高等数学课后习题答案

习题62

1 求图621 中各画斜线部分的面积 (1)

解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0 1] 所求的面积为

6

1

]2132[)(10223

1

0=-=-=⎰x x dx x x A . (2)

解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0 1] 所求的面积为 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1 e ] 所求的面积为 (3)

解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[3 1] 所求的面积为

(4)

解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[1 3] 所求的面积为 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积 (1) 22

1x y =与x 2y 28(两部分都要计算)

解

(2)x

y 1=与直线yx 及x 2

解

所求的面积为

(3) ye x ye x 与直线x 1 解

(4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解

所求的面积为

3 求抛物线yx 24x 3及其在点(0 3)和(3 0)处的切线所围成的图形的面积 解

y 2 x 4

过点(0, 3)处的切线的斜率为4 切线方程为y 4(x 3) 过点(3, 0)处的切线的斜率为2 切线方程为y 2x 6 两切线的交点为)3 ,2

3( 所求的面积为

4 求抛物线y 2=2px 及其在点),2

(p p

处的法线所围成的图形的面积

解

2yy 2p

在点),2

(p p

处 1),2

(=='p p y

p y 法线的斜率k 1

法线的方程为)2

(p x p y --=- 即y p

x -=2

3

求得法线与抛物线的两个交点为),2

(p p

和)3,2

9(p p -

法线与抛物线所围成的图形的面积为 5 求由下列各曲线所围成的图形的面积 (1)2a cos 解

⎰⎰==-202222

2cos 4)cos 2(21πππθθθθd a d a A a 2 (2)xa cos 3t , ya sin 3t ; 解

所求的面积为 (3)=2a (2+cos ) 解

所求的面积为

6 求由摆线xa (t sin t ) ya (1cos t )的一拱(0t 2)与横轴所围成的图形的面积 解

所求的面积为

7 求对数螺线ae ()及射线所围成的图形面积 解

8 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积 (1)3cos 及1cos 解

曲线3cos 与1cos 交点的极坐标为)3

,23(πA )3

,2

3(π-B 由对称性 所求的面积为

(2)θρsin 2=及θρ2cos 2= 解

曲线θρsin 2=与θρ2cos 2=的交点M 的极坐标为M )6

,22(π 所求的面积为

9 求位于曲线y =e x 下方该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的图形的面积

解 设直线ykx 与曲线ye x 相切于A (x 0 y 0)点 则有 求得x 01 y 0e ke 所求面积为

10 求由抛物线y 24ax 与过焦点的弦所围成的图形的

面积的

最小值

解 设弦的倾角为 由图可以看出 抛物线与过焦点的

弦所围成的图形的面积为

显然当2πα=时 A 10 当2

πα<时 A 10

因此 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值为

11 把抛物线y 24ax 及直线xx 0(x 00)所围成的图形绕x 轴旋转 计算所得旋转体的体积

解 所得旋转体的体积为

12 由yx 3 x 2 y 0所围成的图形 分别绕x 轴及y 轴旋转 计

算所得两个旋转体的体积

解 绕x 轴旋转所得旋转体的体积为 绕y 轴旋转所得旋转体的体积为

计算所13 把星形线3/23/23/2a y x =+所围成的图形 绕x 轴旋转 得旋转体的体积

解 由对称性 所求旋转体的体积为 14 用积分方法证明图中球缺的体积为

)3(2H R H V -=π

证明 ⎰

⎰

---==R

H

R R H

R dy y R dy y x V )()(222

ππ

15 求下列已知曲线所围成的图形 按指定的轴旋

转所产生的旋转体的体积 (1)2x y = 2y x = 绕y 轴

解 ππππ10

3)5121()(1

0521

221

0=-=-=⎰⎰y y dy y ydy V (2)a

x a y ch = x 0 xa y 0 绕x 轴

解 ⎰⎰⎰===102302

2

02

ch

ch )(udu a au x dx a

x a dx x y V a

a

πππ令 (3)16)5(22=-+y x 绕x 轴

解 ⎰⎰------+=4

4

2244

2

2)165()165(dx x dx x V ππ

(4)摆线xa (t sin t ) ya (1cos t )的一拱 y 0 绕直线y 2a

解 ⎰⎰--=π

π

ππa a dx y a dx a V 202202)2()2(

转体的

16 求圆盘222a y x ≤+绕xb (b >a >0)旋转所成旋体积

解 ⎰⎰------+=a

a

a

a

dy y a b dy y a b V 2222

22

)()(ππ

17 设有一截锥体 其高为h 上、下底均为椭圆 椭圆的轴长分别为2a 、2b 和2A 、2B 求这截锥体的体积 解 建立坐标系如图 过y 轴上y 点作垂直于y 轴的平面 则平面与截锥体的截面为椭圆 易得其长短半轴

分别为

截面的面积为π)()(y h b B B y h a A A --⋅--

于是截锥体的体积为

18 计算底面是半径为R 的圆 而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积

解 设过点x 且垂直于x 轴的截面面积为A (x ) 由已知条件知 它是边长为x R -2的等边三角形的面积 其

值为 所以 3223

34)(3R dx x R V R

R

=-=⎰

-

19 证明 由平面图形0axb 0yf (x )绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为