB x y x y x y ⋅=-⋅-=+= ，又302a x =>，30b y =>，∴0x >且0y >. ∴P 点的轨迹方程为223312x y +=（0x >且0y >）． 三、利用向量证明几何图形中的位置关系例4 设A 、B 分别为椭圆22143x y +=的左、右顶点，且点P 是右准线上不同点(4,0)的任意一点，若直线AP 、BP 分别与椭圆相交于异于A 、B 的点M 、N .证明：点B 在以MN 为直径的圆内.解 如图3示，要证点B 在以MN 为直径的圆内，只需证2MBN π∠>，即要证0BM BN ⋅<.由题意得(2,0)A -、(2,0)B ，右准线方程为4x =. ∴设点(4,)P t 且0t ≠，11(,)M x y 、22(,)N x y ， 则直线AP 的方程为(2)6t y x =+，PB 直线方程为(2)2t y x =-∵点M 、N 分别在直线AP 、PB 上，∴11(2)6t y x =+，22ty =∴21212(2)(2)12t y y x x =+-， 联立22(2)6143t y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得到2222(27)44(27)0t x t x t +++-=， ∵2-，1x 是方程的两根，∴2124(27)227t x t --⋅=+，即2122(27)27t x t-=+， ∴11221212(2,)(2,)(2)(2)BM BN x y x y x x y y ⋅=-⋅-=--+21212(2)(2)(2)(2)12t x x x x =--++-2112[2(2)](2)12t x x x =-++-=2225(2)27t x t -+ ∵22(,)N x y 是椭圆上异于A 、B 的点，∴22x <.又0t ≠，∴BM BN ⋅=2225(2)027t x t -<+． ∴点B 在以MN 为直径的圆内.图3。
平面向量的综合应用
平面向量的综合应用作者：***来源：《中学教学参考·理科版》2020年第08期[摘要]平面向量是历年高考的必考内容，也是数学高考交汇性命题的载体.研究平面向量的应用，应该把眼光投向整个高中数学的各个核心知识点上，只有这样才能从整体上把握住平面向量的高考方向.[关键词]平面向量;综合应用;高中数学[中图分类号]G633.6[文献标识码] A[文章编号] 1674-6058（ 2020）23-0029-02平面向量是历年高考数学的必考内容，但考查重点放在平面向量的综合应用上，体现出平面向量的“工具性”与其他数学知识的“交汇性”，因此，从某个角度看，研究平面向量的命题规律，其实质是研究平面向量的综合应用，那么，平面向量的综合应用一般会出现哪些问题呢？一、平面向量与平面几何的综合无论是平面向量的概念还是平面向量的运算都具有几何特征，因此，平面向量与平面几何的综合最为常见，也最为自然，这类问题不仅可考查对向量的几何意义理解，还可以考查学生对平面向量作为解题工具的应用，总之，这类问题既考查知识又考查能力，点评：本题（1）给出向量等式，主要考查平面向量的加法、减法法则和模的几何意义，命题重点落在向量及其运算上.而本题（2）考查向量的应用意识以及向量数积在平面几何图形中的运用，考查坐标化思想方法的运用，命题重点放在平面向量的灵活应用上.二、平面向量与三角函数的综合平面向量与三角函数内容同时出现在教材必修4中，两角和的余弦公式就是利用平面向量知识加以推导的，这足以看出平面向量与三角函数有着不寻常的关系，体现在高考命题中，往往以解答题的形式出现，同时考查平面向量的运算、三角函数的性质、三角恒等变换和解三角形，综合性极强，点评：本题以平面向量的数量积运算为背景，考查三角形中的综合问题，考查向量垂直的条件、正弦定理、三角恒等变换、三角函数的性质等，三角函数、平面向量、解三角形的知识联系紧密，这类问题的平面向量只是一种“包装”，归根到底考查的是三角问题，三、平面向量与解析几何的综合因为平面向量具有坐标形式的特征，与解析几何“一拍即合”，解析几何问题中的有些条件，往往用向量语言来描述，利用向量的坐标运算可转化为解析几何问题，与此同时，解析几何中的某些问题也可转化为向量问题来解决，点评：本题题干中虽然没有出现任何向量的标记，但解题过程却用到了向量夹角的计算公式，简捷有效，体现了向量法在解析几何运算中独特的魅力，从本例可以看出，向量法可以起到减少解析几何运算量的作用，因此，对于解析几何问题，向量的应用意识不容忽视，四、平面向量与其他知识的综合平面向量可谓数学命题的“万能胶”，它几乎可以与任何数学知识交汇，如函数、数列、概率等，这类试题往往出現在选择题或填空题中，背景新颖、综合性强，成为数学命题的一道亮丽风景，点评：本题综合考查了由向量求夹角、数列的求和、不等式等知识，解答关键是求出tanθn的表达式，并熟练应用数列求和的技巧，本题是一类综合性极强的综合题，是一道能综合考查考生综合素养的好题，由此可见，平面向量是数学高考交汇性命题的载体，我们研究平面向量的应用，应该把眼光投向整个高中数学的各个核心知识点上，这样才能从整体上把握住平面向量的高考方向.[参考文献][1]张永成.2019年高考“平面向量”专题命题分析[Jl.中国数学教育，2019（24）：53-57.[2]雷蕾.平面向量[J].中学数学教学参考，2019 （Z1）：98-101.[3]张玉虎.平面向量几何运算的转化策略[J].高中数学教与学，2018（ 13）：35-37.[4]杜海洋.解答平面向量问题的三条途径[Jl.中学数学教学参考，2016（ 16）：59-60.（责任编辑黄桂坚）。
高考数学平面向量及其综合运用 人教版
高考数学平面向量及其综合运用 人教版复习要点：Ⅰ、平面向量知识结构表Ⅱ、内容概述1、向量的概念向量有三种表示法：①有向线段，②a 或AB ，③坐标a ＝（x , y ）。
注意：共线向量与相等向量的联系与区别。
2、向量的运算加法、减法、数乘向量和向量的数量积。
如：11221212(,)(,)a b x y x y x x y y =⋅=+注意：几何运算与坐标运算 3、平面向量的定理及相关性质（1）两个非零向量平行的充要条件： a ∥b ⇔ a ＝λb (λ∈R)设a ＝(x1,y1),b ＝ (x2,y2) 则a ∥b ⇔ x1y2－x2y1＝0（2）两个非零向量垂直的充要条件： a ⊥b ⇔ a·b ＝0 设a ＝(x1,y1),b ＝(x2,y2)则a ⊥b ⇔ x1·x2＋y1·y2＝0（3）平面向量基本定理：如果有e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使 a ＝λ1e1＋λ2e2.（4）三点共线定理：平面上三点A 、B 、C 共线的充要条件是：存在实数α、β，使OC OB OA βα+=，其中α＋β＝1,O 为平面内的任一点。
4、 常用公式及结论a 、向量模的公式：设a ＝（x,y ）,则︱a ︱＝22y x +b 、两点间的距离公式：21P P ＝212212)()(y y x x -+- [P1(x1,y1),P2(x2,y2)]c 、线段的定比分点坐标公式：向量向量的概念向量的运算向量的运用向量的加、减法实数与向量的积 向量的数量积 两个向量平行的充要条件两个向量垂直的充要条件定比分点公式平移公式 在物理学中的应用 在几何中的应用d 、中点坐标公式： 或)(21OB OA OM +=其中M （x0 ,y0）是线段AB 中点。
e 、两向量的夹角公式：cos θ＝222221212121y x y x y y x x ba ba +⋅++=⋅⋅其中0°≤θ≤180°,a＝(x1,y1),b ＝(x2,y2)f 、图形平移公式：若点P(x,y)按向量a ＝(h,k)平移至P '(x ',y '), 则g 、有关向量模的常用结论： ① aa a ⋅=2② 22222bb a a )b a (b a +⋅±=±=± ③ba b a ≤⋅,a b a b a b-≤±≤+④222||||2||2||a b a b a b ++-=+ 范例及其点评（一）平面向量学科内综合运用深刻理解平面向量的相关概念与性质，熟练掌握向量的各种运算，熟悉常用公式及结论，理解并掌握两向量共线、垂直的充要条件。
推导向量的共线与共面关系的判定方法与平面向量的数量积与向量积的综合应用与空间解析几何的综合应用
推导向量的共线与共面关系的判定方法与平面向量的数量积与向量积的综合应用与空间解析几何的综合应用在几何学中，向量是一种具有大小和方向的量，可以表示位置、速度、力等物理量。
研究向量的共线与共面关系以及向量的数量积与向量积的综合应用，对于解决空间解析几何问题具有重要意义。
本文将介绍推导向量的共线与共面关系的判定方法，以及平面向量的数量积与向量积的综合应用和空间解析几何的综合应用。
一、推导向量的共线与共面关系的判定方法共线与共面是研究向量关系时常涉及到的问题，下面将介绍其判定方法。
1. 共线关系的判定方法给定向量A、A、A，判定它们是否共线的方法是通过计算向量间的比例关系。
如果存在实数A，使得向量A = AA，那么向量A、A、A就共线。
2. 共面关系的判定方法给定三个向量A、A、A，判定它们是否共面的方法是通过计算向量的混合积。
如果混合积等于零，即(A ×A)·A = 0，那么向量A、A、A 就共面。
二、平面向量的数量积与向量积的综合应用平面向量的数量积和向量积在求解几何问题中有广泛的应用。
1. 数量积的应用平面向量的数量积又称为点积，表示了两个向量之间的夹角关系和长度关系。
数量积可以用来计算向量的模长、夹角、投影等。
在实际应用中，例如力的分解，可以利用数量积求解力的分解方向和大小。
2. 向量积的应用平面向量的向量积又称为叉积，表示了两个向量之间的垂直关系和面积关系。
向量积可以用来计算向量与平面的垂直向量、三角形的面积、平行四边形的面积等。
在实际应用中，例如计算力矩和刚体的转动，可以利用向量积求解力矩和转动的方向和大小。
三、空间解析几何的综合应用空间解析几何是研究三维空间中点、直线、平面及它们之间的关系的数学分支。
向量的共线与共面关系以及数量积和向量积的综合应用在空间解析几何中有重要的应用。
1. 点和直线的关系利用向量的共线关系可以判断点是否在直线上。
给定直线上的两点A、A和一个点A，通过计算向量AA和向量AA的共线关系，可以判断点A是否在直线上。
【高中数学】平面向量的应用 典型例题课件 高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
+
.
×
+ ×
=
题型8 三角形的面积公式
.
典例8、[分析计算能力]在△ 中, = ∘ , = ,其面积为 ,则
++
等于(
+ +
A.
思路
B.
)
C.
D.
根据三角形面积公式分析计算,再利用正弦定理和余弦定理解三角形进行
由余弦定理得
即 =
=
+
− = + − × = ,
++
,由于
+ +
=
=
=
.
的值;
(2)若 = , =
思路
,求△
的面积.
本题通过直观图形,利用正、余弦定理进行分析计算.(1)在△ 和△ 中,利用
正弦定理表示出和,从而运算求解比值.(2)直接利用正弦定理解三角形.
题型6 正、余弦定理在几何中的运用
.
典例6、[分析计算能力、观察记忆能力]如图,在△ 中,平分∠,且
− ,从而得
出角的值;(2)先利用余弦定理找出, 的关系,再利用基本不等式放缩,求出 +
的取值范围.
题型4 平面向量基本定理的应用
典例4、[分析计算能力]在△ 中,角, , 的对边分别为, , ,且 +
( + ) − = .
向量平移问题
向量平移问题一、知识要点：1，定理：如果点()y x P ,按向量()k h a ,= 平移后的对应点为()y x P ''',，那么⎩⎨⎧+='+='ky y h x x (2)函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+. (3)图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-.(4)曲线C ：(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=.(5)向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y .二，类型一）.求解析式：1.已知源函数和目标函数，求平移向量。
2.已知源函数和平移向量，求目标函数。
3.已知目标函数和平移向量，求源函数。
其中，源函数是平移前的函数，目标函数是平移后的函数。
1.求函数()3122+-=x y 的图象按向量()3,1--=a 平移后的函数解析式2、⑴求一曲线()3122+-=x y 按向量()3,1--=a 平移后的函数解析式； ⑵一曲线按向量()3,1=b 平移后得到()3122+-=x y ，求原曲线的解析式。
3、若直线02=+-c y x 按向量)1,1(-=平移后与圆522=+y x 相切，则c 的值为（ ） A ．8或－2B ．6或－4C ．4或－6D ．2或－8 4、将函数()x f y =的图象按向量)2,3(-=平移后得到x y 2sin =，则()x f 等于（ ）（A ）()262sin ++x （B ）()262sin +-x （C ）()262sin -+x （D ）()262sin --x5、已知曲线0444222=++++y x y x 按向量)1,2(=a 平移后得到曲线C ，求曲线C 的方程 二）、图象按向量平移1．（1）把点（-2，1）按a =（3，2）平移，求对应点的坐标 .（2）点M （8，-10），按a 平移后的对应点的坐标为（-7，4）求a2．将函数y =2x 的图象 l 按a =（0，3）平移求平移后的函数解析式．3．已知抛物线 （1）求抛物线顶点坐标；（2）求将这条抛物线平移顶点与坐标原点重合时函数的解析式．三．平面向量与解析几何的交汇与融合742++=x x y平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，解决此类问题基本思路是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算；或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决相关问题。
解析几何与向量的综合问题
ｆ△ 刈
一
１ 七
￣ ＝
－ ＋ 半
＋ １
椭 方 等 一・ ＝２＋ ＋ ． 一 圆程 Ｐ Ｐ 一 １ ２ 当 ＝１ Ｍ— （ ） ９ Ｎ
时 ， ． 有最大值为２。 砀 两 ９ 当直线 ＭＮ的斜率不存在 时 ， Ｍ（，） ０１则 取 Ｏ３Ｎ（，）
一
所 以直 线 ， 方 程 为 ＝ ４ ＋ 或 ＝ 的 ｌ 一 方 法二 、求 点 坐 标 是 关键 ） （
２ ａ
・ ．
２
． 。＋
＝
＿
ｃ 代 入 ②得 ａ ＝３ ２ ＝ ２ ６ｅ
＿
ห้องสมุดไป่ตู้
，
＋
３
（） ２ 法一 ： 当直线 ＭＮ的斜率存在时 ， 设直线 ＭＮ的方程为 Ｙ＝ ＋２， 圆 Ｑ ： ＋（ ） ＝１ 和 一２ 联立 ， 得它们的交点坐 解
例１过抛物线 、
１ 的焦点Ｆ作直线 ， 交抛物线于
一
、
题 中， 解析几何与 向量 的综合 问题 时有 出现。 由于这类 问题综 合 性 较 强 ， 多 考 生 不 能 抓住 问题 的本 质 ，知 识 ” “ 法 ” 许 “ 和 方 盲 目运用 ， 但对于解题 又没有取得 实质性 的突破 。 本节课结合教 材要求和 “ 考试说 明” 预期通过一些示例把一些分散的问题有 ， 机地 联系在一 起 ， 从而提高学生的学习效率 。 二 、 习目标分析 学 ｌ 知识与技 能 ： 、 让学 生能正确运 用平面 向量最 基本 的知 识， 将涉及平面 向量 的解析几何 问题 ， 化归为较熟悉 的解析几 何问题 。 在审题 中引导学生正确理解 、 深刻领会 向量 的代数意
：
２过程与方法 ： 、 结合具体的示例分析 和研究平面向量 的基 本知 识在解析几何 问题 中应用 ， 并通过变 式题 把“ 方法” 一般
平面向量与解析几何的交汇
Ｚ
（ １ ） 证明： 蕊． 商 为常数；
又因 为Ａ， Ｂ两点 在双 曲线上 ， 所 以 ｔ ｌ ２ ，
求虎 ． 开 的最值 审题视 点 ： 第ｆ １ ） 』 司 直 接设 动点Ｐ 的坐 标 ．
先把 向量之 间的关 系化 简 ．然后代人 向量坐 标， 化简整理 即得 轨迹方程 ； 第（ ２ １ 问先利用 圆 的性质化简 向量数量积 ． 将 其转化为 动点Ｐ 与 定点Ｎ 的距 离的最值 ． 最后代人点 的坐标将其 转化为函数的最值求解
ｊ
于是蕊 ・ 商＝ 。 一 １ ） 一 １ ） ＝ 。 一 １ ） 一 １ ）
２ （ ｘ ｌ － ２ ） （ ｘ ２ － ２ ） （ ｋ ２ ＋ １ ｌ ｘ ２ － （ ２ ｋ ＋ １ ） ｌ ＋ 她 ＋ １ ４ ｋ Ｅ （ ２ ｋ ￣ ＋ １ ） ２ ＿ ＋ ４ ｋ２ ＋１
＝
＝ － －
－
（ Ａ ） （ Ｂ ） ｝ （ ｃ ） 一 导 （ Ｄ ） 一
审题视点 ： 首先联立 直线与抛物 线方程 ，
１
２ ＿ｌ
因ｙ 。 ∈ 【 一 ２ ｖ ， ２ 、 ／ 】 ， 所 以当 ＝ 一 ３ 时，
求得交点Ａ 、 Ｂ 的坐标 ． 再 由向量的数量积公式 求解。
＝ 一斗
由 商： 矗 痢 赢 得：
ｘ ＝ｌ， ｘ ＝ ４。
１ ２ ＿ ４ 、 ／ 了。
方法 总结 ：平面 向量与平面解 析几何 交 汇的题 目． 涉及 向量数量积 的基本运算 。 数 量 积 的求解 以及轨 迹 、 直线和 圆、 直线和椭 圆中 最值 等问题 ．解决此 类问题应从 向量的坐 标 运 算人手 ．这也 是解决解析几何 问题 的基 本 方法——坐标法 例３ ． 已知 双曲线 — ＝ ２ 的右焦点 为Ｆ． 过 点Ｆ 的动直线与双曲线相交 于Ａ． Ｂ 两点． 点Ｃ 的 坐标是ｆ １ ， ０ １ 。
高中数学 向量 板块四 平面向量的应用完整讲义(学生版)
学而思高中完整讲义：向量.板块四.平面向量的应用.学生版题型一：向量综合【例1】 设a ，b ，c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：①()()0a b c c a b ⋅-⋅=②a b a b -<-③()()b c a c a b ⋅-⋅不与c 垂直 ④22(32)(32)94a b a b a b +⋅-=-中， 真命题是（ ）A ．①② B．②③ C．③④ D．②④【例2】 设向量a b ，满足：||3a =，||4b =，0a b ⋅=．以a b a b -，，的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【例3】 ⑴ 已知(13)A ,，()37B ,，(60)C ,，(81)D ,-，求证：AB ⊥CD ．⑵ 已知(32)a ,=--，(44)b ,=．求23a b +，cos a ,b <>．⑶ 已知(12)a x y ,x y =++-，(22)b x y ,x y =-+-，若23a b =，求x 、y 的值．【例4】 关于平面向量a b c ，，．有下列三个命题：①若a b a c ⋅⋅=，则b c =．②若(1)a k =，，(26)b =-，，a b ∥，则3k =-． ③非零向量a 和b 满足a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60︒． 其中假命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号）【例5】 如图，以原点和(52)A ,为顶点作等腰直角OAB ∆，使90B ∠=︒，求点B 和向量AB 的坐标．【例6】 设(1)A a ，，(2)B b ，，(45)C ，为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为（ ）A ．453a b -=B ．543a b -=C ．4514a b +=D ．5414a b +=典例分析【例7】 已知(,)P x y ，(1,0)A -，向量PA 与(1,1)m =共线.（1）求y 关于x 的函数；（2）是否在直线2y x =和直线3y x =上分别存在一点,B C ，使得满足BPC ∠为锐角时x 取值集合为{|x x <x >？若存在，求出这样的,B C 的坐标；若不存在，说明理由.【例8】 已知向量,a b 满足||||1a b ==，且||3||a kb ka b -=+，其中0k >.（1）试用k 表示a b ⋅，并求出a b ⋅的最大值及此时a 与b 的夹角θ的值； （2）当a b ⋅取得最大值时，求实数λ，使||a b λ+的值最小，并对这一结果作出几何解释.【例9】 已知点O （0，0），A （1，2），B （4，5）及OP ＝OA ＋t AB OP OA AB求：(1) t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？(2) 四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由.【例10】 已知A 、B 、C 是直线l 上的不同的三点，O 是外一点，向量,,OA OB OC 满足23(1)[ln(23)]02OA x OB x y OC -+•-+-•=,记()y f x =.求函数()y f x =的解析式；【例11】 已知{}|(10)(01)R P a a m m ==+∈，，，，{}|(11)(11)R Q b b n n ==+-∈，，，是两个向量集合，则P Q =（ ）A ．{}(11)，B ．{}(11)-，C ．{}(10)，D ．{}(01)，题型二：与三角函数综合【例12】 已知向量(2cos ,2sin )a θθ=，(,),(0,1)2b πθπ∈=-，则向量a 与b 的夹角为（ ） A ．32πθ- B ．2πθ+ C ．2πθ-D ．θ【例13】 已知a b c ，，为ABC ∆的三个内角A B C ，，的对边，向量(31)m =-，，(cos sin )n A A =，．若m n ⊥，且cos cos sin a B b A c C+=，则角B = ．【例14】 已知向量(cos sin )a αα=，，(cos sin )b ββ=，，且a b ≠±，那么a b +与a b -的夹角的大小是_______．【例15】 已知向量33cos ,sin 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且,2πx π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.⑴求a b ⋅及a b +；⑵求函数()f x a b a b =⋅++的最大值，并求使函数取得最大值时x 的值.【例16】 若cos sin αα()，a =，cos sin ββ()，b =，且k k =-a +b b ，其中0k >． （1）用k 表示a b ；（2）求当1k =时，a 与b 所成角(0)πθθ≤≤的大小．【例17】 已知向量cos sin θθ()，m=和2sin cos θθ(-)，n =，()π2πθ∈，，且825=m +n ，求cos 2π8θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【例18】 设(1cos sin )αα+，a =，1cos sin ββ(-)，b =，0(1)，c =，(0)πα∈，，(0)πβ∈，，a 与c 的夹角为1θ，b 与c 的夹角为2θ（1）用α表示1θ；（2）若12π6θθ-=，求sin 4αβ+的值．【例19】 已知O 为坐标原点，2(2cos 1)OA x =，，(13sin 2)OB x a =+，（R x ∈，R a ∈，a 为常数），若y OA OB =，（1）求y 关于x 的函数解析式()f x ；（2）若0πx 2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()f x 的最大值为2，求a 的值，并指出函数()(R)f x x ∈的单调区间．【例20】 在锐角ABC △中，已知2cos 2cos 32cos()A B A B +=++，求角C 的度数．【例21】 设02πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，向量()13cos sin 22a b αα⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，，，． ⑴证明：向量a b +与a b -垂直；⑵当22a b a b +=-时，求角α．【例22】 已知点()2,0A ，()0,2B ，()cos ,sin C αα，且0πα<<．⑴若7OA OC +=OB 与OC 的夹角；⑵若AC BC ⊥，求tan α的值．【例23】 已知A 、B 、C 的坐标分别为(4,0)A ，(0,4)B ，(3cos ,3sin )C αα．⑴若(),0πα∈-且AC BC =，求角α的值；⑵若0AC BC ⋅=，求22sin sin 21tan ααα++的值．【例24】 已知向量(cos sin )(22)a x ,x ,b ,==，若85a b ⋅=，且42ππx <<.⑴试求出cos 4πx ⎛⎫- ⎪⎝⎭和tan 4πx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；⑵求sin 2(1tan )1tan x x x +-的值.【例25】 设向量()()3sin cos cos cos a x x b x x ==，，，，记()f x a b =⋅．⑴求函数()f x 的最小正周期；⑵画出函数()f x 在区间111212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的简图，并指出该函数的图象可由()sin R y x x =∈的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？⑶若63ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，函数()()g x f x m =+的最小值为2，试求出函数()g x 的最大值并指出x 取何值时，函数()g x 取得最大值．【例26】 已知向量33cos sin 22x x a ,⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos sin 22x x b ,⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且02πx ,⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，⑴求a b ⋅及a b +；⑵若()2f x a b a b λ=⋅-+的最小值是32-，求λ的值．【例27】 设平面上P 、Q 两点的坐标分别是cos ,sin 22x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，33cos ,sin 22x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中0,2πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．⑴求PQ 的表达式；⑵记()2()4R f x PQ PQ λλ=-∈，求函数()f x 的最小值．【例28】,,a b c 为△ABC 的内角A 、B 、C 的对边，(cos ,sin )22C C m =，(cos ,sin )22C Cn =-，且m 与n 的夹角为3π，求C ；【例29】 在∆ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边；若向量(2,0)m = 与(sin ,1cos )n B B =-的夹角为3π，求角B 的大小【例30】 已知A 、B 、C 三点的坐标分别为(3,0)A 、(0,3)B 、3(cos ,sin ),(,).22C ππααα∈（1）若||||AC BC =，求角α的值；（2）若1AC BC ⋅=-，求22sin sin 21tan ααα++的值。
平面向量与解析几何练习题计算平面向量与解决相关几何问题
平面向量与解析几何练习题计算平面向量与解决相关几何问题在解析几何中，平面向量是一种重要的数学工具，被广泛应用于平面几何中的计算和问题解决。
平面向量具有大小和方向，可以进行向量的加法、减法、数量乘法等运算，同时还可以通过平面向量来解决一些相关的几何问题。
本文将通过一些练习题的计算和解决过程，来展示平面向量在解析几何中的应用。
题目一：已知向量A(2, -1)和向量B(3, 4)，求向量A与向量B的和。
解析：向量的加法是平面向量运算中最基本也是最常见的一种运算。
两个向量的和就是将两个向量的对应分量相加得到的新向量。
解答：向量A与向量B的和是(2+3, -1+4)，即向量A与向量B的和为(5, 3)。
题目二：已知向量C(1, 2)和向量D(-3, 5)，求向量C减去向量D的结果。
解析：向量的减法是指将减数向量的相反向量加到被减数向量上，即相当于进行向量的加法运算。
解答：向量C减去向量D的结果是(1-(-3), 2-5)，即向量C减去向量D的结果为(4, -3)。
题目三：已知向量E(3, -2)和数k=4，求数量乘法kE的结果。
解析：数量乘法是指将数与向量的每个分量分别相乘得到的新向量。
解答：数量乘法kE的结果是(4×3, 4×(-2))，即数量乘法kE的结果为(12, -8)。
题目四：已知直线L过点P(2, 3)和点Q(5, -1)，求直线L的方向向量。
解析：直线的方向向量可以通过两点确定。
将两点的坐标视为向量，直线的方向向量就是由这两个点的向量相减得到的。
解答：直线L的方向向量为(5-2, -1-3)，即直线L的方向向量为(3, -4)。
题目五：已知直线L的法线向量为(2, 3)，且过直线L上一点A(1, -1)，求直线L的方程。
解析：直线的方程可以通过直线上一点和直线的法线向量求得。
直线的方程一般形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C分别为方程的系数。
解答：由题意可知，直线L的法线向量为(2, 3)，过直线L上一点A(1, -1)。
平面向量与平面解析几何的联系知识点总结
平面向量与平面解析几何的联系知识点总结平面向量和平面解析几何是高中数学中重要的概念和工具。
它们在几何图形的描述、方程的求解和数学推理中有着广泛的应用。
本文将总结平面向量与平面解析几何的联系知识点，并探讨它们之间的重要关系。
一、平面向量的基本概念和表示方法平面向量是空间中的有向线段，具有大小和方向。
它可以用一个具有大小和方向的箭头表示。
常用的表示方法有坐标表示和分量表示。
1. 坐标表示：假设平面上有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则以A 为起点，B为终点的向量AB可以用坐标表示为向量(a, b)，其中a = x2 - x1， b = y2 - y1。
其中，x1、y1为向量的起点坐标，x2、y2为向量的终点坐标。
2. 分量表示：向量AB的分量表示为(ABx, ABy)，其中ABx为向量AB在x轴上的投影，ABy为向量AB在y轴上的投影。
分量表示形式方便进行向量的运算和推导。
二、平面解析几何的基本概念和表示方法平面解析几何是用代数方法研究平面上的几何问题。
它通过线性方程和坐标表示来研究几何图形的性质和关系。
1. 直线的解析方程：设直线L的解析方程为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，x、y为变量。
通过解析方程可以确定直线L在平面上的位置和方向。
2. 圆的解析方程：设圆C的解析方程为(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2，其中(a, b)为圆心的坐标，r为半径长度。
解析方程确定了圆C在平面上的位置和半径。
三、平面向量与平面解析几何的关系平面向量和平面解析几何有着密切的联系，它们可以相互转化、相互补充，共同应用于几何问题的研究。
1. 平移变换：平移变换是平面向量的一种基本运算，也是几何图形的一种基本变换。
平移变换可以通过平面向量的加法来表示。
设向量u 表示平移的位移，则点P(x, y)经过平移变换得到的新点P'(x', y')的坐标可以表示为(x', y') = (x, y) + u。
第06章 向量代数与空间解析几何习题详解 - 用于合并
第六章向量代数与空间解析几何习题 6-11、在平行四边形ABCD中, 设=a, =b. 试用a和b表示向量、、、, 其中M是平行四边形对角线的交点.解：由于平行四边形的对角线互相平分, 所以a+b, 即 -(a+b), 于是 (a+b).因为, 所以(a+b). 又因-a+b, 所以(b-a).由于, 所以(a-b).2、若四边形的对角线互相平分，用向量方法证明它是平行四边形.证： ,，与平行且相等, 结论得证.3、求起点为，终点为的向量与的坐标表达式.解：==, =4、求平行于={1，1，1}的单位向量.解：与平行的单位向量为.5、在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？解： A:Ⅳ; B:Ⅴ; C:Ⅷ; D:Ⅲ.6、求点与轴，平面及原点的对称点坐标.解：关于轴的对称点为，关于平面的对称点为，关于原点的对称点为.7、已知点A(a, b, c), 求它在各坐标平面上及各坐标轴上的垂足的坐标（即投影点的坐标）.解：分别为.8、过点分别作平行于z轴的直线和平行于xOy面的平面，问它们上面的点的坐标各有什么特点？解：平行于z轴的直线上面的点的坐标：；平行于xOy面的平面上的点的坐标为 .9、求点P(2,-5,4)到原点、各坐标轴和各坐标面的距离.解：到原点的距离为，到x轴的距离为，到y轴的距离为,到z轴的距离为.10、求证以、、三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解：,，即，因此结论成立.11、在yoz坐标面上，求与三个点A(3, 1, 2), B(4, -2, -2), C(0, 5, 1)等距离的点的坐标.解：设yoz坐标面所求点为，依题意有，从而，联立解得，故所求点的坐标为.12、 z轴上，求与点A(-4, 1, 7), 点B(3, 5,-2)等距离的点.解：设所求z轴上的点为，依题意：，两边平方得，故所求点为.13、求使向量与向量平行.解：由得得.14、求与轴反向，模为10的向量的坐标表达式.解： ==.15、求与向量={1，5，6}平行，模为10的向量的坐标表达式.解：,故 .16、已知向量，，试求：（1）；（2）．解：（1） ;（2）.17、已知两点和，求向量的模、方向余弦和方向角．解：因为, 所以,,从而,,.18、设向量的方向角为、、．若已知其中的两个角为，．求第三个角．解： ,,由得.故或.19、已知三点，，，求：（1）与及其模；（2）的方向余弦、方向角；（3）与同向的单位向量.解：（1）由题意知故 .（2）因为所以，由向量的方向余弦的坐标表示式得：，方向角为：.（3）与同向的单位向量为：.20、设在x轴上的投影和在y轴上的分向量.解：.故向量在x 轴上的投影，在y轴上的投影分量为.21、一向量的终点为点B(-2,1,-4),它在x轴，y轴和z轴上的投影依次为3，-3和8，求这向量起点A的坐标.解：设点A为（x, y, z）,依题意有：，故，即所求的点A（-5， 4，-12）.22、已知向量的两个方向余弦为cos= ,cos=, 且与z轴的方向角是钝角.求cos.解：因，又是钝角，所以.23、设三力作用于同一质点，求合力的大小和方向角.解：合力，因此，合力的大小为合力的方向余弦为因此习题 6-21、，，，求，，，及，，，.解：依题意，，，，故，，.，，，.2、，求及 .与的夹角余弦.解：（1）, ..3、已知，求解：，∴ .4、证明下列问题：1）证明向量与向量垂直.2）证明向量与向量垂直.证：1）,，即与垂直.2） .5、求点的向径与坐标轴之间的夹角.解：设与、、轴之间的夹角分别为，则,, . , , .6、求与平行且满足的向量.解：因, 故可设，再由得，即，从而.7、求与向量，都垂直的单位向量.解：，8、在顶点为、和的三角形中，求三角形的面积以及边上的高.解：,三角形的面积为9、已知向量，，证明.解10、证明：如果，那么，并说明它的几何意义.证：由, 有, 但，于是,所以.同理由, 有 ,从而 .其几何意义是以三角形的任二边为邻边构成的平行四边形的面积相等.11、已知向量和，计算下列各式：（1）（2）（3）（4）解：（1）.(2) ，故.（3）.（4）由（3）知.习题 6-31、已知，，求线段的垂直平分面的方程.解：设是所求平面上任一点，据题意有化简得所求方程.这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程, 而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程，所以这个方程就是所求平面的方程.2、一动点移动时，与及平面等距离，求该动点的轨迹方程.解：设在给定的坐标系下，动点，所求的轨迹为，则亦即从而所求的轨迹方程为.3、求下列各球面的方程：（1）圆心，半径为；（2）圆心在原点，且经过点；（3）一条直径的两端点是；（4）通过原点与解：（1）所求的球面方程为：（2）由已知，半径，所以球面方程为（3）由已知，球面的球心坐标，球的半径，所以球面方程为：（4）设所求的球面方程为：因该球面经过点，所以解之得所求的球面方程为.4、将坐标面上的抛物线绕旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程．解：(旋转抛物面) .5、将坐标面上的双曲线分别绕轴和轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程．解：绕轴旋转得绕轴旋转得.6、指出下列曲面的名称，并作图：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）.解： (1)椭圆柱面；(2) 抛物柱面；(3) 圆柱面；(4)球面；（5）圆锥面；（6）双曲抛物面；（7）椭圆抛物面；（8）双叶双曲面；（9）为旋转椭球面；（10）单叶双曲面.7、指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形？（1）；（2）；（3）；（4）.解：（1）在平面解析几何中表示直线，在空间解析几何中表示平面；（2）在平面解析几何中表示圆周，在空间解析几何中表示圆柱面；（3）在平面解析几何中表示双曲线，在空间解析几何中表示双曲柱面；（4）在平面解析几何中表示抛物线，在空间解析几何中表示抛物柱面.8、说明下列旋转曲面是怎样形成的？（1）；（2）（3）；（4）解：（1）平面上椭圆绕轴旋转而成；或者平面上椭圆绕轴旋转而成（2）平面上的双曲线绕轴旋转而成；或者平面上的双曲线绕轴旋转而成（3）平面上的双曲线绕轴旋转而成；或者平面上的双曲线绕轴旋转而成（4）平面上的直线绕轴旋转而成或者平面上的直线绕轴旋转而成.9、画出下列各曲面所围立体的图形：（1）与三个坐标平面所围成；（2）及三坐标平面所围成；（3）及在第一卦限所围成；（4）所围.解：（1）平面与三个坐标平面围成一个在第一卦限的四面体；（2）抛物柱面与平面及三坐标平面所围成；（3）坐标面、及平面、和圆柱面在第一卦限所围成；（4）开口向上的旋转抛物面与开口向下的抛物面所围.作图略.习题 6-41、画出下列曲线在第一卦限内的图形（1）；（2）；（3）解：（1）是平面与相交所得的一条直线；（2）上半球面与平面的交线为圆弧；（3）圆柱面与的交线.图形略.2、分别求母线平行于轴及轴而且通过曲线的柱面方程.解：消去坐标得，为母线平行于轴的柱面；消去坐标得：，为母线平行于轴的柱面.3、求在平面内以坐标原点为圆心的单位圆的方程（任写出三种不同形式的方程）.解：；； .4、试求平面与椭球面相交所得椭圆的半轴与顶点.解：将椭圆方程化简为：，可知其为平面上的椭圆，半轴分别为，顶点分别为.5 、将下面曲线的一般方程化为参数方程（1）；（2）解：（1）原曲线方程即：，化为；（2）.6、求螺旋线在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.解：；；.7、指出下列方程所表示的曲线（1）（2）；（3）；（4）；（5）.解：（1）圆；（2）椭圆；（3）双曲线；（4）抛物线；（5）双曲线.8、求曲线在面上的投影曲线方程，并指出原曲线是何种曲线.解：原曲线即：，是位于平面上的抛物线，在面上的投影曲线为9、求曲线在坐标面上的投影.解：（1）消去变量后得在面上的投影为它是中心在原点，半径为的圆周.（2）因为曲线在平面上，所以在面上的投影为线段.（3）同理在面上的投影也为线段.10、求抛物面与平面的交线在三个坐标面上的投影曲线方程.解：交线方程为，（1）消去得投影（2）消去得投影，（3）消去得投影.习题 6-51、写出过点且以为法向量的平面方程.解：平面的点法式方程为.2、求过三点的平面方程.解：设所求平面方程为,将的坐标代入方程，可得，故所求平面方程为.3、求过点且与平面平行的平面方程.解：依题意可取所求平面的法向量为,从而其方程为即 .4、求通过x轴和点(4, -3, -1)的平面的方程.解：平面通过x轴, 一方面表明它的法线向量垂直于x轴, ??即A=0; 另一方面表明?它必通过原点, 即D=0. 因此可设这平面的方程为By+Cz=0.又因为这平面通过点(4, -3, -1), 所以有-3B-C=0, 或C=-3B . 将其代入所设方程并除以B (B?0), 便得所求的平面方程为y-3z=0.5、求过点，且垂直于平面和的平面方程.解：取法向量所求平面方程为化简得:6、6 设平面过原点及点，且与平面垂直，求此平面方程.解：设所求解设平面为由平面过点知平由平面过原点知，，所求平面方程为7、写出下列平面方程：（1）平面；（2）过轴的平面；（3）平行于的平面；（4）在，，轴上的截距相等的平面.解：（1）,（2）（为不等于零的常数）,（3） (为常数), （4） .8、求平行于而与三个坐标面所围成的四面体体积为1的平面方程.解: 设平面为由所求平面与已知平面平行得化简得令代入体积式或所求平面方程为或.9、分别在下列条件下确定的值：（1）使和表示同一平面；（2）使与表示二平行平面；（3）使与表示二互相垂直的平面.解：（1）欲使所给的二方程表示同一平面，则：即：，解之得，，.（2）欲使所给的二方程表示二平行平面，则：，所以，.（3）欲使所给的二方程表示二垂直平面，则：所以： .10 、求平面与的夹角；解：设与的夹角为，则 .11、求点到平面的距离.解：利用点到平面的距离公式可得.习题 6-61、求下列各直线的方程：（1）通过点和点的直线；（2）过点且与直线平行的直线.（3）通过点且与三轴分别成的直线；（4）一直线过点，且和轴垂直相交，求其方程.（5）通过点且与两直线和垂直的直线；（6）通过点且与平面垂直的直线.解：（1）所求的直线方程为：即：，亦即.（2）依题意，可取的方向向量为，则直线的方程为.（3）所求直线的方向向量为：，故直线方程为：.（4）因为直线和轴垂直相交, 所以交点为取所求直线方程（5）所求直线的方向向量为：，所以，直线方程为：.（6）所求直线的方向向量为：，所以直线方程为： .2、求直线的点向式方程与参数方程.解在直线上任取一点,取解.所求点的坐标为,取直线的方向向量,所以直线的点向式方程为：令则所求参数方程:3、判别下列各对直线的相互位置，如果是相交的或平行的直线求出它们所在的平面，如果相交时请求出夹角的余弦.（1）与；（2）与.解：（1）将所给的直线方程化为标准式为：二直线平行.又点与点（7，2，0）在二直线上，向量平行于二直线所确定的平面，该平面的法向量为：，从而平面方程为：，即 .（2）因为，所以两直线不平行，又因为，所以两直线相交，二直线所决定的平面的法向量为，二直线所决定的平面的方程为：.设两直线的夹角为，则.4、判别下列直线与平面的相关位置：（1）与；（2）与；（3）与；（4）与.解（1），而，所以，直线与平面平行.（2）,所以，直线与平面相交，且因为，直线与平面垂直.（3）直线的方向向量为：，，所以直线与平面平行或者直线在平面上；取直线上的点，显然点在也在平面上（因为），所以，直线在平面上.（4）直线的方向向量为，直线与平面相交但不垂直.5、验证直线：与平面：相交，并求出它的交点和交角.解：直线与平面相交.又直线的参数方程为：设交点处对应的参数为，，从而交点为（1，0，-1）.又设直线与平面的交角为，则：，.6、确定的值，使：（1）直线与平面平行；（2）直线与平面垂直.解：（1）欲使所给直线与平面平行，则须：即.（2）欲使所给直线与平面垂直，则须：，所以：.7、求下列各平面的方程：（１）通过点，且又通过直线的平面；（２）通过直线且与直线平行的平面；（３）通过直线且与平面垂直的平面；（4）. 求过点与直线垂直的平面方程.解：（１）因为所求的平面过点和，且它平行于向量，所以要求的平面方程为：, 即. （２）已知直线的方向向量为，平面方程为：,即（３）所求平面的法向量为，平面的方程为：，即.（4）.所求平面的法向量为，则平面的方程为：, 即 .8、求点在平面上的投影.解：过点作已知平面的垂线，垂线的方向向量就是已知平面的法向量，所以垂线方程为，此垂线与已知平面的交点即为所求投影.为了求投影，将垂线方程化为参数方程，代入平面方程求得，故投影为.9、求点到直线的距离.解：直线的标准方程为：所以p到直线的距离.10、设是直线外一点，是直线上一点，且直线的方向向量为，试证：点到直线的距离为.证：设与的夹角为，一方面由于；另一方面，，所以.11、求通过平面和的交线且满足下列条件之一的平面：（1）通过原点；（2）与轴平行；（3）与平面垂直.解：（1）设所求的平面为：欲使平面通过原点，则须：，即，故所求的平面方程为即：.（2）同（1）中所设，可求出.故所求的平面方程为即：.（3）如（1）所设，欲使所求平面与平面垂直，则须：从而，所以所求平面方程为.12、求直线在平面上的投影直线的方程．解：应用平面束的方法．设过直线的平面束方程为即这平面与已知平面垂直的条件是,解之得代入平面束方程中得投影平面方程为，所以投影直线为.13、请用异于本章第五节例7的方法来推导点到平面的距离公式.证：设是平面：外的一点，下面我们来求点到平面的距离.过作平面的垂线：，设与平面的交点为，则与之间的距离即为所求.因为点在上，所以，而在平面上，则，故.习题 6-7飞机的速度：假设空气以每小时32公里的速度沿平行轴正向的方向流动，一架飞机在平面沿与轴正向成的方向飞行，若飞机相对于空气的速度是每小时840公里，问飞机相对于地面的速度是多少？解：如下图所示，设为飞机相对于空气的速度，为空气的流动速度，那么就是飞机相对于地面的速度.所以, 千米／小时.复习题A一、判断正误:1、若且，则； ( )解析 ==0时，不能判定或．例如，，，有，但．2、若且，则； ( )解析此结论不一定成立．例如，，，则，，，但．3 、若，则或； ( )解析两个相互垂直的非零向量点积也为零．4、． ( √ )解析这是叉积运算规律中的反交换律．二、选择题:1 、当与满足（ D ）时，有；； (为常数)；∥；．解析只有当与方向相同时，才有．(A)中，夹角不为0，(B)，(C)中，方向可以相同，也可以相反．2、下列平面方程中，方程( C )过轴；(A) ； (B) ； (C) ； (D) ．解析平面方程若过轴，则，故选C．3 、在空间直角坐标系中，方程所表示的曲面是( B )；(A) 椭球面； (B) 椭圆抛物面； (C) 椭圆柱面； (D) 单叶双曲面．解析对于曲面，垂直于轴的平面截曲面是椭圆，垂直于轴或轴的平面截曲面是开口向下的抛物线，根据曲面的截痕法，可以判断曲面是椭圆抛物面．4、空间曲线在面上的投影方程为( C )；(A)； (B)； (C) ；(D)解析曲线与平面平行，在面上的投影方程为．5 、直线与平面的位置关系是( B )．(A) 垂直； (B) 平行； (C) 夹角为； (D) 夹角为．解析直线的方向向量={2，1，-1}，平面的法向量={1，-1，1}，=2-1-1=0，所以，⊥，直线与平面平行．三、填空题:1、若，，则， 0 ；解 ==，==0．2、与平面垂直的单位向量为；解平面的法向量 ={1，-1，2}与平面垂直，其单位向量为==，所以，与平面垂直的单位向量为．3、过点和且平行于轴的平面方程为；解已知平面平行于轴，则平面方程可设为，将点 (-3，1，-2)和(3，0，5)代入方程，有得，即．4、过原点且垂直于平面的直线为；解直线与平面垂直，则与平面的法向量 ={0，2，-1}平行，取直线方向向量=={0，2，-1}，由于直线过原点，所以直线方程为．5、曲线在平面上的投影曲线方程为解: 投影柱面为，故为空间曲线在平面上的投影曲线方程．四、解答题:1、已知，，计算(a) ； (b) ； (c) ；解: (a) =.(b) ，，所以．(c) ，所以．2、已知向量的始点为，终点为，试求：(1)向量的坐标表示； (2)向量的模；(3)向量的方向余弦； (4)与向量方向一致的单位向量．解: (1) ；(2)；(3) 在三个坐标轴上的方向余弦分别为；(4)．3、设向量，，求与和都垂直的单位向量.解：令，，故与、都垂直的单位向量为.4、向量垂直于向量和，且与的数量积为，求向量解：垂直于与，故平行于，存在数使因，故， .5、求满足下列条件的平面方程：(1)过三点，和；(2)过轴且与平面的夹角为．解 (1)解1：用三点式．所求平面的方程为，即．解2：用点法式．，，由题设知，所求平面的法向量为，又因为平面过点，所以所求平面方程为，即．解3：用下面的方法求出所求平面的法向量，再根据点法式公式写出平面方程也可．因为，所以解得，于是所求平面方程为，即．（2）因所求平面过轴，故该平面的法向量垂直于轴，在轴上的投影，又平面过原点，所以可设它的方程为，由题设可知（因为时，所求平面方程为又，即．这样它与已知平面所夹锐角的余弦为，所以），令，则有，由题设得，解得或，于是所求平面方程为或．6、一平面过直线且与平面垂直，求该平面方程；解法1：直线在平面上，令=0，得，=4，则（0，-，4）为平面上的点．设所求平面的法向量为=，相交得到直线的两平面方程的法向量分别为 ={1，5，1}，={1，0，-1}，则直线的方向向量==={-5，2，-5}，由于所求平面经过直线，故平面的法向量与直线的方向向量垂直，即={-5，2，-5}?==0，因为所求平面与平面垂直，则==0，解方程组所求平面方程为，即．解法2：用平面束（略）7、求既与两平面和的交线平行，又过点的直线方程.解法1：，，，从而根据点向式方程，所求直线方程为，即.解法2：设，因为，所以；又，则，可解，从而．根据点向式方程，所求直线方程为，即.解法3：设平面过点，且平行于平面，则为的法向量，从而的方程为，即．同理，过已知点且平行于平面的平面的方程为．故所求直线的方程为．8、一直线通过点，且垂直于直线，又和直线相交，求该直线方程；解：设所求直线的方向向量为，因垂直于，所以；又因为直线过点，则所求直线方程为，联立由①，令，则有代入方程②有可得，代入③解得，因此，所求直线方程为．9、指出下列方程表示的图形名称：(a) ；(b) ；(c) ；(d) ；(e) ； (f) ．解： (a) 绕轴旋转的旋转椭球面．(b) 绕z轴旋转的旋转抛物面． (c) 绕轴旋转的锥面．(d) 母线平行于轴的两垂直平面：，． (e) 母线平行于轴的双曲柱面．(f) 旋转抛物面被平行于面的平面所截得到的圆，半径为，圆心在（0，0，2）处．10、求曲面与所围立体在平面上的投影并作其图形．解：将所给曲面方程联立消去，就得到两曲面交线的投影柱面的方程，所以柱面与平面的交线所围成的区域即为曲面与所围立体在平面上的投影(图略)．复习题B1、设，，，求以和为邻边的平行四边形的面积.解：.2、设，，求.解：由已知可得：，即，．这可看成是含三个变量、及的方程组，可将、都用表示，即，从而，.3、求与共线，且的向量．解由于与共线，所以可设，由，得，即，所以，从而．4、已知，求，使且．解法1: 待定系数法．设，则由题设知及，所以有由①得④，由②得⑤，将④和⑤代入③得，解得，于是或．解法2: 利用向量的垂直平行条件，因为，所以∥．设是不为零的常数，则，因为，所以，解得，所以或．解法3: 先求出与向量方向一致的单位向量，然后乘以．，，故与方向一致的单位向量为．于是，即或．5、求曲线的参数式方程.解：曲线参数式方程是把曲线上任一点的坐标都用同一变量即参数表示出来，故可令，则．6、求曲线在面上及在面上的投影曲线的方程．解：求在面上的投影的方程，即由的两个方程将消去，即得关于面的投影柱面的方程则在面上的投影曲线的方程为．同理求在面上的投影的方程，即由的两个方程消去，得关于面的投影柱面的方程，则在面上的投影曲线方程为．7、已知平面过点和直线，求平面的方程．解法1：设平面的法向量为，直线的方向向量，由题意可知，是直线上的一点,则在上，所以,故可取．则所求平面的点法式方程为，即为所求平面方程．解法2：设平面的一般方程为，由题意可知，过点，故有, （1）在直线上任取两点，将其代入平面方程，得, （2）, （3）由式（1）、（2）、（3）解得,故平面的方程为.解法3：设为上任一点．由题意知向量、和共面，其中为直线上的点，为直线的方向向量．因此，故平面的方程为，即为所求平面方程．8、求一过原点的平面，使它与平面成角，且垂直于平面．解：由题意可设的方程为，其法向量为，平面的法向量为，平面的法向量为，由题意得，即（1）由，得，将代入（1）式得,解得或，则所求平面的方程为或．9、求过直线：且平行于直线：的平面的方程．解法1：直线的方向向量为，直线的对称式方程为，方向向量为，依题意所求平面的法向量且，故可取，则，又因为过原点，且在平面上，从而也过原点，故所求平面的方程为．解法2：设所求平面为，即，其法向量为，由题意知，故，得，则所求平面的方程为．另外，容易验证不是所求的平面方程．10、求过直线：且与球面相切的平面方程解：设所求平面为，即，由题意：球心到它的距离为1，即解得：或所求平面为：或11、求直线：在平面：上投影直线的方程，并求直线绕轴旋转一周而成的曲面方程.解：将直线：化为一般方程，设过直线且与平面垂直的平面方程为，则有，即，平面方程为，这样直线的方程把此方程化为：，因此直线绕轴旋转一周而成的曲面方程为：即 .12、求过点且平行于平面：，又与直线相交的直线L的方程．解法1：用点向式方程.因为直线L平行于平面，故直线的方向向量垂直于平面的法向量，从而得①，又直线的方向向量为，是直线上一点，是直线上一点，根据题设：直线与直线相交，所以及共面，因此，即②，将①和②联立解得，由此得，于是所求直线方程为．解法2：用一般式，即先求出过的两个平面，将其方程联立便得的方程．直线在过点且平行于平面的平面上，平面的方程为，即，直线又在过点及直线的平面上，平面的法向量可取为，故平面的方程为，即，于是所求直线方程为13、求直线：与直线：的公垂线的方程解：的方向向量而的方向向量于是公垂线的方向向量，过与的平面的法向量.也可取法向量，以代入方程，可得上的点，于是平面方程，即再求与的交点，的参数方程为，，，代入上述平面方程，得：，，再代回的参数方程得，，，于是，兼顾公垂线的方向向量，于是可产生公垂线的方程为.14、求点到直线：的距离.解法1：直线的方向向量为，在上任取一点，则，，故，又，解法2：将直线的方程由一般式化为标准式得，故过点与直线垂直的平面的方程为，即，直线的参数式方程为：，，，将上式代入平面的方程，得：，解得：，所以直线的交点为2，于是点到直线的距离为.15.求两直线：与：之间的最短距离解法1：过作平面，过的平面方程为，即，要此平面平行于，则此法向量须垂直于，即，而，则，解得：，从而平面的方程为，容易得到直线上一点，点到平面的距离为即为与之间的距离.解法2：容易得到直线上的一点，直线上的一点，于是，可求得直线与直线的方向向量分别为，，两直线公垂线的方向向量为，直线与之间的距离为.第六章向量代数与空间解析几何习题详解1。
从高考试题看平面向量与解析几何的交汇
注2007年广东高考理科卷第7题也可采用类似的方法．以上解法采用了课本定义，其中A向B移交了x台则B向A移交了x台，而最后求“A向B 移交的设备总台数”为|x|．同时①式是由若干个含有绝对值符号组成的函数，求最小值类似于例题1中采用“零点分区”与“数形结合”法相结合的解法．通过思考绝对值|x|的定义与本题的情境进行对比，就会提高对其本质属性认识的深刻程度．这个过程是人对自已认知活动的自我意识和自我调节，其结果是既充实又优化了原有的认知结构．4元认知在解题结束后的监控对解题活动的结果进行反思：探讨解法，挖掘规律，引申结论．4.1解题反思能否一眼看穿原来的解法？利用不同的知识，通过不同途径求得问题的解？是否有更一般的方法？更特殊的方法？方法之间有什么联系？4.2规律挖掘能否导出一些有用的东西？偶然中是否隐含着某种必然？4.3结论引申能否将这个问题的结论变形、推广？能否改变一下条件？能否改变一下结论？例3解方程与方程组(1)解方程|23||1||32|x x x++=+．分析本题采用零点分区法就可获得圆满解决．零点分区法虽然是一般性解法(通法)，但此解法没有发现题目的特殊性．我们对原有的认知活动进行反思，发现对题目的认识是不深入的，因为解题时把题中出现的式子(23),(1),(32)x x x++仅仅看成一般性的三个式子，没有注意它们之间的特殊关系．设23,1,32A xB xC x=+==+则“A B C+=”是一个十分鲜明而强烈的信号，直接使用绝对值的有关性质||||||A B A B+≥+当且仅当A B C×≥时取“=”，问题就得到解决．当我们对题目的本质结构认识深入的时候，解题思路就更宽广了．(2)方程组|2|2|1||2||1|y x xy x x=++=+(3)方程组|4||2|52|1||4|5x yx y++=++=分析方程组(2)中①②式都含“|2|x”项，可采用加减消元法处理．方程组(3)就没有这样的特征，只有采用通法即零点分区法(分为4,2y y≥<<4,y2≤三种情况处理；同理也可分1,4x x≥< 1,<x4≤三种情况处理)．数学解题不仅仅是对题目材料的识别、理解和加工的认识过程，而且还是一个对该过程进行积极参与的监控、调节的再认识过程．我们坚信，在数学的内容与内容之间、内容与形式之间、形式与形式之间，存在着本质上的和谐与统一．在数学学习中，通过反思来沟通各知识点之间的联系，形成知识链，建立知识网络，是一个自觉开发元认知的过程，是一个积极优化认知结构的过程．参考文献[1]涂荣豹．数学教学认识论．南京：南京师范大学出版社，2004．从高考试题看平面向量与解析几何的交汇福建省福州第四中学杜谦(350002)解析几何运用代数的方法解决几何问题，具有数形结合与转换的特征．向量具有代数与几何的双重身份，既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁．平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角，平行，垂直，共线，轨迹等问题的处理，解决此类问题的基本思路是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算；或者考虑向量运算的几何意义，利用几何意义解决有关问题．主要包括以下三类题型，本文通过各类典型例子的分析，①②①②寻找其求解规律，希望有助于了解高考题型变化和发展趋势．1运用向量共线充要条件处理解析几何中有关平行，共线问题若1122(,),(,)a x y b x y ==，则a 与b 共经121221120x x x y x y y y λλ===．运用以上向量共线的充要条件处理解析几何中有关平行，共线问题，可使解题思路清晰，易于操作，比用斜率或定比分点公式研究这类问题要简洁得多．例1(2006山东21)双曲线C 与椭圆22184x y +=有相同的焦点，直线3y x =为C 的一条渐近线．(1)求双曲线C 的方程；(2)过点P(0，4)的直线l ，交双曲线C 于A ，B 两点，交x 轴于Q 点(Q 点与C 的顶点不重合)．当PQ =1QA λ2QB λ=，且128/3λλ+=时，求Q 点的坐标．(1)双曲线C 的方程为22/31x y =(过程略)．(2)解法一由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零．设l 的方程：114,(,)y kx A x y =+，22(,)B x y 则(4/,0)Q k 1PQ QA λ=∵，111(4/,4)(4/,)k x k y λ∴=+，11111111444/()4/()4/4x k k x k k y y λλλλ==+∴==．①∵11)(,A x y 在双曲线C 上，∴2121116116()10k λλλ+=∴22221116321616/30.k k λλλ++=∴22211(16)321616/30.k k λλ++=同理有：22222(16)321616/30.k k λλ++=若2160,k =则直线l 过顶点，不合题意．2160,k ∴≠12,λλ∴是二次方程222(16)321616/30.k x x k ++=的两根．32863λλ∴+==，24k ∴=，此时0,2k >∴=±．∴所求Q 的坐标为(2,0)±．解法二1PQ QA λ=∵，Q ∴分PA 的比为1λ．由定比分点坐标公式得1111111111144(1)14401xx k k y y λλλλλλλ==+++==+．①以下同解法一说明解法一把向量共线的条件坐标化得到①比解法二用线段定比分点的方法得到①直接，快捷．解法三设l 的方程：11224,(,),(,)y kx A x y B x y =+，则(4/,0)Q k ．12PQ QA QB λλ==∵，111222444(,4)(,)(,)x y x y k k kλλ∴=+=+．11224y y λλ∴==，114/y λ∴=，224/y λ=，又1283λλ+=，121123y y ∴+=，即12123()2y y y y +=．将4y kx =+代入2213y x =，得222(3)244830k y y k +=．230k ≠∵，否则l 与渐近线平行．212122224483,33k y y y y k k ∴+==．222244833233k k k ∴×=×2k ∴=±(2,0)Q ∴±解法四1PQ QA λ=∵，111(4/,4)(4/,)k x k y λ∴=+．∴1114/44/4k x k kx λ==++．同理：1244kx λ=+．1212448443kx kx λλ+==++．即2121225()80k x x k x x +++=．以下步骤类似解法三．评注上述四种解法的共同点都是把两个向量共线的条件坐标化类似试题还有2007年宁夏19题，2007年福建20等等．运用向量的数量积处理解析几何中有关长度，角xOP y A BQ1221k 2度，垂直等问题(1)若1122(,),(,)a x y b x y ==则1212ab x x y y =+(2)cos(,)ab a b a b =(3)000090A B <∠<cos 00A B OA OB ∠>>运用以上向量数量积公式处理解析几何中有关长度，角度，垂直等问题，可以把有关几何关系迅速转化为数量关系，从而计算出所要求的结果．例2(2006湖北20)设,A B 分别为椭圆2222x y a b +=1(,0)a b >的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且4x =为它的右准线．(I)求椭圆的方程；(II)设P 为右准线上不同于点(4，0)的任意一点，若直线,AP BP 分别与椭圆相交于异于,A B 的点M N 、，证明点B 在以MN 为直径的圆内．解(I)依题意得a ＝2c ，2a c＝4，解得a ＝2，c ＝1，从而b ＝3故椭圆的方程为22143x y +=．(II)由(I)得A (－2，0)，B(2，0)．设00(,)M x y ．∵M 点在椭圆上，∴y 0＝34(4－x 02)．①又点M 异于顶点A 、B ，∴－2<x 0<2，由P 、A 、M 三点共线可以得P(4，0062y x +)．从而BM ＝(x 0－2，y 0)，BP ＝(2，0062y x +)．∴BM BP ＝2x 0－4＋20062y x +＝022x +(x 02－4＋3y 02)．②将①代入②，化简得BM BP ＝5(2－x 0)/2．∵2－x 0>0，∴BM BP >0，则∠MBP 为锐角，从而∠MBN 为钝角，故点B 在以MN 为直径的圆内．评注证明点在圆内除了运用解析几何的有关方法，也可借助向量的知识来处理，通过证明点对直径所张的角为钝角来解决问题，此法较简捷．类似试题还有2007全国(2)20，2007四川20，2007江西21等等．3运用平面向量的综合知识，探求动点的轨迹方程与探究曲线的性质解析几何中，探求动点的轨迹常用定义法、代入法、参数法等等．把探求轨迹的问题与向量联系起来，能使问题立意更新，情景更好，内容更丰富．且应用向量的数量积，和差的坐标形式等知识，进行适当的转化，能减少运算量，使问题解刃而解．例3(2002年全国新课程卷)平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(－1,3),若点C 满足OC a OA bOB =+，其中α，βR ∈且1αβ+=，则点C 的轨迹方程为()．A ．32110x y +=；B ．(x －1)2＋(y －2)2=5；C ．2x －y=0；D ．x ＋2y －5=0．解法一设(,)C x y ，则(,)(3,)(,3)(3,3),x y ααββαβαβ=+=+∴3,3.x y αβαβ==+又1αβ+=．∴41,2 3.x y αα==+消去参数α,得点C 的轨迹方程为250x y +=.解法二利用向量的几何运算，考虑定比分点公式的向量形式，结合条件知：A ，B ，C 三点共线，故点C 的轨迹方程即为直线A B 的方程250x y +=，故本题应选D ．例4(2007湖南20)已知双曲线222x y =的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的动直线与双曲线相交于A B ,两点．(I)若动点M 满足1111F M F A F B F O =++(其中O 为坐标原点)，求点M 的轨迹方程；(II)在x 轴上是否存在定点C ，使CA C B 为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．解由条件知1(20)F ，，2(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，．(I)设()M x y ，，则1(2)F M x y =+,，111(2)F A x y =+,，1221(2)(20)F B x y F O =+=,，，，由F M F F B F O =++得xOPy ABMN1111A121226x x x y y y+=++=+，即12124x x x y y y +=+=，．于是A B 的中点坐标为4()22x y，．当A B 不与x 轴垂直时，1212/2(4)/228y y y y x x x x ==，即1212()8y y y x x x =．又因为A B ,两点在双曲线上，所以22112x y =，22222x y =，两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y +=+，即1212()(4)()x x x y y y =．将1212()8y y y x x x =代入上式，化简得22(6)4x y =．当A B 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，，也满足上述方程．所以点M 的轨迹方程是22(6)4x y =．(II)假设在x 轴上存在定点(0)C m ，，使CA CB 为常数．当A B 不与x 轴垂直时，设直线A B 的方程是(2)(1)y k x k =≠±．代入222x y =有2222(1)4(42)0k x k xk ++=．则12x x ,是上述方程的两个实根，所以212241kx x k+=，2122421k x x k+=，于是CA CB 21212()()(2)(2)x m x m k x x =+22221212(1)(2)()4k x x k m x x k m =+++++22222222(1)(42)4(2)411k k k k m k m k k+++=++222222(12)2442(12)11m k m m m m kk+=+=++．因为CA CB 是与k 无关的常数，所以440m =，即1m =，此时CA CB =1．当AB 与x 轴垂直时，点A B ,的坐标可分别设为(22)，，(22)，，此时(12)(12)1CA CB ==，，．故在x 轴上存在定点(10)C ，，使CA CB 为常数．评注：类似试题还有2006全国卷20，2006陕西21等等．从上述几个例子可以看出：以解析几何知识为载体，以向量为工具，以考查轨迹方程曲线性质和向量有关公式及其应用为目标，是近年来高考在向量与解析几何交汇处设置试题的特点，对于解析几何中图形的重要位置关系(如平行、垂直、相交、三点共线等)和数量关系(如距离、角等)，向量都能通过其坐标运算进行刻划．因此，在解析几何复习时应适时融合平面向量的基础，渗透平面向量的基本方法．求解解析几何试题时只要要认真分析图形位置关系和数量关系，充分挖掘试题的向量背景，就完全有可能获得一个简捷的解法．此外，作为高中课标课程新增内容之一的向量具有数形兼备的特点，是联系众多知识的桥梁．所以，向量与三角、解析几何、立体几何的交汇应该是当今高考命题的一种趋势，考查的力度会逐渐加大．因此，必须重视对这些知识的复习和演练，直至深刻理解、灵活运用．从一道国际数学奥赛试题的背景谈起福建师范大学数学与计算机科学学院04级魏清达(350108)第十一届国际数学奥林匹克竞赛试题：已知对于所有实数121212,,,,,x x y y z z ，其中1x >20,0x >，21110x y z >，22220x y z >，求证：811x y z x y z ≤+，并给出等号成立的充要条件．从已知条件和所要求证的结论看，似乎是在考查求证一个不等式的方法．但是，这个不等式是如何构造出来的呢？我们先来证明一个关于正定矩阵的命题并通过该命题认识这道赛题所涉及的背景知222121212111222。
平面向量在解析几何中的应用与求解策略
平面向量在解析几何中的应用与求解策略一、利用向量，可以很方便地解决有关平行、垂直、距离等相关问题，其基本理论是：（一）、直线的方向向量：直线L 的方向向量为→m =（a,b),则该直线的斜率为k= ba（二）、利用向量处理平行问题：对非零向量→a =(x 1,y 1),→b =(x 2,y 2),→a ∥→b 的充要条件是：有且仅有一个实数λ，使得→a = λ→b ；亦即a ∥b (b≠)的充要条件是⇔x 1y 2-x 2y 1=0；（三）、利用向量求角：设→a =(x 1,y 1),→b =(x 2,y 2), 则两向量→a 、→b 的夹角：cos θ = cos<→a ,→b > = →a 〃→b|→a ||→b=x 1x 2+y 1y 2x 12+y 12 〃x 22+y 22⇒ 其特殊情况即为垂直问题：对非零向量→a =(x 1,y 1),→b =(x 2,y 2),→a ⊥→b 的充要条件是→a 〃→b =0⇔x 1x 2- y 1y 2=0；（四）、利用向量求距离：设→a =(x,y),则有|→a |=→a 2 =x2+y 2；若),,(),,(2211y x B y x A 则|→二、典例分析：★【题1】、点P （-3,1）在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左准线上.过点P且方向为→a =(2,-5)的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为:( ) （A （B ）13 (C)2（D ）12●[解析]：如图,过点P （-3，1）的方向向量→a =(2,-5);所以)3(251;,25+-=--=x y l K PQ PQ 则；即1325;-=+y x L PQ ;联立：)2,59(21325--⎩⎨⎧-=-=+Q y y x 得， 由光线反射的对称性知：251=QF K所以)59(252;1+=+x y L QF ，即0525:1=+-y x L Q F ;令y=0,得F 1（-1，0）;综上所述得： c=1，3,32==a c a 则;所以椭圆的离心率.3331===a c e 故选A 。
平面向量与解析几何练习题
平面向量与解析几何练习题解析几何是现代数学的重要分支之一，其研究对象是空间中的点、向量和几何对象的性质与关系。
而平面向量作为解析几何的基础，具有重要的应用价值。
下面将通过一些练习题，来巩固和应用平面向量与解析几何的知识。
一、证明题1. 证明平面上一点A（x1，y1）到直线Ax+By+C=0的距离为：d=|Ax1+By1+C|/√(A^2+B^2)。
2. 证明向量AB与向量AC的夹角满足：cos∠BAC=(AB·AC)/(|AB|·|AC|)。
二、计算题1. 已知A(2, 1), B(5, -3)，求向量AB。
2. 已知向量a(3, 4)，b(-2, 1)和c(5, -2)，求向量a+b-c的模。
3. 设向量a=(3, -2)，b=(-1, 5)，求向量a·b和|a×b|。
4. 已知向量a=(1, 2)，b=(-3, 4)，求向量a+b和向量a-b的模。
三、综合应用题1. 已知三角形ABC，点A(1, 2), B(4, 3)，C(2, -1)，求AB和AC的单位向量。
2. 已知平面内一三角形ABC，点A(-1, 4), B(3, -2)，C(x, y)，若三角形ABC为等腰直角三角形，求点C的坐标。
3. 设平面向量a与b的模分别为3和4，且∠(a, b)=π/3，求其数量积a·b。
4. 在平面内，设单位向量a、b满足a·b=0，向量c=2a-3b，求向量c 的模和c与向量a的夹角。
通过以上的练习题，我们对平面向量和解析几何的相关知识进行了巩固和应用。
解析几何在数学中具有重要的地位，通过深入学习和练习，我们可以更好地理解和应用解析几何在实际问题中的解决方法。
希望通过对这些题目的学习，能够进一步提升解析几何的能力，为今后的学习和工作打下坚实的基础。
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平面向量与解析几何交汇的综合问题设计立意及思路向量具有代数与几何形式的双重身份，故它是联系多项知识的媒介，成为中学数学知识的一个交汇点，数学高考重视能力立意，在知识网络的交汇点上设计试题，因此，解析几何与平面向量的融合交汇是新课程高考命题改革的发展方向和创新的必然趋势。
而学生普遍感到不适应，因此，我们在解析几何复习时应适时融合平面向量的基础，渗透平面向量的基本方法。
本专题就以下两方面对平面向量与圆锥曲线交汇综合的问题进行复习；1、以向量为载体，求轨迹方程为命题切入点，综合考查学生平面向量的加法与减法及其几何意义，平面向量的数量积及其几何意义，圆锥曲线的定义。
2、以向量作为工具考查圆锥曲线的标准方程和几何性质，直线与圆锥曲线位置关系，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力。
我们先来分析一下解析几何高考的命题趋势：（1）题型稳定：近几年来高考解析几何试题一直稳定在三（或二）个选择题，一个填空题，一个解答题上，分值约为30分左右，占总分值的20%左右。
（2）整体平衡，重点突出：《考试说明》中解析几何部分原有33个知识点，现缩为19个知识点，一般考查的知识点超过50％，其中对直线、圆、圆锥曲线知识的考查几乎没有遗漏，通过对知识的重新组合，考查时既注意全面，更注意突出重点，对支撑数学科知识体系的主干知识，考查时保证较高的比例并保持必要深度。
近四年新教材高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型：①求曲线方程（类型确定、类型未定）；②直线与圆锥曲线的交点问题（含切线问题）；③与曲线有关的最（极）值问题；④与曲线有关的几何证明（对称性或求对称曲线、平行、垂直）；⑤探求曲线方程中几何量及参数间的数量特征；（3）能力立意，渗透数学思想：如2000年第（22）题，以梯形为背景，将双曲线的概念、性质与坐标法、定比分点的坐标公式、离心率等知识融为一体，有很强的综合性。
一些虽是常见的基本题型，但如果借助于数形结合的思想，就能快速准确的得到答案。
（4）题型新颖，位置不定：近几年解析几何试题的难度有所下降，选择题、填空题均属易中等题，且解答题未必处于压轴题的位置，计算量减少，思考量增大。
加大与相关知识的联系（如向量、函数、方程、不等式等），凸现教材中研究性学习的能力要求。
加大探索性题型的分量。
在近年高考中，对直线与圆内容的考查主要分两部分：（1）以选择题题型考查本章的基本概念和性质，此类题一般难度不大，但每年必考，考查内容主要有以下几类：①与本章概念（倾斜角、斜率、夹角、距离、平行与垂直、线性规划等）有关的问题；②对称问题（包括关于点对称，关于直线对称）要熟记解法；③与圆的位置有关的问题，其常规方法是研究圆心到直线的距离。
以及其他“标准件”类型的基础题。
（2）以解答题考查直线与圆锥曲线的位置关系，此类题综合性比较强，难度也较大。
预计在今后一、二年内，高考对本章的考查会保持相对稳定，即在题型、题量、难度、重点考查内容等方面不会有太大的变化。
相比较而言，圆锥曲线内容是平面解析几何的核心内容，因而是高考重点考查的内容，在每年的高考试卷中一般有2~3道客观题和一道解答题，难度上易、中、难三档题都有，主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性质，直线与圆锥的位置关系等，从近十年高考试题看大致有以下三类：（1）考查圆锥曲线的概念与性质；（2）求曲线方程和求轨迹；（3）关于直线与圆及圆锥曲线的位置关系的问题。
选择题主要以椭圆、双曲线为考查对象，填空题以抛物线为考查对象，解答题以考查直线与圆锥曲线的位置关系为主，对于求曲线方程和求轨迹的题，高考一般不给出图高考考点回顾近三年来平面向量与圆锥曲线交汇命题可以说经历了三个阶段：2002年天津卷21道只是数学符号上的混合；2003年江苏卷20道用平面向量的语言描述解析几何元素的关系，可谓是知识点层面上整合；2004年有6份卷（分别是全国卷理科（必修+选修I）21道；全国卷理科（选修Ⅱ）21道；辽宁19道；湖南文21道；江苏卷21道；天津卷22道）涉及平面向量与圆锥曲线交汇综合，可以说是应用层面上综合。
就应用层面上又有两个层次。
第一层次：考查学生对平面向量的概念、加减运算、坐标表示、数量积等基本概念、运算的掌握情况. 第二层次：考查学生对平面向量知识的简单运用，如平面向量共线定理、定比分点、加减运算几何意义（这三点已有所涉及）、数量积几何意义、射影定理（这两点挖掘不够，本专题着重讲述见例1变式）。
考查学生把向量作为工具的运用能力.这一层次的问题有一定的难度，而且是未来几年平面向量高考题的一个走向.基础知识梳理1．向量的概念、向量的几何表示、向量的加法和减法；2．实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算；3．平面向量的数量积及其几何意义、平面两点间的距离公式、线段定比分点人坐标公式和向量的平衡移公式；4．椭圆、双曲线、抛物线的定义及简单几何性质的灵活运用；5．曲线方程（含指定圆锥曲线方程及轨迹方程）；6．直线与圆锥曲线的位置关系问题（交点、弦长、中点弦与斜率、对称问题）确定参数的取值范围；7．平面向量作为工具综合处理有关长度、角度、垂直、射影等问题以及圆锥曲线中的典型问题。
例题讲解一、“减少运算量，提高思维量” 是未来几年高考的一个方向，高考中对求轨迹的方程倾向于利用适当的转化再用定义法，以利于减少运算量，提高思维量。
而圆锥曲线的两种定义均可用向量的模及数量积几何意义、射影定理来表示，无疑为平面向量与圆锥曲线交汇命题开拓了广阔的空间。
在以向量为载体，求轨迹方程为命题切入点，可以综合考查学生平面向量的加法与减法及其几何意义，平面向量的数量积及其几何意义，圆锥曲线的定义。
例1．已知是x,y轴正方向的单位向量，设= , = ,且满足| |+| |=4.(1)求点P(x,y)的轨迹C的方程.(2)如果过点Q(0，m)且方向向量为 =(1,1) 的直线l与点P的轨迹交于A，B两点，当AOB的面积取到最大值时，求m的值。
解：(1) = , | |= ,且| |+| |=4.点P(x,y)到点( ,0)，(- ,0)的距离这和为4，故点P的轨迹方程为(2)设A( ),B( )依题意直线AB的方程为y=x+m.代入椭圆方程，得，则+ =- m, =因此，当时，即m= 时，[题设变式I.1] 已知是x,y轴正方向的单位向量，设= , = ,且满足|| |-| ||=2.求点P(x,y)的轨迹C的方程.(轨迹为双曲线)[题设变式I.2] 已知是x,y轴正方向的单位向量，设= , = ,且满足=| |.求点P(x,y)的轨迹C的方程.[提示：设K(- ,0)，F ( ,0)，则表示在x轴上射影，即点P到x= - 的距离，所以点P到定点F的距离与到定直线x= - 的距离比为1，故点P的轨迹是以( ,0)为焦点以x= - 为准线抛物线][题设变式I.3] 已知是x,y轴正方向的单位向量，设= , = ,且满足= | |.求点P(x,y)的轨迹C的方程.[提示：设K(- ,0)，F ( ,0)，则表示在x轴上射影，即点P到x= - 的距离，所以点P到定点F的距离与到定直线x= - 的距离比为，当时，点P的轨迹是以( ,0)为焦点，以x= - 为相应准线的椭圆；当时，点P 的轨迹是以( ,0)为焦点，以x= - 为相应准线的双曲线的右支；若想得到双曲线的双支应满足什么条件？] [题设变式I.4] 已知平面上两定点K、F，P为一动点，满足，.求点P(x,y)的轨迹C的方程.(以F焦点，过K且垂直于KF的直线为准线的抛物线)[题设变式I.5] 已知平面上两定点K、F，P为一动点，满足，.求点P(x,y)的轨迹C的方程.(以F焦点，过K且垂直于KF的直线为准线的圆锥曲线。
)[考题] 已知点A( ，0)，B( ，0)动点P满足(1)若动点P的轨迹记作曲线C1，求曲线C1的方程.(2)已知曲线C1交y轴正半轴于点Q，过点D（0，）作斜率为k的直线交曲线C1于M、N点，求证：无论k如何变化，以MN为直径的圆过点Q.（解答见附页）[题设变式II.1] 已知是x,y轴正方向的单位向量，设= , = ,且满足| + |=4..求点P(x,y)的轨迹C的方程. ( ,点P轨迹为圆，其中A（，0），B（－，0）)[题设变式II.2] 已知是x,y轴正方向的单位向量，设= , = ,且满足＝6.求点P(x,y)的轨迹C的方程. (轨迹为圆)例2、已知两点M(-2，0)，N(2，0)，动点P在y轴上的射影是H，如果分别是公比q=2的等比数列的第三、第四项.（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）已知过点N的直线l交曲线C于x轴下方两个不同的点，A、B，设R为AB的中点，若过点R与定点Q(0，-2)的直线交x轴于点D(x0，0)，求x0的取值范围.导析（1）设P(x，y)，则H(0，y)，又因为所以有所以点P的轨迹方程为y2-x2=4(x≠0).（2）设AB：y=k(x-2)，A(x1y1)，B(x2y2)，R(x3y3).化简得(k2-1)x2-4k2x=4(k2-1)=0.所以所以DQ的方程为令y=0，得又由可得k2＞，由题意可知＜k＜1，所以1＜＜，所以＜-( )2+ ＜1，所以2＜x0＜2+ .故所求的x0的取值范围为(2，2+ ).[题后反思]若改变q 的值能否构造出椭圆来呢？[当0＜q＜1时，点P的轨迹为椭圆]例3、如图所示，点F (a，0)(a＞0)，点P在y轴上运动，M在x轴上，N为动点，且（1）求点N的轨迹C的方程；（2）过点F(a，0)的直线l(不与x轴垂直)与曲线C交于A、B两点，设点K(-a，0)，与的夹角为，求证：0＜＜.[答案提示] （1）点N的轨迹C的方程为[变化]点F (a，0)(a＞0)，点P在y轴上运动，M在x轴上，N为动点，且（为常数）求点N的轨迹仍为抛物线吗？；二、把向量作为工具去推导与探索圆锥曲线的标准方程和几何性质，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力。
例4、已知，F椭圆的两个焦点，过点F的直线BC交椭圆于B、C两点，(1) ，求点M的轨迹方程.[答案](2)若相应于焦点F的准线与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.设（），过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明: .解：(1)略(2) 证明：.由已知得方程组注意，解得因，故.而，所以.[结论发散]设P( )为椭圆上一点，(1)求的Min(2)求的Max(3)当<0时，的取值范围。
(4)若相应于焦点F的准线与x轴相交于点A，，求(5)已知点M的坐标为(2,3)，求的最值。
(6)已知点Q的坐标为(1,1)，求的最小值(7)已知点Q的坐标为(1,1)，求的最值[提示] ==2a+ 2a+ =2a+例5.已知A、B为抛物线(p>0)上两点，直线AB过焦点F，A、B在准线上的射影分别为C、D，（1）若，求抛物线的方程。