高等数学自测题第13章 自测题2答案

第13章 自测题2答案

一、选择题（每小题4分） 1、

设OM 是从O （0，0）到M （1，1）的直线段，则与曲线积分⎰

+=OM

y

x s e

I d 2

2不

相等的积分是

(A)⎰1

02d 2x

e

x

(B) ⎰

1

2d 2y

e

y

(C )⎰2

d r

e r

(D )

⎰

1

d 2r

e

r

2、

设L 是圆周 x 2+y 2=a 2 (a >0)负向一周，则曲线积分

答 ( ) 答： (A) 3、

设C 为沿x 2+y 2=R 2逆时针方向一周，则用格林公式计算，

答( )

答：（D ） 4、

曲线积分的值

(A)与曲线L的形状有关(B)与曲线L的形状无关

(C)等于零(D)等于2π

答( )

答：（A）

二、填空题（每小题4分）

1、

设f(x)有连续导数，L是单连通域上任意简单闭曲线，且则

f(x)=_______.

答：x2+c

2、

设是由A(－2，3)沿y=x2－1到点M(1，0)，再沿y=2(x－1)到B(2，2)的路径，

则 ________.

答：10

3、

设力的模 , 的方向与相同，则在力的作用下，质点沿

曲线L：正向绕行一周，力所做的功可用曲线积分表示为

________________.

答：⎰+

+

+

-

L y

x

y

x

x

y

2

2

d

d

4、

若是某二元函数的全微分，则m=______.

答：1

三、解答题（每小题6分）

1、求自x=1到x=e之间的一段曲线的弧长。

2、设心脏线L的极坐标方程为r=a(1－cosθ) (0≤θ≤2π)，其线密度为常量μ，求L 的形心坐标( ).

3、求质点M (x , y )受作用力 沿路径L 所作的功W . L 是

3、

3 . 求质点M (x , y )受作用力 沿路径L 所作的功W . L 是沿

椭圆4x 2

+y 2

=4顺时针方程的一周。

4、

求半径为R 的均匀半圆周L (线密度为δ=1)对于位于圆心的单位质量的质点的引力。

5、设质线L 的方程为 ，L 上的任意点(x ,y )处的线密度为 求质线

L 的质心坐标(ξ,η).

解：L 参数方程⎪

⎩⎪⎨⎧==t

y t x 4

4sin

cos 0≤t ≤

2

π

t

t t t t s d sin

cos

sin cos 4d 4

4

+=

对L 方程质线的线密度y

x xy +=

μ而言，变量x 与y 是对等的，故..ηξ=

质线L 的质量

⎰

=

L

s

m d μ

⎰

⎰

⎰=+⋅⋅+=

+=

2

3

3

2

4

4

4

4

4

4

d cos sin

4

d sin

cos

sin cos 4sin

cos

sin

cos d π

π

t

t t t

t t t t t

t t

t s

y

x xy L

3

1=

⎰

⎰

===2

3

7

d cos sin 12

d 1π

μηξt

t t s

y m

L

10

3=

故质心坐标为

⎪⎭⎫ ⎝⎛103 , 103

6、

利用曲线积分计算星形线⎪⎩

⎪⎨⎧==θθ

3

3

sin cos a y a x 所围区域面积。

7、

计算曲线积分

式中

为由点A (－1，1)沿曲线

y =x 2

到点O (0，0)再沿直线y =0到点B (2，0)的路径。

解：记点)1,0(C

AO

(

⎰

⎰

⎰

--++

+

CA

y

y OC

y

x y x xy d )e (cos d )e 12(

⎰⎰--=

D

y

y

y

x e x e

d d )12(

3

d 12d 0

1

=-=

⎰

⎰

-

y

y x y

e

d e)12(1sin d cos 1

1

0-=+=

-=-=⎰

⎰

⎰⎰-b x x y y CA OC

故AO

(

⎰

AO

(

⎰

=

⎰

⎰

⎰

⎰

⎰

-

-

-

+

+

OC

CA

CA

OC

CA

e 1sin 3+-+=b

1sin e 3++-=

⎰

--+OB

y

y

y

x y x xy d )e (cos d )e 12(

2

d 12

=⋅=

⎰

x

故

=

⎰

+

OB

AO

(

⎰

AOB

(

⎰

1sin 1++-=e

8、

求二元可微函数u =φ(x ,y )，使曲线积分

及

都与积分路径无关。并适合φ

(1,0)=1.

四、证明题