第七章-线性变换-习题答案
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证明1）反证法．假设 是 属于特征值 的特征向量，即
．
而由题设可知 ，且 ，故
．
比较两个等式，得到
．
再根据 是属于不同特征值的特征向量，从而是线性无关性，因此 ，即 ．这与 矛盾．所以 不是 的特征向量．
2）设 是 的一组基，则它们也是 的 个线性无关的特征向量，不妨设它们分别属于特征值 ，即
， ．
其中 为任意来自百度文库零常数．
5）设 在给定基 下的矩阵为 ，由于 的特征多项式为
，
故 的特征值为 （二重）， ．
当 时，方程组 ，即为
求得其基础解系为 ，故 的属于特征值1的全部特征向量为
其中 为任意不全为零的常数．
当 时，方程组 ，即为
求得其基础解系为 ，故 的属于特征值 的全部特征向量为
，
其中 为任意非零常数．
， ．
于是，在基 下，矩阵 对应 的一个线性变换 ，即
．
从而 ， ．又因为 也是 的一组基，且
．
故 与 相似．
证法２设
与 ．
对 交换 两行，再交换 两列，相当于对 左乘和右乘初等矩阵 和 ，而
即为将 中的 和 交换位置得到的对角矩阵．于是，总可以通过这样的一系列的对调变换，将 的主对角线上的元素 变成 ，这也相当于存在一系列初等矩阵 ，使得
『方法技巧』方法1利用了上一题的结论及教材中的定理1构造 的逆变换；方法2借助教材中的定理2，将线性变换 可逆转化成了矩阵 可逆．
9．设三维线性空间 上的线性变换 在基 下的矩阵为
．
1）求 在基 下的矩阵；
2）求 在基 下的矩阵，其中 且 ；
3）求 在基 下的矩阵．
『解题提示』可以利用定义直接写出线性变换的矩阵，也可以借助同一个线性变换在两组不同基下的矩阵是相似的进行求解．
解1）由于
，
，
．
故 在基 下的矩阵为
．
2）由于
，
，
．
故 在基 下的矩阵为
．
3）由于从 到 的过渡矩阵为
，
故 在基 下的矩阵为
．
『方法技巧』根据线性变换的矩阵的定义，直接给出了1）和2）所求的矩阵；3）借助了过渡矩阵，利用相似矩阵得到了所求矩阵．事实上，这三个题目都可以分别用两种方法求解．
10．设 是线性空间 上的线性变换，如果 ，但 ，求证： （ ）线性无关．
『方法技巧』求解一个线性变换的特征值即求其矩阵的特征多项式的根，再对每个根求得所对应的特征向量，但一定要注意表达成基向量的线性组合形式．
24．1）设 是线性变换 的两个不同特征值， 是分别属于 的特征向量，证明： 不是 的特征向量；
2）证明：如果线性空间 的线性变换 以 中每个非零向量作为它的特征向量，那么 是数乘变换．
6．设 是线性空间 的一组基， 是 上的线性变换，证明 可逆当且仅当 线性无关．
证法1若 是可逆的线性变换，设 ，即
．
而根据上一题结论可知 是单射，故必有 ，又由于 是线性无关的，因此 ．从而 线性无关．
反之，若 是线性无关的，那么 也是 的一组基．于是，根据教材中的定理1，存在唯一的线性变换 ，使得 ， ．显然
根据1）即知 ．否则，若 ，那么 ，且不是 的特征向量，这与 中每个非零向量都是它的特征向量矛盾．所以，对于任意的 ，都有 ，即 是数乘变换．
25．设 是复数域上的 维线性空间， 是 上的线性变换，且 ．证明：
1）如果 是 的一个特征值，那么 是 的不变子空间；
2） 至少有一个公共的特征向量．
证明1）设 ，则 ，于是，由题设知
第七章线性变换
3．在 中， ， ，证明：
．
『解题提示』直接根据变换的定义验证即可．
证明任取 ，则有
，
于是 ．
4．设 是线性变换，如果 ，证明：
．
『解题提示』利用数学归纳法进行证明．
证明当 时，由于 ，可得
，
因此结论成立．
假设当 时结论成立，即 ．那么，当 时，有
，
即对 结论也成立．从而，根据数学归纳法原理，对一切 结论都成立．
，
因此 ．根据不变子空间的定义即知， 是 的不变子空间．
，
令 ，则有 ，即 与 相似．
『方法技巧』证法１利用同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的这一性质；证法２利用了矩阵的相似变换，直接进行了证明．
17．如果 可逆，证明 与 相似．
证明由于 可逆，故 存在．于是
，
因此，根据相似的定义可知 与 相似．
19．求复数域上线性变换空间 的线性变换 的特征值与特征向量．已知 在一组基下的矩阵为：
1） ；4） ；5） ．
解1）设 在给定基 , 下的矩阵为 ．由于 的特征多项式为
，
故 的特征值为 ， ．
当 时，方程组 ，即为
解得它的基础解系为 ．从而 的属于特征值 的全部特征向量为
，
其中 为任意非零常数．
当 时，方程组 ，即为
解得它的基础解系为 ，从而 的属于特征值 的全部特征响向量为
，
其中 为任意非零常数．
证明由于 ，故对于任意的非负整数 ，都有 ．当 时，设
，
用 作用于上式，得
，
但 ，因此 ．于是
，
再用 作用上式，同样得到 ．依此下去，可得 ．从而 线性无关．
16．证明：
与
相似，其中 是 的一个排列．
『解题提示』利用同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的或直接相似的定义．
证法1设 是一个 维线性空间，且 是 的一组基．另外，记
4）设 在给定基 下的矩阵为 ，由于 的特征多项式为
，
故 的特征值为 ， ， ．
当 时,方程组 ，即为
求得其基础解系为 ，故 的属于特征值2的全部特征向量为
其中 为任意非零常数．
当 时,方程组 ，即为
求得其基础解系为 ，故 的属于特征值 的全部特征向量为
其中 为任意非零常数．
当 时，方程组 ，即为
求得其基础解系为 ，故 的属于特征值 的全部特征向量为
， ， ．
再根据教材中的定理1知， ．所以 是可逆的．
证法2设 在基 下的矩阵为 ，即
．
由教材中的定理2可知， 可逆的充要条件是矩阵 可逆．
因此，如果 是可逆的，那么矩阵 可逆，从而 也是 的一组基，即是线性无关的．反之，如果 是线性无关，从而是 的一组基，且 是从基 到 的过渡矩阵，因此 是可逆的．所以 是可逆的线性变换．
『特别提醒』由 可知，结论对 也成立．
5．证明：可逆映射是双射．
『解题提示』只需要说明可逆映射既是单射又是满射即可．
证明设 是线性空间 上的一个可逆变换．对于任意的 ，如果 ，那么，用 作用左右两边，得到 ，因此 是单射；另外，对于任意的 ，存在 ，使得 ，即 是满射．于是 是双射．
『特别提醒』由此结论可知线性空间 上的可逆映射 是 到自身的同构．
．
而由题设可知 ，且 ，故
．
比较两个等式，得到
．
再根据 是属于不同特征值的特征向量，从而是线性无关性，因此 ，即 ．这与 矛盾．所以 不是 的特征向量．
2）设 是 的一组基，则它们也是 的 个线性无关的特征向量，不妨设它们分别属于特征值 ，即
， ．
其中 为任意来自百度文库零常数．
5）设 在给定基 下的矩阵为 ，由于 的特征多项式为
，
故 的特征值为 （二重）， ．
当 时，方程组 ，即为
求得其基础解系为 ，故 的属于特征值1的全部特征向量为
其中 为任意不全为零的常数．
当 时，方程组 ，即为
求得其基础解系为 ，故 的属于特征值 的全部特征向量为
，
其中 为任意非零常数．
， ．
于是，在基 下，矩阵 对应 的一个线性变换 ，即
．
从而 ， ．又因为 也是 的一组基，且
．
故 与 相似．
证法２设
与 ．
对 交换 两行，再交换 两列，相当于对 左乘和右乘初等矩阵 和 ，而
即为将 中的 和 交换位置得到的对角矩阵．于是，总可以通过这样的一系列的对调变换，将 的主对角线上的元素 变成 ，这也相当于存在一系列初等矩阵 ，使得
『方法技巧』方法1利用了上一题的结论及教材中的定理1构造 的逆变换；方法2借助教材中的定理2，将线性变换 可逆转化成了矩阵 可逆．
9．设三维线性空间 上的线性变换 在基 下的矩阵为
．
1）求 在基 下的矩阵；
2）求 在基 下的矩阵，其中 且 ；
3）求 在基 下的矩阵．
『解题提示』可以利用定义直接写出线性变换的矩阵，也可以借助同一个线性变换在两组不同基下的矩阵是相似的进行求解．
解1）由于
，
，
．
故 在基 下的矩阵为
．
2）由于
，
，
．
故 在基 下的矩阵为
．
3）由于从 到 的过渡矩阵为
，
故 在基 下的矩阵为
．
『方法技巧』根据线性变换的矩阵的定义，直接给出了1）和2）所求的矩阵；3）借助了过渡矩阵，利用相似矩阵得到了所求矩阵．事实上，这三个题目都可以分别用两种方法求解．
10．设 是线性空间 上的线性变换，如果 ，但 ，求证： （ ）线性无关．
『方法技巧』求解一个线性变换的特征值即求其矩阵的特征多项式的根，再对每个根求得所对应的特征向量，但一定要注意表达成基向量的线性组合形式．
24．1）设 是线性变换 的两个不同特征值， 是分别属于 的特征向量，证明： 不是 的特征向量；
2）证明：如果线性空间 的线性变换 以 中每个非零向量作为它的特征向量，那么 是数乘变换．
6．设 是线性空间 的一组基， 是 上的线性变换，证明 可逆当且仅当 线性无关．
证法1若 是可逆的线性变换，设 ，即
．
而根据上一题结论可知 是单射，故必有 ，又由于 是线性无关的，因此 ．从而 线性无关．
反之，若 是线性无关的，那么 也是 的一组基．于是，根据教材中的定理1，存在唯一的线性变换 ，使得 ， ．显然
根据1）即知 ．否则，若 ，那么 ，且不是 的特征向量，这与 中每个非零向量都是它的特征向量矛盾．所以，对于任意的 ，都有 ，即 是数乘变换．
25．设 是复数域上的 维线性空间， 是 上的线性变换，且 ．证明：
1）如果 是 的一个特征值，那么 是 的不变子空间；
2） 至少有一个公共的特征向量．
证明1）设 ，则 ，于是，由题设知
第七章线性变换
3．在 中， ， ，证明：
．
『解题提示』直接根据变换的定义验证即可．
证明任取 ，则有
，
于是 ．
4．设 是线性变换，如果 ，证明：
．
『解题提示』利用数学归纳法进行证明．
证明当 时，由于 ，可得
，
因此结论成立．
假设当 时结论成立，即 ．那么，当 时，有
，
即对 结论也成立．从而，根据数学归纳法原理，对一切 结论都成立．
，
因此 ．根据不变子空间的定义即知， 是 的不变子空间．
，
令 ，则有 ，即 与 相似．
『方法技巧』证法１利用同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的这一性质；证法２利用了矩阵的相似变换，直接进行了证明．
17．如果 可逆，证明 与 相似．
证明由于 可逆，故 存在．于是
，
因此，根据相似的定义可知 与 相似．
19．求复数域上线性变换空间 的线性变换 的特征值与特征向量．已知 在一组基下的矩阵为：
1） ；4） ；5） ．
解1）设 在给定基 , 下的矩阵为 ．由于 的特征多项式为
，
故 的特征值为 ， ．
当 时，方程组 ，即为
解得它的基础解系为 ．从而 的属于特征值 的全部特征向量为
，
其中 为任意非零常数．
当 时，方程组 ，即为
解得它的基础解系为 ，从而 的属于特征值 的全部特征响向量为
，
其中 为任意非零常数．
证明由于 ，故对于任意的非负整数 ，都有 ．当 时，设
，
用 作用于上式，得
，
但 ，因此 ．于是
，
再用 作用上式，同样得到 ．依此下去，可得 ．从而 线性无关．
16．证明：
与
相似，其中 是 的一个排列．
『解题提示』利用同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的或直接相似的定义．
证法1设 是一个 维线性空间，且 是 的一组基．另外，记
4）设 在给定基 下的矩阵为 ，由于 的特征多项式为
，
故 的特征值为 ， ， ．
当 时,方程组 ，即为
求得其基础解系为 ，故 的属于特征值2的全部特征向量为
其中 为任意非零常数．
当 时,方程组 ，即为
求得其基础解系为 ，故 的属于特征值 的全部特征向量为
其中 为任意非零常数．
当 时，方程组 ，即为
求得其基础解系为 ，故 的属于特征值 的全部特征向量为
， ， ．
再根据教材中的定理1知， ．所以 是可逆的．
证法2设 在基 下的矩阵为 ，即
．
由教材中的定理2可知， 可逆的充要条件是矩阵 可逆．
因此，如果 是可逆的，那么矩阵 可逆，从而 也是 的一组基，即是线性无关的．反之，如果 是线性无关，从而是 的一组基，且 是从基 到 的过渡矩阵，因此 是可逆的．所以 是可逆的线性变换．
『特别提醒』由 可知，结论对 也成立．
5．证明：可逆映射是双射．
『解题提示』只需要说明可逆映射既是单射又是满射即可．
证明设 是线性空间 上的一个可逆变换．对于任意的 ，如果 ，那么，用 作用左右两边，得到 ，因此 是单射；另外，对于任意的 ，存在 ，使得 ，即 是满射．于是 是双射．
『特别提醒』由此结论可知线性空间 上的可逆映射 是 到自身的同构．