24.1.3 弧、弦、圆心角-公开课-优质课(人教版教学设计精品)

24.1圆的有关性质(第3课时)

一、内容和内容解析

1．内容

弧、弦、圆心角之间的关系．

2．内容解析

弧、弦、圆心角之间的关系，是继垂径定理后圆的又一个重要性质，它是圆中论证同圆或等圆中弧相等、角相等、线段相等的主要依据，也是后继研究圆周角以及圆的其他知识的重要基础，是转化思想的具体体现．在同圆或等圆中，如果两条弧、两条弧所对的弦、两条弧所对的圆心角中有一组量相等，那么其他各组量也相等．弧、弦、圆心角之间的关系，是圆的旋转不变性的具体表现，因此在研究方法上依然采用的是利用图形变化的方法，再次体现了图形变化在发现问题、解决问题时的作用．

基于以上分析，确定本节课的教学重点是：弧、弦、圆心角的关系的探索与应用．

二、目标及其解析

1．目标

(1)了解圆心角的概念．掌握在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等，以及它们在解题中的应用．

(2)在探索弧、弦、圆心角的关系的过程中体会圆的旋转不变性，在应用弧、弦、圆心角的关系的过程中体会转化思想．

2．目标解析

达成目标(1)的标志是：学生能识别圆心角，能理解弧、弦、圆心角的关系反映了两条弧，两条弦、两个圆心角三组量中只要其中一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也都相等，并能利用这一关系进行有关的证明．

达成目标(2)的标志是：学生能从旋转的角度发现问题，并能从旋转的角度对结论进行论证；学生能将证明弦相等、弧相等、圆心角相等的问题进行转化．

三、教学问题诊断分析

由于学生对圆的旋转不变性不甚了解，所以在探讨圆心角、弧、弦之间的相等关系时可能感到困难，另外对等弧等的理解可能不透彻；初始阶段在证明角相等，线段相等等有关问题时受思维定势的影响，学生往往会走利用“三角形全等”的老路．

本课的教学难点是：探索定理和推导及其应用．

四、教学过程设计

引言

上节课，我们研究发现圆是轴对称图形，并且利用圆的轴对称性探索出了垂径定理，这节课继续探索圆的性质．

1．探索弧、弦、圆心角之间的关系

问题1圆是中心对称图形吗？将圆旋转任意角度后会出现什么情况？

师生活动：学生观察课件得到“圆是中心对称图形，对称中心是圆心，而且圆绕圆心旋转任意角度都能够与原来的图形重合”的性质．

设计意图：通过学生亲自动手操作发现圆的旋转不变性，为后续探究打下基础．

问题2观察图1中∠1，∠2，∠3，它们有何共同特点？

图1

师生活动：学生观察，归纳出∠1，∠2，∠3的共同特征：顶点是圆心．教师给出圆心角定义：像∠1，∠2，∠3这样，顶点在圆心的角叫做圆心角．

设计意图：通过从具体实例中归纳出圆心角的特征，帮助学生准备理解圆心的概念．问题2如图2，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A'OB'的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？

师生活动：教师出示问题，教师组织学生观察、思考、讨论、交

流．当学生无法证明AB＝A'B'时，教师追问：

追问1：目前，我们已知的证明弧相等的方法有哪些？

图2 追问2：为什么将∠AOB绕圆心O旋转到∠A'OB' 的位置时，

AB与A'B'会重合？

追问3：由问题2，我们可以得出怎样的结论？请用文字语言进行概括．

追问4：在等圆中是否也能得出类似的结论呢？

设计意图：通过探索，使学生体会从旋转的角度可以发现问题，也可以进行结论的论证．问题3在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角有何关系？所对的弦呢？在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角有何关系？所对的弧呢？

师生活动：教师启发学生对照图2，类比问题2的探索方法，判断上述判断的正确性．追问：综合以上3个发现，你能说说在同圆和等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系吗？

设计意图：感受类比思想，类比中全面地理解圆心角、弧、弦之间的关系，并进一步体会从旋转角度进行论证的方法．

2．应用弧，弦，圆心角之间的关系

练习1：教科书第85页练习第1题．

设计意图：通过此练习帮助学生进一步明确圆心角、弧、弦之间的关系的条件与结论，并使学生学会如何用符号语言表达圆心角、弧、弦之间的关系．

例如图3，在⊙O中，AB＝AC，∠ACB＝60°．

求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC．

师生活动：教师组织学生思考、讨论、交流，师生共同书写证

明过程．如果学生有困难，教师可进行启发：“从圆的角度看，要

图3

求证相等的三个角属于什么角？通过本堂课的学习，圆心角相等可

通过什么条件得到？”

追问：通过本题，你能否谈谈学习了圆心角、弧、弦之间的关系定理之后，我们可以在圆中怎样证明两个圆心角相等？怎样证明两条弧相等？两条弦相等呢？

设计意图：通过例题让学生初步学会运用圆心角、弧、弦之间的关系定理进行有关的证明，建立圆心角、弧、弦之间相等关系的相互转化意识，渗透转化思想．通过追问让学生注意反思圆心角、弧、弦之间的关系定理的作用，总结圆中证明角等、弧等、线段等的方法，积累解决数学问题的经验．

练习2：教科书第85页练习第2题．

设计意图：帮助学生进一步掌握运用圆心角、弧、弦之间的关系定理证明角相等、弧相等、线段相等的方法．

3．小结

教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：

(1)什么样的角叫圆心角？

(2)在同圆与等圆中，圆心角、弧、弦之间有何关系？能否将定理中的“在同圆与等圆中”的条件去掉？

(3)通过本节课的学习，你能总结一下在圆中，证明两个圆心角、两条弧、两条弦相等的方法吗？

(4)圆具有怎样的对称性？这些对称性有何作用？

设计意图：通过小结，帮助学生梳理本节课的知识、方法、数学思想，同时对定理的条件进一步加深理解，并对圆的对称性进行系统认识，不断丰富、更新学生的认知体系．4．布置作业

教科书习题24.1第1，2题．

五、目标检测设计

1．下列语句正确的是( )．

A．如果两条弦相等，这两条弦所对的弧相等

B．等弧所对的弦相等

C．长度相等的弧所对的圆心角相等

D．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴

设计意图：考查学生对于弦、弧、圆心角关系定理条件的正确理解．

2．如图4，在⊙O中，AB＝AC，∠A＝110°，求∠B的度数．

图4

设计意图：考查学生是否能运用定理进行弦、弧、圆心角之间相等关系的相互转化．3．如图5，在⊙O中，AB＝CD．求证：AD＝BC．

图5

设计意图:考查学生能否运用定理进行弦、弧、圆心角之间相等关系的相互转化，进行有关的证明．