利用空间向量证明空间中的位置关系.pdf
1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系(第2课时)-高二数学(人教A版选择性必修第一册)
.
答案:平行
解析:因为u·n=(-1,2,-3)·(4,-1,-2)=0,所以u⊥n.所以直线与平面平行,即l∥β.
新知应用
题型一：利用方向向量、法向量判断位置关系
1.根据下列各条件，判断相应的直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系：
(1)直线 l1，l2 的方向向量分别是
a＝(1，－3，－1)，b＝(8，2，2)；
1.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,
问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?
解:如图所示,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
在CC1上任取一点Q,连接BQ,D1Q.设正方体的棱长为1,
如图.设正方体的棱长为1,则可求得
M 0,1,
1
2
,N
于是 =
1
2
1
2
,1,1 ,D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0).
,0,
1
2
,
1 =(1,0,1),
=(1,1,0).
设平面 A1BD 的法向量为 n=(x,y,z),
+ = 0,
· 1 = 0,
则
得
+ = 0.
(2)平面α，β的法向量分别是
u＝(1，3，0)，v＝(－3，－9，0)；
(3)直线 l 的方向向量、平面α的法向量分别是
a＝(1，－4，－3)，u＝(2，0，3)；
(4)直线 l 的方向向量、平面α的法向量分别是
a＝(3，2，1)，u＝(－1，2，－1)．
新知应用
解：
利用空间向量证明空间位置关系
利用空间向量证明立体几何中的平行与垂直问题[考纲要求]1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．会简单应用空间两点间的距离公式．2．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．3．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．掌握空间向量的数量积及其坐标表示．能用向量的数量积判断向量的共线和垂直．4．理解直线的方向向量及平面的法向量．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系．5．能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理(包括三垂线定理)．知识点一：空间向量及其运算1．空间向量及其有关概念(1)空间向量的有关概念(2)2.(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.3．空间向量的运算及其坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).[基本能力]1．如图，已知空间四边形ABCD ，则13AB ―→＋13BC ―→＋13CD ―→等于________．答案：13AD ―→2．已知i ，j ，k 为标准正交基底，a ＝i ＋2j ＋3k ，则a 在i 方向上的投影为________． 答案：13．若空间三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (p,3，q ＋2)共线，则p ＝________，q ＝________. 答案：3 24．已知向量a ＝(－1,0,1)，b ＝(1,2,3)，k ∈R ，若k a －b 与b 垂直，则k ＝________. 答案：7考法一 空间向量的线性运算[例1] 已知四边形ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形的中心O .Q 是CD 的中点，求下列各题中x ，y 的值： (1)O Q ―→＝P Q ―→＋x PC ―→＋y PA ―→； (2)PA ―→＝x PO ―→＋y P Q ―→＋PD ―→.[解] (1)如图，∵O Q ―→＝P Q ―→－PO ―→＝P Q ―→－12(PA ―→＋PC ―→)＝P Q ―→－12PA ―→－12PC ―→，∴x ＝y ＝－12.(2)∵PA ―→＋PC ―→＝2PO ―→， ∴PA ―→＝2PO ―→－PC ―→.又∵PC ―→＋PD ―→＝2P Q ―→，∴PC ―→＝2P Q ―→－PD ―→.从而有PA ―→＝2PO ―→－(2P Q ―→－PD ―→)＝2PO ―→－2P Q ―→＋PD ―→. ∴x ＝2，y ＝－2.考法二 共线、共面向量定理的应用[例2] 已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，用向量方法求证：(1)E ，F ，G ，H 四点共面； (2)BD ∥平面EFGH .[证明] (1)如图，连接BG ，则EG ―→＝EB ―→＋BG ―→＝EB ―→＋12(BC ―→＋BD ―→)＝EB ―→＋BF ―→＋EH ―→＝EF ―→＋EH ―→，由共面向量定理知：E ，F ，G ，H 四点共面．(2)因为EH ―→＝AH ―→－AE ―→＝12AD ―→－12AB ―→＝12(AD ―→－AB ―→)＝12BD ―→，因为E ，H ，B ，D 四点不共线，所以EH ∥BD . 又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ， 所以BD ∥平面EFGH . [方法技巧]1．证明空间三点P ，A ，B 共线的方法 (1)PA ―→＝λPB ―→(λ∈R )；(2)对空间任一点O ，OP ―→＝OA ―→＋t AB ―→(t ∈R )； (3)对空间任一点O ，OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→(x ＋y ＝1)． 2．证明空间四点P ，M ，A ，B 共面的方法 (1)MP ―→＝xMA ―→＋yMB ―→；(2)对空间任一点O ，OP ―→＝OM ―→＋xMA ―→＋yMB ―→；(3)对空间任一点O ，OP ―→＝xOM ―→＋y OA ―→＋z OB ―→(x ＋y ＋z ＝1)； (4)PM ―→∥AB ―→ (或PA ―→∥MB ―→或PB ―→∥AM ―→)．考法三 空间向量数量积的应用[例3] 如图，正方体ABCD -A1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是C 1D 1，D 1D 的中点．若正方体的棱长为1.求cos 〈CE ―→，AF ―→〉． [解] ∵|CE ―→|＝C 1E 2＋CC 21＝14＋1＝52＝|AF ―→|， ∴CE ―→·AF ―→＝|CE ―→||AF ―→|cos 〈CE ―→，AF ―→〉＝54cos 〈CE ―→，AF ―→〉．又∵CE ―→＝CC 1―→＋C 1E ―→，AF ―→＝AD ―→＋DF ―→， ∴CE ―→·AF ―→＝(CC 1―→＋C 1E ―→)·(AD ―→＋DF ―→)＝CC 1―→·AD ―→＋C 1E ―→·AD ―→＋CC 1―→·DF ―→＋C 1E ―→·DF ―→＝|CC 1―→||DF ―→|＝1×12＝12.∴cos 〈CE ―→，AF ―→〉＝25.[方法技巧] 空间向量数量积的3个应用[集训冲关]OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，1.[考法一]已知三棱锥O -ABC ，点M ，N 分别为AB ，OC 的中点，且OC ―→＝c ，用a ，b ，c 表示MN ―→，则MN ―→等于( ) A.12(b ＋c －a ) B.12(a ＋b ＋c ) C.12(a －b ＋c ) D.12(c －a －b ) 解析：选D MN ―→＝MA ―→＋AO ―→＋ON ―→＝12BA ―→＋AO ―→＋12OC ―→＝12(OA ―→－OB ―→)＋AO ―→＋12OC ―→＝－12OA ―→－12OB ―→＋12OC ―→＝12(c －a －b )．2.[考法二]O 为空间任意一点，若OP ―→＝34OA ―→＋18OB ―→＋18OC ―→，则A ，B ，C ，P 四点( )A ．一定不共面B ．一定共面C ．不一定共面D ．无法判断解析：选B 因为OP ―→＝34OA ―→＋18OB ―→＋18OC ―→，且34＋18＋18＝1.所以P ，A ，B ，C 四点共面．∠AOC ＝π3，3.[考法三]如图所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝则cos 〈OA ―→，BC ―→〉的值为________． 解析：设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ， 由已知条件，得〈a ，b 〉＝〈a ，c 〉＝π3，且|b |＝|c |，OA ―→·BC ―→＝a ·(c －b )＝a ·c －a ·b ＝12|a ||c |－12|a ||b |＝0， ∴OA ―→⊥BC ―→，∴cos 〈OA ―→，BC ―→〉＝0. 答案：0知识点二： 利用空间向量证明平行与垂直1．两个重要向量2．空间中平行、垂直关系的向量表示设直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量分别为n 1，n 2，则一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的．( )(2)已知AB ―→＝(2,2,1)，AC ―→＝(4,5,3)，则平面ABC 的单位法向量是n 0=±⎝⎛⎭⎫13，－23，23.( ) (3)两条不重合的直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1＝(1,0，－1)，v 2＝(－2,0,2)，则l 1与l 2的位置关系是平行．( ) (4)若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则n 1∥n 2⇔α∥β.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× 二、填空题1．已知直线l 1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l 2的一个方向向量为(x ，y,8)，且l 1∥l 2，则x ＝________， y ＝________. 答案：－14 62．若平面α的一个法向量为n 1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为n 2＝(6，－2，z )，且α∥β，则y ＋z ＝________. 答案：－33．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－3,0，－6)，则l 与α的位置关系是________． 答案：l ⊥α考法一 向量法证明平行与垂直关系[例1] 如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 于点F . (1)证明：PA ∥平面EDB ； (2)证明：PB ⊥平面EFD .证明：如图所示，建立空间直角坐标系，D 是坐标原点， 设DC ＝a .(1)连接AC 交BD 于G ，连接EG .依题意得A (a,0,0)，P (0,0，a )，E ⎝⎛⎭⎫0，a 2，a2.∵底面ABCD 是正方形， ∴G 是此正方形的中心． 故点G 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，0，且PA ―→＝(a,0，－a )，EG ―→＝⎝⎛⎭⎫a2，0，－a 2， ∴PA ―→＝2EG ―→，∴PA ∥EG .又∵EG ⊂平面EDB 且PA ⊄平面EDB ， ∴PA ∥平面EDB .(2)依题意得B (a ，a,0)，PB ―→＝(a ，a ，－a )，DE ―→＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，a 2， 故PB ―→·DE ―→＝0＋a 22－a 22＝0，∴PB ⊥DE ，又∵EF ⊥PB ，且EF ∩DE ＝E ， ∴PB ⊥平面EFD . [方法技巧]1．利用空间向量证明平行的方法2.[提醒]来证明线面平行时，仍需强调直线在平面外． [针对训练]已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F . 证明：建立空间直角坐标系如图，则有D (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0,0,1)，B 1(2,2,2)，所以FC 1―→＝(0,2,1)，DA ―→＝(2,0,0)，AE ―→＝(0,2,1)． (1)设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1⊥DA ―→，n 1⊥AE ―→，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA ―→＝2x 1＝0，n 1·AE ―→＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2)． 因为FC 1―→·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1―→⊥n ， 又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE . (2)∵C 1B 1―→＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧ n 2⊥FC 1―→，n 2⊥C 1B 1―→，得⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC 1―→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1―→＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2，得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)，因为n 1＝n 2， 所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .考法二 向量法解决垂直、平行关系中的探索性问题[例2] 如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点．在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论． [解] 依题意，建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则A 1(0,0,1)，B (1,0,0)，B 1(1,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫0，1，12，BA 1―→＝(－1,0,1)，BE ―→＝⎝⎛⎭⎫－1，1，12. 设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1BE 的一个法向量， 则由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·BA 1―→＝0，n ·BE ―→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－x ＋y ＋12z ＝0. 所以x ＝z ，y ＝12z .取z ＝2，得n ＝(2,1,2)．设棱C 1D 1上存在点F (t,1,1)(0≤t ≤1)满足条件，又因为B 1(1,0,1)， 所以B 1F ―→＝(t －1,1,0)． 而B 1F ⊄平面A 1BE ，于是B 1F ∥平面A 1BE ⇔B 1F ―→·n ＝0⇔(t －1,1,0)·(2,1,2)＝0⇔2(t －1)＋1＝0⇔t ＝12⇔F 为C 1D 1的中点．这说明在棱C 1D 1上存在点F (C 1D 1的中点)，使B 1F ∥平面A 1BE . [方法技巧]向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题的思路(1)根据题设条件中的垂直关系，建立适当的空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示．(2)假设所求的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的垂直、平行关系，构建方程(组)求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在． [针对训练]在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是棱BC 的中点，则在线段CC 1上是否存在一点P ，使得平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE ？证明你的结论．解：存在点P ，当点P 为CC 1的中点时，平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE .证明如下：如图，以D 点为原点，建立空间直角坐标系． 设正方体的棱长为1，P (0,1，a )(0≤a ≤1)，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B 1(1,1,1)，E ⎝⎛⎭⎫12，1，0，C 1(0,1,1)， ∴A 1B 1―→＝(0,1,0)，A 1P ―→＝(－1,1，a －1)， DE ―→＝⎝⎛⎭⎫12，1，0，DC 1―→＝(0,1,1)． 设平面A 1B 1P 的一个法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1B 1―→＝0，n 1·A 1P ―→＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝0，－x 1＋y 1＋(a －1)z 1＝0，令z 1＝1，则x 1＝a －1， ∴n 1＝(a －1,0,1)．设平面C 1DE 的一个法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·DE ―→＝0，n 2·DC 1―→＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧12x 2＋y 2＝0，y 2＋z 2＝0.令y 2＝1，得x 2＝－2，z 2＝－1， ∴n 2＝(－2,1，－1)． 若平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE ，则n 1·n 2＝0，∴－2(a －1)－1＝0，解得a ＝12.∴当P 为C 1C 的中点时，平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE .[课时跟踪检测]1．在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c . 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选A a 与b 共线，a ，b 所在直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a ，b 都共面，故②错误；三个向量a ，b ，c 中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a ，b ，c 不共面时，空间任意一向量p 才能表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.的交点．若AB ―→＝a ，2．如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ，则下列向量中与BM ―→相等的向量是( ) A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋cC ．－12a －12b ＋c D.12a －12b ＋c解析：选A BM ―→＝BB 1―→＋B 1M ―→＝AA 1―→＋12(AD ―→－AB ―→)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .3．已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→＋z OC ―→(x ，y ，z ∈R )，则“x ＝2，y ＝－3，z ＝2”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选B 当x ＝2，y ＝－3，z ＝2时，OP ―→＝2OA ―→－3OB ―→＋2OC ―→.则AP ―→－AO ―→＝2OA ―→－3(AB ―→－AO ―→)＋2(AC ―→－AO ―→)，即AP ―→＝－3AB ―→＋2AC ―→，根据共面向量定理知，P ，A ，B ，C 四点共面；反之，当P ，A ，B ，C 四点共面时，根据共面向量定理，设AP ―→＝m AB ―→＋n AC ―→ (m ，n ∈R )，即OP ―→－OA ―→＝m (OB ―→－OA ―→)＋n (OC ―→－OA ―→)，即OP ―→＝(1－m －n )OA ―→＋m OB ―→＋n OC ―→，即x ＝1－m －n ，y ＝m ，z ＝n ，这组数显然不止2，－3,2.故“x ＝2，y ＝－3，z ＝2”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的充分不必要条件．4．已知a ＝(2,1，－3)，b ＝(－1,2,3)，c ＝(7,6，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则λ＝( ) A ．9 B ．－9 C ．－3D ．3解析：选B 由题意设c ＝x a ＋y b ，则(7,6，λ)＝x (2,1，－3)＋y (－1,2,3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝7，x ＋2y ＝6，－3x ＋3y ＝λ，解得λ＝－9.5．(2019·东营质检)已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，OA ―→＋λOB ―→与OB ―→的夹角为120°，则λ的值为( ) A ．±66B ．66C ．－66D ．±6解析：选C OA ―→＋λOB ―→＝(1，－λ，λ)，cos 120°＝λ＋λ1＋2λ2·2＝－12，得λ＝±66.经检验λ＝66不合题意，舍去，所以λ＝－66. 6．在空间四边形ABCD 中，则AB ―→·CD ―→＋AC ―→·DB ―→＋AD ―→·BC ―→的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：选B 法一：如图，令AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，AD ―→＝c ，则AB ―→·CD ―→＋AC ―→·DB ―→＋AD ―→·BC ―→＝AB ―→·(AD ―→－AC ―→)＋AC ―→·(AB ―→－AD ―→)＋AD ―→·(AC ―→－AB ―→) ＝a ·(c －b )＋b ·(a －c )＋c ·(b －a ) ＝a ·c －a ·b ＋b ·a －b ·c ＋c ·b －c ·a ＝0.法二：在三棱锥A -BCD 中，不妨令其各棱长都相等，则正四面体的对棱互相垂直． 所以AB ―→·CD ―→＝0，AC ―→·DB ―→＝0，AD ―→·BC ―→＝0. 所以AB ―→·CD ―→＋AC ―→·DB ―→＋AD ―→·BC ―→＝0.7．△ABC 的顶点分别为A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AC 边上的高BD 等于________． 解析：设AD ―→＝λAC ―→，D (x ，y ，z )， 则(x －1，y ＋1，z －2)＝λ(0，4，－3)， ∴x ＝1，y ＝4λ－1，z ＝2－3λ， ∴D (1,4λ－1,2－3λ)， ∴BD ―→＝(－4,4λ＋5，－3λ)， ∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0，解得λ＝－45，∴BD ―→＝⎝⎛⎭⎫－4，95，125，∴|BD ―→|＝(－4)2＋⎝⎛⎭⎫952＋⎝⎛⎭⎫1252＝5.答案：5 8．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB ―→＝(2，－1，－4)，AD ―→＝(4,2,0)，AP ―→＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP ―→是平面ABCD 的法向量；④AP ―→∥BD ―→.其中正确的是________．解析：∵AP ―→·AB ―→＝－2－2＋4＝0，∴AP ⊥AB ，故①正确；AP ―→·AD ―→＝－4＋4＋0＝0，∴AP ⊥AD ，故②正确；由①②知AP ⊥平面ABCD ，故③正确，④不正确．答案：①②③9．(2019·南昌调研)已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ―→＝2GN ―→，现用基底{OA ―→，OB ―→，OC ―→}表示向量OG ―→，有OG ―→＝x OA ―→＋y OB ―→＋z OC ―→，则x ，y ，z 的值分别为________．解析：∵OG ―→＝OM ―→＋MG ―→＝12OA ―→＋23MN ―→ ＝12OA ―→＋23(ON ―→－OM ―→) ＝12OA ―→＋23⎣⎡⎦⎤12(OB ―→＋OC ―→)－12OA ―→ ＝16OA ―→＋13OB ―→＋13OC ―→， ∴x ＝16，y ＝13，z ＝13. 答案：16，13，1310．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝4，AA 1＝2.点M 在棱BB 1上，且BM ＝2MB 1，点S 在DD 1上，且SD 1＝2SD ，点N ，R 分别为A 1D 1，BC 的中点．求证：MN ∥平面RSD .M ⎝⎛⎭⎫3，0，43，证明：法一：如图所示，建立空间直角坐标系，根据题意得N (0,2,2)，R (3，2,0)，S ⎝⎛⎭⎫0，4，23. ∴MN ―→＝⎝⎛⎭⎫－3，2，23，RS ―→＝⎝⎛⎭⎫－3，2，23，MN ―→＝RS ―→. ∴MN ―→∥RS ―→.∵M ∉RS .∴MN ∥RS .又RS ⊂平面RSD ，MN ⊄平面RSD ，∴MN ∥平面RSD .法二：设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ，则MN ―→＝MB 1―→＋B 1A 1―→＋A 1N ―→＝13c －a ＋12b ， RS ―→＝RC ―→＋CD ―→＋DS ―→＝12b －a ＋13c ， ∴MN ―→＝RS ―→，∴MN ―→∥RS ―→，又∵R ∉MN ，∴MN ∥RS .又RS ⊂平面RSD ，MN ⊄平面RSD ，∴MN ∥平面RSD .11．三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为A 1B 1C 1，∠BAC＝90°，A 1A ⊥平面ABC ，A 1A ＝3，AB ＝AC ＝2A 1C 1＝2，D 为BC 中点． 求证：平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.证明：如图，建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，A1(0,0，3)，C 1(0,1，3)，∵D 为BC 的中点，∴D 点坐标为(1,1,0)．∴AA 1―→＝(0,0，3)，AD ―→＝(1,1,0)，BC ―→＝(－2,2,0)，CC 1―→＝(0，－1，3)．设平面A 1AD 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面BCC 1B 1的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AA 1―→＝0，n 1·AD ―→＝0，得⎩⎨⎧ 3z 1＝0，x 1＋y 1＝0. 令y 1＝－1，则x 1＝1，z 1＝0，∴n 1＝(1，－1,0)．由⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·BC ―→＝0，n 2·CC 1―→＝0，得⎩⎨⎧－2x 2＋2y 2＝0，－y 2＋3z 2＝0. 令y 2＝1，则x 2＝1，z 2＝33， ∴n 2＝⎝⎛⎭⎫1，1，33. ∵n 1·n 2＝1－1＋0＝0，∴n 1⊥n 2.∴平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.面边长的2倍，12．如图所示，四棱锥S -ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底点P 为侧棱SD 上的点．(1)求证：AC ⊥SD ；(2)若SD ⊥平面PAC ，则侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面PAC .若存在，求SE ∶EC 的值；若不存在，试说明理由．解：(1)证明：连接BD ，设AC 交BD 于点O ，则AC ⊥BD .连接SO ，由题意知SO ⊥平面ABCD .以O 为坐标原点，OB ―→，OC ―→，OS ―→所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图．设底面边长为a ，则高SO ＝62a ， 于是S ⎝⎛⎭⎫0，0，62a ，D ⎝⎛⎭⎫－22a ，0，0，B ⎝⎛⎭⎫22a ，0，0，C ⎝⎛⎭⎫0，22a ，0， OC ―→＝⎝⎛⎭⎫0，22a ，0，SD ―→＝⎝⎛⎭⎫－22a ，0，－62a ， 则OC ―→·SD ―→＝0.故OC ⊥SD .从而AC ⊥SD .(2)棱SC 上存在一点E ，使BE ∥平面PAC .理由如下：由已知条件知DS ―→是平面PAC 的一个法向量，且DS ―→＝⎝⎛⎭⎫22a ，0，62a ，CS ―→＝⎝⎛⎭⎫0，－22a ，62a ，BC ―→＝⎝⎛⎭⎫－22a ，22a ，0. 设CE ―→＝t CS ―→，则BE ―→＝BC ―→＋CE ―→＝BC ―→＋t CS ―→＝⎝⎛⎭⎫－22a ，22a (1－t )，62at ， 而BE ―→·DS ―→＝0⇒t ＝13. 即当SE ∶EC ＝2∶1时，BE ―→⊥DS ―→.而BE ⊄平面PAC ，故BE ∥平面PAC .。
第10讲 用空间向量研究直线、平面的位置关系4种常见方法归类(解析版)-新高二数学暑假自学课讲义
第10讲用空间向量研究直线、平面的位置关系4种常见方法归类1.理解与掌握直线的方向向量，平面的法向量.2.会用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系；会用平面法向量证明线面和面面垂直，并能用空间向量这一工具解决与平行、垂直有关的立体几问题.知识点1空间中点、直线和平面的向量表示1．空间直线的向量表示式设A 是直线上一点，a 是直线l 的方向向量，在直线l 上取AB →＝a ，设P 是直线l 上任意一点，(1)点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使AP →＝ta ，即AP →＝tAB →.(2)取定空间中的任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t .使OP →＝OA →＋ta .(3)取定空间中的任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使OP →＝OA →＋tAB →.注意点：(1)空间中，一个向量成为直线l 的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l 平行或重合．(2)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量．与直线l 平行的任意非零向量a 都是直线的方向向量，且直线l 的方向向量有无数个．(3)空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定．2．空间平面的向量表示式①如图，设两条直线相交于点O ，它们的方向向量分别为a 和b ，P 为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x ，y )，使得OP →＝xa ＋yb.②如图，取定空间任意一点O ，空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在实数x ，y ，使OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式．③由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．如图，直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，我们称向量a 为平面α的法向量．给定一个点A 和一个向量a ，那么过点A ，且以向量a 为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P |a ·AP →＝0}．注意点：(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量．(2)一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行．易错辨析：（1）空间中给定一个点A 和一个方向向量能唯一确定一条直线吗？答案：能（2）一个定点和两个定方向向量能否确定一个平面？答案：不一定，若两个定方向向量共线时不能确定，若两个定方向向量不共线能确定．（3）由空间点A 和直线l 的方向向量能表示直线上的任意一点？答案：能知识点2空间平行、垂直关系的向量表示1、理解直线方向向量的概念(1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量．(2)直线的方向向量不唯一．2、利用待定系数法求法向量的步骤3、求平面法向量的三个注意点（1）选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量（2）取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量（3）注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为04、用空间向量证明平行的方法(1)线线平行：证明两直线的方向向量共线．(2)线面平行：①证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示．②证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证．③先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．在证明线面平行时，需注意说明直线不在平面内．(3)面面平行：①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题．5、用空间向量证明垂直的方法(1)线线垂直：证明两直线的方向向量互相垂直，即证明它们的数量积为零．(2)线面垂直：①基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在的向量，证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论．②坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标，证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论．③法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后说明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论．(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示．考点一：求直线的方向向量例1．（2023春·高二课时练习）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，AB ＝AP ＝1，AD PC 的一个方向向量．【答案】1)-【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，根据方向向量的定义可得．【详解】如图所示，建立空间直角坐标系A －xyz ，则(0,0,1)P ，C ，所以1)PC =-即为直线PC 的一个方向向量.变式1．（2023春·高二课时练习）已知直线1l 的一个方向向量为()5,3,2-，另一个方向向量为(),,8x y ，则x =________，y =________.【答案】－2012【分析】由直线的方向向量平行的性质即可求解.【详解】∵直线的方向向量平行，∴8532x y ==-，∴20,12x y =-=，故答案为：20-；12.变式2．（2022秋·广西钦州·高二校考阶段练习）已知直线l 的一个法向量是)n =，则l 的倾斜角的大小是（）A ．π3B ．2π3C ．π6D ．π2【答案】A【分析】设直线l 的倾斜角为θ，[)0,πθ∈，直线l 的方向向量为(),u x y =，根据直线方向向量与法向量的关系得到得到y =，即可求解.【详解】设直线l 的倾斜角为θ，[)0,πθ∈，直线l 的方向向量为(),u x y =.则0u n y ⋅=-=，即y =，则tan y xθ==又[)0,πθ∈，解得π3θ=，故选：A.变式3．【多选】（2022秋·湖北十堰·高二校联考阶段练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 上不与1C ，C 重合的任意一点，则能作为直线1AA 的方向向量的是（）A ．1AA B ．1C EC ．ABD ．1A A【答案】ABD【分析】结合立体图形，得到平行关系，从而确定答案.【详解】因为111////C E AA A A ，所以1AA ，1C E ，1A A都可作为直线1AA 的方向向量.故选：ABD.变式4．（2023春·江苏常州·高二校联考期中）已知直线l 的一个方向向量()2,1,3m =-，且直线l 过A (0，y ，3)和B (－1，2，z )两点，则y －z 等于（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A【分析】根据//m AB求解即可.【详解】由题知：()1,2,3AB y z =---，因为//m AB ，所以213123y z -==---，解得33,22y z ==，所以0y z -=.故选：A考点二：求平面的法向量例2．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知(2,0,0)A ，(0,2,0)B ，(0,0,2)C ，则平面ABC 的一个法向量可以是（）A ．(1,1,1)---B ．(1,1,1)-C ．(1,1,1)-D ．(1,1,1)-【答案】A【分析】代入法向量的计算公式，即可求解.【详解】(2,2,0)AB =- ，(2,0,2)AC =- ，令法向量为(,,)m x y z = ，则220220x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，y z x ∴==，可取(1,1,1)m =---.故选：A.变式1．（2023春·高二课时练习）已知()()()1,1,0,1,0,1,0,1,1A B C ，则平面ABC 的一个单位法向量是（）A ．()1,1,1B．C ．111(,,)333D．(,)333-【答案】B【分析】待定系数法设平面ABC 的一个法向量为n，由法向量的性质建立方程组解出分析即可.【详解】设平面ABC 的一个法向量为(),,n x y z =，又()()0,1,1,1,1,0AB BC =-=- ，由0000AB n AB n y z x y BC n BC n ⎧⎧⊥⋅=-+=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨-+=⊥⋅=⎩⎪⎪⎩⎩ ，即x y z ==，又因为单位向量的模为1，所以B 选项正确，故选：B.变式2．（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，=90BDC ∠︒，BD AB CD ==.若建立如图所示的“空间直角坐标系，则平面ACD 的一个法向量为（）A ．()0,1,0B ．()0,1,1C ．()1,1,1D ．()1,1,0【答案】B【分析】根据题意，设1BD AB CD ===，可得A 、C 、D 的坐标，由此可得向量DC 、AD的坐标，由此可得关于x 、y 、z 的方程组，利用特殊值求出x 、y 、z 的值，即可得答案．【详解】根据题意，设1BD AB CD ===，则()0,1,0D ，()1,1,0C ，()0,0,1A ，则()1,0,0DC = ，()0,1,1AD =- ，设平面ACD 的一个法向量为(),,m x y z=，则有00DC m x AD m y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1y =，可得1z =，则()0,1,1m = .故选：B ．变式3．（2023秋·高二课时练习）在如图所示的坐标系中，1111ABCD A B C D -为正方体，给出下列结论：①直线1DD 的一个方向向量为(0,0,1)；②直线1BC 的一个方向向量为(0,1,1)；③平面11ABB A 的一个法向量为(0,1,0)；④平面1B CD 的一个法向量为(1,1,1).其中正确的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据空间直线的方向向量的概念以及平面的法向量的定义判断可得答案.【详解】设正方体的棱长为a ，则(0,,0)D a ，1(0,,)D a a ，1(0,0,)DD a = ，则1DD与(0,0,1)平行，故直线1DD 的一个方向向量为(0,0,1)，故①正确；因为(,0,0)B a ，1(,,)C a a a ，所以1(0,,)BC a a = ，因为1BC与(0,1,1)平行，所以直线1BC 的一个方向向量为(0,1,1)，故②正确；因为(0,0,0)A ，(0,,0)D a ，所以(0,,0)AD a = ，因为AD 是平面11ABB A 的一个法向量，且AD与(0,1,0)平行，所以平面11ABB A 的一个法向量为(0,1,0)，故③正确；因为(,,0)C a a ，(0,,0)D a ，所以(,0,0)CD a =-，因为(1,1,1)(,0,0)(1,1,1)0CD a a ⋅=-⋅=-≠ ，所以CD与(1,1,1)不垂直，所以(1,1,1)不是平面1B CD 的一个法向量，故④不正确.故选：C变式4．（2023·全国·高三专题练习）放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABCD 中，H 是底面中心，DH ⊥平面ABC ，写出：平面BHD 的一个法向量___________；【答案】()（答案不唯一）【分析】利用向量法得出平面BHD的一个法向量.【详解】由题意可知23CH OC DH===，则(),0,1,0,0,,333H B D⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0,0,3HD⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭,1,3BH⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭.设(),,n x y z=为平面BHD的一个法向量，则3n HD zn BH x y⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩，不妨设1x=，则()n=.故平面BHD的一个法向量为().故答案为：()（答案不唯一）变式5．（2023春·高二课时练习）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D-中，E，F分别为棱1111,A D A B的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：(1)平面11BDD B的一个法向量；(2)平面BDEF的一个法向量.【答案】(1)(2,2,0)=-AC(答案不唯一)(2)(2,2,1)n=--(答案不唯一)【分析】（1）利用线面垂直的判定定理求解法向量；（2）利用空间向量的坐标运算求平面的法向量.【详解】（1）由题意，可得()()()()()0,0,0,2,2,0,2,0,0,0,2,0,1,0,2D B A C E ,连接AC ，因为底面为正方形，所以AC BD ⊥,又因为1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1DD AC ⊥，且1BD DD D = ，则AC ⊥平面11BDD B ，∴(2,2,0)=-AC 为平面11BDD B 的一个法向量.(答案不唯一).（2）(2,2,0),(1,0,2).DB DE ==设平面BDEF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则,0220,,120,.02y x n DB x y x z z x n DE =-⎧⎧⋅=+=⎧⎪⎪∴∴⎨⎨⎨+=-⋅=⎩⎪⎪⎩⎩令2x =，得2, 1.y z =-=-∴(2,2,1)n =--即为平面BDEF 的一个法向量.(答案不唯一).变式6．【多选】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知空间中三个向量()2,1,0AB = ，()1,2,1AC =- ，()3,1,1BC =-，则下列说法正确的是（）A ．AB与AC 是共线向量B ．与AB同向的单位向量是,55⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．BC 在AB方向上的投影向量是()2,1,0--D ．平面ABC 的一个法向量是()1,2,5-【答案】BCD【分析】A ：由向量共线定理，应用坐标运算判断是否存在R λ∈使AB AC λ= ；B ：与AB同向的单位向量是||ABAB 即可判断；C ：由投影向量的定义可解；D ：应用平面法向量的求法求平面ABC 的一个法向量，即可判断.【详解】A ：若AB与AC 共线，存在R λ∈使AB AC λ= ，则2120λλλ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩无解，故不共线，错误；B ：与AB同向的单位向量是||AB AB ==，正确；C：由cos ,11||||AB BCAB BC AB BC ⋅==-，则BC 在AB方向上的投影向量是()cos ,2,1,0AB BC AB BC AB ⎛=⨯-- ⎝⎭，正确；D ：若(,,)m x y z = 是面ABC 的一个法向量，则2020m AB x y m AC x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ，令=2y -，则(1,2,5)m =- ，正确.故选：BCD变式7．（2023春·四川成都·高二成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期中）已知()2,0,2a =，()3,0,0= b 分别是平面α，β的法向量，则平面α，β交线的方向向量可以是（）A ．()1,0,0B ．()0,1,0C ．()0,0,1D ．()1,1,1【答案】B【分析】根据平面的交线都与两个平面的法向量垂直求解.【详解】因为四个选项中，只有()()()0,1,02,0,20,1,00⋅=⋅=a ，()()()0,1,03,0,00,1,00⋅=⋅=b ，所以平面α，β交线的方向向量可以是()0,1,0故选：B变式8．（2023秋·福建南平·高二统考期末）已知四面体ABCD 的顶点坐标分别为()0,0,2A ，()2,2,0B ，()1,2,1C ，()2,2,2D ．(1)若M 是BD 的中点，求直线CM 与平面ACD 所成的角的正弦值；(2)若P ，A ，C ，D 四点共面，且BP ⊥平面ACD ，求点P 的坐标．【答案】3(2)482,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）由题意分别求出向量()1,0,0CM = 和平面ACD 的一个法向量()1,1,1n =--，再用直线与平面所成的角的正弦值公式代入计算即可；（2）由题意，(),,BP n λλλλ==--，于是点P 的坐标为()2,2,λλλ+--，由P ，A ，C ，D 四点共面，可设AP xAD y AC =+ ，将,AP AD AC ,坐标分别代入即可解得23λ=-，从而求得点P 的坐标.【详解】（1）由题意，()1,2,1AC =- ，()2,2,0AD = ，()2,2,1M ，()1,0,0CM =，可设平面ACD 的法向量(),,n x y z =，则00n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20220x y z x y +-=⎧⎨+=⎩，化简得z xy x=-⎧⎨=-⎩．令1x =，则1y =-，1z =-，可得平面ACD 的一个法向量()1,1,1n =--，设直线CM 与平面ACD ，则sin 3CM n CM n θ⋅===⋅ ，即直线CM 与平面ACD（2）由题意，(),,BP n λλλλ==-- ，于是点P 的坐标为()2,2,λλλ+--，又P ，A ，C ，D 四点共面，可设AP xAD y AC =+，即()()()2,2,22,2,01,2,1x y λλλ+---=+-，即222222x y x y y λλλ+=+⎧⎪-=+⎨⎪--=-⎩，解得23λ=-，所以所求点P 的坐标为482,,333⎛⎫⎪⎝⎭．变式9．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）已知点()2,6,2A -在平面α内，()3,1,2=n 是平面α的一个法向量，则下列点P 中，在平面α内的是（）A ．()1,1,1P -B ．31,3,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．31,3,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．31,3,4P ⎛⎫--- ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据每个选项中P 点的坐标，求出AP的坐标，计算AP n ⋅ ，根据结果是否等于0，结合线面垂直的性质，即可判断点P 是否在平面α内.【详解】对于选项A ，()1,5,1AP =-- ，所以1351120AP n ⋅=-⨯+⨯-⨯= ，根据线面垂直的性质可知AP α⊂,故()1,1,1P -在平面α内；对于选项B ，11,9,2AP ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，则11391202AP n ⋅=-⨯+⨯+⨯≠ ，()2,6,2A -在平面α内，根据线面垂直的性质可知AP α⊄,故31,3,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭不在平面α内；对于选项C ，11,3,2AP ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，则11331202AP n ⋅=-⨯+⨯-⨯≠ ，()2,6,2A -在平面α内，根据线面垂直的性质可知AP α⊄,故31,3,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭不在平面α内；对于选项D ，113,3,4AP ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，则113331204AP n ⋅=-⨯+⨯-⨯≠ ，()2,6,2A -在平面α内，根据线面垂直的性质可知AP α⊄,故31,3,4P ⎛⎫--- ⎪⎝⎭不在平面α内；故选：A变式10．（2023春·河南·高二临颍县第一高级中学校联考开学考试）已知点()01,2,3P -在平面α内，平面{}00P n P P α=⋅= ∣，其中()1,1,1n =-是平面α的一个法向量，则下列各点在平面α内的是（）A ．()2,4,8-B ．()3,8,5C ．()2,3,4-D ．()3,4,1-【答案】B【分析】由法向量的定义结合数量积运算确定y =x+z ，再判断选项.【详解】设(),,P x y z 是平面α内的一点，则()01,2,3P P x y z =+--，所以()()()1230x y z +--+-=，即y =x+z ，选项B 满足．故选：B考点三：用空间向量证明平行问题（一）判断直线、平面的位置关系例3．（2023秋·湖北黄石·高二校考阶段练习）若直线l 的一个方向向量为()257，，a = ，平面α的一个法向量为()111，，u →=-，则（）A ．l ∥α或l ⊂αB ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α斜交【答案】A【分析】直线的一个方向向量()257，，a = ，平面α的一个法向量为()111，，u →=-，计算数量积，即可判断出结论．【详解】 直线的一个方向向量为()257，，a = ，平面α的一个法向量为()111，，u →=-，2570a u →→∴⋅=+-=，∴a u →→⊥，l α∴∥或l ⊂α，故选：A变式1．（2023春·高二单元测试）若平面α与β的法向量分别是()1,0,2a =-，()1,0,2b =-r，则平面α与β的位置关系是（）A ．平行B ．垂直C ．相交不垂直D ．无法判断【答案】A【分析】利用平面法向量的位置关系，即可判断两平面的位置关系.【详解】因为()1,0,2a =- ，()1,0,2b =-r是平面α与β的法向量，则a b =-，所以两法向量平行，则平面α与β平行.故选：A变式2．（2023春·山东菏泽·高二统考期末）已知平面α与平面ABC 是不重合的两个平面，若平面α的法向量为(2,1,4)m =-，且(2,0,1)AB =- ，(1,6,1)AC = ，则平面α与平面ABC 的位置关系是________.【答案】平行【分析】分别计算AB m ⋅ ，AC m ⋅ ，可得0m AB ⋅= ，0m AC =⋅ ，从而可知m AB ⊥ ，m AC ⊥ ，m ⊥平面ABC ，所以可得平面α与平面ABC 平行.【详解】平面α的法向量为(2,1,4)m =-，且(2,0,1)AB =- ，(1,6,1)AC = ，()220410AB m =⨯⨯=⋅++- ，()2116410AC m =⨯+-⨯+⨯=⋅，所以m AB ⊥ ，m AC ⊥ ，m ⊥平面ABC ，平面ABC 的一个法向量为(2,1,4)m =-，又因为平面α与平面ABC 是不重合的两个平面所以平面α与平面ABC 平行.故答案为：平行.变式3．（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）在长方体ABCD A B C D -''''中，222AA AB AD '===，以点D 为坐标原点，以,,DA DC DD '分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设对角面ACD '所在法向量为(,,)x y z ，则::x y z =__________．【答案】2:2:1【分析】利用法向量的求法进行求解即可【详解】由题意得()1,0,0A ，()0,1,0C ，()0,0,2D '，()1,1,0AC =- ，()1,0,2AD '=-，因为平面ACD '的法向量为(),,n x y z = ，则00AC n AD n '⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，取()20x k k =≠，则2,y k z k ==，故::2:2:1x y z =故答案为：2:2:1变式4．【多选】（2023春·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考期中）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中正确的是（）A ．若两条不重合直线1l ，2l 的方向向量分别是()2,3,1a =- ，()2,3,1b =--，则12//l l B ．若直线l 的方向向量()0,3,0a = ，平面α的法向量是()0,5,0μ=-，则l //αC ．若两个不同平面α，β的法向量分别为()12,1,0n =- ，()24,2,0n =-，则//αβD ．若平面α经过三点()1,0,1A -，()0,1,0B ，()1,2,0C -，向量()11,,n u t =是平面α的法向量，则1u t +=【答案】ACD【分析】利用空间向量共线定理判断A 即可；由,a μ的关系式即可判断B ；由12,n n 的关系即可判断选项C,利用平面内法向量的性质即可判断D.【详解】因为两条不重合直线1l ，2l 的方向向量分别是()2,3,1a =- ，()2,3,1b =--，所以a b =-，所以,a b 共线，又直线1l ，2l 不重合，所以12//l l ，故A 正确；因为直线l 的方向向量()0,3,0a = ，平面α的法向量是()0,5,0μ=-且53a μ=-，所以l α⊥，故B 不正确；两个不同平面α，β的法向量分别为()12,1,0n =- ，()24,2,0n =-，则有212n n =-，所以//αβ，故C 正确；平面α经过三点()1,0,1A -，()0,1,0B ，()1,2,0C -，所以()(),,1,1,11,1,0B B A C --==又向量()11,,n u t = 是平面α的法向量，所以1111010100AB n AB n u t u BC n BC n ⎧⎧⊥⋅=-++=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨-+=⊥⊥=⎩⎪⎪⎩⎩则1u t +=，故D 正确，故选：ACD.（二）已知直线、平面的平行关系求参数例4．（2022秋·广东广州·高二广州市第九十七中学校考阶段练习）直线l 的方向向量是()1,1,1s =- ，平面α的法向量()222,,n x x x =+-，若直线//l 平面α，则x =______．【答案】2【分析】线面平行时，直线的方向向量垂直于平面的法向量，即它们的数量积为零，根据数量积的坐标表示列出方程求解即可.【详解】解：若直线//l 平面α，则0s n ⋅=，22220x x x x ∴-++-=-=，解得2x =，故答案为：2.变式1．（2023秋·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期末）已知直线l 的一个方向向量为(1,2,1)d =-，平面α的一个法向量(,4,2)n x =-，若//l α，则实数x =_______．【答案】10【分析】根据直线与平面平行，得到直线的方向向量与平面的法向量垂直，进而利用空间向量数量积为0列出方程，求出x 的值.【详解】因为//l α，所以直线l 的方向向量与平面α的法向量垂直，即(,4,2)(1,2,1)820n d x x ⋅=-⋅-=--=，解得：10x =.故答案为：10变式2．（2022秋·天津蓟州·高二校考期中）直线l 的方向向量是()1,1,1s →=，平面α的法向量()21,,n x x x →=--，若直线l α∥，则x =___________.【答案】1【分析】结合已知条件可得s n →→⊥，然后利用垂直向量的数量积为0即可求解.【详解】由题意可知，s n →→⊥，因为()1,1,1s →=，()21,,n x x x →=--，从而210s n x x x →→⋅=+--=，解得1x =.故答案为：1.变式3．（2023春·上海·高二校联考阶段练习）已知平面α的一个法向量为()11,2,3n =-，平面β的一个法向量为()22,4,n k =--，若//αβ，则k 的值为______【答案】6【分析】因为法向量定义，把//αβ转化为12//n n，可得k 的值.【详解】因为平面α的一个法向量为()11,2,3n =- ，平面β的一个法向量为()22,4,n k =--，又因为//αβ，所以12//n n，可得()()342k -⨯-=，即得6k =.故答案为：6.（三）证明直线、平面的平行问题例5．（2022春·江苏镇江·高二江苏省镇江第一中学校联考期末）如图，三棱柱11ABC AB C -中侧棱与底面垂直，且AB ＝AC ＝2，AA 1＝4，AB ⊥AC ，M ，N ，P ，D 分别为CC 1，BC ，AB ，11B C 的中点．求证：PN ∥面ACC 1A 1；【解析】以点A 为坐标原点，AB ､AC ､1AA 所在直线分别为x ､y ､z 轴建立空间直角坐标系，则()10,0,4A ，()2,0,0B ，()0,2,2M ，()1,1,0N ，()1,0,4P ．取向量()2,0,0AB = 为平面11ACC A 的一个法向量，()0,1,4PN =-，∴()0210400PN AB ⋅=⨯++-=⨯⨯，∴PN AB ⊥ ．又∵PN ⊄平面11ACC A ，∴PN ∥平面11ACC A ．变式1．（2023·天津和平·耀华中学校考二模）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形，线段AD 的中点为O 且PO ⊥底面ABCD ，112AB BC AD ===，π2BAD ABC ∠==∠，E 是PD 的中点．证明：CE ∥平面PAB ；【解析】连接OC ，因为//,AO BC AO BC =，所以四边形OABC 为平行四边形，所以//AB OC ，所以OC AD ⊥，以OC ，OD ，OP 分别为x ，y ，z轴建立空间直角坐标系，则(P ，()0,1,0A -，()1,1,0B -，()1,0,0C．11,22CE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，(0,1,PA =-，(1,1,PB =- ，设平面PAB 的一个法向量为()1,,n x y z =，则1100PA n y PB n x y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ ，则0x =，令1z =-，y =平面PAB的一个法向量()11n =-，1022CE n ⋅== ，则1CE n ⊥ ，又CE ⊄平面PAB ，所以//CE 平面PAB ．变式2．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，D ，E 分别为棱AB ，11B C 的中点，2BC =，AB =114AC =.证明：//DE 平面11ACC A ；【解析】证明：在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，2BC =，AB =114AC =.所以114AC AC ==，则222AC AB BC =+，则AB BC ⊥，则如下图，以B 为原点，1BC BA BB ，，为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，设1BB h =，则()()()00000200A B C ,,,,,,,,()()()()()111000200010A h B h C h D E h ,,,,,,,,,,,,所以()1DE h =，()()12000AC AA h =-=，，，，，设平面11ACC A 的一个法向量为()n x y z =，，，所以1200AC n x AA n hz ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令1y =，则0x z ==，即)0n =，，所以())1000DE n h ⋅=⋅==，，得DE n ⊥，又DE ⊄平面11ACC A ，所以//DE 平面11ACC A ；变式3．（2023春·江苏盐城·高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒．点D ，E ，N 分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，2PA AC ==，1AB =．求证：//MN 平面BDE ；【解析】因为PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，建立空间直角坐标系如图所示，则11(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(0,0,1),(0,1,1),(0,0,),(,1,0),(0,0,2)22A B C D E M N P ，所以(0,1,0),(1,0,1)DE DB ==-，设(,,)n x y z =为平面BDE 的法向量，则0n DE n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即00y x z =⎧⎨-=⎩，不妨设1z =，可得(1,0,1)n = ，又11,1,22MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，可得0MN n ⋅=，因为MN ⊄平面BDE ，所以//MN 平面BDE ，变式4．（2023·天津南开·南开中学校考模拟预测）在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，且2PA =，四边形ABCD 是直角梯形，且AB AD ⊥，//BC AD ，2AD AB ==，4BC =，M 为PC 中点，E 在线段BC 上，且1BE =.求证：//DM 平面PAB ；【解析】证明：以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,2,0D ，()002P ,,，()2,4,0C ，()1,2,1M ，()2,1,0E ，()1,0,1DM =，易知平面PAB 的一个法向量为()0,2,0AD = ，故0DM AD ⋅=，则DM AD ⊥ ，又DM ⊂/平面PAB ，故//DM 平面PAB ．变式5．（2023·四川成都·校考一模）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，AD MN ⊥，2AB =，4AD AP ==，M ，N 分别是BC ，PD 的中点.求证：MN ∥平面PAB ；【解析】（1）由题意，在矩形ABCD 中，2AB =，4AD AP ==，AB AD ⊥,M ，N 分别是BC ，PD 的中点，∴11222BM CM BC AD ====，2AB CD ==，在四棱锥P ABCD -中，面PAD ⊥平面ABCD ，面PAD ⋂面ABCD AD =，AB AD ⊥，∴AB ⊥面PAD ，PA ⊂面PAD ，∴PA AB ⊥，取AP 中点E ，连接BE ，由几何知识得BE MN ∥，∵AD MN ⊥，∴AD BE ⊥，AD AB⊥∵BE ⊂面PAB ，AB ⊂面PAB ，AB BE B = ∴AD ⊥面PAB ，∴PA AD⊥以AB 、AD 、AP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系如下图所示，∴()()()()()()()0,0,0,2,0,0,2,4,0,0,4,0,0,0,4,2,2,0,0,2,2A B C D P M N ，∴()2,0,2MN =- ，面PAB 的一个法向量为()0,4,0AD =，∵2004200MN AD ⋅=-⨯+⨯+⨯=，∴MN ∥平面PAB .变式6．（2021·高二课时练习）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别在棱1A A ，11A B ，11A D 上，1111A E A F AG ===；点P ，Q ，R 分别在棱1CC ，CD ，CB 上，1CP CQ CR ===．求证：平面//EFG 平面PQR ．【答案】证明见解析【分析】构建以D 为原点，1,,DA DC DD为x 、y 、z 轴正方向的空间直角坐标系，令1,,AB a BC b BB c ===写出EF 、EG uu ur 、PQ 、PR ，进而求面EFG 、面PQR 的法向量m 、n ，根据所得法向量的关系即可证结论.【详解】构建以D 为原点，1,,DA DC DD为x 、y 、z轴正方向的空间直角坐标系，如下图示，设1,,AB a BC b BB c ===(,,1)a b c >，又1111A E A F AG ===，1CP CQ CR ===，∴(,0,1)E b c -，(,1,)F b c ，(1,0,)G b c -，(0,,1)P a ，(0,1,0)Q a -，(1,,0)R a ，∴(0,1,1)EF = ，(1,0,1)EG =- ，(0,1,1)PQ =--，(1,0,1)PR =- ，设(,,)m x y z = 是面EFG 的一个法向量，则00EF m y z EG m z x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1x =，(1,1,1)m =- ，设(,,)n i j k = 是面PQR 的一个法向量，则00PQ n j k PR n i k ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1i =，(1,1,1)n =- ，∴面EFG 、面PQR 的法向量共线，故平面//EFG 平面PQR ，得证.变式7．（2023·上海普陀·ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面边长1，侧棱长4，AA 1中点为E ，CC 1中点为F．求证：平面BDE ∥平面B 1D 1F ；【解析】（1）以A 为原点，AB ，AD ，AA 1所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图则B （1，0，0），D （0，1，0），E （0，0，2），B 1（1，0，4），D 1（0，1，4），F （1，1，2），∵()10,1,2DE FB ==-，∴DE ∥FB 1，1//,DE FB DE ⊄ 平面11B D F ，1FB ⊂平面11B D F ，//DE ∴平面11B D F ，同理//BD 平面11B D F ，∵BD ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，BD DE D ⋂=平面BDE ，∴平面//BDE 平面11B D F ．考点四：利用空间向量证明垂直问题（一）判断直线、平面的位置关系例6．（2021秋·北京·高二校考期中）直线12,l l 的方向向量分别为(1,3,1),(8,2,2)a b =--=，则（）A ．12l l ⊥B ．1l ∥2l C ．1l 与2l 相交不平行D ．1l 与2l 重合【答案】A【分析】由题意可得0a b ⋅= ，即得a b ⊥，从而得12l l ⊥，即得答案.【详解】解：因为直线12,l l 的方向向量分别为(1,3,1),(8,2,2)a b =--=，(1,3,1)(8,2,2)8620a b ⋅=--⋅=--=所以a b ⊥ ，即12l l ⊥.故选：A.变式1．（2022秋·北京·高二校考阶段练习）若直线l 的方向向量为e (2,3,1)=-，平面α的法向量为311,,22n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，则直线l 和平面α位置关系是（）A ．l α⊥B ．//l αC ．l α⊂D ．不确定【答案】A【分析】根据题意判断直线l 的方向向量和平面α的法向量的关系，即可判断直线l 和平面α位置关系.【详解】由题意直线l 的方向向量为e (2,3,1)=- ，平面α的法向量为311,,22n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ,可知e 2n =-，故l α⊥,故选：A变式2．【多选】（2022秋·广东珠海·高二珠海市斗门区第一中学校考期末）已知v为直线l 的方向向量,12,n n 分别为平面α,β的法向量（α,β不重合）,那么下列说法中正确的有（）．A ．12n n αβ⇔∥∥B ．12n n αβ⊥⇔⊥C ．1v n l ⇔ α∥∥D ．1v n l ⊥⇔⊥ α【答案】AB【分析】根据法线面垂直平行的性质及法向量、方向向量的概念即可选出选项.【详解】解:若12n n∥,因为α,β不重合,所以αβ∥,若αβ∥,则12,n n 共线,即12n n∥,故选项A 正确;若12n n ⊥,则平面α与平面β所成角为直角,故αβ⊥,若αβ⊥,则有12n n ⊥,故选项B 正确;若1v n ∥,则l α⊥,故选项C 错误;若1v n ⊥,则l α∥或l ⊂α,故选项D 错误.故选:AB变式3．（2023春·江苏·高二南师大二附中校联考阶段练习）下列利用方向向量､法向量判断线､面位置关系的结论中，正确的是（）A ．两条不重合直线12,l l 的方向向量分别是()()2,3,1,2,3,1a b =-=--，则12l l ∥B ．直线l 的方向向量()112a ,,=- ，平面α的法向量是()6,4,1u =-，则l α⊥C ．两个不同的平面,αβ的法向量分别是()()2,2,1,3,4,2u v =-=-，则αβ⊥D ．直线l 的方向向量()0,3,0a = ，平面α的法向量是()0,5,0u =-，则l α∥【答案】AC【分析】根据条件，利用方向向量､法向量的定义与性质，结合空间向量的平行和垂直，对各选项逐项判断即可．【详解】解：对于A ，两条不重合直线1l ，2l 的方向向量分别是(2,3,1),(2,3,1)a b =-=--，则b a =-，所以//a b ，即12l l //，故A 正确；对于C ，两个不同的平面α，β的法向量分别是(2,2,1),(3,4,2)u v =-=-，则0u v =⋅，所以αβ⊥，故C 正确；对于B ，直线l 的方向向量(1,1,2)a =- ，平面α的法向量是(6,4,1)u =-，则16142(1)0a u ⋅=⨯-⨯+⨯-= ，所以a u ⊥，即//l α或l ⊂α，故B 错误；对于D ，直线l 的方向向量(0,3,0)a = ，平面a 的法向量是(0,5,0)u =-，则53u a =-，所以//μα ，即l α⊥，故D 错误．故选：AC ．变式4．【多选】（2022·高二课时练习）下列命题是真命题的有()A ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若,,BA BM BN不能构成空间的一个基底，那么A ，B ，M ，N 共面B ．直线l 的方向向量为()1,1,2a =- ，直线m 的方向向量12,1,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r 为，则l 与m 垂直C ．直线l 的方向向量为()1,1,2a =- ，平面α的法向量为10,1,2n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，则l ⊥αD ．平面α经过三点()()()1,0,1,0,1,0,1,2,0A B C --，()1,,=rn u t 是平面α的法向量，则u +t ＝1【答案】ABD【分析】由基底的概念以及空间位置关系的向量证明依次判断4个选项即可．【详解】解：对于A ，A ，B ，M ，N 是空间四点，若,,BA BM BN不能构成空间的一个基底，则,,BA BM BN共面，可得A ，B ，M ，N 共面，故A 正确；对于B ，2110a b ⋅=--=，故a ⊥ ，可得l 与m 垂直，故B 正确；对于C ，0110a n ⋅=-+= ，故a n ⊥，可得在α内或l ∥α，故C 错误；对于D ，()1,1,1AB =- ，易知AB n ⊥，故﹣1+u +t ＝0，故u +t ＝1，故D 正确．故选：ABD ．（二）已知直线、平面的垂直关系求参数例7．（2023春·北京海淀·高二中央民族大学附属中学校考开学考试）已知平面α的法向量为()1,2,0n = ，直线l 的方向向量为v，则下列选项中使得l α⊥的是（）A ．()2,1,0v =-B ．()2,1,0v =C ．()2,4,0v =D ．()1,2,0v =-【答案】C【分析】根据法向量与方向向量的定义，即可求得本题答案.【详解】若l α⊥，则直线l 的方向向量v垂直于平面α，所以v与平面α的法向量()1,2,0n = 平行，显然只有选项C 中2v n = 满足.故选：C变式1．（江苏省扬州市2022-2023学年高二下学期6月期末数学试题）已知直线l 的方向向量为()2,1,2e =-，平面α的法向量为()()2,,,n a b a b a b =--+∈R.若l α⊥，则3a b +的值为（）A ．5-B ．2-C ．1D ．4【答案】A【分析】根据题意得到//e n ，进而得到方程组12a b a b -=⎧⎨+=-⎩，求得,a b 的值，即可求解.【详解】由直线l 的方向向量为()2,1,2e =-，平面α的法向量为()2,,n a b a b =--+ ，因为l α⊥，可得//e n ，所以2212a b a b--+==-，即12a b a b -=⎧⎨+=-⎩，解得13,22a b =-=-，所以193522a b +=--=-.故选：A.变式2．（2023春·高二课时练习）已知()()3,,,R u a b a b a b =-+∈ 是直线l 的方向向量，()1,2,4n =r是平面α的法向量．若l α⊥，则ab =______．【答案】27【分析】根据线面垂直的概念，结合法向量的性质可得u n ∥，进而求得,a b ，即得.【详解】∵l α⊥，∴//u n ，∴3124a b a b-+==，故612a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得93a b =⎧⎨=⎩，∴27ab =．故答案为：27.变式3．（2022秋·广东珠海·高二珠海市实验中学校考阶段练习）若直线l 方向向量为()2,1,m ，平面α的法向量为11,,22⎛⎫⎪⎝⎭，且l α⊥，则m 为（）A ．1B ．2C ．4D ．54-【答案】C【分析】由l α⊥可知l 的方向向量为与平面α的法向量平行，再利用向量共线定理即可得出．【详解】l α⊥ ，l ∴的方向向量为()2,1,m 与平面α的法向量11,,22⎛⎫⎪⎝⎭平行，∴1(2,1,)(1,,2)2m λ=．∴21122m λλλ=⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，解得4m =．故选：C ．变式4．（2023春·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考阶段练习）如图，在正三棱锥D -ABC中，AB =，2DA =，O 为底面ABC 的中心，点P 在线段DO 上，且PO DO λ=uu u r uuu r，若PA ⊥平面PBC ，则实数λ=（）A ．12B ．13-C．4D．6【答案】D【分析】由正棱锥的结构特征构建空间直角坐标系，根据已知条件确定相关点坐标并求出面PBC 的法向量，结合线面平行及向量共线定理求参数λ即可.【详解】由题设，△ABC2DA DB DC ===，等边△ABC32=，在正棱锥中，以O 为原点，平行CB 为x 轴，垂直CB 为y 轴，OD 为z 轴，如上图示，则11(0,1,0),(,,0),(,,0),2222A B C D --，且)P ，所以)AP =，1,)2PB =，CB = ，若(,,)m x y z = 为面PBC的法向量，则1020PB m y z CB m ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩ ，令1z =，则(0,,1)m = ，又PA ⊥平面PBC ，则AP km = 且k为实数，101k k λ⎧=⎪⎪=⎨⎪≤≤⎪⎩，故λ=.故选：D（三）证明直线、平面的垂直问题例8．（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)若点M 是线段AP 上一点，且AM ＝3，试证明AM ⊥平面BMC .。
空间向量及其运算和空间位置关系(含解析)
归纳与技巧：空间向量及其运算和空间位置关系基础知识归纳一、空间向量及其有关概念二、数量积及坐标运算1．两个向量的数量积(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；(2)a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；(3)|a|2＝a2，|a|＝x2＋y2＋z2.2．向量的坐标运算三、平面的法向量(1)所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量有无数多个，它们是共线向量．(2)在空间中，给定一个点A 和一个向量a ，那么以向量a 为法向量且经过点A 的平面是唯一的．基础题必做1．(课本习题改编)已知a ＝(－2，－3,1)，b ＝(2,0,4)，c ＝(－4，－6,2)则下列结论正确的是( )A ．a ∥c ，b ∥cB ．a ∥b ，a ⊥cC ．a ∥c ，a ⊥bD ．以上都不对解析：选C ∵c ＝(－4，－6,2)＝2a ，∴a ∥c .又a ·b ＝0，故a ⊥b .2． 若{a ，b ，c }为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是( )A ．{a ，a ＋b ，a －b }B ．{b ，a ＋b ，a －b }C ．{c ，a ＋b ，a －b }D ．{a ＋b ，a －b ，a ＋2b }解析：选C 若c 、a ＋b 、a －b 共面， 则c ＝λ(a ＋b )＋m (a －b )＝(λ＋m )a ＋(λ－m )b ，则a 、b 、c 为共面向量，与{a ，b ，c }为空间向量的一组基底矛盾，故c ，a ＋b ，a －b 可构成空间向量的一组基底．3．(教材习题改编)下列命题：①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB u u u r ＋BC u u u r ＋CD u u u r ＋DA u u u r＝0；②若MB u u u r ＝x MA u u u r ＋y MB u u u r，则M 、P 、A 、B 共面；③若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面． 其中正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选D 可判断①②③正确．4．在四面体O －ABC 中，OA u u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，OC u u u r＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE u u u r＝________(用a ，b ，c 表示)．解析：如图，OE u u u r ＝12OA u u u r ＋12OD u u u r＝12OA u uu r ＋14OB u u u r ＋14OC u u u r ＝12a ＋14b ＋14c . 答案：12a ＋14b ＋14c5．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，①(1A A u u u u r ＋11A D u u u u r ＋11A B u u u u r )2＝311A B u u u u r2；②1A C u u u u r ·(11A B u u u u r －1A A u u u u r )＝0；③向量1AD u u u u r 与向量1A B u u u u r的夹角是60°；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB u u u r ·1AA u u u u r ·AD u u ur |.其中正确命题的序号是________．解析：设正方体的棱长为1，①中(1A A u u u u r ＋11A D u u u u r ＋11A B u u u u r )2＝311A B u u u u r2＝3，故①正确；②中11A B u u u u r －1A A u u u u r ＝1AB u u u u r，由于AB 1⊥A 1C ，故②正确；③中A 1B 与AD 1两异面直线所成角为60°，但1AD u u u u r 与1A B u u u u r 的夹角为120°，故③不正确；④中|AB u u u r ·1AA u u u u r ·AD u u u r|＝0.故④也不正确．答案：①②解题方法归纳1.用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．2．直线的方向向量与平面的法向量的确定：(1)直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB u u u r为直线l 的方向向量，与AB u u u r平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0.空间向量的线性运算典题导入[例1] 如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中G 为△A 1BD 的重心，设AB u u u r ＝a ，AD u u u r＝b ，1AA u u u u r ＝c ，试用a ，b ，c 表示1AC u u u u r ，AG u u u r .[自主解答] 1AC u u u u r ＝AB u u u r ＋BC u u u r ＋1CC u u u u r ＝AB u u u r ＋AD u u u r ＋1AA u u uu r＝a ＋b ＋c .AG u u u r ＝1AA u u u u r ＋1A G u u u u r＝1AA u u u u r ＋13(1A D u u u u r ＋1A B u u u u r )＝1AA u u u u r ＋13(AD u u u r －1AA u u u u r )＋13(AB u u u r －1AA u u u u r )＝131AA uu u u r ＋13AD u u u r ＋13AB u u u r ＝13a ＋13b ＋13c .本例条件不变，设A 1C 1与B 1D 1交点为M ，试用a ，b ，c 表示MG u u u u r.解：如图，MG u u u u r ＝1MA u u u u r ＋1A G u u u u r＝－12(11A B uu u u r ＋11A D u u u u r )＋13(1A D u u u u r ＋1A B u u u u r )＝－12a －12b ＋13(AD u u ur －1AA u u u u r )＋13(AB u u u r －1AA u u u u r )＝－12a －12b ＋13b －13c ＋13a －13c＝－16a －16b －23c解题方法归纳用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键，要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，灵活运用三角形法则及四边形法则．以题试法1.如图所示，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG u u u u r ＝2GN u u u r ，若OG u u u r ＝x OA u u u r ＋y OB u u u r ＋z OC u u u r，则x ，y ，z 的值分别为________．解析：∵OG u u u r ＝OM u u u u r ＋MG u u u u r ＝12OA u u u r ＋23MN u u u u r＝12OA u uu r ＋23(ON u u u r －OM u u u u r ) ＝12OA u uu r ＋23ON u u u r －23OM u u u u r ＝12OA u uu r ＋23×12(OB u u u r ＋OC u u u r )－23×12OA u u u r ＝16OA u uu r ＋13OB u u u r ＋13OC u u u r ∴x ，y ，z 的值分别为16，13，13.答案：16，13，13共线、共面向量定理的应用典题导入[例2] 如右图，已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，E 、F 、G 、H 分别是棱A ′D ′、D ′C ′、C ′C 和AB 的中点，求证E 、F 、G 、H 四点共面．[自主解答] 取ED 'u u u u r ＝a ，EF u u u r ＝b ，EH u u u r ＝c ，则HG u u u r ＝HBu u u r ＋BC u u u r ＋CG u u u r ＝D F 'u u u u r ＋2ED 'u u u u r ＋12AA 'u u u r＝b －a ＋2a ＋12(AH u u u r ＋HE u u u r ＋EA 'u u u r )＝b ＋a ＋12(b －a －c －a )＝32b －12c ，∴HG u u u r 与b 、c 共面．即E 、F 、G 、H 四点共面． 解题方法归纳应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面的方法比较：三点(P ，A ，B )共线空间四点(M ，P ，A ，B )共面PA u u u r ＝λPB u u u r且同过点P MP u u u r ＝x MA u u u r ＋y MB u u u r对空间任一点O ，OP u u u r ＝OA u u u r →＋t AB u u u r对空间任一点O ，OP u u u r ＝OM u u u u r ＋x MA u u u r＋y MB u u u r对空间任一点O ，OP u u u r ＝x OA u u u r ＋(1－x ) OB u u u r 对空间任一点O ，OP u u u r ＝x OM u u u u r ＋y OA u u u r＋(1－x －y ) OB u u u r以题试法2.已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，用向量方法，求证：(1)E 、F 、G 、H 四点共面； (2)BD ∥平面EFGH .证明：(1)连接BG ，则EG u u u r ＝EB u u u r ＋BG u u ur＝EB u u u r ＋12(BC u u u r ＋BD u u u r)＝EB u u u r ＋BF u u u r ＋EH u u u r ＝EF u u u r ＋EH u u u r ，由共面向量定理知： E 、F 、G 、H 四点共面．(2)因为EH u u u r ＝AH u u u r －AE u u u r＝12AD u u ur －12AB u u u r ＝12(AD u u u r －AB u u u r )＝12BD u u u r ， 又因为E 、H 、B 、D 四点不共线，所以EH ∥BD . 又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ， 所以BD ∥平面EFGH .利用空间向量证明平行或垂直典题导入[例3] 已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，边长为2a ，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．(1)求证：AF ∥平面BCE ； (2)求证：平面BCE ⊥平面CDE .[自主解答] 依题意，以AC 所在的直线为x 轴，AB 所在的直线为z 轴，过点A 且垂直于AC 的直线为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，C (2a,0,0)，B (0,0，a )，D (a ，3a,0)，E (a ，3a,2a )．∵F 为CD 的中点，∴F ⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0.(1)易知，AF u u u r ＝⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0，BE u u u r ＝(a ，3a ，a )，BC u u u r ＝(2a,0，－a )， ∵AF u u u r ＝12(BE u u u r ＋BC u u ur )，AF ⊄平面BCE ，∴AF ∥平面BCE .(2)∵AF u u u r ＝⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0，CD u u u r ＝(－a ，3a,0)，ED u u u r ＝(0,0，－2a )，∴AF u u u r ·CD u u u r ＝0，AF u u u r ·ED u u u r＝0， ∴AF u u u r ⊥CD u u u r ，AF u u u r ⊥ED u u u r，即AF ⊥CD ，AF ⊥ED .又CD ∩ED ＝D ，∴AF ⊥平面CDE . 又AF ∥平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE .解题方法归纳利用直线的方向向量与平面的法向量，可以判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直．(1)设直线l 1的方向向量v 1＝(a 1，b 1，c 1)，l 2的方向向量v 2＝(a 2，b 2，c 2)． 则l 1∥l 2⇔v 1∥v 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )． l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.(2)设直线l 的方向向量为v ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量为n ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥α⇔v ⊥n ⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.l ⊥α⇔v ∥n ⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)．(3)设平面α的法向量n 1＝(a 1，b 1，c 1)，β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2，α⊥β⇔n 1⊥n 2.以题试法3． 如图所示的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，O 为AC 与BD 的交点，BB 1＝2，M 是线段B 1D 1的中点．(1)求证：BM ∥平面D 1AC ； (2)求证：D 1O ⊥平面AB 1C .证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则点O (1,1,0)、D 1(0,0，2)，∴1OD u u u u r＝(－1，－1，2)，又点B (2,2,0)，M (1,1，2)，∴BM u u u u r＝(－1，－1，2)， ∴1OD u u u u r ＝BM u u u u r ，又∵OD 1与BM 不共线， ∴OD 1∥BM .又OD 1⊂平面D 1AC ，BM ⊄平面D 1AC ， ∴BM ∥平面D 1AC .(2)连接OB 1.∵1OD u u u u r ·1OB u u u r ＝(－1，－1，2)·(1,1，2)＝0，1OD u u u u r ·AC u u ur ＝(－1，－1，2)·(－2,2,0)＝0，∴1OD u u u u r ⊥1OB u u u r ，1OD u u u u r ⊥AC u u u r ，即OD 1⊥OB 1，OD 1⊥AC ，又OB 1∩AC ＝O ，∴D 1O ⊥平面AB 1C .1． 若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，能使l ∥α的是( ) A ．a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1) C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1) D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)解析：选D 若l ∥α，则a ·n ＝0.而A 中a ·n ＝－2， B 中a ·n ＝1＋5＝6，C 中a ·n ＝－1， 只有D 选项中a ·n ＝－3＋3＝0.2．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( )A.627 B.637 C.607D.657解析：选D 由题意得c ＝t a ＋μ b ＝(2t －μ，－t ＋4μ，3t －2μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧7＝2t －μ，5＝－t ＋4μ，λ＝3t －2μ.∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝337，μ＝177，λ＝657.3.如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB u u u r ＝a ，AD u u u r ＝b ，1AA u u u u r ＝c ，则下列向量中与BM u u u u r相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c 解析：选A BM u u u u r ＝1BB u u u u r ＋1B M u u u u r ＝1AA u u u u r ＋12(AD u u u r －AB u u u r)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .4. 如图所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC＝π3，则cos 〈OA u u u r ，BC u u u r 〉的值为( ) A ．0 B.12 C.32D.22解析：选A 设OA u u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，OC u u u r＝c ，由已知条件〈a ，b 〉＝〈a ，c 〉＝π3，且|b |＝|c |，OA u u u r ·BC u u u r ＝a ·(c －b )＝a ·c －a ·b＝12|a ||c |－12|a ||b |＝0，∴cos 〈OA u u u r ，BC u u u r 〉＝0. 5． 平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量AB u u u r 、AD u u u r 、1AA u u uu r 两两的夹角均为60°，且|AB u u u r |＝1，|AD u u u r|＝2，|1AA u u u u r |＝3，则|1AC u u u u r |等于( )A ．5B ．6C ．4D ．8解析：选A 设AB u u u r ＝a ，AD u u u r ＝b ，1AA u u u u r ＝c ，则1AC u u u u r＝a ＋b ＋c ，1AC u u u u r2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·c ＋2b ·c ＋2c ·a ＝25， 因此|1AC u u u u r|＝5.6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ u u u u r＝λMN u u u u r的实数λ的值有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选C 建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2， 则P (x ，y,2)，O (1,1,0)， ∴OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x ＋12，y ＋12，1，又知D 1(0,0,2)，∴Q (x ＋1，y ＋1,0)， 而Q 在MN 上，∴x Q ＋y Q ＝3， ∴x ＋y ＝1，即点P 坐标满足x ＋y ＝1. ∴有2个符合题意的点P ，即对应有2个λ.7．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是________．①OM u u u u r ＝2OA u u u r －OB u u u r －OC u u u r ；②OM u u u u r ＝15OA u u u r ＋13OB u u u r ＋12OC u u u r ；③MA u u u r ＋MB u u u r ＋MC u u uu r ＝0；④OM u u u u r ＋OA u u u r ＋OB u u u r ＋OC u u u r ＝0.解析：∵MA u u u r ＋MB u u u r ＋MC u u u u r ＝0，∴MA u u u r ＝－MB u u u r －MC u u u u r ，则MA u u u r 、MB u u u r 、MC u u uu r 为共面向量，即M 、A 、B 、C 四点共面．答案：③8.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．解析：以D 1A 1、D 1C 1、D 1D 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设CE ＝x ，DF ＝y ，则易知E (x,1,1)，B 1(1,1,0)，∴1B E u u u u r ＝(x －1,0,1)，又F (0,0,1－y )，B (1,1,1)，∴FB u u u r ＝(1,1，y )，由于AB ⊥B 1E ，故若B 1E ⊥平面ABF ，只需PB u u u r ―→·1B E u u u u r ＝(1,1，y )·(x －1,0,1)＝0⇒x ＋y ＝1. 答案：19.如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB的中点，cos 〈DP u u u r ，AE u u u r 〉＝33，若以DA 、DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为________．解析：设PD ＝a ，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，P (0,0，a )，E ⎝⎛⎭⎫1，1，a 2. ∴DP u u u r ＝(0,0，a )，AE u u u r ＝⎝⎛⎭⎫－1，1，a 2. 由cos 〈DP u u u r ，AE u u u r 〉＝33， ∴a 22＝a 2＋a 24·33，∴a ＝2. ∴E 的坐标为(1,1,1)．答案：(1,1,1)10.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明：(1)AE ⊥CD ；(2)PD ⊥平面ABE .证明：AB 、AD 、AP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设P A ＝AB ＝BC ＝1，则P (0,0,1)．(1)∵∠ABC ＝60°，∴△ABC 为正三角形．∴C ⎝⎛⎭⎫12，32，0，E ⎝⎛⎭⎫14，34，12. 设D (0，y,0)，由AC ⊥CD ，得AC u u u r ·CD u u u r ＝0， 即y ＝233，则D ⎝⎛⎭⎫0，233，0， ∴CD u u u r ＝⎝⎛⎭⎫－12，36，0.又AE u u u r ＝⎝⎛⎭⎫14，34，12， ∴AE u u u r ·CD u u u r ＝－12×14＋36×34＝0， ∴AE u u u r ⊥CD u u u r ，即AE ⊥CD .(2)法一：∵P (0,0,1)，∴PD u u u r ＝⎝⎛⎭⎫0，233，－1. 又AE u u u r ·PD u u u r ＝34×233＋12×(－1)＝0，∴PD u u u r ⊥AE u u u r ，即PD ⊥AE .∵AB u u u r ＝(1,0,0)，∴PD u u u r ·AB u u u r ＝0.∴PD ⊥AB ，又AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面AEB .法二：AB u u u r ＝(1,0,0)，AE u u u r ＝⎝⎛⎭⎫14，34，12， 设平面ABE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，14x ＋34y ＋12z ＝0，令y ＝2，则z ＝－3，∴n ＝(0,2，－3)． ∵PD u u u r ＝⎝⎛⎭⎫0，233，－1，显然PD u u u r ＝33n . ∵PD u u u r ∥n ，∴PD u u u r ⊥平面ABE ，即PD ⊥平面ABE .11．已知矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝62，E 为AD 的中点(图甲)．沿BE 将△ABE 折起，使二面角A －BE －C 为直二面角(图乙)，且F 为AC 的中点．(1)求证：FD ∥平面ABE ；(2)求证：AC ⊥BE .证明：(1)如图1，设M 为BC 的中点，连接DM 、MF .∵F 为AC 的中点，M 为BC 的中点，∴MF ∥AB .又∵BM 綊DE ，∴四边形BMDE 为平行四边形，∴MD ∥BE .∵MF ∩MD ＝M ，AB ∩BE ＝B ，∴平面DFM ∥平面ABE .又∵PD ⊂平面DFM ，FD ⊄平面ABE ，∴FD ∥平面ABE .(2)在矩形ABCD (如图2)中，连接AC ，交BE 于G .BE u u u r ·AC u u u r ＝(BA u u u r ＋AE u u u r )·(AB u u u r ＋BC u u u r ) ＝－AB u u u r 2＋AE u u u r ·BC u u u r ＝－36＋36＝0. ∴AC ⊥BE .∴在图3中，AG ⊥BE ，CG ⊥BE .又∵AG ∩GC ＝G ，∴BE ⊥平面AGC .又∵AC ⊂平面AGC ，∴AC ⊥BE .12． 如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，PD ⊥平面ABCD ，AD ＝1，AB ＝3，BC ＝4.(1)求证：BD ⊥PC ；(2)设点E 在棱PC 上，PE u u u r ＝λPC u u u r ，若DE ∥平面P AB ，求λ的值．解：(1)证明：如图，在平面ABCD 内过点D 作直线DF ∥AB ，交BC 于点F ，以D 为坐标原点，DA 、DF 、DP 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (1,0,0)，B (1，3，0)，D (0,0,0)，C (－3，3，0)．(1)设PD ＝a ，则P (0,0，a )，BD u u u r ＝(－1，－3，0)，PC u u u r ＝(－3，3，－a )，∵BD u u u r ·PC u u u r ＝3－3＝0，∴BD ⊥PC . (2)由题意知，AB u u u r ＝(0，3，0)，DP u u u r ＝(0,0，a )，PA u u u r ＝(1,0，－a )，PC u u u r ＝(－3，3，－a )，∵PE u u u r ＝λPC u u u r ，∴PE u u u r ＝(－3λ，3λ，－aλ)，DE u u u r ＝DP u u u r ＋PE u u u r ＝(0,0，a )＋(－3λ，3λ，－aλ)＝(－3λ，3λ，a －aλ)．设n ＝(x ，y ，z )为平面P AB 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧AB u u u r ·n ＝0，PA u u u r ·n ＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧3y ＝0，x －az ＝0.令z ＝1，得x ＝a ，∴n ＝(a,0,1)， ∵DE ∥平面P AB ，∴DE u u u r ·n ＝0，∴－3aλ＋a －aλ＝0，即a (1－4λ)＝0，∵a ≠0，∴λ＝14. 1．已知AB u u u r ＝(1,5，－2)，BC u u u r ＝(3,1，z )，若AB u u u r ⊥BC u u u r ，BP u u u r ＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为( )A.337，－157，4 B.407，－157，4 C.407，－2,4 D ．4，407，－15 解析：选B ∵AB u u u r ⊥BC u u u r ，∴AB u u u r ·BC u u u r ＝0， 即3＋5－2z ＝0，得z ＝4.又BP ⊥平面ABC ，∴BP ⊥AB ，BP ⊥BC ，BC u u u r ＝(3,1,4)，则⎩⎪⎨⎪⎧ (x －1)＋5y ＋6＝0，3(x －1)＋y －12＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝407，y ＝－157.2．设空间四点O ，A ，B ，P 满足OP u u u r ＝OA u u u r ＋t AB u u u r ，其中0<t <1，则有( )A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的延长线上C ．点P 在线段BA 的延长线上D ．点P 不一定在直线AB 上解析：选A ∵0<t <1，∴P 点在线段AB 上．3．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别是BB 1、DD 1的中点．求证：(1)FC 1∥平面ADE ；(2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .证明：(1)如图所示，建立空间直角坐标系D －xyz ，则有D (0,0,0)、A (2,0,0)、C (0,2,0)、C 1(0,2,2)、E (2,2,1)、F (0,0,1)，所以1FC u u u u r ＝(0,2,1)，DA u u u r ＝(2,0,0)，AE u u u r ＝(0,2,1)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的一个法向量，则n 1⊥DA u u u r ，n 1⊥AE u u u r ，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA u u u r ＝2x 1＝0，n 1·AE u u u r ＝2y 1＋z 1＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1. 令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2)． 因为1FC u u u u r ·n 1＝－2＋2＝0，所以1FC u u u u r ⊥n 1.又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE .(2)由(1)得B 1(2,2,2)，11C B u u u u r ＝(2,0,0)．设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量，则n 2⊥1FC u u u u r ，n 2⊥11C B u u u u r ，即⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·1FC u u u u r ＝2y 2＋z 2＝0，n 2·11C B u u u u r ＝2x 2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2，则y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)．因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .1.已知在一个60°的二面角的棱上，如图有两个点A ，B ，AC ，BD 分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB 的线段，且AB＝4 cm ，AC ＝6 cm ，BD ＝8 cm ，则CD 的长为________．解析：设BD u u u r ＝a ，AB u u u r ＝b ，AC u u u r ＝c ，由已知条件|a |＝8，|b |＝4，|c |＝6，〈a ，b 〉＝90°，〈b ，c 〉＝90°，〈a ，c 〉＝60°，|CD u u u r |2＝|CA u u u r ＋AB u u u r ＋BD u u u r |2＝|－c ＋b ＋a |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ＝68，则|CD u u u r |＝217. 答案：217 cm2.如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CD ＝∠C 1CB ＝∠BCD ＝60°.(1)求证：C 1C ⊥BD ；(2)当CD CC 1的值是多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明． 解：(1)证明：设CD u u u r ＝a ，CB u u u r ＝b ，1CC u u u u r ＝c ，由已知|a |＝|b |，且〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，BD u u u r ＝CD u u u r －CB u u u r ＝a －b ，1CC u u u u r ·BD u u u r ＝c ·(a －b )＝c ·a －c ·b ＝12|c ||a |－12|c ||b |＝0，∴1C C u u u u r ⊥BD u u u r ，即C 1C ⊥BD . (2)若A 1C ⊥平面C 1BD ，则A 1C ⊥C 1D ，1CA u u u r ＝a ＋b ＋c ，1C D u u u u r ＝a －c .∴1CA u u u r ·1C D u u u u r ＝0，即(a ＋b ＋c )·(a －c )＝0. 整理得：3a 2－|a ||c |－2c 2＝0，(3|a |＋2|c |)(|a |－|c |)＝0，∴|a |－|c |＝0，即|a |＝|c |. 即当CD CC 1＝|a ||c |＝1时，A 1C ⊥平面C 1BD . 3.如图所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E 、F 、G 分别是线段P A 、PD 、CD 的中点．求证：PB ∥平面EFG .证明：∵平面P AD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形，∴AB 、AP 、AD 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)、B (2,0,0)、C (2,2,0)、D (0,2,0)、P (0,0,2)、E (0,0,1)、F (0,1,1)、G (1,2,0)．∴PB u u u r ＝(2,0，－2)，FE u u u r ＝(0，－1,0)，FG u u u r ＝(1,1，－1)，设PB u u u r ＝s FE u u u r ＋t FG u u u r ，即(2,0，－2)＝s (0，－1,0)＋t (1,1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ t ＝2，t －s ＝0，－t ＝－2，解得s ＝t ＝2.∴PB u u u r ＝2FE u u u r ＋2FG u u u r ，又∵FE u u u r 与FG u u u r 不共线，∴PB u u u r 、FE u u u r 与FG u u u r 共面．∵PB ⊄平面EFG ，∴PB ∥平面EFG .。
空间向量及其运算和空间位置关系(含解析)
归纳与技巧：空间向量及其运算和空间位置关系基础知识归纳一、空间向量及其有关概念OP＝x OA＋y OB＋z OC且x＋二、数量积及坐标运算1．两个向量的数量积(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；(2)a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；(3)|a|2＝a2，|a|＝x2＋y2＋z2.2．向量的坐标运算三、平面的法向量(1)所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量有无数多个，它们是共线向量．(2)在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是唯一的．基础题必做1．(课本习题改编)已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)则下列结论正确的是()A．a∥c，b∥c B．a∥b，a⊥cC．a∥c，a⊥b D．以上都不对解析：选C∵c＝(－4，－6,2)＝2a，∴a∥c.又a·b＝0，故a⊥b.2．若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是()A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b}C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b}解析：选C若c、a＋b、a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a、b、c为共面向量，与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋b，a－b可构成空间向量的一组基底．3．(教材习题改编)下列命题：①若A、B、C、D是空间任意四点，则有AB＋BC＋CD＋DA＝0；②若MB＝x MA＋y MB，则M、P、A、B共面；③若p＝x a＋y b，则p与a，b共面．其中正确的个数为()A．0B．1C．2 D．3解析：选D可判断①②③正确．4．在四面体O－ABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE＝________(用a，b，c表示)．解析：如图，OE＝12OA＋12OD＝12OA ＋14OB ＋14OC ＝12a ＋14b ＋14c . 答案：12a ＋14b ＋14c5．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，①(1A A ＋11A D ＋11A B )2＝311A B 2；②1A C ·(11A B －1A A )＝0；③向量1AD 与向量1A B 的夹角是60°；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB ·1AA ·AD |.其中正确命题的序号是________．解析：设正方体的棱长为1，①中(1A A ＋11A D ＋11A B )2＝311A B 2＝3，故①正确；②中11A B －1A A ＝1AB ，由于AB 1⊥A 1C ，故②正确；③中A 1B 与AD 1两异面直线所成角为60°，但1AD 与1A B 的夹角为120°，故③不正确；④中|AB ·1AA ·AD |＝0.故④也不正确．答案：①②解题方法归纳1.用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．2．直线的方向向量与平面的法向量的确定：(1)直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB 为直线l 的方向向量，与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0.空间向量的线性运算典题导入[例1] 如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中G 为△A 1BD 的重心，设AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ，试用a ，b ，c 表示1AC ，AG .[自主解答] 1AC ＝AB ＋BC ＋1CC ＝AB ＋AD ＋1AA ＝a ＋b ＋c .AG ＝1AA ＋1A G＝1AA ＋13(1A D ＋1A B )＝1AA ＋13(AD －1AA )＋13(AB －1AA )＝131AA ＋13AD ＋13AB ＝13a ＋13b ＋13c .本例条件不变，设A 1C 1与B 1D 1交点为M ，试用a ，b ，c 表示MG . 解：如图，MG ＝1MA ＋1A G＝－12(11A B ＋11A D )＋13(1A D ＋1A B )＝－12a －12b ＋13(AD －1AA )＋13(AB －1AA )＝－12a －12b ＋13b －13c ＋13a －13c＝－16a －16b －23c解题方法归纳用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键，要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，灵活运用三角形法则及四边形法则．以题试法1.如图所示，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝2GN ，若OG ＝x OA ＋y OB ＋z OC ，则x ，y ，z 的值分别为________．解析：∵OG ＝OM ＋MG ＝12OA ＋23MN＝12OA ＋23(ON －OM ) ＝12OA ＋23ON －23OM ＝12OA ＋23×12(OB ＋OC )－23×12OA ＝16OA ＋13OB ＋13OC ∴x ，y ，z 的值分别为16，13，13.答案：16，13，13共线、共面向量定理的应用典题导入[例2] 如右图，已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，E 、F 、G 、H 分别是棱A ′D ′、D ′C ′、C ′C 和AB 的中点，求证E 、F 、G 、H 四点共面．[自主解答] 取ED '＝a ，EF ＝b ，EH ＝c ，则HG ＝HB ＋BC ＋CG ＝D F '＋2ED '＋12AA '＝b －a ＋2a ＋12(AH ＋HE ＋EA ')＝b ＋a ＋12(b －a －c －a )＝32b －12c ，∴HG 与b 、c 共面．即E 、F 、G 、H 四点共面． 解题方法归纳应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面的方法比较：三点(P ，A ，B )共线空间四点(M ，P ，A ，B )共面PA ＝λPB 且同过点P MP ＝x MA ＋y MB对空间任一点O，OP＝OA→＋t AB对空间任一点O，OP＝OM＋x MA＋y MB对空间任一点O，OP＝x OA＋(1－x)OB对空间任一点O，OP＝x OM＋y OA＋(1－x－y)OB以题试法2.已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用向量方法，求证：(1)E、F、G、H四点共面；(2)BD∥平面EFGH.证明：(1)连接BG，则EG＝EB＋BG＝EB＋12(BC＋BD)＝EB＋BF＋EH＝EF＋EH，由共面向量定理知：E、F、G、H四点共面．(2)因为EH＝AH－AE＝1 2AD－12AB＝12(AD－AB)＝12BD，又因为E、H、B、D四点不共线，所以EH∥BD.又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.利用空间向量证明平行或垂直典题导入[例3]已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，边长为2a，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．(1)求证：AF ∥平面BCE ； (2)求证：平面BCE ⊥平面CDE .[自主解答] 依题意，以AC 所在的直线为x 轴，AB 所在的直线为z 轴，过点A 且垂直于AC 的直线为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，C (2a,0,0)，B (0,0，a )，D (a ，3a,0)，E (a ，3a,2a )．∵F 为CD 的中点，∴F ⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0.(1)易知，AF ＝⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0，BE ＝(a ，3a ，a )，BC ＝(2a,0，－a )，∵AF ＝12(BE ＋BC )，AF ⊄平面BCE ，∴AF ∥平面BCE .(2)∵AF ＝⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0，CD ＝(－a ，3a,0)，ED ＝(0,0，－2a )，∴AF ·CD ＝0，AF ·ED ＝0， ∴AF ⊥CD ，AF ⊥ED ，即AF ⊥CD ，AF ⊥ED . 又CD ∩ED ＝D ，∴AF ⊥平面CDE . 又AF ∥平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE .解题方法归纳利用直线的方向向量与平面的法向量，可以判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直．(1)设直线l 1的方向向量v 1＝(a 1，b 1，c 1)，l 2的方向向量v 2＝(a 2，b 2，c 2)． 则l 1∥l 2⇔v 1∥v 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )． l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.(2)设直线l 的方向向量为v ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量为n ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥α⇔v ⊥n ⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.l ⊥α⇔v ∥n ⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)．(3)设平面α的法向量n 1＝(a 1，b 1，c 1)，β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2，α⊥β⇔n 1⊥n 2.以题试法3． 如图所示的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，O 为AC 与BD 的交点，BB 1＝2，M 是线段B 1D 1的中点．(1)求证：BM ∥平面D 1AC ； (2)求证：D 1O ⊥平面AB 1C .证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则点O (1,1,0)、D 1(0,0，2)， ∴1OD ＝(－1，－1，2)， 又点B (2,2,0)，M (1,1，2)， ∴BM ＝(－1，－1，2)， ∴1OD ＝BM ， 又∵OD 1与BM 不共线， ∴OD 1∥BM .又OD 1⊂平面D 1AC ，BM ⊄平面D 1AC ， ∴BM ∥平面D 1AC .(2)连接OB 1.∵1OD ·1OB ＝(－1，－1，2)·(1,1，2)＝0，1OD ·AC ＝(－1，－1，2)·(－2,2,0)＝0，∴1OD ⊥1OB ，1OD ⊥AC ， 即OD 1⊥OB 1，OD 1⊥AC ，又OB 1∩AC ＝O ，∴D 1O ⊥平面AB 1C .1． 若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，能使l ∥α的是( ) A ．a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1) C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1) D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)解析：选D 若l ∥α，则a ·n ＝0.而A 中a ·n ＝－2， B 中a ·n ＝1＋5＝6，C 中a ·n ＝－1， 只有D 选项中a ·n ＝－3＋3＝0.2．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( )A.627 B.637 C.607D.657解析：选D 由题意得c ＝t a ＋μ b ＝(2t －μ，－t ＋4μ，3t －2μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧7＝2t －μ，5＝－t ＋4μ，λ＝3t －2μ.∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝337，μ＝177，λ＝657.3.如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ，则下列向量中与BM 相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c 解析：选A BM ＝1BB ＋1B M ＝1AA ＋12(AD －AB )＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .4. 如图所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA ，BC 〉的值为( ) A ．0 B.12 C.32D.22解析：选A 设OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ， 由已知条件〈a ，b 〉＝〈a ，c 〉＝π3，且|b |＝|c |，OA ·BC ＝a ·(c －b )＝a ·c －a ·b＝12|a ||c |－12|a ||b |＝0，∴cos 〈OA ，BC 〉＝0. 5． 平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量AB 、AD 、1AA 两两的夹角均为60°，且|AB |＝1，|AD |＝2，|1AA |＝3，则|1AC |等于( )A ．5B ．6C ．4D ．8解析：选A 设AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ，则1AC ＝a ＋b ＋c ， 1AC 2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·c ＋2b ·c ＋2c ·a ＝25， 因此|1AC |＝5.6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ ＝λMN 的实数λ的值有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选C 建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2， 则P (x ，y,2)，O (1,1,0)， ∴OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x ＋12，y ＋12，1，又知D 1(0,0,2)，∴Q (x ＋1，y ＋1,0)， 而Q 在MN 上，∴x Q ＋y Q ＝3， ∴x ＋y ＝1，即点P 坐标满足x ＋y ＝1. ∴有2个符合题意的点P ，即对应有2个λ.7．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是________．①OM ＝2OA －OB －OC ；②OM ＝15OA ＋13OB ＋12OC ；③MA ＋MB ＋MC ＝0；④OM ＋OA ＋OB ＋OC ＝0.解析：∵MA ＋MB ＋MC ＝0，∴MA ＝－MB －MC ，则MA 、MB 、MC 为共面向量，即M 、A 、B 、C 四点共面．答案：③8.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．解析：以D 1A 1、D 1C 1、D 1D 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设CE ＝x ，DF ＝y ，则易知E (x,1,1)，B 1(1,1,0)，∴1B E ＝(x －1,0,1)，又F (0,0,1－y )，B (1,1,1)，∴FB ＝(1,1，y )，由于AB ⊥B 1E ，故若B 1E ⊥平面ABF ，只需PB ―→·1B E ＝(1,1，y )·(x －1,0,1)＝0⇒x ＋y ＝1. 答案：19.如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB的中点，cos 〈DP ，AE 〉＝33，若以DA 、DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为________．解析：设PD ＝a ，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，P (0,0，a )，E ⎝⎛⎭⎫1，1，a 2. ∴DP ＝(0,0，a )，AE ＝⎝⎛⎭⎫－1，1，a 2. 由cos 〈DP ，AE 〉＝33， ∴a 22＝a 2＋a 24·33，∴a ＝2. ∴E 的坐标为(1,1,1)．答案：(1,1,1)10.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明：(1)AE ⊥CD ；(2)PD ⊥平面ABE .证明：AB 、AD 、AP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设P A ＝AB ＝BC ＝1，则P (0,0,1)．(1)∵∠ABC ＝60°，∴△ABC 为正三角形．∴C ⎝⎛⎭⎫12，32，0，E ⎝⎛⎭⎫14，34，12. 设D (0，y,0)，由AC ⊥CD ，得AC ·CD ＝0， 即y ＝233，则D ⎝⎛⎭⎫0，233，0， ∴CD ＝⎝⎛⎭⎫－12，36，0.又AE ＝⎝⎛⎭⎫14，34，12， ∴AE ·CD ＝－12×14＋36×34＝0， ∴AE ⊥CD ，即AE ⊥CD .(2)法一：∵P (0,0,1)，∴PD ＝⎝⎛⎭⎫0，233，－1. 又AE ·PD ＝34×233＋12×(－1)＝0， ∴PD ⊥AE ，即PD ⊥AE .∵AB ＝(1,0,0)，∴PD ·AB ＝0.∴PD ⊥AB ，又AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面AEB .法二：AB ＝(1,0,0)，AE ＝⎝⎛⎭⎫14，34，12， 设平面ABE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，14x ＋34y ＋12z ＝0，令y ＝2，则z ＝－3，∴n ＝(0,2，－3)．∵PD ＝⎝⎛⎭⎫0，233，－1，显然PD ＝33n . ∵PD ∥n ，∴PD ⊥平面ABE ，即PD ⊥平面ABE .11．已知矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝62，E 为AD 的中点(图甲)．沿BE 将△ABE 折起，使二面角A －BE －C 为直二面角(图乙)，且F 为AC 的中点．(1)求证：FD∥平面ABE；(2)求证：AC⊥BE.证明：(1)如图1，设M为BC的中点，连接DM、MF.∵F为AC的中点，M为BC的中点，∴MF∥AB.又∵BM綊DE，∴四边形BMDE为平行四边形，∴MD∥BE.∵MF∩MD＝M，AB∩BE＝B，∴平面DFM∥平面ABE.又∵PD⊂平面DFM，FD⊄平面ABE，∴FD∥平面ABE.(2)在矩形ABCD(如图2)中，连接AC，交BE于G.BE·AC＝(BA＋AE)·(AB＋BC)＝－AB2＋AE·BC＝－36＋36＝0.∴AC⊥BE.∴在图3中，AG⊥BE，CG⊥BE.又∵AG∩GC＝G，∴BE⊥平面AGC.又∵AC⊂平面AGC，∴AC⊥BE.12．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PD⊥平面ABCD，AD＝1，AB＝3，BC＝4.(1)求证：BD⊥PC；(2)设点E在棱PC上，PE＝λPC，若DE∥平面P AB，求λ的值．解：(1)证明：如图，在平面ABCD内过点D作直线DF∥AB，交BC于点F，以D为坐标原点，DA、DF、DP所在的直线分别为x、y、z 轴建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (1,0,0)，B (1，3，0)，D (0,0,0)，C (－3，3，0)．(1)设PD ＝a ，则P (0,0，a )，BD ＝(－1，－3，0)，PC ＝(－3，3，－a )，∵BD ·PC ＝3－3＝0，∴BD ⊥PC . (2)由题意知，AB ＝(0，3，0)，DP ＝(0,0，a )，PA ＝(1,0，－a )，PC ＝(－3，3，－a )，∵PE ＝λPC ，∴PE ＝(－3λ，3λ，－aλ)，DE ＝DP ＋PE ＝(0,0，a )＋(－3λ，3λ，－aλ)＝(－3λ，3λ，a －aλ)．设n ＝(x ，y ，z )为平面P AB 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ AB ·n ＝0，PA ·n ＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧3y ＝0，x －az ＝0.令z ＝1，得x ＝a ，∴n ＝(a,0,1)，∵DE ∥平面P AB ，∴DE ·n ＝0，∴－3aλ＋a －aλ＝0，即a (1－4λ)＝0，∵a ≠0，∴λ＝14.1．已知AB ＝(1,5，－2)，BC ＝(3,1，z )，若AB ⊥BC ，BP ＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为( )A.337，－157，4 B.407，－157，4 C.407，－2,4 D ．4，407，－15 解析：选B ∵AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0， 即3＋5－2z ＝0，得z ＝4.又BP ⊥平面ABC ，∴BP ⊥AB ，BP ⊥BC ，BC ＝(3,1,4)，则⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)＋5y ＋6＝0，3(x －1)＋y －12＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝407，y ＝－157.2．设空间四点O ，A ，B ，P 满足OP ＝OA ＋t AB ，其中0<t <1，则有( )A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的延长线上C ．点P 在线段BA 的延长线上D ．点P 不一定在直线AB 上解析：选A ∵0<t <1，∴P 点在线段AB 上．3．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别是BB 1、DD 1的中点．求证：(1)FC 1∥平面ADE ；(2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .证明：(1)如图所示，建立空间直角坐标系D －xyz ，则有D (0,0,0)、A (2,0,0)、C (0,2,0)、C 1(0,2,2)、E (2,2,1)、F (0,0,1)，所以1FC ＝(0,2,1)，DA ＝(2,0,0)，AE ＝(0,2,1)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的一个法向量，则n 1⊥DA ，n 1⊥AE ， 即⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·DA ＝2x 1＝0，n 1·AE ＝2y 1＋z 1＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1. 令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2)．因为1FC ·n 1＝－2＋2＝0，所以1FC ⊥n 1.又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE .(2)由(1)得B 1(2,2,2)，11C B ＝(2,0,0)．设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量，则n 2⊥1FC ，n 2⊥11C B ， 即⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·1FC ＝2y 2＋z 2＝0，n 2·11C B ＝2x 2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2，则y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)．因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .1.已知在一个60°的二面角的棱上，如图有两个点A ，B ，AC ，BD 分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB 的线段，且AB＝4 cm ，AC ＝6 cm ，BD ＝8 cm ，则CD 的长为________．解析：设BD ＝a ，AB ＝b ，AC ＝c ，由已知条件|a |＝8，|b |＝4，|c |＝6，〈a ，b 〉＝90°，〈b ，c 〉＝90°，〈a ，c 〉＝60°，|CD |2＝|CA ＋AB ＋BD |2＝|－c ＋b ＋a |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ＝68，则|CD |＝217. 答案：217 cm2.如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CD ＝∠C 1CB ＝∠BCD ＝60°.(1)求证：C 1C ⊥BD ；(2)当CD CC 1的值是多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明． 解：(1)证明：设CD ＝a ，CB ＝b ，1CC ＝c ，由已知|a |＝|b |，且〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，BD ＝CD －CB ＝a －b ，1CC ·BD ＝c ·(a －b )＝c ·a －c ·b ＝12|c ||a |－12|c ||b |＝0，∴1C C ⊥BD ，即C 1C ⊥BD . (2)若A 1C ⊥平面C 1BD ，则A 1C ⊥C 1D ，1CA ＝a ＋b ＋c ，1C D ＝a －c .∴1CA ·1C D ＝0，即(a ＋b ＋c )·(a －c )＝0. 整理得：3a 2－|a ||c |－2c 2＝0，(3|a |＋2|c |)(|a |－|c |)＝0，∴|a |－|c |＝0，即|a |＝|c |. 即当CD CC 1＝|a ||c |＝1时，A 1C ⊥平面C 1BD . 3.如图所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E 、F 、G 分别是线段P A 、PD 、CD 的中点．求证：PB ∥平面EFG .证明：∵平面P AD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形，∴AB 、AP 、AD 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)、B (2,0,0)、C (2,2,0)、D (0,2,0)、P (0,0,2)、E (0,0,1)、F (0,1,1)、G (1,2,0)．∴PB ＝(2,0，－2)，FE ＝(0，－1,0)，FG ＝(1,1，－1)，设PB ＝s FE ＋t FG ，即(2,0，－2)＝s (0，－1,0)＋t (1,1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ t ＝2，t －s ＝0，－t ＝－2，解得s ＝t ＝2.∴PB ＝2FE ＋2FG ，又∵FE 与FG 不共线，∴PB 、FE 与FG 共面．∵PB ⊄平面EFG ，∴PB ∥平面EFG .。
用空间向量研究直线 平面位置关系——空间直线 平面的平行 高中数学新教材人教A版
P z
△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，
E
PD，CD的中点．求证：平面EFG∥平面PBC．
A
证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，
△PAD是直角三角形，且PA＝AD，所以AB，AP，AD两
两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别
为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
F，使得AE//CF?
解析：不存在. 在四面体ABCD中，设=a，=b， =c ，则 { a ,b , c}
构成一个基底，因为E是 BC的中点，所以 = +
设=mc(0≤m≤1)，则 = − = − ,
若 ∥ ，则设 = ，
如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，
△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，
F
E
PD，CD的中点．求证：平面EFG∥平面PBC．
A
D y
设n=(x1，y1，z1)是平面GEF的法向量，则1 ⊥ , 1 ⊥ ,
−1 = 0
即
，得
，
+
−
则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，
E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1,2,0)．
=(1,1,−1)，=(0,2,0)，
所以 = (2,0, −2)，=(0,−1,0)
F
D y
G
xB
C
例题精讲(面面平行)——例4
P z
1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系1
1.空间中点、直线和平面的向量表示
学习新知
l
给定一点A和一个向量 a,那么 过点A,以向量 a 为法向量的平面是
完全确定的.
a
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
A
2.一个平面的所有法向量都
互相平行;
3.向量a 是平面的法向量，向
讲 课
量m是与平面平行或在平面
讲 (4)解方程组，取其中的一 个解，即得法向量。
课
人
：
邢
启 强
3
例题讲评
例2：已知AB (2, 2,1), AC (4,5,3),求平面ABC的
单位法向量。
解：设平面的法向量为n （x，y，z），
则n AB，n AC （x，y，z）(2, 2,1) 0，（x，y，z）(4,5,3) 0,
即24xx
2y 5y
z0 3z 0
,
取z
1，得
x
1 2
y 1
n (1 , 1,1), | n | 3
2
2
讲 课
求平面ABC的单位法向量为 (1，- 2，2）
人 ： 邢
3 33
启 强
4
例题讲评
例1 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4,BC=3,CC1=2,M 是AB的中点.以D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y 轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求平面BCC1B1的法向量；(2)求平面MCA1的法向量.
讲
课
人
：
邢
启 强
5
巩固练习
3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中， 求证 DB1 是平面ACD1的一个法向量.
2021版新高考数学一轮复习第八章8.6利用空间向量证明空间中的位置关系课件新人教B版
22
4.因为α∥β,所以v∥u,所以
x 1
1 y
2， 1
x 4,
所以
y
1， 4
所以x+y= 15.
4
2
答案: 15
4
【规律方法】 1.证明线面平行的常用方法:(1)证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的 向量共面.(2)证明直线的方向向量与平面内的一个向量平行.(3)证明直线的方 向向量与平面的法向量垂直. 2.证明面面平行常用的方法:(1)利用上述方法证明平面内的两个不共线向量都 平行于另一个平面.(2)证明两个平面的法向量平行.(3)证明一个平面的法向量 也是另一个平面的法向量.
【解析】(1)如图所示,以O为坐标原点,以射线OP为z轴的正半轴建立空间直角 坐标系.则O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0), C(-4,2,0),P(0,0,4).于是 AP =(0,3,4), BC =(-8,0,0),所以 AP ·BC =(0,3,4)· (-8,0,0)=0, 所以 AP ⊥ BC ,即AP⊥BC.
A1M=AN= 2a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是 ( )
3
A.相交
B.平行
C.垂直
D.不能确定
3.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,AB= 2 ,AF=1,M在EF上,且 AM∥平面BDE,则M点的坐标为 ( )
A.(1,1,1)
B.( 2 ， 2 ，1) 33
C.( 2 ， 2 ，1)? 22
3.选C.建系如图,则A( 2 , 2 ,0),B(0, 2 ,0),D( 2 ,0,0),
E(0,0,1),设M(a,a,1),则 AM =(a- 2 ,a- 2 ,1),可求出平面BDE的一个法向
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
列方程组
赋非零值
下结论
探究交流
①定义法(找线面垂直)
教科书习题1.4第1，2题．
②待定系数法(设/列/赋)
1.如图,在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABC
D，PD=DC=2，E是PC的中点，求平面PAD和平面EDB的法向量.
解 : 正方形ABCD中, CD AD,
PD 面ABCD,CD PD,
,
, 令x 2, 得y 3, z 3.
3 x 2 y 0
m MC 0
列方程组
平面MCA的法向量为
m (2,3,3).
1
下结论
赋非零值
探究交流
(1)同一条直线的方向向量有无穷多个，它们互相平行.(2)同一个平面的法
向量有无穷多个，它们互相平行.
向量的名称
,
”.
(1) 零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量;
(
√
)
×
)
( 3) 在空间直角坐标系中, j (0, 0, 1)是坐标平面Oxy的一个法向量.
( √
)
(2) 若v是直线l的方向向量, 则 v ( R)也是直线l的方向向量;
(
典例分析
2. 在平行六面体ABCD A1 B1C1 D1中, AB a , AD b, AA1 c , O是BD1
y
x
待定系数法
y z 0
m DE 0
,
, 令x 1, 得y 1, z 1. 平面EDB的法向量为m (1,1,1).
2 x 2 y 0
m DB 0
3.4.2用向量方法研究立体几何中的位置关系(课件)高二数学(北师大版2019选择性必修第一册)
四面体ABCD的六条棱长相等, AB、CD
的中点分别是M、N,求证MN⊥AB, MN⊥CD.
A
证1
立体几何法
M
B
D
N
C
MN就是异面直线AB与CD的公垂线，
故异面直线AB与CD的距离就是MN.
例4 四面体ABCD的六条棱长相等, AB、CD
的中点分别是M、N,求证MN⊥AB, MN⊥CD.
证2
A
向量法
2
2
所以 PA 2 EG，即 PA // EG
而EG 平面EDB,
E
C
D
且PA 平面EDB
A
所以，PA// 平面EDB
X
G
B
Y
解3：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1
1 1
(1)证明：依题意得A(1, 0, 0), P (0, 0,1), E (0, , ), B(1,1，0)
ＭＮ＝MA AD DN
1
1
AB AD DC
2
2
B
1
1
AB AD ( AC AD)
2
2
1
1
1
AB AC AD
2
2
2
A
B
α
图2
垂直又可以得到
线线垂直。
16
三垂线定理：
三垂线定理
在平面内的一条直线，如果
和这个平面的一条斜线的射影垂
直，那么它也和这条斜线垂直
P
m
α
①
②
B
A
③
线线垂直
线线垂直
线面垂直
线面垂直
性质定理
用空间向量研究直线、平面的的位置关系
n1 n2
n1 n2 =0
a1a2 +b1b2 +c1c2 0
其中，u x, y, z , ui xi , yi , zi , i 1, 2 分别是直线 l , li i 1, 2 的方向向量；
n1 a1 , b1 , c1 , n2 a2 , b2 , c2 分别是平面 , 的法向量.
A1求证：直线A
AB A1 AD 1C⊥平面BDD
BAD 60 1B1.
证明：因为AB= AD =AA1=1,
A1 AB A1 AD BAD 60 ,
所以 a 2 b 2 c 2 1,
.
D1
1
a b bc c a .
2
C1
A1
B1
D
A
C
求证：直线A1C⊥平面BDD1B1.
分析： 直线A1C⊥平面BDD1B1
A1C⊥BD
A1C⊥BB1
A1C BD 0
A1C BB1 0
A1C / /n
其中，n是平面
BDD1B1的法向量
A
D1
C1
A1
B1
D
C
B
例题 如图, 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中, AB=
AD=AA1=1, A1 AB A1 AD BAD 60 .
n1 n2
n2
n1
新知
问题4：由平面与平面的垂直关系, 可以得到这两个
平面的法向量间有什么关系呢？
设 n1 , n2 是平面 , 的法向量,
n1 n2 n1 n2 =0
n2
用空间向量研究直线、平面的位置关系-高二数学同步精讲课件(人教A版2019选择性必修第一册)
线面平行
n2
n1
// n1 // n2
R, 使得 n1 n2
面面平行
练
习
l1
l2
u1
u2
u1 -1，
2，
3
u2 2，4
- ，k
若l1 // l2 ，
-6
则k ___
u
l
n
n2
n1
u -1，
2，
- 2
n1 -1，
D
A
C1
C
B
PART 2空间向量与垂直关系
l1
l2
l
u1
u2
l1 l2 u1 u2
u1 u2 0
u
n
l u // n
R, 使 u n
n2
n1
n1 n2
n1 n2 0
基础测试
(1)若两条不重合直线l1和l2的方向向量为v1=(1,0,-1)，v2=(-2,0,2)，
求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C
B1
A1
E
B
A
C1
C
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为DD1和
BB1的中点.求证：四边形AEC1F是平行四边形。
D1
A1
C1
B1
E
D
A
F
C
B
探索点二 利用空间向量证明线面平行
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N分别为CC1和
B1C1的中点.求证：MN//平面A1BD
D1
1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系2
讲
课
人
：
邢
启 强
8
巩固练习
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别 是面AB1,面A1C1的中心，求证：EF//平面ACD1.
讲
课
人
：
邢
启 强
9
巩固练习
用向量方法证明“直线与平面平行的判定定理”：若 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直 线与此平面平行.
解：已知直线l,m和平面α,其中l , m ,且l//m,求证： l//α.
讲
课
人
：
邢
启 强
6
例题讲评
例3如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4,ห้องสมุดไป่ตู้C=3, CC1=2.线段B1C上是否存在点P,使得A1P//平面ACD1?
讲
课
人
：
邢
启 强
7
例题讲评
例2如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4,BC=3, CC1=2.线段B1C上是否存在点P,使得A1P//平面ACD1?
设直线l,m的方向向量分别为a,b,平面α的法向量为u.
因为l//m,所以a kb, k R.
又因为u是平面α的法向量, m ,所以 u b,
所以u·b=0,u·a=u·kb=0.所以l //α.
讲
课
人
：
邢
启 强
10
巩固练习
如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，直线AD 上是否存在点F,使得AE//CF?
1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系
2.空间中直线与平面的平行
lm
a
b
l // m a // b a b
1.4.1+用空间向量研究直线、平面的位置关系-(人教A版2019选择性必修第一册)
新知探究
思考：我们已经利用空间向量解决了一些有关空间位置关系和度量
的问题．那么能否运用空间向量研究立体几何中有关直线、平面的
位置关系和度量问题？
平面向量
空间向量
对应关系
对应关系
立体几何
点
直线
平面
新知探究
问题1：如何用向量表示空间中的一个点？
平面
空间
我们取一定点作为基点，那么
z
空间中任意一点的位置就可以
新知探究
问题3：如何用向量表示空间中的平面？
两条相交直线可以确定一个平面，
那用向量表示平面需要？
一个定点和两个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用
向量表示这个平面？
OP=xa+yb
P
α
新知探究
问题3：如何用向量表示空间中的平面？
OP=xa+yb
P
α
点与向量，不仅可以确定平面，还可以表示出内的任意一点，
1
2
所以Ԧ 2 = 2 = Ԧ2 = 1，Ԧ ∙ = ∙ Ԧ = Ԧ ∙ Ԧ = .
在平面BDD1 B1 上，取BD，BB1 为基向量，则对于平面BDD1 B1 上任意一点P，
存在唯一的有序实数对(x，y)，使得BP = λBD + μBB1 .
所以，A1 C ∙ BP = λA1 C ∙ BD + μBP ∙ BB1
否存在点P，使得A1 P//平面ACD1 ？
解：以D为原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.因为A，C，D1 的坐标分别为
(3，0，0)，(0，4，0)，(0，0，2)，
所以AC = (−3，4，0)，AD1 = (−3，0，2).
高考数学复习：利用空间向量证明空间中的位置关系
为
.若存在,求出AE的长;若不存在,请说明理由.
6
【解析】(1)四边形ADD1A1为正方形,连接AD1,A1D∩AD1
=F,则F是AD1的中点,又因为点E为AB的中点,连接EF,则
EF为△ABD1的中位线,所以EF∥BD1.
又因为BD1⊄平面A1DE,EF⊂平面A1DE,
所以BD1∥平面A1DE.
MN∥平面BB1C1C.
2.以下四组向量是平面α,β 的法向量,则能判断
α,β平行的是
(
)
①a=(1,2,1),b=(1,-2,3);
②a=(8,4,-6),b=(4,2,-3);
③a=(0,1,-1),b=(0,-3,3);
④a=(-3,2,0),b=(4,-3,3).
A.①②
B.②③
C.②④
D.①③
2 ,
a
3
2 1
2 2
所以M（a， a， a），N（ a， a，a）．
3 3
3 3
a 2
0， a）．
所以 MN＝（－ ，
3 3
又C1(0,0,0),D1(0,a,0),所以 C1D1 =(0,a,0).
所以 MN·C1D1 =0.所以 MN⊥C1D1 .
因为C1D1是平面BB1C1C的法向量,且MN⊄平面BB1C1C,所以
【解析】选B.因为在②中a=2b,所以a∥b,所以α∥β,
③-3a=b,所以α∥β,而①④a不平行于b,所以α不平
行于β,所以只有②③能判断α,β平行.
3.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BA⊥CA, A1A=BA=CA,点M,N
分别是AC,AB的中点,过点C作平面α,使得α∥A1M,
α∥B1N,若α∩B1C1=P,则 C1P 的值为