面面平行的判定定理
线面、面面平行和垂直的八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理一、线面平行。
1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。
符合表示：βββ////ababa⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号表示：babaaa////⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊂⊄βαβαα二、面面平行。
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
符号表示：βα//////⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫==NnmMbaambn2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。
符号表示：dldl////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα（更加实用的性质：一个平面内的任一直线平行另一平面）三、线面垂直。
1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
符号表示： α⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥a M c b b a c a ＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号表示：PA a A oA a po oA a ⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊥⊥⊂⊂ααα2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。
（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。
）四、面面垂直。
1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。
βααβ⊥⇒⊂⊥a a ,2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥a b a a b ,,，。
线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的性质定理-武威第三中学-邵志光
推论:三个两两垂直的平面的交线两两垂直。
定理4:如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。（判定定理推论1的逆定理）
推论:如果两个平面互相垂直，那么分别垂直于这两个平面的两条垂线也互相垂直。（判定定理推论2的逆定理）
线面平行判定及其性质
1、直线与平面平行的判定定理：
定理1：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
定理2：平面外一条直线与此平面的垂线垂直，则这条直线与此平面平行。
2、判断直线与平面平行的方法:
（1）利用定义：证明直线与平面无公共点；
（2）利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行；
（3）利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面。
注：线面平行通常采用构造平行四边形来求证。
3、直线与平面平行的性质定理：
定理1：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
定理2:一条直线与一个平面平行，则该直线垂直于此平面的垂线。
线面垂直判定及其性质
（3）利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面。
注：线面平行通常采用构造平行四边形来求证。
3、直线与平面平行的性质定理：
定理1：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
定理2:一条直线与一个平面平行，则该直线垂直于此平面的垂线。
线面垂直判定及其性质
定理3：如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面平行。
2、面面平行的性质定理:
定理1:两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面。
如何证面面平行的判定定理
如何证面面平行的判定定理如何证面面平行的判定定理一、引言在几何学中，平行线是一个非常重要的概念。
平行线可以用来描述两条直线之间的关系，也可以用来描述一个角度和一条直线之间的关系。
而面面平行则是指两个平面之间没有交点，且它们的法向量相同。
在本文中，我们将介绍如何证明面面平行的判定定理。
二、定义1. 平面：在三维空间中，由无数个点组成的二维图形称为平面。
2. 法向量：与一个平面垂直的向量称为该平面的法向量。
3. 面面平行：当两个平面没有交点且它们的法向量相同时，这两个平面被称为“面面平行”。
三、定理如果两个平面有公共点，则这两个平面不可能同时与第三个不与这两个相交的平面相交；反之亦然。
四、证明假设有三个不共线的点A、B、C，并且有两个不同的平面P和Q，其中P包含点A和B，Q包含点B和C。
如果P和Q有公共点D，则D 一定在AB上，并且D也在BC上。
因此，D是AB和BC共同拥有的一个点。
现在我们假设有一个第三个平面R，它不与P和Q相交，并且R包含点D。
因为P和Q都包含点B，所以它们的法向量必须相同。
又因为R包含点D，所以它的法向量与P和Q的法向量垂直。
因此，我们可以得出结论：如果两个平面有公共点，则这两个平面不可能同时与第三个不与这两个相交的平面相交；反之亦然。
五、应用1. 在建筑设计中，面面平行的概念可以用来描述墙壁、地板等结构的关系。
2. 在计算机图形学中，面面平行的概念可以用来进行三维建模和渲染。
3. 在物理学中，面面平行的概念可以用来描述电场、磁场等物理现象。
六、总结本文介绍了如何证明面面平行的判定定理。
该定理指出：如果两个平面有公共点，则这两个平面不可能同时与第三个不与这两个相交的平面相交；反之亦然。
该定理在建筑设计、计算机图形学和物理学等领域都有广泛应用。
面面平行定理和判定定理
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感谢支持！(Thank you fordownloading and checking it out!)面面平行定理和判定定理一、面面平行定理面面平行定理的定义：面面平行定理是立体几何中的一个重要定理，它描述了空间中两个平面之间的平行关系。
具体来说，面面平行定理是指，如果一个平面同时与两个平行平面相交，那么它与这两个平行平面的交线也是平行的。
面面平行定理的表述：面面平行定理可以表述为：在空间中，如果平面α与平面β平行，并且平面α与平面γ相交于一条直线l，那么平面β与平面γ也平行，且它们的交线m也与直线l平行。
面面平行定理的证明方法：面面平行定理的证明通常采用反证法。
首先假设平面β与平面γ不平行，那么它们必须相交于一条直线n。
根据平面与直线的位置关系，直线l与直线n 都在平面α内，因此直线l与直线n平行。
但是这与假设直线l与直线n不平行相矛盾。
因此，假设不成立，平面β与平面γ必须平行。
同理，可以证明平面β与平面γ的交线m也与直线l平行。
这样，面面平行定理得证。
二、判定定理面面平行定理和判定定理是空间几何中的重要理论，其中判定定理包括线线平行定理、线面平行定理和面面平行定理。
这些定理在空间几何图形的判定和空间几何问题的求解中具有广泛的应用。
判定定理的种类线线平行定理是指，如果两条直线在同一平面内，且它们的交线与第三条直线平行，则这两条直线平行。
线面平行定理是指，如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线上的所有点都与这个平面平行。
面面平行定理是指，如果两个平面上的对应线段平行，则这两个平面平行。
证明面面平行的判定定理
证明面面平行的判定定理
面面平行是立体几何学中一个非常重要的概念。
在三维空间中，
如果两个平面是平行的，那么它们永远不会相交。
而面面平行的判定
定理可以帮助我们准确地判断两个平面是否平行。
本文将详细介绍面
面平行的判定定理，包括定义、性质和应用。
一、定义
在三维空间中，两个平面是平行的，当且仅当它们的法线向量平行。
因此，要判断两个平面是否平行，我们只需要比较它们的法线向
量是否平行即可。
二、性质
1. 如果两个平面是平行的，那么它们永远不会相交。
2. 两个平面的法线向量分别为n和m，如果n和m平行，那么这
两个平面是平行的。
3. 如果两个平面是平行的，那么它们的法线向量长度相等。
三、应用
在求解立体几何学问题时，面面平行的判定定理是非常有用的。
比如，在计算两个平面之间的距离时，我们可以先判断它们是否平行，再利用向量的知识求解距离。
又比如，在求解两个平面的夹角时，我
们也可以利用这个定理来进行计算。
另外，在工程和建筑设计中，面面平行的判定定理也有着广泛的应用。
比如，在设计房屋或者建筑物时，我们需要保证墙壁之间是平行的，才能保证建筑物的稳定性和美观性。
此外，在工程测量中，面面平行的判定定理也可以用来判断不同建筑物的墙面是否平行，从而帮助我们得出准确的测量结果。
综上所述，面面平行的判定定理是立体几何学中一个非常重要的定理，它可以帮助我们准确地判断两个平面是否平行，并在工程、建筑设计和测量方面有着广泛的应用。
因此，学好面面平行的判定定理对我们的学习和工作都是非常有帮助的。
如何证面面平行的判定定理
如何证面面平行的判定定理一、引言平行是几何学中一个重要的概念，它描述了两条直线或两个平面在空间中永远不会相交的关系。
在解决几何问题时，判定两条直线或两个平面是否平行是非常关键的一步。
本文将介绍如何通过证明来判定两个平面是否平行。
二、定义和定理在开始介绍证明过程之前，我们先来回顾一下与本文相关的定义和定理。
定义：•平行：两条直线或两个平面如果在空间中没有交点，则它们被称为平行。
定理：•面面平行的判定定理：如果一条直线与一个平面垂直相交，则这条直线上的任意一点到该垂线上任意一点所作的垂线都与该平面垂直相交。
三、证明过程下面我们将通过详细的步骤来证明“面面平行的判定定理”。
步骤1：假设有一个平面A和另外一个与A垂直相交的直线L。
步骤2：取L上任意一点P，并以P为圆心作一个小圆C1，使得C1与A相交于一点M。
步骤3：连接M与P，并延长直线MP，使其与平面A相交于一点N。
步骤4：取MP上任意一点Q，并以Q为圆心作一个小圆C2，使得C2与A相交于一点S。
步骤5：连接S与Q，并延长直线SQ，使其与平面A相交于一点R。
步骤6：根据构造的方式可知，MQ是垂直于平面A的直线。
同时，由于S、Q、R三点共线，则SR也是垂直于平面A的直线。
步骤7：根据步骤6可知，对于MP上任意一点Q所作的垂线SQ都与平面A垂直相交。
步骤8：由于P是L上任意一点，因此对L上任意一点P所作的垂线都与平面A垂直相交。
综上所述，我们证明了“如果一条直线与一个平面垂直相交，则这条直线上的任意一点到该垂线上任意一点所作的垂线都与该平面垂直相交”的定理。
四、应用举例例1：已知平面A和B分别由以下方程确定：•平面A: 2x + 3y - z = 4•平面B: x + 2y - 3z = 5求证平面A和平面B是平行的。
证明过程：根据定理，我们只需要找到一条直线与两个平面垂直相交即可判定它们是平行的。
以平面A为例，令x = t, y = 0, z = -4t + 4，其中t为参数。
面面平行的判定和性质定理
面面平行的判定与性质定理
一. 面面平行的判定定理：
面面平行的判定定理的符号表示：
1．正方体中1111D C B A ABCD 中，M ，N ，E ，F 分别是棱11B A ，11D A ，11C B ，11D C 的中点。
求证：平面AMN ∥平面EFDB 。
2. (文)如图，在四棱锥V －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱VA ⊥底面ABCD ，E 、F 、
G 分别为VA 、VB 、BC 的中点． 求证：平面EFG ∥平面VCD .
(理)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是
CC 1上的点，当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面PAO?
例2(文) 例2(理)
二. 面面平行的性质定理：
面面平行的判定定理的符号表示：
三.面面垂直的判定定理：
面面垂直的判定定理的符号表示：
3. 【北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考】（满分13
分）
如图，已知三棱锥A －BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为
AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形．
(1)求证：DM ∥平面APC ；
(2)求证：平面ABC ⊥平面APC ；
17.【广东省华附、省实、广雅、深中2013届高三上学期期末四校联考】 (本题满分14分) 如图，在三棱锥V ABC -中，VC ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，D 是AB 的中点，且AC BC a ==，045=∠VDC 。
（I ）求证：平面VAB ⊥平面VCD ；
（II ）求异面直线VD 和BC 所成角的余弦．。
面平行于面的判定定理
面平行于面的判定定理
面平行于面的判定定理是指，如果两个面的法向量平行，则这两个面是平行的。
具体地讲，如果存在两个面A和B，且它们的法向量分别为nn和nn，如果这两个法向量平行，则说明这两个面是平行的。
也就是说，如果两个面的法向量在方向上一致，那么这两个面就是平行的。
这个定理在计算几何、立体几何以及工程学等领域中都有广泛应用。
比如在建筑物设计中，如果两个墙壁需要平行，就可以利用这个定理来判断它们是否确实平行。
在工程学中，如果需要进行平面切割或者平面拼接，也可以借助这个定理来进行判定。
需要注意的是，如果两个面并不是平行的，它们的法向量也可以平行。
因此，仅仅根据法向量平行来判断面是否平行是不准确的，必须进一步进行判断。
平面与平面平行的性质和判定
两个平面平行的性质定理与结论：（面面平行→线线平行）②如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。
（面面平行→线面平行）面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行⇒面面平行）面面平行的判定方法：①面面平行的定义：两个平面无公共点。
②判定定理：////a b a b a b Pββαα⊂⊂⋂= ⇒ //αβ平面与平面平行的判定练习一、选择题；1．设直线l,m,平面α,β,下列条件能得出α∥β的有 ( )①l ⊂α,m ⊂α,且l ∥β,m ∥β；②l ⊂α,m ⊂α,且l ∥m ；③l ∥α,m ∥β,且l ∥mA 1个B 2个C 3个D 0个2． 已知：命题：P ：α内存在着不共线的三点到平面β的距离均相等；命题：Q ：α∥β，则下面成立的是（ ）A P ⇒Q ，P ⇐QB P ⇐Q ，P ⇒QC P ⇔Q ，D P ⇒Q ， P ⇐Q3．下列命题中，可以判断平面α∥β的是（ ）①α，β分别过两条平行直线；②a ，b 为异面直线，α过a 平行b ，β过b 平行a ；A ①B ②C ①②D 无4．下列命题中为真命题的是（ ）A 平行于同一条直线的两个平面平行B 垂直于同一条直线的两个平面平行C 若—个平面内至少有三个不共线的点到另—个平面的距离相等，则这两个平面平行．D若三条直线a、b、c两两平行，则过直线a的平面中，有且只有—个平面与b，c都平行．5．下列命题中正确的是( )①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③垂直于同一直线的两个平面平行；④与同一直线成等角的两个平面平行A ①②B ②③C ③④D ②③④二、填空题；6．下列命题中正确的是（填序号）；①一个平面内两条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；②如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；③平行于同一直线的两个平面一定相互平行；④如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；7．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系是；8．如右图,点P是光源,将投影片放在平面α内,问投影幕所在平面β与平面α______时,投影图象的形状不发生变化.三、解答题；9.平面α∥平面β，AB，CD是异面直线，M，N分别是AB，CD的中点，且A1∈α，BD∈β，求证：MN∥α.10．已知四面体ABCD中，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，P为AC上一点，且AP：PC=2：1，求证：（1）BD∥面CMN；（2）平面MNP//平面BCD.11．在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求证：平面A1BD∥平面CB1D1；。
平面与平面平行的判定及其性质
//
例：在正方体ABCD A' B'C' D'中，证明：平面AB' D' // 平面
BC' D.
证明：在正方体ABCD A' B'C' D'中
DD' // BB'，DD' BB' 平面BB' D' D是平行四边形
B' D' // BD
BD 平面BC' D B' D' // 平面BC' D 同理可证AD' // 平面BC' D
又 B' D'AD' D'
平面AB' D' // 平面BC' D
D' A'
D A
C' B'
C B
解题思路： 面面平行 在一个平面内找出两条与另一个 平面平行的相交直线 线面平行
线面平行判定定理
线线平行
练习：如图所示，正方体ABCD A' B'C' D'中，点N在
BD上，点M在B'C上，且CM ND，求证：M
N // 面AA' B' B.
D'
C'
A'
D N
A
B' M C
B
面面平行判定：一个平面内有两条相交直线与另一平面 平行，则这两个平面平行。
符号语言：a ,b , a // ,b // , a b P //
三种平行之间的关系：
？ 线线平行
线面平行 面面平行
直线与平面平行的判定及其性质
判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条
两个平面平行的判定定理
1、一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面，则这两平面平行；
2、垂直于同一直线的两平面平行；
3、一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线平行，则这两个平面平行。
两平面平行简介
两平面平行是两平面间的一种位置关系，如果两个平面没有公共点，则称这两
个平面有平行位置关系，简称两平面相互平行，一个平面称为另一个平面的平行平面。
平面与平面平行的性质定理
如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行，由两个平面平行，我们还有：
1、如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面；
2、和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线。
它夹在
这两个平行平面间的部分叫这两个平行平面的公垂线段。
公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离。
注意：①两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
但这两
个平面内的所有直线并不一定相互平行。
它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线。
②两个平面平行的性质定理指出两个平面平行时所具有的性质：如果两个平面
平行同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
③一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。
两平面平行的判定定理
两平面平行的判定定理平面几何是现代数学的分支之一，其中最基础的就是平面的定义和性质，而两平面是否平行就是平面几何中经常使用到的问题之一。
定义：两平面平行的定义是指两个不重合的平面，它们之间没有任何交点。
判定两平面平行的方法有很多，下面我们将介绍几种常见的方法。
方法一：点斜式法点斜式方法是一种基于向量的证明方法，我们需要用向量来描述平面的特性。
1. 假设有两个平面A和B。
2. 确定平面A上的一点P、以及平面B上的一点Q。
3. 确定平面A上的一向量V1，以及平面B上的一个向量V2，使得V1与V2平行。
4. 根据点斜式公式，平面A上的向量可以表示为P+V1t，平面B上的向量可以表示为Q+V2t，其中t为实数。
5. 假设P+V1t和Q+V2t在某个时刻t0时相遇了，那么它们就可以表示为一个点，也就是P+V1t0=Q+V2t0。
6. 将上述等式转化为向量形式，即(P-Q)=V2t0-V1t0，由于V1与V2并行，所以它们的向量差为0，故可得(P-Q)=0，即P=Q。
7. 由此可以看出，如果两个平面上同时存在一个点，且这两个平面上的向量相等，则这两个平面平行。
方法二：法向量法法向量法是判定两平面平行的基本方法之一，它是基于平面垂直于法向量的特性。
1. 假设有两个平面A和B。
2. 分别求出平面A和平面B的法向量n1和n2。
3. 如果n1与n2平行，则A和B平行。
4. 如果平面A上任意一点P，以n1为法向量做垂线，所得的直线与平面B 垂直，那么A和B平行。
5. 如果平面B上任意一点Q，以n2为法向量做垂线，所得的直线与平面A 垂直，那么A和B平行。
方法三：斜率法斜率法是求解两平面是否平行的一种简单易懂的方法，但是在判定斜率是否相等时可能会出现一些误差。
1. 假设有两个平面A和B。
2. 分别选择平面A上的一条直线L1，以及平面B上的一条直线L2。
3. 求出L1和L2的斜率k1和k2。
4. 如果k1与k2相等，则A和B平行。
用向量法证明面面平行的判定定理
用向量法证明面面平行的判定定理
本文将介绍如何用向量法证明面面平行的判定定理。
首先，我们需要明确什么是面面平行。
面面平行指的是两个平面之间各自的法向量方向相同或相反。
接下来，我们可以用向量法来证明这个定理。
假设有两个平面P和Q，它们之间的角度为θ。
我们可以用两个向量a和b来表示这两个平面的法向量。
向量a与P平面垂直，向量b与Q平面垂直。
根据向量点积的定义，两个向量的点积等于它们的模长乘积再乘以它们之间的夹角的余弦值。
即a·b = |a||b|cosθ。
如果P和Q平面面面平行，那么它们的法向量方向相同或相反，即a与b之间的夹角为0度或180度。
当θ=0时，cosθ=1；当θ=180°时，cosθ=-1。
因此，对于面面平行的情况，a·b=±|a||b|。
反之，如果a·b=±|a||b|，则说明它们的夹角为0度或180度，即P和Q平面面面平行。
综上所述，我们可以用向量法证明面面平行的判定定理。
使用向量法可以更加清晰地表示平面的法向量，从而更方便地判断平面是否面面平行。
- 1 -。
线面、面面平行的性质定理
• (4)相似三角形的周长比等于相似比. • (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方. 相似 三角形的传递性，即如果： △ABC∽△A1B1C1,△A1B1C1∽△A2B2C2,那么 △ABC∽A2B2C2
必修2
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
3.平行四边形的判定定理
必修2
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
定理的应用
例3、 如图：a∥α，A是α另一侧的点，B、C、D 是a 上的点 ，线段AB、AC、AD交于E、F、G点，若BD=4， CF=4，AF=5，求EG.
∵点A为直线a线外一点 ∴点A与直线a确定一个平面，平 面ABD 又∵a∥α ，α ∩平面ABD=EG ∴BD∥EG ∴<AGE= <ADB 又∵<A=<A ∴△AGE∽△ADB ∴EG/BD=AF/AC即 EG/BD=AF/AF+CF ∴EG/4=5/9 ∴EG=20/9
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
D
3．夹在两个平面间的三条线段，它们平行且 相等，则两平面的位置关系为________． 解析： 平行或相交，如图
答案：
平行或相交
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
必修2
定理的应用
例1、求证：夹在两个平行平面间的两条平行 线段相等
D
α
A
C
β
B
必修2
第二章
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
巩固练习:
3、棱长为a的正方体AC1中,设M、N、E、F分别为 棱A1B1、A1D1、 C1D1、 B1C1的中点. (1)求证：E、F、B、D四点共面； (2)求证：面AMN∥面EFBD.
面面平行的判定
面面平行的判定基础知识：1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
符号表示：a βb βa ∩b = P β∥αa ∥αb ∥α2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
典型例题：例1、设直线l 、m ，平面α、β，下列条件能得出βα//的是（ ）．A ．α⊂l ，α⊂m ，且β//l ，β//mB ．α⊂l ，β⊂m ，且m l //C ．α⊥l ，β⊥m ，且m l //D ．α//l ，β//m ，且m l //分析：选项A 是错误的，因为当m l //时，α与β可能相交．选项B 是错误的，理由同A ．选项C 是正确的，因为α⊥l ，l m //，所以α⊥m ，又∵β⊥m ，∴βα//．选项D 也是错误的，满足条件的α可能与β相交．答案：C说明：此题极易选A ，原因是对平面平行的判定定理掌握不准确所致．本例这样的选择题是常见题目，要正确得出选择，需要有较好的作图能力和对定理、公理的准确掌握、深刻理解，同时要考虑到各种情况．变式题：1、如果平面α内的两条相交直线与平面β所成的角相等，那么这两个平面的位置关系是__________．分析：按直线和平面的三种位置关系分类予以研究．解：设a 、b 是平面α内两条相交直线．(1)若a 、b 都在平面β内，a 、b 与平面β所成的角都为︒0，这时α与β重合，根据教材中规定，此种情况不予考虑．(2)若a 、b 都与平面β相交成等角，且所成角在)90,0(︒︒内；∵a 、b 与β有公共点，这时α与β相交．若a 、b 都与平面β成︒90角，则b a //，与已知矛盾．此种情况不可能．(3)若a 、b 都与平面β平行，则a 、b 与平面β所成的角都为︒0，α内有两条直线与平面β平行，这时βα//．综上，平面α、β的位置关系是相交或平行．2、下列命题错误的是A 、平行于同一条直线的两个平面平行或相交B 、平行于同一个平面的两个平面平行C 、平行于同一直线的两条直线平行D 、平行于同一平面的两条直线平行或相交解析：D例2、试证经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行．已知：α平面∉A ，求证：过A 有且只有一个平面αβ//．分析：“有且只有”要准确理解，要先证这样的平面是存在的，再证它是惟一的，缺一不可．证明：在平面α内任作两条相交直线a 和b ，则由α∉A 知，a A ∉，b A ∉．点A 和直线a 可确定一个平面M ，点A 和直线b 可确定一个平面N ．在平面M 、N 内过A 分别作直线a a //'、b b //'，故'a 、'b 是两条相交直线，可确定一个平面β．∵α⊄'a ，α⊂a ，a a //'，∴α//'a ．同理α//'b ．又β⊂'a ，β⊂'b ，A b a ='' ，∴αβ//．所以过点A 有一个平面αβ//．假设过A 点还有一个平面αγ//，则在平面α内取一直线c ，c A ∉，点A 、直线c 确定一个平面ρ，由公理2知：m =ρβ ，n =ργ ，∴c m //，c n //，又m A ∈，n A ∈，这与过一点有且只有一条直线与已知直线平行相矛盾，因此假设不成立， 所以平面β只有一个．所以过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．例3、如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． 已知：γα//，γβ//，求证：βα//．分析：本题考查面面平行的判定和性质定理以及逻辑推理能力．由于两个平面没有公共点称两平面平行，带有否定性结论的命题常用反证法来证明，因此本题可用反证法证明．另外也可以利用平行平面的性质定理分别在三个平面内构造平行且相交的两条直线，利用线线平行来推理证明面面平行，或者也可以证明这两个平面同时垂直于某一直线．证明一：如图，假设α、β不平行，则α和β相交．∴α和β至少有一个公共点A ，即α∈A ，β∈A ．∵γα//，γβ//，∴γ∉A ．于是，过平面γ外一点A 有两个平面α、β都和平面γ平行，这和“经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行”相矛盾，假设不成立。
面面平行的判定定理
面面平行的判定定理
面面平行定理是几何学中一个常见的判定定理，它宣称如果三角形的三个内角的平行
分线分别与另外三边的平行，则这个三角形的三条边的长度互等。
面面平行定理在几何学
里是很重要的定理，它被广泛运用于求解三角形的面积或者长度，也是非常重要的几何形
状的拓展的基础。
面面平行定理的正式证明步骤较多，但是，由于它的本质实际上是一个较为复杂的比
例问题，从而有许多简便的证明方法。
常用的证明方法：
（1）双对项法
如果给定三角形ABC的内角A,B,C的平行分线分别与三边BC,CA,AB的平行，则根据
变比结论，有AB:AC::BC:CB，两边同乘以AC，BC，可以得到AB x CB = AC x BC，即三角形ABC的两条边AB，BC的乘积等于另外一边CA的平方，所以，三角形ABC三边AB，BC，CA相等。
（2）比价法
面面平行定理经常被用于推广等腰三角形和等边三角形以及一般三角形的论述、拓展，而且往往可以根据此定理，有效地求解一些有关三角形面积和边长的问题。
两平面平行的判定定理公式
两平面平行的判定定理公式在数学中，两平面平行的判定定理公式用来表达两平面之间的关系是否是平行的。
它提供了一种快速测试两个平面是否平行的方法。
因此，这个定理的公式可以说是一个极其重要的数学定理，它的准确性决定着后续计算的准确度。
两平面平行的判定定理公式一般用来判断两个三维空间中的平面是否具有平行关系。
其具体运算过程是，令两个平面的法线向量分别为a=(a1，a2，a3)和b=(b1，b2，b3)，则两平面以向量a、b的夹角θ表示，如果a=b，那么θ=0，则两平面平行；如果a≠b，而且ab≠0，则可以推出θ，即两平面存在夹角，说明它们不是平行的；如果a≠b，而且ab=0，则可以推出θ=π，即两平面垂直，但不是平行的。
两平面平行的判定定理公式的计算公式可表示为：ab=|a||b|cosθ其中，a、b分别表示两平面法向量，|a|表示a的模，|b|表示b 的模，cosθ表示a、b之间的夹角，由此可以测算出两平面之间夹角大小。
两个平面平行或非平行时，如何计算得出其夹角？利用两平面平行的判定定理，计算方法如下：1、计算两平面的法线向量a、b；2、将a、b的模的乘积(||a|| ||b||)代入公式ab=|a||b|cosθ，得出ab的值；3、由公式ab=|a||b|cosθ，推出cosθ=ab/|a||b|；4、因为cosθ的值在-1到1之间，当cosθ的值大于0，则可以推出θ，即两平面彼此之间存在夹角，说明它们不是平行的，当cos θ=0时，可以推出θ=π，即两平面垂直，但不是平行的。
从以上可以看出，利用两平面平行的判定定理可以轻松地测算出两平面之间的夹角以及其是否平行的关系。
可见，这个定理的公式是一个非常重要的数学定理，它的准确性决定着后续计算的准确度。
在实际应用中，两平面平行的判定定理公式还可以用于求解几何问题、物理解释等，是一个非常重要的数学工具。
例如，在几何问题中，两个三角形的平行判断就可以利用它来轻松判断；在电磁学中，可以应用它来求解电磁场相互作用时的相对位置，从而获得更精确的结果；在电力学中，可以用它来判断两个永磁转子的角度差，从而实现不同的操作行为；在力学中，它也可以用来判断静力学或动力学模型中受力物体之间的关系。
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归纳（两个平面平行的性质定理）如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号语言： 。
可以由平面与平面平行得出直线与直线平行。
课堂练习1：判断下列命题是正确。
（1）如果a，b是两条直线，且a // b，那么a平行于经过b的任何平面。
C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一一条与a平行的直线
3.下列命题正确的是（）
A.两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合
B.若一个平面内有两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行
C.若一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行
D.若两个平面平行，则其中的一个平面与另一个平面内的无数条直线平行
（1）求证：BC // l；
（2）MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论。
（三）课堂训练
1．平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m，n，则m，n的位置关系是()
A．相交B．异面C．平行D．平行或异面
2．已知α∥β，a⊂α，B∈β，则在β内过点B的所有直线中()
A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线
4.已知α∥β，AB交α，β于A，B，CD交α，β于C，D，AB∩CD=S，SA=6，AB=9，SD=8，求CD.
（四）归纳小结
1、平面与平面平行的几条性质：
（1）性质定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号语言： 。
（2）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
【重点难点】
1.教学重点：理解平面与平面平行的性质
2.教学难点：利用直线与平面平行的性质解决实际问题.
教学过程设计
【教学过程】
（一）创设情景，揭示课题
复习：两个平面平行的判定定理： 。
相关性质：1、若两个平面平行，那么一个平面内的任意一条直线都和另一个平面平行。
2、平行于同一个平面的两个平面平行。
问题1：若两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么位置关系？
教学设计
课题名称
面面平行的判定定理
姓名
李强强
工作单位
甘谷县第二中学
学科年级
高一
教材版本
人教版
【教学目标】
1.知识与技能：
（1）通过实例，了解平面与平面平行的特点；
（2）理解平面与平面平行的性质；
（3）会用平面与平面平行的性质解决实际问题.
2.过程与方法：通过实例初步了解概念，通过探究深入理解概念的实质，关键是要培养学生分析问题、解决问题和转化问题的能力.
变式1：如图，α//β//γ，直线a与b分别交α，β，γ于点A、B、C和点D、E、F，求证： 。
例3：如图，ABCD与BAFE是两个全等的正方形，点M在AC上，点N在FB上，AM = FN，求证：MN //平面BCE。
变式2：如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面PAD平面PBC = l。
（2）如果直线a和平面α满足a //α，那么a与α内的任何直线平行。
（3）如果直线a，b和平面α满足a //α，b //α，那么a // b。
（4）如果直线a，b和平面α满足a // b，a //α， ，那么b //α。
例2、求证夹在两个平行平面间的平行线段相等。
已知： ，求证：AB = CD。
证明：因为AB // CD，所以过AB、CD可作平面γ，且平面γ与平面α和β分别相交于AC和BD，因为α//β，所以BD // AC，因此，四边形ABDC是平行四边形，所以AB = CD。
3.情感态度价值观：
（1）平面与平面间的位置关系的判定与证明的核心问题是让学生学会转化思想，灵活应用所学知识，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些现象；
（2）用有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想。培养学生掌握“理论来源于实践，并把理论应用于实践”的辨证思想
（3）夹在两个平行平面间的平行线段相等。
（4）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行。
2、通过对性质定理的学习，大家应注意些什么？
3、本节课涉及到哪些主要的数学思想方法？
（五）布置作业：
课本第63页习题2.2 [B组]第3题
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学生借助长方体模型思考、交流得出结论：异面或平行。
问题2：分别在两个平行平面内的两条直线满足什么条件时平行？（共面）
问题3：长方体中，平面ABCD内哪些直线会与直线 平行？怎么样找到这些直线？
（平面ABCD内的直线只要与 共面即可）
（二）研探新知
例1、如图，已知平面α、β、γ满足 ，求证：a // b。