第七章-自旋与全同粒子-习题 y

第七章 自旋与全同粒子

第一部分: 基本概念和基本思想题目 1. 描述全同粒子的波函数应具什么性质? 2. 玻色子是否受泡利原理的限制? 为什么? 3. 描述全同粒子体系的波函数有什么特征?

4. 电子的自旋可用 ()z

S a X b

⎛⎫= ⎪⎝⎭

表示,试说明|a|2 与|b|2的物理意义。

5. 当单电子处于任一自旋态时，测量S x 、S y 各可能测到哪些值？

6. 费米子与玻色子体系对描述其状态的波函数有什么要求？

7. 提出电子有自旋的实验根据是什么？

8. 斯特恩－盖拉赫实验中为什么要选用基态氢原子？ 9. 考虑电子自旋后，电子波函数在形式上有什么特点？ 10. 说明积分2

|(,,,,) x y z t d ψτ⎰⎰⎰

的物理意义。

11. 古德斯米特－乌伦贝克关于电子自旋的基本假设是什么？ 12. 电子自旋磁矩与自旋角动量之间的关系是什么？ 13. 电子自旋是如何表示的？

14. 无耦合表象中，哪些力学量是对角矩阵？ 15. 耦合表象中，哪些力学量是对角矩阵？

第二部分：基本技能训练题

1. 试求泡利算符ˆx σ

的本征值和本征函数。 2. y z ˆˆˆ i 证明＝x σ

σσ

3.

221y

2

ˆˆX ()S S (S )(S )?

求在自旋态中，与的测不准关系：z x x y s ∆⋅∆=

4. 求下列状态中J z 的本征值

1112

1101

112

2

1211() ()(,)

() ()(,)()(,)]

z z z X S Y S Y X

S Y ψθϕψθϕθϕ-

==

+

5. 01021020 求及的本征函数与本征值。

x y i S S i

-⎛⎫

⎛⎫

== ⎪

⎪⎝⎭⎝⎭

6. 求自旋角动量在（cosα，cosβ，cosγ）的投影

ˆˆˆˆcos cos cos n x y z

S S S S αβγ=++的本征值和本征函数。 在这些本征态中，测量S z 有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出现？

7. 下列波函数中，哪些是完全对称的？ 哪些是反对称的？

1212211122

2

2111211122

2

2

2

12341()

2121()

() f(r )()()()

() r () f(r )()[()()()()]

() z z r r z z z z r r g r X s X s e

f r X s X s X s X s e αα-+-----

8. 设氢原子的状态是

21112110122z z L S

R Y R Y ψ⎛⎫

⎪

⎪= ⎪- ⎪⎝⎭

求＝？＝？ 9. (1)(2)(3)(4)

s s s A X ,X ,X X 证明和组成正交归一系。

10. 在1z 2

X (s )态中测量S z 可得到哪些可能值？可能值的几率分别是多

少？S x 的可能值是多少？

11. 一体系有三个全同粒子组成（玻色子），玻色子之间无相互作用。 （1） 若玻色子有两个单粒子态，该体系有几个可能状态？写出

由单粒子波函数构成的波函数。

（2） 若玻色子有三个单粒子态，该体系有几个可能状态？写出

由单粒子波函数构成的波函数。

12. 设两电子在弹性辏力场中运动，每个电子的势能是221

U(r).2

r μω= 如果电子间的库仑能与U(r)相比可忽略，求当一个电子处于基态，另一个电子处于沿x 方向运动的第一激发态时，两电子组成体系的波函数。

13. 23x cos sin 1) ? () ?

() S 已知电子处于所描述自旋态中，求：

（在该态中测量的可能值与相应的几率。

z x x S S δδ⎛⎫= ⎪⎝⎭

== 14. 已知S y 在S z 表象中的矩阵表示为：

12

020ˆS ()y

y z i S i X s -⎛⎫= ⎪⎝⎭

= 求在态中平均值。

15.

12122

2

12S S S S S 32

已知＝＋，和是电子自旋角动量算符，证明：

＝（＋）

S σσ⋅

16.

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆz -x y -x y

在J 与J 的共同表象|jm 中,计算升降算符J 与J 的矩阵元(J J iJ , J J -iJ ++>=+=2)

17. 2x

ˆˆˆ.z 在J 与J 的共同表象中,计算J 的矩阵元 18. 2z x 17 ,S S S .利用题的结果和的矩阵元在 的共同表象中,计算

第三部分:小论文题目 1. 多电子自旋函数的构造 2. 自旋算符在不同表象中矩阵表示 3. 氢原子激发态Stark 效应研究 4. 关于波函数对称化研究 5. 升降算符矩阵表示研究