证明不等式的13种方法
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. 5．调整方法 局部固定，逐步调整，探究多元最值，便能获得不等式的证明. 例 5 已知 a, b, c 为非负实数，且 a b c 1 ，求证： ab bc ca 3abc 6．抽屉原理
1
1 . 4
在桌上有 3 个苹果，要把这 3 个苹果放到 2 个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会 有一个抽屉里面放 2 个苹果. 这一简单的现象， 就是人们所说的“抽屉原理”. 巧用抽屉原理， 证明某些不等式，能起到比较神奇的效果. 例6 （ 《数学通报》2010 年 9 期 1872 题）证明：在任意 13 个实数中，一定能找到两个 实数 x, y ，使得 y
an
中 ， 首 项 a1
3 * ， 且 对 任 意 n 1, n N ， 均 有 2
an 1 an 1
1 4 an 2
，求证：
n 1
4
2
3 an 3 2 n 1 . 2
11．函数方法 构造函数后，应用导数方法研究函数的单调性，据此可以证明一些不等式. 例 11 （2009 年全国高中数学联赛第一试第 15 题改编）求证：
3 3 13 27 x 13 x x 11.
2
例 12
已 知 x1 0, x1 1, 且 xn 1
2 xn ( xn 3) (n N * ) ， 求 证 ： 数 列 xn 对 任 意 2 3 xn 1
n N * 都满足 xn xn 1 ，或满足 xn xn 1.
2
ห้องสมุดไป่ตู้
m m m m n 1 a b c . a n b n cn n1
3
3
9．向量方法 构造向量，把不等式的证明纳入到向量的知识系统当中去. 例 9 已知正数 a, b, c 满足 a b c 1 ，求证：
2 3 3a 2 1 3b 2 1 3c 2 1 4
. 10．放缩方法 不等式的证明，关键在于恒等变形过程中的有效放大、或者缩小技巧,放和缩应当恰到 好处. 例 10 已 知 数 列
x2 y2 y2 z 2 z 2 x2 x2 y2 z 2
1 . 16
4．切线方法 通过研究函数在特殊点处的切线，利用切线段代替曲线段，来建立局部不等式. 例 4 已知正数 x, y , z 满足 x y z 3 ，求证：
y x z 3 . 2x 3 2 y 3 2 y 3 5
x 0.3 . 1 0.3 x
7．坐标方法 构造点坐标，应用解析几何的知识和方法证明不等式. 例 7 已知 a、b、c R ，a、b 不全为零，求证：
a
2
b 2 ac a 2 b 2 bc
2
2
a b
2
2
a b c .
2
8．复数方法 构造复数，应用复数模的性质，可以快速证明一些无理不等式. 例 8（数学问题 1613，2006，5 ）设 a , b, c R , 0, 求证：
12．判别式法 在二次函数、二次方程的环境里，利用判别式可以证明一些不等式. 例 13 对于任意实数 x,y,z,均有
x
2
1 y 2 1 z 2 1
3 2 x y z . 4
当且仅当 x y z
1 时，不等式里的等号成立. 2
13．不等式法 一些重要不等式， 诸如柯西不等式、 均值不等式等等， 都是证明一些不等式的有效工具. 例 14 在 ABC 中，求证：
sin 2
A B C 3 sin 2 sin 2 . 2 2 2 4
例 15
(2010 年山东省高中数学预赛试题) 设非负实数 a, b, c 满足 a b c 1 ，求证：
1 9abc ab bc ca (1 9abc). 4
例 16 设 a, b, c R ，且 abc 1 ，正整数 m, n 满足 n 1 m ，求证：
2 a 2 b 2 c 2 9abc 1.
2．增量方法 在变量之间增设一个增量，通过增量换元的方法，便于问题的变形和处理. 例2 设 a , b, c R ，试证：
a2 b2 c2 a b c . ab bc ca 2
3．齐次化法 利用题设条件，或者其它变形手段，把原不等式转换为齐次不等式. 例 3 设 x, y , z 0, x y z 1 ，求证：
证明不等式的 13 种方法
咸阳师范学院基础教育课程研究中心 安振平 不等式证明无论在高考、竞赛，还是其它类型的考试里，出现频率都是比较高，证明难 度也是比较大的.因此，有必要总结证明不等式的基本方法，为读者提供学习时的参考资料. 笔者选题的标准是题目优美、简明，其证明方法基本并兼顾巧妙. 1． 排序方法 对问题的里的变量不妨排出大小顺序，有时便于获得不等式的证明. 例1 已知 a, b, c 0 ，且 a b c 1 ，求证：
1
1 . 4
在桌上有 3 个苹果，要把这 3 个苹果放到 2 个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会 有一个抽屉里面放 2 个苹果. 这一简单的现象， 就是人们所说的“抽屉原理”. 巧用抽屉原理， 证明某些不等式，能起到比较神奇的效果. 例6 （ 《数学通报》2010 年 9 期 1872 题）证明：在任意 13 个实数中，一定能找到两个 实数 x, y ，使得 y
an
中 ， 首 项 a1
3 * ， 且 对 任 意 n 1, n N ， 均 有 2
an 1 an 1
1 4 an 2
，求证：
n 1
4
2
3 an 3 2 n 1 . 2
11．函数方法 构造函数后，应用导数方法研究函数的单调性，据此可以证明一些不等式. 例 11 （2009 年全国高中数学联赛第一试第 15 题改编）求证：
3 3 13 27 x 13 x x 11.
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例 12
已 知 x1 0, x1 1, 且 xn 1
2 xn ( xn 3) (n N * ) ， 求 证 ： 数 列 xn 对 任 意 2 3 xn 1
n N * 都满足 xn xn 1 ，或满足 xn xn 1.
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ห้องสมุดไป่ตู้
m m m m n 1 a b c . a n b n cn n1
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9．向量方法 构造向量，把不等式的证明纳入到向量的知识系统当中去. 例 9 已知正数 a, b, c 满足 a b c 1 ，求证：
2 3 3a 2 1 3b 2 1 3c 2 1 4
. 10．放缩方法 不等式的证明，关键在于恒等变形过程中的有效放大、或者缩小技巧,放和缩应当恰到 好处. 例 10 已 知 数 列
x2 y2 y2 z 2 z 2 x2 x2 y2 z 2
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4．切线方法 通过研究函数在特殊点处的切线，利用切线段代替曲线段，来建立局部不等式. 例 4 已知正数 x, y , z 满足 x y z 3 ，求证：
y x z 3 . 2x 3 2 y 3 2 y 3 5
x 0.3 . 1 0.3 x
7．坐标方法 构造点坐标，应用解析几何的知识和方法证明不等式. 例 7 已知 a、b、c R ，a、b 不全为零，求证：
a
2
b 2 ac a 2 b 2 bc
2
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a b
2
2
a b c .
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8．复数方法 构造复数，应用复数模的性质，可以快速证明一些无理不等式. 例 8（数学问题 1613，2006，5 ）设 a , b, c R , 0, 求证：
12．判别式法 在二次函数、二次方程的环境里，利用判别式可以证明一些不等式. 例 13 对于任意实数 x,y,z,均有
x
2
1 y 2 1 z 2 1
3 2 x y z . 4
当且仅当 x y z
1 时，不等式里的等号成立. 2
13．不等式法 一些重要不等式， 诸如柯西不等式、 均值不等式等等， 都是证明一些不等式的有效工具. 例 14 在 ABC 中，求证：
sin 2
A B C 3 sin 2 sin 2 . 2 2 2 4
例 15
(2010 年山东省高中数学预赛试题) 设非负实数 a, b, c 满足 a b c 1 ，求证：
1 9abc ab bc ca (1 9abc). 4
例 16 设 a, b, c R ，且 abc 1 ，正整数 m, n 满足 n 1 m ，求证：
2 a 2 b 2 c 2 9abc 1.
2．增量方法 在变量之间增设一个增量，通过增量换元的方法，便于问题的变形和处理. 例2 设 a , b, c R ，试证：
a2 b2 c2 a b c . ab bc ca 2
3．齐次化法 利用题设条件，或者其它变形手段，把原不等式转换为齐次不等式. 例 3 设 x, y , z 0, x y z 1 ，求证：
证明不等式的 13 种方法
咸阳师范学院基础教育课程研究中心 安振平 不等式证明无论在高考、竞赛，还是其它类型的考试里，出现频率都是比较高，证明难 度也是比较大的.因此，有必要总结证明不等式的基本方法，为读者提供学习时的参考资料. 笔者选题的标准是题目优美、简明，其证明方法基本并兼顾巧妙. 1． 排序方法 对问题的里的变量不妨排出大小顺序，有时便于获得不等式的证明. 例1 已知 a, b, c 0 ，且 a b c 1 ，求证：