静电场中的高斯定理

静电场中的高斯定理： 高斯定理是静电学中的一个重要定理, 它反映了静电场的一个基本性质, 即静电场是有源场, 其源即是电荷。可表述为: 在静电场中, 通过任意闭合曲面的电通量, 等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和的1/ε倍, 与闭合曲面外的电荷无关。表达式为

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()1/n i i S E ds q φε==•=∑⎰⎰r r Ò （1）

高斯定理是用来求场强??E r 分布, 定理中, S 是任意曲面, 由于数学水平

的限制, 要由高斯定理计算出E,则对由场的分布有一定的要求, 即电荷分布具有严格的对称性( 若电荷分布不对称性即不是均匀的, 引起电场分布不对称, 不能从高斯定理求空间场强分布,高斯定理当然仍是成立的) , 由于电荷分布的对称性导致场强分布的对称性, 场强分布的对称性应包括大小和方向两个方面。典型情况有三种:

1) 球对称性, 如点电荷, 均匀带电球面或球体等;

2) 轴对称性, 如无限长均匀带电直线, 无限长均匀带电圆柱或圆柱面, 无限长均匀带电同轴圆柱面

3) 面对称性, 如均匀带电无限大平面或平板,或者若干均匀带电无限大平行平面。

根据高斯定理计算场强时, 必须先根据电荷分布的对称性, 分析场强分布的对称性; 再适当选取无厚度的几何面作为高斯面。选取的原则是:

○

1 待求场强的场点必须在高斯面上;○

2 使高斯面的各个部分或者与E 垂直, 或者E 平行;○

3 与E 垂直的那部分高斯面上各点的场强应相等;○

4 高斯面的形状应是最简单的几何面。

最后由高斯定理求出场强。高斯定理说明的是通过闭合曲面的电通量与闭合

曲面所包围的所有电荷的代数和之间的关系, 即闭合曲面的总场强E r 的电通量

只与曲面所包围的电荷有关, 但与曲面内电荷的分布无关。但闭合曲面上的电场强度却是与曲面内外所有电荷相联系的,是共同激发的结果。

下面举一些例子来说静电场中高定理的应用：

例1：一半径为R 的带电球体，其电荷体密度分布为()Ar r R ρ=≤，0()r R ρ=>，A 为大于零的常量。试求球体内外的场强分布及其方向。

解：在球内取半径为r 、厚为d r 的薄球壳，该壳内所包含的电荷为 23d d 4d 4d q V Ar r r Ar r ρ==⋅π=π

在径为r 的球面内包含的总电荷为

以该球面为高斯面，按高斯定理有 0421/4εAr r E π=π⋅

得到 ()0214/εAr E =， (r ≤R )

方向沿径向向外

在球体外作一半径为r 的同心高斯球面，按高斯定理有

得到 ()20424/r AR E ε=，()r R > 方向沿径向向外

例题2:有两个同心的均匀带电球面，半径分别为1R 、2R )(21R R <，若大球面的面电荷密度为σ，且大球面外的电场强度为零，求：（1）小球面上的面电荷密度；（2）大球面内各点的电场强度。 解: （1）设小球面上的电荷密度为σ'，在大球面外作同心的球面为高斯面，

由高斯定理： 0

'1220int 4'4d επσπσεR R q S E S ⋅+⋅=

=⋅⎰⎰ϖϖ ∵大球面外0=E ρ ∴ 2221440R R σπσπ'⋅+⋅=

解得： 221()R R σσ'=- （2） 大球面内各点的场强两个均匀带电球面场强的迭加:内部场强为零,外部相当点电荷

在1r R <区域： 00021=+=+=E E E

在12R r R <<区域： 2112204'04R E E E r πσπε=+=+=2

20⎪⎭⎫ ⎝⎛-r R εσ 2 对高斯定理的几点说明

高斯定理是电磁学中的重要定理之一。其数学表达式为 它表示通过闭合曲面的电通量等于该闭合曲面内电荷代数和的01ε倍。