2016江西制造职业技术学院数学单招测试题(附答案解析)

考单招——上高职单招网 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．定义集合A*B ＝｛x |x ∈A,且x ∉B ｝,若A ＝｛1，3，5，7｝，B ＝｛2，3，5｝，则A*B 的子集个数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．命题“若a b >，则11a b ->-”的逆否命题是 （ ）A ．若11a b -≤-,则a b ≤B ．若a b <,则11a b -<-C ．若11a b ->-,则a b >D ．若a b ≤,则11a b -≤-3． 以点（2，－1）为圆心且与直线3450x y -+=相切的圆的方程为 （ ）A ． 22(2)(1)3x y -++=B ． 22(2)(1)3x y ++-=C ． 22(2)(1)9x y -++=D ． 22(2)(1)9x y ++-=4． 函数22()cos sin 55x x f x =+的图象中相邻的两条对称轴之间的距离是 （ ）A ．5πB ． 2πC ． 52πD ． 25π5．函数2xy =的定义域为[,]a b ,值域为[1,16],当a 变动时,函数()b g a =的图象可以是( )A ．B ．C ．D ．6．已知直线m 、n ，平面α、β,给出下列命题：①若,m n αβ⊥⊥，且m n ⊥，则αβ⊥ ②若//,//m n αβ，且//m n ，则//αβab O-4 4 ab O-4 4 ab O4 -4 ab O4-4考单招——上高职单招网 ③若,//m n αβ⊥，且m n ⊥，则αβ⊥ ④若,//m n αβ⊥，且//m n ，则//αβ 其中正确的命题是 （ ） A ．①③ B ．②④ C ．③④ D ．① 7．在△ABC 中，sin 2cos cos cos 2sin sin A C AA C A+=-是角A 、B 、C 成等差数列的 （ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．对函数1|1|2)(2---=x x f x 的零点的个数的判断正确的是 （ ）A ．有3个B ．有2个C ．有1个D ．有0个9．在数列中，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．10．若直线)0,0(,1232222>>=-=b a by a x x y 与双曲线的交点在实轴上射影恰好为双曲线的焦点，则双曲线的离心率是 （ ）A ． 2B ．2C ．2 2D ．4第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11．计算22(1)12ii i+--=- ． 12．为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100 株树木的底部周长（单位：cm ）。

根据所得数据画出样本 的频率分布直方图（如右图），那么在这100株树木中，底 部周长小于110cm 的株数是 ．{}n a 12a =11ln(1)n n a a n+=++n a =2ln n +2(1)ln n n +-2ln n n +1ln n n ++考单招——上高职单招网 开始y输出结束2x ≤？x输入2y x =5x ≤？23y x =-1y x=1图是否是否13．若不等式组0024x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个三角形，则s 的取值范围是 ．14．若关于x 的不等式2260ax x a -+<的解集是(1,m )，则m = ．15．如下图所示，给出了一个程序框图,其作用是输入的值,输出相应的的值,若要使输入的的值与输出的的值相等,则这样的的值的为 ．16．一个几何体的三视图如上图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰十角三角形，则该几何体的体积为 ．17．设点O 在△ABC 的内部且满足：04=++OC OB OA ，现将一粒豆子随机撒在△ABC 中，则豆子落在△OBC 中的概率是________ ．x y x y x OCBA正视图 侧视图俯视图第12考单招——上高职单招网 三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．（本题满分14分）如图A 、B 是单位圆O 上的点，C 是圆与x 轴正半轴的交点，A 点的坐标为)54,53(，三角形AOB 为正三角形． （1）求COA ∠sin ； （2）求2||BC 的值．19．（本题满分14分）已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，111a b ==且447715,77a b a b +=+=．（1）求数列}{},{n n b a 的通项公式；（2）设数列{}n n a b ⋅的前n 项和为n S ，求满足1290n n n S +⋅->的最小正数n ．20．（本题满分14分）如图所示，在直角梯形ABCP 中，AP//BC ，AP ⊥AB ，AB=BC=221=AP ，D 是AP 的中点，E ，F ，G 分别为PC 、PD 、CB 的中点，将PCD ∆沿CD 折起，使得⊥PD 平面ABCD ．（1）求证：AP //平面EFG ；（2）求直线AC 与平面PAD 所成角的大小．Oxy BACA DPCB G EFPDABGCEF考单招——上高职单招网 21．（本题满分15分）已知函数a ax x x f 其中,)(23-=为正常数．．．． （1）设当)(,)1,0(x f y x =∈函数时图象上任一点P 处的切线的斜率为k ，若a k 求,1-≥的取值范围；（2）当)3()(,]1,1[2x x a x f y x -+=-∈求函数时的最大值．22．（本题满分15分）已知曲线C 上的动点(,)P x y 满足到点(0,1)F 的距离比到直线2y =-的距离小1． （1）求曲线C 的方程；（2）过点F 在直线l 与曲线C 交于A 、B 两点．（ⅰ）过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ，证明：MA MB ⊥； （ⅱ）是否在y 轴上存在定点Q ，使得无论AB 怎样运动，都有AQF BQF ∠=∠证明你的结论．考单招——上高职单招网 数学（文科）参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DACCBDCAAB二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 11．3i - 12．70 13．0s <≤2或s ≥4 14．2 15．,或, 16．64317．23三、解答题（本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．解：(1)因为A 点的坐标为)54,53(，根据三角函数定义可知53=x ， 54=y ，1=r 所以54sin ==∠r y COA (2)因为三角形AOB 为正三角形，所以60AOB ∠=，54sin =∠COA ，53cos =∠COA ， 所以cos cos(60)cos cos60sin sin 60COB COB COB COB ∠=∠+=∠-∠1034323542153-=⋅-⋅=所以222||||||2||||cos BC OC OB OC OB BOC =+-∠112=+-=0x =1x =3x =考单招——上高职单招网 19．解：（1）设则的公比为的公差为,}{,}{q b d a n n3363663131562822480,16776768,2,2d q d q q q d q d qq q d ⎧⎧++==-⎪⎪⇒⇒--=⎨⎨++==-⎪⎪⎩⎩===所以从而 121,2;n n n a n b -=-=所以（2）122)12(252311-⋅-++⨯+⨯+⨯=n n n s222111112123252(21)2,2(1222)1(21)2,:(21)2232323:290:231,290 5.n n n n n n n n n n n n n n n s n s n s n n n s n s n -++++=⨯+⨯+⨯++-⋅-=++++---⋅=-⋅-+=⋅-⋅+⋅->>⋅->则所以得到所以等价于所以满足的最小正整数为 20．．解:(1) 证明:方法一)连AC,BD 交于O 点,连GO,FO,EO ．∵E,F 分别为PC,PD 的中点,∴EF //2,同理//2, EF ∴// GO∴四边形EFOG 是平行四边形, ⊂∴EO 平面EFOG ．又在三角形PAC 中,E,O 分别为PC,AC 的中点,∴PA//EO⊂EO 平面EFOG,PA ⊄平面EFOG,∴PA//平面EFOG,即PA//平面EFG ．方法二) 连AC,BD 交于O 点,连GO,FO,EO ． ∵E,F 分别为PC,PD 的中点,∴EF //CD 21,同理GE //12PB 又//AB,EF ∴//AB 2∴=⋂=⋂,,B AB PB E EF EG 平面EFG//平面PAB,又PA ⊄平面PAB,//PA ∴平面EFG ． (2)由已知底面ABCD 是正方形考单招——上高职单招网 ∴DC AD ⊥,又∵⊥PD 面ABCDCD PD ∴⊥又PD AD D ⋂=CD ∴⊥平面PCD ,∴直线AC 与平面PAD 所成角即为CAD ∠由CD=AB=AD 可知CAD ∠为.45021．解：（1）).1,0(,23)(2∈-='=x ax x x f k(22minmin 31111,3210,(3)2211(3)21(0,1),3.311(3)0,.2x k x ax a x x xa x xx x x x x a a x+≥--+≥≤=+≤+∈+≥==∴+=>由得即恒成立即当时当且仅当故的取值范围是（2）设].1,1[,3)3()()(32-∈-=-+=x ax x x x a x f x g22()333()3(g x x a x a x x '=-=-=-+则①当.]1,1[)(.0)(,1上是减函数在从而时-≤'≥x g x g a()(1)3 1.g x g a ∴-=-的最大值为②当).)((3)(,10a x a x x g a +-='<<时考单招——上高职单招网 2max ()0:()0:()[1,,[.()(2((1)2311)1)110,0,((1).4()()13.110,1,(4g x x x g x x g x g x g g g a a g g g x g l a a g g ''>><<<<∴-∴=-=-=⋅-<<<<∴==--≥≤<≥由得由得在上是增函数在上是减函数的极大值为由知当即时当即时max (1)()(2g x g ∴==max31(1);1,()2(1);4113(0).4a a g x a a a ⎧⎪-≥⎪⎪=≤<⎨⎪⎪-<<⎪⎩综上可得22．解：（121y =+-，由显然2y >-，得1y =+，化简得24x y =；（2）（ⅰ）,AB x 直线与轴不垂直:8.AB y kx =+设 1122(,),(,).A x y B x y21,1.4y kx y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩由可得2440x kx --=， 124x x k +=，124x x =-抛物线方程为211,.42y x y x '==求导得所以过抛物线上A 、B 两点的切线斜率分别是112AM k x =，212BM k x = ， 12121111224AM BM k k x x x x ∴⋅=⨯==- 即AM BM ⊥（ⅱ）设点(0,)Q t ，此时1212,AQ BQ y t y tk k x x --==，考单招——上高职单招网 由（ⅰ）可知12124,4x x k x x +==-故22121212121212()4()4404AQ BQx x t tx x x x t x x k k x x x x --+-++=+==对一切k 恒成立即：(8)0k t +=故当1t =-，即(0,1)Q -时，使得无论AB 怎样运动，都有BQP AQP ∠=∠。