选修4-4数学直线的参数方程

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x＝tsin 20° ＋3， 1．直线 y＝－tcos 20°
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[答案]
x＝x ＋tcosα 0 (1) y＝y0＋tsinα
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(t 为参数)
(2)[0，π)
(3)
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参数 t 的绝对值表示参数 t 所对应的动点 M 到定点 M0 的距离 取正数 取负值 为零
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再把此式代入圆的方程，整理
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得到一个关于 t 的一元二次方程， 弦长即为方程两根之 差的绝对值．
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x＝1＋2t， 【解析】将参数方程 y＝2＋t
(t 为参数)转化

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π (2)一直线过 P0(3,4)，倾斜角 α＝ ，求此直线 4 与直线 3x＋2y＝6 的交点 M 与 P0 之间的距离．
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(3)直线的参数方程中参数 t 的几何意义是：_____ → _____. 当 M0M 与 e( 直 线 的 单 位 方 向 向 量 ) 同 向 时 ，
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→ t__________；当M0M与 e 反向时，t__________；当点 M 与点 M0 重合时，t__________.
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x＝1＋ 2 t′， 5 为直线参数方程的标准形式为 y＝2＋ 1 t′ 5
为参数)，并代入圆的方程，得1＋
2
(t′
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2 1 2 t′ ＋2＋ t′ 5 5
＝9，整理，得 5t′2＋8t′－4 5＝0.
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x－4 [解析] ①把 t＝ 代入 y 的表达式，得 y＝5 4 3x－4 － ，化简得 3x＋4y－32＝0，这就是直线的直 4 角坐标方程． ②把方程变形为 x＝4＋ 32＋42· 24 2t＝4＋45t， 5 3 ＋4 y＝5－ 32＋42· 4 t＝5－35t， 5 32＋42
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[答案]
C
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x＝－2－ 3．直线 y＝3＋ 2t
2t
(t 为参数)上与点 P(－2,3) ) B．(－3,4) D．(－4,5)或(0,1)
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的距离等于 2的点的坐标是( A．(－4,5) C．(－3,4)或(－1,2)
为参数)，则该直线被圆 x2＋y2＝9 截得的弦长是多 少？
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【分析】本题考虑使用参数方程标准形式中参数 t 的几何意义来做， 所以首先要把原参数方程转化为标准 x＝1＋ 2 t′， 5 形式 y＝2＋ 1 t′， 5
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意P点是否在直线上，乱套几何意义．
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变式训练
x＝4＋4t， (1)设直线的参数方程为 y＝5－3t，
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①求直线的直角坐标方程； ②化为参数方程的标准形式．
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[解析] 间距离 d＝

l1 的普通方程为 3x－y－2＝0，∴l1，l2 4＋2 3 ＝ 10. 32＋12 5

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3 [答案] 10 5
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故选 C.
[答案] C
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4． 若直线
x＝s， y＝1－2s，
x＝1－2t， l1： y＝2＋kt
(t 为参数)与直线 l2：
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(s 为参数)垂直，则 k＝__________.
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2
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【评析】本题主要使用参数方程中两点的距离公 式，易错的地方是：将题目所给参数方程直接代入圆
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0
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11 2 ∴ MP ＝ t ＝ . 5
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题型二 【例
直线的参数方程的应用 (t
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x＝1＋2t， 2】已知直线的参数方程为 y＝2＋t
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而点 B(8,6)不在直线上， 所以不能使用参数 t 的几 何意义，可以根据两点之间的距离公式求出距离为 1－82＋3－62＝ 58.
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【评析】本题主要考查直线参数方程的转化和 参数的几何意义，常见错误是转化参数方程时不注
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[解析] 直线 l1 的普通方程为 kx＋2y－4－k＝ 0，直线 l2 的普通方程为 2x＋y－1＝0.
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k 由 l1⊥l2 得－ · (－2)＝－1， 2 ∴k＝－1.
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4 x＝4－5u， 令 u＝－5t，则方程变为 y＝5＋3u， 5 4 3 记 cos α＝－ ，sin α＝ ，点 M0(4,5)，这是过 M0 5 5 点，倾角为 α 的直线的参数方程，u 为参数，它是直线 参数方程的标准形式.u 表示直线上的点 M(x，y)到定点 M0 的距离，点 M(x，y)与参数 u 对应．
(t 为参数)的倾斜角是
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(
) A．20° C．110°
B．70° D．160°
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[解析]
x＝t′cos110° ＋3 直 线的 参数 方程可 化为 y＝t′sin110° ，
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——课标学习目标——
能选择适当的参数写出直线的参数方程．
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——基础梳理——
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设方程的两根分别为 t′1、t′2，则有 8 t′1＋t′2＝－ ，t′1· 2＝－4. t′ 5
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所 以 t′1－t′ ＝ t′1＋t′ 22－4t′1t′2 ＝ 64 12 5 ＋16＝ ， 5 5 12 5 即直线被圆截得的弦长为 . 5
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[解析]
d＝ －2－ 2t－22＋3＋ 2t－32＝ 2，
2 ∴t＝± . 2 2 当 t＝ 时，对应点为(－3,4)， 2 2 当 t＝－ 时，对应点为(－1,2)． 2
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x＝3＋ 2t， 2 [解析] 设直线的参数方程为 2 y＝4＋ 2 t， 将它代入已知直线 3x＋2y－6＝0 得
33＋

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11 2 2 2 t ＋24＋ t ＝6，解得 t＝－ 5 . 2 2
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(t′为参数)，它是直线的参数方程的标准形式，因此，直线 的倾斜角为 110° .
[答案] C
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x＝1＋t， 2．直线 y＝2－t
(t 为参数)的倾斜角为(
)
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——题型探究——
题型一 直线的参数方程及参数的几何意义
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【例1】写出直线2x－y＋1＝0的参数方程的标
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π A. 4 3 C. π 4
π B．－ 4 3 D．－ π 4
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[解析] 消去参数 t 得 x＋y＝3， ∴直线斜率 3 k＝－1，∴倾斜角 α＝ π. 4
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[答案] －1
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5．设直线
x＝1＋t， l1 的参数方程为 y＝1＋3t
(t 为参
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数)，直线 l2 的方程为 y＝3x＋4，则 l1 与 l2 间的距离 为__________．
2 5 5 则 tanα＝2，sinα＝ ，cosα＝ ， 5 5 x＝1＋ 5t， 5 所以直线的参数方程是 y＝3＋2 5t. 5
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(t 为参数)
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5 经验证易知点 A(3,7)恰好在直线上， 所以有 1＋ 5 t＝3，即 t＝2 5，即点 M 到点 A 的距离是 2 5.
准形式，并求直线上的点M(1,3)到点A(3,7)、B(8,6) 的距离． 【分析】由参数方程及有关定义直接求解．
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【解析】根据直线的普通方程可知斜率是 2， 设直线的倾斜角为 α，
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π αα≠ 的直线 2
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(1)经过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 参数方程为__________．
l的
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(2)由 α 为直线的倾斜角知 α∈__________，所以
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sinα≥0，当 α∈(0，π)时，sinα＞0.
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