正比例函数与一次函数的概念

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正比例函数及一次函数

1 5、关于函数 y ＝ 2 x
，下列结论正确的是（ A. 函数图象必经过点（1，2） B．函数图象经过二、四象限 C． y 随 x 的增大而减小 D． y 随 x 的增大而增大
）
问题探究
如图所示，在同一直角坐标系中，正比例函数 y k1 x 、y k2 x、 y k3 x 、y k4 x的图象分别为 l1 、 l2 、 l3 、 l4 ，
待定系数法
待定系数法 y 正比例函数中只有一个待定系数 k ，故只要有一对 x ，的值或一个非原点的点，就可以求得 k 值. 一次函数中有两个待定系数 k ，b ，需要两个独立条件确定两个关于 k ，b 的方程，这两个条件通常为两个点或两 y 的值. 对x ，
待定系数法
1、根据函数的图象，求函数的解析式．
22Biblioteka 一次函数的性质3.已知一次函数 y 2m 4 x 3 n ． n 是什么数时，y 随 x 的增大而增大；（1）当m 、 n 是什么数时，函数图象经过原点；（2）当 m 、（3）若图象经过一、二、三象限，求 m 、 n 的取值范围.
一次函数的性质 4.函数 y kx k (k 0) 在直角坐标系中的图象可能是（
1、为缓解用电紧张的矛盾，某电力公司制定了新的用电收费标准，每月用电量(度)与应付电费(元)的关系如图所示．根据图象求出与的函数关系式．
一次函数图像的应用
2.小高从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点A，再走下坡路到达点B，最后走平路到达学校C，所用的时间与路程的关系如图所示.放学后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是( ) A.14分钟 B.17分钟 C.18分钟 D.20分钟

一次函数与正比例函数ppt

当 $b = 0$ 时，一次函数退化为正比例函数，即 $y =图像是一条直线，其斜率为 $k$，与 $y$ 轴的交点为 $(0, b)$。
正比例函数的图像是经过原点的一条直线。
当 $k > 0$ 时，图像为上升直线；当 $k < 0$ 时，图像为下降直线。
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感谢您的观看
01
正比例函数是一种特殊的一次函数，其表达式为y=kx（k为常数， k≠0）。
02
当x的系数为1或-1时，一次函数退化为正比例函数。
正比例函数的图像
正比例函数的图像是一条通过原点的直线，这是因为当x=0时，y=0。
当k>0时，图像位于第一和第三象限；当k<0时，图像位于第二和第四象限。
正比例函数的性质
04 一次函数与正比例函数的应用
一次函数在生活中的应用
01
02
03
预测股票价格
通过分析历史数据，利用一次函数模型预测股票价格的走势。
计算贷款利率
利用一次函数计算固定利率和期限下的贷款还款总额。
确定商品销售量
根据商品价格和市场需求，利用一次函数预测商品的销售量。
正比例函数在生活中的应用
题目
已知函数$f(x) = kx + b(k neq 0)$的图象经过点$(1,3)$和$( - 1, -3)$，求函数的解析式。
正比例函数的习题及解析
• 解析：由题意得函数图象经过点$(1,3)$和$( - 1, -3)$，所以有 $\left{ \begin{array}{r} k + b = 3 \
正比例函数图像可以通过一次函数图像上移或下移得到，移动的距离为 $b$。

2022年八年级上数学：一次函数与正比例函数

一次函数与正比例函数【学习目标】1．理解正比例函数和一次函数的概念，，能利用这些函数分析和解决简单实际问题.2．通过讨论一次函数与一元一次方程的关系，用函数的观点加深对已经学习过的一元一次方程内容的再认识.【基础知识】一．一次函数的定义（1）一次函数的定义：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．（2）注意：①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式．②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．③一般情况下自变量的取值范围是任意实数．④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数．二．正比例函数的定义（1）正比例函数的定义：一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数．（2）正比例函数图象的性质正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx．当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y ＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小．（3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象．三．待定系数法求一次函数解析式待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．四．待定系数法求正比例函数解析式待定系数法求正比例函数的解析式．五．一次函数与一元一次方程一次函数与一元一次方程．六．根据实际问题列一次函数关系式根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是一次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．【考点剖析】一．一次函数的定义（共3小题）1．（2022春•卧龙区期中）下列函数关系中，y是x的一次函数的是（）A．y＝x﹣x2B．y＝C．y＝kx+b D．y＝﹣x2．（2022春•杨浦区校级期中）若函数y＝（k+3）x﹣2+k是关于x的一次函数，那么k的取值范围是．3．当m取何值时，函数y＝（m+5）x2m﹣1+7x﹣3（x≠0）是一个一次函数？二．正比例函数的定义（共2小题）4．（2021春•新化县期末）若函数y＝（m﹣3）x+m2﹣9是正比例函数，求m的值．5．（2021春•饶平县校级期末）已知y＝（k﹣3）x是关于x的正比例函数，（1）写出y与x之间的函数解析式：（2）求当x＝﹣4时，y的值．三．待定系数法求一次函数解析式（共3小题）6．（2020秋•永嘉县校级期末）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（﹣2，0）和（0，2），求k，b的值．7．（2021春•饶平县校级期末）已知y与x+1成正比例，且x＝﹣2时y＝2．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）设点P（a，4）在（1）中的函数图象上，求点P的坐标．8．（2021春•江城区期末）已知一次函数y＝kx+b，当x＝2时，y＝5；当x＝﹣2时，y＝﹣11，求k和b的值．四．待定系数法求正比例函数解析式（共3小题）9．（2021春•惠州期末）已知y与x成正比例，且x＝2时，y＝﹣6．求：y与x的函数解析式．10．（2008秋•淮安区期末）已知y与x成正比例，且当x＝1时，y＝2，求当x＝3时，y的值．11．已知：y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x﹣2成正比例，当x＝1时，y＝0；当x＝3时，y＝4．（1）求y与x之间的关系式；（2）当x＝﹣1时，求y的值．五．一次函数与一元一次方程（共2小题）12．利用函数图象解下列方程（1）0.5x﹣3＝1（2）3x﹣2＝x+4【思路导引】把0.5x﹣3＝1变化为y＝画出函数y＝的图象，求得函数和x轴的交点．13．用函数图象求解下列方程．①2x﹣3＝x﹣2；②x+3＝2x+1．六．根据实际问题列一次函数关系式（共3小题）14．已知矩形ABCD的周长为20cm．若设AB＝xcm，BC＝ycm．请写出y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围．15．已知等腰三角形的周长是18cm，腰长y（cm）是底边长x（cm）的函数，试求函数的关系式，并写出自变量的取值范围．16．一辆汽车以50千米/小时的速度，从相距150千米的甲城市开往乙城市．（1）求汽车与乙城市的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数解析式，写出自变量的取值范围．（2）判断y是x的什么函数．【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（2022春•杨浦区校级期中）下列函数中，一次函数一共有（）个．（1）y＝+1；（2）y＝kx+b；（3）y＝3x；（4）y＝（x+1）2﹣x2；（5）y＝x2﹣2x+1．A．1B．2C．3D．42．（2022春•南关区校级月考）已知一次函数y＝kx+b，当0≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围是﹣2≤y≤4，则k的值为（）A．3B．﹣3C．3或﹣3D．k的值不确定3．（2021秋•芝罘区期末）下列问题中，变量y与x成一次函数关系的是（）A．10m长铁丝折成长为y（m），宽为x（m）的长方形B．斜边长为5cm的直角三角形的直角边y（cm）和x（cm）C．圆的面积y（cm2）与它的半径x（cm）D．路程一定时，时间y（h）和速度x（km/h）的关系4．（2021秋•江阴市期末）下列函数中，属于正比例函数的是（）A．y＝x2+2B．y＝﹣2x+1C．y＝D．y＝5．（2021秋•青羊区校级期末）下列各式①y＝﹣8x；②y＝﹣；③y＝；④y＝﹣8x2+2；⑤y＝0.5x ﹣3，是一次函数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．（2021春•淄川区期中）已知y是x的一次函数，下表列出了部分对应值：x…﹣213…y…7﹣2﹣8…则y与x的函数表达式为（）A．y＝﹣2x+1B．y＝2x﹣3C．y＝3x﹣1D．y＝﹣3x+1二．填空题（共7小题）7．（2021秋•杭州期末）正比例函数y＝3x的比例系数是．8．（2021秋•丹阳市期末）一次函数y＝kx﹣3的图象经过点（﹣1，3），则k＝．9．（2021秋•毕节市期末）已知函数y＝（m﹣2）x|3﹣m|+5是关于x的一次函数，则m＝．10．（2021春•铁西区期末）若关于x的方程﹣2ax+b＝0的解为x＝2，则直线y＝﹣2ax+b一定经过某点的坐标为．11．（2021春•浦北县期末）若函数y＝kx+b（k≠0）是正比例函数，则b的值为．12．（2021春•贵港期末）如图，正比例函数y＝﹣x的图象与一次函数y＝kx+（k≠0）的图象相交于点P，则关于x的方程﹣x＝kx+的解是．13．（2021春•鄢陵县期末）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴交于（﹣5，0），则关于x的一元一次方程kx+b＝0的解为．三．解答题（共7小题）14．（2021春•饶平县校级期末）已知函数y＝（k2﹣4）x2+（k+1）x是正比例函数，且y随x的增大而减小，求这个正比例函数的解析式．15．（2021春•和平区校级月考）已知直线l与直线y＝2x+1的交点的横坐标为2，与直线y＝﹣x﹣8的交点的纵坐标为﹣7，求直线l的表达式．16．（2021春•朝阳区校级期中）已知z＝m+y，m是常数，y是x的正比例函数．当x＝2时，z＝1；当x＝3时，z＝﹣1，求z与x的函数关系式．17．（2021春•营口月考）已知一次函数的图象过点（1，﹣1），（﹣1，2）．（1）求这个函数的解析式；（2）求当x＝2时的函数值．18．（2020秋•蚌埠月考）已知直线y＝kx+b中，自变量x的取值范围是﹣1≤x≤7，相应函数值的范围是﹣12≤y≤8，求该函数的表达式．19．（2021春•凤山县期末）已知y与x之间成正比例关系，且当x＝﹣1时，y＝3．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当x＝2时，求y的值．20．（2020秋•安庆期中）已知y＝（m﹣2）x+|m|﹣2．（1）m满足什么条件时，y＝（m﹣2）x+|m|﹣2是一次函数？（2）m满足什么条件时，y＝（m﹣2）x+|m|﹣2是正比例函数？。

正比例函数的概念

正比例函数的概念一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数。

正比例函数属于一次函数，但一次函数却不一定是正比例函数。

正比例函数是一次函数的特殊形式，即一次函数y=kx+b 中，若b ＝0，即所谓“y轴上的截距”为零，则为正比例函数。

正比例函数的关系式表示为：y=kx（k为比例系数）当K＞0时（一三象限），K越大，图像与y轴的距离越近。

函数值y随着自变量x的增大而增大．当K ＜0时（二四象限），k越小，图像与y轴的距离越近。

自变量x的值增大时，y的值则逐渐减小．[编辑本段]正比例函数的性质1.定义域：R（实数集）2.值域：R（实数集）3.奇偶性：奇函数4.单调性：当k>0时，图象位于第一、三象限，y随x的增大而增大（单调递增）；当k<0时，图象位于第二、四象限，y随x的增大而减小（单调递减）。

5.周期性：不是周期函数。

6.对称轴：直线，无对称轴。

[编辑本段]正比例函数解析式的求法设该正比例函数的解析式为y=kx（k≠0），将已知点的坐标带入上式得到k，即可求出正比例函数的解析式。

另外，若求正比例函数与其它函数的交点坐标，则将两个已知的函数解析式联立成方程组，求出其x，y值即可。

[编辑本段]正比例函数的图像正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（x，kx）两点的一条直线，它的斜率是k，横、纵截距都为0。

[编辑本段]正比例函数图像的作法1.在x允许的X围内取一个值，根据解析式求出y值2.根据第一步求的x、y的值描出点3.做过第二步描出的点和原点的直线[编辑本段]正比例函数的应用正比例函数在线性规划问题中体现的力量也是无穷的。

比如斜率问题就取决于K值，当K越大，则该函数图像与x轴的夹角越大，反之亦然还有，y=kx 是y=k/x 的图像的对称轴。

①正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系．①用字母表示：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，（一定）正比例关系可以用以下关系式表示：②正比例关系两种相关联的量的变化规律：对于比值为正数的,即y=kx(k>0),此时的y 与x,同时扩大，同时缩小，比值不变．例如：汽车每小时行驶的速度一定，所行的路程和所用的时间是否成正比例？以上各种商都是一定的，那么被除数和除数．所表示的两种相关联的量，成正比例关系．注意：在判断两种相关联的量是否成正比例时应注意这两种相关联的量，虽然也是一种量，随着另一种的变化而变化，但它们相对应的两个数的比值不一定，它们就不能成正比例．例如：一个人的年龄和它的体重，就不能成正比例关系，正方形的边长和它的面积也不成正比例关系。

初中数学知识点精讲精析一次函数与正比例函数

4.2 一次函数与正比例函数学习目标1.理解一次函数和正比例函数的概念。

2.能根据所给条件写出简单的一次函数表达式。

3.经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力。

知识详解1．一次函数的定义若两个变量x，y之间的关系式可以表示成y＝kx＋b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x是自变量）．一次函数的条件：函数是一次函数必须符合下列两个条件：（1）关于两个变量x，y的次数是1；（2）必须是关于两个变量的整式．2．正比例函数的定义对于一次函数y＝kx＋b，当b＝0，即y＝kx（k为常数，且k≠0）时，我们称y是x 的正比例函数．一次函数与正比例函数的关系：需要注意的是正比例函数是一次函数的特殊情况，特殊之处在于b＝0，且k≠0，因此，正比例函数一定是一次函数，但一次函数并不一定是正比例函数．正比例函数的判断：要判断一个函数是否是正比例函数，首先看它是否为一次函数，也就是能否转化为y＝kx＋b（k≠0）的形式；其次要清楚正比例函数是特殊的一次函数，函数解析式能否转化为y＝kx（k≠0）的形式．3．根据条件列一次函数关系式列函数关系式是培养数学应用能力和抽象思维能力的一种方法，解决这类问题的基本思路为：首先要认真审题，抓住关键词，找出问题中的变量并用字母表示，然后根据题意列出函数关系式．如何列函数关系式：列关系式时，一定要先知道两个变量，并且弄清谁是自变量．4．一次函数与正比例函数的联系与区别若两个变量x，y之间的关系可以表示成y＝kx＋b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数，特别地当b＝0时，称y是x的正比例函数，显然正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数，正比例函数是一次函数的特殊情况．区别：①正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数；②正比例函数的图象一定经过原点及经过两个象限，但一次函数一般不经过原点，通常情况下要经过三个象限．联系：①两种函数的图象都是一条直线；②两种函数的增减性相同；③当b＝0时，一次函数转化为正比例函数，因此正比例函数是一次函数的特例．5．用一次函数解决实际问题函数与我们的生活息息相关，生活中的许多问题可以通过函数得以解决，如何才能正确地确定两个变量之间的函数关系式呢？具体地说和列一元一次方程解应用题基本相似，即弄清题意和题目中的数量关系，找到能够表示应用题全部含义的一个相等的关系，根据这个相等的数量关系式，列出所需的代数式，从而列出两个变量之间的关系式．写解析式，定自变量的范围：通常确定一个函数，不仅要确定这个函数的解析式，还要确定这个函数的自变量的取值范围．【典型例题】例1. 鲁老师乘车从学校到省城去参加会议，学校距省城200千米，车行驶的平均速度为80千米/时．x小时后鲁老师距省城y千米，则y与x之间的函数关系式为（）A．y=80x-200B．y=-80x-200C．y=80x+200D．y=-80x+200【答案】D【解析】依题意有y=200-80x=-80x+200．例2. 十堰市五堰商场为了增加销售额，推出“五月销售大酬宾”活动，其活动内容为：“凡五月份在该商场一次性购物超过50元以上者，超过50元的部分按9折优惠”．在大酬宾活动中，李明到该商场为单位购买单价为30元的办公用品x件（x＞2），则应付货款y（元）与商品件数x的函数关系式是（）A．y=27x（x＞2）B．y=27x+5（x＞2）C．y=27x+50（x＞2）D．y=27x+45（x＞2）【答案】B【解析】∵x＞2，∴销售价超过50元，超过部分为30x-50，∴y=50+（30x-50）×0.9=27x+5（x＞2）例3. 等腰三角形顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式及x的取值范围是（）A．y=100-2x（0＜x≤90）B．y=180-x（0＜x＜90）C．y=180-2x（0＜x＜90）D．y=180-x（0＜x≤90）【答案】C【解析】因为三角形内角和为180°，两底角相等，所以可知顶角的度数y与底角的度数x 之间的函数关系式为：y=-2x+180；x取值范围是：0＜x＜90．【误区警示】易错点1：根据条件列一次函数关系式1.小明每天从家去学校上学行走的路程为900米，某天他从家去上学时以每分30米的速度行走了450米，为了不迟到他加快了速度，以每分45米的速度行走完剩下的路程，设该天小明上学行走t分时行走的路程为S米，则当l5＜t≤25时，s与t之间的函数关系是（）A．s=30tB．s=900-30tC．S=45t-225D．s=45t-675【答案】C【解析】当l5＜t ≤25时，小明的速度为每分45米，从而可得出s 与t 的关系式易错点2：结合实际理解自变量2. 一天老王骑摩托车外出旅游，刚开始行驶时，油箱中有油9 L ，行驶了1 h 后发现已耗油1.5 L.(1)求油箱中的剩余油量Q(L)与行驶的时间t(h)之间的函数关系式，并求出自变量t 的取值范围；(2)如果摩托车以60 km/h 的速度匀速行驶，当油箱中的剩余油量为3 L 时，老王行驶了多少千米？【答案】(1)Q ＝9－1.5t ，由9－1.5t ＝0，得到t ＝6，故t 的取值范围为0≤t≤6.(2)由3＝9－1.5t ，得t ＝4.于是s ＝vt ＝60×4＝240(km)．故老王行驶了240 km.【解析】根据油箱中原有油9 L,1 h 耗油1.5 L ，则t h 耗油1.5t L ，得到行驶t h 后油箱中剩余油量为(9－1.5t)L ，由此可得出函数关系式．【综合提升】针对训练1. 从A 地向B 地打长途电话，通话3分以内收费2.4元，3分后每增加通话时间1分加收1元，若通话时间为x （单位：分，x ≥3且x 为整数），则通话费用y （单位：元）与通话时间x （分）函数关系式是（）A ．y=0.8x （x ≥3且x 为整数）B ．y=2.4+x （x ≥3且x 为整数）C ．y=x-0.6（x ≥3且x 为整数）D ．y=x （x ≥3且x 为整数）2. 如果y 是x 的正比例函数，x 是z 的一次函数，那么y 是z 的（）A ．正比例函数B ．一次函数C ．正比例函数或一次函数D ．不构成函数关系3. 下列问题中，变量y 与x 成一次函数关系的是（）A ．路程一定时，时间y 和速度x 的关系B ．长10米的铁丝折成长为y ，宽为x 的长方形C ．圆的面积y 与它的半径xD ．斜边长为5的直角三角形的直角边y 和x1.【答案】C【解析】由题意得，通话时间不超过3分钟收费均为2.4元，超过3分钟后，每分钟收取1元，x ≥3且x 为整数，故可得函数关系式为：y=2.4+（x-3）=x-0.6（x ≥3且x 为整数）．2.【答案】C【解析】根据正比例函数的定义，得y=kx ，根据一次函数的定义，得x= 1k z+b ，代入即可得出y 与z 的函数关系．3.【答案】B【解析】一次函数y=kx+b 的定义条件是：k 、b 为常数，k ≠0，自变量次数为1．课外拓展巴霍姆之死19世纪俄国文学巨匠列夫·托尔斯泰在《一个人需要很多土地吗？》这本小册子中叙述了这样一个故事。

人教版八年级下册数学《正比例函数》一次函数说课教学课件(第1课时正比例函数的概念)

册
问题1
画正比例函数y=2x的图象
①列表：自变量x的取值范围为任意实数
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y
…
-4
-2
0
2
4
…
②描点；
y
③连线.
画出函数 y
y=2x
1
x的图象.
3
1
x
3
人教版数学八年级下
册
思考1
对于正比例函数y=kx,
当k>0时，它的图象形状是什么？位置怎样？
观察发现：当k>0时，函数图像是经过原点的直线．而且都经过第一、三象限.
我们还可以借助函数图象分析此问题.
在正比例函数y=kx中：
当k>0时，y的值随着x值的增大而增大;
当k<0时，y的值随着x值的增大而减小.
人教版数学八年级下
册
1.已知正比例函数y=2x的图象上有两点（3，y1），（5，y2），则y1 < y2.
2.已知正比例函数y=kx(k<0)的图象上有两点（-3，y1），（1，y2），则
人教版数学八年级下
册
用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：
（1） y=-3x；（2）y
3
x.
2
3
x
由于两点பைடு நூலகம்定一条直线，画正比例函数
两点
y=-3x
2
3
怎样画正比例函数的图象
解：列表如下：函数y=-3x，y x 的图象如下：
作图法
2图象时我们只需描点(0，0)和点 (1，k)
x
0
1
y
第十九章一次函数

《一次函数——一次函数与正比例函数》数学教学PPT课件(3篇)

即n＝±2，n≠2，m＝3.
所以m＝3，n＝－2.
因此，当m＝3，n＝－2时，函数是一次函数．
(2)由(1)得此一次函数关系式为y＝－8x＋7.
当x＝1时，y＝－8×1＋7＝－1.
（来自《点拨》）
知1－讲
总结
根据一次函数定义求待定字母的值时，要注意：
(1) 函数关系式是自变量的一次式，若含有一次以上
(2)当m为何值时，y是x的正比例函数？
解：(1) 根据一次函数的定义可得：m－1≠0，所以
m≠1，即当m≠1时，y是x的一次函数．
1
1
3
3
(2) 根据正比例函数的定义可得：m－1≠0且
1－3m＝0，所以m＝
，即当m＝
时，
（来自《点拨》）
知3－练
1 下列说法中正确的是( D )
A．一次函数是正比例函数
(1)y=2.2x，y是x的一次函数，也是x的正比例函数.
(2)y=80x+100 ，y是x的一次函数. （
√
（√
）
2.在函数y=(m-2)x+(m2-4)中，当m ≠2 时，y是x的一次
函数；当m =-2 时，y时x的正比例函数.
）
3.已知函数y=(m-1)x｜m︱+1是一次函数，求m值；
解：根据题意，得∣m∣=1,
B．正比例函数不是一次函数
这一条件．
（来自《点拨》）
知2－练
1 (中考·上海)下列y关于x的函数中，是正比例函
数的为( C )
A．y＝x2x
B．y＝
2
2 C．y＝
2
x
x1
2
D．y＝
1
2
0
已知函数y＝2x2a＋b＋2b是正比例函数，则a＝

中考复习-第13课时一次函数的图象和性质

一次函数
不等式： ③kx+b>0, ④kx+b<0.
豫考探究
► 类型之一一次函数的图象与性质
命题角度： 1．一次函数的概念 2．一次函数的图象与性质
①③ 例1 在下列函数中，y是x的一次函数的有_____________. （填写序号）
5 ①y=2x; ②y= ; ③y=-3x+1; ④y=x2. x
y x b<0 y O x
一次函数 y=kx+b (k≠0)
y O
图象经过一、图象经过一、二、三象限三、四象限
性质
图象经过一、二、四象限
图象经过二、三、四象限
y随x的增大而增大
y随x的减小而减小
【注意】(1)正比函数性质只与k值有关，与b的取值无关．图象过一、三象限k>0；图象过二、四象限k<0. (2)一次函数y=kx+b的图象可由正比例函数y=kx的平移得到，b>0时，上移b个单位； b<0时，上移∣b∣个单位.
b , 0）的一条直线；正比例函数y=kx的图象是经过原点点(0,b)，和点（ k
（0,0）和（1，k）的一条直线。【注意】因为一次函数的图象是一条直线，所以由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两个点即可．
2．一次函数的性质
图象 K>0
正比例函数 y=kx (k≠0)
K<0
y O b>0 x b<0 y x O x O b>0 y x O
坐标．
[解析] (1)将 x＝2，y＝－3 代入 y＝kx－4，用待定系数法求解．(2)向上平移 6 个单位，即将(1)中的函数解析式中的常数项加 6.

一次函数知识点

初中数学一次函数知识点总结:一次函数与正比例函数的概念一般的，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。

特别的，当b=0时(即y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。

二、一次函数的图像：1．作法与图形：通过如下3个步骤：（1）列表.（2）描点；[一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理，也可叫“两点法”。

一般的y=kx+b(k≠0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点画直线即可。

正比例函数y=kx(k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0,0）和（1，k）两点。

（3）连线，可以作出一次函数的图象——一条直线。

因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。

（通常找函数图象与x轴和y轴的交点分别是-k分之b与0，0与b）.2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。

（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。

3．函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。

4．k，b与函数图像所在象限：y=kx时（即b等于0，y与x成正比例)：当k>0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k<0时，直线必通过第二、四象限，y随x的增大而减小。

y=kx+b时：当k>0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、三象限；当k>0,b<0, 这时此函数的图象经过第一、三、四象限；当k<0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、四象限；当k<0,b<0, 这时此函数的图象经过第二、三、四象限；当b>0时，直线必通过第一、二象限；当b<0时，直线必通过第三、四象限。

特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。

这时，当k>0时，直线只通过第一、三象限，不会通过第二、四象限。

八年级上册一次函数与正比例函数

八年级上册一次函数与正比例函数一、一次函数与正比例函数的概念。

1. 一次函数。

- 定义：一般地，形如y = kx + b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。

- 当x = 0时，y=b，所以b为函数y = kx + b在y轴上的截距。

例如，y =2x+3是一次函数，其中k = 2，b = 3。

2. 正比例函数。

- 定义：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。

例如，y = 3x是正比例函数，比例系数k = 3。

- 正比例函数是特殊的一次函数，当b = 0时，一次函数y=kx + b就变成了正比例函数y = kx。

二、一次函数与正比例函数的图象与性质。

1. 正比例函数y = kx的图象与性质。

- 图象：- 当k>0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大。

例如y = 2x的图象是一条经过原点且过一、三象限的直线，随着x的值增大，y的值也增大。

- 当k < 0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小。

例如y=-3x的图象经过原点且在二、四象限，x增大时y减小。

- 性质：- 正比例函数y = kx的图象是一条经过原点(0,0)的直线。

- 直线的倾斜程度由k决定，| k|越大，直线越靠近y轴。

2. 一次函数y = kx + b的图象与性质。

- 图象：- 一次函数y = kx + b的图象是一条直线，它可以由正比例函数y = kx的图象平移得到。

当b>0时，将y = kx的图象向上平移b个单位；当b < 0时，将y = kx的图象向下平移| b|个单位。

例如，y = 2x+1的图象是将y = 2x的图象向上平移1个单位得到的。

- 性质：- 当k>0时，y随x的增大而增大。

此时直线从左到右上升。

- 当k < 0时，y随x的增大而减小。

此时直线从左到右下降。

- 直线与y轴的交点坐标为(0,b)，与x轴的交点坐标为(-(b)/(k),0)（k≠0）。

一次函数和正比例函数

一次函数和正比例函数
一次函数：
一次函数是指一元函数f(x)=ax+b，其中a,b(a ≠ 0)常数。

当x 增加1时，y的变化量相同，变化量由a来决定，而b用来表示当x=0时，y的值。

因此一次函数的特征：一次函数的图像在一般都是一条直线，因为x变化量固定，y也就是恒定地增加，函数约束在一个程度上也固定，所以是直线。

正比例函数：
正比例函数是一种特殊的一次函数，它的一般式为f(x)=ax，这里的a是一个正数，表示正比的程度，当a增大时，函数增加的速率就越快。

其性质可表示为：当x增大一个单位，则函数值也增大a个单位。

正比例函数的图像也是一条直线，和一次函数一样，因为正比关系也是一种“等比例”关系，要满足直线性，不可避免地要与x轴距离固定，它们也是强制约束，所以也是一条直线。

一次函数与正比例函数有以下共同特点：
（1）其函数形式均为一次函数，即f(x) = ax + b和f(x) = ax。

（2）函数的图像都是一条直线，只是正比关系的斜率a不一样而已。

浙教版数学中考复习：函数(一)课件 (共69张PPT)

• 解析：因为一次函数y＝kx＋b过点（2,3）,（0,1）,
•
所以ቊ3
= 1
2�� + = ��
��,解得ቊ��
= =
1 1
•
所以一次函数的解析式为�� = �� + 1.
•
当y=0时，x+1=0，x=-1,
•
所以一次函数�� = �� + 1的图象与x轴交于点（-
4. 实际应用
考点1:反比例函数的概念
定义：形如________(k为常数，k≠0)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函
数，k是比例系数．
表达式：
或
或xy＝k(k≠0)．
防错提醒：(1)k≠0； (2)自变量x≠0； (3)函数y≠0.
考点2:反比例函数的图象与性质
(1)反比例函数的图象：反比例函数y＝��(k≠0)的图象是________，且关于________对称． (2)反比例函数的性质：
• C.当x>0时，y随x的增大而增大
D.当x<0时，y随x的增大而减小
2.1反比例函数的图象与性质
【练6】已知点A(1，y1)，B(2，y2)，C(－3，y3)都在反比例函数y＝��6��的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A．y3＜y1＜y2
B．y1＜y2＜y3
C．y2＜y1＜y3
1.3一次函数的解析式
【例4】已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过点(0，2)，且与两坐标轴围成的三角形面积为 2，求此一次函数的解析式．
解析：
【例4】已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过点(0，2)，且与两坐标轴围成的三角形面积为 2，求此一次函数的解析式．

第34讲：正比例函数及一次函数的概念和性质(二)

正比例函数及一次函数的概念和性质（二）一次函数的概念：形如y＝kx＋b(k≠0)的函数，称y是x的一次函数。

一次函数的图像：y kx b=+【例1】⑴对于函数y=(k－3)x＋k＋3(k为常数)，当k___时，它是正比例函数；当k___时，它是一次函数；当m___时，函数y＝(m－1)x m-2＋2m表示一次函数，其表达式是___。

⑵一次函数y＝-2x＋1的图像是将正比例函数y＝-2x的图像向___平移___个单位长度得到的，经过第___象限；将直线l1：y＝2x向下平移2个单位会得到直线l2：___，直线l2不经过第___象限；由以上平移可判断直线y＝3x与y＝2＋3x的位置关系是___，直线如y＝-x－1与y＝-x＋3的位置关系为___。

⑶一次函数y＝2x－3的图像不经过( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限⑷已知一次函数y＝kx＋k，若y随x的减小而减小，则该函数的图像经过( )A．第一、二、三象限B．第二、三、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限⑸已知一次函数y＝kx＋b，其中kb＞0，则所有符合条件的一次函数的图像一定都经过( )A．第一、二象限B．第二、三象限C．第三、四象限D．第一、四象限m 中，函数y 随x 的取值范围是( B ．m ＞13 D ．0＜m ＜13=11k x k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，其中实数的范围内变化时，此函数的最大值为 B ．2 D ．12k k-⑴已知一个一次函数的图像经过(1,1)A -和(B 。

3经过点M ，求此直线与⑶如图，已知一次函数的图像为直线a ，直线【例4】已知一次函数图像经过点(1，3)，(2，5)两点。

①求一次函数解析式；②求图像和坐标轴围成的三角形面积； ③点(a ，2)在图像上，求a 的值。

【例5】如果直线 y ＝kx －2与两坐标轴所围成的三角形面积为9，则k 的值为___。

【例6】已知直线y 1＝k 1x ＋b 1经过原点和点(-2，-4)，直线 y 2＝k 2x ＋b 2经过点(8，-2)和点(1，5)。

正比例函数、一次函数和反比例函数知识点归纳

正比例函数、一次函数和反比例函数知识点归纳正比例函数：解析式：y=kx（k为常数，k工0） ,k叫做函数的比例系数;（注意：x的指数为1）图像：过原点的直线；必过点：（0,0 ）和（1，k）；走向：k>o,图像过一三象限，k<0,图像过二四象限；y yK>0k<0/ \0OJx IV x倾斜度：|k|越大，倾斜度越大，也就是越靠近y轴，|k|越小，倾斜度越小,也就是越靠近x轴；如图：yy=2x//y=xO yx增减性：k>O,y随x的增大而增大；k<0，y随x的增大而减小；一次函数：解析式：y=kx+b（k，b为常数，k^ 0），k叫做函数的比例系数,（注意：x的指数为1,b为直线与y轴交点的纵坐标）；正比例函数是一次函数的特殊情况，即b=0时的一种情况；图像：一条直线；必过点：（0，b）（-b/k，0）；走向：k>o, b>0,图像过一二三象限，k>0,b<0,图像过一三四象限;y yk>0,b<0O O /x x倾斜度：|k|越大，倾斜度越大，也就是越靠近y轴，|k|越小，倾斜度越小，也就是越靠近x轴；如图：yy=2x /F y=xk>0,b>0k<o，b>0,图像过一二四象限k<o ，b>0,图像过二三四象限增减性：k>O,y 随x 的增大而增大；k<0, y 随x 的增大而减小；平移：y=kx+b,向上平移 m 个单位：y=kx+b+m;向下平移 n 个单位：y=kx+b-n;向左平移 m 个单位：y=k （x+m ）+b;向右平移 n 个单位：y=k （x-n ）+b;简称：上加下减，左加右减；（注：上加下减到代数式后面，左加右减到x 后面，直接与x进行加减，与系数和指数都没关系）；反比例函数：解析式：y=k/x （k 为常数，k z 0）图像：双曲线（图像无限靠近坐标轴, 所在象限：k>0图像经过一三象限；增减性：k>0,y 随x 的增大而减小；k<0,y 随x 的增大而增大;反比例函数知识点归纳1、基础知识（一）反比例函数的概念但永不相交。

一次函数和正比例函数

一次函数和正比例函数正比例函数一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.正比例函数图象和性质一般地，正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象是一条经过原点和（1,k）的一条直线，我们称它为直线y=kx.当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x的增大，y也增大；当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小.正比例函数解析式的确定确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y=kx(k≠0)中的常数k，其基本步骤是：（1）设出含有待定系数的函数解析式y=kx(k≠0)；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k 的一元一次方程；（3）解方程，求出待定系数k；（4）将求得的待定系数的值代回解析式.一次函数一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的图象（1）一次函数y=kx＋b(k≠0)的图象是经过（0，b）和两点的一条直线，因此一次函数y=kx＋b的图象也称为直线y=kx＋b.（2）一次函数y=kx＋b的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），.即横坐标或纵坐标为0的点.正比例函数与一次函数图象之间的关系一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.直线y=kx＋b的图象和性质与k、b的关系如下表所示：k>0k<0直线y1=kx＋b与y2=kx图象的位置关系：(1)当b>0时，将y2=kx图象向x轴上方平移b个单位，就得到y1=kx＋b的图象．(2)当b<0时，将y2=kx图象向x轴下方平移－b个单位，就得到了y1=kx＋b的图象．直线：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2的位置关系可由其解析式中的比例系数和常数来确定：当k1≠k2时，l1与l2相交，交点是(0，b)．直线y=kx＋b(k≠0)与坐标轴的交点．(1)直线y=kx与x轴、y轴的交点都是(0，0)；(2)直线y=kx＋b与x轴交点坐标为(，0)与y轴交点坐标为(0，b)．用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.利用图象解题通过函数图象获取信息，并利用所获取的信息解决简单的实际问题.典型例题剖析例1、已知正比例函数y=kx(k≠0)的图象过第二、四象限，则（）A．y随x的增大而减小B．y随x的增大而增大C．当x<0时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增大而减小D．不论x如何变化，y不变答案：A例2（1）若函数y=(k＋1)x＋k2－1是正比例函数，则k的值为（）A．0B．1C．±1D．－1（2）已知是正比例函数，且y随x的增大而减小，则m的值为_____________.（3）当m=_______时，函数是一次函数.解;（1）由于y=(k＋1)x＋k2－1是正比例函数，∴，∴k=1，∴应选B.（2）是正比例函数的条件是：m2－3=1且2m－1≠0，要使y随x的增大而减小还应满足条件2m－1<0，综合这两个条件得当即m=－2时，是正比例函数且y随x的增大而减小.（3）根据一次函数的定义可知，是一次函数的条件是：解得m=1或－3，故填1或－3.例3、两个一次函数y1=mx＋n，y2=nx＋m，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的（）例4、列说法是否正确，为什么？（1）直线y=3x＋1与y=－3x＋1平行；（2）直线重合；（3）直线y=－x－3与y=－x平行；（4）直线相交.解：（1）该说法不正确，∵k1≠k2，∴两直线相交；（2）该说法不正确，∵k1=k2，但b1≠b2，∴两直线平行；（3）该说法正确，∵k1=k2，b1≠b2，∴两直线平行；（4）该说法不正确，∵k1=k2，b1=b2，∴两直线重合.例5、如果直线y=kx＋b经过第一、三、四象限，那么直线y=－bx＋k经过第__________象限.例6、直线y=kx＋b过点A（－2，0），且与y轴交于点B，直线与两坐标轴围成的三角形面积为3，求直线y=kx＋b的解析式．解：设点B的坐标为(0，y)，则|OA|=2，|OB|=|y|，有S=·|OA|·|OB|=×2×|y|=3．所以y=±3．所以点B的坐标是(0，3)或(0，－3)．(1)当直线y=kx＋b过点A（－2，0）和点B（0，3）时，所以y=＋3．(2)当直线y=kx＋b过点A(－2，0)，B(0，－3)时，所以y=－3．因此直线解析式为y=＋3或y=－3．例7、如图所示，阅读函数图象，并根据你所获得的信息回答问题：(1)折线OAB表示某个实际问题的函数的图象，请你编写一道符合图象意义的应用题；(2)根据你所给出的应用题分别指出x轴、y轴所表示的意义，并写出A、B 两点的坐标；(3)求出图象AB的函数解析式，并注明自变量x的取值范围．解：本题为开放题，现举一例如下：小明从家骑车去离家800米的学校，用了5分钟，之后又立即用了10分钟步行回到家中，此时x轴表示时间，y轴表示离家的距离，A(5，800)，B(15，0)．图象AB的解析式为y=－80x＋1200(5≤x≤15)．例8、某商店销售A、B两种品牌的彩色电视机，已知A、B两种彩电的进价每台分别为2000元、1600元，一月份A、B两种彩电的销售价每台为2700元、2100元，月利润为1.2万元（利润=销售价－进价）.为了增加利润，二月份营销人员提供了两套销售策略：策略一：A种每台降价100元，B种每台降价80元，估计销售量分别增长30%、40%.策略二：A种每台降价150元，B种每台降价80元，估计销售量都增长50%.请你研究以下问题：（1）若设一月份A、B两种彩电销售量分别为x台和y台，写出y与x的关系式，并求出A种彩电销售的台数最多可能是多少？（2）二月份这两种策略是否能增加利润？（3）二月份该商店应该采用上述两种销售策略中的哪一种，方能使商店所获得的利润较多？请说明理由.解：（1）依题意，有（2700－2000）x＋（2100－1600）y=12000，即700x＋500y=12000.则因为y为整数，所以x为5的倍数，故x的最大值为15，即A种彩电销售的台数最多可能为15台.（2）策略一：利润W1=（2700－100－2000）（1＋30%）x＋（2100－80－1600）（1＋40%）y=780x＋588y；策略二：利润W2=（2700－150－2000）（1＋50%）x＋（2100－80－1600）（1＋50%）y=825x＋630y.因为700x＋500y=12000，所以780x＋588y>12000，825x＋630y>12000.故策略一、策略二均能增加利润.故策略二使该商店获得的利润多，应采用策略二.怎样求一次函数解析式？求字母系数或函数解析式在已知函数解析式中，设置未知的系数，要求该函数是一次函数或具备一次函数的某些性质，据此确定解析式中的未知系数的值或者未知系数的取值范围.求解此类题时，应牢抓一次函数的定义、图象及性质，特别注意容易出错的地方，如系数k≠0，图象经过的象限与k、b的关系等.例1、函数y=(k－5)x|k|－4＋2是一次函数，求此函数的解析式.解：由一次函数的定义，知自变量x的指数等于1，系数不为零，即解得k=－5.因此此函数的解析式为y=－10x＋2.例2、已知一次函数y=mx＋2x－2，要使函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m≥－2B．m>－2C．m≤－2D．m<2解： B.例3、已知一次函数y=kx＋1(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y=x ＋k的图象大致是图中的（）解： B.求函数图象与坐标轴围成的三角形面积由于一次函数的图象是直线，所以当它与两坐标轴相交时，可能产生一个三角形，于是就出现了把一次函数与三角形内容相联系的许多问题，大多以考查三角形的周长，面积问题为主.求解此类题时，要多注意利用点的坐标来表示三角形的底与高.例4、直线y=x＋4和直线y=－x＋4与x轴所围成的三角形的面积是（）A．32B．64C．16D．8解： C.利用函数图象解方程组、不等式例5、作出函数y=3x＋1的图象，根据图象，回答：（1）x取什么值时，函数值y大于零？（2）x取什么值时，函数值y小于零？（3）x取什么值时，函数值y 小于－2？解：（1）当时，y>0；（2）当时，y<0；（3）当x<－1时，y<－2.待定系数专题概说：待定系数法是求函数解析式的最重要的方法，求解时首先设出函数解析式，再根据已知建立未知系数的方程（组），进而解方程（组）获得未知系数的值，应注意题目中的某些隐含条件的限制作用.例6、已知直线y=kx＋b过点A（－1，5），且平行于直线y=－x＋2.（1）求直线的解析式；（2）B（m，－5）在这条直线上，O为原点，求m的值及S△AOB.解：（1）由两直线平行，得k=－1.易求b=4.所以y=－x＋4；（2）把B（m，－5）代入y=－x＋4，得m=9.可求y=－x＋4与y轴的交点为C（0，4），则S△AOB=S△ACO＋S△BC O.所以S=×|－1|×4＋×9×4=20.如图所示.数形结合本章自始自终都是用数形结合的思想方法研究问题，平面直角坐标系的建立是实现数与形转化的重要工具，数形结合使抽象的数形象化、直观化，化数为形，以形思数，常常是解决问题的关键，数形结合思想不仅为分析问题，解决问题提供了有利条件，而且是开发智力、培养能力的重要途径.例7、为发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式.其中，使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内每月（30天）的通话时间x（分钟）与通话费y（元）的关系如图所示.（1）分别求出通话费y1、y2与通话时间之间的函数解析式；（2）请你帮用户计算一下，在一个月内使用哪种卡便宜？解：（1）设y1=k1x＋b,y2=k2x.由图象可知，y1=k1x＋b，经过点A（0，29），B（30，35）.所以解得所以y1=＋29（0≤x≤43200），y2=k2x的图象过点（30，15）.所以30k2=15.所以k2=.所以y2=（0≤x≤43200）；（2）当y1=y2时，即，得；当y1>y2时，即，得，即当x≤96时，y1>y2；当y1<y2时，即，得，即当x≥97时，y1＜y2.所以，当通话时间为小于97分钟时，“如意卡”便宜；当通话时间大于或等于97分钟时，“便民卡”便宜.分类讨论在解答某些数学问题时，有时会遇到很多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合求解，这就是分类讨论法，分类讨论是一种重要的数学方法，不重复、不遗漏是对分类的基本要求.例8、如果一次函数y=kx＋b的自变量x的取值范围是－2≤x≤4，相应函数的范围是－9≤y≤11，求此函数的解析式.解：（1）当k>0时，y随x的增大而增大，一定是当x=－2时，y=－9；当x=4时，y=11.所以有解得所以；（2）当k<0时，y随x的增大而减小，一定是当x=－2时，y=11；当x=4时，y=－9.所以有解得所以.综上所述两种情况，符合条件的解析式为.函数思想函数思想就是用运动和变化的观点去观察、分析具体问题中的数量关系，通过函数形式，把这种数量关系表示出来并加以研究，从而使问题获得解决，在解决问题时，根据问题的条件去构造函数关系，并借助已知函数的性质和图象，获得解决问题的途径.例9、小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来，他已存有50元，从现在起每个月节存12元.小张的同学小王以前没有存过零用钱，听到小张在存零用钱，表示从现在起每个月存18元，争取超过小张.请你在同一平面直角坐标系中分别画出小张和小王存款数和月份数的函数关系的图象，在图上找一找半年以后小王的存款数是多少，能否超过小张？至少几个月后小王的存款能超过小张？解：设小张存款数为y1元，小王存款数为y2元，月份数为t.则y1=50＋12t，y2=18t.在同一平面直角坐标系中画出两个系数的图象如图所示.当t=6时，y1=50＋12×6=122，y2=18×6=108，在图上也可以看出半年后小王的存款数是108元，不能超过小张.我们过x轴上（6，0）点作x轴的垂线交两条直线于P1、P2点，显然P2点位置较高，即表示此时小张的存款数比小王的存款数多.由y1<y2，即50＋12t<18t，.∵t为整数，∴t≥9.由图象可知至少9个月后小王的存款才能超过小张.。

一次函数知识点

一次函数基础知识点知识点1：一次函数的意义1、概念：一次函数：若两个变量x 、y 间的关系式可以表示成b kx y +=（k 、b 为常数，0≠k ）的形式，称y 是x 的一次函数。

正比例函数：形如kx y =（0≠k ）的函数，称y 是x 的正比例函数，此时也可说y 与x 成正比例，正比例函数是一次函数，但一次函数并不一定是正比例函数2、说明：（1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.（2）一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，b ≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次” 意义相同，即自变量x 的次数为1，一次项系数k 必须是不为零的常数，b 可为任意常数.（3）当b=0，k ≠0时，y= kx 仍是一次函数；当b=0，k=0时，它不是一次函数. (4)注意自变量的取值范围3、练习1、下列函数（1）y=3πx ；（2）y=8x-6；（3）1y x =；（4）1y 8x 2=-；（5）2y 541x x =-+中，是一次函数的有（） A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个2、当k_____________时，()2323y k x x =-++-是一次函数；当k_____________时，()212k y k x=-+是一次函数知识点2：求一次函数的解析式1、待定系数法的含义：要确定变量间的函数关系式，设出某些未知系数，然后根据所给条件利用方程或者是方程组来确定这些未知系数的方法。

2、用待定系数法确定一次函数表达式（1）规律：①确定正比例函数y=kx 的解析式：只须一个条件，求出待定系数k 即可．②确定一次函数b kx y +=的解析式：只须二个条件，求出待定系数k 、b 即可．（2）步骤： A 、设：设出一次函数解析式，即b kx y +=；B 、代：把已知条件代入b kx y +=中，得到关于k 、b 的方程（组）；C 、求：解方程（组），求k 、b ；D 、写：写出一次函数解析式．3、例1：已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此一次函数的关系式．例2. 已知y-3与x 成正比例，且x=2时，y=7.（1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）当x=4时，求y 的值；（3）当y=4时，求x 的值．知识点3：一次函数的图象及其性质1、知识点(1)函数图象的画法：列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；描点：以表中每对对应值描点；连线：按自变量由小到大连接起来。

正比例、一次函数笔记

正比例函数、一次函数、反比例函数（一）正比例函数：1、一般形式：y=kx (其中k是比例系数，k≠0)2、图像：是一条经过原点的直线。

3、简单作图：（0,0）、（1，k）4、性质：当k＞0时，图像经过一、三象限；y随x的增大而增大；当k＜0时，图像经过二、四象限；y随x的减小而减小。

5、特殊的直线：一、三象限的角平分线：y=x;二、四象限的角平分线：y=-x（二）一次函数：1、一般形式：y=kx +b(其中k、b是常数，k≠0)2、图像：当b≠0时，是一条不经过原点的直线，当b=0时，图像是经过原点的直线。

3、直线与坐标轴的交点：与x轴的交点（bk-，0）；与y轴的交点（0，b）4、简单作图：（bk-，0）、（0，b）5、k、b的几何意义：k决定直线的倾斜程度：当k＞0时，图像从左向右上升；当k＜0时，图像从左向右下降。

b是直线与y轴交点的纵坐标：当b＞0时，直线与y轴的交点在正半轴；当b＜0时，直线与轴的交点在负半轴。

6、性质：（1）当k＞0时，图像从左向右上升， y随x的增大而增大；当k＜0时，图像从左向右下降， y随x的增大而减小。

（2）当b＞0时，直线与y轴的交点在正半轴；当b＜0时，直线与y轴的交点在负半轴。

（3）经过的象限：与k、b都有关。

一般根据k、b的几何意义，先确定b对应的大致位置，再确定k对应的倾斜程度,画出大概图像，从而决定经过的象限。

这也是画大致图像的方法。

（三）反比例函数：1、一般形式：y=kx(其中k是常数，k≠0)，还有：y=kx-1、xy=k 、x=ky、等。

2、图像：是双曲线。

3、性质：当k＞0时，图像位于一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，图像位于二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。

4、k的几何意义：︱k︱=S矩形或︱k︱=2S△（其中，S矩形指过双曲线上任意一点作x、y轴的垂线，这两条垂线和坐标轴围城的矩形的面积。

而S△是（四）待定系数法具体步骤：1、设。

正比例函数知识点总结

正比例函数知识点总结正比例函数知识点总结正比例函数属于一次函数，是一次函数的一种特殊形式。

即一次函数形如：y=kx+b（k为常数，且k≠0）中，当b=0时，则叫做正比例函数。

下面是小编收集整理的正比例函数知识点总结，希望对您有所帮助！—正比例函数公式正比例函数要领：一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数，那么y就叫做x的正比例函数。

正比例函数的性质定义域：R(实数集)值域：R(实数集)奇偶性：奇函数单调性：当>0时，图像位于第一、三象限，从左往右，y随x 的增大而增大(单调递增)，为增函数;当k<0时，图像位于第二、四象限，从左往右，y随x 的增大而减小(单调递减)，为减函数。

周期性：不是周期函数。

对称性：无轴对称性，但关于原点中心对称。

图像：正比例函数的图像是经过坐标原点(0，0)和定点(1，k)两点的一条直线，它的斜率是k，横、纵截距都为0。

正比例函数的图像是一条过原点的直线。

正比例函数y=kx(k≠0)，当k的绝对值越大，直线越“陡”;当k的绝对值越小，直线越“平”。

正比例函数求法设该正比例函数的解析式为y=kx(k≠0)，将已知点的坐标代入上式得到k，即可求出正比例函数的解析式。

另外，若求正比例函数与其它函数的交点坐标，则将两个已知的'函数解析式联立成方程组，求出其x，y 值即可。

正比例函数图像的作法1、在x允许的范围内取一个值，根据解析式求出y的值;2、根据第一步求的x、y的值描出点;3、作出第二步描出的点和原点的直线(因为两点确定一直线)。

温馨提示：正比例函数属于一次函数，但一次函数却不一定是正比例函数。

正比例函数与一次函数

一次函数：1、一次函数与正比例函数：一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，0k ≠）的函数，叫做一次函数，当0b =时，即y kx =，叫做正比例函数．⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数． ⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．2、一次函数图象：⑴一次函数y kx b =+（0k ≠，k ，b 为常数）的图象是一条直线．⑵由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．①如果这个函数是正比例函数，通常取()00，，()1k ，两点；②如果这个函数是一般的一次函数（0b ≠），通常取()0b ，，0bk⎛⎫- ⎪⎝⎭，，即直线与两坐标轴的交点．3、一次函数性质：一次函数 ()0k kx b k =+≠k ，b符号0k >0k < 0b >0b <0b =0b >0b <0b = 图象Ox y yx OOx yyx OOx yyxO性质y 随x 的增大而增大y 随x 的增大而减小（1）一次函数图象的位置在一次函数y kx b =+中： ⑴当0k >时，其图象一定经过一、三象限；当0k <时，其图象一定经过二、四象限． ⑵当0b >时，图象与y 轴交点在x 轴上方，所以其图象一定经过一、二象限；当0b <时，图象与y 轴交点在x 轴下方，所以其图象一定经过三、四象限．反之，由一次函数y kx b =+的图象的位置也可以确定其系数k 、b 的符号．（2）一次函数图象的增减性在一次函数y kx b =+中：⑴当0k >时，一次函数y kx b =+的图象从左到右上升，y 随x 的增大而增大； ⑵当0k <时，一次函数y kx b =+的图象从左到右下降，y 随x 的增大而减小．4、用待定系数法求一次函数解析式：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待字系数法．yxO 5、特殊一次函数：含有绝对值的一次函数对于含有绝对值的一次函数，其图象是由若干条线段和射线组成的折线，我们通常采用零点讨论法，即先找出绝对值的零解，然后将数轴划分为若干个区间，接下来就可以在各个区间中确定每个绝对值中式子的符号，进而去掉绝对值符号．例题：【例1】下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？⑴15x y +=-⑵5xy =- ⑶21y x =-- ⑷35xy =--⑸()()212y x x x =--- ⑹21x y -=【例2】已知28(3)1my m x -=-+，当m 为何值时，y 是x 的一次函数？【例3】一次函数(0)y kx b k =+≠的图像是；当0k >，0b >时，直线y kx b =+过象限；当0k >，0b <时，直线y kx b =+过象限；当0k <，0b >时，直线y kx b =+过象限；当0k<，0b <时，直线y kx b =+过象限．(0)y kx b k =+≠的图像与x 轴、y 轴的交点分别为、；其中、分别叫做该一次函数在x 轴、y 轴上的截距．【例4】已知一次函数(5)1y a x a =-+-的图象如图所示，则a 的取值范围是．【例5】下列图形中，表示一次函数y mx n =+与正比例函数y mnx =（m 、n 为常数且0mn ≠）的图像是下图中的（）xyOxyO x yOO yxA B C D【例6】一次函数(2)3y k x k =-+-的图象能否不经过第三象限?为什么?O2121-1xy 【例7】若一次函数22222mm y x m --=+-的图象经过第一、第二、三象限，求m 的值．【例8】已知0abc =/，并且a b b c c ap c a b+++===，则直线y px p =+一定通过象限．【例9】已知一次函数()22312y a x a =-+-．求：①a 为何值时，一次函数的图象经过原点．②a 为何值时，一次函数的图象与y 轴交于点()0,9．【例10】已知函数图象如图所示，则此函数的解析式为（）A ．2y x =-B ．2(10)y x x =--<<C ．12y x =-D ． 1(10)2y x x =--<<【例11】已知y 与1x -成正比例，且当3x =时5y =．求y 与x 之间的函数关系式．【例12】如果(0)y kx k =≠的自变量增加4，函数值相应地减少16，则k 的值为（） A ．4 B ．- 4 C ．14 D ． 14-【例13】一次函数y mx n =+（0m ≠），当25x -≤≤时，对应的y 值为07y ≤≤，求一次函数的解析式．【例14】已知一次函数y kx b =+的图象与直线21y x =+平行并且过点P （-1，2），求这个一次函数的解析式．t/minS/km301694012O【例15】右图是某汽车行驶的路程()S km 与时间()min t 的函数关系图．观察图中所提供的信息，解答下列问题：⑴汽车在前9分钟内的平均速度是； ⑵汽车在中途停了多长时间？； ⑶当3016t ≤≤时，求S 与t 的函数关系式．练习题：1、已知函数1(2)k y k x -=- （k 为常数）是正比例函数，则k = ．2、已知y +m 与x +n （m,n 为常数）成比例，试判断y 与x 成什么函数关系？3、已知1(2)2m y m x m -=-++是一次函数，求它的解析式．4、如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数1y k x =，2y k x =，3y k x =，4y k x =的图像分别是1l ，2l ，3l ，4l ；那么1k ，2k ，3k ，4k 的大小关系是． O yxl 4l 3l 2l 1Oyxl 4l 3l 2l 15、如图，一次函数1y ax a =+的图象大致是（）AB C DyxO y x O y x O O x y6、函数y ax b =+①和y bx a =+②（0ab ≠）在同一坐标系中的图像可能是（）7、若一次函数2(1)12ky k =-+-的图象不经过第一象限，则k 的取值范围是．8、已知一次函数(3)(2)y k x k =-+- （k 为常数）的图象经过一、二、三象限，求k 取值范围．☆9、若11,A x y （），22(,)B x y 为一次函数，31y x =-的图象上的两个不同点，且120x x ≠，设111y M x +=，221y N x +=，则（） A ． M N > B ． M N < C ． M N = D ．以上都不对10、已知关于x 的一次函数()372y a x a =-+-的图象与y 轴交点在x 轴的上方，且y 随x 的增大而减小，求a 的取值范围．11/已知一次函数的图象经过（3，2）和（1，-2）两点．求这个一次函数的解析式．12、求证：点A （2，2），B （1-，72），C （12，3-）在一条直线上．13、已知一次函数y kx b =+中自变量x 的取值范围为26x -<<，相应的函数值的范围是119y -<<，求此函数的解析式．A ．B ．C ．D ．②②②②①①①①O x y O x y O x y y x OF时间（小时）距离（千米）O ED C B4653212051015253014、如图，将直线OA 向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是．yxO3214321A15、小明同学骑自行车去郊外春游，下图表示他离家的距离y （千米）与所用的时间x （时）之间关系的函数图象．⑴根据图象回答：小明到达离家最远的地方需几小时？此时离家多远？⑵小明出发两个半小时离家多远？⑶小明出发多长时间距家12千米？16、某厂工人小王某月工作的部分信息如下：信息一：工作时间：每天上午8∶20~12∶00，下午14∶00~16∶00，每月25元；信息二：生产甲、乙两种产品，并且按规定每月生产甲产品的件数不少于60件．生产产品件数与所用时间之间的关系见下表：生产甲产品件数（件）生产乙产品件数（件）所用总时间（份） 10 10 350 3020850信息三：按件计酬，每生产一件甲产品可得1．50元，每生产一件乙产品可得2．80元．根据以上信息，回答下列问题：⑴小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分？ ⑵小王该月最多能得多少元？此时生产甲、乙两种产品分别多少件？。

正比例函数与一次函数的概念

正比例函数及一次函数

一次函数与正比例函数ppt

2022年八年级上数学：一次函数与正比例函数

正比例函数的概念

初中数学知识点精讲精析 一次函数与正比例函数

人教版八年级下册数学《正比例函数》一次函数说课教学课件(第1课时正比例函数的概念)

《一次函数——一次函数与正比例函数》数学教学PPT课件(3篇)

中考复习-第13课时 一次函数的图象和性质

一次函数知识点

八年级上册一次函数与正比例函数

一次函数和正比例函数

浙教版数学中考复习：函数(一)课件 (共69张PPT)

第34讲：正比例函数及一次函数的概念和性质(二)

正比例函数、一次函数和反比例函数知识点归纳

一次函数和正比例函数

一次函数知识点

正比例、一次函数笔记

正比例函数知识点总结

正比例函数与一次函数

初中数学知识点精讲精析一次函数与正比例函数

中考复习-第13课时一次函数的图象和性质