北京2015年初三数学一模试题分类--第29题新定义综合

北京2015年初三数学一模试题分类—第29题新定义综合

1、（海淀）29．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(,)P a b 和点(,)Q a b '，给出如下定义：

若,1,1≥b a b b a ⎧'=⎨-<⎩

，则称点Q 为点P 的限变点．例如：点()2,3的限变

点的坐标是()2,3，点()2,5-的限变点的坐标是()2,5--． （1

）①点

)

的限变点的坐标是___________；

②在点()2,1A --，()1,2B -中有一个点是函数2

y x

=图象上某

一个点的限变点，这个点是_______________；

（2）若点P 在函数3(2,2)y x x k k =-+->-≤≤的图象上，其限变点Q 的纵坐标b '的取值范围是52≤≤b '-，求k 的取值范围；

（3）若点P 在关于x 的二次函数222y x tx t t =-++的图象上，其限变点Q 的纵坐标b '的取值范围是≥b m '或b n '<，其中m n >．令s m n =-，求s 关于t 的函数解析式及s 的取值范围． 2、（西城）29、给出如下规定：两个图形G 1和G 2，点P 为G 1上任一点，点Q 为G 2上任一点，如果线段PQ 的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形G 1和G 2之间的距离．

在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点．

（1）点A 的坐标为(1,0)A ，则点(2,3)B 和射线OA 之间的距离为________，点(2,3)C - 和射线OA 之间的距离为________； （2）如果直线y =x 和双曲线k

y x

=

，那么k = ；（可在图1中进行研究）

（3）点E 的坐标为(1,3)，将射线OE 绕原点O 逆时针旋转60︒，得到射线OF ，在坐标平面内所有和射线OE ，OF 之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M ． ①请在图2中画出图形M ，并描述图形M 的组成部分；（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示）

②将射线OE ，OF 组成的图形记为图形W ，抛物线22-=x y 与图形M 的公共部分记为图形N ，请直接写出图形W 和图形N 之间的距离．

3、（东城）29．定义符号{}min a b ,的含义为：当a b ≥时, {}min a b b =,；当a b ＜时,

{}min a b a =,．如：{}min 122-=-,，{}min 121-=-,．

(1)求{}

2min x -1,-2;

(2)已知2

min{2,3}3x x k -+-=-, 求实数k 的取值范围;

(3) 已知当23x -≤≤时，2

2

min{215,(1)}215x x m x x x --+=--.直接写出实数m 的取值范围.

4、（朝阳）29．定义:对于平面直角坐标系xOy 中的线段PQ 和点M ，在△MPQ 中，当PQ

边上的高为2时，称M 为PQ 的“等高点”，称此时MP +MQ 为PQ 的“等高距离”． （1）若P (1，2)，Q (4，2) ．

①在点A (1，0)，B (

2

5

，4)，C （0，3）中，PQ 的“等高点”是 ； ②若M （t ，0）为PQ 的“等高点”，求PQ 的“等高距离”的最小值及此时t 的值.

（2）若P (0，0)，PQ =2，当PQ 的“等高点”在y 轴正半轴上且“等高距离”最小时，直接

写出点Q 的坐标．

5、（丰台）29. 设点Q 到图形W 上每一个点的距离的最小值称为点Q 到图形W 的距离.例

如正方形ABCD 满足A (1

，0)，B (2，0)，C (2，1)，D (1，1)，那么点O (0，0)到正方形ABCD 的距离为1.

（1）如果⊙P 是以（3，4）为圆心，1为半径的圆，那么点O (0，0)到⊙P 的距离

（2）①求点(3,0)M 到直线21y x =+的距离；

②如果点(0,)N a 到直线21y x =+的距离为3，那么a 的值（3）如果点(0,)G b 到抛物线2

y x =的距离为3，请直接写出b 的值.

6、（石景山）29．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在直线l 上，以A 为圆心，OA 为半径的圆与y 轴的另一个交点为E ．给出如下定义：若线段OE ，⊙A 和直线l 上分别存在点B ，点C 和点D ，使得四边形ABCD 是矩形（点,,,A B C D 顺时针排列），则称矩形ABCD 为直线l 的“理想矩形”．

例如,下图中的矩形ABCD 为直线l 的“理想矩形”．

（1）若点(1,2)A -，四边形ABCD 为直线1x =-的“理想矩形”，则点D 的坐标

为 ；

（2）若点(3,4)A ，求直线1y kx =+(0)k ≠的“理想矩形”的面积； （3）若点(1,3)A -，直线l 的“理想矩形”面积的最大值为 ，

此时点D 的坐标为

．

备用图

7、（门头沟）29．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2+bx +c （a ＞0）的顶点为

M ，直线y =m 与x 轴平行，且与抛物线交于点A 和点B ，如果△AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上A 、B 两点之间部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线的准蝶形，顶点M 称为碟顶，线段AB 的长称为碟宽．

A

A

B

B

M

M

O

x

y

y=m

准蝶形AMB

（1）抛物线2

12

y x

的碟宽为 ，抛物线y =ax 2（a ＞0）的碟宽为 ． （2）如果抛物线y =a (x －1)2－6a （a ＞0）的碟宽为6，那么a = ．

（3）将抛物线y n =a n x 2+b n x +c n （a n ＞0）的准蝶形记为F n （n =1，2，3，…），我们定义F 1，

F 2，…，F n 为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比．如果F n 与F n -1的相似比为

1

2

，且F n 的碟顶是F n -1的碟宽的中点，现在将（2）中求得的抛物线记为y 1，其对应的准蝶形记为F 1．

① 求抛物线y 2的表达式；

② 请判断F 1，F 2，…，F n 的碟宽的右端点是否在一条直线上？如果是，直接写出该

直线的表达式；如果不是，说明理由．